Lehrstuhl für Statistik und emp. Wirtschaftsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Musterlösung zur Diplomprüfung Ökonometrie im WS 08/09

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1 Aufgabe : [5 Punkte] Ihnen legen 855 Beobachtungen aus dem Current Populaton Survey aus dem Jahr 988 vor. Unter anderem snd folgende Varablen enthalten: wage Lohn n US-Dollar, exper Berufserfahrung n Jahren, educ Schulbldung n Jahren, nonwhte Dummyvarable ( eße(r) und andere ethnsche Zugehörgket), male Dummyvarable ( rau und Mann). Se nteresseren sch für de Determnanten des Lohnes ener Person und schätzen herzu folgendes Modell: log wage β + β exper + β exper + β educ + β nonwhte + β male + ε ( ) 3 5. De Auswertung der Stchprobe ergbt folgenden Output: Call: lm(formula log(wage) ~ exper + I(exper^) + educ + nonwhte + male) Coeffcents: Estmate Std.Err. t value Pr(> t ) (Intercept) < e-6 exper < e-6 I(exper^) < e-6 educ??? < e-6 nonwhte -.3??? -8.8 < e-6 male Sgnf. codes: ***. **. *.5.. Resdual standard error:.5839 on 89 degrees of freedom Multple R-Squared:.337, Adjusted R-squared:??? -statstc:??? on 5 and 89 D, p-value: <.e-6 a) Berechnen Se unter Angabe des Rechenwegs (6 Punkte) a) den geschätzten Koeffzenten für β 3 ; b - t se( ) b3 b 3 3 a) den Standardfehler für b ; b se( b ).9 tb a3) en 95% Konfdenzntervall für b ; - [ b ±.96 se( b )] [.77 ±.96.88] [.597 ;.9] a) das korrgerte R ; N R N K ( ) (.337). 336 R a5) de -Statstk des Gesamtmodells.

2 - R / ( K ) ( R )/( N K ).337 /( 6 ) (.337) /( 855 6) 83.7 b) Se schätzen en weteres Modell ohne exper und exper, das R betrage.953. ühren Se unter Angabe des Rechenwegs auf dem 5%-Nveau enen -Test auf gemensame Sgnfkanz der beden Koeffzenten der Berufserfahrung durch. Geben Se herzu auch de Null- und de Alternatvhypothese sowe den krtschen ert an. ( Punkte) - ( R R )/ J ( R )/( N K ) ( ) / (.337) /( 855 ) 6 : exper exper - H β β H : mndestens ener der beden geschätzten Koeffzenten - 3. krt ; > 3., H wrd abgelehnt. c) Berechnen Se den margnalen Effekt enes zusätzlchen Jahres Berufserfahrung am Stchprobenmttelwert von 8 Jahren und nterpreteren Se desen kurz nhaltlch. (3 Punkte) - ( wage ) log exper.77. exper Am Stchprobemttelwert von 8 Jahren Berufserfahrung geht c.p. en weteres Jahr Berufserfahrung mt gut % höherem erwartetem Lohn enher. d) Interpreteren Se den Koeffzenten b 5 nhaltlch und statstsch. ( Punkt) - Der mttlere Lohn st für Männer unter sonst glechen Bedngungen m Vgl. zum Lohn für rauen um über 8% höher (exakt: exp(.8)-., also gut %) - Der Koeffzent st auf dem 5%-Sgnfkanznveau statstsch sgnfkant von Null verscheden, (genauer: auf dem %-Nveau sgnfkant, da p-ert von.7). ε. e) Se vermuten, dass de ehlertermvaranz mt Bldung varert: var( ) σ educ e) Man kann de Schätzglechung so transformeren, dass homoskedastsche ehlerterme resulteren. Stellen Se am Bespel dese Transformaton dar und zegen Se formal de Auswrkung auf de Varanz des Störterms. ( Punkte) - Modell transformeren, ndem alle Varablen mt educ multplzert werden: - ( wage ) log educ β exper exper educ nonwhte + β + β + β3 + β + β5 educ educ educ educ educ male educ + ε educ - Varanz des transformerten Störterms st homoskedastsch: var ε var educ educ { ε } σ educ σ educ e) elche wetere Möglchket haben Se, um dem Problem heteroskedastscher ehlerterme zu begegnen? Benennen Se dese und geben Se je enen Vor- und Nachtel an. (3 Punkte) - Berechnung von hte-korrgerten Standardfehlern

