Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

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1 R. Hiptmair S. Pintarelli E. Spindler Herbstsemester 014 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 9 Einleitung. Diese Serie nimmt in den ersten Aufgabe noch Themen aus [LANM, Kapitel ] auf. Die Mehrheit der Aufgaben beschäftigt sich dann mit abstrakter analytischer Geometrie, behandelt in [LANM, Abschnitt 4.1], [LANM, Abschnitt 4.] und [LANM, Abschnitt 4.]. Bitte warten Sie mit der Bearbeitung von Aufgabe 9.5 bis [LANM, Abschnitt 4..5] in der Vorlesung behandelt worden ist. Aufgabe 9.1 Unterräume von Matrizen Wie wir in Aufgabe 7.6 bereits gesehen haben, lassen sich Mengen von speziellen Matrizen als Unterräume indentifizieren, siehe [LANM, Definition III.1.0.C]. Diese Aufgabe wiederholt die Fragestellung von Aufgabe 7.6. Zusätzlich sollen Sie noch die Dimensionen und Basen der Unterräume bestimmen. Erinnern Sie sich dazu an [LANM, Definition III..0.K]. Weiter betrachten wir die folgenden Teilmengen von R n,n, n N: (a) Die Menge aller Diagonalmatrizen, siehe [LANM, Definition I...J] D := A = (a ij ) 1 i,j n R n,n : a ij = 0 für alle i j, (b) Die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen, siehe [LANM, Bsp. I.4.4.K] R := A = (a ij ) 1 i,j n R n,n : a ij = 0 für alle i > j, (c) Die Menge aller symmetrischen Matrizen, siehe [LANM, Definition II.6.0.J] S := A = (a ij ) 1 i,j n R n,n : a ij = a ji für alle 1 i, j n. 9.1a) Zeigen Sie, dass die Mengen D, R und S Unterrräume des Matrixraumes R n,n. 9.1b) Bestimmen Sie in jedem Fall die jeweilige Dimension der Unterräume. Lösung: (a) D = {A = {a i,j } 1 i,j n R n,n : a i,j = 0 falls i j} = {diag([a 1,1, a,,..., a n,n ]) : a i,j R, i {1,..., n}} D M = R n,n : Es gilt für A = diag([a 1,1,..., a n,n ]), B = diag([b 1,1,..., b n,n ]) D, λ R: A + λb D, somit bildet D M = R n,n einen Unterrraum von M. Serie 9 Seite 1 Aufgabe 9.1

2 Basis von D: Die Matrizen E 1,1 = diag([1, 0,..., 0]), E, = diag([0, 1, 0,..., 0]),..., E n,n = diag([0,..., 0, 1]) aus D spannen offensichtlich den ganzen Unterraum U auf: U = Span([E 1,1,..., E n,n ]), (9.1.1) ebenfalls sind sie linear unabhängig. Aus der linearen Unabhängigkeit und (9.1.1) folgt per Definition, dass {E 1,1,..., E n,n } eine Basis von U bilden. Die Dimension U, also die Anzahl der Basismatrizen ist somit dim U = n. (b) R = {A = {a i,j } 1 i,j n R n,n : a i,j = 0 für alle i > j} R M Unterraum: Für A = {a i,j } 1 i,j n, B = {b i,j } 1 i,j n R, λ R gilt: c i,j = a i,j + λb i,j = 0, für i > j, da a i,j = b i,j = 0 für i > j Basis von R M: B = {E i,j : i j und i, j {1,..., n}} ist eine Basis von R M. Dies lässt sich leicht einsehen, denn zum einen sind die Elemente von B linear unabhängig und zum anderen lässt sich jedes Element von R durch eine linear Kombination aus Elementen von B darstellen. Die Dimension von R ist gleich der Anzahl Basismatrizen : dim(r) = n + (n 1) = n(n+1). (c) S = {A = {a i,j } 1 i,j n R n,n : a i,j = a j,i für alle 1 i, j n} S M Unterraum: Seien A, B S, λ R, dann gilt Aufgrund der Definition von S gilt: C = A + λb = {a i,j + λb i,j } 1 i,j n. c i,j = a i,j + λb i,j = a j,i + λb j,i = c j,i C S. Somit is S M ein Unterraum. Basis S M Zuerst führen wir geeignete Matrizen ein, für i j, i, j = {1,..., n} 1 k = i und l = j S i,j = {s k,l } 1 k,l n, wobei s k,l = 1 k = j und l = i 0 sonst Sei B := {S i,j : i j, i, j {1,..., n}}. Die Element aus B sind linear unabhängig und spannen offensichtlich die Menge der symmetrischen Matrizen S auf. Somit ist S ein Unterraum. Die Dimension von S erhält man indem man die Basiselemente aus B abzählt. dim B = n(n+1). Serie 9 Seite Aufgabe 9.1

