Dissertation. vorgelegt von Dipl.-Math. Klaus Sonnleitner aus Erftstadt-Frauenthal bei Köln

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1 StV4 : Ein symplektisches zeitreversibles Störmer-Verlet-Verfahren vierter Ordnung für amiltonsche Mehrteilchensysteme mit zwei Anwendungsbeispielen (Gas, -Rohr-Anordnung) Dissertation der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Eberhard Karls Universität übingen zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) vorgelegt von Dipl.-Math. Klaus Sonnleitner aus Erftstadt-Frauenthal bei Köln übingen 00

2 ag der mündlichen Qualifikation: Dekan: Prof. Dr. Wolfgang Rosenstiel. Berichterstatter Prof. Dr. Dr. h.c. Otto E Rössler. Berichterstatter Prof. Dr. Nils Schopohl

3 Einleitung und Übersicht I Einleitung amiltonsche Differentialgleichungen besitzen bekannterweise einen symplektischen Fluss. Das heißt, die nach dem Parameter Anfangswert differenzierte Lösung der Anfangswertaufgabe erfüllt eine gewisse Konstanz-Beziehung mit der sogenannten Struktur-Matrix (genaue Beschreibung im ext). Bei numerischen Lösungsverfahren spielte die Suche nach Verfahren, die ebenfalls symplektisch sind, bis in die 90-er Jahre eine untergeordnete Rolle. Aus der verwirrenden Vielfalt der angebotenen (hauptsächlich Runge-Kutta-verwandten) Verfahren wurden empirisch stets solche vom Störmer-Verlet-yp als besonders empfehlenswert (einfach, wirksam, stabil und hinreichend genau) bevorzugt (vgl. Ciccotti und oover 986). In der Folgezeit befasste sich die numerische Mathematik ausführlich mit der Frage der Vorteile, die symplektische numerische Verfahren boten, und man versuchte diese Vorteile durch backward-analysis-methoden als überlegen zu beweisen. ier ist der Kreis um Gerhard Wanner (Genf), Robert I McLachlan (Neu Seeland) und aus neuerer Zeit Sergio Blanes (Valencia) zu nennen. Von der bloßen Empfindung her und, wie praktische Rechnungen zeigen, sind numerische Verfahren, die möglichst viele Eigenschaften mit der exakten Lösung gemeinsam haben, sicherlich zu bevorzugen. Zu dem Eigenschaftskatalog eines solchen Verfahrens gehört nach diesen zunächst nur in der Praxis gewonnenen Erkenntnissen die Symplektizität (und bei reflektionssymmetrischer amilton- Funktion auch die Zeitreversibilität) des zu wählenden numerischen Verfahrens. Die sich einstellenden Vorteile sind gute Langzeit-Approximation bei relativ großer Schrittweite, keine wesentliche Energie-Drift, sowie Erhalt vieler Integrale der exakten Lösung auch bei der numerischen Verarbeitung. Beispiele hierzu werden angegeben. Es war schon immer sehr erstaunlich, dass das (gewöhnliche) explizite Euler- Verfahren, angewendet auf eine mechanische amilton-differentialgleichung, durch eine kleine, fast unscheinbare Änderung symplektisch gemacht werden kann (Übergang von n n+ in jeweils einer der beiden Bestimmungsgleichungen). Der so entstandene symplektische Euler-Schritt (mit all seinen Vorzügen eines symplektischen Verfahrens) ist sogar noch einfacher zu programmieren als das (gewöhnliche) Euler-Verfahren, weil die Iterationswerte innerhalb eines Schrittes auf dem alten Platz überschrieben werden können. Überspitzt könnte man sogar behaupten, dass dieses eigentlich falsche Überschreiben der Werte bei der Programmierung des gewöhnlichen Euler-Verfahrens zur Entdeckung der außerordentlichen Eigenschaften des dabei zufällig symplektisch gewordenen Euler- Verfahrens geführt hat. Ebenso erstaunlich ist, dass die zwei möglichen Arten der symplektischen Euler- Verfahren (EulerA und EulerB) zu einander adjungiert sind, so dass deren Zusammensetzung ein explizites, symplektisches und sogar zeitreversibles Verfahren erzeugt. Dies ist gerade das oben gelobte Störmer-Verlet-Verfahren.Ordnung, wobei traditionell jedoch zwei Kraftauswertungen je Iterationsschritt benötigt werden. I

4 Einleitung und Übersicht II Eine veränderte Reihenfolge der Verknüpfung der beiden Euler-Verfahren führt sogar zu einer starken Reduzierung der Rechenoperationen, weil je Iterationsschritt nur noch eine einzige Kraftauswertung benötigt wird (vgl. den entsprechenden Nachtrag S.53). Gerade bei Mehrteilchensystemen (mit ihrem hohen Rechenaufwand bei der Kraftbestimmung) ist dieser Störmer-Verlet-Varianten der Vorzug zu geben. Ein weiterer Vorteil dabei ist ein verminderter Rundungsfehlereinfluss. insichtlich der aufwändigen genauen mathematischen Beweise der aus der Symplektizität folgenden günstigen Eigenschaften im wesentlichen die Aussage, dass das numerische Verfahren die exakte Lösung einer Differentialgleichung mit leicht veränderter amilton-funktion ist mit zur ursprünglichen amilton-funktion benachbarten öhenlinien, und dies über exponentiell lange Zeiträume wird auf die im Anhang angegebene Literatur verwiesen (insbesondere [LW,00], [McQ,006] und [BCM,008]). Zur Vermeidung der Aufsummierung gleichgerichteter Rundungsfehler bei Verfahren. Ordnung empfiehlt das bereits oben genannte Buch von Ciccotti und oover die Verwendung von numerischen Verfahren höherer als. Konvergenz-Ordnung Im theoretischen ersten eil dieser Arbeit werden die Eigenschaften "symplektisch" und "zeitreversibel" für die exakte amilton-differentialgleichungslösung genauer erläutert und auch bei den hierfür geeigneten numerischen Verfahren aufgezeigt und unter Verwendung elementarer mathematischer Methoden nachgewiesen. Auf Grund der Vererbungseigenschaften bei symmetrischer Verknüpfung gelingt es dann, mit dem Baustein des einfachen Störmer-Verlet-Verfahrens ein zeitreversibles symplektisches numerisches Verfahren der 4. Ordnung anzugeben. Im zweiten praktischen eil der Arbeit wird dieser symplektische Algorithmus 4. Ordnung als robustes Arbeitspferd auf zwei verschiedene Klassen von Beispielen angewendet. Das erste Beispiel belegt das traditionelle Rücklaufverhalten (die Rückkehr in den Ausgangszustand) bei einem Mehrteilchensystem: *=44 Gasmoleküle unter Lennard-Jones-Potential in einer Kreis-Berandung. Das zweite Beispiel untersucht das Langzeit-Energie-Austauschverhalten eines Zweiteilchen-Systems von stark verschiedenen Massen unter anziehender bzw. abstoßender Paar-Kraft. Bei abstoßender Paar-Kraft zeigen die kinetischen Energien ein Bestreben, sich anzugleichen. Bei anziehender Paar-Kraft verhält sich die kinetische Energie der eilchen jedoch im Widerspruch zu dem bei Mehrteilchensystemen gewohnten Äquipartitionsbestreben. Damit wird der Begriff der dynamischen Reibung von Chandrasekhar erstmals an einem amiltonschen Zweiteilchensystem aufgezeigt. II

5 Einleitung und Übersicht III Übersicht Das erste Kapitel "Mathematische Grundlagen für amilton-systeme" erläutert die Gewinnung der amilton-differentialgleichung (amilton-dgl) aus der amilton- Funktion (Gesamt-Energie des mechanischen Systems). Die Lösung (Phasenraumkurve) der amilton-dgl beschreibt dann die Bewegung der Massenpunkte in der Zeit. Die rechte Seite der amilton-dgl wird mithilfe der sogenannten schiefsymmetrischen Struktur-Matrix J erzeugt: Die rechte Seite der Dgl ist dabei das Produkt dieser schiefsymmetrischen Struktur-Matrix und des Gradienten der amilton- Funktion. Mechanische Systeme (im Gegensatz zu elektromagnetischen Systemen) besitzen amilton-funktionen mit zwei Zusatz-Eigenschaften: Additive Zerlegbarkeit in (nur von p -abhängige) kinetische und (nur von q -abhängige) potentielle Energie: ( q; p) = ( p) + V ( q) und dazu noch Reflektions-Symmetrie: ( q; p) = ( q; p). Die aus der amilton-funktion gebildeten Dgln werden genauer betrachtet und ihre Eigenschaften festgestellt: die Symplektizitäts-Eigenschaft sowie (bei Reflektions- Symmetrie der amilton-funktion) die entsprechende Zeit-Reversibilitäts- Eigenschaft der abgleiteten amilton-dgl. (Allgemeinere Dgln haben diese Eigenschaften natürlich nicht.) Dann werden charakteristische Eigenschaften der Flüsse (exakte Lösungen) von amilton-dgln untersucht: Zuzüglich zu der Zeit-Symmetrie-Eigenschaft, die den kontinuierlichen Flüssen aller Dgln gemeinsam ist, besitzen die Flüsse von amilton- Dgln stets die Symplektizitätseigenschaft. Diese besagt im Wesentlichen, dass die Verbindung des nach dem Anfangswert differenzierten Flusses mit der Struktur- Matrix J eine Konstante der Bewegung ist (genaue Beschreibung im ext S.8). Ist die amilton-funktion reflektionssymmetrisch (wie stets bei mechanischen Systemen), so folgt aus der Zeit-Reversibilität der Dgl zunächst nur die schwache Zeit-Reversibilität des Flusses. Zusammen mit der stets vorhandenen Zeit-Symmetrie von kontinuierlichen Dgl-Flüssen ergibt sich daraus die (volle) Zeit-Reversibilität des Flusses. Die Begriffe Zeit-Symmetrie, Zeit-Reversibilität und schwache Zeit-Reversibilität werden anschaulich in ihren Beziehungen zueinander dargestellt. Die Unterscheidung zwischen schwach zeitreversibel und zeitreversibel ist für das Verständnis des Kapitels wichtig: Für die kontinuierlichen Flüsse des Kapitels gibt es diese Unterscheidung nicht, da die stets vorhandene Zeit-Symmetrie der kontinuierlichen Flüsse den Unterschied aufhebt. Numerisch erzeugte diskrete Flüsse dagegen besitzen i.a. nur die Eigenschaft der schwachen Zeit-Reversibilität und nicht von selbst Zeit-Symmetrie und auch nicht (volle) Zeit-Reversibilität. Um auch mit ihnen die (bei den kontinierlichen Flüssen stets vorhandene) Rücklauf- Eigenschaft realisieren zu können, müssen sie zeitreversibel gemacht werden bzw. auf Zeit-Symmetrie geprüft werden. III

6 Einleitung und Übersicht IV Im inblick auf die am Ende zu betrachtenden zwei Beispiele werden die zugehörigen amilton-funktionen und die daraus resultierenden Dgln konkret angegeben, wobei im zweiten Beispiel der Übergang zu generalisierten Koordinaten vollzogen wird (mit dem Vorteil eines Zwangskräfte-freien, Dimensions-reduzierten Dgl-Systems). Das zweite Kapitel "Numerische Methoden für amilton-systeme" führt in die numerischen Verfahren ein. Ausgangspunkt ist das klassische Euler-Verfahren, welches durch eine leichte Änderung (EulerA-Verfahren bzw. EulerB-Verfahren genannt) in ein symplektisches numerisches Verfahren überführt werden kann. Obwohl die Auswirkungen der Symplektizität hier nur oberflächlich wiedergegeben werden, zeigen erste praktische Phasenraumkurven-Berechnungen einen deutlichen Unterschied bei der Anwendung eines symplektischen gegenüber einem nichtsymplektischen Verfahren. (Man vergleiche zum Verständnis des Gesagten die unterschiedlich berechneten Phasenraumkurven eines einzelnen Körpers im Anlauf gegen einen zweiten, im Ursprung fest verankerten Körper, zwischen denen ein Lennard-Jones-Potential herrscht = Lennard-Jones-Oszillator: Abbildungen S.38) Beide jeweils individuell nicht zeitsymmetrischen Verfahren (das EulerA-Vefahren und das EulerB-Verfahren) werden nun durch intereinanderausführung zu einem neuen Verfahren, dem sogenannten Störmer-Verlet-Verfahren StV, zusammengeführt. Weil EulerA- und EulerB-Verfahren glücklicherweise adjungiert zueinander sind, d.h. es gilt ( EulerA( t)) = EulerB( t), ist das aus ihnen zusammengesetzte Störmer-Verlet-Verfahren sogar zeitsymmetrisch. Darüberhinaus bleibt es bei mechanischen amilton-funktionen explizit. Jedes andere Verfahren könnte auch durch Verknüpfung mit seiner Adjungierten zeitsymmetrisch gemacht werden, allerdings nur um den Preis, dass durch das Einbringen der (impliziten) Adjungierten (deren Ausführung die Lösung einer Gleichung verlangt) das zusammengesetzte Verfahren nicht mehr explizit bleibt. Dem günstigen Zufall der wechselseitigen Adjungiertheit von EulerA- und EulerB- Verfahren und der sich ergebenden Zeit-Symmetrie bei der Verknüpfung dieser beiden Verfahren sowie dem Explizit-Bleiben der Rechenvorschrift verdankt das bekannte Störmer-Verlet-Verfahren seine Einzigartigkeit: Es ist sogar noch von. Konvergenz-Ordnung. (Mit einer als Nachtrag gekennzeichneten Änderung kann erreicht werden, dass je Schritt nur eine einzige Kraftauswertung benötigt wird.) Da beide Eigenschaften "symplektisch" und "schwach zeitreversibel" ganz allgemein bei Zweifach-Verknüpfung erhalten bleiben, die Eigenschaften "zeitsymmetrisch" und "zeitreversibel" jedoch nur bei symmetrischer Dreifach-Verknüpfung 3, kann versucht werden, durch entsprechende symmetrische Dreifach-Kombination zweier verschiedener numerischer Verfahren (mit gleichen Eigenschaften) ein Verfahren höherer Konvergenz-Ordnung zu erzeugen. Man kann die Änderung als den (in der numerischen Mathematik bei partitionierter Iteration wohlbekannten) Übergang vom Gesamtschritt-Verfahren zum Einzelschritt-Verfahren beschreiben. Die Verknüpfung von numerischen Verfahren ist ein beliebtes Vorgehen: Es zeigt sich, dass bei Zweifach-Verknüpfung Symplektizität und schwache Zeit-Reversibilität erhalten bleiben, die Zeit- Symmetrie und (volle) Zeit-Reversibiliät aber im allgemeinen nicht. 3 A B A bzw. B A B ist eine symmetrische Dreifach - Verknüpfung zweier Verfahren A und B. IV

7 Einleitung und Übersicht V Diese Überlegung führt (ausgehend von dem Störmer-Verlet-Verfahren StV ( t; q; p) mit Symplektizitäts- und Zeit-Reversibilitäts-Eigenschaft) zur Konstruktion einer symmetrischen Dreifach-Verknüpfung StV{ α t; StV[ β t; StV ( α t; q; p))]} mit ebenfalls diesen Eigenschaften für beliebige Parameter α, β. Durch richtige Wahl der Parameter α, β gelingt es sogar, ein Verfahren 4. Konvergenz-Ordnung zu erzeugen. Dies ergibt das hier neu vorgestellte StV 4 - Verfahren als symmetrische Dreifach-Verknüpfung von StV -Verfahren mit geeigneten Parametern. Die Darstellung der Kapitel und lehnt sich an Leimkuhler und Reich [LR,005] an, wobei versucht wurde, zu allen Aussagen die Beweise hinzuzufügen, soweit dies mit einfacher Rechnung möglich war. Im inblick auf mehr theoretische Fragestellungen (z.b. die Bedeutung der Symplektizität für die Langzeit-Stabilität) wurden mit Gewinn die reichhaltigen Beiträge von airer und Lubich [L,997], airer, Lubich und Wanner [LW,00], McLachlan und Quispel [McQ,006] und Blanes, Casas und Murua [BCM,008] zu Rate gezogen. Das dritte Kapitel "MatLab-Rechnungen für amilton-systeme" befasst sich mit zwei konkreten Anwendungen des StV 4 -Verfahrens. Im ersten Fall wurden Gasmoleküle unter Lennard-Jones-Potential nach Geschwindigkeitsumkehr wieder in den Anfangszustand zurück laufen gelassen. ierzu war die Zeit-Reversibilität des StV 4 -Verfahrens wichtig. Zum anderen wurde die Phasenraumkurve von zwei eilchen in einer -Rohr- Anordnung bis zu einem im allgemeinen erst nach agen Realzeit eintretenden numerischen Stabilitäts-Zustand verfolgt. Untersucht wurde dabei in Abhängigkeit von der Art der Paar-Kraft, anziehend oder abstoßend, das unterschiedliche Energieaustausch-Verhalten dieses von einer mechanischen amilton-funktion gesteuerten Systems. ierbei war die Langzeit-Stabilität des StV 4 -Verfahrens wichtig. Mehr physikalisch orientierte Bemerkungen hinsichtlich der behandelten Beispiele beenden das Kapitel. Zur Ausführung der numerischen Rechnungen wurde das Programmier-System MatLab von August 5, 007(R007b) verwendet. Die Programmtexte sind beigefügt. Die kürzeren Rechnungen wurden auf einem 500Mz-PC ausgeführt, die längeren auf dem Cluster-Rechner des ZDV der Universität übingen. Schlussbemerkungen und Ausblick, ein Literatur- und Stichwort-Verzeichnis, Liste der akademischen Lehrer, Lebenslauf und eine Danksagung schließen die Arbeit ab. Klaus Sonnleitner übingen V

8 Inhaltsverzeichnis Einleitung und Überblick S. I - V Inhaltsverzeichnis S. VI Symbole und Darstellung S.VII - VIII. Mathematische Grundlagen für amilton-systeme S. - 8 Aufbau Von den Newton- zu den amilton-bewegungsgleichungen 3 Die Eigenschaften "additiv aufgeteilt" und "reflektionssymmetrisch" 4 Eigenschaften des amilton-dgl-systems bei allgemeiner bzw. additiv aufgeteilter oder reflektionssymmetrischer amilton-funktion 5 Der symplektische Fluss einer amilton-dgl 6 Der Fluss als Verknüpfung der Flüsse von amilton-dgln bei additiv aufgeteilter amilton-funktion 0 Der zeitreversible Fluss bei reflektionssymmetrischer amilton-funktion Beispiel : Das N-Körper-System bei Paar-Abstands-Potentialen 0 Systeme mit geometrischen, global parameterisierbaren Zwangsbedingungen Beispiel : Zwei Körper in einem -Rohr 5. Numerische Methoden für amilton-systeme S Aufbau Das Euler-Verfahren, Eigenschaften 33 Auswirkungen der Symplektizität eines numerischen Verfahrens 35 Auswirkungen der Zeit-Reversibilität eines numerischen Verfahrens 39 Auswirkung der Symplektizität und der Zeit-Reversibilität auf die Energie 4 Das EulerA- und EulerB-Verfahren, Eigenschaften, Verknüpfung 43 Das Störmer-Verlet-Verfahren als Verknüpfung EulerA EulerB, Eigenschaften5 Symmetrische Dreifach-Verknüpfung von Störmer-Verlet-Schritten zur Erzeugung des StV 4 -Verfahrens vierter Ordnung 54 Zusammenfassende Übersicht der vorgestellten Verfahren mit ihren wesentlichen Eigenschaften MatLab-Rechnungen für amilton-systeme 65 a) Gas S Rücklauf-Verhalten des StV 4 -Verfahrens bei N-Körper System 67 Programm-Schema für N-Koerper 70 Programm-Quell-ext 7 Rechen-Beispiele 76 Zusätze 80 b) -Rohr-Anordnung S Behandlung des Rückstoßes 83 ypisches Langzeit-Verhalten der numerischen Dgl-Lösungen 85 Unterschiedliches Verhalten der kinetischen Energien der beiden Körper bei abstoßender bzw. anziehender Paar-Kraft 93 abelle mit den Parametern und Ergebnissen der einzelnen Simulationen 99 Programm-Schema für -Rohr 0 Programm-Quell-ext 0 Bemerkungen hinsichtlich der behandelten Beispiele 08 Schlussbemerkungen und Ausblick S. 0 Literaturverzeichnis, Stichwortverzeichis, Liste der akademischen Lehrer S. Lebenslauf und Danksagung S. 6 VI VI

9 Symbole und Darstellung VII Symbole : Symbole und Darstellung a I k 0 k k x k Nullmatrix n ransposition eines Vektors bzw. einer Matrix a k x k Einheitsmatrix id R Identität, d.h. id( x) : = x x R f f n m f ( x) = (,.., ) Ableitung von f : R R als m x n Matrix x xn (Zusammenfassung aller partiellen Ableitungen als m x n Matrix) n m f ( x) : = ( f,.., f ).Ableitung von f : R R als m x n Matrix a mn rs x x n b Kronecker Produkt als m*r x n*s Matrix v ( v; v ) : = v untereinandergeschriebene Vektoren (Vektor-Verkettung) a b (Matrizen-)Multiplikation (verträglicher Matrizen) L x : = L( x) Auswertung bei linearer Abbildung L durch Matrix-Multiplikation f g intereinanderausführung von g und f mit [ f g]( x) : = f ( g( x)) m n n f m-fach Anwendung einer Abbildung f : R R Φ ( t; z ) Flussabbildung (exakte Lösung) zur AWA f 0 d z ( t ) = f ( z ( t )), z (0) = z 0 dt Ψ f ( t; z0) numerische Approximation der Flussabbildung Φ f ( t; z0) Ψ f ( t; z0) Zweifach-Iteration f t f t z0 ( ( ; )) Ψ f t z Urbild : y n : = Ψ ( ; Ψ ( ; )), analog für n-fach Iteration =, wenn Ψ f ( t; y) = z i Einsetzungsstelle bei Funktionen mehrerer Variablen : Erläuterung : Sei l m n f : R R R, d.h. ( x; y) f ( x; y) dann wird bezeichnet m n f ( x; i) : R R durch y f ( x; y) (Auswertung bei festem x, als Funktion von y) und f ( x; i ) : = f ( x; y) (Ableitung nach dem variablen y bei festem x) ; y l n f ( i; y) : R R durch x f ( x; y) (Auswertung bei festem y, als Funktion von x) und f ( i ; y) : = f ( x; y) (Ableitung nach dem variablen x bei festem y). x Folge für (gemischte und vertauschbare) zweite partielle Ableitung : f ( i; y) = f ( x; i ) : = f ( x; y) = f ( x; y) y x x y y x sinngemäß f ( i; y) g( i ; y) als [ f ( i; y) g( i ; y)]( x) : = f ( g( x; y); y) VII

10 Symbole und Darstellung VIII Zur Darstellung : Die Beweise sind ausgeführt mit dem gebräuchlichen mathematischen ilfsmitteln (Funktionen, Ableitungen, Ineinandersetzen von Potenzreihen, Matrizenoperationen, Kronecker-Produkt) :. Besonderer Wert muss dabei auf die explizite Bezeichnung der ransposition von Matrizen gelegt werden : Statt der (sonst in der Physik verwendeten) symmetrischen Größen treten hier öfter schiefsymmetrische Matrizen (z.b. die Struktur-Matrix) auf : Sie ändern bei ransposition ihr Vorzeichen, d.h. J = J.. Durch Verwendung des Kronecker-Produktes ist eine eindeutige, und mit bekannten eindimensionalen Regeln verträgliche Notation möglich : z.b. Die Produktregel der Differentiation bei Funktionen mehrerer Veränderlicher lautet: ( f ( x) g( x)) = f ( x) ( id g( x)) + f ( x) g ( x) oder höhere Ableitungen sind auf das Kronecker-Produkt der Argumente anzuwenden: f ( x) h h (statt h f ' '( x) h mit f ' '( x ) esse-matrix). 3. Die (etwas ungewöhnliche) Notation der Symplektizitäts-Eigenschaft n n dqˆ dpˆ = dq dp von Abbildungen qˆ, pˆ : R R wurde nicht über das Dach- Produkt von Differentialformen ( ) ( ) : ( ( )) da z db z = a z b ( z) ( b ( z)) a ( z), d.h. über eine schiefsymmetrische bilineare Zuordnung, erklärt und es wurde auch keine (der sicherlich formal einfachen, aber merkwürdigen) Differential-Formen Rechen-Regeln (z.b. da( z) A da( z) = 0 bei symmetrischem A ) verwendet. vgl. [LR,005], S.64. Es ist in einfacher Notation a ( z) a ( z) n m da db : = a ( z) b ( z) b ( z) a ( z) = J Mat( n, n) für a, b : R R. b ( z) b ( z) Also bedeutet dqˆ dpˆ = dq dp explizit: qˆ ( q; p) ˆ q( q; p) ( ) J J pˆ ( q; p) pˆ = ( q; p) qˆ ( q; p) qˆ ( q; p) q q J J pˆ ( q; p) pˆ = ( q; p) p p vgl. Definition der Symplektizität S. 7 VIII = In = I n oder

