Planungsblatt Mathematik für die 5B

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1 Planungsblatt Mathematik für die 5B Woche 5 (von 010 bis 0610) Hausaufgaben 1 Bis ienstag 0310: Erledige und/oder lerne die Aufgaben 307(a)(c)(d), 310(a)(b)(c)(d), 31(a)(b)(c) Bis Mittwoch 010: Erledige und/oder lerne die Aufgaben 315, 316(a)(b), 317(a)(b)(i), 319 Bis Montag 0910: Erledige die Aufgaben von 30(a), 3, 33, 3, 38, 39, 330, die im Unterricht noch nicht besprochen wurden Kernbegriffe dieser Woche: Typ-1 und Typ- Aufgaben, quadratische Gleichungen, abc-formel, pq-formel, Parabeln, Nullstellen allgemein Ungefähre Wochenplanung Schulübungen (a) iese Woche wird viel mit den Lösungsformeln gerechnet! (b) Montag ( Std): (i) HÜ-Bespr und evt mswh, (ii) 307(a)(c)(d), 310(a)(b)(c)(d), 31(a)(b)(c) (c) ienstag (3 Std): (i) HÜ-Bespr und evt mswh, (ii) 315, 316(a)(b), 317(a)(b)(i), 319, (iii) Für welchenz hat die Gleichungx 8x+z keinelösung? Interpretieregeometrisch! (d) Mittwoch (6 Std): (i) HÜ-Bespr und evt mswh (ii) Anwendungen: 30(a), 3, 33, 3, 38, 39, 330 (oder Auswahl) Unterlagen auf wwwmatunivieacat/~westra/eduhtml 1 Für manche Aufgaben wird auf Rückseite/Anhang/Buch/Arbeitsblatt verwiesen 1

2 as Lösen quadratischer Gleichungen: die FORMEL Woche 5 Eine Gleichung von der Form ax +bx+c = 0 mit a,b,c R und a 0, oder jede, die du auf diese Form bringen kannst, heißt eine quadratische Gleichung Vorige Woche waren schon mehrere Beispiele, es wäre sinnvoll, wenn du die richtig gut studiert hast ie pq-formel Betrachten wir zuerst den normierten Fall: Wir bringen zuerst q auf die andere Seite: x +px+q = 0 x +px = q Nun möchten wir (x+a) = x +Ax+A benutzen; dann muss aber A = p sein, und auch ein A fehlt Aber kein Problem, dann addieren wir das, was fehlt a A = p/ muss also A = p / Wir addieren also p / und bekommen x +px+ p = p ( er große Trick ist jetzt, dass die linke Seite mit x+ ) p übereinstimmt (kontrolliere das!), also (x+ p ) = p ann können wir nun vielleicht die Wurzel ziehen, aber das geht nicht, wenn die rechte Seite negativ ist Wir nennen die rechte Seite nun die verkürzte isktriminante und schreiben dafür d, also, wir nennen ann gibt es jetzt drei Fälle zu unterscheiden: Fall 1: ie verkürzte iskriminante ist kleiner als Null ann können wir die Wurzel nicht ziehen und es gibt keine Lösungen Fall : ie verkürzte iskriminante ist Null ann ist die Wurzel davon auch Null, und dann bekommen wir also x+ p = 0, mit anderen Worten, es gibt dann genau eine Lösung und zwar x = p Fall 3: ie verkürzte iskriminante ist positiv, dann können wir die Wurzel ziehen, müssen aber auch die negative Wurzel betrachten: x+ p = ± d = x = p ± d = p ± p ies lässt sich elegant wie x = p ± d zusammenfassen ie abc-formel auf elegante Weise