3 Aufgabe 9. Matrixpotenzen In [LANM, Kapitel ] hatten wir allgemein die Konzept lineare Unabhängigkeitünd Basisïn R m,n betrachtet. Die meisten Beispiele bezogen sich allerdings auf den R n. In dieser Aufgabe werden wir uns mit linear abhängigen Matrizen beschäftigen. Wir betrachten die Matrix ñ ô 1 α A := R,, α R, α und Ihre Potenzen A k, k N 0, die das k-fache Produkt von A mit sich selbst bezeichnen. Es gilt die Konvention A 0 := I. Wir definieren allgemein M k := Span{A 0, A 1,..., A k }, k N. B k := {A 0, A 1,..., A k }, k N. 9.a) Mit welchem Argument kann man sofort und ohne Rechnung begründen, dass die Menge B linear abhängig ist. Lösung: A ist symmetrisch. Deshalb ist auch A k, k Z symmetrisch. Eine Basis für symmetrische Matrizen hat Dimension. Da B vier Elemente enthält, müssen diese linear abhängig sein. 9.b) Zeigen Sie, dass auch die Menge B linear abhängig ist. Lösung: B = {A 0, A 1, A } Wir berechnen zuerst A : A = î α +1 ó α α α +4 Eine einfache Rechnung zeigt, dass A = (α )A 0 + A 1. 9.c) Geben Sie eine Basis von M an. Lösung: 9.d) Was ist dim M? B = {I, A} Lösung: dim M =. Da A = (α )A 0 + A 1 und A = A A = (α 1)A + A = (α 1)A + (α )I. Serie 9 Seite Aufgabe 9.

4 9.e) Was ist die Dimension von M k für beliebiges k? Lösung: Wir verwenden einen Induktionsbeweis: Induktionsverankerung k = : A = (α )I + A Das führt uns auf die Induktionsannahme, dass A k sich als Linearkombination von I, A darstellen lässt. D.h: Induktionsschritt k Z: A k = a k A + b k A 0 A k+1 = A A k = a k A + b k A 0 = a k ((α )I + A 1 ) + b k A 0 ist A k eine Linearkombination aus A 0, A, dann gilt das für A k+1 ebenfalls. Induktionsschluss: Jede Matrix A k aus M k lässt sich als Linearkombination von I, A darstellen. Somit ist gezeigt, dass dim M k =. Aufgabe 9. Koordinatentransformation In [LANM, Abschnitt.4] haben wir die Darstellung von Vektoren in Unterräumen von R n als Koordinatenvektoren bezüglich einer Basis kennen gelernt. Diese Aufgabe übt den Umgang mit Basiswechselmatrizen, siehe [LANM, Thm. III.4.0.F], anhand von anschaulichen Beispielen im R. Gegeben seien die zwei Basen B, B des R mit B = 1,,, B =,, a) Finden Sie die Basiswechselmatrix S, welche Koordinaten bezüglich der Basis B auf die zugehörigen Koordinaten bezüglich der Basis B abbildet. Lösung: Wir definieren, die beiden Matrizen B, B, in deren Spalten die Basisvektoren von B, B stehen. Wir folgen der Definition der Basiswechselmatrix S in [LANM, Thm. III.4.0.F], in welcher S durch das Gleichungssystem bestimmt ist. Wir schreiben (9..1) in Matrixnotation: b j = S i,j b i (9..1) i=1 B = BS (9..) Serie 9 Seite 4 Aufgabe 9.

