2. Dynamische Systeme und ihre Softwaremodelle

Transkript

1 2. Dynamische Syseme und ihre Sofwaremodelle

2 Gewinnung von Modellen

3 Theoreische Analyse

4 Grundypen linearer Syseme

5 Proporionalsysem (P) x y P Sprunganwor dy dx = K P Differenialgleichung Differenzengleichung y(i) = K P * x(i)

6 Proporionalsysem (P) f x f y P z.b. Muskelkraf f x auf Bremspedal z.b. Bremskraf f y auf Bremsscheibe (Rad) z.b. Bremsanlage im Auo df y = KP df x Differenialgleichung Differenzengleichung f y (i) = K P * f x (i)

7 b 0 x(i) y(i) b 1 a 1 x(i-1) y(i-1) b 2 a 2 x(i-2) y(i-2) b m a n x(i-m) y(i-n) mi: x(i) = f x ; y(i) = f y Daenflussgraph eines P-Sysems (z.b. des spez. numerischalgorihmischen Modells Bremse )

8 Inegralsysem (I) x y I Sprunganwor dy d = K I * x() Differenialgleichung Differenzengleichung y(i) = T*K I * x(i) + y(i-1)

9 Inegralsysem (I) v e p I z.b. Zufluss v e in einen Speicher (Behäler) z.b. Inhal p des Speichers (Behälers) z.b. Behäler A 2 Differenialgleichung dp d = K I * v e () A 1 Differenzengleichung p(i) = T*K I * v e (i) + p(i-1) v e dp p

10 b 0 x(i) y(i) b 1 a 1 x(i-1) y(i-1) b 2 a 2 x(i-2) y(i-2) b m a n x(i-m) y(i-n) mi: x(i) = v e ; y(i) = p Daenflussgraph eines I-Sysems (z.b. des spez. numerisch algorihmischen Modells Behäler )

11 Differenialsysem (D) x y D Sprunganwor dx d K D = y() Differenialgleichung Differenzengleichung K D y(i) = (x(i) x(i-1)) T

12 Differenialsysem (D) U I D z.b. elekr. Spannung U an den Elekroden z.b. einfließender elekrischer Srom I z.b. Kondensaor (Kapaziä) in elekrischen Geräen Differenialgleichung du K D = I() d Differenzengleichung K D I(i) = (U(i) U(i-1)) T Srom I Spannung U

13 b 0 x(i) y(i) b 1 a 1 x(i-1) y(i-1) b 2 a 2 x(i-2) y(i-2) b m a n x(i-m) y(i-n) mi: x(i) = U; y(i) = I Daenflussgraph eines D-Sysems (z.b. des spez. numerisch algorihmischen Modells Kondensaor )

14 Tozeisysem (T z ) x y T z T L Sprunganwor y() = x( T L ) Differenialgleichung Differenzengleichung y(i) = x(i - n)

15 Tozeisysem (T z ) v x v y T z z.b. einfließende Flüssigkei v x T L z.b. ausfließende Flüssigkei v y z.b. Rohrleiung v y () = v x ( T L ) v y Differenialgleichung Differenzengleichung v y (i) = v x (i - n) v x

16 b 0 x(i) y(i) b 1 a 1 x(i-1) y(i-1) b 2 a 2 x(i-2) y(i-2) b m a n x(i-m) y(i-n) mi: x(i) = v x ; y(i) = v y Daenflußgraph eines Tozei-Sysems (z.b. des spez. numerisch algorihmischen Modells Rohrleiumg )

17 Verzögerungssysem 1. Ordnung (T 1 ) x y T 1 Sprunganwor dy d *T 1 + y() = x() Differenialgleichung Differenzengleichung y(i) = (1- )*x(i) + * y(i-1) T 1 mi = T + T1

18 Verzögerungssysem 1. Ordnung (T 1 ) p T 1 z.b. zufließende Wärmeleisung p (Heizung) z.b. gespeichere Wärmeenergie (Innenemperaur ) Syseme mi Zu- und Abfluss z.b. Wärmehaushal eines Hauses (Innenemperaur) Differenialgleichung d d *T 1 + () = p() Differenzengleichung (i) = (1- )*p(i) + * (i-1) T 1 mi = T + T1 p

19 v e Pegel Behäler ohne Abfluss

20 v e Pegel Behäler ohne Abfluss v e Pegel Behäler mi Abfluss

21 v e Pegel Behäler ohne Abfluss Syseme mi Zu- und Abfluss z.b. Wärmehaushal eines Hauses (Innenemperaur) v e Pegel Behäler mi Abfluss p