3 (ncht erwartet) mttels ar ˆ { } - Vortel(e): N N N v b x x e x x x x, wobe e der KQ-Störterm st. n n n. De Korrektur kann angewendet werden, ohne de genaue orm der Heteroskedaste zu kennen, es st also en allgemen anwendbares Verfahren. oder. De Korrektur kann aus KQ-Schätzwerten berechnet werden. - Nachtel: Kennt man de genaue orm der Heteroskedaste, so snd andere Schätzer, we z.b. der GLS- Schätzer, effzenter als KQ mt hte-standardfehlern. f) Se vermuten weterhn, dass en Spezfkatonsproblem vorlegen könnte und wollen des mt enem RESET-Test überprüfen. Erläutern Se am Bespel zunächst de Vorgehenswese deses Tests und beschreben Se de zugrunde legende Test-Idee. ( Punkte) - Vorgehenswese: KQ schätzen, vorhergesagte erte berechnen, Polynom blden und als Regressoren mt ns Modell aufnehmen, z. B. log ( wage ) β + β exper + β exper + β educ + β nonwhte + β male + β predct( log( wage )) + ε 3 5 6, anschleßend β 6 per t- oder -Test auf statstsche Sgnfkanz testen. Besteht dese, st das Modell fehlspezfzert. - Test-Idee: Solange de vorhergesagten erte noch Erklärungsgehalt haben, st der Erklärungsgehalt von X noch ncht vollständg ausgeschöpft. Aufgabe : [8 Punkte] Se untersuchen den Zusammenhang zwschen Arbetslosgket und Armut anhand von Jahresdaten für den Zetraum von 98 bs 3. Se schätzen folgendes Modell: povertyt β + βunempl t + ε t, mt poverty t Armutsrate n Jahr t, n %, unempl t Arbetslosgketsrate n Jahr t, n %. a) Se vermuten, dass de Störterme autokorrelert sen könnten. Der geschätzte Autokorrelatonskoeffzent ρˆ betrage.876. Approxmeren Se de Teststatstk des Durbn-atson Tests und testen Se auf dem 5% Nveau, ob postve Autokorrelaton erster Ordnung vorlegt. Geben Se herzu auch de Nullhypothese, de Alternatvhypothese sowe de rehetsgrade und de krtschen erte an. (5 Punkte) - dw ˆ ρ H ρ ; H : ρ : > - mt den rehetsgraden K (nkl. Konstante) und T Beobachtungen erhält man: d L.7 ; d U < dw <.5. De Teststatstk legt m Inkonklusonsberech, es kann also am 5%-Nveau kene Aussage über postve Autokorrelaton erster Ordnung gemacht werden. b) e ändern Se das Testprozedere, wenn zusätzlch de verzögerte abhängge Varable als Regressor m Modell berückschtgt wrd? Erläutern Se Ihre Vorgehenswese. (3 Punkte) 3

4 - Asymptotscher Test: De Resduen aus t, ε t, werden regressert auf unempl t, poverty t- sowe ε t- ; - Zwe Alternatven: ) Mt enem t-test kann sodann getestet werden, ob der Koeffzent zu ε t-, ρ, statstsch sgnfkant von Null verscheden st; des würde auf Autokorrelaton schleßen lassen. ) R der Hlfsregresson heranzehen und Teststatstk (T-) R berechnen. Dese st χ -vertelt mt enem rehetsgrad. Ist de Teststatstk größer als der krtsche ert, wrd H : ρ verworfen. Aufgabe 3: [5 Punkte] Se wollen den Zusammenhang zwschen Abturnoten (Abnote ) und amlenenkommen (amenk ) untersuchen und formuleren herzu das folgende Modell: Abnote β + βamenk + υ. Se vermuten, dass das amlenenkommen durch de enzg beobachtbare Varable H (Haushaltsenkommen) fehlerhaft gemessen wrd: H amenk + u. Es gelte herbe, dass υ und u sowe amenk und u unkorrelert snd. a) Zegen