Einleitung. Umdruck zur Vorlesung I.I. Regelungs-, Aktuator- und Sensortechnik I.II. Hochschule Bremerhaven --- IAE. Unterlagen zur Lehrveranstaltung

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1 Hochschule Bremerhaven Unterlagen zur Lehrveranstaltung I Einleitung [RAS/FTA7] I.I Umdruck zur Vorlesung S Teil : S Teil : S Teil 3: S Teil 4: S Teil 5: Mechanik und Bewegungsgleichung Regelung von Gleichstromantrieben Verfahren zur Steuerung und Regelung von Drehstromantrieben Leistungselektronik, Signalverarbeitung, Sensorik für die Antriebstechnik Einsatz von Antrieben in Werkzeugmaschinen und Robotern Zum Beginn der Vorlesung liegt nun ein vollständiger Umdruck vor, der über die Homepage der Vorlesung < kopiert werden kann. I.II Elektrische Antriebe stellen in der Produktion den überwiegenden Anteil an mechanischer Arbeit. Sie haben die Produktion in ähnlicher Weise verändert wie die Dampfmaschine in der industriellen Revolution. Elektrische Maschinen wandeln elektrische Energie in mechanische Energie und umgekehrt (generatorischer Betrieb). Über 99% der gesamten Produktion an elektrischer Energie erfolgt mit elektrischen Maschinen. Am Gesamtverbrauch an elektrischer Energie in Industrieländern sind die elektrischen Antriebe mit mehr als 60% beteiligt. Dies erklärt die große Bedeutung der Antriebstechnik. Revision: V. Datum: September 003 Prof.Dr.-Ing.KaiMüller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik An der Karlstadt 8 D7568 Bremerhaven In zunehmendem Maße ersetzen elektrische Antriebe andere Antriebsformen (z.b. Pneumatik, Hydraulik) aufgrund ihrer besseren Regelbarkeit bzw. sie ersetzen mechanische Lösungen (beispielsweise elektromagnetische Ventilsteuerung im Ottomotor anstelle von Nockenwelle und Schlepphebel, elektronische Getriebe). Von besonderer Bedeutung für die Qualität und Effizienz in der Produktion sind Regelantriebe, die präzise Einhalten von Drehzahlen und Positionen gewährleisten. In dieser Veranstaltung soll die gesamte Bandbreite der Antriebstechnik behandelt werden, d.h. elektrische Maschinen, Regelverfahren, Sensorik und Leistungselektronik einschließlich der zugehörigen Signalverarbeitung. Ich wünsche allen Hörern der Veranstaltung viel Freude an dem faszinierenden Fachgebiet. Tel: FAX: E Mail: kmueller@hs bremerhaven.de Bremerhaven, September 003 Kai Müller <kmueller@hsbremerhaven.de> Tel: (047)

2 I II II Inhalt Mechanische Bewegungsgleichung für Antrieb und Last.... Bewegungsgleichung..... Analytische Lösung der Bewegungsgleichung (.5) Grafische Darstellung der Bewegungsgleichung... 5 Übung: Bestimmung von Trägheitsmoment Q und Reibkoeffizient cr aus der Sprungantwort Leistung und Energie in mechanischen Systemen Getriebe in Antriebssystemen Übung: Berechnung des motorseitigen Trägheitsmomentes sowie des notwendigen Drehmomentes eines Antriebs Betriebspunkte von Antriebssystemen Antriebskennlinien Allgemeiner Test auf Stabilität durch Linearisierung im Arbeitspunkt. 4 7 Freiheitsgrade eines mechanischen Systems Kinetische Diagramme / Zustandsdiagramme Zeitoptimale Positionierung Zeitoptimale Positionierung mit begrenzter Geschwindigkeit Realisierung einer zeitoptimalen Positionierung Aufgabe: Zeitoptimale Steuerung Zustandsdiagramme Elastisch gekoppelte Last Übertragungsfunktion und Analyse im Frequenzbereich Normierung Bestimmung der Übertragungsfunktion aus der normierten Darstellung Bestimmung der Übertragungsfunktion für elastisch gekoppelte Last Übung: Nachweis der Wirkung von Nullstellen und Polen in der Simulation Normierung des mechanischen Systems... 9 Gleichstrommaschine (GM) Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Fremderregte Gleichstrommaschine Induzierte Spannung in bewegtem Leiter Gleichungen der GM Stationärer Betrieb der GM Einfluss der Erregung Permanenterregte GM Leistungsbilanz der GM Übung: Berechnung des Betriebspunkts einer GM Dynamisches Verhalten der GM Übung: Simulation der GM Drehzahlregelung der GM Kaskadenregelung der GM (bei konstanter Erregung) Stromregelung Drehzahlregelung Beispiel: Entwurf eines Stromreglers für eine GM Reihenschlussmotor Stationärer Zustand Beispiel: Eigenschaften der Reihenschlussmaschine Leistungselektronik Schaltende Elemente Vorteil des Schalters gegenüber einer stetigen Bereitstellung der Leistung Netzgeführte und selbstgeführte Stromrichter Bauelemente der Leistungselektronik Realer Aufbau eines Thyristors Netzgeführte Umrichter Mittelpunktschaltung M... 67

3 III IV 5.4. Brückenschaltung B Berechnung der mittleren Gleichspannung ud Beispiel: Verläufe von Strom und Spannung bei der B-Schaltung Drehstrom-Brückenschaltung B Phasenströme Umkehrstromrichter Übung: Berechnung des Steuerwinkels a Selbstgeführte Stromrichter Schaltfunktion bei einer Halbbrücke Schaltfunktion Kurzzeit-Mittelwert Modulationsfunktion ma Einphasige Brücke Übung: Selbstgeführter Stromrichter Modulation Einphasige Brücke (selbstgeführter Stromrichter) Simulation des selbstgeführten Stromrichters (einphasig) Entstehung eines Drehfeldes (Wanderwelle)....3 Drehmomentbildung bei der ASM... 3 Stationäres Verhalten der ASM Regelung der ASM.... Hochdynamische Regelung von Asynchronmaschinen Regelung in Feldkoordinaten Koordinatentransformation Regelung in Feldkoordinaten (feldorientierte Regelung) Übung:ElektrischeGrößeninFeldkoordinatenundFlussmodell Literatur Sensortechnik Messung hoher Ströme und Spannungen Messung von Spannungen und Strömen mit Transformatoren Hall-Sensor Spannungsmessung Digitale Messung von Strömen Drehzahlsensor Indirekte Messung der Drehzahl aus Spannung und Strom Winkelsensoren Photooptische Encoder Resolver Drehstromantriebe Maschinentypen... 08