5 In den Spalten von S stehen die Koordinaten der alten Basis B bzgl. der neuen Basis B. Lösung von (9..) durch Gausselimination liefert für die Basiswechselmatrix S: S = Koordinaten c bzgl. der alten Basis B, werden durch Multiplikation mit S in Koordinaten c bzgl. der neuen Basis B überführt. Dies lässt sich durch folgende Rechnung leicht nachvollziehen: Multiplikation des Koordinatenvektors c von links mit (9..) ergibt B c = BS c Da B c und Bc denselben Punkt im R beschreiben sollen, gilt natürlich B c = Bc. Somit muss c = S c sein. 9.b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis B. Lösung: v = [ 1 1 ] + 9 [ 7 ] 8 [ 6 ] v = B c = B [ ] 9 8 Die Koordinaten bezüglich der Basis B sind gegeben durch, c = S c = ñ 1 ô Aufgabe 9.4 Wiederholung: Analytische Geometrie in der Ebene Die in [LANM, Kapitel 4] eingeführten Konzepte bilden die Grundlage der analytischen Geometrie. Diese ist Schulstoff und hier wiederholen wir einige einfach Rechnungen. H A c H B H C b S B B S C M c S A A b c γ WB WC WA β b a (a) Höhen a C (b) Seitenhalbierende a α (c) Winkelhalbierende / Inkreis Abbildung 9.1: Skizze zu Aufgabe 9.4 Serie 9 Seite 5 Aufgabe 9.4

6 9.4a) Gegeben sei das Dreieck (in der Ebene) aus Abbildung 9.1. Wir nehmen an, dass die Eckpunkte des Dreiecks folgende Koordinaten(vektoren) haben: a = [ 1 ] ñ, b =, c = 0ô Bestimmen Sie die Geradengleichungen G in der Form für (i) die Seitenhalbierende S A. (ii) die Höhe H B. (iii) die Winkelhalbierende W C. Lösung: [ + 1 ] 1 G = {q + τ w : τ R}, wobei q R, w R \{0},. (1, 1) y c γ BC CA β b a α (1, 0) 0 x 45 AB Abbildung 9.: Skizze zu 9.4a) Die Lösungen erhalten wir, indem wir die Koordinaten von A, B, C in die in 9.4b) bestimmten allgemeinen Formeln einsetzen: S A = {a + τ S B = {b + τ ñ ñ ô } ô : τ R} ñ H A = {a + τ ñ H B = {b + τ ô : τ R} ô : τ R} Serie 9 Seite 6 Aufgabe 9.4

7 9.4b) Die drei Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks im Raum haben nun die allgemeinen Koordination a = a 1 a a, b = b 1 b b, c = Bestimmen Sie nun die allgemeinen Geradengleichungen für (i) die Seitenhalbierende S A. (ii) die Höhe H B. (iii) die Winkelhalbierende W C. Lösung: Beachten Sie die Beschriftungen in Abbildung 9.. c 1 c c R. (i) S A können wir bestimmen, indem wir feststellen, dass 1(b + c) zum Mittelpunkt A der gegenüber liegenden Seite zeigt. Ç å 1 S A = a + τ (b + c) a : τ R Analog erhalten wir S B, S C : Ç 1 S B = b + τ S C = c + τ å (a + c) b Ç 1 (b + a) c å : τ R : τ R (ii) Die Höhe H A erhalten wir, indem wir feststellen, dass sie senkrecht auf c b steht und durch den Punkt a gehen muss. Für die Normale n a, senkrecht auf w := c b, muss gelten: Wir wählen n a = î c b (c 1 b 1 ) ó, womit (9.4.1) erfüllt ist. Analog lassen sich H B und H C bestimmen. n a, w = 0 (9.4.1) (n a ) 1 (w) 1 + (n a ) (w) (9.4.) H A = {A + τn A : τ R} (iii) Nun bestimmen wir die Winkelhalbierende W A. Den Vektor w A, welcher in die Richtung von W A zeigt, findet man indem man die Vektoren, welche angemacht im Punkt A in die Richtung von B, resp. C zeigen, auf eins addiert und dann ihren Mittelwert nimmt. w A = 1 Ç c a c a + b a å b a W A = {a + τw A : τ R} Serie 9 Seite 7 Aufgabe 9.4

