Diplomprüfung im Fach Ökonometrie im WS 06/07 - Aufgabenteil

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1 Lehrstuhl für Statstk und emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Dplomprüfung m Fach Ökonometre m WS 06/07 - Aufgabentel Name, Vorname Matrkelnr. Studengang Semester Datum Raum, Stzplatz-Nr. Unterschrft Vorbemerkungen: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: Erlaubte Hlfsmttel: Wchtge Hnwese: De Klausur besteht aus 6 Aufgaben, von denen alle bearbetet werden müssen. De Prüfung dauert 120 Mnuten, es können maxmal 120 Punkte erworben werden. De Punktzahl st für jede Aufgabe n Klammern angegeben. 2 DIN A4-Blätter mt Notzen (Vorder- und Rücksete, also max. 4 DIN A4-Seten) Tabellen der statstschen Vertelungen (snd der Klausur begefügt) Taschenrechner Fremdwörterbuch Sollte es vorkommen, dass de statstschen Tabellen, de deser Klausur belegen, den exakten Wert der Frehetsgrade ncht auswesen, machen Se des kenntlch und verwenden Se den nächstgelegenen Wert. Sollte es vorkommen, dass be ener Berechnung ene erforderlche Annahme oder Angabe fehlt, machen Se des kenntlch und treffen Se für den fehlenden Wert ene plausble Annahme. De Aufgaben 5 und 6 snd m Aufgabentel zu beantworten, de restlchen Aufgaben m Lösungstel. Verwenden Se herbe für jede Aufgabe en neues Blatt.

2 Aufgabe 1: [32 Punkte] Se nteresseren sch für Wohnungslosgket und hre Determnanten. Se möchten ene Stude USamerkanscher Ökonomen auf Deutschland übertragen und sammeln herfür n mehreren Gemenden Daten über de Zahl der Wohnungslosen sowe Merkmale des lokalen Wohnungsmarktes. Se unterstellen folgendes Modell (A): WL = β + β Leer + β MeteEk + β JanTemp + β ALQ ε WL : Antel der Wohnungslosen an der Gesamtbevölkerung n Gemende Leer : Antel der leer stehenden Wohnungen an der Gesamtzahl der Wohnungen n Gemende MeteEk : Medanmete m Verhältns zum Medan des Haushaltsenkommens n Gemende JanTemp : Durchschnttstemperatur n Gemende m Januar (n C) ALQ : Antel der Arbetslosen an der Erwerbsbevölkerung n Gemende De Mttelwerte der Varablen betragen: WL Leer MeteEk JanTemp ALQ Mttelwert De Auswertung der Daten mt R ergbt folgenden Output: Call: lm(formula = WL ~ Leer + MeteEk + JanTemp + ALQ) Coeffcents: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * Leer e-30 *** MeteEk 0.352? JanTemp ? ** ALQ Sgnf. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Resdual standard error: 0.46 on 1390 degrees of freedom Multple R-Squared: 0.973, Adjusted R-squared: F-statstc:? on? and 1390 DF, p-value: <2.2e-16 a) Berechnen Se unter Angabe des Rechenwegs (5 Punkte) a1) den t-wert für b 3 a2) den Standardfehler von b 2 a3) de geschätzte Fehlertermvaranz a4) de Zählerfrehetsgrade der F-Statstk a5) den Wert der F-Statstk b) Interpreteren Se de Koeffzenten b 1 und b 4 nhaltlch und statstsch. (2 Punkte) c) In ener weteren Schätzung wrd dem Modell (A) en Interaktonsterm Int = Leer*MeteEk hnzugefügt. Der Output des resulterenden Modells (B) lautet we folgt: (3 Punkte) 1