4 Mechanische Bewegungsgleichung für Antrieb und Last Ein elektrischer Antrieb wandelt elektrische Energie in mechanische Arbeit. In unserer Umgebung profitieren in vielfältiger Weise davon, indem wir Geräte wie Waschmaschine, Staubsauger, Aufzüge usw. nutzen. Antriebe sind stets nur ein Teil einer Anlage, die mechanische Energie benötigt. Zunächst soll der mechanische Teil eines Antriebssystem betrachtet werden. Betrachten wir Drehmoment und Drehzahl, so ergeben sich 4 verschiedene Betriebszustände. F v II. generatorisch n motorisch F v I. Bild.: F mv. m c R v Translatorische Bewegung Eine Kraft F beschleunigt eine Masse m. NachdemNewtonschenGesetzist diesumme aller Kräfte an der Masse stets null (c R ist ein Reibkoefizient) F k = F mv. c R v = 0. (.) k Man erhält eine Differentialgleichung (DGL). Ordnung m dv dt + c R v = F, (.3) die das Verhalten des mechanischen Systems vollständig beschreibt. v F v III. F v IV. m Für Drehbewegungen, die bei elektrischen Antrieben weitaus häufiger auftreten, gilt eine entsprechende Beziehung. Θω., c R ω M ω motorisch generatorisch Θ Bild.: Drehzahl-Drehmoment-Ebene (Quadranten der m, n-ebene) Die mechanische Leistung ist das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit bzw. das Produkt aus Drehmoment und Drehzahl P mech = Fv = Mω. (.) In den Quadranten I. und III. ist die Leistung positiv (motorisch). In den anderen Quadranten ist die Leistung negativ (generatorisch), d.h. bei negativer mechanischer Leistung wird mechanische Energie abgegeben und elektrische Energie erzeugt.. Bewegungsgleichung Elektrische Antriebe erzeugen Kräfte oder Momente, die Massen oder Trägheitsmomente beschleunigen. Bild.3: Rotatorische Bewegung Bild.3 zeigt eine Masse mit einem Trägheitsmoment Θ, die durch ein Drehmoment M angetrieben wird (c R ist ein Reibkoeffizient). Hier muss die Summe aller Momente null ergeben, die an dem Trägheitsmoment Θ angreifen M k = M Θω. c R ω. (.4) k Auch hier entsteht eine zu (.3) gleichwertige DGL Θ dω dt + c R ω = M. (.5) Wir wollen im folgenden nur (.5) weiter untersuchen, da sich (.3) auf gleiche Weise lösen lässt. Für den wichtigen Sonderfall eines konstanten Drehmoments M können wir für die DGL (.5) eine analytische Lösung finden. In geregelten Antriebssystem kann man nicht

5 3 4 von einem konstanten Drehmoment ausgehen. Die analytische Lösung für M =konstant zeigt jedoch, wie prinzipiell Einschwingvorgänge in Antriebssystemen aussehen aussehen können. Aus regelungs- bzw. systemtechnischer Sicht beschreibt (.5) ein dynamisches System mit dem Ausgang ω und dem Eingang M. Bild.4: M Mechanik Regelungstechnische Darstellung des mechanischen Systems.. Analytische Lösung der Bewegungsgleichung (.5) Durch die Methode der Trennung der Veränderlichen lässt sch die DGL lösen dω M c R ω = dt Θ. (.6) Beide Seiten lassen sich nun unbestimmt integrieren. Die Lösung ist bis auf eine Konstante k eindeutig dω M c R ω ω = dt Θ + k. (.7) In mathematischen Handbüchern (z.b. []) findet für das unbestimmte Integral dx ax + b = a ln(ax + b). (.8) DamitlautetdieLösungfür(.7) c R ln M cr ω = t Θ + k. (.9) ω = c M e t c R e c Rk Θ R c R = M c R k e t c R Θ. (.) Die Konstante k folgt aus der Anfangsbedingung. Wir wollen annehmen, dass die Drehzahl ω für t =0 nullist,d.h. ω(t = 0) = 0 = M c R k. (.3) Daraus folgt k und damit lautet die Lösung der DGL ω = c M e t c R R Θ. (.4) Das Verhältnis Θ / c R Θ c R = kgm hat die Dimension einer Zeit Nms = kgm = s. (.5) kgm s Man bezeichnet das Verhältnis Θ / c R auch als mechanische Zeitkonstante T n. Häufig schreibt man (.4) dann mit der mechanische Zeitkonstanten T m ω = M c R e t T M. (.6) Für M / c R = erhält man den Verlauf gemäß Bild.5. Diese Art der Anregung wird Sprungantwort genannt, da zum Zeitpunkt t = 0 das Antriebsdrehmoment sprungförmig verstellt wird. Drehzahl ω Multiplikation mit c R führt auf 0.4 Anfangssteigung ln M cr ω = t c R Θ c R k. (.0) Wendet man die inverse Funktion des natürlichen Logarithmus (e-funktion) auf beiden Seiten an, so folgt T m Zeit t M c R ω = e tc R Θ c Rk. (.) Bild.5: Verlauf der Drehzahl bei konstantem Antriebsmoment bzw. aufgelöst nach Die Verlauf beginnt mit einer Steigung von

6 5 6 dω dt = M = M = M c R T m Θ c R cr Θ. (.7) Da die Anfangssteigung nur vom Trägheitsmoment Θ abhängt (bei bekanntem Antriebsmoment), lässt sich durch Messung der Sprungantwort das Trägheitsmoment experimentell ermitteln. Der Endwert der Drehzahl hängt nur von dem Reibkoeffizienten c R ab. Somit kann auch der Reibkoeffizient durch Messung bestimmt werden (Voraussetzung: c R ist konstant).. Grafische Darstellung der Bewegungsgleichung In der Antriebs- und Regelungstechnik werden die mathematischen Zusammenhänge gerne grafisch in Form von Blockschaltbildern dargestellt. Die Differentialgleichung beschreibt lediglich die Ableitung der Drehzahl dω dt = f (ω, M). (.8) Um nun die Drehzahl zu erhalten, ist die Integration dieser Funktion erforderlich (Integrator) ω = t 0 dω dτ dτ + ω 0 = t f (ω, M)dτ + ω 0. (.9) 0 Der Wert ω 0 ist der Anfangswert der Drehzahl zum Zeitpunkt t =0 (nicht notwendigerweise null). In unserem Beispiel aus Abschnitt. lautet die DGL dω dt = Θ M c R ω. (.0) Das zugehörige Blockschaltbild zeigt Bild.6. M M L Θ c R dω dt Bild.6: Blockschaltbild für das mechanisches System aus Bild. Übung: Bestimmung von Trägheitsmoment Θ und Reibkoeffizient c r aus der Sprungantwort Aus der folgenden Sprungantwort eines Antriebssystems gemäß Bild.6 sollen die Parameter bestimmt werden (=Parameteridentifikation). ω Drehzahl [rad/s] Bild.7: Zeit [s] Sprungantwort Das Antriebsdrehmoment beträgt M = 6 Nm. Wie groß sind a) Reibkoeffizient c R? b) Trägheitsmoment Θ? c) WiegroßistdiestationäreDrehzahl (für t ) in [U/min]? Bestimmen Sie die Parameter grafisch aus dem Diagramm.7. 3 Leistung und Energie in mechanischen Systemen Wird eine Masse in Bewegung versetzt, so erhält sie eine kinetische Energie. Elektrische Antriebe wandeln elektrische Energie in mechanische Energie um. Die Energiebilanz kann aus der Bewegungsgleichung Θ dω dt = M M (.) L hergeleitet werden, wobei M das antreibende Moment und M L das sogenannte Lastmoment (bremsendes Moment) ist. Das Lastmoment entsteht durch die Arbeit, die eine Maschine verrichtet und natürlich auch durch Reibung. Die mechanische Leistung ist

7 7 8 das Produkt aus Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit ω. Multipliziert man (.) mit ω, so folgt ωθ dω dt = ωm ωm (.) L bzw. ωm = ωm L + ωθ dω. (.3) dt Antriebsenergie W kinetische Energie W kin gesamte mechanische Leistung P mech mechanische Leistung P L an der Last Beschleunigungsleistung P kin Bild.8: Lastenergie W L Energiebilanz bei einem elektrischen Antrieb mit mechanischer Last Das Integral der Leistung ist die Energie t 0 P(τ)dτ = W. (.4) Integriert man (.3) so folgt als Energiebilanz W mech = t P mech dτ = t P L dτ + t Θω dω dt dt = W L + Θ ω ω dω (.5) Die Integration nach ω führt auf W mech = W L + Θω. (.6) Der letzte Term ist die in der Mechanik gespeicherte kinetische Energie: W kin = Θω. 4 Getriebe in Antriebssystemen Ein häufiges mechanisches Bauelement in Antriebssystemen ist das Getriebe. Die mechanische Leitung ist das Produkt aus Drehmoment und Drehzahl P mech = Mω. (.7) Aus Kostengründen passt man den Antrieb an den Leistungsbedarf der Last an. Es ist jedoch möglich, dass sehr hohe Drehmomente und nur kleine Drehzahlen benötigt werden (z.b. Aufzugsantrieb). In diesem Fall kann ein Motor zwar die benötigte Leistung aufbringen, jedoch nicht das benötigte Drehmoment. Man setzt Getriebe ein, die bei P mech const. (.8) eine Anpassung an die benötigte Drehzahl oder das benötigte Drehmoment ermöglicht. Getriebe gestatten also einen beliebigen Austausch von Drehzahl gegen Drehmoment bei nahezu konstanter Leistung. Die Energiebilanz kann man auch grafisch darstellen. Bild.9: Spiralkegelgetriebe (Tandler, Bremen)