11 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme Kapitel Mathematische Grundlagen für amilton-systeme

12 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme Überblick Mathematische Grundlagen für amilton-systeme amilton-funktion erzeugt amilton-dgl erzeugt Fluss der Dgl/Bewegung stets: (passend gewählte) amilton-funktion (Gesamtenergie) ( q; p ) zusätzlich: ( q; p) = ( q; p) + ( q; p) mit additiver Aufteilung und {, } = 0 zusätzlich: ( q; p) = ( q; p) mit Reflektions-Symmetrie ( qɺ ; pɺ ) = J ( q; p) (~ Newton-Dgl bei konservativen Kräften als Dgl-System.Ordnung) Rechte Seite Dgl hat ( J ) = ' ' J (symplektische Dgl) i ( q; p ) ist Integral der mit ( q; p ) erzeugten amilton-dgl j Rechte Seite Dgl hat f ( q; p) = S f ( S ( q; p)) (zeitreversible Dgl) ( Φ ( t; i)) J Φ ( t; i ) = J (symplektischer Fluss) Die Flüsse vertauschen u. erzeugen als Verknüpfung den Fluss der urspr. amilton-dgl Φ = Φ Φ = Φ Φ = + Fluss Φ ( t; i) hat S Φ ( t; S i) = Φ ( + t; i ) (schwach zeitreversibler Fluss) Mit Φ( t; i ) Φ ( t; i ) = id (Zeit-Symmetrie des Flusses jeder Dgl) : Fluss Φ ( t; i) hat S Φ ( t; i ) S Φ ( t; i ) = id bzw. Bewegung auf [0, ] ( q( t); p( t )) hat Rücklaufbewg. auf [, ] ( q( t); p( t))

13 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 3 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme Aufbau ) Von den Newton- zu den amilton-bewegungsgleichungen ) Die Eigenschaften "additiv aufgeteilt" und "reflektionssymmetrisch" 3) Eigenschaften des amilton-dgl-systems bei allgemeiner bzw. additiv aufgeteilter oder reflektionssymmetrischer amilton-funktion 4) Der symplektische Fluss einer amilton-dgl 5) Der Fluss als Verknüpfung der Flüsse der amilton-dgln bei additiv aufgeteilter amilton-funktion 6) Der zeitreversible Fluss bei reflektionssymmetrischer amilton-funktion 7) Beispiel : Das N-Körper-System bei Paar-Abstands-Potentialen 8) Systeme mit geometrischen, global parameterisierbaren Zwangsbedingungen 9) Beispiel : Zwei Körper in einem -Rohr )Von den Newton-Bewegungsgleichungen zu den amilton-bewegungsgleichungen d Die Bewegungsgleichungen für ein N-(Punkt-)Körper-System im R (d=,,3) lauten d M q( t) = F( q( t)) (Newton-Dgl-System). dt Dabei ist N d q( t) : = ( q ( t);..; q ( t)) R der Gesamt-Ort, d.h. N d der Vektor der untereinander geschriebenen Körper-Orte q ( t) R, M : = diag( m,.., m ) I die Nd x Nd Masse-Matrix, N d N d F( q) : = ( F ( q);..; F ( q)) R der Gesamt-Kraft-Vektor, d.h. N die untereinander geschriebenen d Kräfte Fi ( q) R, die auf die einzelnen Körper wirken. Mit der Einführung der ilfsgröße p : = M ɺ q (Gesamt-Impuls) lassen sich die Bewegungsgleichungen als gew. Dgl-System. Ordnung schreiben : d q ( t ) M = p ( t ) dt. d p ( t ) = F ( q ( t )) dt Mit den Definitionen. ( p) : = p M p (kinetische Energie), mit ( p) = M p. V ( q ) (potentielle Energie) derart, dass V ( q) = F( q) (bei konservativer Kraft), 3. ( q; p) : = ( p) + V ( q) (Gesamt-Energie oder mechanische amilton-funktion ) i Für die heorie ist diese Untereinander=Vektor-Schreibweise vorteilhaft, für die Programmierung eher die Nebeneinander=Matrix-Schreibweise, vgl. Kapitel MatLab-Rechnungen. Der Impuls ist hier linear verbunden mit der Gesamtgeschwindigkeit. 3

14 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 4 lässt sich die rechte Seite des Dgl-Systems.Ordnung in der (zweigeteilten) Form qɺ ( t) = ( p) pɺ ( t) = V ( q) schreiben, bzw. nach Einführung der schief-symmetrischen 3 Struktur-Matrix 0Nd I Nd J : = (Struktur-Matrix) I Nd 0Nd ( Nd, Nd ) auch als d q( t) V ( q( t)) = J Nd,Nd (amilton-dgl-system) dt p( t) ( p( t)) Nd, Nd, oder (in kompakter Form 4 ) als d ( q ( t ); p ( t )) = J ( q ( t ); p ( t )). dt Allgemein heißt jede Dgl, deren rechte Seite aus der Struktur-Matrix J und dem Gradienten einer reellwertigen amilton-(stamm-)funktion ( q; p ) gebildet ist, eine amilton-dgl. ) Zusätzliche Eigenschaften der amilton-funktion ("additiv aufgeteilt in Summanden mit verschwindender Poisson-Klammer" bzw. "reflektionssymmetrisch") a) Additive Aufteilung in Summanden mit verschwindender Poisson-Klammer bedeutet : Die amilton-funktion hat eine Darstellung der Form ( q; p) = ( q; p) + ( q; p) mit verschwindender Poisson-Klammer der Summanden { ( q; p), ( q; p)}: = ( q; p) J ( q; p)) = 0. b) Reflektions-Symmetrie bedeutet : Es gilt : ( q, p) = ( q, p) d.h. ( p) = ( p). Mit der involutorischen 5 Reflektions-Matrix + I Nd 0Nd S : = 0 I kann die Reflektions-Symmetrie als ( q; p) = ( S q; p) beschrieben werden. Nd Nd ( Nd, Nd ) ( ) 3 Es gilt J = J (Schief-Symmetrie der Struktur-Matrix J ) 4 Für theoretische Untersuchungen hinsichtlich der Eigenschaften der Lösung wird diese Form (der untereinander geschriebenen Komponenten) bevorzugt : Rechte und linke Seite ist je ein Vektor des IR Nd (für N Körper im IR d ) (bzgl. einer anderen Schreibweise, vgl. Kapitel MatLab Rechnungen.) 5 Es gilt S S = I (Die Reflektions-Matrix S ist eine Involution). 4

15 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 5 3) Eigenschaften des amilton-dgl-systems bei allgemeiner bzw. additiv aufgeteilter oder reflektionssymmetrischer amilton-funktion Die rechte Seite einer amilton-dgl J ( q; p) erfüllt als Matrixprodukt aus schiefsymmetrischer Struktur-Matrix und dem Gradienten einer skalaren amilton- Funktion die folgende Beziehung ( J ( q; p)) = ' '( q; p) J (Symplektizitäts-Eigenschaft der amilton-dgl) Denn (unter Verwendung 6 von ' '( q; p) = ' ' ( q; p) ) folgt ( J ) = ( J ' ') = ' ' J = ' ' J = ' ' J Diese Eigenschaft in Verbindung mit der Dgl für die. Variation des Flusses wird im Wesentlichen die Symplektizität des Flusses begründen (s. im Beweis S.8). a) Die additive Zerlegbarkeit mit verschwindender Poisson-Klammer der Summanden besagt, dass ein Integral längs der Lösungen der mit gebildeten i amilton-dgl ist (allgemeine Eigenschaft bei verschwindender Poisson-Klammer). b) Auswirkung der Reflektions-Symmetrie der amilton-funktion auf die Dgl : Definition : Eine beliebige zweigeteilte Dgl d z( t) = f ( z( t); z( t)) dt z( t) heißt zeitreversibel, wenn für die rechte Seite der Dgl gilt z f ( z; z) = S f ( S ) z. Satz : Die von einer reflektionssymmetrischen amilton-funktion gebildete amilton-dgl ist zeitreversibel; es gilt also : J ( q; p)) = S J ( S ( q; p)) (Zeit-Reversibilität der amilton-dgl). Denn aus der Reflektions-Symmetrie ( q; p) ( S ( q; p) ) = ergibt sich J ( q; p) = J ( ( S ( q; p))) = J ( ( S ( q; p)) S) = = J S ( S ( q; p)) = S J ( S ( q; p)) J S = S J Die Zeit-Reversibilität der Dgl bewirkt für den Fluss (die Lösungen der Dgl) zunächst nur die schwache Zeit-Reversibilität, welche mit einer Zusatzeigenschaft von Dgl- Flüssen sogar die (eigentliche) Zeit-Reversibilität des Flusses ergibt (s. S.). j 6 Die Ableitung eines Gradienten ergibt stets eine symmetrische (esse-)matrix; denn Symmetrie ist eine allgemeine Eigenschaft von zweiten Ableitungen (wegen der Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei partiellen Ableitungen). 5

16 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 6 Im Folgenden werden nun die Eigenschaften des Flusses einer amilton-dgl betrachtet, und dann die weiteren Auswirkungen auf den Fluss, wenn die amilton- Funktion zusätzliche Eigenschaften (additiv zerlegbar, reflektionssymmetrisch) hat. 4) Der symplektische Fluss einer amilton-dgl Allgemeines zum Fluss einer beliebigen Dgl, Eigenschaften : d Der Fluss Φ f ( t; i ) einer Dgl z ( t ) = f ( z ( t )) ist eine von der Zeit t als Parameter dt abhängige Schar von Abbildungen. Die einzelne Abbildung Φ ( t; i ) ordnet (zu einer bestimmten festen Zeit t) dem (Start-)Wert z den (End-)Wert z( t ) zu, den die Lösung der AWA d ( z ( t )) = f ( z ( t )), z (0) = z dt zu dieser Zeit erreicht hat, also Φ f ( t; z) : = z( t) 7. (Die explizite Angabe des Wertes Φ ( t; z) setzt also die explizite Kenntnis der f Lösung aller AWAn voraus. Dies ist aber fast nie der Fall, so dass numerische Methoden anzuwenden sind, um eine Vorstellung vom Bewegungsablauf zu bekommen.) heoretische Eigenschaften des Flusses einer jeden Dgl : a) Der Fluss einer Dgl ist bzgl. Funktionsverknüpfung eine ein-parametrige Gruppe mit 8 Φ ( t ; i ) Φ ( t ; i) = Φ ( t + t ; i ), f f f insbesondere gilt : Φ ( t; i ) Φ ( + t; i ) = id ( oder f f ( f ( ; )) f ( ; ) Φ t z = Φ t z z ) Diese letzte Eigenschaft einer parametrisierten Abbildungsschar heißt Zeit- Symmetrie (der Abbildungsschar). f a) Der Fluss Φ ( t; z) erfüllt als Funktion von t (bei festem z) die Anfangswertaufgabe (AWA) d f ( t; z) f ( f ( t; z)), f ( t 0; z) z dt Φ = Φ Φ = =. Dies auf Grund der Definition des Flusses. a3) Durch Differentiation (nach z bei festem t) der beiden Gleichungen folgt : Die Ableitung des Flusses nach z (bei festem t) Φ f ( t; z) 9 genügt als Funktion von t z (bei festem z) der Dgl für die.variation des Flusses : d Φ f ( t; z) = f ( Φ f ( t; z)) Φ f ( t; z), Φ f ( t; z) t= 0 = Ik. dt z z z f 7 Bei linearer Dgl ist Φ L ( t; z) : = FM ( t) z ( FM ( t ) Fundamentalmatrix mit FM (0) = id ). 8 Begründung : Existenz- und Eindeutigkeit der AWA bei einer Dgl, deren rechte Seite eine Lipschitz- Bedingung erfüllt (z.b. stetig diffbar ist). 9 Φ z ( t; z) heißt die.variation des Flusses ( t; z) f Φ. f 6

17 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 7 Das Bisherige gilt für den Fluss einer jeden Dgl, also auch für den Fluss Φ ( t; i) 0 einer amilton-dgl, d.h. b) Der Fluss Φ ( t; i ) einer amilton-dgl erfüllt die Zeit-Symmetrie Φ ( t; i ) Φ ( + t; i ) = id oder ( Φ ) ( t; q; p) = Φ ( t; q; p). b) Der Fluss Φ ( t; q; p) einer amilton-dgl erfüllt als Funktion von t (bei festem q und p) die AWA d q Φ ( ; ; ) t q p = J ( Φ ( t; q; p)), Φ ( t = 0; q; p) =. dt p b3) Durch Differentiation der beiden Gleichungen (nach q und p bei festem t ) folgt : Die Ableitung des Flusses nach q und p (bei festem t) ( Φ ( t; q; p), Φ ( t; q; p)) q p genügt als Funktion von t (bei festem q u. p) der Dgl für die.variation des Flusses : d ( Φ ( t; q; p), Φ ( t; q; p)) = J ' '( Φ ( t; q; p)) ( Φ ( t; q; p), Φ ( t; q; p)) dt q p q p. ( Φ ( t; q; p), Φ ( t; q; p)) t= 0 = I N d q p b4) Speziell gilt jedoch für den Fluss Φ ( t; i ) einer amilton-dgl die Eigenschaft der Symplektizität : Definition : Eine Abbildung f : d d R R heißt symplektisch, wenn für ihre Ableitung f gilt : ( f ( z)) J f ( z) = J z R d d d Beispiel : Sei F : R R mit symmetrischem ( F ( q)) d, d (d.h. dann gilt ist symplektisch. q p f ( q; p) : = + ε p F( q + p ε ) F hat Stammfunktion), Eine einfache Eigenschaft von symplektischen Abbildungen : Eine Verknüpfung f g zweier symplektischer Abbildungen ist selbst wieder symplektisch (Vererbung der Symplektizität bei Zweifach-Verknüpfung); denn ([ f g] ( z)) J ([ f g] ( z)) = = ( f ( g( z)) g ( z)) J f ( g( z)) g ( z) = = g ( z) [ f ( g( z)) J f ( g( z))] g ( z) = = g ( z) J g ( z) = J Die (nach b3) allgemeine Eigenschaft der.variation des Flusses einer amilton- Dgl liefert zusammen mit (der speziellen Beziehung) ( J ' '( q; p)) = ' '( q; p)) J (Symplektizitäts-Eigenschaft der amilton-dgl) die Symplektizität des Flusses einer amilton-dgl; denn es gilt : 0 Die korrekte Bezeichnung des Flusses einer amilton-dgl wäre Φ ( t; i ). 7 J

18 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 8 Bei festen q und p ist der Ausdruck ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p), als Funktion von t betrachtet, = const( t) = J. (Dabei steht Φ ( t; q; p) für ( Φ ( t; q; p), Φ ( t; q; p) ). q p Es ist also ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p) = J (Symplektizitäts-Eigenschaft des Flusses einer amilton-dgl). atsächlich gilt : Also ist d (( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p)) = dt d d = ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p)) + ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p) = Produktregel dt dt = [ J ' '( Φ ( t; q; p)) Φ ( t; q; p)] J Φ ( t; q; p)) + b3) + ( Φ ( t; q; p)) J [ J ' '( Φ ( t; q; p)) Φ ( t; q; p)] = = ( Φ ( t; q; p)) ( J ' '( Φ ( t; q; p))) J Φ ( t; q; p)) + = ' '( Φ ( t; q; p)) J + ( Φ ( t; q; p)) J J ' '( Φ ( t; q; p)) Φ ( t; q; p) = = ( Φ ( t; q; p)) ' '( Φ ( t; q; p)) J J Φ ( t; q; p)) + = I + ( Φ ( t; q; p)) J J ' '( Φ ( t; q; p)) Φ ( t; q; p) = = I 0 ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p) = const( t). Aus der Anfangsbedingung Φ ( t = 0; q; p) = I folgt : ( Φ ( t = 0; q; p)) J Φ ( t = 0; q; p) = I J I = J und damit insgesamt const( t) = J, d.h. ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p) = J. Ergebnis (vgl. Kästchen 3 im Überblick S.) : Der Fluss Φ ( t; i ) eines amilton-dgl-systems ist symplektisch (genauer : eine symplektische Abbildungsschar) : Für Φ ( t; q; p) (den nach den Parametern q und p differenzierten Fluss einer amilton-dgl) gilt die Beziehung : ( Φ ( t; q; p)) J Φ ( t; q; p) = J (Symplektizität des Flusses einer amilton-dgl). Bemerkung zur Symplektizitäts-Eigenschaft : Die mit dem ( t, q, p )-abhängigen Fluss Φ gebildete linke Seite ergibt stets die konstante Struktur-Matrix J (und dies sogar bei beliebiger amilton-ausgangs- Funktion). 8

19 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 9 Satz (Symplektizität des Flusses einer amilton-dgl) : Jedes amilton-dgl-system, dessen rechte Seite sich als (schiefsymmetrische Struktur-Matrix J ) x (Gradient einer skalaren Funktion) darstellen lässt, hat einen symplektischen Fluss. Deutung der Symplektizitäts-Eigenschaft des Flusses ("verschärfter Liouville") ) Volumenerhalt des Flusses : Es mögen sich zur Zeit t = 0 die Orts-Koordinaten und ihre zugehörigen Impuls- Koordinaten mit fest ausgewählten Indizes ( q0i,.., q 0i, p0,.., 0 ) k i p i in einer k k k dimensionalen Menge M i,.. i (0) R befinden mit einem (euklidischen) Inhalt k µ ( (0)). Betrachte nun M ( t ) (definiert als die zur Zeit t erreichten Punkte,.. M i,.., ik i i k aus der Bewegung nach der amilton-dgl mit je einem Anfangswert, dessen ausgewählte Koordinaten in M i (0),.. i k lagen), so ist µ ( M i,.., i ( t)) = µ ( M,.., (0)) k i i : Die k Form von M ( t ) wird sich mit der Zeit verändern, aber ihr k-dimensionaler Inhalt,.. i i k ändert sich nicht. Werden alle Orts- und Impuls-Koordinaten gewählt, so ist dies die Aussage des Satzes von Liouville [Arn,989]. ) Eigenwerte der Ableitung der rechten Seite bzw. der. Variation des Flusses einer amilton-dgl : Die Ableitung der rechten Seite einer amilton-dgl J ' ' besitzt (als Produkt von schiefsymmetrischem J und symmetrischem ' ' ) Eigenwerte mit der Eigenschaft : Mit λ (Eigenwert) sind auch λ und λ, λ Eigenwerte, so dass Spur ( J ' ') = Summe aller Eigenwerte =0 ist. Daraus als Folge für die Ableitung des Flusses nach den Anfangswerten : Die. Variation des Flusses Φ ( t; i ) besitzt Eigenwerte, welche sich zu Paaren mit Produkt gleich anordnen lassen. 3) Lyapunov-Exponenten des Flusses : Der Fluss Φ ( t; i ) einer amilton-dgl besitzt Lyapunov-Exponenten, welche paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen auftreten. (zu ) und 3) vgl. [AF,994, S.89, dort nach Benettin,980]). Es werden viele Anfangswertsaufgaben betrachtet, d.h. eine feste amilton-dgl mit allen Anfangswerten, deren Koordinaten mit ausgewähltem Index in 9 M i (0),.. i k liegen. Insbesondere heißt das, dass das zeitliche Verhalten der nicht-ausgewählten Koordinaten keinen Einfluss auf µ hat. ( M ( t)) i,.. i k Doppelte Spiegel-Symmetrie der Eigenwerte von J ' '. Im Vergleich dazu sind die Eigenwerte einer reellen Matrix i.a. nur spiegelsymmetrisch zur x-achse (in der komplexen Zahlenebene).

20 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 0 5) Der Fluss als Verknüpfung der Flüsse von amilton-dgln bei additiv aufgeteilter amilton-funktion Bei additiver Aufteilung einer amilton-funktion in Summanden mit verschwindender Poisson-Klammer, ( q; p) = ( q; p) + ( q; p) mit { ( q; p), ( q; p )} = 0, werden die amilton-dgln zu den Funktionen ( q; p ) bzw. ( q; p) betrachtet : d ( q ( t ); p ( t )) = J ( q ( t ); p ( t )) dt bzw. d ( q ( t ); p ( t )) = J ( q ( t ); p ( t )). dt Die zugehörigen Flüsse Φ ( t; i ) bzw. Φ ( t; i ) sind dann vertauschbar bei Verknüpfung Φ ( t; i ) Φ ( t; i) = Φ ( t; i ) Φ ( t; i ). Außerdem gilt merkwürdiger Weise Φ ( t; i) = Φ ( t; i ) Φ ( t; i ), d.h. der Fluss der amilton-dgl, gebildet aus der Gesamt-amilton-Funktion, kann (bei verschwindender Poisson-Klammer der eil-summanden) durch Verknüpfung aus den Flüssen der amilton-dgln, gebildet aus den eil-amilton-funktionen, gewonnen werden. (Vgl. zu diesem tiefliegenden Ergebnis [LR,005 S.78,00,35 mit BC-Formel].) Bemerkung : Dieses Vorgehen ( bei t t klein ) kann bei mechanischer amilton- Funktion ( q; p) = ( p) + V ( q) auf die Summanden ( p ) und V ( q) angewendet werden, auch wenn die Voraussetzung der verschwindenden Poisson-Klammer an die Summanden { ( p), V ( q )} = 0 nicht erfüllt ist : Die Verknüpfung der analytisch angebbaren Flüsse 3 ist dann zwar kein exaktes, aber, weil t klein ist, ein brauchbares symplektisches numerisches Verfahren mindestens erster Ordnung. [LR,005 S.78]. Obige Eigenschaft, (bei gegebenen Voraussetzungen) den Fluss als Verknüpfung von eilflüssen zu sehen, liefert die Motivation, ähnlich auch bei der Konstruktion numerischer Verfahren vorzugehen (auch wenn die Voraussetzungen nur näherungsweise erfüllt sind; vgl. dazu das Vorgehen in Kap.). 3 Der erste Fluss ist die Bewegung bei Abwesenheit aller Kräfte, der andere Fluss ist die Bewegung bei unendlich schwerer Masse (vgl. S.45,46). 0

21 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 6) Der zeitreversible Fluss bei reflektionssymmetrischer amilton-funktion Eine reflektionssymmetrische amilton-funktion mit ( q; p) = ( S ( q; p)) erzeugt eine zeitreversible amilton-dgl (s. S.5). Dies bedeutet für die Lösungen der zeitreversiblen amilton-dgl : Mit ( q( t); p( t )) ist auch ( qˆ ( t); pˆ ( t)) : = ( q( t); p( t)) eine Lösung ; denn es gilt : d qˆ d q d q d ( t) ( t) ( ( τ )) τ t ( t) dt pˆ = dt p = = dτ p dt ( p( τ )) ( p( t)) ( p( t)) = ( ) = = = + V q V q t V q t ( ( )) ( ( )) * τ ( ( )) τ t ( pˆ ( t)) = J ( qˆ ( t); = pˆ( t)) V ( qˆ ( t)) d.h. ( qˆ ( t); pˆ ( t )) ist eine (mit ( qˆ (0) = q ˆ 0; p(0) = p0) gestartete Lösung der amilton-dgl und sie erreicht zur Zeit den Zustand ( qˆ ( ); pˆ ( )) = ( q( ); p( )). In ähnlicher Weise folgt : Der Fluss Φ ( t; q; p) und die Funktion Φ ˆ ( t; q; p) : = S Φ ( t; S( q; p)) genügen derselben AWA : Der Fluss Φ ( t; q; p) genügt nach 4)b) der AWA d q Φ ( t; q; p) = J ( Φ ( t; q; p)), Φ ( t = 0; q; p) = dt p. Den gleichen Anfangswert zur Zeit t = 0 hat auch Φ ˆ ( t; q; p) : = S Φ ( t; S( q; p)) : ˆ q Φ ( t = 0; q; p) = S Φ ( t = 0; S ( q; p)) = S S ( q; p) = S ( q; p) = S = I p und erfüllt auch dieselbe Dgl : d ˆ d Φ ( t; q; p) = S Φ ( t; S ( q; p)) = dt dt d d = S Φ ( τ ( t); S ( q; p)) = S ( Φ ( τ ; S ( q; p))) τ τ ( t ) τ ( t) = τ ( t): = t dt dτ = S J ( Φ ( τ; S ( q; p)) ( ) = 4) b) = S J ( Φ ( t; S ( q; p))) = S J ( S S Φ ( t; S ( q; p))) = S J S = J τ t = J ( S Φ ( t; S ( q; p)) = J ( Φˆ ( t; q; p)) 4 4 Bei * wurde verwendet : ( p) = ( p), also ( p) = ( p) ( I ) oder ( p) = ( p).

