Die Renormierungsgruppe

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1 Antrittsvorlesung 15. November 2006 Mathematisches Institut der Westfälischen Wilhelms-Universität

2 Einleitung typische physikalische Systeme haben sehr viele Freiheitsgrade ( pro cm 3 Material) theoretische Methoden im wesentlichen auf einen Freiheitsgrad beschränkt exakte Beschreibung eines typischen physikalischen Systems deshalb unmöglich In Wirklichkeit: enorme Reduktion der Zahl der Freiheitsgrade Beispiel: Zustand eines Gases im wesentlichen durch Druck p und Temperatur T bestimmt: für ideales Gas: p 1 = ct ( Dichte)

3 Phasenübergänge und kritische Phänomene Zustandsgleichung für reale Gase (van der Waals) (p + a 2)( 1 b) = ct Druck p/p c T=1.1 T c T=T c T=0.9 T c T=0.8 T c T=0.7 T c Dichte ρ/ρ c X Dichte kann bei Druckabnahme nicht zunehmen Maxwellsche Gerade Phasenübergang gasförmig-flüssig Dichte unstetig kritischer Punkt (T c, p c ) Unterschied der Phasen verschwindet Wasser: T c = 374 C, p c = 218 atm, c = 0.3 g/cm 3 besondere Eigenschaften bei (T c, p c ) keine natürliche Längen-Skala, fraktal

4 Kritischer Punkt ( p ) = 0 T=T c ( 2 p ) = 0 2 T=T c van-der-waals-gleichung ausgedrückt durch kritische Werte: universell ( p ( ) 2 )( c + 3 p c c 1 ) 3 = 8 T 3 Linearisierung in Umgebung des kritischen Punktes liefert universelle kritische Exponenten { (Tc T) z.b. ( flüssig gasförmig )(T) β für T T c = 0 für T T c T c

5 Die Korrelationslänge Zustandsgleichung für Moleküle unverändert für Moleküle, nicht aber für Moleküle 75 Wie weit kann man die Größe des Systems reduzieren, ohne seine qualitativen Eigenschaften zu verändern? Korrelationslänge ξ Zwei entgegengesetzte Situationen: Volumen ξ 3 enthält nur wenige (z.b. < 10) Moleküle Näherungsverfahren Volumen ξ 3 enthält sehr viele (z.b. > 10 6 ) Moleküle Phasenübergänge und kritische Phänomene ξ = am kritischen Punkt

6 Das Ising-Modell jedem Gitterpunkt n Γ Z d wird Spin s n = ±1 zugeordnet nur benachbarte Spins wechselwirken e 2 n e 1 Energie (= Hamilton-Funktion) im Magnetfeld B ist H(s, B) = J s n s n+e + B s n n Γ e n Γ Wahrscheinlichkeit der Konfiguration s: p(s, T,B) = 1 Z e H(s,B)/kT Z(T,B)= s e H(s,B)/kT Zustandssumme F(T,B)= kt ln Z freie Energie

7 Magnetisierung M(T, B) = 1 vol(γ) s n n Γ Spin-Korrelation Γ n = s n s 0 s n s 0 Phasenübergang am kritischen Punkt T = T c = ( ) F B vol(γ) (Curie-Punkt) ferromagnetsiche Phase für T < T c : M 0 bei B = 0 (spontane Magnetisierung) paramagnetische Phase für T > T c : M = const B { (Tc T) M(T,0) β für T T c = 0 für T T c ( ) exp n ξ(t) Γ n (T,0) n d 2, ξ(t) T T c ν für T T c für T = T c 1 n d 2 η kritische Exponenten β, ν, η,... universell für alle Ferromagnete

8 Block-Spins [Kadanoff, 1966] Situation: ξ 1 (Spins korreliert) 1 Blöcke B n Γ aus L d Gitterpunkten Block-Spins s n s n := 1 L y s k, k B n 0 y d (thermische Fluktuationen reduzieren Gesamtspin) 2 ersetze s n = L y d s n + σ n in Zustandssumme: Z = s,σ ( exp H( s,σ, B) ) ( exp H( s, T,B, y) ) kt kt =: s H( s, T, B, y) beschreibt effektive Wechselwirkung von Block-Spins s n auf Gitter der Weite L 3 Nach Reskalierung aller Längen um 1 L können wir s wieder s nennen; Korrelationslänge wird ξ/l

9 [Wilson, 1971] Ergebnis: Transformation R L : H(s) H(s) Eliminierung der Freiheitsgrade führt auf R L 2 := R L R L allgemein Halbgruppe R L R L = R LL mit L, L 1 Definition Die Menge der Transformationen {R L } heißt die Renormierungsgruppe. Führt auf Hamilton-Funktion H ξ (s) := R ξ (H) mit ξ 1 (exakte Lösung des Problems) im allgemeinen R ξ (H) nicht bestimmbar

