Wahrscheinlichkeits-Modelle. Modellierung WS 2014/15. Wahrscheinlichkeits-Modelle. und stochastische Prozesse. (mit Folien von Prof. H.

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1 Wahrscheinlichkeits-Modelle Modellierung WS 2014/15 Wahrscheinlichkeits-Modelle und stochastische Prozesse (mit Folien von Prof. H. Schütze) Prof. Norbert Fuhr Zufalls-Experiment Ein Zufalls-Experiment ist ein Vorgang, der ein genau abzugrenzendes Ergebnis besitzt, das vom Zufall beeinflusst ist. Beispiele: Würfel Regnet es morgen in Duisburg? Klickt der Benutzer auf das erste Antwortdokument von Google? Wie lange schaut der Benutzer auf das angezeigte Dokument? 1 / 63 2 / 63 Aspekte von Zufallsexperimenten Uns interessierende Aspekte von Zufallsexperimenten: 1. Die möglichen Ergebnisse (Beobachtungen) {1,...,6}, {ja/nein} 2. Die möglichen Fragestellungen Gerade Zahl? Weniger als 10s? 3. die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(gerade) = 0, 5 Der Merkmalsraum Ω Merkmalsraum Ω Ein Merkmalsraum Ω (Stichprobenraum, Grundmenge, Grundgesamtheit) ist eine nicht-leere Menge mit Elementen ω Ω. Ω gibt die möglichen Ausgänge (Ergebnisse) des Zufalls-Experiments an Wir betrachten hier nur den Fall, dass der Merkmalsraum endlich oder zumindest abzählbar ist. Beispiele für Merkmalsräume Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Regen: Ω = {ja,nein} Zeit: Ω = {1, 2,..., 300} (Betrachte angefangene Sekunden, bei mehr als 300s macht der Benutzer Pause) 3 / 63 4 / 63

2 Ereignisse und ihre Verknüpfung Spezielle Ereignisse Ereignisse, Ereignis-System Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Das Ereignis A tritt ein, falls ein Merkmal ω mit ω A beobachtet wird. Die Menge aller betrachteten Ereignisse nennen wir das Ereignis-System A Beispiele für Ereignisse: Würfel: Gerade Augenzahl: A = {2, 4, 6} Zeit: Benutzer schaut max. 5s auf das Dokument A = {1, 2, 3, 4, 5} A = : A ist ein unmögliches Ereignis, weil ω nie eintritt A = Ω : Das Ereignis Ω tritt immer ein A = {ω} für ω Ω: {ω} nennt man ein Elementarereignis Beachte den Unterschied zwischen dem Merkmal ω (Element von Ω) und dem Ereignis {ω} (Teilmenge von Ω) 5 / 63 6 / 63 Zusammengesetzte Ereignisse Verknüpfung von Ereignissen Zusammengesetzte Ereignisse Häufig betrachtet man zusammengesetzte Ereignisse, die als Mengenoperationen von anderen Ereignissen ausgedrückt werden können Beispiele für zusammengesetzte Ereignisse: Würfelzahl > 3 oder gerade Augenzahl A = {4, 5, 6}, B = {2, 4, 6} A B = {2, 4, 5, 6} Benutzer schaut mindestens 2s und höchstens 5s auf das Dokument A = {2, 3..., 300}, B = {1, 2, 3, 4, 5} A B = {2, 3, 4, 5} Verknüpfung von Ereignissen A oder B oder beide treten ein ˆ= ω A B A und B treten (beide) ein ˆ= ω A B A und B treten nie gleichzeitig ein ˆ= A B = A tritt nicht ein ˆ= ω A c ω / A A tritt ein, aber B tritt nicht ein ˆ= ω A\B = A B c = AB c mindestens ein A i tritt ein ˆ= ω i A i = A 1 A 2 alle A i treten ein ˆ= ω i A i = A 1 A 2 Anmerkungen: Statt A B = sagt man auch A und B sind disjunkt A c bezeichnet die Komplementärmenge zu A, also A c = Ω\A AB ist eine in der Stochastik übliche Kurznotation für A B 7 / 63 8 / 63