Se kurz, welche Auswrkung der Messfehler n der erklärenden Varable auf de Kovaranz zwschen geschätztem ehlerterm des Modells und erklärender Varable hat; unterstellen Se herfür enen postven Enfluss des amlenenkommens auf de Abturnote. (3 Punkte) - Unter Beachtung des Messfehlers lautet de unkton Abnote ( H u ) + υ β + β H + υ β u β + β H + β + β ε - E{ H ε } E{ ( amenk + u )( υ β u )} β σ... u - Be postvem Enfluss des amlenenkommens auf de Abturlestung, β >, snd H und ε negatv mtenander korrelert. b) Erläutern Se kurz de Auswrkungen des Messfehlers auf den KQ-Schätzer. ( Punkte) - Der KQ-Schätzer st nkonsstent. - attenuaton bas : (ncht erwartet:) plm b σ u β, mt σ u > folgt b < β. σ amenk + σ u - Verzerrung zur Null hn, wahrer Effekt wrd unterschätzt. ε Aufgabe : [ Punkte] Se nteresseren sch für de Determnanten des Monatsverdenstes enes Abturenten. Ihnen legen dazu Daten über de Punktezahl m Abturzeugns S und das Alter A vor. Se wollen folgendes Modell schätzen: β + β S + β A + ε. Se vermuten, dass m vorlegenden all de Varable Punktezahl m Abturzeugns endogen st und beschleßen, enen IV-Schätzansatz anzuwenden.

5 a) Stellen Se de dre Momentenbedngungen für den IV-Schätzer auf und erläutern Se nhaltlch, warum her möglcherwese ene Instrumentvarable benötgt wrd. ( Punkte) - E{ ε } E{ β β S β A } - E{ ε A } E{ ( β β S β A ) A } - E{ ε z } E{ ( β β S β A ) z } - Es könnte sen, dass en weterer, unbeobachteter aktor, der m ehlerterm aufgefangen wrd, sowohl Schulbldung als auch Verdenst beenflusst (z.b. Dszpln, Motvaton), damt aber wäre de Schulbldung mt dem ehlerterm korrelert, der KQ-Schätzer wäre nkonsstent. b) Erläutern Se kurz den zentralen Untersched zwschen dem IV-Schätzer und dem GIVE-Schätzer. ( Punkt) - IV: Ene Instrumentvarable pro endogener Varable - GIVE: Mehrere Instrumentvarablen pro endogener Varable (ncht erwartet: de mt unterschedlcher Gewchtung n de Schätzung enbezogen werden). c) Als Instrumentvarablen stehen Ihnen de Schulbldung der Mutter M, de Schulbldung des Vaters, V, sowe de Entfernung des ohnorts zum nächsten Gymnasum, E, zur Verfügung. E hat sch als Instrumentvarable für de vorlegende ragestellung bewährt. e gehen Se vor, um de Egnung von M und V als Instrumente zu überprüfen? (5 Punkte) - Voraussetzung: Der IV-Schätzer st mt E dentfzert, R K, des st per Annahme gegeben. - GIVE-Schätzung mt allen Instrumenten; Hlfsregresson der Resduen auf alle Instrumente und Berechnen der Teststatstk, ξ R, aus R der Hlfsregresson; anschleßend GIVE-Schätzung mt den als valde bekannten Instrumenten und Bestmmen von ξ R aus analoger Hlfsregresson der Resduen auf de R Bedngungen; - De Teststatstk für de R R unscheren Instrumente kann dann berechnet werden als ξ R ξ R ; - ξ R ξ R st unter H ( Vorlegen von R gültgen Momentenbedngungen) also rehetsgraden. χ -vertelt mt R R, her - rd H abgelehnt, so st das Modell ncht überdentfzert, es kann aber ncht gesagt werden, ob M oder V oder bede ungültge Instrumente snd. Aufgabe 5: [ Punkte] Se nteresseren sch für den Enfluss des Stundenlohns auf das Arbetsangebot. Se formuleren herzu folgendes Modell: log ( hrst ) α + β log ( waget ) + βmale + ε, t wobe hrs Arbetsstunden pro Jahr, wage Bruttostundenlohn, male Dummyvarable (, wenn Person en Mann, sonst). Panel-Analysen mt Daten von 53 Erwerbstätgen, de von 989 bs 998 befragt wurden, ergeben folgende Schätzergebnsse (Standardfehler n Klammern): () () (3) () pooled between fxed effects random effects constant.8*** 3.3*** 3.3*** (.) (.38) (.3) 5