3 Call: lm(formula = WL ~ Leer + MeteEk + JanTemp + ALQ + Int) Coeffcents: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Leer e-27 *** MeteEk * JanTemp * ALQ Int * --- Sgnf. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Resdual standard error: 0.37 on 1389 degrees of freedom Multple R-Squared: 0.983, Adjusted R-squared: F-statstc: 1.338e+04 on 5 and 1389 DF, p-value: <2.2e-16 c1) Berechnen Se den margnalen Effekt ener Veränderung des Leerstandes für Gemenden, n denen de Medanmete enen Antel von 0.4 des Medanenkommens ausmacht. c2) Interpreteren Se den Koeffzent b 1 aus Modell (B). d) Modellspezfkaton (12 Punkte) d1) Beschreben Se de Vorgehenswese des RESET Tests und stellen Se ene möglche Hlfsregresson für das Modell (A) auf. Nehmen Se an, de resulterende Teststatstk habe enen Wert von Testen Se für de von Ihnen gewählte Hlfsregresson auf dem 5%-Sgnfkanznveau, ob ene Fehlspezfkaton vorlegt. d2) Nehmen Se an, Modell (A): = β + ε WL x werde geschätzt, obwohl Modell (B): = β + β + ε WL x Int 5 =. Zegen Se, dass der KQ-Schätzer b (A) korrekt se, wobe x ( 1 Leer MeteEk JanTemp ALQ) verzerrt st, falls { } 0 E xint. d3) Se schätzen zusätzlch en Modell, n dem Se abhängge und erklärende Varablen zuvor logarthmert haben. Mt welchem Test können Se überprüfen, ob das ursprünglche oder das neue Modell geegneter st? Stellen Se ene der beden für desen Test möglchen Schätzglechungen auf und nennen Se de Nullhypothese. Erläutern Se kurz das zentrale Element der Schätzglechung. e) Se haben de Vermutung, dass de Fehlertermvaranz mt stegenden Temperaturen varert: 2 2 var( ε ) = σ = σ JanTemp. (10 Punkte) e1) Beschreben Se ene Vorgehenswese, Modell (A) so zu transformeren, dass de Heteroskedaste elmnert wrd. Stellen Se formal de Auswrkung der Transformaton auf de Varanz des Störterms dar. 2 e2) Zegen Se, dass m Fall von Heteroskedaste V{ b X} ( XX) 1 σ. e3) Welche Vor- und Nachtele hat de Berechnung von Whte-Standardfehlern gegenüber dem FGLS- Verfahren? 2

4 Aufgabe 2: [8 Punkte] Der Bürgermester ener Großstadt steht vor der Aufgabe, Maßnahmen zur Krmnaltätsbekämpfung zu ergrefen. Um Kosten und Nutzen verschedener Maßnahmen gegenenander abwägen zu können, nteressert er sch für den margnalen Effekt ener Aufstockung des Polzepersonals auf de Krmnaltätsrate. a) Er schätzt mttels der KQ-Methode en lneares Modell, das de erwartete Krmnaltätsrate n Abhänggket der Zahl der beschäftgten PolzstInnen und enger anderer Varablen x beschrebt: (3 Punkte) = β + β + γ + ε Krmnaltätsrate PolzstInnen x t 0 1 t t t a1) Könnte n der Bespelschätzung en Endogentätsproblem auftreten? Begründen Se nhaltlch am Bespel. a2) Was wären gegebenenfalls de Konsequenzen für den resulterenden Schätzer b? b) Dem Bürgermester fällt en, dass der Stadtrat n der Vergangenhet oft unens war, ob mehr Personal für de Polze oder mehr Personal n den Kndergärten engestellt werden sollte. Aus desem Grund wurden mmer antelg PolzstInnen und KndergärtnerInnen engestellt, sobald aus dem städtschen Haushalt noch Gelder zu vertelen waren. Er nstrumentert daher de Zahl der PolzstInnen mt der Zahl der KndergärtnerInnen. (5 Punkte) b1) Hat er ene gute Wahl getroffen? Begründen Se. b2) Anhand welcher Größe leße sch de Qualtät des Instruments emprsch prüfen? Aufgabe 3: [15 Punkte] Se nteresseren sch für Enflussfaktoren auf de Anzahl von Verkehrsunfällen mt Todesfolge. Ihnen stehen für den Zetraum von 1992 bs 1998 Daten für 48 US Bundesstaaten mt folgenden Varablen zur Verfügung: fatal beertax sprcons unrate pcnc Anzahl von Verkehrsunfällen mt Todesfolge (Tote pro 100,000 Enwohner) Bersteuer (n Prozent) Konsum von Sprtuosen (n Gramm