3 σ-algebra Beschreibbarkeit Abgeschlossenes Mengensystem Als σ-algebra bezeichnet man ein Mengensystem A mit A P(Ω), das die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Ω A 2. A A = A c A 3. A 1, A 2,... A = n N A n A Wir nehmen an, dass jedes Ereignis-System A abgeschlossen ist. Beispiel: Ω = {1, 2, 3, 4} A = {{1, 2}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4}, } Beispiel: X Zufallsvariable für Würfelergebnis gerade/ungerade G = gerade Augenzahl beim Würfeln G = {ω Ω : X (ω) = gerade} Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω = {gerade, ungerade} A = {gerade} G = {X A } {X A } durch X beschreibbar Ist X eine Abbildung Ω Ω und A Ω, dann definiert man {X A } := {ω Ω : X (ω) A } Eine Teilmenge von Ω der Form {X A } heißt durch X beschreibbar. 9 / / 63 Zufallsvariable Zufallsvariable (ZV) Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Abbildung vom Merkmalsraum Ω mit Ereignissystem A in eine Bildmenge Ω mit Ereignissystem A. Gilt A P(Ω) und ist A das Ereignissystem in Ω, dann wird für eine ZV X : Ω Ω gefordert Anmerkungen {X A } A für alle A A Für Zufallsvariable verwendet man meist Großbuchstaben X, Y, Z, U, V, W Für Ereignisse verwenden wir A, B, C,... Beispiele: A = {X > 3}, B = {X = 2} {X = 4} {X = 6} Gesetz der großen Zahlen Empirisches Gesetz h n (A) P(A) Wird ein Zufalls-Experiment n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt mit Beobachtungswerten x 1, x 2,..., x n, dann konvergieren die relativen Häufigkeiten h n (A) := 1 n (Anzahl der x i mit x i A) für n gegen einen Grenzwert. 11 / / 63

4 Gesetz der großen Zahlen Beispiel: Würfeln einer bestimmten Augenzahl Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit 1. P(A) 0 2. P(A) 1 3. P(Ω) = 1 4. P( ) = 0 5. P(A 1 + A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) 6. P(A A n ) = P(A 1 ) + + P(A n ) 7. P(A 1 + A 2 + ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + Law-of-large-number von Jörg Groß - Eigenes Werk. Lizenziert unter Creative Commons Attribution-Share Alike über Wikimedia Commons 13 / / 63 Wahrscheinlichkeits-Maß Schreibweise für Ereignisse Wahrscheinlichkeits-Maß P : A R Eine Abbildung P : A R, wobei A eine σ-algebra über Ω ist, heißt Wahrscheinlichkeits-Maß (W-Maß) auf A, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: (1) P(A) 0 für alle A A (Nichtnegativität) (2) P(Ω) = 1 (Normiertheit) (3) P( i=1 A i) = i=1 P(A i) (σ-additivität) Anmerkung: Die Schreibweise i=1 A i soll immer die Voraussetzung Alle A i sind paarweise disjunkt implizit voraussetzen. Vereinfachte Schreibweise für Ereignisse P(X A ) := P({X A }) Beispiele: Münze: P(X =Kopf)=P(X =Zahl) = 0, 5 Würfel: P(W = 6) = / / 63

5 Wahrscheinlichkeitsraum Bernoulli-Experiment Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) Das Tripel aus Merkmalsraum Ω, Ereignissystem A und Ereignis-Maß P nennt man Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum) oder Wahrscheinlichkeitsmodell (W-Modell) Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Merkmalsraum: Ω = {0, 1} Man bezeichnet ω = 1 als Erfolg und ω = 0 als Misserfolg Ω = {0, 1}, A = P(Ω) P({1}) = p P({0}) = 1 p, 0 p 1 p bezeichnet man als Parameter der Bernoulli-Verteilung Beispiel: Münzwurf 17 / / 63 Laplace-Experimen Beispiele für Laplace-Experimente Laplace-Experiment Ein Zufallsexperiment mit endlich vielen und gleichwertigen Ausgängen heißt Laplace-Experiment. Ω = {1, 2,..., N}. Aus P({1}) = P({2}) = = P({N}) folgt P({1}) = 1/N. Für beliebige Ereignisse A gilt wegen A = ω A {ω}: P(A) = A Anzahl der (für A) günstigen Fälle = Ω Anzahl der möglichen Fälle Würfel: P(W = 6) = 1/6 P(W = gerade) = 3/6 Roulette: P(X = 13) = 1/37 P(X = gerade) = 18/37 19 / / 63

