IIR-Filter. SigProc-7-IIR 1

Transkript

1 IIR-Flter SgProc-7-IIR

2 FIR IIR IIR-Flter haben komplzertere Blockdagramme, snd schwerer zu entwerfen und analyseren, haben kene lneare Phase, aber se snd selektver! Magntude Magntude Response Normalzed Frequency ( π rad/sample) HammngTP 20. Ordnung --- Butterworth 5. Ordnung SgProc-7-IIR 2

3 yn [ ] bxn [ ] bxn [ ] bxn [ 2] b xn [ L ] 0 2 L ay[ n] ayn [ 2] a yn [ M] L k0 2 M M bxn [ k] a yn [ m] k m T T b x[ n] a y[ n] m b [ b b b 0 L T ] x x[ n] x[ n] xn [ L T a aa2a M y[ n] yn [ ] yn [ 2] xn [ M T SgProc-7-IIR 3

4 DF I SgProc-7-IIR 4

5 L ( ) b0bz bl z X( z) Y z az az a 2 M 2 M L M k bk z Y z k0 m0 X( z) ( ) Y( z) H( z) X( z) L k k0 M m0 k m b bz b z = b L 0 L 2 M az az 2 am z z a z m z a m z m Y( z) (L ) Nullstellen und (M ) Polstellen SgProc-7-IIR 5

6 Frequenzgang H( ) H( z) ze j L k k0 M m0 be jk ae m jm H( ) H( ) gerade ( ) ( ) ungerade SgProc-7-IIR 6

7 b = [ 0.5] a = [ ] Imagnary Part Ampltude mpz(b,a) 0 Impulse Response n (samples) Magntude (db) Phase (degrees) Real Part Normalzed Frequency ( π rad/sample) Normalzed Frequency ( π rad/sample) SgProc-7-IIR 7

8 IIR-Flterstrukturen Drekte Form I Drekte Form II wenger Specherbedarf als Form I, aber glecher Rechenaufwand Transponerte Form I und II Transponerte und drekte Form I & II reageren sehr empfndlch auf Quantserungsfehler, da de Quantserungsfehler rückgekoppelt und summert werden. SgProc-7-IIR 8

9 DF I Bz () Bz () Az () Az () DF II SgProc-7-IIR 9

10 SgProc-7-IIR 0 x(n) y(n) ^ < < < < > > > < > ^ ^ v v v v v v v v Transponerte Form Engang Ausgang Pfele umdrehen Verzwegung Adderer Adderer Verzwegung

11 Transponerte SgProc-7-IIR DF II

12 Achtung! In der Lteratur werden de IIR-Flter oft n der Form H( z) Y( z) X( z) L bz k k0 M m0 k a z m m dargestellt. De Koeffzenten a n den Blockdagrammen nehmen dann negatves Vorzechen an! SgProc-7-IIR 2

13 Kaskaden Kaskaderung wel Kaskaden nur zweter Ordnung: enfacher zu entwerfen wenger anfällg für Quantserungsfehler wenger anfällg für Stabltätsprobleme H ( z) H( zh ) ( z) H ( ) H( ) H( ) kask h [ n] h[ n] h [ n] kask 2 kask 2 2 K K 2 k0 k k2 k 2 k k akz ak2z H( z) G H ( z) G b b z b z SgProc-7-IIR 3

14 Aber de Auftelung der Pole und Nullstellen auf de Subsysteme 2. Ordnung ncht trval ( z z )( z z ) ( z z ) ( )( ) ( ) 2 n H( z) = k z p z p 2 z p m SgProc-7-IIR 4

15 Auftelung der Pole und Nullstellen. Suche des dem Enhetskres nächstgelegenen Poles oder Polpaares 2. Suche der dem Enhetskres nächstgelegenen Nullstelle oder Nullstellenpaares 3. Zusammenfassen der gefundenen Pole und Nullstellen n ene Sekton zweter Ordnung H( z) = ( z z)( z z2) ( z p )( z p ) 2 4. Fortsetzen von bs 3, bs alle Pole und Nullstellen n abnehmenden Abstand von Enhetskres geordnet snd 5. Implementerung der gefundenen Sektonen SgProc-7-IIR 5

