Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik Master MB

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1 Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof. Dr. Viola Weiÿ Sommersemester 2014 Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik Master MB Material zum Kapitel 1: Grundbegrie der beschreibenden Statistik Beispiel 1: Qualitätskontrolle bei der Produktion von Kondensatoren Grundgesamtheit: Tagesproduktion von Kondensatoren Merkmal X: Kapazität (Zufallsgröÿe mit Sollwert 100µF und Toleranzbereich [99µF ; 101 µf ]) Stichprobe x 1,..., x n : pro Stunde werden der Tagesproduktion 5 Kondensatoren entnommen (insgesamt 10 mal) und deren Kapazität bestimmt Stichprobenumfang: n = 50 (alle Angaben in µf) Die Stichprobe enthält 7 verschiedene Werte a 1,...a 7 : Darstellung der Stichprobe in einer Häugkeitstabelle: a i H(a i ) h(a i ) 0,04 0,08 0,14 0,36 0,20 0,16 0,02 1 s(a i ) 0,04 0,12 0,26 0,62 0,82 0,98 1 Kenngröÿen: Lageparameter: Mittelwert (arithm. Mittel): x = 100, 16 µf Zentralwert (Median): x Z = 100 µf Quartile: x 0,25 = 99 µf, x 0,5 = x Z = 100 µf, x 0,75 = 101 µf, Quartilsabstand: x 0,75 x 0,25 = 2 µf Streugröÿen: Spannweite: 9 µf Varianz: s 2 = 2, 46 (µf) 2 Standardabweichung: s = 1, 57 µf 1

2 Beispiel 2: Klassierte Daten Am Ende eines Produktionsprozesses wird das Gewicht (in g) einer montierten Baugruppe gemessen, man erhält folgende Stichprobe vom Umfang n = 100: 452,2 444,7 452,0 452,2 445,6 449,4 451,4 452,7 449,0 447,2 446,8 449,2 445,6 445,1 445,2 453,0 455,0 450,0 447,0 452,9 445,2 447,7 452,4 449,2 450,1 443,5 455,7 453,1 445,8 457,7 449,1 448,6 453,0 449,2 446,2 449,6 448,6 448,0 445,0 447,4 451,2 451,8 446,3 456,7 450,0 449,5 450,4 450,8 452,0 446,1 446,2 451,6 448,8 449,4 446,8 448,5 444,7 448,9 444,5 447,5 447,7 449,3 448,8 450,4 445,8 447,5 446,7 448,0 448,8 449,4 450,8 453,4 443,8 451,1 448,5 451,1 450,7 454,8 448,3 449,0 447,0 440,9 446,7 453,9 450,1 452,3 444,3 446,6 458,3 454,3 446,8 446,3 457,8 451,2 451,3 450,6 445,3 445,3 452,6 447,1 kleinster Wert: 440,9 g gröÿter Wert: 458,3 g Einteilung in 10 Klassen K 1,...K 10 wählen Klassenmitte als Repräsentant x i der Klasse K i, i = 1,..., 10 Häugkeitstabelle: Klasse K i Intervall H(K i ) h(k i ) s(k i ) x i K 1 (440, 0 ; 442, 0] 1 0,01 0,01 441,0 K 2 (442, 0 ; 444, 0] 2 0,02 0,03 443,0 K 3 (444, 0 ; 446, 0] 14 0,14 0,17 445,0 K 4 (446, 0 ; 448, 0] 22 0,22 0,39 447,0 K 5 (448, 0 ; 450, 0] 23 0,23 0,62 449,0 K 6 (450, 0 ; 452, 0] 18 0,18 0,80 451,0 K 7 (452, 0 ; 454, 0] 12 0,12 0,92 453,0 K 8 (454, 0 ; 456, 0] 4 0,04 0,96 455,0 K 9 (456, 0 ; 458, 0] 3 0,03 0,99 457,0 K 10 (458, 0 ; 460, 0] 1 0,01 1,00 459,0 Kenngröÿen der klassierten Daten: Mittelwert: x = 449, 22 g (zum Vergleich für die Urdaten: x = 449, 3 g) Standardabweichung: s = 3, 398 g (zum Vergleich für die Urdaten: s = 3, 37 g) Quantile: x 0,25 = 447 g x 0,5 = 449 g x 0,75 = 451 g 2

