Marius Sparn. 28. Oktober 2016

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Waltraud Schräder
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1 Marius Sparn Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Fakultät für Physik und Astronomie Seminar: Quantenmechanik Wintersemester 2016/17 Prof. Dr. Wolschin 28. Oktober 2016

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung Niederdimensionale Modelle Anwendungsbereiche XY-Modell Kosterlitz-Thouless Übergang Experimenteller Nachweis Anwendung topologischer Phasenübergänge Topologische Isolatoren Ausblick

3 Einleitung Nobelpreis für Physik 2016 Abbildung: David Thouless, Duncan Haldane und Michael Kosterlitz

4 Einleitung Phasenübergänge Bei Phasenübergängen bildet sich in einem isotropen System eine langreichweitige Ordnung aus (Symmetriebrechung). Allerdings ist das nach dem Mermin-Wagner Theorem für makroskopische 2D-Gittersysteme aufgrund thermischer Fluktuationen für Temperaturen über 0K nicht möglich. Trotzdem zeigten numerische Berechnungen einen Phasenübergang. Dieser wurde 1972 von Thouless und Kosterlitz durch Einführung einer neuen quasi-langreichweitigen Ordnung theoretisch gezeigt.

5 Niederdimensionale Modelle Anwendungsbereiche Warum ist eine Beschreibung in 2D sinnvoll? Nützliche mathematische Eigenschaften, die Probleme vereinfachen können Wechselwirkung oder Bewegung auf Ebene eingeschränkt Wechselwirkungsreichweite größer als Dicke des Systems zweidimensionale Gitterstruktur (z.b. Graphen)

6 Niederdimensionale Modelle XY-Modell Das XY-Modell Im XY-Modell können Spinvektoren gleicher Länge und gleichen Abstands (Gitterabstand) frei in die Ebene zeigen. Wechselwirkung findet nur zwischen benachbarten Spins statt. Abbildung: XY-Modell

7 Niederdimensionale Modelle XY-Modell Hamiltonfunktion H = J i,j S i S j = J i,j cos(θ i θ j ) (1) für alle i,j, die direkt benachbart sind

8 Niederdimensionale Modelle XY-Modell Hamiltonfunktion H = J i,j S i S j = J i,j cos(θ i θ j ) (1) für alle i,j, die direkt benachbart sind Kontinuum: H E 0 = J d r( θ) 2 (2) 2 mit E 0 = 2JN (Energie des Grundzustands mit N Spinvektoren)

9 Spins können sich so anordnen, dass ein Vortex entsteht: Abbildung: Vortex und Vortex- Antivortexpaar

10 Entscheidend sind die topologischen Eigenschaften eines Vortex. Geschlossene Kurven haben einen Beitrag zum Winkel von vielfachen von 2π, wenn die Kurve einen Vortex umschließt: 2πn = θ( r)d l = 2πr θ (3)

11 Entscheidend sind die topologischen Eigenschaften eines Vortex. Geschlossene Kurven haben einen Beitrag zum Winkel von vielfachen von 2π, wenn die Kurve einen Vortex umschließt: 2πn = θ( r)d l = 2πr θ (3) Damit erhält man θ(r) = n r und mit Gleichung (2) ergibt sich für die Energie: ( ) L E vor = πn 2 J ln (4) a

12 Tritt ein Vortex- Antivortexpaar also n = ±1 mit Abstand R auf, interagieren diese wie Punktteilchen mit entsprechender Ladung, also mit einer Kraft die nach 1 r abfällt. Damit gilt für die Energie des Paares: ( ) R E 2vor 2πJ ln (5) a Die Energie ist also selbst für große Systeme L endlich.

