Berechnung von a und b: n x 2 i ( x i ) = 23, 218 n (x i y i ) x i y i. b =

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1 Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik Master MB Material zum Kapitel : Regressionsanalyse Beispiel 3: Lineare Regression X - Alter des Fahrers Y - Geschwindigkeitsüberschreitung in km/h Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Sommersemester 015 Daten und Arbeitstabelle: x i y i x i x i y i Berechnung von a und b: x a i y i x i (x i y i ) n x i ( x i ) b , 18 n (x i y i ) x i y i n x i ( x i ) , 087 Ergebnis: Regressionsfunktion: ŷ 3, , 087x Bestimmtheitsmaÿ: B r xy 0, 035 1

2 Elimination des Ausreiÿers (4, 40) Regressionsfunktion: ŷ 17, , 197x Bestimmtheitsmaÿ: B rxy 0, 365 Elimination von zwei Ausreiÿern (4, 40) und (59, 3) Regressionsfunktion: ŷ 1, , 375x Bestimmtheitsmaÿ: B r xy 0, 831

3 Beispiel 4: Regressionskurve für eine Exponentialfunktion Die Entladung eines Kondensators mit Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand R erfolgt nach dem Exponentialgesetz u(t) u 0 e t RC t 0 mit der Anfangsspannung u 0 zur Zeit t 0 In einem Experiment wurden folgende Werte gemessen (t in s und u in V): t i 1,0 4,0 7,0 10,0 15,0 u i 80, 45,5 4,5 13,9 4,7 Aus diesen Daten sollen die Anfangsspannung u 0 und die Zeitkonstante RC geschätzt werden Des weiteren soll der Zeitpunkt bestimmt werden, wo die Spannung 0,1V unterschreitet Transformation in eine lineare Funktion durch Logarithmieren: ln u ln u 0 + ( 1 RC ) t Arbeitstabelle: Berechnung von a ln u 0 und b 1 RC : t i u i ln u i t i 1 80, 4, t i ln u i 4 45,5 3, ,5 3, ,9, ,7 1, , , a t i ln u i t i (t i ln u i ) n t i ( t i ) , , , 6135 b n (t i ln u i ) t i ln u i n t i ( t i ) 1 91, , , 04 u 0 e 4, , 84 RC 1 0,04 Regressionsfunktion: û(t) 100, 84 V e 0, 1 100, 84 V e t 4,94 s t 34, 17 s 4, 94 t 4,94 s 3

4 Beispiel 5: Logistische Regression Die folgende Tabelle zeigt die prozentuale Ausstattung von Haushalten einer deutschen Groÿstadt mit Videorecordern: Berechnen Sie zur Beschreibung der Entwicklung eine logistische Regressionsfunktion ŷ mit Sättigungsgrenze k 80 Schätzen Sie den Ausstattungsgrad für das Jahr 000 Lösung: Logistische Funktion: ŷ k, b < 0 mit bekannter Sättigungsgrenze k 1 + ea+bx k 1 + e a+bx a x i ln( k y i 1) x i (x i ln( k y i 1)) n x i ( x i ) b n (x i ln( k y i 1)) x i ln( k y i 1) n x i ( x i ) Arbeitstabelle: Verwenden dabei folgende Zeittransformation: x i Jahr 1991 Jahr x i x i y i ln( 80 y i 1) x i ln( 80 y i 1) , , ,1975 4, , , , , , , , , , , , ,44689 a 140, ( 15, 44689) , , b 7 ( 15, 44689) 8, , , 973 Ergebnis: ŷ e 4,085 0,97x Schätzwert für 000: ŷ(9) 80 78, e4,085 0,97 9 4

5 Aufgaben zum Kapitel : 1 Bei der Messung des Bremswegs s (in m) eines bestimmten PKW-Typs in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v (in km/h) erhielt man folgende Meÿwerte: v s (a) Beschreiben Sie den Bremsweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit durch eine lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate (b) Schätzen Sie mit dieser Regressionsfunktion den Bremsweg für eine Geschwindigkeit von 140 km/h Ein Expertenteam erforscht Möglichkeiten der Reduzierung des Kraftstoverbrauchs eines PKW-Typs mit dem Ziel, ein sparsames 3-Liter-Auto zu entwickeln Folgende Stufen beim mittleren Verbrauch in l pro 100 km wurden erreicht: Jahr Verbrauch 8,1 7,3 6,6 5,5 4,6 (a) Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung des Kraftstoverbrauchs X durch eine Exponentialfunktion x(t) a b t nach der Methode der kleinsten Quadrate (b) Wann ist mit dem Erreichen des Forschungsziels zu rechnen? 5

6 3 Die Konzentration eines bestimmten Wirkstos im Blut erreicht Stunden nach dessen Verabreichung ihren höchsten Wert und fällt danach ab Für folgende Meÿwerte Zeit t i,5 3 3,5 4 Konzentration x i wurde die lineare Regressionsfunktion ˆx 9, 8 9, 6 t ermittelt Bestimmen Sie die erklärte Streuung und die Reststreuung sowie das Bestimmtheitsmaÿ? 4 Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Viskosität y einer Mischung von Wachsen von der Temperatur T durch einen Exponentialansatz der Form y b 0 e b 1T für folgende Daten: Temperatur T Viskosität y 3,0 5,3 8, 14,7 0,1 5 Zwischen zwei Meÿgröÿen X und Y erwartet man aufgrund zusätzlicher Informationen einen funktionalen Zusammenhang vom Typ Es seien folgende Meÿwerte gegeben: y ax + b x x i y i 1-0,5 5,6 3,8 3,3 Bestimmen Sie für diese Meÿwerte eine Regressionskurve obigen Typs Welchen y-wert erhält man mit dieser Regressionsfunktion für x 3? Hinweis: Führen Sie alle nichtlinearen Regressionsprobleme durch geeignete Transformationen zurück auf das lineare Problem Lösungen: 1 a 15, 388, b 0, 616 dh ŝ 15, , 616v Zwischenergebnisse: v i 480, si 188, v i 4000, Schätzwert: ŝ(140) 70, 863 vi s i a 9, 61, b 0, 868 dh ˆx(t) 9, 61 0, 868 t, t 1,, 5 Zwischenergebnisse: t i 15, (ti ) 55, lg xi 3, 9945, ti lg x i 11, 369 Mit dem Erreichen des Forschungszieles ist nach 9 Jahren zu rechnen 3 Reststreuung: 7,6 erklärte Streuung: 30,4 Gesamtstreuung: 38 Bestimmtheitsmaÿ: 0,968 4 b 0 e 5, , 015, b 1 0, 048, dh ŷ(t) 39, 015 e 0,048 T Zwischenergebnisse: T i 400, (Ti ) 33000, ln yi 10, 5590, Ti ln y i 796, 47809, 4897x + 3, a, 4897, b 3, 0059 dh ŷ x Zwischenergebnisse: 1 x i 0, 5, yi 13,, ( 1 x i ), 565, Schätzwert: ŷ(3) 3, 49 1 x i y i 8, 35 6