3 Aufgaben zum Kapitel 1: 1. Bei 20 Streichholzschachteln wird jeweils die Anzahl der darin enthaltenen Streichhölzer ermittelt mit folgendem Ergebnis: (a) Geben Sie die Häugkeitstabelle für diese Daten an. (b) Bestimmen Sie die empirische Verteilungsfunktion. (c) Berechnen Sie für diese Daten das arithmetische Mittel, den Zentralwert und die Standardabweichung sowie die beiden Quantile x 0,25 und x 0, In der folgenden Tabelle ist die Anzahl X der Arbeitsunfähigkeitstage der AOK-Versicherten einer Groÿstadt pro Jahr gegeben: X - Anzahl Tage Anz. Versicherte X - Anzahl Tage Anz. Versicherte Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Median und den Quartilsabstand. 3. Gegeben sei die empirische Verteilungsfunktion F : R [0, 1] eines Merkmals X: 0 : x < 2 0, 2 : 2 x < 3 F (x) = 0, 3 : 3 x < 4. 0, 9 : 4 x < 7 1 : 7 x Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion. Rekonstruieren Sie aus der Verteilungsfunktion F (x) die Stichprobe, wenn Sie zusätzlich wissen, daÿ der Stichprobenumfang n = 30 ist. 4. Bei der Entwicklung eines Beschichtungsprozesses werden zwei Verfahren untersucht. Ein Praktikant analysiert die Schichtdicke (in µm) an jeweils 12 Erprobungsträgern: Probe Prozess Prozess Bestimmen Sie für beide Prozesse den Quartilsabstand und interpretieren Sie das Ergebnis. Zeichnen Sie für beide Prozesse jeweils ein Boxplot-Diagramm. 5. Mit einer automatischen Abfüllanlage wird Wein in Literaschen gefüllt. Eine nachträgliche Stichprobenuntersuchung an n = 100 gefüllten Flaschen ergab die folgenden Fehlmengen (in cm 3 ): Klasse K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Fehlmenge 0 x < x < x < x < x < x 60 Anzahl Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm. Ermitteln Sie folgende Kenngröÿen: arithmetisches Mittel, Zentralwert, Varianz und Standardabweichung sowie die beiden Quantile x 0,25 und x 0,75. (Verwenden Sie als Referenzpunkt jeweils die Klassenmitte.) 3.

4 6. Beim gleichzeitigen Wurf dreier Münzen erhielt man erhielt man für die Zufallsgröÿe Anzahl Wappen folgende Häugkeitstabelle: Anzahl Wappen absolute Häugkeit (a) Bestimmen Sie die empirische Verteilungsfunktion. (b) Berechnen Sie für diese Daten das arithmetische Mittel, den Zentralwert und die Standardabweichung sowie die beiden Quantile x 0,25 und x 0, Folgende Stichprobe gibt die Gröÿe von Neugeborenen (in cm) an: Zeichnen Sie ein Boxplot-Diagramm und nden Sie ausreiÿerverdächtige Werte. Lösungen: 1. a i H(a i ) h(a i ) 0,05 0,15 0,3 0,25 0,15 0,05 0,05 s(a i ) 0,05 0,2 0,5 0,75 0,9 0,95 1,0 x = 39, 1 x Z = 39 s = 1, 9974 x 0,25 = 38 x 0,75 = 40, 5 2. x = 1, 081 x Z = 1 x 0,25 = 0 x 0,75 = 2 = x 0,75 x 0,25 = 2 3. Ausprägungen: 2,3,4,7 relative Häugkeiten: h(2) = 0, 2 h(3) = 0, 1 h(4) = 0, 6 h(7) = 0, 1 Stichprobe: alle Angaben in µm x 0,25 x 0,5 x 0,75 x 0,75 x 0,25 Prozess ,5 3,5 Prozess 2 563, ,5 5. x = 17, 7 cm 3 x Z = 15 cm 3 s 2 = 179, 56 cm 3 s = 13, 40 cm 3 x 0,25 = 5 cm 3 x 0,75 = 25 cm 3 6. a) 0 : x < 0 0, 1 : 0 x < 1 F (x) = 0, 51 : 1 x < 2. 0, 875 : 2 x < 3 1 : 3 x b) x = 1, 515 x Z = 1 s 2 = 0, 7033 s = 0, 8386 x 0,25 = 1, x 0,75 = 2 7. x 0,25 = 49cm x 0,5 = 50, 5cm x 0,75 = 51cm Boxbreite: 2cm, Normalbereich: [48cm ; 52cm], Ausreiÿer: 57cm 4