10 Annahmen über allgemeinste Form der Hamilton-Funktion H= J s n s n+e + B s n n e n R L (H)= J 1 s n s n+e + B 1 s n + ü.n.n + s 3 -Terme +... n mit J 1 = f(j) reell analytisch. e Korrelationslänge ist Funktion von J, also 1 Lξ[J] = ξ[f(j)] f(j c ) = J c ξ[j c ] = (oder 0) Kritischer Punkt = Fixpunkt der Renormierungsgruppe Völlig andere Problemstellung Anstatt das Modells für gegebenes H zu lösen, finde Fixpunkte H = R L (H ) der RG im Raum aller Hamilton-Funktionen Fixpunkte sind selten! (z.b. Ising, mean-field, Gauß, Yang-Mills) Universalität n

11 Renormierungsgruppenfluß { Hamilton-Op. H } P := {Kopplungskonstanten K } RG definiert Fluß auf P durch K(L) := R L (K), L 1 Fixpunkt der Renormierungsgruppe: R L (K ) = K Nullvektor von P Kritische Fläche P = { K P : lim R L (K K ) = 0 } L Physikalische Annahme R L ist linearer Operator bezüglich kleiner (K K ) und besitzt vollständiges System {e k } von Eigenvektoren R L (e k ) = L x k e k x k > 0 (relevante Wechselwirkungen): R L (e k ) x k = 0 (marginale Wechselwirkungen): R L (e k ) const x k < 0 (irrelevante Wechselwirkungen): R L (e k ) 0

12 RG-Fluß für { negative xk zum positive x k weg vom } Fixpunkt gerichtet codim(p ) = Zahl der positiven x k (i.a. klein) am Fixpunkt, d.h. makroskopisch, kann es nur relevante (evtl. marginale) Wechselwirkungen geben Konsequenz Systeme, die sich mikroskopisch durch unendlich viele irrelevante Wechselwirkungen unterscheiden, haben makroskopisch ein ähnliches Verhalten Makroskopische Phänomene zerfallen je nach Existenz und Art von Fixpunkten in Universalitätsklassen In jeder Klasse: Reduktion der Freiheitsgrade makroskopische Parameter positive x k

13 Anwendungen: I. Ising-Modell zwei makroskopische Parameter: T und B kritischer Punkt K bei T = T c und B = 0 T T c klein, aber 0 B = 0, dann x k > 0 k = 1 K(T) glatt R L (K(T)) nähert sich K mit wachsendem L T T c R L (K(T)) entfernt sich von K für L K(T) K = k u k (T)e k, u 1 (T) = A(T T c ) +... (anaytisch) R L (K(T) K ) = u 1 (T)L x 1e 1 + k>1 u k(t)l x k e k = A(T T c )L x 1e = ±(L/ξ) 1 ν e 1 + O(ǫ) für ξ = A(T T c ) ν mit ν = 1 x 1 kritischer Exponent

14 Anwendungen: II. Quantenfeldtheorie 1 Wirkungsfunktional S statt Hamilton-Funktion, statt kt 1 z.b. S = d x( 4 2 φ(x)( + m2 )φ(x) + λ ) 4! φ4 (x) zwar erscheint Raum und Zeit als Kontinuum, Existenz der Erwartungswerte erfordert aber Regularisierung der Raumzeit Annahme: Diskretisierung ist real Diskretisierungslänge a definiert Maßeinheit; Masse m, Kopplungskonstante λ, Korrelationslänge ξ( m, λ) sind dimensionslose reelle Zahlen Physikalische Korrelationslänge durch Masse m = 1 ξa bestimmt; diese bleibt festgehalten Kontinuumslimes a 0 entspricht ξ : Quantenfeldtheorie lebt auf kritischer Fläche

15 beobachtbare Physik bei Energie E = m ist S phys = R ξ (S 0 ) Konsequenzen aus der Renormierungsgruppe Gäbe es irrelevante Wechselwirkungen mit x k < 0 in S phys, so wären ihre Quellen in S 0 um ξ x k skaliert. Dann existiert der Kontinuumslimes nicht. Makroskopisch vorhandene irrelevante Wechselwirkungen sind nicht renormierbar. Umgekehrt: Ist S 0 allgemein gewählt mit beschränkten irrelevanten Wechselwirkungen, dann werden diese in S phys mit ξ x k unterdrückt. im Kontinuumslimes überleben nur die renormierbaren relevanten/marginale Wechselwirkungen Folgerung: Physik der Elementarteilchen wird notwendig durch renormierbare Quantenfeldtheorien beschrieben!

16 Einsteins Gravitationstheorie ist nicht renormierbar Gravitation wird durch Kontinuumslimes zu Null skaliert Gravition ist O(10 40 ) mal schwächer als die elektomagnetische Kraft, aber sie existiert Korrelationslänge ξ muß endlich sein, d.h. es gibt diskrete Struktur von Raum+Zeit bei Planck-Skala a = cm Vorschlag: Nichtkommutative Geometrie Programm: kritische Punkte und Skalenexponenten x k für Feldtheorien auf nichtkommutativen Geometrien entspricht Renormierung Theorem [H. Grosse+R.W., 2004] Im φ 4 -Modell auf der 4-dimensionalen Moyal-Ebene gibt es neben m, λ eine weitere marginale Kopplungskonstante Ω dank Ω hat das φ 4 -Modell auf der Moyal-Ebene bessere nichtperturbative Eigenschaften