22 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme Folgerung : Wegen der Eindeutigkeit der AWA-Lösung gilt die Gleichheit beider Funktionen : S Φ ( t; i ) S = Φ ( + t; i ) (schwache Zeit-Reversibilität) (oder äquivalente Formulierung durch Umstellung S Φ ti S Φ + ti = id ). ( ( ; )) ( ; ) Diese Eigenschaft heißt schwache Zeit-Reversibilität des Flusses. Mit der stets (!) 5 gegebenen Zeit-Symmetrie des Flusses einer jeden Dgl (vgl 4)a)) Φ ( t; i ) Φ ( + t; i ) = id oder ( Φ ( t; i)) = Φ ( t; i ) gilt zusammen mit der schwachen Zeit-Reversibilität : S Φ ( + t; i ) ( S Φ ( + t; i )) = id ((volle)zeit-reversibilität) Diese Eigenschaft heißt Zeit-Reversibilität des Flusses. 6 Satz : Der kontinuierliche Fluss eines amilton-dgl-systems, gebildet mit reflektionssymmetrischer amilton-funktion, ist zeitreversibel. Eine erste Deutung der Zeit-Reversibilität als Rücklauf-Eigenschaft in doppelter Zeit Die Beziehung ( S Φ ( ; i ) S) Φ ( ; i ) = id bedeutet anschaulich : Erreicht das reflektionssysmmetrische mechanische System aus einem (ersten) Anfangszustand durch Bewegung einen (ersten) Endzustand zur Zeit, wird aus den erreichten Orten und den negativ genommenen Impulsen (Geschwindigkeiten) ein neuer (zweiter) Anfangszustand gebildet, aus dem sich das System wiederum dieselbe Zeit weiterentwickelt, werden schließlich die erreichten Impulse (Geschwindigkeiten) noch einmal umgekehrt, so befindet sich das System nach der Zeit wieder im (ersten) Anfangszustand. Die genannten Eigenschaften kommen also jedem (theoretischen) Fluss bei reflektionssymmetrischer amilton-funktion zu. Da aber der (exakte) Fluss i.a. nicht konkret (analytisch oder zahlenmäßig) angegeben werden kann, (außer in seltenen einfachen Fällen, vgl. dazu S.7-8), später aber im Kapitel im inblick für den konkreten numerischen Approximations-Fluss auch diese Eigenschaften gefordert werden, sollen Begriffe "Zeit-Symmetrie", "schwache Zeit-Reversibilität" und "Zeit- Reversibilität", äquivalente Formulierungen, ihre praktische Überprüfbarkeit, ihre Beziehung untereinander und ihre Bedeutung für die Rücklaufrechnung kurz erläutert werden 7. 5 Numerischen Verfahren fehlt i.a. diese Zeit-Symmetrie-Eigenschaft. Sie muss zusätzlich für die i.a. schwach zeitreversiblen numerischen Verfahren nachgewiesen werden, um auch Zeit-Reversibilität für das numerische Verfahren zu garantieren. Diese Zusatzforderung schränkt die Möglichkeiten für numerische Verfahren ein. 6 d.h. die Abbildung S Φ ( t ; i ) ist involutorisch.

23 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 3 Eine (t -parameterisierte) Abbildung 8 Ψ( t; i ) heißt zeitsymmetrisch (ZS), wenn Ψ( t; i ) Ψ ( + t; i ) = id oder in äquivalenter Formulierung (durch Umstellung) ( Ψ( t; i)) = Ψ( t; i ). Sie heißt schwach zeitreversibel (SZR), wenn S Ψ( t; i ) S = Ψ ( + t; i ) oder in äquivalenter Formulierung (durch Umstellung) S ( Ψ( t; i)) S Ψ ( + t; i ) = id (*). Sie heißt zeitreversibel (ZR), wenn S ( Ψ ( t; i)) S = Ψ ( + t; i ) oder in äquivalenter Formulierung S Ψ ( + t; i ) ( S Ψ ( + t; i )) = id (**). Bemerkung zur experimentellen Nachvollziehbarkeit von t -parametrisierten Abbildungen (oder auch Flüssen), wenn t die (stets vorwärtsschreitende) Zeit bedeutet : Ψ ( t; z) = : w definiert aus dem Zustand z (aufgefasst als einem Zustand zur momentanen Zeit τ ) einen Folgezustand w (zur Zeit τ + t ) Ψ( t; z) = : v definiert analog einen Vorgängerzustand v (zur Zeit τ t ) Ψ ( t; z) = : w Ψ ( t; w) = z definiert einen Vorgängerzustand w (zur Zeit τ t ) Ψ ( t; z) = : v Ψ( t; v) = z definiert einen Folgezustand v (zur Zeit τ + t ). Dies bedeutet, dass reale physikalische Vorgänge (mit fortschreitender Zeit) nur durch Verwendung von Ψ( t; i ) oder Ψ ( t; i ) beschrieben werden können; bei Verwendung einer der beiden anderen Zuordnungen Ψ( t; i ) oder Ψ ( t; i) ist nur rechnerische Ausführung (Simulation auf einem Computer) möglich, da bei ihrer Durchführung (experimentell nicht realisierbare) Vorgängerzustände bestimmt werden müssen. Die obigen Beziehungen bezeichnen i.a. nur das Gleichheit des Ergebnisses bei rechnerischer Ausführung von linker und rechter Seite ; hinsichtlich realer Ausführbarkeit (im Experiment bei fortlaufender Zeit) kann durchaus Ungleichheit bestehen, z.b. ist in S ( Ψ ( t; i)) S = Ψ ( + t; i ) die linke Seite experimentell nicht realisierbar, die rechte Seite beschreibt ein ausführbares Experiment. Anwendungsorientierte Bemerkung : Von den untereinander gleichwertigen Formulierungen der schwachen oder (vollen) Zeit-Reversibilität sind die auf... = id( q; p) endenden Gleichungen bei Rücklauf- Simulation die wichtigeren, weil nach gewissen Vorschriften der jeweils linken Seiten am Ende wieder der Anfangszustand, nämlich id ( q; p ), erreicht werden soll. Beide Vorschriften (*), bzw.(**) simulieren (nach Geschwindigkeitsumkehr, beschrieben durch die Anwendung der inneren S -Operation) einen Rücklauf eines Mehrteilchensystems in den Anfangszustand. Die Rechnung nach der schwachen 7 Der eigentliche Sinn der Ausführungen erschließt sich erst bei Anwendung konkreter numerischer Methoden zur (möglichst guten) approximativen Lösung der amilton-dgl. insichtlich der Eigenschaften der exakten Dgl-Lösung bringen sie über obigen Satz hinaus keinen Gewinn. 8 Die Abbildung muss nicht notwendig ein Fluss einer Dgl sein. 3

24 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 4 Zeit-Reversibilität (*) ist bei schwach zeitreversibler Rechenvorschrift Ψ ( t; q; p) anwendbar; sie benötigt jedoch vor und nach der Geschwindigkeitsumkehr verschiedene Rechenvorschriften, das explizite (numerisch gewählte ) Ψ ( t; q; p) und das implizite Ψ ( t; q; p) 9. Dagegen verwendet die Rechnung nach der (vollen) Zeit-Reversibilität (**) vor und nach der Geschwindigkeitsumkehr beide Mal dasselbe Ψ ( t; q; p). Diese vorteilhafte Berechnung nach (**) ist jedoch nur unter der Voraussetzung erlaubt, dass ein (numerisches) schwach zeitreversibles Verfahren Ψ ( t; q; p) mit zusätzlicher Zeit-Symmetrie gewählt wird. Bei Wahl eines zeitreversiblen approximierenden (numerischen) Verfahrens wird dann dem zeitreversiblem (theoretischen) Fluss einer amilton-dgl mit reflektionssymmetrischer amilton-funktion ein konkreter Fluss zur Seite gestellt, mit dem das Rücklaufverhalten des mechanischen Systems in gleicher Weise wie mit dem (theoretischen) Fluss nachvollzogen werden kann. Die Schwierigkeit besteht allerdings in der (nur in Ausnahmefällen) durch explizite Verfahren herzustellenden Zeit-Symmetrie numerischer Verfahren. Einer dieser Ausnahmefälle liegt bei Verwendung von EulerA- und EulerB-Verfahren vor, vgl. Kapitel S.50. Zur Verdeutlichung des Begriffes Zeit-Reversibiliät : Die Zeit-Reversibilität S Φ ( + t; i ) ( S Φ ( + t; i)) = id bedeutet für die einzelne Dgl- Lösung das Erreichen eines vergangenen Zustandes in der Zukunft ( Rücklauf ) : Es sei ( q( t);..; qn ( t); p( t);..; pn ( t )) eine einzelne im Zeitintervall [0, ] definierte Lösungskurve mit gegebenen (Orts- und Impuls-)Startwerten ( q (0);..; qn (0); p(0);..; p N (0)), welche zur Zeit den Endzustand ( q( );..; qn ( ); p ( );..; pn ( )) erreicht. Es wird nun die im Zeitintervall [, ] definierte Funktion betrachtet ( q ( t);..; qn ( t); p ( t);..; pn ( t)). Sie ist(!) eine Lösung der amilton-dgl. (d.h. sie beschreibt die Bewegung des Mehrteilchensystems im Zeitintervall [, ] ) : Denn mit der Bezeichnung gilt : qˆ q ( t) : = ( t) pˆ. p 9 i.a. Berechnung durch aufwendige numerische Fixpunktiteration. ( Ψ ( t; q; p) kann explizit analytisch angegeben werden, wenn es gelingt die Beziehung Ψ ( t; Q; P) = : ( q; p) nach ( Q; P ) =... (Ausdruck in t, q, p... ) analytisch aufzulösen. Die rechte Seite ist dann Ψ ( t; q; p). 4

25 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 5 d qˆ d q d q d ( t) ( t) ( ( τ )) τ t ( t) dt pˆ = = = dt p dτ p dt p( τ ) ( p( t)) ( p( t)) ( pˆ ( t)) = ( ) = = ( ( )) ( ( )) * = + V q τ V q t V ( q( t)) V ( qˆ ( t τ t )) qˆ ( t) pˆ ist also eine Lösung der amilton-dgl auf [, ]. Der Startwert der [, ] -Fortsetzung bei ist : qˆ q q q( ) ( ) ( ) ( ) S pˆ = = = : p p p( ) Dies ist der Endzustand der [0, ]-Lösung mit negativem Impuls (negativer Geschwindigkeit). Zur Zeit ist der Wert der [, ] -Fortsetzung qˆ q q(0) q(0) ( ) ( ) S pˆ = = = p p(0) p(0), also gleich dem Startwert der [0, ]-Lösung mit negativem Impuls oder qˆ( ) q(0) q(0) S = S = pˆ( ) p(0) S = id p(0). Die angehaltene und mit negierten Impulsen (Geschwindigkeiten) fortgesetzte Bewegung eines reflektionssymmetrischen Systems läuft (bei den vom System erzeugten Kräften ) in vorhersagbarer Zeit durch dieselben Orte mit negativen Impulsen (Geschwindigkeiten) zurück. (Kann diese Impuls-Umkehr tatsächlich ausgeführt werden, so ist der weitere Bewegungsablauf also aus dem vorherigen Bewegungsablauf vorhersagbar.) 0. Die drei Begriffe (ZS, SZR, ZR) stehen in folgendem Zusammenhang Satz : Schwache Zeit-Reversibilität und Zeitsymmetrie Zeit-Reversibilität. (d.h. genau die ZS-,SZR-Abbildungen sind zeitreversibel) Denn aus S ( Ψ( t; i)) S Ψ ( + t; ) = id i und ( Ψ( t; )) = Ψ( t; ) i i folgt S Ψ ( + t; i ) ( S Ψ ( + t; i )) = id. 0 Bei * wurde verwendet : ( p) = ( p), also ( p) = ( p) ( I ) oder ( p) = ( p). Bei elektrodynamischen Bewegungen in Anwesenheit eines Magnetfeldes (und also nicht reflektionssymmetrischer amilton-funktion) müsste das Magnetfeld (durch äußeren Eingriff!) umgepolt werden, um den gleichen Rücklaufeffekt zu erzielen : Die amilton-funktion bei Anwesenheit eines Magnet Feldes ( q; p) : = ( p + A( q)) M ( p + A( q)) + V ( q) (mit der Rotations-Stammfunktion A( q ) zum Magnetfeld) wird reflektionssymmetrisch (mit ( q, p) = ( q, p) ) erst dann, wenn mit p p simultan A( q) A( q) übergeht. 5

26 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 6 Umgekehrt liefert S Ψ ( + t; i ) ( S Ψ ( + t; i )) = id zunächst Ψ( t; i ) Ψ ( + t; i ) = id (Zeit- Symmetrie). Aus beiden Eigenschaften folgt dann S ( Ψ( t; )) S Ψ ( + t; ) = id i i. Einfache Folgerungen 3 : Vererbbarkeit aller Eigenschaften (ZS, SZR, ZR) bei n-fach Iteration : Bei iterierter Anwendung einer beliebigen t -parametrisierten Abbildung vererben sich die genannten Eigenschaften von Ψ( t; i ) auf die Iterierte Ψ n ( t; i ). Z.B. für n = : Ψ ( ; Ψ ( ; i)) = Ψ( ; i ) Ψ( ; i ) Ψ( ; i ) Ψ ( ; i) = t t t t t t id Ψ ( t; ) Ψ( t; i) = id S Ψ ( t; Si)) = S Ψ( t; i ) Ψ( t; Si) = = S Ψ( t; i ) S S Ψ( t; Si) = Ψ ( t; i) (SZR), = id (ZS), S Ψ ( t; S Ψ ( t; q; p)) = S Ψ( t; i ) Ψ( t; i ) S Ψ( t; i ) Ψ ( t; Si) = = S Ψ( t; i ) S S Ψ( t; i ) S Ψ( t; i ) Ψ ( t; Si) = id (ZR). Vererbarkeit der Eigenschaften (ZS,SZR,ZR) bei Verknüpfung : Die Eigenschaft SZR vererbt sich bei Verknüpfung zweier beliebiger solcher Abbildungen auf die Verknüpfung; denn S Ψ( t; i ) Ψ( t; i ) S = ( S Ψ ( t; Si)) ( S Ψ( t; Si) = Ψ ( + t; i ) Ψ ( + t; i) (SZR). S = id Ψ ( + t; i) Ψ ( + t; i) Eigenschaft ZS und ZR haben bei Zweifach-Verknüpfung diese Eigenschaft nicht 4. Jedoch vererbt sich die Eigenschaft ZS und ZR bei symmetrischer Dreifach- Verknüpfung zweier beliebiger Abbildungen. (Dabei ist unter einer symmetrischen Dreifach-Verknüpfung zweier Abbildungen Ψ und Ψ die Verknüpfung Ψ Ψ Ψ zu verstehen 5.); denn Ψ ( t; i ) Ψ( t; i ) Ψ ( t; i ) Ψ ( t; i ) Ψ( t; i ) Ψ ( t; i) =.. = id (ZS) und = id S Ψ ( t; i ) Ψ( t; i ) Ψ ( t; i ) S Ψ( t; i ) Ψ( t; i ) Ψ ( t; i) = = S Ψ ( t; i ) Ψ( t; i ) S S Ψ ( t; i ) S Ψ ( t; i ) Ψ( t; i ) Ψ ( t; i) =.. = id (ZR). Satz : Alle alle Eigenschaften (SZ, SZR, ZR) vererben sich bei Iteration und bei symmetrischer Dreifach-Verknüpfung. = id Aus S Ψ ( + t; i ) ( S Ψ ( + t; i )) = id und Ψ( t; i) ( S Ψ( t; i)) S = id folgt S Ψ ( + t; i ) ( S Ψ ( + t; i)) Ψ( t; i ) ( S Ψ( t; i)) S = id id = id, also Ψ ( + t; i ) S ( Ψ ( + t; i ) Ψ( t; i)) ( S Ψ( ; i )) = id und daraus Ψ ( + t; i ) Ψ( t; i ) = id. 3 Erwähnung im inblick auf Kapitel. 4 außer wenn die beiden Abbildungen vertauschen. 5 Beachte: Bei einer symmetrischen Dreifach-Verknüpfung werden zwar drei Verknüpfungen vorgenommen, jedoch nur von zwei Abbildungen : Eine Abbildung kommt dabei doppelt vor. 6

27 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 7 Die Begriffe ZS, SZR, ZR, verdeutlicht am Beispiel des Flusses der Bewegung unter q + p t + t konstanter (Orts-unabhängiger) Kraft, also Φ ( t; q; p) =. (Dies ist die p + t analytische Lösung der amilton-dgl mit zeitreversibler amilton-funktion p ( q, p) : = q, also die "beschleunigte Bewegung im konstanten Kaftfeld") : Zur Zeit-Symmetrie(ZS) des Flusses der obigen Bewegung (stellvertretend für den Fluss einer jeden Dgl, aber nicht jedes numerischen Verfahrens, wenn gilt Φ( ; q0; p0) = Φ ( + ; q0; p0) ) : Frage : In welchem Zustand muss die Bewegung in der Vergangenheit gewesen sein, damit aus diesem Zustand nach + Zeiteinheiten (also zur Gesamtzeit t = 0 ) der Zustand ( q0; p 0) erreicht wird? Antwort : Im Zustand Φ ( ; q0; p0), d.h. dem Zustand, der, wenn er bei t = 0 mit ( q0; p 0) gestartet wurde, zur Zeit erreicht sein wird. Im Beispiel :! q0 Die Gleichung Φ( ; r ; s) = hat die Lösung p gesucht 0 gegeben r q + p + s p = = Φ + ( ; q ; p ). 0 0 Zur schwachen Zeit-Reversibilität(SZR) des Flusses der obigen Bewegung (stellvertretend für den Fluss einer jeden zeitreversiblen amilton-dgl und aller bekannten 6 numerischen Verfahren, wenn gilt Φ( ; S( q0; p0)) = S Φ ( + ; q0; p0 ) ) : Frage : Welcher Zustand (bei Start mit ( q0; p0) ) wurde in der Vergangenheit erreicht? Antwort : Der Zustand, der (bei Start mit ( q0; + p0) ) zur Zeit + erreicht sein wird, allerdings mit negativem Impuls. Im Beispiel : q0 p0 ( ) + ( ) Φ( ; q0; p0) = = p0. q0 + p0 + q0 + p0 + = = S = S Φ ( + ; q0; + p0) ( p0 + ) p0 + 6 vgl. [LR,005 S.87] 7

28 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 8 Zur Zeit-Reversibilität(ZR) des Flusses der obigen Bewegung (stellvertretend für den Fluss jeder zeitreversiblen amilton-dgl und jedes zeitreversiblen numerischen Verfahrens, wenn gilt S Φ( ; S Φ ( ; q0; p0)) = ( q0; p0) ) : Aussage : Mit ( q0; p 0) startend, werde nach + Zeiteinheiten der Zustand Φ ( ; q0; p0) = ( q( ); p( )) erreicht. Aus dem veränderten (neuen) Start ( q( ); p( )) schreite nun die Bewegung um weitere + Zeiteinheiten fort : Dann wird zur Gesamtzeit der Zustand ( q0; p0) erreicht. Dies ist der Ausgangszustand, aber mit negativem Impuls. Im Beispiel : q0 q0 + p0 + ; p0 nach ZE p : ˆ neue Startbedingungen : q + p + = q ( p ˆ 0 + ) = : p ˆ q qˆ + pˆ + ˆ = p nach ZE pˆ t. q ˆ ˆ ˆ ˆ 0 + p0 + q + p + ( p0 + ) + q + p + ) q0 = = p0 ( p0 + ) + 8

29 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 9 Anschauliche Bedeutung der schwachen Zeit-Reversibilität und der Zeit-Reversibilität a) Schwache Zeit-Reversibilität (in experimentell nicht realisierbarer Form) : Abbildung. : Veranschaulichung des Begriffes "schwach zeitreversibel". (..\EigeneDateien\EigeneBilder\schwachzeitreversibel.GIF) Beide Bewegungen (schwarz) und die unphysikalische Bewegung (rot) erreichen zur Zeit denselben Endzustand. b) Zeit-Reversibilität : Abbildung. : Veranschaulichung des Beriffes "zeitreversibel". (..\EigeneDateien\EigeneBilder\zeitreversibel.GIF) Die Bewegung (schwarz) und die Fortsetzung der Bewegung (grün) erreicht zur Zeit wieder den Anfangszustand. 9

30 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 0 7) Beispiel : Das N-Körper System bei Paar-Abstands-Potentialen (mit einer additiv aufgeteilten, reflektionssymmetrischen amilton-funktion) Die amilton-funktion für N Körper mit Einheits-Massen m i =, (i=,...,n), welche sich in paarweise abstandsbedingten Potentialen ϕ ( r) bewegen, hat eine mechanische amilton-funktion : N N N ( q;..; qn ; p;..; pn ) = pi pi + ( ϕ( qi q j ) ). i= i= j= i+ Diese mechanische amilton-funktion ist additiv aufgeteilt 7 N in die nur vom Impuls abhängige kinetische Energie ( p;..; pn ) = pi pi i= und in die nur vom Ort abhängige potentielle Energie V ( q ;..; q ) = ( ϕ( q q ) ) Diese amilton-funktion ist auch reflektionssymmetrisch, da ( p ;..; p ) = ( p ;..; p ) N N N N. N i j i= j= i+ Für die einzelnen Orte qi ( t ) und Impulse pi ( t ) ergibt sich also als zugehöriges amilton-dgl-system d q i ( t ) = p i ( t ) dt d ( i =,.., N). p i ( t ) = V q ( q ( t );..; q ( t )) i N dt Unter Beachtung der konkreten potentiellen Energie N V ( q ;..; q ) = ( ϕ( q q ) ) N N i j i= j= i+ als Summe von ϕ -Potentialen, angewandt auf Paar-Abstände, ergibt sich : d q i ( t ) = p i ( t ), dt N d ( i =,.., N). p i ( t ) = K ij ( q ( t );..; q N ( t )) dt j= Dabei bedeutet j i ϕ ( qi ( t) q j ( t) ) Kij ( q ( t),.., qn ( t)) : = ( qi ( t) q j ( t)) q ( t) q ( t) die vom Körper j auf den Körper i ausgeübte Kraft : Sie wirkt längs der gemeinsamen Verbindungslinie q ( t) q ( t) i j i j 7 Jedoch haben dieses und dieses V keine verschwindende Poisson-Klammer. 0

31 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme und ist mit dem skalaren Faktor zu versehen 8. fak i, j ϕ ( qi ( t) q j ( t) ) ( ϕ) : = q ( t) q ( t) i j Für das Newton-Potential ergeben sich die Faktoren ϕ ( q q ) : = q q N i j i j fak q t q t 3 i, j ( ϕ N ) = i ( ) j ( ). Für das Lennard-Jones-Potential 6 ϕ ( q q ) : = q q q q = LJ i j i j i j = (( q q ) ( q q )) (( q q ) ( q q )) 6 3 i j i j i j i j ergeben sich die Faktoren 7 4 faki, j ( ϕlj ) : = {[( qi ( t) q j ( t)) ( qi ( t) q j ( t))] [( qi ( t) q j ( t)) ( qi ( t) q j ( t))] }. 8 Alle mechanischen amilton-dgl-systeme, deren Kräften ein Paar-Potential ϕ( q q ) zugrunde liegt, sind gleich aufgebaut: Sie unterscheiden sich nur durch diesen skalaren Faktor faki, j ( ϕ ). i J

32 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 8) Systeme mit geometrischen, global parametrisierbaren Zwangsbedingungen Ein Mehrteilchensystem (aus N Objekten) kann geometrischen Zwangsbedingungen unterworfen sein, d.h. seine Orte qi ( t ) können sich nicht frei in der ganzen zur Verfügung stehenden Ebene (oder im Raum) ausbreiten, sondern ihre Bewegungsmöglichkeit ist auf gewisse vorgegebene Bereiche beschränkt. Die Bereiche sollen als Untermannigfaltigkeiten (m-viele Einschränkungen an die Orte) durch Gleichungen der Form gi ( q;..; qn ) = 0 ( i =,., m) beschrieben werden können. Diese Bereiche sind durch ihre Starrheit fähig, Kräfte beliebiger Stärke in Richtung der Senkrechten g i ( q;..; qn ) zu erzeugen (d'alembert-prinzip). Dabei stellt sich die variable Stärke während der Bewegung genau so ein, dass die Bewegung der Körper auf den Untermannigfaltigkeiten stattfindet, d.h. zu der äußeren Kraft treten noch Kräfte hinzu, die von den Untermannigfaltigkeiten ausgeübt werden. Mit g( q) : = ( g( q);..; gm( q)) ergibt sich ein amilton-dgl-system (bei Anwesenheit von Zwangsbedingungen unbekannter Stärke λ ), erweitert um die Einschränkungsgleichungen. Die Stärke λ muss sich gerade so einstellen, dass die Bewegung auf den Untermannigfaltigkeiten stattfindet (Die Zwangsbedingungen müssen also Integrale der Bewegung werden.) : d q( t) ( p( t)) = 9 dt p( t) V ( q( t)) g ( q( t)) λ g( q( t)) = 0 Es gibt folgende Möglichkeiten, die unbekannten λ zu bestimmen : Die auftretenden Zwangskräfte wirken so, dass die geometrische Bedingung g( q ) = 0 während der Bewegung q( t) eingehalten wird 30. Dies ist erfüllt, wenn die Anfangswerte, der Start-Ort q0 und die Start-Geschwindigkeit qɺ 0 = M p0, die geometrischen Vorgaben erfüllen, und die Stärke der bei der Bewegung entstehenden Zwangskräfte λ ( q, p) so gesetzt wird, dass der dann eingenommenene Ort q( t ) auch weiterhin die geometrischen Vorgaben erfüllt. D.h. es muss gelten :. g( q 0) = 0 3. ( ) ( ) = 0. g q0 p0 ( q, p) : ( g ( q) ' '( p) g ( q)) ( g ( q) ' '( p) V ( q) g ( q) ( p) ( p)) λ = +. 9 Das ist ein amilton-dgl-system, allerdings erzeugt von der (erweiterten) amilton-funktion ( ; ) : ( ; ) Zwang q p = q p + λ g( q) 30 Die geometrischen Zwangsbedingungen werden also Integrale der Bewegung.