5 Material zum Kapitel 2: Regressionsanalyse Beispiel 3: Lineare Regression X - Alter des Fahrers Y - Geschwindigkeitsüberschreitung in km/h Daten und Arbeitstabelle: x i y i x 2 i x i y i Berechnung von a und b: x 2 a = i y i x i (x i y i ) n x 2 i ( x i ) 2 = b = = = 23, 218 n (x i y i ) x i y i n x 2 i ( x i ) = 0, 087 Ergebnis: Regressionsfunktion: Bestimmtheitsmaÿ: B = r 2 xy = 0, 035 ŷ = 23, , 087x 5

6 Elimination des Ausreiÿers (24, 40) Regressionsfunktion: ŷ = 17, , 197x Bestimmtheitsmaÿ: B = rxy 2 = 0, 365 Elimination von zwei Ausreiÿern (24, 40) und (59, 23) Regressionsfunktion: ŷ = 12, , 375x Bestimmtheitsmaÿ: B = rxy 2 = 0, 831 6

7 Beispiel 4: Regressionskurve für eine Exponentialfunktion Die Entladung eines Kondensators mit Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand R erfolgt nach dem Exponentialgesetz u(t) = u 0 e t RC t 0 mit der Anfangsspannung u 0 zur Zeit t = 0. In einem Experiment wurden folgende Werte gemessen (t in s und u in V): t i 1,0 4,0 7,0 10,0 15,0 u i 80,2 45,5 24,5 13,9 4,7 Aus diesen Daten sollen die Anfangsspannung u 0 und die Zeitkonstante RC geschätzt werden. Des weiteren soll der Zeitpunkt bestimmt werden, wo die Spannung 0,1V unterschreitet. Transformation in eine lineare Funktion durch Logarithmieren: ln u = ln u 0 + ( 1 RC ) t. Arbeitstabelle:. Berechnung von a = ln u 0 und b = 1 RC : t i u i ln u i t 2 i 1 80,2 4, t i ln u i 4 45,5 3, ,5 3, ,9 2, ,7 1, , , a = = t 2 i ln u i t i (t i ln u i ) n t 2 i ( t i ) , , = 4, 6135 b = n (t i ln u i ) t i ln u i n t 2 i ( t i ) 2 = 12 91, , = 0, 2024 u 0 = e 4,6135 = 100, 84 RC = 1 0,2024 Regressionsfunktion: û(t) = 100, 84 V e 0, 1 = 100, 84 V e t 4,94 s = t = 34, 17 s. = 4, 94 t 4,94 s 7

8 Beispiel 5: Logistische Regression Die folgende Tabelle zeigt die prozentuale Ausstattung von Haushalten einer deutschen Groÿstadt mit Videorecordern: Berechnen Sie zur Beschreibung der Entwicklung eine logistische Regressionsfunktion ŷ = mit Sättigungsgrenze k = 80. Schätzen Sie den Ausstattungsgrad für das Jahr Lösung: Logistische Funktion: ŷ =. k, b < 0 mit bekannter Sättigungsgrenze k 1 + ea+bx k 1 + e a+bx a = x 2 i ln( k y i 1) x i (x i ln( k y i 1)) n x 2 i ( x i ) 2 b = n (x i ln( k y i 1)) x i ln( k y i 1) n x 2 i ( x i ) 2 Arbeitstabelle: Verwenden dabei folgende Zeittransformation: x i = Jahr 1991 Jahr x i x 2 i y i ln( 80 y i 1) x i ln( 80 y i 1) , , , , , , , , , , , , , , , , a = 140 2, ( 15, ) = 800, = 4, b = 7 ( 15, ) 28 2, , = = 0, 9273 Ergebnis: ŷ = e 4,085 0,927x Schätzwert für 2000: ŷ(9) = 80 = 78, e4,085 0,