3 Wir nehmen die Form ax + bx+c = 0 abei darf a nicht Null sein Somit ist das ividieren durch oder Multiplizieren mit a eine Äquivalenzumformung Wir multiplizieren mit a und bekommen: a x +bax+ac = 0 Nun sehen wir, dass eigentlich die Kombination ax vorkommt; um dies deutlich zu machen nenne ich t = ax und dann ist obige Gleichung die folgende a x +bax+ac = (ax) +b(ax)+ac = t +bt+ac = 0 ies ist genau die Gleichung in pq-form! Wir könnten also zwei inge tun: Entweder das obige Wiederholen, oder die Formel benutzen mit p = b und q = ac Tun wir zuerst das erste (das zweite ist unten bei, und formen um: wir adderen das Quadrat von b/ und bringen die rechte Seite auf einen Nenner t +bt = ac t +bt+ b = b ac t +bt+ b = b ac und wiedererkennen, dass die linke Seite das Quadrat von t+ b ist ( t+ b ) = b ac Nun hängt alles sehr kritisch von der sogenannten iskriminante ab, wobei die iskriminante der Ausdruck im Zähler der rechten Seite ist: Wir haben wieder drei Fälle: Fall 1: < 0, und es gibt keine Lösungen = b ac Fall : = 0, dann gibt es genau eine Lösung und zwar t = b Nun müssen wir uns aber erinnern, dass t = ax, also x = t/a und somit x = b a Fall : > 0 und dann gibt es zwei Lösungen: Nun aber, x = t/a, also t = b ± = b ± = b± x = b± a ann jetzt die andere Methode, wir starten wieder bei t + bt + ac = 0 und wiedererkennen, dass p = b und q = ac ie verkürzte iskriminante ist dann q = b ac = b ac en Zähler der rechten Seite nennen wir, die iskriminante Es gibt wieder drei Fallunterscheidungen Wenn = b ac < 0, dann gibt es keine Lösungen Wenn = 0, dann gibt es genau eine und zwar t = p = b = x = t a = b a 3

4 Falls > 0, dann t = p ± (p/) q also, mit x = t/a ist das x = p a ± b / ac = p b ac a a ± = b± b ac a ie abc-formel auf kurze Weise Wir nehmen die Gleichung ax +bx+c = 0 und dividieren durch a und bekommen dann x + b a x+ c a = 0 Wir identifizieren dann p = b a und q = c a Somit ist die verkürzte iskriminante d gegeben durch und dies bringen wir auf einen Nenner a : q = b a c a d = b ac a Nun nennen wir den Zähler = b ac und bekommen dann also d = a Wenn wir die pq-formel mal anschauen x = p ± d, sehen wir folgendes ± d = ± a, weil wir BEIE Vorzeichen betrachten, und a = a, aber da ±a = ± a Kontrolliere mal für Zahlen: wenn a positiv ist, dann ist a = a und also kein Problem, wenn a < 0, dann a = a und daher mit pm haben wir beide Vorzeichen, nur in anderer Reihenfolge arum ist wegen p = b a die gesuchte Lösung x = b a ± a = b±, a falls > 0 Wenn = 0 gibt es nur eine Lösung, und wenn < 0 dann gar keine ie abc-formel auf brutale Weise Wir nehmen die Formel einfach an und kontrollieren sie! Hierbei müssen wir also direkt schon mal annehmen, dass = b ac 0 Wir nehmen zuerst x = b+ a und bilden das Quadrat Wir multiplizieren dies mit a und bekommen ( b+ ) x b b + = = a a (1) : ax = b b + a ann mulitplizieren wir den Ausdruck für x mit b und bekommen () : bx = b +b a

5 Nun nehmen wir die Summe von (1), () und c und bringen dies auf den gemeinsamen Nenner, welcher a ist: ax +bx+c = b b + + b +b + ac a a a und bekommen also im Zähler den Ausdruck b b + b +b +ac = b +ac+ aber das ist Null! Eben weil = b ac Mit dem Minus, also für x = b a dieselbe Weise, und überlasse ich EUCH als Übung geht es auf Also, falls > 0 kontrollieret man einfach aber brutal die Korrektheit der Lösung Falls es keine Lösung gibt, wenn < 0 sieht man jetzt aber nicht so deutlich Nur, dass dann die Formel nicht funktioniert Wenn = 0 sieht man aber dass die Formel nur eine Lösung ergibt, denn ± 0 = ±0 = 0 5