33 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 3 Die Bestimmung 3) folgt aus der Forderung 0 d g ( q ( t )) = g ( q ( t )) q ɺ( t ) q ɺ( t ) + g ( q ( t )) q ɺɺ ( t ), dt und dann dem Einsetzen von qɺ ( t) = ( p( t)), qɺɺ ( t) = ' '( p( t)) pɺ ( t) = ' '( p( t)) ( V ( q( t)) g ( q( t)) λ) (aus den Bewegungsgleichungen) sowie schließlich dem Auflösen 3 der Geichung nach λ. d d Dann gilt nämlich g( q( t)) t= t = 0, g( q( t)) 0 t= t = 0, g( q( t) 0, also g( q( t)) 0. 0 dt dt Mit den so gesetzten Stärken der Zwangskräfte entsteht ein (äußerlich von den Zwangsbedingungen g( q( t )) = 0 befreites) Dgl-System d q( t) ( p( t)) = dt p( t) V ( q( t)) g ( q( t)) λ( q( t), p( t)) Zusammengefasst : Richtung und Stärke der (von der Geometrie ausgeübten) Zwangskräfte lassen sich in Abhängigkeit von der Bewegung bestimmen. Es kann ein entsprechendes geschlossenes Dgl-System aufgestellt werden, dessen rechte Seite allein von den Bewegungsgrößen abhängt. Aus der Form λ ( q, p) (quadratische Abhängigkeit von p ) folgt, dass bei reflektionssymmetrischer amilton-funktion, also einer zeitreversiblen amilton-dgl, die erweiterte rechte Seite des Dgl-Systems weiterhin zeitreversibel bleibt. Eine andere (günstigere) Möglichkeit, eine sogar Dimensions-reduzierte amilton- Dgl zu erhalten, besteht bei global parameterisierbaren Zwangsbedingungen, d.h. wenn die (einfachen) geometrischen Zwangsbedingungen M : = {( q ;..; q ) g( q ;..; q ) = 0} g N N eine globale Parameterisierung besitzen : Es gibt also ein m dn m N d m G : R R mit Q R G( Q) R, so dass g( G( Q)) 0 Q R. Die Variablen Q jetzt keinem Zwang mehr unterworfen heißen generalisierte Koordinaten. maximalen Rang auf den eingeschränkten Orten 3 Die Auflösbarkeit nach λ verlangt nur, dass g ( q) g( q ) = 0 hat (d.h. dort jeweils lokal parametrisierbar ist), nicht aber, dass eine globale Parametrisierung existiert (s.u.). 3

34 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 4 In diesem Fall ist der Übergang auf ein neues amilton-dgl-system in den generalisierten Koordinaten (mit reduzierten Freiheitsgraden) möglich, und zwar : Gegeben sei eine amilton-funktion ( q, p ) und global parameterisierbare Zwangsbedingungen g( q ) = 0. Ist dann G diese globale Parameterisierung (so dass also gilt g( G( Q)) 0 für m Q R ), so wird gesetzt : q : = G( Q), 3 : ( ) ( p = G Q G ( Q) G ( Q)) P und damit eine transformierte amilton-funktion ( Q ; P trans ) : = ( G ( Q ); G ( Q ) ( G ( Q ) G ( Q )) P ) in den generalisierten Koordinaten Q, P erzeugt. Ist nun ( Q( t); P( t )) eine Lösung der (aus der transformierten amilton-funktion ( Q trans, P ) 33 ) hervorgehenden amilton-dgl, Qɺ trans P ( Q; P) = J trans ( Q; P) ( = ), Pɺ trans Q ( Q; P) so ist q( t) G( Q( t)) : = p( t) G ( Q( t)) ( G ( Q( t)) G ( Q( t))) P( t) eine Lösung des mit der amilton-funktion ( ; ) ( ; ) Zwang q p = q p + λ g( q) gebildeten amilton-dgl-systems, welche zusätzlich noch die Zwangsbedingungen erfüllt, d.h. es gilt auch noch g( q( t )) = 0. Man erhält also durch Betrachtung eines Mehrteilchensystems mit transformierter amilton-funktion nach Rücktransformation Lösungen des Mehrteilchensystems, welche sich auf den vorgegebenen Untermannigfaltigkeiten bewegen. Zusammengefasst Es genügt also bei global parametrisierbaren Zwangsbedingungen, eine (auf generalisierte Koordinaten) transformierte amilton-funktion zu bilden und die Bewegung des (in seinen Freiheitsgraden reduzierten) mechanischen Systems unter Annahme der transformierten amilton-funktion zu betrachten. 3 Die generalisierten Impulse transformieren sich (bei vorgegebener Orts-ransformation) auf diese Weise: d.h. : ( ) : ( ) ( q = G Q p = G Q G ( Q) G ( Q)) P = G ( Q) P. 33 Die transformierte amilton-funktion trans ( Q, P ) behält i.a. nicht die Eigenschaft der additiven Zerlegbarkeit (außer bei linearem ( Q ) ), die Reflektions-Symmetrie bleibt jedoch immer erhalten. 4

35 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 5 9) Zwei Körper in einem -Rohr als Beispiel eines mechanischen Systems mit global auflösbaren Zwangsbedingungen Mit den zwei Einheitsvektoren der Ebene 0 e : =, e : = 0 und den ebenen Orten und Impulsen qi R, pi R ( i =, ) beschreibt die amilton-funktion p p p p ε ( q; q; p; p) : = + + ( + ) m m q q i= ( e qi ) ( e ( qi e.)) ein mechanisches -Körper System mit einer Gravitationskraft zwischen den Körpern und einer durch die Geometrie bedingten Kraft, die verhindert, dass die Körper den Rand des Rechtecks [,] [0.,.] überwinden können. Dazu kommen die Zwangsbedingungen e q 0 g( q; q) : = =. e 0 q Sie beschränken die Bewegung von m auf die x-achse und die Bewegung von m auf die y-achse innerhalb des Rechtecks. Da der Rand des Rechtecks nicht überwunden werden kann es findet dort weiche Impuls-Umkehr statt, ist die Bewegung der Masse m auf die x-achse zwischen und + beschränkt und die Bewegung der Masse m auf die y-achse zwischen 0. und.. Zwischen den Massen m und m herrscht ein abstandsbedingtes Newton-Potential (d.h. eine Paar-Kraft des Betrages /Abstand², von der allerdings nur, durch die Geometrie bedingt, für m der Anteil in Richtung x-achse, für m der Anteil in Richtung y-achse wirksam werden kann). Durch die Zwangsbedingungen wird sichergestellt, dass (auch bei anziehender Kraft) die Körper nicht kollidieren. Die Kraft ist bei ε = + anziehend, bei ε = abstoßend. 5

36 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 6 Abbildung.3 : Die -Rohr-Anordnung. (..\EigeneDateien\EigeneBilder\Rohr.GIF) (Die Breite der Körper wird hier als vernachlässigbar angesehen.) Das amilton-dgl-system (unter Zwangsbedingungen) für die 4 Größen q ( t) R, p ( t) R ( i =,) lautet : i qɺ ( t) = p( t) m qɺ ( t) = p( t) m i ε e q ( t) e ( q ( t) e.) pɺ t q t q t e e e ( ) = ( ( ) ( )) 3 ( ) ( ) ( ( ( )) ) ( ( q t q t e q t e ( q ( t ) e.)) ) ε e q ( t) e ( q ( t) e.) pɺ ( t) = ( q( t) q( t)) e 3 e e λ q ( t ) q ( t ) ( ( e q( t)) ) ( ( e ( q ( t) e.)) ) λ mit den Zwangsbedingungen e e q ( t) = 0 q ( t) = 0. Mit der Wahl 34 von e ( q ( t) e.) λ 0 ε ( ( e ( q( t) e.)) ) ( q, p) : ( q q) = 3 λ 0 q q e q ( t) ( ( e q( t)) ) 34 Berechnet nach Formel 3) auf Seite. 6

37 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 7 entsteht ein (von Zwangsbedingungen befreites) Dgl-System : qɺ ( t) = p ( t) m qɺ ( t) = p( t) m ε q ( t) pɺ ( t) = e e (( q ( t) q ( t)) ) 3 q ( t) q( t) ( ( e q ( t)) ) ε ( q ( t) e.) pɺ ( t) = e e (( q ( t) q ( t)) ) 3 q ( t) q( t) ( ( e ( q( t) e.) ) 4 Die globale Parametrisierung G : R R der Form : e Q G( Q ; Q ) : =, ( Q ; Q ) R (mit e e Q 0 g( G( Q ; Q )) = = ) e 0 e Q erlaubt die transformierte amilton-funktion 35 trans e Q P P = m m e Q e Q Q ( Q.) ( Q ; Q ; ; ) P P herzustellen und daraus das amilton-dgl-system für die 4 skalaren Größen Q ( t) R, P( t) R ( i =, ) abzuleiten : i i ε Qɺ ( t) = P ( t) m Qɺ ( t) = P ( t) m Q ( t) Q ( t) Pɺ ε ( t) = 3/ ( Q ( t) + Q ( t)) ( Q ( t)) Q ( t) Q ( t). Pɺ ε ( t) = 3/ ( Q ( t) + Q ( t)) ( ( Q ( t).) ) Die hier auftretenden wirksamen Kräfte entsprechen der Anschauung : Von der gesamten Gravitations-Kraft (mit der Größe /Abstand² längs der Verbindungslinie der Massen wirkend) wird bei der einzelnen Masse nur der Anteil wirksam, der in Richtung ihrer durch die Geometrie bedingten Bewegungsmöglichkeit (also in Richtung x-achse bzw. y-achse) zeigt. 35 Die Auswertung von p : = G ( Q) ( G ( Q) G ( Q)) P ergibt die Impulstransformation p P Die additive Zerlegbarkeit von ( q; p ) bleibt (bei der hier verwendeten) linearen ransformation G auch für ( Q trans ; P ) erhalten. 7 =.

38 Mathematische Grundlagen für amilton-systeme 8 Von den Kräften, die eine Bewegungsbegrenzung auf das Rechteck bewirken, bleibt für die Masse m bzw. m nur der Anteil wirksam, der sie auf das Intervall [,] bzw [0.,.] beschränkt. 8

39 Numerische Methoden für amilton-systeme 9 Kapitel Numerische Methoden für amilton-systeme 9

40 Numerische Methoden für amilton-systeme 30 Überblick Numerische Methoden für amilton-systeme Ausgang : Ziel : Euler-Verfahren EulerA-Verfahren EulerA EulerB=: StV EulerB-Verfahren Störmer-Verlet-Verfahren StV 4 -Verfahren qn+ qn M p n : = + t pn+ pn V ( qn ) qn+ qn M pn : pn+ pn V q n + = + t ( ) bzw. qn+ qn M p n+ = : + t pn+ pn V ( qn) p : = p V ( q ) t / hilf n n qn+ qn + M philf t : p = n+ philf V ( qn+ ) t / Vgl. Nachtrag S.53 Ein t -Schritt besteht aus drei StV - Schritten mit je passenden Schrittweiten (vgl. S.54) 30

41 Numerische Methoden für amilton-systeme 3 Numerische Methoden für amilton-systeme Aufbau Vorbemerkungen ) Das Euler-Verfahren, Eigenschaften ) a) Auswirkungen der Symplektizität eines numerischen Verfahrens b) Auswirkungen der Zeit-Reversibilität eines numerischen Verfahrens c) Auswirkung der Symplektizität und der Zeit-Reversibilität auf die Energie 3) Das EulerA- und EulerB-Verfahren, Eigenschaften, Verknüpfung 4) Das Störmer-Verlet-Verfahren als Verknüpfung EulerA EulerB, Eigenschaften 5) Symmetrische Dreifach-Verknüpfung von Störmer-Verlet-Schritten zur Erzeugung eines Verfahrens vierter Ordnung, Eigenschaften 6) Zusammenfassende Übersicht der vorgestellten Verfahren mit ihren wesentlichen Eigenschaften Ziel : Ein explizites, symplektisches, zeitreversibles numerisches Verfahren 4. Ordnung amilton-dgl-systeme können analytisch nur für einige Spezialfälle gelöst werden 0,, (u.z. für ϕ ( r) : = r d.h. freie (kraftlose) Bewegung, freier Fall (Bewegung im konstanten Kraftfeld), Kette harmonischer Oszillatoren). Die restlichen Bewegungsgleichungen können nur durch numerische Verfahren (approximativ) gelöst werden. Für das numerische (näherungsweise) Lösen von Dgln hat das Runge-Kutta- Verfahren (4. Ordnung) eine gewisse Bedeutung und Verbreitung. Allerdings ist die Methode nicht symplektisch (im Sinne von langzeitstabil) und auch nicht - hinsichtlich einer Anwendung des Rücklaufens - zeitreversibel. Es soll ein vergleichbares numerisches Verfahren 4. Ordnung angegeben werden, das beide Eigenschaften besitzt. Mit der konkreten (bei mechanischen Systemen üblichen) kinetischen Energie N ( p;..; pn ) = pi pi i= m i oder (in Kurzform, wenn durch M : = diag( m,.., mn ) Id eine symmetrisch, positiv definite Massen(diagonal)matrix definiert wird) ( p) = p M p soll im Folgenden die additiv aufgeteilte, reflektionssymmetrische amilton-funktion ( q; p) : = p M p + V ( q) betrachtet werden, um für die zugehörige amilton-dgl numerische Verfahren anzugeben, die den Fluss / die Lösungen möglichst gut approximieren. 3

42 Numerische Methoden für amilton-systeme 3 Die Form der potentiellen Energie V ( q ) wird nicht konkretisiert, da sie vom jeweilig betrachteten Mehrteilchensystem abhängt (vgl. Beispiele S.). Mit dieser speziellen kinetischen Energie lautet das vorgelegte amilton-dgl-system d q ( t ) M = p ( t ) dt d p ( t ) = V ( q ( t )) dt. Die numerische approximative Lösung der Anfangswertaufgabe für dieses zweigeteilte amilton-dgl-systems mit Anfangswerten q( t ) = q 0 0 p( t0) = p0 besteht darin, mittels einer einfachen Vorschrift zu diskreten Zeiten t0, t = t0 + t, t = t + t,... aus dem gegebenen Anfangswert ( q0; p0 ) = ( q( t0); p( t0)) eine Näherung ( q; p ) von ( q( t); p( t )) zu berechnen, dann aus ( q; p ) einen Wert ( q; p ) zu berechnen als Näherung von ( q( t); p( t )), usw. Diese iterative Erzeugung Vorwert Nachwert kann mit einem Computer günstig ausgeführt werden. Bemerkung : n Sowie der Fluss Φ( t; i) der Dgl. die exakten Werte ( q( tn ); p( tn )) = ( Φ( t; i )) ( q0; p0) zu den diskreten Zeiten t n = n t durch Iteration erzeugt, so liefert die numerische n Vorschrift Ψ( t; i ) die Näherungswerte ( qn; pn ) = ( Ψ( t; i )) ( q0; p0) durch wiederholte Anwendung von Ψ( t; i). Generelle Bemerkung zu numerischen Verfahren : Der (eindeutig bestimmte) Fluss einer amilton-dgl zur reflektionssysmmetrischen amilton-funktion besitzt immer die (in den mathematischen Grundlagen beschriebenen) Eigenschaften der Symplektizität und der Zeit-Reversibilität. Numerische Verfahren, wenn sie überhaupt als Approximation des Flusses betrachtet werden können, haben diese Eigenschaften i.a. nur näherungsweise, aber i.a. nicht exakt. Für eine stabile Verfolgung der Lösung über viele tausend Schritte erweist es sich als vorteilhaft, wenn das numerische Verfahren möglichst viele Eigenschaften des Flusses exakt besitzt. Die Notwendigkeit der Zeit-Reversibilität des numerischen Verfahrens zum Erreichen der Rücklauf-Eigenschaft wurde schon erwähnt; für den praktischen Nutzen der Symplektizität des numerischen Verfahrens s. Abb..,.3 S.38. In diesem Sinne ist es notwendig, bekannte numerische Verfahren auf diese Eigenschaften hin zu überprüfen und diese entsprechend zu verändern. War eine Flussabbildung Φ( t; ) dazu ihre numerische Approximation Ψ( t; i ) eine Abbildung mit konkreten Zahlenwerten. i eine mehr oder weniger abstrakte Definition, so ist im Gegensatz Exakt im mathematischen Sinn; bei der praktischen Ausführung der Verfahren auf Computern heißt das : bis auf Maschinen-Genauigkeit. 3

43 Numerische Methoden für amilton-systeme 33 ) Das Euler-Verfahren, Eigenschaften Eine einfache numerische Vorschrift ist das Euler-Verfahren : qn+ Euler qn qn M p n = Ψ ( t; ) : = + t n 0,,.. = pn+ pn pn V ( qn) (Euler) Dieses Verfahren ist explizit (d.h. es benötigt zur Bestimmung Vorwert Nachwert keine numerische Lösung eines Gleichungssystems), nicht symplektisch, schwach zeitreversibel, aber nicht zeitsymmetrisch und deshalb (vgl. Satz S.5) nicht zeitreversibel und hat die Ordnung. a) Nicht-Symplektizität des Euler-Verfahrens : Euler q + M p t Ψ ( t; q; p) = p V ( q) t hat als. Variation Euler I M t ( Ψ ( t; q; p)) =, V ' '( q) t I also Euler Euler ( Ψ ( t; q; p)) J ( Ψ ( t; q; p)) = I V ' ' ( q) t 0 I I M t = = M t I I 0 V ' '( q) t I V ' '( q) t V ' ' ( q) t I + V ' ' ( q) M t = = M V ' '( q) t I M t + M t 0 ( M V ' '( q)) t = J + M V ' '( q) 0 (unter Beachtung der Symmetrie von : ' V '( q) = V ' ' ( q) ). b) Schwache Zeit-Reversibilität des Euler-Verfahrens : Für das Euler-Verfahren Euler q M p Ψ ( t; q; p) = t p + V ( q) gilt dann : Euler Euler q M ( p) S Ψ ( t; S ( q; p)) = S Ψ ( t; q; p) = S ( ( t)) p + = V ( q), q M p q M p Euler = S t ( ) t ( t; q; p) p + = + = Ψ V ( q) p V ( q) d.h. das Euler-Verfahren ist schwach zeitreversibel bei dem vorgelegten Dgl-System. J 33

44 Numerische Methoden für amilton-systeme 34 c) Das Euler-Verfahren ist nicht zeitsymmetrisch : Euler Euler Euler q + M p t Ψ ( t; Ψ ( + t; q; p)) = Ψ ( t; ) = p V ( q) t q + M p t M ( p V ( q) t) = ( t) + = p V ( q) t V ( q + M p t) q M V ( q) t q = + t p V ( q + M p t) V ( q) p d) Als Folgerung (nach Satz S.5) : Das Euler-Verfahren ist (wegen mangelnder Zeit-Symmetrie) auch nicht zeitreversibel. Oder explizit gerechnet : Das Euler-Verfahren ist nicht zeitreversibel : Euler Euler S Ψ ( t; S Ψ ( t; q; p)) = I 0 q + M p t Euler = S Ψ ( t; = 0 I p V ( q) t Euler q + M p t = S Ψ ( t; ) = p + V ( q) t = S ( ( ) ) p + V q t V q + M p t t q + M p t + M p + V q t t ( ) ( ) q + M V ( q) t = S = p + ( V ( q) V ( q + M p t)) t q M V ( q) t q = + t p V ( q + M p t) V ( q) p e) Approximationsordnung des Euler-Verfahrens hinsichtlich des lokalen Fehlers Euler lokfeuler ( t, q, p) : = Ψ ( t; q; p) Φ ( t; q; p) : Bezeichnet d q( t) M p( t) q(0) q Φ ( t; q; p) die exakte Lösung der AWA, dt p( t) = = V ( q( t)) p(0) p und ist Euler q M p Ψ ( t; q; p) = t p + V ( q) das Euler-Verfahren, so hat der lokale Fehler als Funktion von t (q, p sind fest) die Form : = q M p lokfeuler ( t) = t ( t; q; p) p + Φ. V ( q) Die Auswertung der aylorentwicklung des lokalen Fehlers nach Stelle t = 0 t -Potenzen an der 34

45 Numerische Methoden für amilton-systeme 35 ( n) n lokfeuler ( t) : = ( lokfeuler ( t)) t= 0 t n= 0 n! ergibt : q q 0 lokfeuler ( t) t= 0 = = p p 0, M p M p 0 ( lokfeuler ( t)) t= 0 = = V ( q) V ( q) 0, d.h. der lokale Fehler des Euler-Verfahrens ist lokfeuler ( t) = O( t ), so dass das Euler-Verfahren die Ordnung hat. Euler Damit besitzt das Euler-Verfahren Ψ ( t; i ) nicht die (für die Langzeit- Approximation wesentliche) Symplektizität) und auch nicht die (für die Rückrechenbarkeit bei weiterer Vorwärtsrechnung wesentliche) Zeit-Reversibilität. Wunschzettel : Es wäre wünschenswert, wenn ein numerisches Verfahren Ψ ( t; i ) (mit der Schrittweite t ) möglichst viele Eigenschaften der Flussabbildung Φ ( t; i ) (zur Zeit t ) hätte, nämlich Symplektizität (und damit eine günstige Langzeit-Approximation des Flusses) und Zeit-Reversibilität (Möglichkeit des Rücklaufs bei Vorwärtsrechnung). a) Auswirkungen der Symplektizität eines numerischen Verfahrens Ein Ergebnis aus der heorie : Betrachtet wird ein numerisches Einschritt-Verfahren Ψ ( t; q; p) der Ordnung r, angewendet auf eine (von einer amilton-funktion ( q; p ) ) erzeugte amilton-dgl. Für den lokalen Approximationsfehler (als Differenz zwischen Ψ ( t; q; p) und dem (exakten) Fluss Φ ( t; q; p) ) gilt also r Ψ ( t; q; p) Φ ( t; q; p) = O( t + ) Dann folgt (als Ergebnis der "Forward Error Analysis") für den (bei Iteration entstehenden) globalen Fehler eines üblichem (nicht symplektischen numerischen) Verfahrens : n n t L r Ψ ( t; q; p) Φ ( n t; q; p) K ( e ) t mit gewissen Konstanten K, L (exponentielles Auseinanderlaufen von numerisch errechneten Phasenraumpunkten und der Dgl-Lösung). n t L Wegen des Faktors K e kann eine günstige Approximation nur für (relativ kurze) Zeiten = n t garantiert werden. Eine Erhöhung der Approximationsordnung r ändert daran nur wenig [LR,005 S.7,].. 35

