Dimensionieren 2 Prof. Dr. K. Wegener

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1 Dimensionieren Prof. Dr. K. Wegener ame Vorname Legi-r. Übung 4: Lagerdekel Voraussetzungen Shraubenverbindung Wehselfestigkeit Problemstellung Kurbelwellen dienen in Kolbenmashinen (Motoren, Pumpen) zur Umsetzung von Kolbenkräften in Drehmomente und umgekehrt. Ein Entwurf einer Vershraubung soll dimensioniert bzw. nahgerehnet werden. F nenn Abb. Bild (B78shz) Lagerdekel-Vershraubung eines Kurbelwellenlagers

2 F F Sm ax F max ΔF S F V F Rest F Hülse Abb. (B79shz) Lagerdekel (B70shz) Rötsher Diagra für Shraubenberehnung f Belastungsfall: Auf die Lager-Bohrung wirkt eine zyklishe, sinusförmige Betriebslast von F nenn 0/ ; mit einzelnen Belastungsspitzen von 5% Überhöhung muss gerehnet werden. F F max B nenn () Erwünshte Restkraft: F rest 40% von F max Anzahl Shrauben: z Material: Gehäuse und Dekel: GGG4, E / Shraube: 4CrMo4, E. 0 5 / Kritishe Bauteile: Als kritishes, zu dimensionierendes Bauteil wird die Shraube, bzw. die Vershraubung als Gesamteinheit, selektioniert. Im Folgenden soll eine Übershlagsrehnung dieser Vershraubung durhgeführt werden. Es soll: überprüft werden, inwiefern der angenoene Shraubendurhmesser der vorhandenen Belastung genügt die notwendige Vorspannkraft der Shraube bestit werden, so dass auh unter Betriebskraft eine verbleibende Restkraft F rest von 40% in der Verbindung verbleibt der Anteil der Betriebslast F dyn shraube, welher die Shraube übernit (für spätere Dauerfestigkeitsberehnung notwendig), bestit werden das notwendige Anzugsmoment berehnet werden Zur Veranshaulihung der Kräfte im Rötsher- Diagra und als Leitfaden für die Berehnung s. Abb. rehts.

3 Lösungsweg Übershlägige Dimensionierung der Shraube Annahme: Die zwei Shrauben gleihmässig tragen Torsion in der Shraube vorerst vernahlässigt F Smax F + F F F k max Rest max max Die maximale ormalspannung tritt im kleinsten Quershnitt ( ) auf. () σ x FSmax / dshaft 4 4 (3) SV ormenauszug, Tab 79/: Shrauben aus 4CrMo4+QT haben Festigkeitsklasse 0.9, dh. R m 000 MPa ; R p PMPa σ V : Vergleihsspannung, äherung σ V σ x R p S F σ x 435 Erste übershlägige Dimensionierung erfüllt. (4) Elastishe ahgiebigkeit der Shraube Im Folgenden soll das Rötsher- Diagra hergeleitet werden. In einem ersten Shritt wird die Shraube als in Serie geshaltete Feder angenoen. Gemäss Dubbel (G40) werden die vershiedenen Abshnitte der Shraube als Zylinder modelliert: Abb. 3 (B744shz) Modellierung einer allgemeinen Shraube 3

4 Bereih der ahgiebigkeit Durhmesser der Modellierung Länge der Modellierung Im Shraubenkopf Gewindedurhmesser d 0.4 d Shaft Shaftdurhmesser d Shaftlänge l Shaft Shaftdurhmesser ddt Shaftlänge l iht eingeshraubte Gewinde Gewinde Kerndurhmesser d3 Freie Gewindelänge l3 Eingeshraubtes Gewinde ahgiebigkeit des Muttergewindes Gewinde Kerndurhmesser d3 Gewinde enndurhmesser d 0.5 d 0.4 d Abb. 4 T(00shz) Modellierung einer allgemeinen Shraube (d bezeihnet sonst den Gewindeflankendurhmesser) Für unseren Fall wird dies: Abb. 5 Bild (B7shz) Lagerdekel -Shraube als Zylinder modelliert Die Federsteifigkeit eines zylindrishen Körpers berehnet sih als: σ f l E l Fl0 Fi ε 0 0 ; i AE f i AE l i 0i (5) Ai di 4 () Dies ergibt für unsere Problemstellung: 5 0 / / (7) 4