8 9 0 Das Getriebe in Bild.9 untersetzt die Drehzahl (Welle vorn) um den Faktor 7, (Ausgangswelle an der Seite). Das Getriebe lässt sich vereinfacht als einstufiges Getriebe darstellen bezeichnet. Die Bewegungsgleichungen für die beiden Trägheitsmomente lauten Θ dω dt dω = M Fr, Θ = M dt + Fr. (.3) Primärseite v ω Sekundärseite Wir können nun beide Gleichungen nach F auflösen und gleichsetzten ω Θ Θ r r F = M r Θ dω r dt = M r + Θ dω r. (.3) dt Die Drehzahl ω kann durch ω = r r rω ersetzt werden M M Bild.0: Prinzip eines einstufigen Getriebes An den Berührungspunkt herrscht die gleiche Umfangsgeschwindigkeit v. Θ F ω. Θ ω. ω v v Θ Θ ω r r M M M r Θ dω r = M dt r + Θ r dω r r. (.33) dt Die Multiplikation von (.33) mit r und Zusammenfassen liefert Θ + r r Θ dω dt Mit der Übersetzung ü geschrieben, lautet (.34) = M r r M. (.34) Θ + ü Θ dω = M dt üm. (.35) Das Trägheitsmoment wird mit ü auf die Primärseite transformiert. Das Drehmoment der Sekundärseite erscheint mit dem Faktor ü aufder Primärseite. Bei demgetriebe nachbild.9 ist ü <. Das Lastmoment der Sekundärseite erscheint auf der Antriebsseite also verkleinert bzw. auf der Lastseite steht ein größeres Drehmoment zur Verfügung, als der Antrieb auf der Primärseite abgeben kann. Bild.: F Kräfte und Drehmomenten an den Ein- und Ausgängen des Getriebes An den Getrieberädern wirkt im Berührpunkt die Kraft F, die wie in Bild. gezeichnet das Trägheitsmoment Θ abbremst und gleichzeitig das Trägheitsmoment Θ beschleunigt. Da die Umfangsgeschwindigkeit v für beide Räder gleich ist, gilt v = ω r = ω r ω ω = r r. (.9) 5 Übung: Berechnung des motorseitigen Trägheitsmomentes sowie des notwendigen Drehmomentes eines Antriebs Für den Aufzug gemäß Bild. soll ein Antrieb ausgewählt werden. Die Drehzahlen werden also mit dem umgekehrten Verhältnis der Radien übersetzt. Der Faktor wird als Übersetzungsverhältnis ü = ω ω = r r (.30)

9 M, ω M, ω Θ =0kgm Θ dω dt = 0 (.37) Motor Getriebe ü=0, bzw. M A = M L. (.38) Θ =0kgm Aufzug r =50cm (Radius) Den Zustand M A = M L nennt man Arbeitspunkt. Bei nichtlinearen Funktionen kann die Bestimmung des Arbeitspunktes gewöhnlich nur grafisch oder numerisch erfolgen. 6. Antriebskennlinien ω Asynchronmaschine Synchronmaschine Bild.: Antriebssystem für einen Personenaufzug m = 750 kg a) Wie groß ist das Trägheitsmoment auf der Lastseite? b) Berechnen Sie das Gesamtträgheitsmoment Θ Gesamt (von der Motorseite aus betrachtet). c) WiegroßmussdasDrehmomentdesMotorssein,damitderAufzugbei voller Beladung nicht nach unten stürzt? Bild.3: Kennlinien gebräuchlicher Maschinen fremderregte Gleichstrommschine Reihenschluss- Gleichstrommschine (Mögliche) Arbeitspunkte = Schnittpunkte von Antriebs- und Lastkennlinie ω lineare Kennlinie M 6 Betriebspunkte von Antriebssystemen nichtlineare Kennlinie Allgemein gilt die Bewegungsgleichung Θ dω dt = M A (ω, t) M L (ω, t). (.36) Antriebsmoment M A und Lastmoment M L können dabei Funktionen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Zeit t sein. Im stationären Zustand (t )istdie Drehzahl konstant, d.h. es gilt Bild.4: Last-Kennlinien M

10 3 4 ω Antriebs-Kennlinie M A M L 6. Allgemeiner Test auf Stabilität durch Linearisierung im Arbeitspunkt ω ω 0 Last-Kennlinie ω Antriebs-Kennlinie Arbeitspunkt ω 0 Last-Kennlinie MA ML = M M 0 M Bild.5: Beispiel für einen stabilen Arbeitspunkt ω ω 0 ω Asynchronmaschine Last-Kennlinie M A M L > 0 Bild.7: M 0 Last-Kennlinien (Kleine) Abweichungen vom Arbeitspunkt ω = ω 0 + ω. (.39) Bewegungsgleichung in ω M Θ dω dt = Θ d dt dω ω 0 + ω = Θ 0 dt + Θ d ω dt = Θ d ω = M dt A M L. (.40) M In der Umgebung des Arbeitspunktes gilt Bild.6: Schnittpunkte mit der Kennlinie der Asynchronmaschine Der mittlere Arbeitspunkt ist instabil. Bei einer Erhöhung der Drehzahl um ω ist die Drehmomentdifferenz M = M A - M L positiv, d.h. die Drehzahl steigt an (bis zum oberen Arbeitspunkt). In entgegengesetzter Richtung fällt die Drehzahl bis zum unteren Arbeitspunkt. Θ d ω dm A ω dm L ω dt dω ω dω 0 ω 0 = dm A dω ω 0 dm L dω ω 0 ω = k ω. Die Stabilität hängt von Vorzeichen von k ab: k <0 =Stabilität k = 0 = Grenzfall (kein fester Arbeitspunkt) k > 0 = Instabilität (Arbeitspunkt wird in beide Richtungen verlassen) (.4)

11 5 6 7 Freiheitsgrade eines mechanischen Systems Die Freiheitsgrade eines mechanischen Systems sind Zustandgrößen, da Sie über den augenblicklichen Zustand entscheiden. Die Freiheitsgrade sind alle Positionen und alle Winkel, in die sich ein mechanisches System ausdehnen kann. mit maximaler Beschleunigung (maximale Kraft bzw. maximales Drehmoment) bis zur Hälfte der Wegstrecke. Danach wird mit maximaler Bremsbeschleunigung abgebremst. Zu Beginn und am Ende der Verfahrvorgangs ist dann jeweils die Geschwindigkeit wieder null. a Auch die Ableitung (Geschwindigkeiten, Winkelgeschwindigkeiten) sind Zustandgrößen. Mit ihnen ist eine kinetische Energie verknüpft. Beispiel : Elektrische Maschine. Es besteht nur ein Freiheitsgrad (Winkel ε). Die Winkelgeschwindigkeit ω = dá (.4) dt ist ebenfalls eine Zustandsgröße. Beispiel : Ein Körper im Weltraum. Es bestehen keine mechanischen Einschränkungen der Bewegung. Folglich hat ein Körper im Weltraum die maximal mögliche Anzahl an Freiheitsgraden (6): drei translatorische Bewegungen (x, y, z) sowiedreirotatorischefreiheitsgrade(nicken,wankenundrollen). a ω ε t v beschleunigen bremsen v x t x x t t t Bild.9: Zeitoptimaler Positioniervorgang (Steuerung) Bild.8: Blockschaltbild für ein System mit einem Freiheitsgrad Für 0 t < t gilt Winkel sind bedeutsam beispielsweise für Roboter und Werkzeugmaschinen. Die Güte einer Winkelregelung bestimmt die Positioniergenauigkeit. Die Winkelgeschwindigkeit bestimmt die Zeit für einen Positioniervorgang. a =+a max, v = t 0 adτ = at, x = t 0 vdτ = at. (.43) 7. Kinetische Diagramme / Zustandsdiagramme Kinetische Diagramme: a über t bzw. α über t v über t bzw. ω über t x über t bzw. ε über t Zustandsdiagramme: v über s bzw. ω über ε 7.. Zeitoptimale Positionierung Eine zeitoptimale Positionierung ist ein Verfahrvorgang in kürzester Zeit. Dabei wird jeweils mit der maximalen Beschleunigung a verfahren. Man beschleunigt einen Antrieb Für 0 t < t erhält man a = a max, vdτ + x. (.44) t Es folgt für v = a max (t t ) + v (.45) sowie für x = a max(t t ) + x. (.46) Die Zeit für den gesamten Verfahrvorgang beträgt v = t t adτ + v, x = t