Alkohol) Arbetslosenquote (n Prozent) Pro-Kopf-Enkommen (n 1,000 US-$) De Mttelwerte der Varablen betragen: fatal beertax sprcons unrate pcnc Mttelwert Be Anwendung unterschedlcher Verfahren ergeben sch folgende Schätzergebnsse: Abhängge Varable: log(fatal) gepooltes KQ between fxed effects random effects Constant 4.119*** 3.796*** *** (0.30) (0.75) (0.42) (0.38) beertax *** (0.062) (0.15) (0.16) (0.12) sprcons 0.162*** 0.300** 0.817*** 0.302*** (0.043) (0.11) (0.079) (0.064) unrate ** *** *** (0.013) (0.038) (0.009) (0.009) pcnc *** *** 0.105*** (0.017) (0.042) (0.021) (0.019) Anmerkungen: Standardfehler n Klammern; *** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1 a) Erläutern Se kurz verbal, weso be der gepoolten KQ-Schätzung das Problem ausgelassener Varablen auftrtt. (2 Punkte) b) Interpreteren Se de Koeffzenten des Parameters beertax für de fxed effects und random effects Spezfkaton nhaltlch und statstsch. (2 Punkte) 3

5 c) Erläutern Se, warum sch de Schätzergebnsse für enersets between und fxed effects Schätzer und anderersets random effects und fxed effects Schätzer tels erheblch unterscheden können. (6 Punkte) d) Skzzeren Se de Idee des Hausman Tests und testen Se auf dem 1% Sgnfkanznveau, ob de Ergebnsse der random effects oder der fxed effects Schätzung vorzuzehen snd; de Teststatstk beträgt be 4 Frehetsgraden. Geben Se herzu den krtschen Wert und Ihre Schlusslogk an. (5 Punkte) Aufgabe 4: Unterstellen Se en lneares Modell y = x β + ε. t t t [5 Punkte] a) Se haben Anlass zur Vermutung, dass n Ihren Daten Autokorrelaton 3. Ordnung vorlegt, ε ρε ρε ρε υ 2 = + + +, mt υ d...( 0, σ t ) t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 t der Autokorrelaton besetgt st.. Geben Se ene Spezfkaton des Modells an, be (2 Punkte) b) Erläutern Se, we sch de Varanz-Kovaranz-Matrx des Störterms mt AR(1) Fehlern von der des Modells mt MA(1) Fehlern unterschedet. (3 Punkte) Aufgabe 5: [45 Punkte] Wahr oder falsch? Tragen Se für jede der folgenden Aussagen en w für wahr oder en f für falsch en. Für jede rchtge Antwort gbt es 0.75 Punkte, für jede falsche Antwort werden 0.75 Punkte abgezogen. De Gesamtpunktzahl kann ncht negatv werden. En nedrger AIC-Wert west auf en besseres Regressonsmodell hn als en hoher. Der Whte-Test st allgemener als der Test auf Glechhet zweer Varanzen (Goldfeldt-Quandt). Be Messfehlern beschrebt das nose-to-sgnal rato das Verhältns der Varanz des tatsächlchen Wertes zur Varanz des Messfehlers. Der RESET Test nutzt Potenzen der vorhergesagten Werte von y, um en Modell auf Fehlspezfkaton zu überprüfen. Wald Tests können n Form von χ 2 -Tests durchgeführt werden. In en Modell mt logarthmerter abhängger Varable können kene Dummy-Varablen als Erklärende engefügt werden, da ln(0) =. Unterschede n Koeffzenten für verschedene Gruppen lassen sch mttels Interaktonstermen ermtteln. Solange E( X) 0 ε = geben Regressonsmodelle den auf X bedngten Erwartungswert von y an. Wenn rrelevante erklärende Varablen berückschtgt werden, stegt de Varanz des KQ-Schätzers. Autokorrelaton führt ncht zu Inkonsstenz des KQ-Schätzers. Für das Ergebns enes Chow-Tests st es unerheblch, ob man für de fraglchen Gruppen getrennt schätzt oder Unterschede über Interaktonsterme abbldet. Wenn en Regressonsmodell kene Konstante enthält, st das angepasste R 2 vor dem enfachen R 2 als Gütemaß zu bevorzugen. De gemensame Sgnfkanz mehrerer Stegungsparameter lässt sch durch genestete t-tests überprüfen. Im Rahmen ener GIVE-Schätzung mt mehreren endogenen Varablen und mehreren Instrumenten st es egal, welcher endogenen Varablen welches Instrument zugeordnet wrd. Projzert man den Vektor y auf den Spaltenraum X, so st das resulterende Resduum orthogonal zu y. 4