49 Kosterlitz-Thouless Übergang Kosterlitz-Thouless Übergang Das System versucht seine Freie Energie F = E TS zu minimieren. Bei L2 möglichen Vortexpositionen ergibt sich für die a 2 Entropie S: ( ) L 2 S = k B ln (6) Und damit: a 2 ( ) ( ) L L 2 F = Jπ ln Tk B ln a a 2 (7)

50 Kosterlitz-Thouless Übergang Kosterlitz-Thouless Übergang Das System versucht seine Freie Energie F = E TS zu minimieren. Bei L2 möglichen Vortexpositionen ergibt sich für die a 2 Entropie S: ( ) L 2 S = k B ln (6) Und damit: a 2 ( ) ( ) L L 2 F = Jπ ln Tk B ln a a 2 Ab einer Temperatur von T KT = Jπ/2k B wird das System also freie Vortizes bilden, da sie energetisch günstiger sind. Unter dieser kritischen Temperatur treten sie nur in Paaren auf. (7)

51 Kosterlitz-Thouless Übergang Kosterlitz-Thouless Übergang Eigenschaften Vortizes treten oberhalb einer kritischen Temperatur T KT = Jπ/2k B isoliert, unterhalb nur in Paaren entgegengesetzter Ladung auf. Damit entsteht eine quasi-langreichweitige Ordnung für T < T KT Die Korrelationslänge ist um die kritische Temperatur unendlich, für hohe Temperaturen fällt sie exponentiell ab. Die Funktion der freien Energie ist am kritischen Punkt glatt. (Nach Ehrenfest Klassifikation ist der Phasenübergang damit von unendlicher Ordnung)

52 Experimenteller Nachweis 2D Rubidiumgas Abbildung: Funktionsweise

53 Experimenteller Nachweis 2D Rubidiumgas Abbildung: Experimenteller Nachweis

54 Anwendung topologischer Phasenübergänge Anwendung topologischer Phasenübergänge Supraleitung Suprafluidität Topologische Isolatoren

55 Anwendung topologischer Phasenübergänge Topologische Isolatoren Topologische Isolatoren Bei topologischen Isolatoren findet ein Effekt statt, der dem Quanten-Hall-Effekt ähnelt. Allerdings ist kein äußeres Magnetfeld nötig. Stattdessen reicht der Spin der Atomkerne aus, der an den der Elektronen koppelt. Außerdem besitzen topologische Isolatoren aufgrund ihrer Topologie eine invertierte Bandstruktur. Dabei kommt es an den Oberflächen (und damit beim Übergang zu normaler Bandstruktur) zu Leitungskanälen.

56 Anwendung topologischer Phasenübergänge Topologische Isolatoren Topologische Isolatoren Abbildung: Bandstruktur eines topologischen Isolators

57 Anwendung topologischer Phasenübergänge Topologische Isolatoren Topologischer Isolator Abbildung: Topologischer Isolator

58 Anwendung topologischer Phasenübergänge Ausblick Ausblick Entdeckung neuer Materialien Supraleitung bei Raumtemperatur ermöglichen Spin zu digitalen Datenverarbeitung nutzen

59 Quellen J M Kosterlitz und D J Thouless, Metastability and Phase Transitions in TwoDimensional Systems J. Phys. C: Solid State Phys., Vol. 6, (1973) Henrik Jeldtoft Jensen, The Kosterlitz-Thouless Transition Zoran Hadzibabic, Peter Krger, Marc Cheneau, Baptiste Battelier und Jean Dalibard, BerezinskiiKosterlitzThouless crossover in a trapped atomic gas Nature 441, (2006) Ben Simons, Phase Transitions and Collective Phenomena Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2016: Topological Phase Transitions and Topological Phases of Matter (2016) Pascal Gehring und Marko Burghard, Topologische Isolatoren (2014) J M Kosterlitz: KosterlitzThouless physics, a review of key issues (2015)

60 Bildquellen bilder.bild.de/fotos-skaliert/physik-nobelpreis-fuer-david-thouless-f- duncan-haldane-michael-kosterlitz /2,w=993,q=high,c=0.bild.jpg LP Kadanoff, Statistical Physics, Statics, Dynamics and Renormalization, World Scientific prizes/physics/laureates/2016/advancedphysicsprize2016.pdf BerezinskiiKosterlitzThouless crossover in a trapped atomic gas Nature 441, (2006) Pascal Gehring und Marko Burghard, Topologische Isolatoren (2014)

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