46 Numerische Methoden für amilton-systeme 36 Ist das numerische Verfahren Ψ ( t; q; p) der Ordnung r zusätzlich symplektisch, so gilt (als Ergebnis der "Backward Error Analysis") [LR,005 S.4-4], insbesondere [L,997], [LW,00], [McQ,006] und [BCM,008] : a) Das numerische symplektische Verfahren Ψ ( t; q; p) der Ordnung r lässt sich durch den (symplektischen) Fluss Φ ( t; q; p) einer amilton-dgl, erzeugt von einer modifizierten benachbarten amilton-funktion der Form r N ( t; q; p) : = ( q; p) + t r+ ( q; p) t N ( q; p), "exponentiell klein" approximieren, d.h. es gilt eine Abschätzung 3 γ t Ψ ( t; q; p) Φ ( t; q; p) c t e. Daraus ergibt sich (bei Iteration) die Fehlerabschätzung γ n n t L t Ψ ( t; q; p) Φ ( n t; q; p) K ( e ) e (mit gewissen Konstanten c, K, L, γ ). γ γ D.h. Für lange Zeiten = n t mit der Ausdruck ist groß, t L t L da t im Nenner steht folgt das numerische Verfahren (fast) der Projektion einer öhenlinie einer benachbarten amilton-funktion ( t; q; p) (vgl.abbildung., S.37). b) Die Beziehung zwischen Ausgangs-amilton-Funktion ( q; p ) und der modifizierten amilton-funktion ( t; q; p) r ( q; p) ( t; q; p) = O( t ) bedeutet nach der Störungstheorie für (fast-)integrable amilton-dgln, dass auch die entsprechenden Flüsse Φ ( t; q; p) und Φ ( t ; q ; p ) für lange Zeiten benachbart bleiben [LR,005 S.3] und [LW,00]. c) Damit ergibt sich (bei (fast-)integrablen amilton-dgln) ein günstiges Fehlerverhalten des numerischen symplektischen Verfahrens Ψ ( t; q; p) in Bezug auf den Fluss Φ ( t; q; p) in der Form n n t L t Ψ ( t; q; p) Φ ( n t; q; p) ~ K ( e ) e, welches für obige Zeiten gültig bleibt. γ Die Eigenschaft der Symplektizität eines numerischen Verfahrens garantiert also, dass die numerisch erzeugten Phasenraumpunkte der exakten Phasenraumkurve lange gut folgen, indem beide längs der Projektion von öhenlinien benachbarter amilton-funktionen fortschreiten 4. (Günstige Langzeit-Approximation der Phasenraumkurve bei Wahl eines symplektischen numerischen Verfahrens.) 3 Wegen der Divergenz der ( t; q; p)) definierenden Reihe kann nicht mit einem Grenzwert argumentiert werden. 4 Die Phasenraumpunkte schreiten ungefähr längs der Projektion der -öhenlinien voran, die wahre Phasenraumkurve schreitet exakt längs der Projektion der -öhenlinien voran. 36

47 Numerische Methoden für amilton-systeme 37 Anschauung : (Konkrete Auswirkung der Wahl eines symplektischen numerischen Verfahrens für die Langzeit-Approximation) Allgemein : Zur Existenz einer benachbarten amilton-funktion : Abbildung. : öhenlinien benachbarter amilton-funktionen. (...\Eig.Bilder\öhenlinien.GIF) Projektion der öhenlinien einer amilton-funktion ( q; p) = const, denen die Lösung exakt folgt (rot) und r Projektion der öhenlinien einer O( t ) -benachbarten amilton-funktion ( t; q; p) = const, denen die Werte des numerischen symplektischen Verfahrens (lange ungefähr) folgen (schwarz). Ein konkretes Beispiel : Der Lennard-Jones-Oszillator Vergleich der konkreten Werte eines nicht-symplektischen numerischen Verfahrens mit den Werten eines symplektischen numerischen Verfahrens bei der Berechnung eines Umlaufs (in- und erbewegung), wenn zwischen dem festen Ursprung und einem sich auf einer Geraden bewegenden Punkt die Paar-Kraft aus einem Lennard- Jones-Potential wirkt : 37

48 Numerische Methoden für amilton-systeme 38 a) NIC-SYMPLEKISCES Euler-Verfahren : Abbildung. : Umlauf bei nicht-symplektischem Euler-Verfahren. (work\body\eulerlj.bmp) b) SYMPLEKISCES EulerA-Verfahren : Abbildung.3 : Umlauf bei symplektischem EulerA-Verfahren. (work\body\euleralj.bmp) Beachte: Die qualitativ bessere numerische Approximation mit einem symplektischen Verfahren (trotz 0-fach größerer Schrittweite 0.0 in b) statt 0.00 in a) ). Auch bei längeren Zeiten verlässt b) nicht seine Lösungskurve, während a) spiralförmig auseinanderläuft. 38

49 Numerische Methoden für amilton-systeme 39 b) Auswirkungen der Zeit-Reversibilität eines numerischen Verfahrens Das EulerA-Verfahren (s.u.) erweist sich zwar als symplektisch (d.h. die von ihm produzierten Werte verbleiben nahe der physikalischen Bewegung = Lösung der amilton-dgl), aber dieses Verfahren ist nicht exakt zeitreversibel : Es kehrt nach Impuls-Umkehr und Weiter-Rechnung nicht wieder exakt in den Anfangszustand (mit negativ genommenem Impuls) zurück. Beispiel : Die Bewegung des Lennard-Jones-Oszillators, beginnend bei ( q0 =.5; p0 = 0) und berechnet nach dem EulerA-Verfahren, wird nach 00 Schritten gestoppt. Dann wird die Bewegung mit negativem (erreichten) Impuls weitere 00 Schritte nach dem EulerA-Verfahren fortgesetzt : Es wird ( q =.3356; p = 0.346) erreicht, aber nicht ( q0 =.5; p0 = 0) Abbildung.4 : Rücklauf bei nicht zeitreversiblem EulerA-Verfahren. (work\body\euleraljzeitrev.bmp) 39

50 Numerische Methoden für amilton-systeme 40 Als ein Vergleich das zeitreversible StV 4 -Verfahren (mit exakter 5 Rückkehr) Abbildung.5 : Rücklauf bei zeitreversiblem StV4-Verfahren. (work\body\stv4ljzeitrev.bmp) Bemerkung : Symplektizität und Zeit-Reversiblität sind zwei verschiedene Eigenschaften, die ein numerisches Verfahren je einzeln haben oder nicht haben kann. Gesucht ist natürlich ein numerisches Verfahren, welches beide Eigenschaften besitzt, wie z.b. die Verknüpfung von EulerA EulerB-Verfahren (= Störmer -Verlet-Verfahren), s. S.5 oder noch besser (wegen der höheren Approximationsordnung) das StV 4 -Verfahren, s. S bis auf Maschinen-Genauigkeit. 40

51 Numerische Methoden für amilton-systeme 4 c) Auswirkungen von Symplektizität und Zeit-Reversibilität auf den Energie-Verlauf Obwohl kein numerisches Verfahren die exakte zeitunabhängige Konstanz der amilton-funktion (Erhalt der Gesamtenergie) liefern kann 6, so zeigen sich doch beachtliche Unterschiede bezüglich numerischer Verfahren (ohne und mit diesen Eigenschaften) hinsichtlich der Approximationsgüte des zeitlichen Verlaufes der amilton-funktion (Gesamtenergie). Beispiel : Für den zeitlichen Verlauf der amilton-funktion (Gesamtenergie) des Lennard- Jones-Oszillators ( q( t), p( t)) = p ( t) + ( ) 6 q( t) q( t) längs der exakten rajektorie mit Startwerten q(0) =.5, p(0) = 0, gilt ( q( t), p( t)) const( t) = Der zeitliche Energie-Verlauf auf der (geschlossenen) rajektorie während eines Umlaufes, berechnet nach dem bekannten Runge-Kutta-Verfahren (4.Ordnung), ist Abbildung.6 : Energieverhalten bei nicht-symplektischem Runge-Kutta-Verfahren. (work\body\rk4energie.bmp) Nach der Abweichung der numerisch berechneten Energie (blau) vom Sollwert (rot) kehrt diese nicht mehr (exakt) zum Sollwert zurück. 6 Die amilton-funktion ist exakt zeit-konstant nur auf den exakten rajektorien (den exakten Lösungen der zugehörigen amilton-dgl), nicht aber auf numerischen Näherungen. Aber auch hier liefert die heorie ein ähnlich günstiges Langzeit-Verhalten bei Anwendung eines symplektischen numerischen Verfahrens [LR,005 S.] und [L,997]. 4

52 Numerische Methoden für amilton-systeme 4 Als Vergleich dazu : zeitlicher Energie-Verlauf während eines Umlaufes, berechnet nach dem symplektischen und zeitreversiblen Störmer-Verlet-Verfahren (.Ordnung) Abbildung.7 : Energie-Verhalten bei symplektischem und zeitrev. StV-Verfahren. (work\body\stvenergie.bmp) Der Fehler ist jetzt nur noch /000-tel gegenüber dem Runge-Kutta-Verfahren, (obwohl das Störmer-Verlet-Verfahren nur von. Ordnung ist) und die Energie kehrt nach Abweichung zum Sollwert (fast) zurück. Bemerkung : Wird das StV 4 -Verfahren gewählt, welches wie das Runge-Kutta- Verfahren auch 4. Ordnung ist, so beträgt der Fehler nur noch 3.747e-05, d.h. Maschinen-Genauigkeit! 4

53 Numerische Methoden für amilton-systeme 43 3) Das EulerA- und EulerB-Verfahren, Eigenschaften, Verknüpfung beider Verfahren EulerA-Verfahren Betrachte das asymmetrische EulerA-Verfahren : qn+ EulerA qn qn M p n = Ψ ( t; ) : = + t n 0,,.. = pn+ pn pn V ( qn + M pn t) oder in der bei Iteration verwendeten Form qn+ EulerA qn qn M p n = Ψ ( t; ) : = + t n 0,,.. = (EulerA) pn+ pn pn V ( qn+ ) (Zur Bestimmung von p n + wird also in V ( qn+ ) = V ( qn + M pn t) der schon bekannte Anteil q n + des Nachwertes benutzt, d.h. ( qn, pn) ( qn+, pn) ( qn+, pn+ ).) (Das EulerA-Verfahren gleicht einem Einzelschrittverfahren 7, während das gewöhnliche Euler-Verfahren einem Gesamtschrittverfahren ähnelt. Das A-Verfahren ist auch einfacher zu programmieren, da Vorwert und Nachwert auf einem Speicherplatz gehalten werden können.) Das EulerA-Verfahren ist explizit, symplektisch, schwach zeitreversibel, aber nicht zeitsymmetrisch und deshalb nicht zeitreversibel und hat die Ordnung. a) Symplektizität des EulerA-Verfahrens : EulerA q + M p t Ψ ( t; q; p) = p V ( q + M p t) t hat als. Variation EulerA I M t ( Ψ ( t; q, p)) : = V ' '( qˆ ) t I V ' '( qˆ ) M t mit qˆ : = q + M p t. Daraus ergibt sich EulerA EulerA ( Ψ ( t; q; p)) J ( Ψ ( t; q; p)) = I V ' ' ( qˆ ) t 0 I I M t = = M t I M V ' ' ( qˆ ) t I 0 V ' '( qˆ ) t I V ' '( qˆ ) M t V ' '( qˆ ) t V ' ' ( qˆ ) t I V ' '( qˆ ) M t + V ' ' ( qˆ ) M t = = M V ' '( qˆ ) t I + M V ' ' ( qˆ ) t M ( I + V ' '( qˆ ) M t ) t + ( I M V ' ' ( qˆ ) t ) M t 0 I = = J I 0 (wieder unter der Beachtung der Symmetrie von V ' '( qˆ ) = V ' ' ( qˆ ) ). b) Schwache Zeit-Reversibilität des EulerA-Verfahrens : 7 d.h. schon berechnete Anteile werden bei der Berechnung der restlichen Anteile benutzt. Für eine andere Deutung des EulerA-Verfahrens vgl. S.45, Punkt f). 43

54 Numerische Methoden für amilton-systeme 44 Das EulerA-Verfahren lautet : EulerA q M p Ψ ( t; q; p) = t p +. V ' ( q + M p t) Also gilt : EulerA EulerA q M ( p) S Ψ ( t; S( q; p)) = S Ψ ( t; q; p) = S ( + ( t)) = p V ( q + M ( p) ( t)) q M p q M p EulerA = + S t t ( ; ; ) t q p = + = Ψ p V ( q + M p t) p V ( q + M p t) d.h. das EulerA-Verfahren ist schwach zeitreversibel bei dem vorgelegten Dgl-System. c) Das EulerA-Verfahren ist nicht zeitsymmetrisch : EulerA EulerA EulerA q + M p t Ψ ( t; Ψ ( + t; q; p)) = Ψ ( t; ) = p V ( q + M p t) t q + M p t M ( p V ( q + M p t) t) = + ( t) = p V ( q + M p t) t V ( q + M p t + M ( p V ( q + M p t) t) ( t)) q M V ( q + M p t) t q = + t p V ( q + M V ( q + M p t) t ) V ( q + M p t) p d) Also ist das EulerA-Verfahren (wegen mangelnder Zeit-Symmetrie) auch nicht zeitreversibel. Oder explizit gerechnet : Nicht zeitreversibel : EulerA EulerA S Ψ ( t; S Ψ ( t; q; p)) = I 0 q + M p t 0 ( ) EulerA = S Ψ ( t; ) = I p V q + M p t t EulerA q + M p t = S Ψ ( t; ) = p + V ( q + M p t) t = S p + V ( q + M p t) t V ( q + M p t + M ( p + V ( q + M p t) t) t) t q + M p t + M ( p + V ( q + M p t) t) t = q + M V ( q + M p t) t = S = p + V ( q + M p t) t V ( q + M V ( q + M p t) t ) t q M V ( q + M p t) t q = + t p V ( q + M V ( q + M p t) t ) V ( q + M p t) p e) Approximationsordnung des EulerA-Verfahrens hinsichtlich des lokalen Fehlers 44

55 Numerische Methoden für amilton-systeme 45 EulerA lokfeulera ( t, q, p) : = Ψ ( t; q, p) Φ ( t; q; p) : Ist wieder d q( t) M p( t) q(0) q Φ ( t; q; p) die exakte Lösung der AWA, dt p( t) = = V ( q( t)) p(0) p und ist EulerA q M p Ψ ( t; q; p) : = t p + V ( q + M p t) das EulerA-Verfahren, so gilt für den lokalen Fehler als Funktion von t (q, p fest) : q M p lokfeulera ( t) = t ( ; ; ) t q p p + Φ. V ( q + M p t) Da q q 0 lokfeulera ( t) t= 0 = = p p 0, und M p M p 0 ( lokfeulera ( t)) t= 0 = = V ( q) V ( q) 0, ist der lokale Fehler für das EulerA-Verfahren lokfeulera ( t) = O( t ), so dass das EulerA-Verfahren die Ordnung hat. f) Die erkunft des EulerA-Verfahrens bei additiv aufgeteilter mechanischer amilton-funktion als Funktions-Verknüpfung zweier (exakter) Flüsse (Motivation vgl Kap..5, S.0) : Ausgangspunkt ist eine additiv aufgeteilte mechanische amilton-funktion : ( q; p) = ( p) + V ( q), wobei ( p) = p M p gilt. Wird gesetzt ( q; p) : = ( p) und ( q; p) : = V ( q), so ergibt sich, dass die mit den additiven Anteilen i ( i =, ) definierten amilton- Dgl-Systeme exakt lösbar sind : Die amilton-dgl zu den Anteil ( q; p) = ( p) lautet : d q( t) ( p( t)) = dt p( t) 0 mit dem (explizit angebbaren) Fluss ( p( t) = p = const. ) q + ( p) t q + M p t Φ ( t; q; p) = = p p (gradlinige Bewegung bei Abwesenheit von Kräften). 45

56 Numerische Methoden für amilton-systeme 46 Die amilton-dgl zu ( q; p) = V ( q) lautet : d q( t) 0 = dt p( t) V ( q( t)) mit dem (explizit angebbaren) Fluss ( q( t) = q = const. ) q Φ V ( t; q; p) = p V ( q) t. (Grenzfall : Bewegung bei Anwesenheit von Kraft, aber unendlich schwerer Masse M ). Eine intereinanderausführung der beiden Flüsse (mit t t ) Ψ( t; i) : = Φ ( t; i ) Φ ( t; i) 8 ergibt (unter Beachtung von ( p) = M p ) q q Φ ( t; i) ΦV ( t; i) V q + ( q) t q + ( q) t q M p t = + p p V ( q + ( q) t) t p V ( q + M p t) Dies ist gerade das EulerA-Verfahren : Φ ( t; i ) Φ ( t; i) = Ψ EuerA ( t; i ). V + V Man kann daher bei mechanischer amilton-funktion das EulerA-Verfahren deuten als Verknüpfung von zwei exakten Flüssen von amilton-eilsystemen. Auf diese Weise (exakte Flüsse sind symplektisch (vgl. S.8) und vererben diese Eigenschaft bei Verknüpfung (vgl. S.7) ) ist die Symplektizität des EulerA-Verfahrens leicht erklärbar. 8 Es gilt natürlich nicht ΦV ( t; i ) Φ ( t; i) = Φ = + V ( t; i ) (d.h. die Verknüpfung stellt nicht den exakten Fluss der mit = + V gebildeten Ausgangs-Dgl dar - außer in dem seltenen Fall, dass die errechneten Flüsse kommutieren : Φ ( t; i ) Φ ( t; i) = Φ ( t; i ) Φ ( t; i ) ) (vgl. S.0). Das so V V EulerA definierte Ψ ( t; i ) ist also i.a. nur eine numerische Approximation und keine exakte Lösung der + V Ausgangs-amilton-Dgl. 46

57 Numerische Methoden für amilton-systeme 47 EulerB-Verfahren Ein ähnliches Verfahren ist das EulerB-Verfahren : qn+ EulerB qn qn M ( pn V ( qn) t) = Ψ ( t; ) : = + t n 0,,.. = pn+ pn pn V ( qn ) oder in der bei Iteration verwendeten Form qn+ EulerB qn qn M p n+ = Ψ ( t; ) : = + t n 0,,.. = (EulerB) pn+ pn pn V ( qn) (Die Rechenfolge ist hier : Zeile, Zeile mit ( qn, pn) ( qn, pn+ ) ( qn+, pn+ ) ). Zeile Zeile Das EulerB-Verfahren ist explizit, symplektisch, schwach zeitreversibel, aber nicht zeitsymmetrisch und deshalb nicht zeitreversibel und hat die Ordnung. a) Symplektizität des EulerB-Verfahrens : EulerB q + M ( p V ( q) t) t Ψ ( t; q; p) = p V ( q) t hat als. Variation EulerB I M V ' '( q) t M t ( Ψ ( t; q; p)) : =. V ' '( q) t I Daraus ergibt sich EulerB EulerB ( Ψ ( t; q; p)) J ( Ψ ( t; q; p)) : = I V ' ' ( q) M t V ' ' ( q) t 0 I I M V ' '( q) t M t = = M t I I 0 V ' '( q) t I = ( ' ' ( ) ) ' '( ) ' ' ( ) ( ' '( I V q M t V q t V q t I M V q) t ) ( I V ' ' ( q) M t ) + V ' ' ( q) M t M V ' '( q) t I M V ' '( q) t M t + M t 0 I = = J I 0 (wieder unter der Beachtung der Symmetrie von ' V '( q) = V ' ' ( q) ). b) Schwache Zeit-Reversibilität des EulerB-Verfahrens : Das EulerB-Verfahren lautet : EulerB q M ( p V ( q) t) Ψ ( t; q; p) = t p + V ( q) Also gilt : EulerB EulerB q M ( p V ( q) ( t)) S Ψ ( t; S ( q; p)) = S Ψ ( t; q; p) = S ( + ( t)) = p V ( q) q M ( p V ( q) t q M ( p V ( q) t) EulerB = + S t t ( = + = Ψ t; q; p) p V ( q) t p V ( q) d.h. das EulerB-Verfahren ist schwach zeitreversibel bei dem vorgelegten Dgl-System. = 47

58 Numerische Methoden für amilton-systeme 48 c) Das EulerB-Verfahren ist nicht zeitsymmetrisch : EulerB EulerB EulerB q + M ( p V ( q) t) t Ψ ( t; Ψ ( + t; q; p)) = Ψ ( t; ) = p V ( q) t mit q + M ( p V ( q) t) t M ( p V ( q) t V ( qˆ ) ( t) = ( t) + = p V ( q) t V ( qˆ ) q M V ( qˆ ) t q = + t p V ( qˆ ) V ( q) p ˆ ( ( ) ) q = q + M p V q t t. d) Also ist das EulerB-Verfahren (wegen mangelnder Zeit-Symmetrie) auch nicht zeitreversibel. Oder explizit gerechnet : Nicht zeitreversibel : EulerB EulerB S Ψ ( t; S Ψ ( t; q; p)) = I 0 q M ( p V ( q) t) t EulerB + = S Ψ ( t; ) 0 I = p V ( q) t EulerB q + M ( p V ( q) t) t = S Ψ ( t; ) = p + V ( q) t = S + ( ( ) ) + ( + ( ) t V ( qˆ ) t) t = p + V ( q) t V ( qˆ ) t q M p V q t t M p V q q M V ( qˆ ) t = S = p + V ( q) t V ( qˆ ) t q M V ( qˆ ) t q = + t p ( V ( qˆ ) V ( q)) p mit 9 qˆ = q + M ( p V ( q) t) t. e) Approximationsordnung des EulerB-Verfahrens hinsichtlich des lokalen Fehlers EulerB lokfeulerb ( t, q, p) : = Ψ ( t; q; p) Φ ( t; q; p) : Ist d q( t) M p( t), q(0) q Φ ( t; q; p) die exakte Lösung der AWA, dt p( t) = = V ( q( t)) p(0) p und ist EulerB q M ( p V ( q) t) Ψ ( t; q; p) : = t p + V ( q) 9 Bei schwacher Zeit Reversibilität S Ψ t S = Ψ t gilt : Ψ Ψ = S S Ψ S S Ψ = S Ψ S Ψ t t t t t t =Ψ t und d) den gleichen Wert. 48, d.h. unter Vor. b) haben die Ausdrücke in c)

59 Numerische Methoden für amilton-systeme 49 das EulerB-Verfahren, so gilt für den lokalen Fehler als Funktion von t (q, p fest) : q M ( p V ( q) t) lokfeulerb ( t, q, p) = t ( t; q; p) p + Φ. V ( q) Es gilt q q 0 M p M p 0 lokfeulerb ( t) t= 0 = =, und ( lokfeulerb ( t)) t= 0 = = p p 0 V ( q) V ( q) 0, also ist der lokale Fehler des EulerB-Verfahrens lokfeulerb ( t, q, p) = O( t ), so dass das EulerB-Verfahren die Ordnung hat. f) Die erkunft des EulerB-Verfahrens bei additiv aufgeteilter mechanischer amilton-funktion als Funktions-Verknüpfung zweier (exakter) Flüsse : Das EulerB-Verfahren kann (analog wie das EulerA-Verfahren) als intereinanderausführung von Flüssen zweier exakt lösbarer Dgln gedeutet werden : Dazu ist nur die obige Reihenfolge der Flüsse zu vertauschen : Ψ( t; i) : = Φ ( t; i ) ΦV ( t; i ) ; denn (mit den oben S.45,46 definierten Flüssen ) gilt : q q q + ( q V ( q) t) t q M ( p V ( q) t) t V ( t; ) ( ) ( t; ) q Φ p V q t = + Φ p V ( q) t p i i V ( q) Dies ist gerade das EulerB-Verfahren : Φ ( t; i ) Φ ( t; i) = Ψ EulerB ( t; i ). V + V. auptresultat : Verknüpfung von EulerA- mit EulerB-Verfahren zur Erzielung von Zeit-Symmetrie Das EulerA-Verfahren und das EulerB-Verfahren haben die Eigenschaften der Symplektizität und der schwachen Zeit-Reversibilität, aber nicht der Zeit-Symmetrie (und damit auch nicht der Zeit-Reversibilität). Diesem letzteren Umstand kann abgeholfen werden, indem das EulerB-Verfahren mit dem EulerA-Verfahren verknüpft wird : Es gilt zunächst : EulerA EulerB Ψ [ t; Ψ ( t; q; p)] = ( q; p). Denn q q + M ( p V ( q) t) t EulerBmit t p + p V ( q) t q = p q + M ( p V ( q) t) t + M ( p V ( q) t) ( t) t = p V ( q) t V ( q + M ( p V ( q) t) t M ( p V ( q) t) ( t)) ( t) EulerAmit 49

60 Numerische Methoden für amilton-systeme 50 und analog Folgerung : EulerB EulerA q Ψ ( t; Ψ ( t; q; p)) = p. EulerA EulerB EulerA EulerB Ψ ( t; Ψ ( t; i)) Ψ ( t; Ψ ( t; i)) = EulerA EulerB EulerA EulerB = Ψ ( t; i ) Ψ ( t; Ψ ( t; i)) Ψ ( t; i) = = id EulerA EulerB = Ψ ( t; i ) id Ψ ( + t; i) = EulerA EulerB = Ψ ( t; Ψ ( t; i)) = id. Satz : Die Verknüpfung EulerA EulerB ist ein zeitsymmetrisches numerisches Verfahren bei dem vorgelegten Dgl-System (obwohl jedes Verfahren für sich alleine nicht zeitsymmetrisch ist (s.o.) ) : EulerA EulerB EulerA EulerB ( Ψ ( t; i ) Ψ ( t; i ) ( Ψ ( + t; i ) Ψ ( + t; i ) = id. (Zeit-Symmetrie von EulerA EulerB) Die Zeit-Symmetrie war bei einem Dgl-Fluss immer vorhanden (wegen seiner Gruppeneigenschaft, vgl. Kap 4)a) S.6). Bei einem numerischen Verfahren ist die Zeit-Symmetrie eine zusätzlich herbeizuführende Eigenschaft 0. Für das EulerA EulerB-Verfahren gilt : Zeit-Symmetrie ist vorhanden. Die vorhandene Zeit-Symmetrie (zusammen mit der schwachen Zeit-Reversibilität) bedeutet für das numerische Verfahren EulerA EulerB, dass diese Verknüpfung gemäß Satz S.5 zeitreversibel ist. 0 Durch Einführung der sogenannten adjungierten Methode 50 * Ψ ( t; z) : = Ψ ( t; z)) (und anschließender Verknüpfung mit Ψ( t; i ) ) kann jedes numerische Verfahren zeitsymmetrisch gemacht werden. Allerdings ist die adjungierte Methode (nach Definition) implizit. Dass die expliziten numerischen Verfahren, EulerA und EulerB, die wechselseitigen Adjungierten voneinander sind, erklärt ihre bevorzugte Stellung bei der numerischen Lösung von amilton-dgln.