6 log(wage).33**.38**.5*.8** (.55) (.68) (.6) (.58) male.***.5***.37*** (.6) (.7) (.3) a) Interpreteren Se den geschätzten Koeffzenten des fxed effects Modells für β statstsch und nhaltlch. ( Punkte) - Elastztät, da logarthmerte erte auf beden Seten der Glechung - Stegt der Lohn um %, so stegt das Arbetsangebot um gut.%. - Der Koeffzent st auf dem %-Nveau statstsch sgnfkant von Null verscheden. b) Erläutern Se formal z.b. für en Modell mt zwe Peroden, weso be der fxed effects Schätzung kene Koeffzenten für male ausgewesen werden. ( Punkte) - Informatonsbass und Grundlage für den fxed effects Schätzer st de Varaton über de Zet. Damt folgt aber, dass zetkonstante Größen heraus gerechnet werden: log ( hrs ) α + β log( wage ) + βmale + ε log( hrs) α + β log( wage) + βmale + ε log ( hrs ) log( hrs ) β ( log( wage ) log( wage) ) + ε ε c) eso können sch de Ergebnsse der between und fxed effects Schätzung für β unterscheden? ( Punkte) - Der between-schätzer basert auf gemttelten Daten über alle Beobachtungen ; der fxed effects-schätzer auf Abwechungen vom ndvduellen Mttelwert; - Be unterschedlcher Datengrundlage können unterschedlche Ergebnsse zustande kommen. d) De Teststatstk enes her relevanten Hausman Tests se Geben Se de Nullhypothese sowe de Anzahl der rehetsgrade an und testen Se auf dem % Sgnfkanznveau, ob der random effects oder der fxed effects Schätzer heranzuzehen st. ( Punkte) - H : b E b RE ; oder H : cov(α, log(wage )) - Anzahl der rehetsgrade krt - χ < 6.635, H wrd ncht verworfen, d.h. es sollten de Schätzergebnsse des random effects Modells herangezogen werden. Aufgabe 6: [5 Punkte] ahr oder falsch? Tragen Se für jede der folgenden Aussagen en w für wahr oder en f für falsch en. ür jede rchtge Antwort gbt es.75 Punkte, für jede falsche Antwort werden.75 Punkte abgezogen. De Gesamtpunktzahl kann ncht negatv werden. En Spaltenvektor ergbt sch als de Quadratwurzel enes Zelenvektors. Der "PE Test" verwendet t-teststatstken. En Parameterschätzer st effzent, wenn er gegen senen Erwartungswert konvergert. De Varanz des KQ-Schätzers lässt sch auf Bass von Informaton über de Störtermvaranz und de XX Matrx berechnen. 6

7 Der Pras-nsten-Schätzer basert auf transformerten Daten ohne Berückschtgung der ersten dre Beobachtungen. In en Modell mt logarthmerter abhängger Varable können kene Dummy-Varablen als erklärende Varablen engefügt werden. Der Goldfeld-Quandt Test st en Test auf de Glechhet der Varanz zweer Telstchproben. De Normalvertelung st ene symmetrsche Vertelungsfunkton. rd de Nullhypothese des Sargan-Tests verworfen, so st der Störterm heteroskedastsch. GMM Verfahren benötgen Vertelungsannahmen für de abhängge Varable. ür de Vorhersage von y spelt es ene Rolle, ob das Modell lnear oder loglnear geschätzt wrd. Der RESET Test nutzt urzeln der Resduen, um en Modell auf ehlspezfkaton zu überprüfen. Be Messfehlern n der abhänggen Varable snd de Parameterschätzer zu groß. Legen n enem Modell statt ener dre endogene Varable vor, so recht ene zusätzlche