22 v e Pegel p Behäler ohne Abfluss Gebäude ideal isolier v e Pegel Behäler mi Abfluss

23 v e Pegel p Behäler ohne Abfluss Gebäude ideal isolier v e Pegel p Behäler mi Abfluss Gebäude mi Wärmeabfluss

24 b 0 x(i) y(i) b 1 a 1 x(i-1) y(i-1) b 2 a 2 x(i-2) y(i-2) b m a n x(i-m) y(i-n) mi: x(i) = p; y(i) = Daenflussgraph eines T 1 -Sysems (z.b. des spez. numerisch algorihmischen Modells Wärmehaushal )

25 Srukur (Zusammenschalung) x 1 G x 2 1 G x 3 2 G y 3 Reihe (z.b. P-I-D) G 1 y 1 x a y v G 1 x 1 G 2 y 2 + y b G 2 G n y n Rückkopplung parallel (z.b. P I D)

26 Modellbildung durch Messungen

27 1. Schri: Messung am Original x y Tessignal: Sprung Sprunganwor Definiion Tessignal Ein Tessignal is ein ypisches Signal, das zur Prüfung oder Idenifizierung eines Sysems dien.

28 Experimen Ablauf eines Experimenes 60,00 5,0 4,5 Elekronensrahllesung, kw 50,00 40,00 30,00 20,00 10,0 0 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Schichdicke, μm 0,00 0,0 Zei Elekronensrahlleisung Schichdicke

29 Validierung des Sreckenmodells in MATLAB Schichdicke, µm Modell Experimen Simulaionszei, s

30 2. Schri: Approximaion x? y Sprunganwor

31 Approximaion Daruner verseh man die Suche nach einer Modellgleichung für das Sysem, die bei gleichem Tessignal am Eingang einen Signalverlauf am Ausgang (Anwor) erzeug, der den Messungen ähnlich is. 1. Auswahl aus einem Kaalog durch Vergleich der Anworen 2. ähnliche Anworen Modellgleichung gefunden 3. Falls Anworen zu komplex sind, solle versuch werden, zusammengeseze Modelle zu unersuchen 4. Die Anworen der Modelle können auch durch Simulaion am Rechner ermiel werden. Auch beim Vergleich der Anworen (Modell und Messung) kann man Rechnerunersüzung nuzen Messung gemessene Anwor (Zeiverlauf) _ Vergleich Wahl des Modells durch Simulaion berechnee Anwor Modellgüe M als Maß der Übereinsimmung

32 Beispiel: hier wäre Approximaion mi zusammengesezem Modell sinnvoll x? Sprunganwor y x() y()

33 Zurück zum einfachen Beispiel: Approximaion durch Verzögerungssysem 1. Ordnung (T 1 ) x y T 1 Sprunganwor dy d *T 1 + y() = x() Differenialgleichung Differenzengleichung y(i) = (1- )*x(i) + * y(i-1) T 1 mi = T + T1

34 3. Schri: Anwendung des Modells WENN unser Modell T 1 bei einem Eingangssprung x() eine besimme Sprunganwor y() am Ausgang voraussag, x T 1 Sprunganwor y DANN liefer das Original beim gleichen Eingangssprung x() die gleiche Sprunganwor y() am Ausgang x T 1 y Sprunganwor

35 3. Schri: Anwendung des Modells WENN unser Modell T 1 bei einem Eingangssignal x() eine besimme Anwor y() am Ausgang voraussag, x T 1 Anwor y gil das auch für beliebige andere Einganssignale x()??? DANN liefer das Original beim gleichen Eingangssignal x() die gleiche Anwor y() am Ausgang? x T 1 y? Anwor

36 3. Schri: Anwendung des Modells WENN unser Modell T 1 bei einem Eingangssignal x() eine besimme Anwor y() am Ausgang voraussag, x T 1 Anwor y Ja, aber nur für lineare Syseme kann man beweisen: WENN Original und Modell bei einem Experimen (Tes- Signal) ähnlich reagieren, DANN verhalen sie sich bei allen Experimenen (Tessignalen) ähnlich. DANN liefer das Original beim gleichen Eingangssignal x() die gleiche Anwor y() am Ausgang! x T 1 Anwor y!

37 nur für lineare Syseme kann man beweisen: WENN Original und Modell bei einem Experimen (Tes- Signal) ähnlich reagieren, DANN beschreib die Modellgleichung das Verhalen des Originals ses adäqua KNN

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