61 Numerische Methoden für amilton-systeme 5 4) Das Störmer-Verlet-Verfahren als Verknüpfung von EulerA EulerB-Verfahren Die intereinanderausführung von EulerB-Schritt, dann EulerA-Schritt (jeweils mit Zeitschritt t / ) ergibt das sogenannte Störmer-Verlet-Verfahren : Ψ StV ( ; ; ) : EulerA [ / ; EulerB t q p = Ψ t Ψ ( t / ; q; p)], d.h. : Durch Einsetzen ergibt sich (mit dem Zwischen-Impuls p hilf ) p : = p V ( q ) t / hilf n n qn+ StV qn qn + M philf t = Ψ ( t; ) : = pn+ p n philf V ( qn + M philf t) t / oder in der bei Iteration verwendeten Form : p : = p V ( q ) t / hilf n n qn+ StV qn qn + M philf t = Ψ ( t; ) : = n = 0,,... pn+ p n philf V ( qn+ ) t / (Störmer-Verlet) (Die Rechenfolge ist hier : Zeile, Zeile, Zeile 3 mit der Wertefolge ( q, p ) ( q, p ) ( q, p ) ( q, p ) ). n n n hilf n+ hilf n+ n+ Zeile Zeile Zeile3 Dieses Verfahren ist zweistufig und explizit, symplektisch, zeitreversibel bei dem vorgelegten Dgl-System und hat die Ordnung. a) Symplektizität des Störmer-Verlet-Verfahrens : Das Störmer-Verlet-Verfahren ist symplektisch als Verknüpfung des symplektischen EulerB-Verfahrens mit dem symplektischen EulerA-Verfahren. Es gilt also : StV StV ( Ψ ( t; q; p)) J ( Ψ ( t; q; p)) = J b) Schwache Zeit-Reversibilität des Störmer-Verlet-Verfahrens : Das Störmer-Verlet-Verfahren ist schwach zeitreversibel als Verknüpfung des schwach zeitreversiblen EulerB-Verfahrens mit dem schwach zeitreversiblen EulerA- Verfahren. Es gilt also : StV StV S Ψ ( t; S ( q; p)) = Ψ ( t; q; p). c) Das Störmer-Verlet-Verfahren ist zeitsymmetrisch : Es galt die Zeit-Symmetrie der Verknüpfung EulerA EulerB (vgl. S.50) EulerA EulerB EulerA EulerB ( Ψ ( t / ; i ) Ψ ( t / ; i ) ( Ψ ( + t / ; i ) Ψ ( + t / ; i )) = id, also gilt StV StV Ψ ( t; i ) Ψ ( + t; i ) = id. d) Das Störmer-Verlet-Verfahren ist, da schwach zeitreversibel und zeitsymmetrisch, zeitreversibel : StV StV S Ψ ( t; S Ψ ( t; i )) = id. 5

62 Numerische Methoden für amilton-systeme 5 e) Approximationsordnung des Störmer-Verlet-Verfahrens hinsichtlich des lokalen Fehlers StV lokfstv ( t, q, p) : = Ψ ( t; q; p) Φ ( t; q; p) : Mit d q( t) M p( t), q(0) q Φ ( t; q; p) der exakten Lösung der AWA, dt p( t) = = V ( q( t)) p(0) p und der Zuordnung Ψ StV ( t; i) = Ψ EulerA [ t / ; Ψ EulerB ( t / ; i )], d.h. q M ( p V ( q) t / ) t / qˆ( t) t + : EulerB mit t / = p V ( q) t / pˆ( t) qˆ( t) M pˆ( t) t / EulerA mit t / ˆ( ) ˆ ˆ + p t V ( q( t) + M p( t) t / ) t / gilt für den lokalen Fehler als Funktion von t (q, p fest) : qˆ( t) M pˆ( t) t / lokfstv ( t) = ( ; ; ) t q p pˆ( t) + Φ. V ( qˆ ( t) + M pˆ ( t) t / ) t / Es gilt q q 0 lokfstv ( t) t= 0 = = p p 0, und M p / + M p / M p 0 ( lokfstv ( t)) t= 0 = = V ( q) / V ( q) / V ( q) 0, und sogar M V ( q) 0 I p 0 ( lokfstv ( t)) t= 0 = M = V ' '( q) M ( p / p / ) V ' '( q) 0 V ( q) 0 +, also ist der lokale Fehler des Störmer-Verlet-Verfahrens 3 lokfstv ( t, q, p) = O( t ), so dass das Störmer-Verlet-Verfahren die Ordnung hat. f) Die erkunft des Störmer-Verlet-Verfahrens bei additiv aufgeteilter amilton- Funktion als Verknüpfung dreier (exakter) Flüsse : Die additive Aufteilung der amilton-funktion in ( q; p) : = V ( q), ( q; p) : = ( p), 3( q; p) : = V ( q) und die Verknüpfung der drei exakt angebbaren Flüsse der Dgln ergibt das Störmer- Verlet-Verfahren [LR,005 S.8], d.h. StV Ψ ( t; i) = Φ ( t; i ) Φ ( t; i ) Φ ( t; i ). V V Beachte den wichtigen Nachtrag auf der folgenden Seite! 5

63 Numerische Methoden für amilton-systeme 53 Bemerkung : Aus dieser Darstellung des Störmer-Verlet-Verfahrens als symmetrische Dreifach- Verknüpfung von zwei exakten (symplektischen und zeitreversiblen) Flüssen Φ ( t; i ) und Φ ( t; i ) folgt (nach den Vererbungseigenschaften S.7, S.6) sofort, V dass dieses StV -Verfahren symplektisch und zeitreversibel ist. Wichtiger Nachtrag zur Kraftberechnungseinsparung : Das oben beschriebene Störmer-Verlet-Verfahren Ψ StV ( t; i) : = Ψ EulerA [ t / ; Ψ EulerB ( t / ; i)] = Φ ( t; i ) Φ ( t; i ) Φ ( t; i ) V V erfordert je Iterationsschritt zwei Kräfteberechnungen (an den Stellen q n und q n + ). Man betrachte nun die Variante des Verfahrens, in der EulerA mit EulerB, bzw. mit V die Rollen tauschen (persönliche Anregung von Nils Schopohl) : Ψ StV ( t; i) : = Ψ EulerB [ t / ; Ψ EulerA ( t / ; i)] = Φ ( t; i ) Φ ( t; i ) Φ ( t; i ). V Durch Einsetzen ergibt sich (mit dem Zwischen-Ort q hilf ) q q M p t hilf : = n + n / qn+ StV qn qhilf + M ( pn V ( qhilf ) t) t / = Ψ ( t; ) : = pn+ p n pn V ( qhilf ) t oder in der bei Iteration verwendeten Form : q : = q + M p t / hilf n n qn+ StV qn qhilf + M pn+ t / = Ψ ( t; ) : = n = 0,,... pn+ p n pn V ( qhilf ) t (Störmer-Verlet) (Die Rechenfolge ist hier : Zeile, Zeile 3, Zeile mit der Wertefolge ( q, p ) ( q, p ) ( q, p ) ( q, p ) ). n n hilf n hilf n+ n+ n+ Zeile Zeile3 Zeile ier wird je Iterationsschritt nur eine Kräfteberechnung (an der Stelle q hilf ) benötigt. Die Rechenzeitersparnis (50%) dieser Störmer-Verlet Varianten StV ist besonders für Mehrteilchensysteme mit hoher eilchenzahl interessant (Die Berechnung aller Kräfte bei Paar-Potentialen stellt den auptanteil (95%) im Iterationsschritt dar). Die Variante StV hat die gleichen Eigenschaften a) e) wie das ursprüngliche Störmer-Verlet- Verfahren StV. Ebenso existiert (analog zur Bildung von StV 4 vgl. S. 54ff) eine ähnliche Bildung StV 4 mit vierter Konvergenz-Ordnung. 53

64 Numerische Methoden für amilton-systeme 54 Ein neuer Punkt : 5) Symmetrische Dreifach-Verknüpfung von Störmer-Verlet-Schritten zur Erzeugung des StV4 - Verfahrens vierter Ordnung Auf Grund der Vererbungseigenschaften bei Verknüpfung (vgl.s.7, S.6) gilt : Symmetrische Dreifach-Verknüpfung zweier zeitsymmetrischer und symplektischer Verfahren erzeugt ein zeitreversibles symplektisches Verfahren. Anwendung : a) Durch symmetrische Dreifach-Verknüpfung zweier Störmer-Verlet-Verfahren mit beliebig parameterisierten Schrittweiten entsteht stets ein zeitreversibles symplektisches numerisches Verfahren. b) Bei passender Wahl der Parameter ist das Verfahren sogar von 4. Ordnung. Satz : StV Durch symmetrische Dreifach-Verknüpfung der Verfahren Ψ ( α0 t; i ) und StV Ψ ( β t; i ), wobei zu setzen sind 0 ergibt sich 3 4 α0 = =.35.., β 3 0 = =.704.., 3 ( 4 ) 4 Ψ ( t; i) : = Ψ ( α t; i ) Ψ ( β t; i ) Ψ ( α t; i ) (StV4-Verfahren) StV 4 StV StV StV (Zur konkreten Berechnung ( qn, pn ) ( qn+, pn+ ) s. S.73 in stormer4step.m.) Dieses StV4-Verfahren ist explizit, symplektisch, zeitreversibel u. hat die Ordnung 4. a) Symplektizität, b) Schwache Zeit-Reversibilität, c) Zeit-Symmetrie, d) Zeit-Reversibilität ergeben sich auf Grund der Vererbung bei symmetrischer Dreifach-Verknüpfung (und zwar für beliebige α, β ), vgl. Satz auf S.6. e) Zur Approximationsordnung des Störmer-Verlet4-Verfahrens hinsichtlich des lokalen Fehlers (bei diesen speziellen α 0, β 0 ) lokf ( t, q, p) : = Ψ ( t; q; p) Φ ( t; q; p) : StV 4 StV 4, α0, β0 α0, β0 Ergebnis : Erfüllen α0, β 0 die Bedingungen α0 + β0 = 3 3 α0 + β0 = 0, so sind beide nach t -entwickelten aylor Reihen Ψ StV { 0 ; StV [ 0 ; StV α t Ψ β t Ψ ( α0 t; q; p)])} und Φ ( t; q; p) bis zum 4. Glied gleich (Beweis auf den nachfolgenden Seiten). Die oben gewählten α0, β0 -Werte genügen dieser Beziehung. 54

65 Numerische Methoden für amilton-systeme 55 Damit ergibt sich der lokale Fehler des Störmer-Verlet4-Verfahrens zu 5 lokfstv 4, α0, β ( t, q, p) = O( t ), 0 so dass das Störmer-Verlet4-Verfahren die Ordnung 4 hat. Beweis : Der (längere) Beweis der 4. Ordnung von Ψ StV { 0 ; StV [ 0 ; StV α t Ψ β t Ψ ( α0 t,; q; p)]} bei obigen α0, β 0 : Ausgangspunkt ist (obda 3 ) die mechanische amilton-dgl d q p( t) ( t) = dt p f ( q( t)) für einen Körper der Masse mit -dimensionaler Bewegungsmöglichkeit. Der Fluss dieser Dgl hat die lokale t -aylorentwicklung (bis zur 4. Ordnung) 3 q p f ( q) t f ( q) p t Φ ( t; q; p) = + t p f ( q) f ( q) p f ( q) p + f ( q) f ( p) 3! 4 f ( q) p + f ( q) f ( p) t O f ( q) p + 3 f ( q) f ( q) p + f ( q) f ( q) p 4! 5 ( t ) Das einfache symplektische, zeitreversible Störmer-Verlet-Verfahren t p f ( q) StV q Ψ ( t; q; p) = + t + hat p f ( q) t t f ( q + p t + f ( q) ) t t nach t -Entwicklung des Anteils f ( q + p t + f ( q) ) : t t f ( q + p t + f ( q) ) = f ( q) t + t + f ( q) p +! 3 3 ( ( ) t + f q p + f ( q ) f ( q )) + 3! 4 3 t + ( f ( q) p + 3 f ( q) f ( q) p) 4! 5 + O( t ) die lokale t -aylorentwicklung bis zur 4. t -Potenz : 3 ( ) 0 StV q p f q t 3 t Ψ ( t; q; p) = t p + f ( q) + f ( q) p +! f ( q) p f ( q) f ( q) + + 3! 4 0 t 5 + O( t ) 3 + f ( q) p + 3 f ( q) f ( q) p 4!. 3 ier ist also p ( q; p) : f ( q) dq = statt des allgemeineren 55 p M p ( q; p) = + V ( q)

66 Numerische Methoden für amilton-systeme 56 Es soll nun die symmetrische Dreifach-Verknüpfung von (zwei 4 einfachen) Störmer- Verlet- Verfahren (mit jeweils parametrisierter Schrittweite) 4 Ψ StV ( ; ; ), : StV { ; StV [ ; StV t q p α β = Ψ α t Ψ β t Ψ ( α t; q; p)]} nach t -Potenzen (bis zur 4.Ordnung) entwickelt werden. Ziel : Bestimmung der ( α, β -abhängigen) Koeffizienten Ki K i ( i =,..,4) mit 3 4 StV 4 K0 K K t K3 t K 4 t 5 Ψ ( t; q; p) α, β = + t O( t ) K 0 K + K K 3 3! K. 4 4! Vorgehen : Die Zuordnung t Ψ StV ( c t; q; p) (einfaches, parametrisiertes Störmer-Verlet- Verfahren) kann noch explizit angeben werden (s.u.) und es können (evtl. mit Aufwand) die höheren t -Ableitungen berechnet werden. Gleiches gilt aber kaum für StV 4 die Zuordnung t Ψ ( t; q; p) α, β und deren höhere t -Ableitungen 5. Eine t -Entwicklunq von Ψ ( ; ; ) (als Verknüpfung von Verfahren) kann StV 4 t q p α, β erreicht werden durch die Berechnung der t -Entwicklungen der Einzelverfahren und das anschließende Ineinandersetzen der t -Entwicklungen. 5 Dabei gelten folgende ilfsmittel für die O( t ) -Rechnung : a) Es ist 5 5 f ( z + O( t )) = f ( z) + O( t ) 5 (Auswertung bei z + O( t ) entspricht Auswertung bei z mit entsprechendem Fehler) b) Es ist ( Entwicklung von f bei a und Umordnen der 3 4 f ( a + b t + c t + d t + e t ) = = f ( a) + + f ( a) b t + ( f ( a) c f ( a) b / ) t ( f ( a) d f ( a) bc f ( a) b / 6) t ( b t c t d t e t ) i 3 4 =,.., ) ( f ( a) e + f ( a) ( bd + c / ) + f ( a) b c / + f ( a) b / 4) t + + O 5 ( t ) ( t -Entwicklung von f ( P4 ( t)), wobei P 4 ein Polynom 4.Grades in t ist). 4 vgl. Fußnote 4 auf S.6 5 "öhere als 4.Ableitungen stellen ein Notationsproblem dar." zitiert nach Merson [LW,00 S.5]. Aus diesem Grund werden (anders als in den vorherigen Konvergenz-Ordnungs-Beweisen nicht die Ableitungen nach t an der Stelle t = 0 berechnet, sondern) die Übereinstimmung der t i -Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung aufgezeigt. 56

67 Numerische Methoden für amilton-systeme 57 c) Mit der Bezeichnung (.)( j ) für t -Entwicklung bis zur j t -Potenz gilt : f ( P ( t)) t + O( t ) = f ( P ( t)) t + O( t ) i 5 i (4 i) i 4 i (Bei einem Produkt mit Faktor t genügt eine bis zum Faktor t reduzierte t - Entwicklung des Vorfaktors f ( P4 ( t)) gemäß b) ) Es folgen vier Beweisschritte zur Bestimmung der lokalen t -Entwicklung von StV{ α t; StV[ β t; StV ( α t; q; p)]} : ) Zunächst werden zum leichteren Einblick in die Verwandtschaft des Flusses Φ ( t; q; p) der Dgl mit dem (einfachen, t -entwickelten 6 ) StV-Verfahren StV Ψ ( t; q; p) folgende Bezeichnungen 7 eingeführt : A( q) : = f ( q) B( q; p) : = f ( q) p C q p f q p f q f q ( ; ) = ( ) + ( ) ( ) 3 D( q; p) = f ( q) p + 3 f ( q) f ( q) p E( q; p) = f ( q) f ( q) p In diesen neuen Bezeichnungen lautet die lokale Entwicklung des Flusses 3 4 q p A( q) t B( q; p) t C( q; p) t 5 Φ ( t; q; p) = + t O( t ) p A( q) B( q; p) C( q; p) 3! D( q; p) + E( q; p) 4! und die des (einfachen, t -entwickelten) Störmer-Verlet-Verfahrens 3 4 StV q p A( q) t 0 t 0 t 5 Ψ ( t; q; p) = t O( t ) p + A( q) + B( q; p) + C( q; p) D( q; p).. StV StV ) Bestimmung der t -Entwicklung von Ψ [ β t; Ψ ( α t; q; p)] (Zweifach- Verknüpfung) : Es gilt folgende t -Entwicklung 6 5 Nach ilfsmittel a) kann zur erleitung der t -Entwicklung mit O( t ) -Fehler statt des Störmer- Verlet-Verfahrens auch das t -entwickelte Störmer-Verlet-Verfahren genommen werden. 7 Bei Behandlung einer allgemeinen amilton-dgl stehen hier ähnliche Ausdrücke, wobei die Produkte hinter den Ableitungen als Kronecker-Produkte aufzufassen sind. 57

68 Numerische Methoden für amilton-systeme 58 Definiere nun StV q Ψ ( α t; q; p) = + p p + α t + A( q) A( q) α t + + B( q; p) α t + + C( q; p) α t + + D( q; p) 5 ( ) + O t q q p A( q) α t : = + α t + + p p A( q) B( q; p) α t 0 α t + C( q; p) + 4 D( q; p) StV Nach ilfsmittel a) genügt es, die t -Entwicklung von Ψ ( β t; q; p ) zu i betrachten, und nach ilfsmittel c) brauchen die t -Vorfaktoren nur bis zur (4 i) - ten t - Potenz entwickelt zu werden, d.h. 8 q p A( q ) β t StV Ψ ( β t; q; p ) = + β t + + p A( q (4) ) B( q (3) ; p ) () β t 0 β t O C( q; p ) 4 D( q () ; p ) (0) Es ist (mit ilfsmittel b) und den Beziehungen innerhalb der A( q),.., E( q; p ) ) : 5 ( t ). q q p A( q) α t 0 α t 0 α t = t p + α p A( q) B( q; p) C( q; p) 4 D( q; p) (4) , 3 3 α t α t p + A( q) α t + B( q; p) + C( q; p) p 4 t t 3 3 A( q ) β = β, (3) α t α t A( q) + B( q; p) α t + C( q; p) + D( q; p) 6 8 Der Index an den Vorfaktoren gibt an, bis zu welcher t -Potenz der Vorfaktor gemäß b) zu entwickeln ist. 58

69 Numerische Methoden für amilton-systeme 59 α t A( q) + B( q; p) α t + C( q; p) A q t t B q p t B( q; p) + C( q; p) α t + ( D( q; p) + E( q; p)) ( ) β β = ( ; ) () α, β t β t = C( q; p ) 4 C( q; p) + ( D( q; p) + E( q; p)) α t 4 () 3 3, 0 β t 0 β t = D( q ; p ) D( q; p) (0) Also gilt folgende t -Entwicklung für die Zweifach-Verknüpfung : StV StV q Ψ [ β t; Ψ ( α t; q; p)] = + p p ( α + β ) + t + A( q) ( α + β ) α β A( q) ( + αβ + ) α β B( q; p) ( + αβ + ) + t + 3 B( q; p) (α β + αβ ) t C( q; p) ( α + α β + αβ + β ) C( q; p) (3α β + 3 α β ) t D( q; p) ( α + α β + 3α β + 3 αβ + β ) + E( q; p) (3α β + 3 αβ ) + O 5 ( t ) Mit den Bezeichnungen 9 ϕ ( α, β ) : = α β + αβ ist also 3 3 ϕ ( α, β ) : = α + α β + αβ + β 3 ϕ ( α, β ) : = 3α β + 3α β ϕ ( α, β ) : = α + α β + 3α β + 3αβ + β 4a 3 ϕ ( α, β ) : = 3α β + 3αβ 4b 9 Es gilt : 3 3 ϕ ( α, β ) = ϕ ( α, β ) + α + β 59