Instrumentvarable aus, um das Problem zu lösen. Monte Carlo Studen erfordern Paneldatensätze. Das "nonlnear least squares" Verfahren erlaubt es, solche Spezfkatonen zu schätzen, de nchtlnear n den Parametern snd. Modelle n reduzerter orm enthalten auf der rechten Sete kene endogenen erklärenden Varablen. Newey-est Standardfehler korrgeren für Heteroskedaste unbekannten Ursprungs ebenso we für Autokorrelaton. De Nullhypothese H : β c wrd be 5 rehetsgraden am 5 Prozentnveau verworfen, wenn als Teststatstk der t-ert größer als.79 st. Enthält das lneare Regressonsmodell ene verzögerte endogene Varable (y t- ), dann sollte für den Test auf Autokorrelaton erster Ordnung des Störterms der Durbn-atson Test verwendet werden. enn autokorrelerte Störterme vorlegen, st der easble-gls Schätzer BLUE. ür das Ergebns enes Chow-Tests st es unerheblch, ob de Störmtermvaranz korrekt spezfzert st. Vom least squares dummy varables Schätzer sprcht man, wenn be Vorlegen von Paneldaten Dummy-Varablen für de Peroden n das Modell aufgenommen werden. Das angepasste R ener Schätzung kann ncht negatv werden. De Standardnormalvertelung hat enen Erwartungswert von Null. An der Parametermtte sagt en KQ-Schätzer den effzenten ert vorher. enn statt enes Cochrane-Orcutt Schätzers en teratver Cochrane-Orcutt Schätzer verwendet wrd, stegt de Effzenz der Schätzung von ρ. Be movng average Prozessen m Störterm snd alle Elemente der Varanz-Kovaranz Matrx des Störterms von Null verscheden. Im Gegensatz zum KQ-Schätzer optmeren GMM (generalzed method of moments) Schätzer ene quadratsche Zelfunkton. Durch das Hnzufügen weterer erklärender Varablen kann der angepasste R ert snken. Das BIC Krterum fällt umso günstger aus, je klener de ehlerquadratsumme be gegebener Parameter- und Beobachtungszahl st. Postve Autokorrelaton kommt seltener vor als negatve. 7

8 De Summe quadrerter, standardnormalvertelter Zufallsvarablen st Ch-quadrat vertelt. AR() Störterme snd heteroskedastsch. Smultane Glechungssysteme n struktureller orm können mt dem KQ-Schätzer unverzerrt geschätzt werden, solange jede Glechung enzeln betrachtet wrd. Der Durbn-atson Test verallgemenert den PE Test. Im lnearen Regressonsmodell wrd unterstellt, dass de abhängge Varable ene Zufallsvarable st. Der Durbn-u-Hausman Test auf Endogentät ener erklärenden Varablen wrd durchgeführt, ndem der Regressonsglechung ene zusätzlche erklärende Varable hnzugefügt wrd. De Annahme der statstschen Unabhänggket zweer Zufallsvarablen st stärker als de Annahme mttlerer bedngter Unabhänggket, also z.b. E{u X}. Mthlfe hedonscher Presfunktonen lassen sch enzelne Egenschaften enes Gutes bewerten. Je nach ahl der Gewchtungsmatrx des GMM Schätzers ergeben sch unterschedlche, aber stets konsstente Schätzer. Der Breusch-Pagan Test auf Heteroskedaste st ene Verallgemenerung des Durbn-atson Tests. Auch be exakter Multkollneartät kann der Klenstquadrateschätzer unverzerrt geschätzt werden. Mthlfe enes lnearen Regressonsmodells lassen sch Elastztäten schätzen. De Inkonsstenz enes Stegungsparameters führt zur Inkonsstenz der glechzetg geschätzten Regressonskonstanten. De Dchtefunkton der t-vertelung hat hr Mnmum be,96. Das Auslassen ener relevanten erklärenden Varablen kann zu verzerrten Schätzern führen. Der nchtlneare