16 Kaskaderte Bquads 4. Ordnung SgProc-7-IIR 6

17 Matlabunterstützung für Kaskaden Second Order Sectons (SOS) Umwandlungsfunktonen aus der Polynom- und der PN-Darstellung [z,p,k] = tf2zp(b,a) z, p Vektor der Null- und Polstellen, k Konstante H ( )( ) ( ) ( z ) k z z z z z z = 2 n ( z p )( z p ) ( z p ) 2 SgProc-7-IIR 7 m

18 [sos,g] = zp2sos(z,p,k) sos b b b a a b b b a a = b b b a a 0K K 2K K 2K K 6 Achtung Matlab stellt das Polynom mt postven a dar. De Vorzechen von a müssen daher für unsere Darstellung umgekehrt werden. H( z) = b + b z + b z az + a2z b b z b z H( z) 2 k0 k k2 2 akz ak2z SgProc-7-IIR 8

19 Realserung durch parallele IIR-Flter 2. Ordnung K K k0 k k 2 k kakz ak2z H( z) G H ( z) G b b z De Parallelstruktur kann durch Partalbruchzerlegung der Systemfunkton gewonnen werden. [r,p,k] = resduez(b,a) SgProc-7-IIR 9

20 SgProc-7-IIR 20

21 Stabltät. Ordnung: H( z) = stabl, wenn a < az 2. Ordnung: H( z) = = ( )( ) 2 2 az a2z pz pz a = p p a = pp stabl, wenn p < und p < a 2 = p p < a < + a a 2 a SgProc-7-IIR 2

22 BESTIMMUNG DER KOEFFIZIENTEN SgProc-7-IIR 22

23 Methoden Platzeren von Polen und Nullstellen Invaranz der Impulsantwort Blneare Transformaton SgProc-7-IIR 23

24 Platzeren von PN Magntude Response Pole/Zero Plot Magntude Imagnary Part Normalzed Frequency ( π rad/sample) Real Part Bandpass zweter Ordnung SgProc-7-IIR 24

25 .2 Magntude Response 0.8 Magntude Normalzed Frequency ( π rad/sample) Bandsperre (Notch-/Kerbflter) 2. Ordnung SgProc-7-IIR 25

26 Magntude Response (db) 0 Pole/Zero Plot Magntude (db) Imagnary Part Real Part Normalzed Frequency ( π rad/sample) Ellptsches Flter 5. Ordnung SgProc-7-IIR 26

27 Invarante Impulsantwort SgProc-7-IIR 27

28 Analoger TP. Ordnung A H a s p A - () - h t L H s L Ae a a s p Abtasten m Zetberech p nt h [ n] h ( nt) Ae, n, 2, d a z-transformaton A H() z h ( nt ) z Ae z e n p nt a pt n0 n0 SgProc-7-IIR 28 pt z

29 A A pt s p e z Be Fltern höhere Ordnung Partalbruchzerlegung H () s a 2 2 ( s ) T ze sn T H () z d 2 T 2T z 2ze cost e H H a s () s 2 2 ( s ) 2 T z ze cos T () z z 2ze cost e d 2 T 2T SgProc-7-IIR 29

30 Dese Methode kann nur für scharf begrenzte Tef- oder Bandpässen angewandt werden und verlangt klenes T, um de Impulsantwort genau abzutasten. De Methode kann ncht angewandt werden, wenn das analoge Flter en Hochpass oder ene Bandsperre st, da ja das Spektrum dgtaler Flter perodsch fortgesetzt wrd und es zu Alasng kommt. SgProc-7-IIR 30

31 Deses Verfahren st nvarant für de Impulsantwort, aber ncht nvarant für de Sprungantwort. De Sprungantwort st A A Y H () s astep a s s( s p ) p s s p Laplace-Transformatn o A pt y () t e () t astep p A () pt y t e () t astep p A ( ) p nt y nt e astep p ( t) SgProc-7-IIR 3