6 De Wahrschenlchket enes Typ-II-Fehlers hängt vom wahren Parameterwert ab. Wenn E( ε X) = E( ε) = 0 und V( X) V( ) 2 ε ε σ I = = lefert der KQ-Schätzer den wahren Wert. Der gepoolte KQ-Schätzer nutzt m Panel sowohl de Informaton der Wthn-Varaton als auch der Between-Varaton. Im enfachen Regressonsmodell glt: Der Vorhersagefehler für ene bestmmte Beobachtung wrd umso größer, je weter de Beobachtung vom Mttelwert der erklärenden Varablen entfernt legt. Autokorrelaton führt ncht zu Verzerrthet des KQ-Schätzers. Das Auslassen relevanter erklärender Varablen verzerrt de m Modell enthaltenen Koeffzenten nur dann, wenn de ausgelassene Varable mt dem Störterm korrelert st. Messfehler n erklärenden Varablen führen m enfachen Modell dazu, dass der absolute Wert des geschätzten Stegungsparameters m Erwartungswert klener st als der wahre Wert. Wenn es mehr Instrumente als zu schätzende Parameter gbt, st das Modell überdentfzert und kann daher ncht gelöst werden. De Parameter enes FGLS-Modells müssen we de Parameter des Orgnal-Modells nterpretert werden. De FGLS-Schätzung be heteroskedastschen Störtermen beruht darauf, dass Beobachtungen mt klener Varanz m Störterm en kleneres Gewcht erhalten als Beobachtungen mt großer Varanz m Störterm. De Varanz enes unverzerrten Schätzers kann höher sen als de Varanz enes nkonsstenten Schätzers. En J-Test st nur für genestete Modelle durchführbar. Bem random effects-verfahren snd de personenspezfschen Störterme Zufallsvarablen und können daher auch über de Zet vareren. Im Falle von Heteroskedaste snd de Störterme unterenander korrelert. Nur n enem Modell mt Konstante beschrebt das R 2 den Antel der erklärten Varaton der abhänggen Varable an der gesamten Varaton der abhänggen Varable. An der Stchprobenmtte sagt en KQ-Schätzer den wahren Wert vorher. Für den Durbn-Wu-Hausman-Test auf Endogentät regressert man de potenzell endogene Varable auf das Instrument. Mt enem n den Parametern lnearen Modell lassen sch kene Elastztäten berechnen. Der RE-Schätzer kann konsstent sen, wenn glechzetg auch der FE-Schätzer konsstent st. Im enfachen Regressonsmodell entsprcht der Schätzer des Stegungsparameters dem Verhältns der Stchprobenkovaranz von x und y zur Stchprobenvaranz von y. Für de Vorhersage von y spelt es kene Rolle, ob das Modell lnear oder loglnear geschätzt wrd. Im FGLS-Verfahren zur Korrektur von Heteroskedaste wrd das transformerte Modell ohne egentlche Konstante geschätzt. Vom least squares dummy varables Schätzer sprcht man, wenn be Vorlegen von Paneldaten Dummy-Varablen für Beobachtungsenheten n das Modell aufgenommen werden. Modelle n reduzerter Form enthalten ausschleßlch exogene erklärende Varablen. 5