70 Numerische Methoden für amilton-systeme 60 StV StV q Ψ [ β t; Ψ ( α t; q; p)] = + p p + ( α + β ) t + A( q) A( q) ( α + β ) t + B( q; p) +. 3 B( q; p) ϕ( α, β ) t + + C( q; p) ϕ( α, β ) 4 4 C( q; p) ϕ3( α, β ) t + D( q; p) ϕ4a ( α, β ) + E( q; p) ϕ4b ( α, β ) 5 + O( t ) Definiere nun q q p A( q) ( α + β ) t : = ( ) t p + α + β + + p A( q) B( q; p) 3 4 B( q; p) ϕ( α, β ) t C( q; p) ϕ3( α, β ) t + C( q; p) ϕ( α, β ) + 4 D( q; p) ϕ4a ( α, β ) + E( q; p) ϕ4b( α, β ) 3) Bestimmung der t -Entwicklung von Ψ StV { ; StV [ ; StV α t Ψ β t Ψ ( α t; q; p)]} : Es gilt StV StV q 5 Ψ [ β t; Ψ ( α t; q; p)] = + O( t ) p. StV Nach ilfsmittel a) genügt es, die t -Entwicklung von Ψ ( α t; q; p) zu i betrachten, und nach ilfsmittel c) brauchen die t -Vorfaktoren nur bis zur (4 i) - ten t - Potenz entwickelt zu werden, d.h. q p A( q ) α t StV Ψ ( α t; q; p) = + α t + + p A( q (4) ) B( q (3) ; p) () α t 0 α t O C( q ; p ) 4 D( q ; p ) () (0) 5 ( t ) 60

71 Numerische Methoden für amilton-systeme 6 Es ist (mit ilfsmittel b) und den Beziehungen innerhalb der A( q),.., E( q; p ) ) : 3 q q p A( q) ( α + β ) t B( q; p) ϕ( α, β ) t = + ( α + β ) t p p A( q) B( q; p) C( q; p) (4) ϕ( α, β ) 4, 4 C( q; p) ϕ3( α, β ) t + D( q; p) ϕ4a ( α, β ) + E( q; p) ϕ4b( α, β ) ( α + β ) t p + A( q) ( α + β ) t + B( q; p) p t t A( q ) α = α + (3) ( α + β ) t A( q) + B( q; p) ( α + β ) t + C( q; p) 3 t C( q; p) ϕ( α, β ) 4 + α t 3 ( α + β ) ϕ( α, β ) 3 ( D( q; p) + E( q; p) ) t 6 4, ( α + β ) t A( q) + B( q; p) ( α + β ) t + C( q; p) B q p t B( q; p) + C( q; p) ( α + β ) t + ( D( q; p) + E( q; p)) A( q) α t α t = ( ; ) () ( α + β ) 0 α t 0 α t = C( q ; p ) 4 C( q; p) + ( D( q; p) + E( q; p)) ( α + β ) t 4 () , 0 α t 0 α t = D( q ; p ) D( q; p) (0) Also gilt folgende t -Entwicklung für die symmetrische Dreifach-Verknüpfung : 6

72 Numerische Methoden für amilton-systeme 6 StV StV StV Ψ { α t; Ψ [ β t; Ψ ( α t; q; p)]} = q = + p p ( α + β + α) + t + A( q) ( α + β + α) ( α + β ) α A( q) ( + ( α + β ) α + ) ( α + β ) α B( q; p) ( + ( α + β ) α + ) + t + ϕ( α, β ) ( α + β ) α α ( α + β ) B( q; p) ( + + ) t + 3 ϕ( α, β ) ( α + β ) α α ( α + β ) α C( q; p) ( ) 4 4 ϕ ( α, β ) α ϕ ( α, β ) ( α + β ) α 3 C( q; p) ( + + ) t ϕ4a ( α, β ) ( α + β ) α ( α + β ) α ( α + β ) α α D( q; p) ( ) ϕ4b( α, β ) α ϕ( α, β ) ( α + β ) α ( α + β ) α t E( q; p) ( ) O 5 ( t ). 4) Spezialisierung der Parameter α, β : Die Wahl α + β = (*) bewirkt, dass Ψ StV { α t; Ψ StV [ β t; Ψ StV ( α t; q; p)]} und Φ ( t; q; p) schon bis zum 3 t -Summanden übereinstimmen (lokale Approximation mit O( t ) ). Wird weiter gewählt ϕ 3 ( α, β ) ( α + β ) α α ( α + β ) ϕ ( α, β ) ( α + β ) α α ( α + ) + + = + + β + α d.h. 3 3 α + β = 0 (**), so enthält der 3 t -Summand einen gemeinsamen Faktor. Die Lösung von (*) und (**) liefert die Werte 3 4 α0 = = 3 ( 4 ) β0 = =

73 Numerische Methoden für amilton-systeme 63 Damit entsteht 0 3 bei t ϕ( α0, β0) ( α0 + β0) α0 α0 ( α0 + β0) + + = 4 3 ϕ( α0, β0) ( α0 + β0) α0 α0 ( α0 + β0) α0 = = und bei t ϕ3( α0, β0) α0 ϕ( α0, β0) ( α0 + β0) α0 + + = ϕ4a ( α0, β0) ( α0 + β0) α ( α0 + β0) α0 ( α0 + β0) α0 α0 = = ϕ4b( α0, β0) α0 ϕ( α0, β0) ( α0 + β0) α0 ( α0 + β0) α0 = = Zusammengefasst ergibt sich : StV StV StV q Ψ { α0 t; Ψ [ β0 t; Ψ ( α0 t; q; p)]} = p + p + t A( q) + A( q) t + B( q; p) +. 3 B( q; p) t + + C( q; p) 3! 4 C( q; p) t + ( + D( q; p) + E( q; p) 4! + O 5 ( t ) Damit ist der lokale Fehler der symmetrischen Dreifach-Verknüpfung von StV - Verfahren (mit diesen Parametern α0, β 0 ) 5 Ψ StV { α t; Ψ StV [ β t; Ψ StV ( α t; q; p)]} Φ ( t; q; p) = O( t ) Die Ordnung des StV 4 -Verfahrens ist also 4. 0 Am einfachsten numerisch auszurechnen; eine aufwändigere analytische Rechnung hat dieselben Ergebnisse. 63

74 Numerische Methoden für amilton-systeme 64 Bemerkung : Mit entsprechendem Aufwand ließen sich analog auch symmetrische Fünffach- Verknüpfungen Ψ StV ( ; ) StV ( ; ) StV ( ) StV ( ; ) StV α ti Ψ β ti Ψ γ t Ψ β ti Ψ ( α t; q; p) herleiten, welche durch Bedingungen an die α, β, γ eine globale Approximationsordnung 6 ergäben, usw. Alle solche symmetrischen Mehrfach- Verknüpfung sind stets symplektisch (langzeitstabil) und zeitreversibel. 6) Zusammenfassende Übersicht der vorgestellten numerischen Verfahren mit ihren wesentlichen Eigenschaften : num.verf. explizit symplekt. schw.z.rev. zeitsymm. zeitrevers. Ordnung Euler X - X - - EulerA X X X - - EulerB X X X - - StV=EA EB X X X X X StV4 X X X X X 4 Das oben beschriebene numerische Verfahren Ψ ( t; i) : = Ψ { α t; Ψ [ β t; Ψ ( α t; i )]}, StV 4 StV StV StV welches die gleiche Ordnung hat wie das bei dissipativen Systemen ausreichende, viel verwendete Runge-Kutta-Verfahren, dazu aber noch Symplektizität und Zeit- Reversibilität besitzt, soll bei den folgenden Beispielen erstmals angewendet werden. Nach [LR,005, Kap. 6..] und [LW,00, Kap.II.4] haben Yoshida (990) und Suzuki(990) eine ausführliche heorie gegeben, wie durch Verknüpfung numerische symplektische und zeitreversible Integratoren höherer Ordnung konstruiert werden können. Im Rahmen der beabsichtigten Anwendungen genügte es hier, die Bedingungen für die Parameter, Verknüpfung durch elementares Rechnen herzuleiten. Im folgenden als StV 4 -Verfahren bezeichnet (mit den speziellen Parametern α0, β 0 ). 64 α β der symmetrischen Dreifach-

75 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 65 Kapitel 3 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 65

76 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 66 Überblick MatLab Rechnungen für amilton-systeme Untersuchung des Rücklauf-Verhaltens des StV 4 -Verfahrens bei N-Körper System (Gas mit Lennard-Jones-Paar-Potentialen) Untersuchungen des Langzeit-Verhaltens bei -Rohr-Anordnung (bei abstoßendem bzw. anziehendem Newton-Paar-Potential) 66

77 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 67 MatLab Rechnungen für amilton-systeme Aufbau MatLab Rechnungen Gas ) Rücklauf Verhalten des StV 4 Verfahrens bei N-Körper System ) Programm-Schema für N-Koerper 3) Programm-Quell-ext 4) Rechen-Beispiele 5) Zusätze MatLab Rechnungen -Rohr-Anordnung ) Behandlung des Rückstoßes ) ypisches Langzeit-Verhalten der numerischen Dgl-Lösungen 3) Unterschiedliches Verhalten der kinetischen Energien der beiden Körper bei abstoßender bzw. anziehender Paar-Kraft 4) abelle mit den Parametern und Ergebnissen der einzelnen Simulationen 5) Programm-Schema für -Rohr 6) Programm-Quell-ext Im folgenden werden Beispiele der Anwendung des Störmer-Verlet-(4. Ordnung)- Verfahrens vorgestellt, welche die Eigenschaften des Verfahrens (Zeit-Reversibilität und Symplektizität) betonen. In der ersten Anwendung wird die Zeit-Reversibilität des N-Körper-Systems bei Lennard-Jones-Abstandspotentialen mit dem zeitreversiblen StV 4 -Verfahren numerisch dargestellt. In der zweiten Anwendung wird das Langzeit-Verhalten der Bewegungen in der geometrischen -Rohr-Anordnung durch das symplektische (= langzeitstabile) StV 4 - Verfahren numerisch untersucht und das (je nach Paar-Kraft-yp abstoßend bzw. anziehend) unterschiedliche Verhalten der kinetischen Energien betrachtet. Als Programmier-ilfsmittel wurde verwendet MatLab Version (R007b), August MatLab Rechnungen Gas ) Rücklauf Verhalten des StV4 Verfahrens bei N-Körper System (Gas) Es soll das in Mathematische Grundlagen, eil 7 auf S.0 vorgestellte N-Körper System bei Lennard-Jones-Abstandspotentialen numerisch behandelt werden. Dabei wird die Bewegung von N =X= (bzw. N =X=44) eilchen der Masse betrachtet, welche anfangs gleichmäßig über das (ebene) Quadrat [-,] X [-,] verteilt sind und eine Zufalls-Geschwindigkeit (Zufalls-Impuls) besitzen. Zwischen den Körpern wirken Kräfte aus einem Lennard-Jones-Potential. Als Schrittweite wird t = 0.0 gewählt, und 00 (400, 800, 00) Schritte werden vollzogen. Danach wird mit den erreichten Orten und den negativ gesetzten Geschwindigkeiten (Impulsen) 67

78 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 68 die Bewegung mit der gleichen Anzahl von Schritten fortgesetzt : Es zeigt sich, dass das System wegen der Zeit- Reversibilität des numerischen Verfahrens wieder in seinen Anfangszustand zurückläuft. Die Bewegungen (Ortskoordinaten) sollen stets in einem Bereich mit endlichem Radius r=,5 stattfinden. Um ein Auseinanderlaufen der eilchen zu verhindern, wird die amilton-funktion des Lennard-Jones-Potentials N N N 6 ( q;..; qn ; p;..; pn ) = pi pi + ( ( qi q j qi q j ) ) i= i= j= i+ um den Zusatzterm N ( q ;..; q ; p ;..; p ) + N N i= r qi qi erweitert. Dieser Zusatzterm bewirkt, dass ein Körper bei Annäherung (von innen) an den Rand des Kreises mit Radius r eine starke (zusätzliche) Rück-Beschleunigung in Richtung Ursprung erfährt und somit den Rand nicht überschreiten kann 3. Die in den theoretischen eilen sehr nützliche 4 Schreibweise der resultierenden amilton-dgl in untereinandergeschriebener Vektor-Form (mit Gesamt-Orts-Vektor, Gesamt-Impuls-Vektor, Masse-Matrix) d ( q ( t ); p ( t )) = J ( q ( t ); p ( t )) dt erweist sich hier als etwas ungünstig hinsichtlich der Brechnung des Kraft-Vektors mit N N ( ( ϕ ( q q )) ) = i= j= i+ LJ i j.. N = Kij ( q( t);..; qn ( t)) j= j i.. N d, ϕ LJ ( qi ( t) q j ( t) ) Kij ( q( t);...; q( t)) = ( qi ( t) q j ( t)). q ( t) q ( t) Um die benötigten Einzel-Orte q l aus dem Gesamt-Orts-Vektor q( t) : = ( q ( t);..; qn ( t)) N d, herauszufiltern, ist eine aufwändige Indexrechnung nötig. i j Der hohe Rechenaufwand (s.u.) führt, maschinenbedingt durch Rundungsfehler bei Rechnung in Fließpunkt-Arithmetik, zu einem gewissen Stellenverlust (s. S.8). Dieser ist jedoch vorhersagbar und kann, wenn bestimmte vorgegebene Genauigkeit im Rücklauf-Ergebnis gefordert wird, über endliche Zeiten ausgeglichen werden, indem gegebenenfalls statt der Standard-Arithmetik von 8 Stellen eine solche mit erhöhter Stellenzahl eingesetzt wird. Dieser Zusatzterm stört die Rückstoß-Invarianz nicht. 3 Über Abhilfe, falls der Rand doch überschritten werden sollte, vgl. Zusätze S.80, unter "unneln". 4 Der Vorteil lag in der geschlossenen Darstellung der rechten Dgl-Seite als Struktur-Matrix*(vollem) Gradienten von anstelle der hier verwendeten partiellen Gradienten nach p i, und dann der negativen partiellen Gradienten nach q i. 68

79 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 69 Angenehmer im inblick auf die Anordnung der Einzel-Orte und auf die in MatLab vorgegebenen Möglichkeiten stellt sich die amilton-dgl in Matrixfom dar : Ausgang ist jetzt die Schreibweise des amilton-dgl-systems in der Form d q i ( t ) = p i ( t ) dt mi ( i =,.., N). d p i ( t ) = V q ( ( );..; ( )) i q t q N t dt für die einzelnen Orte qi ( t ) und Impulse pi ( t ). Fasst man alle Ortsvektoren qi ( t ) in einer Ortsmatrix 5 Q( t ) Q( t) : = ( q ( t),.., q ( t)), N d, N alle Impulsvektoren pi ( t ) in einer Impulsmatrix P( t) : = ( p ( t),.., p ( t)), N d, N alle Geschwindigkeitsvektoren pi ( t) in einer Geschwindigkeitsmatrix mi G( P( t)) : = ( p ( t), p ( t),..., pn ( t) ) d, N m m mn und alle auf den i-ten Körper (von den anderen Körpern) ausgeübten Kräfte N qi N ij N j= j i V ( q,..., q ) = K ( q ( t),.., q ( t)) in einer (Lennard-Jones-)Kraftmatrix K ( Q( t )) N N N K ( Q( t)) : ( K ( Q( t)), K ( Q( t)),..., K ( Q( t))) (*) = LJ j j Nj d, N j= j= j= j zusammen, so lässt sich das amilton-dgl-system in folgender Matrix-Form LJ d ( Q ( t ), P ( t )) = ( G ( P ( t )), K ( Q ( t )) dt d, N LJ d,n schreiben, wobei im Falle, dass alle Körper Einheitsmasse besitzen, noch vereinfachend gilt : d ( Q ( t ), P ( t )) d, N = ( P ( t ), K LJ ( Q ( t )) d, N. dt Die Eigenschaften der Lösung werden durch diese Schreibweise nicht verändert, jedoch ist der Ort bzw. der Impuls des i-ten Körpers jetzt einfach die gesamte i-te Spalte der Ortsmatrix, bzw. der Impulsmatrix. Diese Schreibweise erlaubt in MatLab d die Verwendung von 3-dim Matrizen z.b. R und das Operieren 6 mit ihnen. K ij 5 Die Orte der einzelnen Körper werden (nicht wie im theoretischen eil untereinander, sondern nebeneinander geschrieben. Dieser Übergang von der Untereinander-Schreibweise = Vektor-Form in die Nebeneinander-Schreibweise = Matrix-Form lässt sich nur verbal beschreiben (Es gibt keine mathematische Beschreibung in Matrizen-Operationen, um die Vektor-Form in die Matrix-Form überzuführen). 6 Aus der 3-dim Matrix K ij entsteht durch Summation über den 3.Index j die Kraftmatrix K LJ, vgl. (*). Vgl. auch auf S.74 die Berechnung der LJKraftMatrix in LJKraftMatrix.m 69

80 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 70 Bemerkung zum Rechenaufwand : Befinden sich im Einheitsquadrat N viele eilchen, so wird die Ermittlung von N 4 / Abstandskräften benötigt (Jedes eilchen übt auf die anderen eine Kraft aus, mit Symmetrie): Ein Störmer-Verlet-Schritt verlangt zwei 7 solcher Kraftbestimmungen, ein StV 4 -Iterationsschritt (drei Störmer-Verlet-Schritte) also 3* 4 Kräftebestimmungen, insgesamt also 3 N -Berechnungen von Abstandskräften pro StV 4 -Iterationsschritt. Dies sind bei X= (bzw. X=44) eilchen (bzw ) Kräfteberechnungen je Iterationsschritt. Dafür braucht eine 500Mz- PC etwa 5 (bzw. 65) Sekunden je Schritt, also bei 00 Vorwärts- und Rückwärts- Schritten insgesamt 30 Minuten (bzw. 7, Stunden). ) Programm-Schema für N-Koerper (Gas) Die Programme und (Funktions-)Unterprogramme haben folgenden Aufbau : (Der Programmtext ist in den mit ***.m bezeichneten Dateien abgelegt.) Abbildung 3. : Programm-Schema für N-Koerper (Gas). C:\Doku.u.Einst.\Adm.\Eigene Dateien\Eigene Bilder\PrgrSchemanKoerper.tif) 7 Bei Wahl der StV-Varianten S.53 nur eine Kraftbestimmung. 70

81 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 7 3) Programm-Quell-ext (Gas) Das MatLab-Steuer Programm (steppernkoerper.m) : Aufgabe : Verwaltung der Iterationsschritte, eilchenanzahl, Startwerte. Iterativer Aufruf des StV 4 -Verfahrens in stormer4step.m, Ergebnissicherung, PlotAusgabe. (work\snbody\steppernkoerper.m) % Das N-Körper-Problem im IR² mit Kräften aus Lennard - Jones - Potentialen % % Funktion : % Verwaltung : Iterationsschritte, eilchenanzahl, Startwerte, % iterativer Aufruf des SV4-Verfahrens, Ergebnissicherung, PlotAusgabe % (Datum : ) / K.S. % Bemerkungen : % Bei Benutzung sind eilchenanzahl (N) und Schrittanzahl (itn) vorzugeben % Bei eilchenanzahl > 00 und SchrittAnzahl > 00 : % Laufzeit von mehreren Stunden. tic; clear; clc; %*Konstanten********************************************************* % Anzahl der Iterationen itn=00; % Schrittweite der Diskretisierung dt=0.00; % die Ortsbewegungen beschränkender Kreis mit GrenzRadius.5 kr=linspace(0,*pi); GrenzRadius=.5; % Erzeugen der AnfangsWerte % a)anfangsortematrix qn der N X N vielen Körper, % gleichverteilt im EinheitsQuadrat des IR². % lineare Anzahl der Körper N=; %(linearer) Abstand der Körper Abst=/(N-); for i=:n for j=:n qn(:,i+(j-)*n)=[-+(i-)*abst;-+(j-)*abst]; end end % b)anfangsimpulsematrix der N X N vielen Körper, % zufällig mit 5 NachkommaStellen in [-,]X[-,]. pn=fix( rand(,n*n)*0^5 )*0^(-5)*-ones(,N*N); % c)massenvektor der N X N vielen Körper % (voreingestellt jeder Körper hat Einheitsmasse) massen=ones(,n*n); 7

82 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 7 %*Programm***Iteration*********************************************** % Festhalten der Startwerte qnstart=qn; pnstart=pn; % Iterierte Ausführung eines StV4-Schrittes (VorwärtsRechnung) for i=:itn disp(['zur Zeit wird ausgeführt die ',intstr(i),'-te'... 'Vorwärtsiteration von ',intstr(itn),'.' ]); [qn,pn] = stormer4step(qn,pn,massen,dt); end %[VorwärtsRechnung] % Festhalten der MitteWerte qnmitte=qn; pnmitte=pn; disp(' '); disp('ab hier Rückrechnung'); disp(' '); % Fortsetzung mit umgekehrten Impulsen qn= qnmitte; pn=-pnmitte; % Iterierte Ausführung eines StV4-Schrittes (RückwärtsRechnung) for i=:itn disp(['zur Zeit wird ausgeführt die ',intstr(i),'-te '... 'Rückwärtsiteration von ',intstr(itn),'.' ]); [qn,pn] = stormer4step(qn,pn,massen,dt); end %[RückwärtsRechnung] % Festhalten der EndWerte qnend=qn; pnend=pn; %*Dokumentation****************************************************** disp('gesamfeler') diffort = qnend-qnstart; diffimpuls=-pnend-pnstart; disp('die Differenz von Endwert - Startwert ist :') disp(' OrtsDifferenz ImpulsDifferenz ') [diffort', diffimpuls'] disp('der mittlere Ort- und Impuls-Fehler ') mittfehlerort=sqrt(trace(diffort'*diffort))/n^ mittfehlerimpuls=sqrt(trace(diffimpuls'*diffimpuls))/n^ % Ergebnis in -dim. graphischer Darstellung figure('name','start- und End-Orte') % beschränkender GrenzKreis (schwarz) plot(grenzradius*cos(kr),grenzradius*sin(kr),'k.'); hold on; % StartOrte (rot) plot(qnstart(,:),qnstart(,:),'r.'); 7

83 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 73 hold on; % EndOrte (grün) plot(qnend(,:),qnend(,:),'go'); title(['orte mit Begrenzung(schwarz) am Anfang(rot) und am Ende(grün) '... 'bei ',intstr(itn),'vor/',intstr(itn),'rück']); grid; figure('name','start- und End-Geschwindigkeiten') % StartGeschwindigkeiten (rot) plot(pnstart(,:),pnstart(,:),'r.'); hold on; % (neg.)endgeschwindigkeiten (grün) plot(-pnend(,:),-pnend(,:),'go') title(['geschwindigkeiten am Anfang(rot) und am Ende(grün) '... 'bei ',intstr(itn),'vor/',intstr(itn),'rück']); grid; %*ENDE steppernkoerper.m********************************************* toc Zum FunktionsAufruf stormer4step(qn,pn,massen,dt) (stormer4step.m) : Aufgabe : Führt einen Störmer-Verlet4-Schritt aus durch 3 gewöhnliche Störmer- Verlet-Schritte mit vorgegebenen eil-schrittweiten. (work\snbody\stormer4step.m) function [stormer4step_qn,stormer4step_pn] = lokinparam(qn,pn,massen,dt) % % Funktion : % Führt einen stormer4schritt für die n-körper-dgl % (Q(t),P(t))'=(GeschwMatrix(P(t),massen),LJKraftMatrix(Q(t)) durch. % In den Q(t):=(q(t),..,qn(t))-Spalten stehen die Orte % der,..,n Körper, % In den P(t):=(p(t),..,pn(t))-Spalten stehen die Impulse % der,..,n Körper. % Die Geschw(indigkeits)Matrix(P(t),massen)wird in GeschwMatrix.m berechnet % Die LJKraftMatrix(Q(t)) wird in LJKraftMatrix.m berechnet. % (Datum : ) / K.S. %*Funktion*stormer4step********************************************* % Ein Störmer4Schritt sind drei StörmerSchritte mit Parametern w(i) % Konstanten aus w()=w(3)=/(-^(/3));w()=-^(/3)/(-^(/3)) w()= ; w()= ; w(3)=w(); for i=:3 pn=pn+ljkraftmatrix(qn)*w(i)*dt/; qn=qn+geschwmatrix(pn,massen)*w(i)*dt; pn=pn+ljkraftmatrix(qn)*w(i)*dt/; end % Endwerte der function stormer4step_qn = qn; stormer4step_pn = pn; %*ENDE stormer4step.m************************************************ 73