8 Analog erhalten wir W B, W C : w B = 1 Ç c b c b + a b å a b W B = {b + τw B : τ R} w C = 1 Ç b c b c + a c å a c W C = {c + τw C : τ R} Aufgabe 9.5 Vektorprodukt In [LANM, Abschnitt 4..5] haben wir Vektorprodukt von zwei Vektoren aus R eingefuehrt. In dieser Aufgabe lernen Sie die geometrische Bedeutung der Länge des Vektorprodukts kennen und verifizieren die häufig verwendeten Rechenregeln aus [LANM, Thm. IV..5.G] a) Sei a = 1, b = und c = R. Berechnen Sie 1 1 (i) die Euklidische Norm a b, siehe [LANM, Definition IV.1..A]. (ii) den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. (iii) einen Einheitsnormalenvektor n H, der senkrecht zur Ebene Lösung: steht. H = x R : x = a + α b + β c, α, β R (i) a b = ï ò = [ ] 1 0 a b = 1 (ii) A = a b =. (iii) n H = b c = [ ] [ 1 1 ] [ 4 ] 1 = 4. Oft wird nh normiert angegeben, da somit zumindest 4 bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmt. Serie 9 Seite 8 Aufgabe 9.5

9 9.5b) Verifizieren Sie die folgenden Identitäten für die allgemeinen Vektoren a 1 b 1 c 1 a = a, b = b, c = c R : a b c (i) a b = b a. (ii) a (ra) = 0 für alle r R. (iii) a (b c) = a, c b a, b c. Lösung: (i) Wir berechnen die rechte und die linke Seite der Gleichung: b a = ï a ò b a b a 1 b a b 1 a b 1 a 1 b somit stimmt die Gleichung. (ii) Sei r R: = a b a b a b = [ a 1 a a b 1 a 1 b a 1 b a b 1, ] ï b1 a b b ò def = a (ra) = [ a 1 ] [ ra1 ] ñ ô a (ra ) a (ra ) a a ra ra = a (ra 1 ) a 1 (ra ) = [ ] 0 00 a 1 (ra ) a (ra 1 ) ï a ò b a b a b 1 a 1 b a 1 b a b 1 (iii) b c b c b c = b c 1 b 1 c b 1 c b c 1 a (b 1 c b c 1 ) + a (b 1 c b c 1 ) a (b c) = a 1 (b c 1 b 1 c ) + a (b c b c ) a 1 (b c 1 b 1 c ) + a (b c b c ) Wir berechnen a, c b a, b c: b 1 (a 1 c 1 + a c + a c ) c 1 (a 1 b 1 + a b + a b ) a, c b a, b c = b (a 1 c 1 + a c + a c ) c (a 1 b 1 + a b + a b ) b (a 1 c 1 + a c + a c ) c (a 1 b 1 + a b + a b ) a (b 1 c b c 1 ) + a (b 1 c b c 1 ) = a 1 (b c 1 b 1 c ) + a (b c b c ) = a (b c). a 1 (b c 1 b 1 c ) + a (b c b c ) Serie 9 Seite 9 Aufgabe 9.5

10 Aufgabe 9.6 Bestimmung Orthogonaler Matrizen Anhand von Parametergleichungen [LANM, Abschnitt 4.] der Vorlesung wurden orthogonale Matrizen eingeführt. Die Orthogonalität einer Matrix verifiziert man üblicherweise direkt aus der Definition. Gegeben ist die Matrix 1 a b 1 B = c d, (9.6.1) e 0 f wobei a, b, c, d, e, f R + 0 (R + 0 ist die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen). 9.6a) Wieviele Bestimmungsgleichungen für die Einträge einer -Matrix sind durch die Eigenschaft der Orthogonalität impliziert. Lösung: Da die Gleichung QQ = I die Bedingungsgleichung ist, und A = QQ immer symmetrisch ist, also nur vom oberen Dreiecksteil, d.h. a ij, i j, bestimmt wird, erhalten wir für Q R, n(n+1) Bestimmungsgleichungen für a, b, c, d, e und f. In unserem Fall, n =, erhalten wir folglich 6 Bestimmungsgleichungen. 9.6b) Finden Sie Werte für die Parameter a, b, c, d, e, f R + 0 so, dass die Matrix B aus (9.6.1) orthogonal ist. Lösung: Durch berechnen von BB = I erhalten wir (i) e = 1, (ii) 1 a 1 c = 0, (iii) 1 b + 1 d fe = 0, (iv) a + c = 1, (v) ab cd = 0, (vi) b + d + f = 1. Aus (i) erhalten wir e = 1 ; aus (ii) a = c. Einsetzen in (iv) gibt uns a = c = 1. Aus (v) erhalten wir b = d und aus (iii) f = b. Wenn wir beide Ausdrücke in (vi) einsetzen, erhalten wir schliesslich b = d = 1 6 und f = 6. Aufgabe 9.7 Längenerhaltende Abbildung Diese Aufgabe behandelt eine wichtige Eigenschaften der in [LANM, Abschnitt 4..] eingeführten orthogonalen Matrizen, nämlich die in [LANM, Lemma IV...F] formulierte Längenerhaltung. Es empfiehlt sich die Aufgabe 9.6 zu bearbeiten, bevor Sie mit dieser Aufgabe beginnen. Serie 9 Seite 10 Aufgabe 9.6