7 Der p-wert gbt das klenstmöglche Sgnfkanznveau an, auf dem de Nullhypothese verworfen werden kann. Autokorrelaton kann durch das Auslassen relevanter erklärender Größen verursacht werden. Snd n Paneldatenmodellen de α mt den erklärenden Größen korrelert, so st der fxed effects Schätzer nkonsstent. Bedngung für en gutes Instrument st, dass de Instrumentvarable z und de endogene Varable x unkorrelert snd. Das R 2 st n Modellen mt logarthmerten abhänggen Varablen größer als be Modellen mt ncht-logarthmerten abhänggen Varablen. Newey-West Standardfehler stellen ene Erweterung von Whte-Standardfehlern auf den Fall der Autokorrelaton dar. Be Multkollneartät führen postv korrelerte erklärende Varablen zu postv korrelerten Koeffzenten. Der random effects GLS-Schätzer st das matrx-gewchtete Mttel aus between- und wthn- Schätzer. Be movng average Prozessen snd alle Elemente der Varanz-Kovaranz Matrx des Störterms von Null verscheden. Bedngung für enen asymptotsch normalvertelten KQ-Schätzer snd normalvertelte Störterme. Solange glt E{x t ε t }=0 (mt ε t als Resduum der KQ-Schätzung), st der KQ-Schätzer be Modellen, de ene verzögerte abhängge Varable als erklärende Größe benhalten, konsstent. GMM-Schätzer des lnearen Modells treffen kene Annahme hnschtlch Autokorrelaton. Der PE-Test wrd herangezogen, um Strukturbrüche n Zetrehen zu ermtteln. Be Monte-Carlo Studen greft man auf repräsentatve Erhebungen zurück, um Egenschaften von Schätzern zu untersuchen. Der Breusch-Pagan Test basert auf ener Regresson der quadrerten geschätzten KQ-Resduen auf ene Telmenge z der erklärenden Größen x. Man sprcht von enem statonären autoregressven Prozess erster Ordnung, wenn glt ρ < 1. Legen mehrere endogene Regressoren vor, so benötgt der IV-Schätzer zur Identfkaton zwe Instrumente pro endogener Varable. Das GMM-Verfahren schätzt Parameter drekt auf Bass von nchtlnearen Momentenbedngungen. Der Pras-Wnsten-Schätzer basert auf transformerten Daten ohne Berückschtgung der ersten Beobachtung. Den FGLS-Schätzer kann man bestmmen, wenn man ene konkrete Form der Heteroskedaste unterstellt. Snd Polynome der erklärenden Varablen x m Modell enthalten, so ergbt sch der margnale Effekt der Varablen x als Abletung des auf x bedngten Erwartungswerts von y nach x. Aufgabe 6: [15 Punkte] Wahr oder falsch? Begründen Se Ihre Auffassung (Bsp.: "Stmmt, wel..." bzw. "Stmmt ncht, wel..."). Nur be korrekter Begründung erhält jede rchtge Antwort 1.5 Punkte; Angaben ohne Begründung werden ncht gewertet. Der margnale Effekt erklärender Varablen kann auch von anderen erklärenden Varablen abhängen. 6

8 Be Vorlegen von Paneldaten snd gepoolte KQ-Schätzungen effzent. Das angepasste R 2 st zum Verglech genesteter Modelle besser geegnet als das ncht angepasste R 2. In Stchproben, de aus zwe Gruppen mt jewels homoskedastschen Fehlertermvaranzen bestehen, kann Heteroskedaste en Problem darstellen. In Modellen mt verzögerten abhänggen Varablen als Regressor snd random effects Schätzer konsstent. Der KQ-Schätzer st nur dann konsstent, wenn de Gauss-Markov Bedngungen erfüllt snd. β g x, β = β x x lässt sch ncht per KQ schätzen. β Das Modell ( ) In Modellen mt logarthmerter abhängger Varable y lassen sch prozentuale Veränderungen n y be hohen Absolutwerten der geschätzten Koeffzenten drekt aus desen ablesen. Bem Durbn-Watson Test auf negatve Autokorrelaton können be gegebenem Sgnfkanznveau de glechen Tabellen we bem Test auf postve Autokorrelaton herangezogen werden. In smultanen Glechungssystemen kann der GIVE-Schätzer auch als zwestufger Schätzer ermttelt werden. 7