12 7 8 x t = t = x a = a. (.47) 7.. Zeitoptimale Positionierung mit begrenzter Geschwindigkeit 7..3 Realisierung einer zeitoptimalen Positionierung Die Steuerung wird fast immer mit einer Regelung kombiniert, da sich das reale System nicht wie das idealisierte Prozessmodell verhält, auf dem die Berechnung der zeitoptimalen Trajektorien beruht. Eine mögliche Struktur zeigt Bild.. a zeitoptimale Steuerung x Ziel t v v x beschleunigen bremsen t x Modell v Modell F Modell x-regler v-regler realer Prozess x v x Regelung t t t 3 t Bild.: Struktur einer zeitoptimalen Steuerung/Regelung Bild.0: Zeitoptimaler Positioniervorgang mit Geschwindigkeitsbeschränkung Für Aufzüge, Fahrzeuge etc. verwendet man stetige Verläufe der Beschleunigung, d.h. der sogenannte Ruck da dt = r < (.48) ist beschränkt. a t 8 Aufgabe: Zeitoptimale Steuerung Berechnen Sie die Umschaltpunkte für eine zeitoptimale Regelung bei jeweils maximalen Beschleunigungen bzw. maximalen Geschwindigkeiten. Die Daten seien: F max =N m =kg v max =0m/s x = 0 m (Verfahrweg) Die Ergebnisse können durch Eingabe der Schaltzeitpunkt an folgender Simulation überprüft werden. Bild.: Zeitoptimaler Positioniervorgang mit Ruckbegrenzung Geschwindigkeit und Position folgen durch Integration bzw. zweifacher Integration aus der Beschleunigung.

13 9 0 ist die Zeit nicht mehr explizit enthalten. Durch Trennung der Integrationsvariablen und Integration auf beiden Seiten erhält man vdv= adx+ C. (.5) Bild.3: Simulation der Positionssteuerung Die Integration ergibt v = ax + C. (.5) Auflösung nach x ergibt x = v a + C a = v a + C. (.53) Dies sind nach links oder rechts geöffnete Parabeln, die um C verschoben sind. v a <0 a >0 C x Bild.5: Zustandskurven Bild.4: Ergebnis der zeitoptimalen Positionssteuerung Die Bewegung erfolgt dabei immer rechts herum, da bei positiver Geschwindigkeit der Weg x stets zunimmt bzw. bei negativer Geschwindigkeit der Weg immer abnimmt. Ein zeitoptimaler Verstellvorgang setzt sich im Zustandsdiagramm aus Parabelbögen zusammen. v 8. Zustandsdiagramme In einem Zustandsdiagramm werden Zustandsgrößen gegeneinander aufgetragen. Diese Darstellung wird bei der Auslegung von Reglern verwendet. a = dv dt = dv dx dx dt = v dv (.49) dx In der Darstellung a = v dv (.50) dx Bild.6: a >0 a <0 Zeitoptimaler Verstellvorgang im Zustandsdiagramm 9 Elastisch gekoppelte Last Wenn Antrieb und Last über größere Entfernungen gekoppelt sind, kann oft der Antriebsstrang nicht mehr als starr angesehen werden (z.b. Antriebswelle zwischen Motor x

14 und Last, Auszugsseil usw.). Ein elastische Verbindung zwischen Antrieb und Last kann mit Hilfe einer Feder modelliert werden. Bild.7: M, ω, ε ω, ε c F Θ Θ c R ω Modell einer elastischen Kopplung von Antrieb und Last M, ω, ε ω, ε M F c M F F Θ Θ M,c R ω Daraus lässt sich folgendes Blockschaltbild entwickeln. M ω ε Θ M F c R c F M ω ε Θ ε MF,c R ω M F M,c R ω c R Bild.8: Kräfte an den mechanischen Elementen Die Freiheitsgrade sind hier ε und ε, da beide Winkel nicht fest mechanisch gekoppelt sind, d.h. unabhängige Bewegungen ausführen können. Weiter Zustandsgrößen sind natürlich die Winkelgeschwindigkeiten ω und ω. Die sogenannten Zustandsgleichungen (Differentialgleichungen) lauten dω Θ = M dt c R ω M F, (.54) dω Θ = M dt c R ω + M F, (.55) dá = ω dt, (.56) dá = ω dt. (.57) Das Drehmoment der (linearen) Feder ist proportional zum Verdrehwinkel M F = c F Á Á = cf Á. (.58) Ersetzt man M F in (.54) und (.55), so erhält man dω Θ = M dt c R ω c F Á Á, (.59) dω Θ = M dt c R ω + c F Á Á. (.60) Bild.9: Blockschaltbild für elastisch gekoppelte Last 0 Übertragungsfunktion und Analyse im Frequenzbereich Jedes mechanische System mit N Freiheitsgraden besitzt N Zustandsgrößen (N Positionen bzw. Winkel und N Geschwindigkeiten bzw. Winkelgeschwindigkeiten). Man sagt, dass die Ordnung des Systems N beträgt (Anzahl der Zustandsgrößen). Sofern das System linear ist (die Eigenschaften des Systems hängen nicht von der Amplitude der Signale ab), existiert auch eine Übertragungsfunktion, die ebenfalls das Übertragungsverhalten beschreibt. Die unabhängige Variable ist nun nicht die Zeit t, sondern die Frequenzvariable s = σ +jω. Für regelungstechnische Zwecke (Analyse des Prozesses, Entwurf von Reglern) ist die Darstellung des Übertragungsverhaltens als Übertragungsfunktion G(s) häufig günstiger. Im Gegensatz zur Zustandsdarstellung (im Zeitbereich) wird die Übertagungsfunktion (im Frequenzbereich) immer minimal geschrieben, d.h. die Ordnung ist nur so groß, wie sie zur Beschreibung des Verhalten benötigt wird. Dies wird später am Beispiel der elastisch gekoppelten Massen erläutert. Übertragungsfunktionen beschreiben das Verhalten für sinusförmige Signale. In der Praxis treten sinusförmige Signale selten auf, jedoch kann (fast) jedes beliebige Signal als Summe