5 5 / / (8) 3 5 / / (9) 4 5 / / (0) 5 5 / / () 5 8. / / / / () Die Federn sind in Serie geshaltet: s / i i (3) Wir erhalten für die Shraube gesamthaft: s / (4) 5

6 Elastishe ahgiebigkeit der Hülse Für die Bestiung der Entlastungs- und Belastungszone von Dekel und Gehäuse muss die Krafteinleitungsstelle abgeshätzt werden. Abb. (B0shZ) Kraftflussbeispiele vgl. Skript Abb. 7 Bild (B73shz) Allgemeine Shraube mit Trennebene als starre Sheibe Abb. 8 Bild (B74shz) Federmodell

7 Die Trennebene wird als starre Sheibe modelliert. Die Kraft wird bei der Shraubenauflage in den Dekelteil eingeleitet und breitet sih dort analog eines Kegels aus und shliesst sih beim Gewindeübergang bzw. in der Mutter wieder. Diese komplexen Kraftfluss-Verhältnisse vereinfaht man durh die Einführung eines Ersatzzylinders und axialen Kräfteverlauf. Abb. 9 Bild (B75shz) Kraftfluss in einer allgemeinen Vershraubung Bestiung des Ersatzhülsen-Durhmessers Abb. 0 (B00shz) Vershiedene Fälle einer Vershraubung 7

8 Mit: a A ( 4 D d ) ers A h (5) b A 4 d d 8 d D d lkd ( ) + 3 D ers w h w A w ( ) + w A () A 4 d d 8 d l l d K w ( ) + 3 (l K+d w) + ers w h wk (7) Um eine Analogie zu dieser Darstellung zu finden, erkennen wir, dass bei der starren Krafteinleitung eine Syetrie-Ebene existiert. Um l K, wie in dieser Darstellung eingeführt zu bestien, müssen wir unsere Längen für die Ersatzhülsendurhmesser verdoppeln. Bestiung der Entlastungs- und Belastungszonen in unserem Beispiel: F nenn Abb. Bild (B7shz) Kraftfluss im Lagerdekel (B77shz) Federmodell für Lagerdekel 8

9 Wir mahen für unseren Fall die folgenden Annahmen für die zwei Hülsen : Abb. (B78shz) Dimensionen der Ersatzhülsen Es liegt der Fall b) vor. D A d w 3 d h l K 40 eingesetzt in die obige Beziehung () für die Ersatzhülsenflähen erhalten wir: A ers ( ) ( 3) (8) Die Federkonstanten der beiden Hülsen werden A ers E H I H A ers E H I H 55 Die Federkonstante der beiden Hülsen zusaen wird H H + H H H (9) (0) () 9

10 Herleitung des Rötsher-Diagraes Im vershraubten Zustand, ohne Betriebskraft, ist die Shraube unter Zug und beide Hülsen unter Druk. Im Zustand unter Betriebslast wird die Hülse entlastet und die Shraube, zusaen mit der Hülse, weiter belastet. Wir benötigen demnah noh die Federkonstante S+H : S + H S H Steifigkeitsverhältnis φ : () Ohne Betriebslast: φ S (3) S + H Mit Betriebslast: n φ S + H (4) S + H + H Vorgehen für die Konstruktion (vgl. Abb. 3): Ahsen in sinnvollem Massstab zeihnen Steigung der Shraube ab ullpunkt einzeihnen Steigung (H+H); (H); (S+H) an beliebiger Stelle im Diagra einzeihnen (wir kennen den Shnittpunkt Z noh niht). Erwünshte Restklekraft von an beliebiger Stelle vertikal in das Diagra zeihen und mit Parallen zu (H) shneiden. Daraus ergibt sih A. Oberhalb A die Betriebskraft F max nah oben abtragen. Daraus ergibt sih B. Durh B eine Parallele zu (S+H) zeihnen. (S+H) und (H) shneiden sih in C. C entspriht nun dem Punkt Z, wenn wir das Dreiek nun horizontal nah rehts vershieben und mit (S) shneiden. Graphishe Resultate: Die notwendige Vorspannkraft der Shraube F V beträgt 83.5 k Von der Betriebskraft gehen ΔF S 4 k in die Shraube, der Rest geht in die Hülse. Diese Kraft wird dann zu einem späteren Zeitpunkt für die Beurteilung der Dauerfestigkeit relevant. 0