11 Wir betrachten die Matrix 1 s t A = r 0 Betimmen Sie für welche rellen Zahlen s, t und r die durch die Matrix beschriebene lineare Selbstabbildung des R längenerhaltend ist. Lösung: As in 9.6, we compute A A and equate it to I. By doing so we obtain the following equations (i) 1 + r = 1, (ii) (iii) s + r = 0, t = 0, (iv) 1 + s = 1, (v) ts = 0, (vi) 1 + t = 1. From (vi) and (iii) we have t = 0 while (ii) gives s = r. Then (i) gives r = ± 1 and s = 1. Hence, we either have r = 1, s = 1, t = 0, or r = 1, s = 1, t = 0. Aufgabe 9.8 Cayley-Transformation von Matrizen In [LANM, Definition II.6.0.J] haben wir die Menge der schiefsymmetrischen Matrizen kennengelernt, in [LANM, Abschnitt 4..] die orthogonalen Matrizen. In dieser Aufgabe werden wir uns mit einer wichtigen Abbildung zwischen diesen befassen und üben dabei das Rechnen mit diesen speziellen Matrizen. Für n N und M := {A R n,n : A + I n invertierbar} betrachten wir die Abbildung M R n,n C : A C(A) := (I n + A) 1 (I n A). (9.8.1) 9.8a) Zeigen Sie, dass für jede Matrix A M gilt C(A) = (I n + A) 1 I n. Lösung: Ebenso gilt (I n + A) 1 I n = (I n + A) 1 (I n I n (I n + A)) = (I n + A) 1 (I n A) (I n + A) 1 I n = (I n I n (I n + A))(I n + A) 1 = (I n A)(I n + A) 1. Damit ist gezeigt, dass (I n +A) 1 und (I n A) kommutieren. Diese Eigenschaft wird zur Lösung der nachfolgenden Teilaufgaben verwendet werden. Serie 9 Seite 11 Aufgabe 9.8

12 9.8b) Zeigen Sie, dass für jede schiefsymmetrische Matrix S R n,n, siehe [LANM, Definition II.6.0.J], gilt, dass x Sx = 0 für alle x R n. Lösung: Wir schreiben für α R und x R n : x Sx = α (9.8.) (x Sx) = x S x = x Sx = α. (9.8.) Addition von (9.8.) und (9.8.) ergibt α = 0, womit die Behauptung gezeigt ist. 9.8c) Zeigen Sie, dass jede schiefsymmetrische Matrix S in M enthalten ist, also dass I n + S invertierbar ist, wenn S = S. Lösung: Wir nehmen an, dass I n + S nicht invertierbar ist. Die Aussage, dass I n +S nicht invertierbar ist, ist äquivalent zur Aussage, dass es ein x 0 R n gibt, so dass (I n + S)x = 0: (I n + S)x = x + Sx = 0, x 0 R n x x + x } {{ Sx } = x 0 = 0 =0 x x = 0 x x = 0, x 0 ist ein Widerspruch, wodurch gezeigt ist, dass dim (Kern(I n + S)) = 0. Daraus folgt, dass I n + S invertierbar sein muss. 9.8d) Zeigen Sie, S schiefsymmetrisch = C(S) orthogonal. Lösung: Es ist zu zeigen, dass C(S)C(S) = I n. Aus der Definition (9.8.1) entnehmen wir C(S) = (I n + S) 1 (I n S). In 9.8b) haben wir gesehen, dass (I n + A) 1 )(I n A) = (I n A)(I n + A) 1 ). Somit ergibt sich und anschliessend die Orthogonalität 9.8e) Zeigen Sie, C(S) = (I n + S) T (I n A) T = (I n S) 1 (I n + S), C(S) T C(S) = (I n S) 1 (I n + S)(I n + S) 1 (I n S) = I n. Q M orthogonal = C(Q) schiefsymmetrisch. Lösung: Es ist zu zeigen, dass C(Q) = C(Q): C(Q) = (I n + Q) 1 (Q I n ) C(Q) = (I n Q) (I n + Q) = (I n + Q) (I n Q) = (I n + Q 1 ) 1 (I n Q 1 ) = (I n + Q) 1 Q(I n Q 1 ) = (I n + Q) 1 (Q I n ) = C(Q) Q orthogonal Serie 9 Seite 1 Aufgabe 9.8