6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Verkettungsregel Elementare bedingte Wahrscheinlichkeit Seien A, B Ereignisse in Ω und sei P(B) > 0. Dann heißt P(A B) = P(AB) P(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B Ferner gilt P(AB) = P(B) P(A B) Beispiel: Würfel A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} P(A B) = P(AB) P(B) = {4, 6} /6 {4, 5, 6} /6 Verkettungsregel Für drei Ereignisse A, B, C gilt analog die Formel P(ABC) = P(A) P(B A) P(C AB) Beispiel: Roulette A = {Z gerade}, B ={Z > 24}, C = {Z schwarz} P(ABC) = P(Z gerade) P(Z> 24 Z gerade) P(Z schwarz Z > 24, Z gerade) 21 / / 63 Totale Wahrscheinlichkeit Totale Wahrscheinlichkeit Ist (B i, i I ) eine abzählbare Zerlegung von Ω d.h. es gilt Ω = i I B i, dann gilt P(A) = i I Beispiel: (Roulette) P(X gerade) = = P(AB i ) = i I 36 i=0 36 i=0 = P(B i ) P(A B i ) P(X = i X gerade) P(X = i)p(x gerade X = i) Totale Wahrscheinlichkeit Beispiel 2 Beispiel (Roulette) P(X gerade) = = 3 P(X i.dutzend X gerade) i=1 3 P(X i.dutzend)p(x gerade X i.dutzend) i=1 = / / 63

7 Stochastische Unabhängigkei Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig wenn gilt Beispiel: Statistische Sprachmodelle Deutsche Wortschatz-Datenbank P(AB) = P(A) P(B) Beispiel: Zwei Würfel P(6er Pasch) = P(W 1 = 6) P(W 2 = 6) Stochastische Unabhängigkeit von n Ereignissen Die Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen stochastisch unabhängig, wenn für alle endlichen Teilmengen{A i1, A i2,... A ik } von diesen Ereignissen die Produktformel gilt: P(A i1, A i2,... A ik ) = P(A i1 ) P(A i2 ) P(A ik ) 25 / / 63 Beispiel: Statistisches Sprachmodell Modelle für stochastische Prozesse w i log 2 (P(W = w i )) w j log 2 (P(W = w j )) Dieser 5 Manche 9 Text 9 Informatiker 13 ist 2 sind 3 einfach 6 Nerds 16 P(Dieser Text ist einfach) = =P(dieser) P(Text) P(ist) P(einfach) = = 2 22 P(Manche Informatiker sind Nerds) = = = 2 41 Stochastischer Prozess Für einen stochastischen Prozess benötigt man: W-Modell (Ω, A, P) Bildbereich Ω Zeitbereich T Zufallsvariable X t : Ω Ω gibt den Zustand zum Zeitpunkt t Dann heißt {X t } := (X t, t T ) ein stochastischer Prozess. Ω = {auf,zu} 27 / / 63

8 Modellierung stochastischer Prozesse Markov-Kopplung Markov-Kopplung Hängen bei einem mehrstufigen Versuch die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht von der vollen Vorgeschichte ab, sondern nur vom letzten beobachteten Wert, so spricht man von Markov-Kopplung. Die Folge der Beobachtungen bildet dann einen Markov-Prozess, im diskreten Fall auch Markov-Kette genannt. 29 / / 63 Beispiel: Sprachmodell als Markov-Kopplung Markov-Kette Hans programmiert. Paul begrüßt Lisa. Uwe trinkt ein kühles Pils. Das schnelle Auto überholt den schweren LKW. Anmerkungen Annahme einer Markov-Kopplung ist starke Vereinfachung Weitere Aspekte von Syntax (+Semantik) unberücksichtigt Der grüne Auto isst Spinat Solche Modelle eignen sich primär zur Analyse von Texten (und weniger zur Generierung) Markov-Kette Eine Markov-Kette ist ein stochastischer Prozess, speziell die Folge der Beobachtungen X 0, X 1, X 2,... in einem unendlichstufigen Versuch mit Markov-Kopplung und abzählbarer Zustandsmenge I. Die Zustandsvariablen X n : Ω I beschreiben also den Zustand des Systems zu den Zeitpunkten n = 0, 1, 2, / / 63