9 Aufgaben zum Kapitel 2: 1. Bei der Messung des Bremswegs s (in m) eines bestimmten PKW-Typs in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v (in km/h) erhielt man folgende Meÿwerte: v s (a) Beschreiben Sie den Bremsweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit durch eine lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate. (b) Schätzen Sie mit dieser Regressionsfunktion den Bremsweg für eine Geschwindigkeit von 140 km/h. 2. Ein Expertenteam erforscht Möglichkeiten der Reduzierung des Kraftstoverbrauchs eines PKW-Typs mit dem Ziel, ein sparsames 3-Liter-Auto zu entwickeln. Folgende Stufen beim mittleren Verbrauch in l pro 100 km wurden erreicht: Jahr Verbrauch 8,1 7,3 6,6 5,5 4,6. (a) Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung des Kraftstoverbrauchs X durch eine Exponentialfunktion x(t) = a b t nach der Methode der kleinsten Quadrate. (b) Wann ist mit dem Erreichen des Forschungsziels zu rechnen? 9

10 3. Die Konzentration eines bestimmten Wirkstos im Blut erreicht 2 Stunden nach dessen Verabreichung ihren höchsten Wert und fällt danach ab. Für folgende Meÿwerte Zeit t i 2 2,5 3 3,5 4 Konzentration x i wurde die lineare Regressionsfunktion ˆx = 92, 8 9, 6 t ermittelt. Bestimmen Sie die erklärte Streuung und die Reststreuung sowie das Bestimmtheitsmaÿ? 4. Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Viskosität y einer Mischung von Wachsen von der Temperatur T durch einen Exponentialansatz der Form y = b 0 e b 1T für folgende Daten: Temperatur T Viskosität y 3,0 5,3 8,2 14,7 20,1. 5. Zwischen zwei Meÿgröÿen X und Y erwartet man aufgrund zusätzlicher Informationen einen funktionalen Zusammenhang vom Typ Es seien folgende Meÿwerte gegeben: y = ax + b. x x i y i 1-0,5 5,6 3,8 3,3. Bestimmen Sie für diese Meÿwerte eine Regressionskurve obigen Typs. Welchen y-wert erhält man mit dieser Regressionsfunktion für x = 3? Hinweis: Führen Sie alle nichtlinearen Regressionsprobleme durch geeignete Transformationen zurück auf das lineare Problem. Lösungen: 1. a = 15, 388, b = 0, 616 d.h. ŝ = 15, , 616v Zwischenergebnisse: v i = 480, si = 188, v 2 i = 40200, Schätzwert: ŝ(140) = 70, 863 vi s i = a = 9, 621, b = 0, 868 d.h. ˆx(t) = 9, 621 0, 868 t, t = 1,..., 5 Zwischenergebnisse: t i = 15, (ti ) 2 = 55, lg xi = 3, 9945, ti lg x i = 11, 369 Mit dem Erreichen des Forschungszieles ist nach 9 Jahren zu rechnen. 3. Reststreuung: 7,6 erklärte Streuung: 230,4 Gesamtstreuung: 238 Bestimmtheitsmaÿ: 0, b 0 = e 5,9713 = 392, 015, b 1 = 0, 0482, d.h. ŷ(t) = 392, 015 e 0,0482 T Zwischenergebnisse: T i = 4000, (Ti ) 2 = 33000, ln yi = 10, 55902, Ti ln y i = 796, , 4897x + 3, a = 2, 4897, b = 3, 0059 d.h. ŷ = x Zwischenergebnisse: 1 x i = 0, 25, yi = 13, 2, ( 1 x i ) 2 = 2, 5625, Schätzwert: ŷ(3) = 3, 49 1 x i y i = 8,