11 Abb. 3 (B79shz) Rötsher-Diagra Rehnerishe Bestiung der Kräfte Setzen Beim Anziehen einer Shraubenverbindung ebnet sih die Oberflähe einer Vershraubung ein. Während einer wehselnden Betriebskraft kann sih weiteres Setzen ergeben. Graphish kann das Setzen in das Rötsher-Diagra eingezeihnet werden. Ein ahziehen nah den ersten Betriebsstunden ist deshalb häufig sinnvoll. Für ein Klelängenverhältnis l k /d 40/07 gibt Tab. 5.8 im Skript für die vorliegenden 3 Trennfugen einen Setzbetrag von a Dies entspriht einer Abnahme der Vorspannung von F Z φ H + H f Z Das heisst, die Vorspannkraft muss um diesen Betrag vergrössert werden. (5) Minimale Montagevorspannkraft F Mmin, damit nah Setzen und unter Betriebslast die geforderte Restkraft F Rest erhalten bleibt (Skript Gl. 5): F Mmin F Rest + ΔF BH + F Z F Rest + ( nφ) F B + F Z F Mmin 5k + ( 0.047).5k k () Maximale Vorspannkraft F Mmax Wegen Streuung der Anziehverfahren kann die Vorspannung auh den Wert F Mmax annehmen: F Mmax α A F Mmin k (7)

12 Statisher Festigkeitsnahweis Gl. (80) Skript gibt den zulässigen Wert F Sp an für die nah der Montage wirkende Spannkraft. Dabei wurde aus Tab. 5. ein Gewindereibwert μ G zwishen Grauguss und Stahl von entnoen. Für den Ausnutzungsgrad ν wird 0.75 gesetzt (Tab. 5.7 Skript), A 0 ist die Quershnittsflähe im Taillenbereih. Der Wurzelausdruk berüksihtigt das Torsionsmoment infolge Gewindesteigung und -reibung. A 0 ν R p0. F Sp A 0 ν R p0. k d P μ + d 0 d G (8) F Sp mit k 0.75 Die statishe Festigkeitsbedingung nah Montage, ohne Betriebskraft, lautet: F Mmax F Sp Die Bedingung ist niht erfüllt. (9) (30) Die statishe Festigkeitsbedingung nah Montage mit Betriebskraft Dies lautet genähert (vgl. Gl. 8 Skript) σ vmax σ vm + σ zs ν R p0. (3) σ zs A 0 wobei ΔF zs (3) ΔF zs n φ F B k k 0.75 Die Festigkeitsbedingung lautet.7k (33) F Mmax + ΔF zs 8k +.k 9.k k Die Bedingung ist niht erfüllt. F Sp (34) Dynamishe Beanspruhung der Shraube (Gl. 88, 89 Skript) σ m F A V n φ F Bo k S 7 8k 0.577k (35)

13 σ wobei m (3) R p F Bo 5k σ a n φ A S 7 (37) Dauerfestigkeit für shlussvergütete Shrauben aus Abb oder Abb. 5.44: σ A σ a Die Shraubenverbindung ist dauerfest. Festlegung des Anzugsdrehmomentes Mit dem Anzugsmoment muss die Gewindesteigung, die Gewindereibung und die Reibung in der Kopfauflage überwunden werden. Für die maximal zulässige Shraubenkraft F Sp wird das maximale Anzugsdrehmoment M SP zu M Sp F Sp P d -- μ G osβ μ d k km (38) M Sp 97.89k m (39) Vorgeshriebenes Anzugsmoment α A M M M + Sp α A Das ist der Mittelwert zwishen dem maximalen und dem minimalen Moment M α Sp A (40) Abb. 4 (B070shz) Shnittzeihnung im Bereih Shraubenkopfauflage 3

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