9 Homogene Markov-Kette (HMK) Beispiel zu homogener Markov-Kette Homogene Markov-Kette Eine Markov-Kette {X n } heißt homogen, falls die Übergangswahrscheinlichkeiten fn n 1 (i, j) = P(X n = j X n 1 = i) für alle Zeitpunkte gleich sind. In diesem Fall schreibt man p ij := fn n 1 (i, j). 33 / / 63 Übergangsmatrix Übergangsgraph Übergangsmatrix Die Matrix P := (p ij, i, j I ) heißt Übergangsmatrix (Ü-Matrix). Die Zeilensumme ist stets =1. (p ij ) = 0, 7 0, 3 0 0, 2 0, 5 0, 3 0, 1 0, 4 0, 5 Übergangsgraph Ein Übergangsgraph einer HMK besteht aus Knoten: alle möglichen Zuständen des Graphen gerichtete Kanten: mit positiver Wahrscheinlichkeit mögliche Übergänge an der Kante von i nach j wird jeweils der Wert p ij notiert. 35 / / 63

10 Beispiel zu Übergangsgraph Startpunkt Zur Beschreibung des Ablaufs einer Markov-Kette benötigt man neben der Ü-Matrix noch entweder einen festen Startpunkt i 0 I oder eine Startverteilung, nämlich eine Z-Dichte P(X 0 = i), i I Dann ist die Wahrscheinlichkeit für jede endliche Zustandsfolge festgelegt durch P(X 0 = i 0,..., X n = i n ) = P(X 0 = i 0 ) p i0 i 1 p in 1 i n P(X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2, X 3 = 1, X 4 = 0) = 1 p 01 p 12 p 21 p / / 63 Pfad Rechenregeln für eine MK Pfad der Markov-Kette Ein einzelner Verlauf einer Markov-Kette für eine festen Wert ω, also (X 0 (ω), X 1 (ω),...) heißt ein Pfad der Markov-Kette. Beispiel Hans trinkt ein kühles Pils Pfad: Start SNomen Verb OArtikel OAdjektiv ONomen Ende P(Pfad) = 1 0, 5 1 0, 5 0, = 0, 075 Rechenregeln für eine MK Für ein homogene Markov-Kette mit Ü-Matrix (p ij ) i,j I und Startverteilung P(X 0 = i), i I ) gilt P(X 0 = i 0,..., X n = i n ) = P(X 0 = i 0 ) p i0 i 1 p in 1 i n P(X n = j) = i I P(X n 1 = i) p ij bzw. p n = p n 1 P n-schritt-übergangsmatrix Für eine HMK (X n ) ist die Matrix P (n) = (p (n) ij ) mit ) := P(X m+n = j X m = i) unabhängig von m und heißt (p (n) ij n-schritt-übergangsmatrix 39 / / 63