15 3 4 von Sinus- und Kosinus-Signalen dargestellt werden (Fourier- bzw. Laplace-Transformation). Es genügt deshalb zur Beschreibung des Verhaltens eines System das Verhalten bei Sinusanregung zu kennen. Man gelangt vom Blockschaltbild zur Übertragungsfunktion, indem man die Integratoren durch den Term s ersetzt. Dieser Term ist die Übertragungsfunktion des Integrators. 0. Normierung Im Zusammenhang mit Regelungen verwendet man häufig Normierungen auf Nenn- oder Maximalwerte. Dies erleichtert den Entwurf und die Implementierung von Regelungen. Alle Signale und Koeffizienten werden dadurch dimensionslos. Die Normierung der DGL aus Abschnitt. mir den Größen ω 0 und M 0 liefert ω 0 Θ d ω ω 0 + ω dt 0 c R ω ω 0 = M M 0. (.6) M 0 Nach Division durch ω 0 c R und Neudefinition von ω := ω ω 0 sowie M := M M 0 erhält man Θ dω c R dt + ω = M 0 c R ω M. (.6) 0 Da nun ω und M dimensionslos sind, muss der Term Θ/c R die Dimension einer Zeit haben (aufgrund der Ableitung) Θ c R = kgm Nms = kgm = s. (.63) kgm s Dies ist die mechanische Zeitkonstante T m. Die ist die Zeit, nach der die Drehzahl den Wert e = 63,% bezogen auf die Normierungsdrehzahl bei Normierungsdrehmoment erreicht hat. Mit der Abkürzung V m = M 0 c R ω erhält man 0 T dω m dt + ω = V m M. (.64) V m hat dabei die Bedeutung einer Verstärkung. Die entsprechende Darstellung als Blockschaltbild zeigt Bild.30. Bild.30: M V m M L T m dω dt Blockschaltbild mit normierten Größen für das mechanisches System aus Bild. 0. Bestimmung der Übertragungsfunktion aus der normierten Darstellung Die Übertragungsfunktion lässt sich aus Bild.30 ableiten, wenn der Integrator durch s ersetzt wird. Bild.3: M(s) V m M L (s) T m sω(s) Blockschaltbild im Frequenzbereich Unter Weglassung des Arguments (s) erhält man s ω ω(s) sω = T m (V m M ω) (.65) bzw. T m sω + ω = V m M. (.66) Damit lautet der Zusammenhang zwischen M (Eingangsgröße) und ω (Ausgangsgröße) V m ω = T m s + M. (.67) Dabei ist V m G(s) = T m s + die Übertragungsfunktion von M(s) nach ω(s). (.68) 0.3 Bestimmung der Übertragungsfunktion für elastisch gekoppelte Last Die Übertragungsfunktion von M nach ω soll bestimmt werden. Hierzu ist es sinnvoll, das System auf seine minimale Anzahl von Zustandsgrößen zu beschränken, damit die

16 5 6 Übertragungsfunktion ebenfalls mit minimaler Ordnung bestimmt wird. In Bild.9 wird die Federkraft M F aus der Winkeldifferenz ε ε erzeugt. Die Winkel entstehen jeweils durch Integration der Winkelgeschwindigkeiten. Da die Winkel nicht explizit benötigt werden, kann anstelle der Differenz der Integrale auch das Integral der Differenz gebildet werden (Bild.3). M ω Θ s c R M ω Θ M F c F ε s ω M F c R c F ε ω ω Θ s c R Bild.3: M ω Θ c R Umformung von Bild.9 (Minimale Anzahl von Zustandsgrößen) Bei gleichem Übertragungsverhalten wird nun ein Integrator d.h. eine Zustandsgröße weniger benötigt. Die zugehörigen DGLn lauten dω Θ = M dt c R ω c F Á, (.69) dω Θ = M dt c R ω + c F Á, (.70) d Á = ω dt ω. (.7) Die Übertragungsfunktion von M nach ω kann aus dem Blockschaltbild gewonnen werden, wenn die Integratoren durch / s ersetzt werden. Der Einfluss von M muss nicht mehr berücksichtigt werden. Man gelangt so zu dem Blockschaltbild in Bild.33. Bild.33: Blockschaltbild im Frequenzbereich DieoberenundunterenTeilfunktionenfasstmanzusammen G O (s) = Θ s + c R Θ s und erhält damit das BSB in Bild.34. Bild.34: =, G Θ s + c U (s) = R Θ s + c R Θ s M ω Θ s + c R M F c F ε Θ s + c R s ω Vereinfachung durch Zusammenfassung G U (s) = (.7) Θ s + c R Nun kann der gesamte untere Teil zu einer Übertragungsfunktion zusammengefasst werden G U = c F s + c = c F F s Θ s+c R Θ s + c R Θ s. (.73) + c R s + c F

17 7 8 Das Blockschaltbild erhält dann die folgende Form, aus der sich unmittelbar die gesamte Übertragungsfunktion bestimmen lässt. Bild.35: M ω Θ s + c R M F c F Θ s + c R Θ s + c R s + c F Blockschaltbild zur Bestimmung der gesamten Übertragungsfunktion Nur kann die gesamte Übertragungsfunktion abgelesen werden G ω M = + Θ s+c R (.74) Θ Θ s+c c s+c R R F Θ s +c R s+c F Θ = s + c R s + c F Θ s + c R Θ s + c R s + c F + cf Θ s + c F c R Diese Übertragungsfunktion ist allerdings so kompliziert, dass sie sich einer einfachen Interpretation verschließt. Eine einfache Deutung der Terme ist jedoch für den Sonderfall möglich, dass keine Reibung im System auftritt, d.h. für c R = c R =0. IndiesemFall erhält man Θ G ω M = s + c F Θ s Θ s + c F + cf Θ s = Θ s + c F (.75) s Θ Θ s + Θ c F + Θ c F = s Θ s + c F Θ Θ s + c F Θ + Θ. Das System besitzt ein komplexes Nullstellenpaar bei c z = j F (.76) Θ sowiepolebei Θ p = 0, p 3 = j c + Θ F. (.77) Θ Θ Der Betrag der komplexen Pole ist größer als der der Nullstellen p z = Θ + Θ. (.78) Θ Die Reibung führt dazu, dass die Nullstellen von der imaginären Achsen in die linke Halbebene wandern. Das Bode-Diagramm.36 zeigt das Verhalten im Frequenzbereich. Die Parameter sind Θ = Θ =, c F =. Betrag Phase Bild.36: Bode-Diagramm für (.75) Eine Anregung M mit der Frequenz der komplexen Nullstelle ω z = c F = rad s Θ Frequenz [rad/s] (.79) wird wirkt sich also nicht auf die Drehzahl ω aus. Besitzt das Drehmoment M dagegen die Frequenz des konjugiert komplexen Poolpaars bewirkt dies eine unendliche Amplitude der Drehzahl. Die Frequenz Θ ω p = c + Θ F = rad Θ Θ s =.44 rad (.80) s nennt man Resonanzfrequenz. Sie ist geringfügig höher als die Frequenz der Nullstellen. 0.4 Übung: Nachweis der Wirkung von Nullstellen und PoleninderSimulation In der folgenden Simulation soll die physikalische Bedeutung von Nullstellen und Polen untersucht werden.

18 9 30 Á 0 Á 0 d Á dt = ω 0 ω ω 0 ω 0 ω ω 0. (.83) Nach Divisionen und Sortieren der Gleichungen folgt Θ d ω c R ω 0 dt Θ d ω c R ω 0 dt Á 0 d Á ω 0 Á 0 dt Mit den Abkürzungen + ω ω 0 = M 0 ω 0 c R M M 0 Á 0 c F ω 0 c R Á Á 0, (.84) + ω ω 0 = M 0 ω 0 c R M M 0 + Á 0 c F ω 0 c R Á Á 0, (.85) = ω ω 0 ω ω 0. (.86) T m = Θ c R, V = M 0 ω 0 c R, T m = Θ c R, V = M 0 ω 0 c R, c F = Á 0 c F ω 0 c R, (.87) c F = Á 0 c F ω 0 c R, (.88) T Á = Á 0 ω 0 (.89) Bild.37: Matlab/Simulink-Modell der elastisch gekoppelten Last a) Regen Sie das System mit den Frequenzen der Nullstellen und der der Pole an. Untersuchen die das Amplituden und Phasenverhalten. b) Verändern Sie den Parameter c F und rechnen Sie die Pole und Nullstellen aus. Überprüfen Sie durch Simulation Ihre Berechnungen. 0.5 Normierung des mechanischen Systems Eine Normierung der DGLn des Prozesses erleichtert den Reglerentwurf und die Implementierung z.b. auf Mikrocontrollern und DSPs mit Festkommaarithmetik. Normierungsgrößen seien die Maximalwerte (bzw. Nennwerte) ω 0, M 0, ε 0.Damiterhält man ω 0 ω 0 Θ d ω dt ω 0 ω 0 Θ d ω dt = M 0 M M 0 ω 0 c R ω ω 0 Á 0 c F Á Á 0, (.8) = M 0 M M 0 ω 0 c R ω ω 0 + Á 0 c F Á Á 0, (.8) und den Neudefinitionen ω := ω ω 0, ω := ω ω 0, folgen die sehr übersichtlichen DGLn Á := Á Á 0 (.90) dω T m + ω dt = V M c F Á, (.9) dω T m + ω dt = V M + c F Á, (.9) T d Á Á = ω dt ω. (.93) Es ist üblich, in Blockschaltbildern die Zeitkonstanten in die Integratoren zu schreiben. Mit dieser Konvention erhält man folgendes Blockschaltbild.