32 Berechnen wr de Sprungantwort für deses (Impuls-nvarante) Flter m z-berech müssen wr mt der z-transformerten der Sprungantwort multplzeren und erhalten Y y A A e e z z e e z z Transformaton pt () z dstep pt pt pt z dstep A pt ptn A ( ) pt n ( n) e e [ n] e [ n] p T pt e e SgProc-7-IIR 32

33 y astep A p nt ( nt) e () t p y n A e n e ( ) ( ) pt n [ ] dstep pt SgProc-7-IIR 33

34 Invaranz der Sprungantwort A ( ) p nt y nt e () t astep p nach der z-transformaton wrd A Y () z Hz () astep pt p e z z z pt z A e z pt p T e z p e z p T A Hz () p H() z A e Konstante pt p e z z SgProc-7-IIR pt 34 ze

35 Impulsnvaranz Hz ( ) Sprungnvaranz Hz ( ) e A e A pt pt p z z e pt z SgProc-7-IIR 35

36 jω 3π/T Im z π/t -π/t σ - Re z -3π/T s-ebene z-ebene SgProc-7-IIR 36

37 Blneare Transformaton Darstellung der DGL am»analogrechner«adderer Multplkaton mt Konstante Integrerer SgProc-7-IIR 37

38 Dgtaler Integrerer y () t x () t dt a a y ( nt ) y n x () t dt a a ( n) T a Anfangsbedngung nt T y n x ( nt) x ( n T) a a a 2 Trapezregel SgProc-7-IIR 38

39 T yn ( ) yn ( ) xn ( ) xn ( ) 2 z Transformaton Y() z z Xz ( ) 2 z Analoger Integrerer /s z s 2 z 2 z s T z H () z H () s z 2 d a s T z SgProc-7-IIR 39

40 Von der s- n de z-ebene z st 2 st 2 s j z 0 j j T 0 2 T Imagnäre Achse m s-berech z = wrd zum Enhetskres m z-berech 0 2 SgProc-7-IIR 40

41 z T /2 T / T /2 T / jω Im z σ - Re z s-ebene z-ebene SgProc-7-IIR 4

42 De Abbldung umfasst de gesamte s-ebene, es werden also Pol- und Nullstellen n de z-ebene abgebldet, es kann daher ken Alasng auftreten. De enzge Abwechung vom analogen Flter legt n der numerschen Berechnung der Integraton. SgProc-7-IIR 42

43 Punkte auf der magnäre Achse SgProc-7-IIR sn cos 2 2 tan, 2 arctan 2 2 j j j j z s T z j e e j T T e e T T

44 ω 3 π SgProc-7-IIR 44

45 SgProc-7-IIR 45 Ω

46 Approxmatonen Potenz oder Butterworth Ellptsch oder Cauer Tschebyscheff Typ I & II log Ω SgProc-7-IIR 46

47 SgProc-7-IIR 47

48 Contnuous Phase Response 0-2 Butterworth Contnuous Phase (radans) Cauer Tschebyscheff I Flter # Flter #2 Flter #3 Flter #4-2 Tschebyscheff II Normalzed Frequency ( π rad/sample) SgProc-7-IIR 48

49 Magntude Response (db) 0 Tschebyscheff II -50 Cauer Butterworth -00 Magntude (db) Tschebyscheff I Normalzed Frequency ( π rad/sample) SgProc-7-IIR 49

50 Matlab-Funktonen SgProc-7-IIR 50

51 FIR 79! SgProc-7-IIR 5

52 Egenschaft IIR FIR # Multplkatonen am nedrgsten am höchsten Empfndlchket Koeffzenten Quantserung Auftreten von Overflow-Fehlern hoch (24-bt für HIFI Audo) hoch (besser Kaskaden- oder Parallelstruktur) Stabltät Entwurfskrterum garantert sehr nedrg, 6-bt n der Regel ausrechend sehr nedrg Lneare Phase nen ja, be Symmetre Größe Koeffzentenspecher Analyse Quantserungsrauschen mnmal maxmal sehr schwerg wenger schwerg SgProc-7-IIR 52