11 Beispiel zur Berechnung der W-Verteilung im Folgezustand P = Sei p n 1 = (0,5, 0,3, 0,2) 0, 7 0, 3 0 0, 2 0, 5 0, 3 0, 1 0, 4 0, 5 p n = p n 1 P = (0,5, 0,3, 0,2) P = (0,5 0,7 + 0,3 0,2 + 0,2 0,1, 0,5 0,3 + 0,3 0,5 + 0,2 0,4, 0, ,3 0,3 + 0,2 0,5) = (0,35 + 0,06 + 0,02, 0,15 + 0,15 + 0,08, 0 + 0,09 + 0,1) = (0,43, 0,38, 0,19) irreduzibel Zerlegung in Klassen, irreduzibel Zustandsmenge I einer HMK wird in disjunkte Klassen zerlegt: zwei Zustände i und j gehören zur selben Klasse, wenn i = j oder Zustand j ausgehend von i in endlich vielen Schritten mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht werden kann (i j) und umgekehrt i von j aus erreichbar ist (j i). Jeder Zustand i I gehört zu genau einer Klasse k. Eine HMK heißt irreduzibel, falls alle Zustände zur selben Klasse gehören Einfaches Beispiel einer reduziblen HMK: ( 1 α α 0 1 ) 41 / / 63 aperiodisch Gleichgewicht Periode, aperiodisch Klasse K heißt periodisch mit Periode d, wenn es d ( 2) disjunkte Teilmengen in K gibt, die der Reihe nach in d Schritten durchlaufen werden. Eine HMK heißt aperiodisch, wenn es keine periodische Klasse gibt. Einfaches Beispiel einer periodischen HMK: ( ) Markov-Kette im Gleichgewicht Eine homogene Markov-Kette (X n ) ist im Gleichgewicht, wenn für alle Zustände i I die Wahrscheinlichkeiten P(X n =i) unabhängig vom Zeitpunkt n sind. Man setzt dann π i := P(X n =i) bzw. π := p n und bezeichnet die Z-Dichte π = (π i, i I ) als Gleichgewichtsverteilung (GGV) der HMK (X n ) 43 / / 63

12 Berechnung der Gleichgewichtsverteilung (GGV) Berechnung der Gleichgewichtsverteilung Die HMK (X 0, X 1,...) mit Ü-Matrix (p ij, i, j I ) sei im Gleichgewicht, d.h. es gelte P(X n = i) = π i bzw. p n = π für alle n = 0, 1, 2... und i I. Wegen P(X n = j) = i I P(X n 1 = i) p ij gelten dann für alle Werte π i, i I die folgenden beiden Gleichgewichtsbedingungen: π j = i I π i p ij für alle j I bzw. π = πp Berechnung der Gleichgewichtsverteilung Beispiel (p ij ) = Gleichgewichtsbedingungen 0, 7 0, 3 0 0, 2 0, 5 0, 3 0, 1 0, 4 0, 5 π 0 = 0, 7π 0 + 0, 2π 1 +0, 1π 2 π 1 = 0, 3π 0 + 0, 5π 1 +0, 4π 2 π 2 = 0, 3π 1 +0, 5π 2 und π 0 + π 1 + π 2 = 1 π j 0 für alle j I und j I π j = 1 π 0 = , 35 π 1 = , 41 π 2 = 9 0, / / 63 Eigenvektor der Übergangsmatrix Definition Eigenvektor einer Matrix Betrachtet man die durch die Matrix A definierte Abbildung, so ist ein Eigenvektor ein Vektor dessen Richtung durch diese Abbildung nicht verändert wird, d.h. es gilt λ π T = A π T mit λ R (Rechtseigenvektor) und analog λ π = πa mit λ R (Linkseigenvektor). Für den Vektor der GGV gilt: Grenzwertsatz für homogene Markov-Ketten Grenzwertsatz für homogene Markov-Ketten Ist die HMK(X n ) mit Ü-Matrix (p ij, i, j I ) irreduzibel und aperiodisch, dann konvergiert (für alle i I ) P(X n = i) unabhängig von der Startverteilung gegen einen Wert π i mit 0 π i 1. Dabei sind a) entweder alle π i = 0, und es gibt keine GGV zu (p ij ), b) oder es sind alle π i > 0, und (π i, i I ) ist die einzige GGV zu (p ij ), π = πp mit j I π j = 1 Fall a) kommt nur bei unendlicher Zustandmenge vor. π ist daher ein Linkseigenvektor der Ü-Matrix P 47 / / 63