19 3 3 M T m ω ω FP = round ω 5 = round = 64 (.96) V c F annehmen. Die systematische Behandlung von Festkommaarithmetik soll an dieser Stelle lediglich angedeutet werden, um die Normierung zu rechtfertigen. ε T ε ω c F M V T m ω Bild.38: Blockschaltbild mit normierten Größen Nimmt man vereinfachend gleiche Reibkoeffizienten an, so gilt V = V := V, c F = c F := c F0. (.94) M V T m ω M F c F0 ε T ε ω M V T m ω Bild.39: Blockschaltbild für c R = c R Sofern die Normierungsgrößen Maximalwerte sind, nehmen alle Variablen nur Werte im Bereich von -..+ an. In einem Mikrocontroller mit N Bit Festkommaarithmetik würde dann beispielsweise die Drehzahl ω FP intern gemäß ω FP N = ω (.95) kodiert werden. Bei einem 6-Bit-Mikrocontroller würde ω =0.8 damitdenwert

20 33 34 Gleichstrommaschine (GM) Als Regelantriebe wurden in der Vergangenheit überwiegend Gleichstrommaschinen eingesetzt, da sie eine einfache Kennlinie (Gerade) aufweisen und nur eine einphasige Ansteuerung erfordern. Nachteilig ist die bezogen auf die Baugröße geringe Leistung und der mechanische Verschleiß des mechanischen Kommutators. Aufgrund der heute zur Verfügung stehenden Mikrorechner und der modernen Leistungselektronik werden vermehrt Drehstromantriebe (Asynchron- und Synchronmaschinen) als geregelte Antriebe eingesetzt. Das Drehmoment elektrischer Maschinen beruht auf dem Prinzip der Kraft im magnetischen Feld. Ein magnetisches System strebt stets einem Zustand minimaler magnetischer Energie an. Stromdurchflossene Leiter erzeugen ein Magnetfeld, das in Wechselwirkung mit anderen Magnetfeldern tritt, die ebenfalls von Strömen oder auch von Permanentmagneten erzeugt wird.. Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Befindet sich ein Leiter in einem homogenen Magnetfeld, so wirkt eine Kraft F = il B, (.) d.h. die Kraft ergibt aus dem Kreuzprodukt von Wegvektor und Induktionsvektor (Lorentzkraft). F = ib sin(α). (.) Der Winkel a ist dabei der Winkel zwischen Stromrichtung und der Richtung der magnetischen Induktion.. Fremderregte Gleichstrommaschine Die fremderregte GM besitzt zwei getrennte Wicklungen. Eine Wicklung befindet sich im Stator der Maschine und erzeugt das magnetische Feld. Die zweite Wicklung befindet sich im Rotor. Durch die Kraft auf die stromdurchflossenen Leiter im Rotor (bei GM auch Anker genannt) aufgrund des Magnetfeld aus dem Stator entsteht ein Drehmoment. Damit ein konstantes Drehmoment entstehen kann, muss die Stromrichtung der Wicklung unter den Polen auch beibehalten werden, wenn sich der Anker dreht. Diese Aufgaben übernimmt der sogenannte Kommutator. Ein Kommutator ist ein mechanischer Gleichrichter. Über die feststehenden Bürsten wird der Ankerstrom auf diejenigen Wicklungen geschaltet, die sich unter den Polen befinden. Das Prinzip des Kommutators ist in Bild.3 dargestellt. Die Ankerwicklungen sind an den Kontakten des Kommutators herausgeführt. Auch bei Drehung des Ankers bleibt die Stromrichtung im Anker ortsfest zum Stator. Hohe Ströme und hohe Drehzahlen belasten den Kommutator stark und führen zu hohem Verschleiß. Die GM ist daher i.a. nicht wartungsfrei. B F i l (Länge des Leiters im Magnetfeld) Bild.: Kraftwirkung auf einen Leiter im Magnetfeld Die Richtung der Kraft kann durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt werden (Daumen = Richtung des Stromflusses, Zeigefinger = Richtung der magnetischen Induktion, Mittelfinger = Richtung der Kraft. Physikalisch kommt die Kraftwirkung nicht durch den Strom, sondern durch das durch den Strom verursachte Magnetfeld zustande. Zur Vereinfachung der Rechnung darf aber auch der Strom als Ursache für die Kraftwirkung angenommen werden. Die Kraft steht immer senkrecht auf der durch die Stromrichtung und die magnetische Induktion gebildete Fläche. Der Betrag der Fläche ist identisch mit dem Betrag der Kraft. RechnetmannichtmitVektoren,sondernmitZeigern,solautetdieGleichungfürdieKraft

21 35 36 i e.3 Induzierte Spannung in bewegtem Leiter Erregerwicklung Stator Bewegt sich ein Leiter im Magnetfeld, so wird eine elektrische Spannung induziert. Φ Ankerwicklung B i a Bürste, Kommutator Bild.4: E, U v l (Länge des Leiters im Magnetfeld) Kraftwirkung auf einen Leiter im Magnetfeld Anker Das Elektrische Feld berechnet sich zu E = v B. (.3) Die Feldstärke nimmt folglich die in Bild.4 eingezeichnete Richtung an. Die Spannung folgt aus der Feldstärke und der Länge des Leiters. Falls alle Größen senkrecht aufeinander stehen (was bei der GM aus konstruktiven Gründen der Fall ist), so lautet die Spannung (Vorzeichen gemäß Bild.4) U = lvb. (.4) Bild.: Querschnitt durch eine fremderregte GM.4 Gleichungen der GM Bewegungsrichtung des Ankers Die Gleichungen der GM basieren im elektrischen Teil auf der Lorentzkraft und dem Induktionsgesetz. Der mechanische Teil besteht einfach aus den Bewegungsgleichungen für ein mechanisches System mit einem Freiheitsgrad (rotatorische Bewegung). Die Wicklungen des Feldsystems und die Ankerwicklung bilden Induktivitäten, die nicht magnetisch gekoppelt sind, da die Achsen senkrecht aufeinander stehen. Für beide Wicklungen muss ein ohmscher Widerstand berücksichtigt werden. Durch die Bewegung des Ankers entsteht bei Vorhandensein einer Induktion durch die Feldwicklung eine induzierte Spannung im Anker. Wie in der Elektrotechnik üblich, kann diese Wirkung als gesteuerte Spannungsquelle modelliert werden. Der Wert der Spannungsquelle hängt sowohl von der Drehzahl ω der Maschine als auchvon Betragund Vorzeichen der magnetischen Induktion ab. i a (t) i a (t+ t) i a (t) i a (t+ t) Bild.3: Prinzip des Kommutators (abgewickelte Darstellung)