13 9.8f) Zeigen Sie, dass C(C(S)) = S S R n,n schiefsymmetrisch. Zusammen mit der Aussage von Teilaufgabe 9.8e) bedeutet das, dass C eine bijektive Abbildung zwischen den schiefsymmetrischen Matrizen und einer Teilmenge der orthogonalen Matrizen, nämlichen denen, die in M liegen, definiert. Lösung: Wir verwenden die Definition von C(A) aus 9.8c) C(C(S)) = (I n + C(S)) 1 I n = (I n + (I n + S) 1 I n ) = ((I n + S) 1 ) 1 I n = I n + S I n = S S = S Tipps Tipps für Aufgabe 9. 9.a) Verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe b) 9.c) Bei dieser Aufgabe sollten Sie dem Standardalgorithmus folgen und direkt auf [LANM, Definition III..0.B] aufbauen. Verwenden Sie die Aussage, die in 9.b) zu zeigen war. Tipps für Aufgabe 9. 9.a) Verwenden Sie [LANM, Thm. III.4.0.F] aus der Vorlesung. Erinnern Sie sich an die Tatsache, dass die Spalten der Basiswechselmatrix die Koordinaten der alten Basis B bzgl. der neuen Basis B enthalten. Hier müssen Sie lineare Gleichungssysteme lösen, um diese Koordinaten zu bestimmen. Tipps für Aufgabe a) Beachten Sie, dass für Q R, das Matrixprodukt QQ immer symmetrisch ist. Tipps für Aufgabe 9.7 Verwenden Sie [LANM, Lem. IV...F] aus der Vorlesung. Serie 9 Seite 1 Aufgabe 9.8

14 Tipps für Aufgabe c) 9.8c) Verwenden Sie die Äquivalenz (i) (iii) aus [LANM, Satz III..0.P] und die Aussage von Teilaufgabe 9.8b). Diese Aufgabe lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis lösen. Die Idee des Widerspruchsbeweises ist die folgende: Um eine Schlussfolgerung A B zu zeigen, macht man die Annahme, dass das logische Gegenteil von B gilt und gleichzeitig auch A. Dann schliesst man aus dieser Annahme eine offensichtlich falsche Aussage. Überlegen Sie sich also zuerst, was in dieser Teilaufgabe die logischen Aussagen A und B sind und was das Gegenteil von B bedeutet. Allgemeine Informationen: Abgabe der Serien: Mittwoch, in den Übungen oder bis 15:00 Uhr in den Fächern im Vorraum zum HG G 5. Die Serien müssen sauber und ordentlich geschrieben und zusammengeheftet abgegeben werden, sofern eine Korrektur gewünscht wird. Zentralpräsenz: Die Abgabe der Hausaufgaben wird nachdrücklich empfohlen! Bitte markieren Sie deutlich die Aufgaben, deren Korrektur Sie wünschen! Montags, 17:00-0:00 Uhr, ETH Zentrum, HG E 41. Donnerstags, 17:00-0:00 Uhr, ETH Zentrum, HG E 41. Freitags, 17:00-0:00 Uhr, ETH Zentrum, HG E 41. Bitte erscheinen Sie bereits zwischen 17:00-18:00Uhr, sofern Sie von der Semesterpräsenz profitieren wollen. Homepage: Hier werden zusätzliche Informationen zur Vorlesung und die Serien und Musterlösungen als PDF verfügbar sein. BAUG Veröffentlichung am 6. November 014. Abzugeben bis. Dezember 014. Literatur [LANM] Vorlesungszusammenfassung für die Vorlesung Lineare Algebra und Numerische Mathematik, D-BAUG. Last modified on 5. Juni 015 Serie 9 Seite 14 Literatur