13 Unendlicher Zustandsmenge ohne GGV Beispiel: überlastete Warteschlange Alternative Methode zu Berechnung der GGV Basierend auf dem Grenzwertsatz Ist die HMK(X n ) mit Ü-Matrix (p ij, i, j I ) irreduzibel und aperiodisch, dann konvergiert (für alle i I ) P(X n = i) unabhängig von der Startverteilung gegen einen Wert π i mit 0 π i 1. Sei x der Vektor mit x i = P(X n = i) für alle i I Beginne mit beliebiger Startverteilung x Berechne Verteilung im nächsten Zustand als xp. Nach zwei Schritten sind wir bei xp 2. Nach k Schritten sind wir bei xp k. Algorithmus: multipliziere x mit steigenden Potenzen von P, bis Konvergenz erreicht ist Ergebnis ist unabhängig vom Startvektor 49 / / 63 Potenzmethode zur Berechnung der GGV Beispiel zur Berechnung der GGV Startvektor Verfahren mit steigenden Potenzen von P wird Potenzmethode genannt (engl. power method) Berechne die GGV der folgenden Markov-Kette: x = (0.25, 0.75) x 1 x 2 P t (d 1 ) P t (d 2 ) p 11 = 0.25 p 12 = 0.75 p 21 = 0.25 p 22 = 0.75 t t (Konvergenz) P t (d 1 ) = P t 1 (d 1 ) p 11 + P t 1 (d 2 ) p 21 P t (d 2 ) = P t 1 (d 1 ) p 12 + P t 1 (d 2 ) p 22 GGV: π = (π 1, π 2 ) = (0.25, 0.75) 51 / / 63

14 Beispiel zur Berechnung der GGV Fester Startzustand Potenzmethode: Beispiel 2 x 1 x 2 P t (d 1 ) P t (d 2 ) p 11 = 0.25 p 12 = 0.75 p 21 = 0.25 p 22 = 0.75 t t t (Konvergenz) Bestimme die GGV für folgende Markov-Kette: P t (d 1 ) = P t 1 (d 1 ) p 11 + P t 1 (d 2 ) p 21 P t (d 2 ) = P t 1 (d 1 ) p 12 + P t 1 (d 2 ) p 22 GGV: π = (π 1, π 2 ) = (0.25, 0.75) 53 / / 63 Berechnung der GGV: Potenzmethode Potenzmethode für das Telefon-Beispiel x 1 x 2 P t (d 1 ) P t (d 2 ) p 11 = 0.1 p 12 = 0.9 p 21 = 0.3 p 22 = 0.7 t = xp t = xp 2 t = xp 3 t = xp t = xp GGV: π = (π 1, π 2 ) = (0.25, 0.75) P t (d 1 ) = P t 1 (d 1 ) p 11 + P t 1 (d 2 ) p 21 P t (d 2 ) = P t 1 (d 1 ) p 12 + P t 1 (d 2 ) p 22 0, 7 0, 3 0 0, 2 0, 5 0, 3 0, 1 0, 4 0, 5 x 0 x 1 x 2 xp 1,00 0,00 0,00 xp 2 0,70 0,30 0,00 xp 3 0,55 0,36 0,09 xp 4 0,47 0,38 0,15 xp 5 0,42 0,39 0,19 xp 6 0,39 0,40 0,21 xp 7 0,37 0,40 0,23 xp 8 0,36 0,40 0,23 xp 9 0,36 0,40 0,24 xp 10 0,36 0,40 0,24 xp 11 0,35 0,40 0,24 xp 12 0,35 0,41 0,24 xp 13 0,35 0,41 0,24 55 / / 63

15 Anwendung der GGV beim Web-Retrieval PageRank versucht, Web-Seiten gemäß ihrer Popularität zu gewichten Popularität hängt ab von der Zitationshäufigkeit (eingehende Web-Links) und von der Popularität der referenzierenden Seiten PageRank PageRank d d d d d d d / / 63 Begründung der PageRank-Methode Random Surfer Grundlage von PageRank klickt sich durch das Web, wobei er zufällig auf einen der ausgehenden Links einer Seite klickt (Gleichverteilung über die ausgehenden Links) Teleportation: gibt es keine ausgehenden Links, geht er auf eine zufällige andere Web-Seite Auch auf einer Seite mit ausgehende Links geht er mit 10% Wahrscheinlichkeit auf eine zufällige andere Seite PageRank PageRank d d d d d d d / / 63

16 Übergangsmatrix ohne Teleportation Übergangsmatrix mit Teleportation d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d d d d d d d d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d d d d d d d / / 63 Anwendung der Potenzmethode xp k x xp 1 xp 2 xp 3 xp 4 xp 5 xp 6 xp 7 xp 8 xp 9 xp 10 xp 11 xp 12 xp 13 d d d d d d d / 63