22 37 38 i a u a R a L a e elektromechanische Kopplung L e (i e ) i e Φ e e = c Φ e ω, (.9) M A = c i a Φ e. (.0) Weiterhin gilt der nichtlineare Zusammenhang zwischen Φ e und dem Strom i e (Magnetisierungskennlinie). u e Φ e = f (i e ). (.) R e Die Gleichungen ergeben das Blockschaltbild.7 der GM. Bild.5: Elektrisches Ersatzschaltbild der GM Die (fremderregte) GM besteht aus den zwei RL-Kreisen. Über den Fluss Φ e besteht eine einseitige Kopplung des Erregerkreises auf den Ankerkreis, indem durch Bewegung des Ankers eine Spannung induziert wird. Proportional zum Fluss Φ e und dem Ankerstrom i a entsteht ein Drehmoment M A.Der mechanische Teil wird durch folgendes Bild beschrieben M A, ω, ε u a e L a R a i a c M A M L Θ ω i e f (Φ e ) R e Bild.6: M L Elektrisches Ersatzschaltbild der GM u e N e Φ e Die Gleichungen der GM folgen aus dem elektrischen und mechanischen Ersatzschaltbildern u a = R a i a + L a di a dt + e, (.5) dφ u e = R e i e + N e e, (.6) dt Θ dω dt = M A M L, (.7) dá dt = ω. (.8) Die letzte DGL wird nur benötigt, wenn der Winkel von Interesse ist (z.b. bei Werkzeugmaschinen oder Robotern). Für die induzierte Spannung e sowie für das Antriebsmoment M A gelten algebraische Gleichungen Bild.7: c Blockschaltbild der fremderregten GM Es wurde angenommen, dass eine eindeutiger Zusammenhang (keine Hysterese) zwischen dem Erregerstrom i e und dem Fluss Φ e besteht. In diesem Fall ist die Magnetisierungskurve f(i e ) umkehrbar i e = f (Φ e ). (.) Die fremderregte GM bildet ein nichtlineares System mit den zwei Eingangsgrößen u e und u a. Wird die GM jedoch bei konstantem Fluss Φ e betrieben, so entsteht ein lineares System. Dies ist der Grund für die Verbreitung der GM als Regelantrieb.

23 39 40 u a L a di dt i a c Φ e M A M L dω dt Θ ω ω u A Betriebsgrenze (maximaler Strom) R a e c Φ e M A Bild.8: Blockschaltbild der fremderregten GM mit konstantem Fluss Φ e Bild.9: Stationäre Antriebskennlinie der GM.5 Stationärer Betrieb der GM Der stationäre Betrieb bedeutet konstanten Strom (Drehmoment) und konstante Drehzahl. Damit verschwinden die Ableitungen aller Zustandsgrößen. Aus dω/dt = 0 folgt M A = M L. (.3) Für konstanten Strom gilt u a = R a i a + e = R a i a + c Φ e ω. (.4) Der Schnittpunkt der Antriebs- mit der Lastkennlinie ergibt den Arbeitspunkt der Anlage. Die Steigung der Kennlinien kann durch den Fluss verändert werden (geringerer Fluss = steilere Kennlinien)..6 Einfluss der Erregung Der Fluss kann i.a. nicht gegenüber den Nennfluss erhöht werden, da der Nennfluss durch die Sättigung des Eisens (maximale Induktion ca. T) bestimmt ist. B B Nenn Setzt man den Zusammenhang zwischen Strom und Drehmoment (.0) in (.4) ein, so folgt aufgrund von i a = M A c Φ e (.5) die Beziehung u a = R a M A c Φ e + c Φω. (.6) Löst man (.6) nach ω auf, so erhält man die stationäre Antriebskennlinie ω = c Φ e u a R a c Φ e M A. (.7) Dies sind Geraden mit negativer Steigung, die mit u a parametriert sind. Bild.0: Sättigungskennlinie des Eisens Eine Absenkung (= Feldschwächung) ist jedoch möglich und führt auf steilere Kennlinien in Bild.9. Um gleiches Drehmoment zu erhalten, benötigt man höhere Ankerströme, was unvorteilhaft für den Betrieb der GM ist. Allerdings lassen sich nun höhere Drehzahlen erzielen. Die Leerlaufdrehzahl (Die Drehzahl für M A = M L = 0) beträgt nach (.7) ω = u c Φ a, (.8) e ist also umgekehrt proportional zum Fluss Φ e. i e

24 4 4 Die Strategie in Bild. wird für die fremderregte GM eingesetzt, wenn ein großer Drehzahlbereich benötigt wird. Feldschwächung u a Φ e Feldschwächung P mech = M A ω. (.0) Die gesamte elektrische Leistung P el = u a i a (.) teilt sich in Verlustleistung (Wärme) und die mechanische Leistung auf. Die Verlustleistung entsteht durch den Spannungsabfall am Ankerwiderstand P V = R a i a. (.) ω N ω N ω Die Differenz Bild.: Grunddrehzahlbereich Strategie zum Betrieb der fremderregten GM P el P V = u a i a R a i a = (u a R a i a )i a = ei a. (.3) muss dann mit der mechanischen Leistung identisch sein P mech = M A ω = ei a. (.4) Im sogenannten Feldschwächbereich gilt e = c Φ e ω = const, (.9) d.h. der Fluss Φ e wird gemäß einer Hyperbel verstellt. Damit sind extrem hohe Drehzahlen möglich (allerdings bei kleinem Drehmoment), die zur Beschädigung des Kommutators führen können..7 Permanenterregte GM Bei der permanenterregten GM übernehmen Permanentmagnete die Erzeugung des magnetischen Flusses. Neue magnetische Materialien (z.b. Samarium-Kobalt) ermöglichen den Bau auch großer GM. Im Bereich der Servoantriebe finden sich heute nur noch permanenterregte GM oder Drehstromantriebe. Die permanenterregte GM besitzt nur noch die elektrischen Anschlüsse für den Ankerstrom. Für hochdynamische Maschinen wird der Rotor auch eisenlos ausgeführt, was ein sehr geringes Trägheitsmoment zur Folge hat. Diese Bauform ist beschränkt auf Maschinen kleiner Leistung (< 500W). Das Blockschaltbild entspricht dem Bild.8 für konstanten Fluss Φ e..8 Leistungsbilanz der GM Die mechanische Leistung der GM ist das Produkt Setzt man (.9) sowie (.0) in (.4) ein, so erhält man P mech = c i a Φ e ω = c Φ e ω i a (.5) und damit c = c = c M..9 Übung: Berechnung des Betriebspunkts einer GM Die Daten einer GM seinen: u a = 00 V R a =0,3Ω Φ e =,Vs c M =0,53 Die Maschine wird mit einem Lastmoment M L =50Nm belastet. Bei allen Berechnungen können Sie die Reibung vernachlässigen. a) Wie groß ist die Leerlaufdrehzahl in U/min? b) Berechnen Sie den Ankerstrom und die Drehzahl der Maschine bei Belastung der Maschine mit M L. c) Wie groß ist der Wirkungsgrad des Antriebs? Lösungen: a) n = 3000 U/min

25 43 44 b) i a = 78,6 A n = 649 U/min c) η = Dynamisches Verhalten der GM Lineare Systeme beschreibt man oft im Frequenzbereich, da anstelle von Differenzialgleichungen nur algebraische Gleichungen auftreten. Da die fremderregte GM mit konstantem Fluss sowie die permanenterregte GM ein lineares System bilden, kann eine Übertragungsfunktion berechnet werden. Man kann vom Blockschaltbild ausgehen und alle Integratoren durch die Übertragungsfunktion /s ersetzen. u a Bild.: M L q L a si a i a c M Φ e M A sθω e s Θs R a G (s) c M Φ e Blockschaltbild der fremderregten GM mit konstantem Fluss Φ e Zunächst vereinfacht man die Rückkopplung der Teilübertragungsfunktion von q nach i a si a = L a q R a i a. (.6) Daraus folgt der Zusammenhang im Frequenzbereich i a = L a s + R a L a q. (.7) Die Übertragungsfunktion lautet damit G (s) = L a s + R = a R a L a L a R a s +. (.8) Den Koeffizienten L a /R a nennt man Ankerzeitkonstante T a. Die Übertragungsfunktion lautet damit ω G (s) = R a T a s +. (.9) Mit dieser Teilübertragungsfunktion kann das Blockschaltbild. vereinfacht werden. Gleichzeitig wird c M Φ e durch das Symbol b ersetzt. u a Bild.3: q e G (s) i a b b M A M L sθω Θs Blockschaltbild der fremderregten GM mit konstantem Fluss Φ e Das dem Bild.3 können drei Übertragungsfunktionen unmittelbar abgelesen werden.. Übertragungsfunktion von u a nach ω: F V ω = u + F a = K G (s)b Θs + G (s)b Θs u a = G b Θs + G b u a. (.30) Setzt man G in (.30) ein, so folgt G ωua = b (.3) R a Θs(T a s + ) + b bzw. G ωua = b R a Θs(T b a s + ) +. (.3). Übertragungsfunktion von M L nach ω: F V ω = M + F L = K Durch Einsetzen von G folgt bzw. Θs + G b Θs M L = Θs + G b M L. (.33) G ωml = R a(t a s + ) R a Θs(T a s + ) + b (.34) G ωml = R a b T a s + R a b Θs(T a s + ) +. (.35) ω