84 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 74 Zum FunktionsAufruf LJKraftMatrix(qn) (LJKraftMatrix.m) : Aufgabe : Berechnet aus den Spalten der OrtsMatrix (in den Spalten stehen die Orte der eilchen) die LJKraftMatrix (in den Spalten steht die Gesamtkraft auf die einzelnen eilchen) (work\snbody\ljkraftmatrix.m) function LJKraftMatrix_OrtsMatrix =lokinparam(ortsmatrix) % % Funktion : % Berechnet % aus OrtsMatrix=(q,...,qn) - in den Spalten die Orte der eilchen i - % die LJKraftMatrix=(K,...,Kn)-in den Spalten die Kraft auf das eilchen i % (Datum : )./. K.S. % % Bemerkung : % Die Zwischengröße LJKraft ist keine -D-Matrix, % sondern eine (dimort,anzahleile,anzahleile)-matrix (3-D-Matrix) : % Diese Anordnung der Indizes (:,i,j) vereinfacht die Summation sum : % Eine Summation über den 3.Index einer 3-D-Matrix ergibt % eine -D-Summenmatrix (übliche Matrix) % (d.h. es wird summiert und squeeze-vgl.matlab-ilfe- ausgeführt) % % %*Funktion*Lennard-Jones-KraftMatrix_OrtsMatrix********************** % % [dimort,anzahleile]=size(ortsmatrix); SkalierFaktor=(Anzahleile-)/; for i=:anzahleile % Die Rückkraft (in Richtung Ursprung) tritt auf beim Sich-Nähern % an den Kreis mit Radius r=.5 LJKraft(:,i,i) = -OrtsMatrix(:,i)/... SkalierFaktor^4*( /(.5^-OrtsMatrix(:,i)'*OrtsMatrix(:,i))^ ); % Berechnung der untereinander erzeugten Kräfte % aus Lennard - Jones -Potential for j=i+:anzahleile dij=ortsmatrix(:,i)-ortsmatrix(:,j); dij=dij'*dij*skalierfaktor^; % Ortsdifferenz*(LJ-Faktor fakij(philj)); LJKraft(:,i,j)=dij**(dij^(-7)-dij^(-4)); LJKraft(:,j,i)=-LJKraft(:,i,j); end end % Summation über 3.Index von LJKraft ergibt LJKraftMatrix LJKraftMatrix_OrtsMatrix = sum(ljkraft,3); % % %*ENDE LJKraftMatrix.m*********************************************** 74

85 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 75 Zum FunktionsAufruf GeschwMatrix(pn,massen) (GeschwMatrix.m) : Aufgabe : Berechnet aus den Spalten der ImpulsMatrix (in den Spalten stehen die Impulse der eilchen) und den Massen der eilchen die GeschwindigkeitsMatrix (in den Spalten stehen die Geschwindigkeiten der eilchen) (work\snbody\geschwmatrix.m) function GeschwMatrix_ImpulsMatrix_MasseVektor=lokinParam(ImpulsMatrix,MasseVektor) % % Funktion : % Berechnet % aus ImpulsMatrix=(p,...,pn) - in den Spalten die Impulse der eilchen i- % und % aus MassenVektor=(m,...,mn) - Aufzählung der Massen der eilchen i - % die GeschwMatrix=(p/m,.,pn/mn)-in den Spalt die Geschw. der eilchen i- % (Datum : )./. K.S. % % %*Funktion*Geschw(indigkeits)Matrix_ImpulsMatrix_MasseVektor********** % % GeschwMatrix_ImpulsMatrix_MasseVektor =... ImpulsMatrix * inv(diag(massevektor)); % % %*ENDE GeschwMatrix.m************************************************ 75

86 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 76 4) Rechen-Beispiele (Gas) Bewegung im Lennard-Jones-Potential von X gleichmäßig verteilten eilchen mit Zufallsstartgeschwindigkeiten, nach 00 Schritten Vorlauf und Rücklauf, Anfangszustand rot; Endzustand grün. Abbildung 3.a : X gleichmäßig im Einheitsquadrat verteilte eilchen bei Start (rot) und nach Rücklauf (grün) (00 Schritte vor und zurück). (work\nbody\st00xerste.bmp ) 76

87 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 77 Abbildung 3.b : Zufallsgeschwindigkeiten bei Start (rot) und Rücklauf (grün). work\nbody\st00xzweite.bmp) Bewegungsspur einiger eilchen zwischendurch Abbildung 3.c : Bewegungsspur einiger eilchen (blau). (work\lj+rückvrb.bmp) 77

88 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 78 Eine vielleicht mehr beeindruckende Darstellung der Zeit-Reversibiliät stellt die Bewegung von X = eilchen dar, wenn ein asymmetrischer Anfangszustand gewählt wird : Alle eilchen befinden sich anfangs ruhend im rechten oberen eil des.5-kreises. Nach 400 Schritten Vorlauf, Impuls-Umkehr und weiteren 400 Schritten Rücklauf sind sie alle(!) wieder im rechten oberen eil versammelt. (Bemerkung: Mit work\snbody\steppernkoerperasym.m GrenzÜberläufer manuell auf 0,0 setzen) Bemerkung : Dieses Ergebnis ist im Einklang mit der Newton Beschreibung der Bewegung und kann durch das zeitreversible StV 4 -Verfahren im Computer nachgebildet werden. Die (Fast-)Unmöglichkeit, dies auch im realen Experiment aufzuzeigen, liegt an der experimentellen Schwierigkeit, alle Geschwindigkeiten gleichzeitig umzukehren. Start Zustand von im rechten oberen eil des Kreises ruhenden eilchen (rot) Abbildung 3.3a : Bei Start asymmetrisch verteilte X eilchen (rot). (work\snbody\asymstart.bmp) 78

89 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 79 Ort der eilchen im Lennard-Jones-Potential nach 400 numerischen StV 4 - Schritten Abbildung 3.3b : Im Kreis mit r =.5 verteilte eilchen nach 400 Schritten (blau). (work\snbody\asymmitteverb.bmp) Nach Geschwindigkeitsumkehr und weiteren 400 numerischen StV 4 -Schritten erreichter Endzustand : Abbildung 3.3c : Nach weiteren 400 Schritten Rücklauf (grün). (work\snbody\asymende) 79

90 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 80 5) Zusätze (Gas) Mögliche (unphysikalische) Erscheinungen beim numerischen Rechnen : Durchdringung : Es kann (selten) vorkommen, dass sich zwei Körper auf ihren diskreten numerischen Punktwegen (als angenommene gradlinige Verbindung zwischen den diskreten Orten) kreuzen und sogar durchdringen. Physikalisch ist das bei einem Lennard- Jones-Potential nicht möglich, da bei Annäherung beliebig große Abstoßkräfte entstehen. Überwindung des Randes ( "unneln" ) : Es kann der Fall auftreten, dass ein Körper das gewählte Randpotential N i= r qi qi qi (trotz beliebig hoher möglicher Rückstoßkraft ( q ) i r ) ( r qi qi ) in der numerischen Rechnung überwindet. Der Grund für das Auftreten dieser Erscheinung bei der numerischen Rechnung ist, dass die sich (während des Zeitschrittes t) ändernden Abstoßkräfte in einer diskreten numerischen Rechnung nicht beachtet werden können : Der nächste diskrete Ort wird numerisch ja nur unter Beachtung der Verhältnisse zu Anfang des Zeitschrittes berechnet; eine Berücksichtigung der sich zwischenzeitlich ergebenden Veränderungen findet nicht statt. Insbesondere kann also bei Annäherung eines eilchens an den Rand mit hoher Geschwindigkeit (verursacht durch die Paar-Kräfte) die oben angegebene Rückstoßkraft zu klein sein, um insgesamt die Geschwindigkeit umzukehren. Als Gegenmittel bei Auftreten dieser unphysikalischen Erscheinung ("unneln") kann gewählt werden entweder ) Neustart mit Zeitschritt-Verkleinerung (so dass dann die sich ändernden Verhältnisse auch in der numerischen Rechnung besseren Eingang finden, allerdings mit dem Nachteil der erhöhten Laufzeit) oder ) man wählt ein Randpotential der Form (mit p einer geeigenten Potenz) N p ( ) i= r qi q mit der erhöhter Rückstoßkraft qi p ( q ) p i r. + i ( r qi qi ) Die erhöhte zum Zentrum gerichtete Rückstoßkraft bewirkt bei Randannäherung, dass eine nach außen gerichtete Geschwindigkeit (aus den Paar-Kräften) und die nach innen gerichtete Geschwindigkeit (aus der erhöhten Rückstoßkraft) insgesamt nach innen gerichtet ist, so dass das eilchen also den beschränkten Bereich nicht verlässt. 80

91 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 8 Festgestellte Unterschiede zwischen Anfangs- und Rückkehrwerten (Stellenverlust) : In Abhängigkeit von der Körperanzahl N und den Iterationsschritten itn wurden zwischen Anfangswerten und Rückkehrwerten bei Verwendung des StV 4 - Verfahrens folgende Fehler (bedingt durch die 8-stellige Fließpunkt-Arithmetik bei Computerrechnung) festgestellt : abelle ( N eilchen benötigen bei je itn vielen Vor- und Rückschritten in StV 4 -Verfahren 4 3 N itn viele Kräfteauswertungen) Anzahl Körper Kräfteauswertungen Genau von0-8 Genauigkeitsverlust 3*² ** 00 ~ 8*0 6 auf 0-7 /60 Dez.Stelle / 0 6 Rop 3*² ** 400 ~ 36*0 6 auf 0-7 /65 Dez.Stelle / 0 6 Rop 3*² ** 800 ~ 70*0 6 auf 0-6 /60 Dez.Stelle / 0 6 Rop 3*² **00 ~ 05*0 6 auf 0-5 /70 Dez.Stelle / 0 6 Rop Anzahl Körper Rechenoperationen*Schritte Genau von0-8 Genauigkeitsverlust 44 3*44² ** 00 ~ 30*0 6 auf 0-5 /76 Dez.Stelle / 0 6 Rop. 44 3*44² ** 400 ~ 466*0 6 auf 0-3 /93 Dez.Stelle / 0 6 Rop 44 3*44² ** 800 ~ 933*0 6 auf 0-8 /85 Dez.Stelle / 0 6 Rop 44 3*44² **00 ~400*0 6 auf 0-3 /94 Dez.Stelle / 0 6 Rop Bemerkung : Die Genauigkeitsverluste beim praktischen Rechnen gegenüber der theoretisch gesicherten exakten Rückkehr beruhen im Wesentlichen auf der bekannten "Auslöschung" bei der Summation von Zahlen verschiedener Größenordnung (hier Phasenraumpunkt plus wesentlich kleinerer Veränderung). Mit sogenannten reduce-round-off-error-echniken kann den Genauigkeitsverlusten entgegengewirkt werden [Pap,006 S.47ff]. Die Verbesserung liegt dann, in Kommastellen gemessen, in der Größenordnung der Nachkommastellen der gewählten Schrittweite [LW,00 S.33]. 8

92 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 8 MatLab Rechnungen -Rohr-Anordnung In diesem eil soll (für verschiedene Parameter ε, m, m und Startwerte) zunächst das Bewegungsverhalten der beiden Körper in der -Rohr-Anordnung mit dem StV 4 - Verfahren berechnet werden. Ausgangspunkt ist die Dgl in der reduzierten Form (in generalisierten Koordinaten) (vgl. Mathematische Grundlagen, eil 9, S.7 in ihrer für numerische Rechnungen angenehmen Matrixschreibweise : Dabei ist und d ( Q ( t ), P ( t )), = ( G ( P ( t )), K N ( Q ( t )),. dt Q( t) : = ( Q ( t), Q ( t)) die Ortsmatrix,, P( t) : = ( P ( t), P ( t)) die Impulsmatrix,, G( P( t)) : = ( P ( t), P ( t) ) die Geschwindigkeitsmatrix, m m ε k K N ( Q( t)) : = ( Q ( t) Q ( t), p ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) 3/ Q t + Q t Q t ε k Q ( t) ( Q ( t).) ) 3/ p, ( Q ( t) + Q ( t) ) ( ( Q ( t).) ) die aus dem Newton Potential stammende generalisierte Kraftmatrix, einschließlich der (Geometrie-bedingten) Zwangskräfte und den Kräften, die das Verbleiben in den Begrenzungen garantieren. Die Bedeutung der Parameter : ε > 0 bedeutet anziehende, ε < 0 abstoßende Paar-Kraft zwischen den Körpern. k > 0 (klein) und p = (evtl. zu erhöhen) bestimmen die (ausreichende) weiche Rückstoßkraft an den Intervallenden. Mit zulässigen Anfangswerten Q(0) [ ; + ], Q(0) [0.;.], P(0) P (0) wird nun eine Lösung von (amilton-)dgl mit Rückholkräften an den Intervallenden Anfangswerte numerisch mit dem langzeitstabilen StV 4 -Verfahren berechnet. 8

93 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 83 ) Behandlung des Rückstoßes (-Rohr) In Abhängigkeit von auftretenden (größeren) Impulsen (bzw. Geschwindigkeiten) ist es nicht möglich, für wechselnde Massen-, Anfangs-Impuls- und Schrittweite- Wahlen ein gemeinsames k und p für die Rückholkräfte zu finden, so dass die Körper an den Intervallenden immer sicher zurückgestoßen werden (um Intervall- Überschreitungen (unnel-effekte) sicher zu verhindern). Ein anderer Gesichtspunkt ist die Schwierigkeit, die Konstanz der Gesamtenergie (amilton-funktion) vor und nach jedem Rückstoß sicherzustellen, insbesondere 6 wenn Simulations-Zeiten von Wochen mit mehr als 0 Rückstoß-Aktionen berechnet werden sollen. Um beide Probleme des Rückstoßes bei der Simulation in den Griff zu bekommen, werden die weichen Rückstöße, verursacht durch an den Intervallenden auftretende Potentialkräfte, zweckmäßig durch harte Rückstöße ersetzt. Dies geschieht in der Weise, dass der Rückstoß nicht durch an den Intervallenden auftretende Kräfte gesteuert wird, sondern durch einen Abfrage-Mechanismus in der Dgl, der bei Randübertritt (in einer Ortskoordinate) jeweils einen neuen Anfangswert setzt : Dabei wird bei Randübertritt der zugehörige Impuls (Geschwindigkeit) negativ gesetzt, so dass die Ortskoordinate wieder in ihr vorgesehenes Intervall zurückläuft. Ausgang ist also jetzt die amilton-funktion (Gesamtenergie) P P ε trans ( Q; Q; P ; P ) = + m m e Q e Q (ohne die Rückhol-Potentiale + ). Q ( Q.) Rückholpotential bei ± Rückholpotential bei 0. u.. Das bei Rückstoß verwendete Negativ-Setzen des Impulses erhält den Wert dieser zeitreversiblen amilton-funktion. 83

94 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 84 Es wird also eine (numerische) Lösung errechnet von : Qɺ ( t) = P ( t) m Qɺ ( t) = P ( t) m Pɺ ( t) = 3/ ( Q ( t) + Q ( t)) Pɺ ( t) = 3/ ( Q ( t) + Q ( t)) ε Q ( t) ε Q ( t) (Dgl) Q (0) [ ; + ] Q (0) [0.;.] P (0) P (0) (zulässige Awe) Dazu die Randwertabfragen (während der Rechnung) Q ( t) ( ) Falls Q ( t ) =, fahre mit Q t P ( t) P ( t) Q ( t) ( ) Falls Q ( t). = fahre mit Q t P ( t) P ( t) fort. fort. Als Bezeichnung für dieses (durch Abfrage gesteuerte) Rückstoß-Verfahren wird gewählt : numerisches Verfahren mit hartem Rückstoß an den Intervallenden. 84

95 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 85 ) ypisches Langzeit-Verhalten der numerischen Dgl-Lösungen (-Rohr) Als generelle Voraussetzung bezüglich der Massen Die zwei Massen der Körper sind unterschiedlich, u.z. m = mkx (Masse des Körpers auf der x-achse) < d.h. Kx ist leicht und Ky ist schwer. < m Für die kinetischen Energien gelte beim Start kinenkx( Start) < kinenky( Start), also P (0) P (0) <. m m m i soll gelten : = mky (Masse des Körpers auf der y-achse), (Aus beiden Voraussetzungen folgt: P (0) < P (0) ) Allen gefundenen (numerischen) Bewegungen ist folgendes gemeinsam : a) Jede der vier Komponenten der Bewegung, Q = qngkx, Q = qngky, P = pngkx, P = pngky unterliegt als Funktion der Zeit zunächst (in einer "Einschwing-Zeit") mehr oder weniger starken unregelmäßigen asymmetrischen Schwankungen. Am stärksten sind diese Schwankungen natürlich in den zwei Impulskomponenten P, P ausgeprägt, da die zwei Ortskomponenten Q, Q durch das Programm ja schon auf die Intervalle [, + ] bzw. [0.,.] beschränkt sind. Von den beiden Impulskomponenten P, P ist der Impuls P des schweren Körpers Ky auch schon (fast völlig) festgelegt durch seinen Anfangswert, da eine gelegentliche Paarkrafteinwirkung zwischen dem schweren Körper Ky mit dem leichten Körper Kx den Ky-Impuls (nach dem Impulserhaltungssatz) nur wenig verändert, d.h. es gilt P ( t) [ P (0), + P (0)] mit kleiner absoluter Abweichung (vgl. Abbildung 3.4d,S.89). Damit bleibt das Verhalten des Kx-Impulses ( ) P t die eigentliche unbekannte Größe : (Die gleiche absolute Änderung hat auf den Wert des kleineren Kx-Impulses einen größeren Einfluss; vgl. Abbildung 3.4a,S.86) 85

96 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 86 Impulskoordinate P (t)=pngkx(t) zur Einschwing-Zeit mit unregelmäßigem Ausschlag, Betrachtungs-Zeitraum : während der ersten 0 Minuten, Startwert : P (0)=0 8 Abbildung 3.4a : Unregelmäßiges Verhalten des Impulses P (t) während der Einschwingzeit (kurz nach Start). (work\srohrgk\bildersrohr\impulskx0minag.tif) 8 Bemerkung zur Lesart der folgenden Bilder : Die Bilder stammen von verschiedenen mit drei Parametern bezeichneten Simulationen : Sim(Param, Param )/wssicherung(param3) (am Kopf jeden Bildes angegeben). Parameter = +/-0.6 bezeichnet den Wert des ε in der Dgl. ( + für anziehende / - für abstoßende Paar-Kraft) Parameter bezeichnet die Versuchsnummer gemäß abelle S.99,00. (Dort sind die für den jeweiligen Versuch unwesentlichen Parameter der Dgl Massen und Anfangswerte explizit festgelegt.) Parameter3 gibt den Betrachtungszeitraum an. Sim-0.6I/wssicherungag besagt also, dass die Dgl mit ε = 0.6 und den Anfangsbedingungen I numerisch gelöst wurde und die Daten von ag (der mehrere age dauernden Simulation) genommen sind. Die Bilder entstammen verschiedenen Simulationen mit stets demselben typischen Endverhalten, sich nach individueller Einschwing-Zeit symmetrisch zu ordnen. Von den End-Ergebnissen wurden die aussagekräftigsten ausgewählt. Die Angabe des Betrachtungszeitraumes (im Zusammenhang mit dem Kx-Impuls ) wird allerdings erst mit dem Zusatz "innerhalb der Einschwing-Zeit" bzw. "während der Symmetrie-Zeit" bedeutungsvoll. 86

97 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 87 b) Nach dieser (durch das unregelmäßige Verhalten des Impulses des leichten Körpers Kx definierten) Einschwing-Zeit, die mehrere age, sogar Wochen dauern kann, werden (in der "Symmetrie-Zeit") die Schwankungen regelmäßig und symmetrisch d.h. sie liegen innerhalb eines um Null symmetrischen Streifens mit leicht gezackten regelmäßigen Rändern. (Dieses Verhalten des Kx-Impulses markiert gerade den Beginn der "Symmetrie-Zeit"). In der Symmetrie-Zeit liegen also die Phasenraumkurven-Punkte in einem Wertebereich [ ; + ] [0.;.] [ X ; + X ] [ Y; + Y ], der (fast) vollständig ausgefüllt wird. Dabei sind die ersten beiden Intervalle des Ortsanteiles durch die Programmeigenschaft "mit hartem Rückstoß an den Intervallenden" immer festgelegt, die beiden Intervalle des Impulsanteiles sind experimentell zu ermitteln. Impulskoordinate P (t)=pngkx(t) zur Symmetrie-Zeit mit jetzt symmetrischem Ausschlag, Betrachtungs-Zeitraum : während des ganzen 6.ages (4 Stdn) Abbildung 3.4b : Regelmäßiges Verhalten des Impulses P (t) während der Symmetrie-Zeit (lange nach Start). (work\srohrgk\bildersrohr\impulskxag6.tif) 87

98 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 88 Das Verhalten in der Symmetrie-Zeit bleibt unverändert bestehen : Eine höhere Auflösung zeigt eine regelmäßige Struktur. Vergrößerung der Impulskoordinate P (t)=pngkx(t) in der Symmetrie-Zeit, Betrachtungs-Zeitraum : während 3 Minuten in der Mitte des 6.ages Abbildung 3.4c : öhere Auflösung von Abb.3.4b (im Unterschied zu Abb. 3.4a). (work\srohrgk\bildersrohr\impulskxag6groß.tif) Der Verlauf der Kx-Impulskoordinate ist während der Symmetrie-Zeit regelmäßig, im Gegensatz zu ihrem unregelmäßigen Verhalten zur Einschwing-Zeit (vgl. Abb. 3.4a S.86). Bemerkung : Von den (maximalen) X- und Y-Werten und dieser regelmäßigen Struktur hängen in direkter Weise die Mittel-Werte der kinetischen Energien ab. Ihr Verhalten (Zu- oder Abnahme hinsichtlich des Vorzeichens von ε ) soll später in eil 3) S.93ff noch genauer betrachtet werden. Im Gegensatz zu dem unterschiedlichen Verhalten des Kx-Impulses P = pngkx während der sogenannten Einschwing-Zeit (unregelmäßiges Verhalten) und der darauf folgenden Symmetrie-Zeit (geordnetes Verhalten) weist der Ky-Impuls P = pngky ein schon von Anfang an geordnetes Verhalten auf (unter der Voraussetzung an die Massen mkx < mky ) : 88

99 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 89 Impulskoordinate P (t)=pngky(t), Betrachtungs-Zeitraum : während der ersten Minute, Startwert : P (0)=00 Abbildung 3.4d : Fast regelmäßiges Verhalten des Impulses P (t) schon ab Start. (work\srohrgk\bildersrohr\impulskyminag.tif) Auch das spätere Verhalten des Ky-Impulses bleibt geordnet : Impulskoordinate P (t)=pngky(t), Betrachtungs-Zeitraum : während des ganzen 7.ages (4 Stdn) Abbildung 3.4e : Auch später bleibt der Impuls des schweren Körpers regelmäßig. (work\srohrgk\bildersrohr\impulskyag7.tif) 89

100 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 90 c) Diagramme, in denen die Ortswerte 9 bzw. die Impulswerte gegeneinander aufgetragen werden, füllen selbst in kurzen eilen der Einschwing-Zeit ihre Bereiche (dicht) aus. In der Symmetrie-Zeit ergeben diese Darstellungen jedoch diskrete (periodisch durchlaufene) Kurven. Flächenfüllende Ortskurve in der Einschwing-Zeit ("Chaos") : Die das Rechteck [-;+]X[0.;.] dicht ausfüllende Ortskurve (qngkx, qngky), Betrachtungs-Zeitraum : während der ersten 0 Minuten (Einschwing-Zeit) Abbildung 3.5a : Flächenfüllende (unregelmäßige) Ortskurve (Q (t),q (t)) während der Einschwing-Zeit (kurz nach Start). (work\srohrgk\bildersrohr\ortskurve0minag.tif) 9 Die graphische Darstellung der Ortskurve kann aufgefasst werden als die Bewegung eines einzelnen Körpers (Billardkugel) im Rechteck [-;+X[0.;.] [Sin,970]. 90

101 MatLab Rechnungen für amilton-systeme 9 Ebenso Flächenfüllende Impulskurve in der Einschwing-Zeit : Die das Rechteck [-4.5;+4.5]X[-00.3;+00.3] dicht ausfüllende Impulskurve (pngkx, pngky), Betrachtungs-Zeitraum : während der ersten0 Minuten (Einschwing-Zeit) Abbildung 3.5b : Ebenso die Impulskurve (P (t),p (t)) (kurz nach Start). (work\srohrgk\bildersrohr\impulskurve0minag.tif) Das Verhalten der Ortskurve und Impulskurve zur Symmetrie-Zeit ist dagegen merklich verschieden von ihrem Verhalten zur Einschwing-Zeit : 9