Klenstquadrateschätzer bestmmt dejengen Parameter, de de Summe der quadrerten Störterme mnmeren. Auf Bass lnearer Modelle geschätzte Koeffzenten können ne als Kausaleffekte nterpretert werden. Damt der fxed effects-schätzer konsstent st, müssen de erklärenden Varablen strkt exogen sen. Mt stegender Zahl von rehetsgraden konvergert de t-vertelung zur Normalvertelung. De krtschen erte des Durbn-atson-Tests snd für Tests auf postve Autokorrelaton erster Ordnung anwendbar. Um k Parameter zu dentfzeren, benötgt man k- Momentenbedngungen. De wthn Transformaton modfzert alle Beobachtungen, ndem der ndvduelle Störterm von den erklärenden Varablen abgezogen wrd. Be der Abletung des KQ-Schätzers m lnearen Modell erhält man so vele Normalglechungen we Beobachtungen vorlegen. Zur Unverzerrthet des fxed effects-schätzers st kene Aussage möglch. Je nachdem, ob de Schätzung mt oder ohne Konstante durchgeführt wrd, sprcht man be Paneldaten von fxed oder random effects Schätzungen. Das R st n Modellen mt großer Beobachtungszahl größer als be Modellen mt klener Beobachtungszahl. De optmale Gewchtungsmatrx des GMM Modells entsprcht der Varanz-Kovaranzmatrx der abhänggen Varablen. Der quadrerte Korrelatonskoeffzent für de abhängge Varable und hren vorhergesagten ert st mmer größer als das R der zugehörgen Schätzung. 8

9 Aufgabe 7: [5 Punkte] ahr oder falsch? Begründen Se Ihre Auffassung (Bsp.: "Stmmt, wel..." bzw. "Stmmt ncht, wel..."). Nur be korrekter Begründung erhält jede rchtge Antwort.5 Punkte; Angaben ohne Begründung werden ncht gewertet. Be Paneldaten st der between-schätzer neffzent. De zetlche Varaton wrd ncht berückschtgt, d.h. es werden ncht alle Informatonen genutzt. Bem random effects Modell besteht der Störterm aus zwe Zufallsvarablen. En Tel des Störterms st en ndvduenspezfscher Term, der als Zufallsvarable geschätzt wrd. Der KQ-Schätzer m enfachen Modell mnmert de Abstände zwschen y und senen vorhergesagten erten. Der KQ-Schätzer mnmert de quadrerte Summe der Resduen. De Parameter 3 β m Modell ( ) j g x, β β x x lassen sch ncht per KQ schätzen. β Mttels Logarthmerung kann das Modell lnearsert und mt KQ geschätzt werden. Alle ragestellungen der Querschnttsdaten können auch mt Paneldatenanalyse beantwortet werden. Mt Paneldaten kann de Panel-, d.h. Zetdmenson genutzt werden, muss aber ncht. Das krtsche Sgnfkanznveau ensetger Hypothesentests varert mt der Beobachtungszahl. Das Sgnfkanznveau wrd exogen festgelegt. De Berückschtgung ener verzögerten endogenen Varable als erklärende Varable kann zur Inkonsstenz des KQ-Schätzers führen. enn glechzetg Autokorrelaton vorlegt; dann automatsch Korrelaton der erklärenden Varable mt dem Störterm. Der Durbn-atson Test st en -Test auf de Sgnfkanz der Koeffzenten von Polynomen der vorhergesagten abhänggen Varable. Der beschrebene Test st der RESET-Test. Oder: Der Durbn-atson Test testet H : ρ z.b. über den bounds-test. Be gegebenem N st de ahrschenlchket enes Typ II ehlers umso höher, je nedrger de ahrschenlchket enes Typ I ehlers. En Typ II ehler kann nur gemacht werden, wenn H ncht verworfen wrd. ällt α, stegt dese ahrschenlchket. Der Cochrane-Orcutt Schätzer nutzt mehr Beobachtungen als der Pras-nsten Schätzer. Umgekehrt, Pras-nsten macht z.b. t nutzbar. β 9