26 Übertragungsfunktion von u a nach i a : F V i a = u + F a = G u K + G a = ΘsG b Θs + G b u a. (.36) Θs Durch Einsetzen von G folgt G ia u a = Θs (.37) R a Θs(T a s + ) + b bzw. G ia u a = R a Θs b R a R a Θs(T b a s + ) +. (.38) Die einzelnen Übertragungsfunktionen unterscheiden sich durch ihre Verstärkungen und die die Nullstellen. Die Pole aller Übertragungsfunktionen sind gleich. Die Pole folgen durch Nullsetzen des Nenners N(s) = R a b Θs(T as + ) + =! 0. (.39) Ausmultiplizieren des Polynoms führt auf N(s) = R a b ΘT as + R a b Θs + =! 0. (.40) Die Pole lassen sich einfach mit der Normalform bestimmen b s + s + =! 0. (.4) T a R a ΘT a DiePoleliegenbei s = T a 4T a b R a ΘT a Die Bestimmung der Dämpfung kann durch Vergleich des Nenners mit der Normalform einer gedämpften Schwingung erfolgen N N (s) = s + Dω 0 s + ω 0. (.44) Ein Vergleich von (.44) mit (.4) liefert Dω 0 = T a, (.45) b ω 0 =. (.46) R a ΘT a Aus der zweiten Gleichung folgt ω 0 = b. (.47) Ra ΘT a Daraus folgt mit (.45) D = = R a Θ ω 0 T a. (.48) b T a Man erkennt, dass mit kleiner werdendem Fluss (Feldschwächung) die Dämpfung der GM zunimmt. Weiterhin hängt die Dämpfung vom Trägheitsmoment und den elektrischen Daten R a und L a ab. Übung: Simulation der GM. Verändern Sie die Parameter der folgenden Simulation und überprüfen Sie die Gültigkeit der vorstehenden Gleichungen (z.b. Dämpfung, Eigenfrequenz). = T a. (.4) 4 b T a R a Θ Die Pole sind entweder reell oder komplex. Wird der Term unter der Wurzel negativ, d.h. für Θ < 4 b T a (.43) R a entstehen komplexe Pole. Sehr kleine Trägheitsmomente können bei Servoantrieben auftreten. Komplexe Pole bedeuten, dass der Antrieb Schwingungen ausführen kann. Ein wichtiger Faktor zur Beurteilung der Schwingungen ist die Dämpfung D.

27 47 48 Drehmoment- Begrenzung ω Drehmoment- Begrenzung M L Bild.5: Kennlinie der geregelten GM Konventionelle Drehzahlregelungen sind als Kaskadenregelung aufgebaut. Dies hat folgende Vorteile: S S S S einfache, schrittweise Inbetriebnahme möglich, Begrenzung von Strom/Drehmoment einfach, kann um eine dynamische Vorsteuerung erweitert werden, Erweiterung zur Positions- (Lage-) Regelung möglich. Bild.4: Simulationsmodell der GM 3. Kaskadenregelung der GM (bei konstanter Erregung) 3 Drehzahlregelung der GM Bei der ungeregelten GM, d.h. bei Betrieb mit konstanter Spannung, ändert sich die Drehzahl lastabhängig (s. Übung.9). Die Betriebskennlinien der GM sind Geraden mit negativer Steigung, die die Ankerspannung u a bzw. den Fluss Φ e als Parameter aufweisen. Die Struktur einer Kaskadenregelung für eine GM zeigt Bild.6. Da die fremd- bzw permanenterregte GM ein lineares System darstellt, ist eine analytische Berechnung der Regler möglich. Netz ω- i a, Soll i a - u a, Soll Umrichter u a M T Regler Regler ω Tacho- Maschine Ein geregelter Antrieb eine drehzahlunabhängige Kennlinie. Gleichzeitig kann zum Schutz von Anlagen oder Personen das Drehmoment begrenzt werden. ω soll ω i a GM Bild.6: Kaskadenregelung der GM (Drehzahlregelung) Für den Entwurf von Regelungen verwendet man gewöhnlich ein normiertes Modell der Gleichstrommaschine (Normierungen s. Abschnitt 0.5). In den Differentialgleichungen

28 49 50 werden dazu alle Größen auf die Normierungsgrößen M a0 Nenn-Drehmoment ω 0 Nenn-Drehzahl i a0 Nenn-Strom u a0 Nenn-Spannung u e0 Nenn-Erregerspannung Φ e0 Nenn-Fluss bezogen. Zweckmäßigerweise werden die maximalen Größen als Nenngrößen verwendet. Es entstehen die Gleichungen L a i a0 d dt i a i a0 + R a i a0 i a i a0 = u a0 u 0 u a0 u a0 e u a0, (.49) Θω 0 d dt ω ω 0 = M A0 M A M A0 M A0 M L M A0, (.50) u a0 e u a0 = c M Φ e0 ω 0 Φ e Φ e0 ω ω 0, (.5) M A0 M A M A0 = c M i a0 Φ e0 i a i a0 Φ e Φ e0. (.5) Dividiert man jeweils durch die Faktoren vor i a bzw. M L, so erhält man L a R a d dt i a i a0 + i a i a0 = u a0 R a0 i a0 u 0 u a0 e u a0, (.53) Θω 0 M A0 d dt ω ω 0 = M A M A0 M L M A0. (.54) Die Umformung der algebraischen Gleichungen liefert u a0 c M Φ e0 ω 0 e u a0 = Φ e Φ e0 ω ω 0, (.55) M A0 c M i a0 Φ e0 M A M A0 = i a i a0 Φ e Φ e0. (.56) Die Normierungsgrößen dürfen beliebig gewählt werden. Besonders einfache Gleichungen erhält man, wenn Maximalwerte verwendet werden, die in folgenden Beziehungen zueinander stehen U a0 = R a i a0 = c M Φ e0 ω 0, (.57) Mit den Abkürzungen T a = L a, T R m = Θω 0 (.59) a M A0 Die Zeitkonstante T a ist die Ankerzeitkonstante; die Zeitkonstante T m wird mechanische Zeitkonstante genannt. Zur Vereinfachung der Schreibweise sollen die bezogenen Größen wieder unter den ursprünglichen Bezeichnungen verwendet werden. d.h. es gilt z.b. u a := u a u a0, (.60) Es folgen die kompakten Gleichungen u a Bild.7: T a di a dt + i a = u a e, (.6) T dω m dt = M A M L, (.6) e = Φ e ω, (.63) M A = Φ e i a. (.64) e Φ e T a s i a M A M L T m s Blockschaltbild der fremderregten GM in normierter Darstellung Bei maximalem Fluss wird der normierte Fluss gleich eins. Man erhält dann das Blockschaltbild.8. u a e T a s i a M A M L T m s ω ω M A0 = c M i A0 Φ e0. (.58) Bild.8: Blockschaltbild der fremderregten GM mit Nennfluss