Repetition. Lineare Algebra
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- Andrea Böhler
- vor 6 Jahren
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1 Hans baute ein Boot. Urs liess einen Drachen steigen. Lutz ass einen Apfel. Beat ging über das Dach. Jochen versteckte ein Ei. Dominik setzte das Segel. Peter schrieb ein Drama. Viktor drückte den Schalter.
2 Wer ass einen Apfel? Wer versteckte ein Ei? Wer liess einen Drachen steigen? Wer ging über das Dach? Wer drückte den Schalter? Wer setzte das Segel? Wer baute ein Boot? Wer schrieb das Drama????
3 Noah baute ein Boot. Benjamin Franklin liess einen Drachen steigen. Adam ass einen Apfel. Der Weihnachtsmann ging über das Dach. Der Osterhase versteckte ein Ei. Christoph Kolumbus setzte das Segel. William Shakespeare schrieb ein Drama. Thomas Edison drückte den Schalter.
4 Wer ass einen Apfel? Wer versteckte ein Ei? Wer liess einen Drachen steigen? Wer ging über das Dach? Wer drückte den Schalter? Wer setzte das Segel? Wer baute ein Boot? Wer schrieb das Drama?!!!
5 Erkenntnis 1. Grundsatz Auf Vorwissen aufbauen: In der Vorlesung immer am Ball bleiben.
6 In der Vorlesung erarbeitet und ausführlich erörtert: Satz Das lineare Gleichungssystem Ax = 0 hat genau dann nichttriviale Lösungen wenn det(a) = 0. Prüfungsaufgabe Sei A = ( 1 2 ) a) Bestimmen Sie einen Vektor x 0 sodass Ax = 0. b) Bestimmen Sie die Determinante von A. Ernüchterndes Resultat: Fast alle Kandidat/-innen berechnen det(a)!
7 Erkenntnis 2. Grundsatz Passives in aktives Wissen verwandeln: Übungen und alte Prüfungen lösen. Fleissige Studierende haben besser Noten! group with no submission group with at least 1 but at most 6 exercises group with more than 6 exercises Density Density Density grades grades grades
8 Lerne diese Buchstabenmatrix auswendig: T I O X S T Z H C W J O H Y E K N U V E D Q B F M E L O U R O P R A G Aha! T I O X S T Z H C W J O H Y E K N U V E D Q B F M E L O U R O P R A G
9 Erkenntnis 3. Grundsatz Chunking Wissen strukturieren: Kleinere Wissenselemente zu Blöcken zusammenfassen, und diese wieder zu grösseren Einheiten verbinden.
10 Zusammenfassung Drei Grundsätze des Lernens Vorwissen aktivieren: Repetieren Passives in aktives Wissen umbauen: Üben Chunking: Strukturieren
11 Beispiel e [3] a [1] a [3] e [1] a [2] = a [1] e [2] a [3] a [2] Anwendung: Falls beim Gaussalgorithmus angewandt auf A Zeilenvertauschungen nötig sind, wählt man eine Permutationsmatrix P so, dass für PA keine Zeilenvertauschungen nötig sind. Dann liefert das bisher beschriebene Verfahren die PA = LR.
12 Beispiel: ( 0 3 ) 2 Finde PA = LR für A = Linkerhand führen wir Buch über die Zeilenvertauschungen, rechterhand erfolgt die : Wir vertauschen die erste und die dritte Zeile, um das Pivotelement 2 in Position zu bringen: Nun wird nur rechterhand das 2 -fache der Zeile 1 von Zeile 2 subtrahiert, d.h. l 21 = 2.
13 Beachte hier die erwähnte platzsparende Schreibweise: Wir haben den Faktor 2 an die Stelle gesetzt, wo wir die Null erzeugt haben! Wir vertauschen die zweite und die dritte Zeile, um das Pivotelement 3 in Position zu bringen: Wir lesen für PA = LR ab: P = 1 0 0, L = 0 1 0, R =
14 Satz Sei A eine m n-matrix. Dann liefert das erweiterte Gaussverfahren, angewandt auf A, eine invertierbare m m-linksdreiecksmatrix L mit Einsen auf der Diagonale, eine m n-matrix in Zeilenstufenform R und eine m m-permutationsmatrix P, so dass PA = LR gilt. P erhält man aus I m durch die Zeilenvertauschungen, die bei A nötig waren. Anwendung Sei A eine m n-matrix. Dann kann man Ax = b wie folgt lösen: 1. Bestimme die PA = LR. 2. Löse Ly = Pb durch Vorwärtseinsetzen. 3. Bestimme die Lösungsmenge von Rx = y durch Rückwärtseinsetzen.
15 Die Determinante ordnet jeder n n-matrix A eine Zahl zu. Notation: det A oder A. Definition Sei a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn Dann schreiben wir A ij für die (n 1) (n 1)-Matrix, die man aus A durch Streichen der Zeile i und Spalte j bekommt: a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n... A ij = a i1 a i2... a ij... a in... a n1 a n2... a nj... a nn
16 Rekursive Definition der Determinate n = 1: Für A = (a) ist det A := a. n > 1: Man setzt n det A := ( 1) k+1 a k1 det A k1 k=1 Beispiel n = 2: n = 3: a b c d = ad cb =
17 Rekursive Definition der Determinate n = 1: Für A = (a) ist det A := a. n > 1: Man setzt n det A := ( 1) k+1 a k1 det A k1 k=1 Beispiel n = 2: n = 3: a b c d = ad cb =
18 Rekursive Definition der Determinate n = 1: Für A = (a) ist det A := a. n > 1: Man setzt n det A := ( 1) k+1 a k1 det A k1 k=1 Beispiel n = 2: n = 3: a b c d = ad cb =
19 Rekursive Definition der Determinate n = 1: Für A = (a) ist det A := a. n > 1: Man setzt n det A := ( 1) k+1 a k1 det A k1 k=1 Beispiel n = 2: n = 3: a b c d = ad cb = =
20 Rekursive Definition der Determinate n = 1: Für A = (a) ist det A := a. n > 1: Man setzt n det A := ( 1) k+1 a k1 det A k1 k=1 Beispiel n = 2: n = 3: a b c d = ad cb = = = = 2
21 Bemerkungen ( ) ( ) 0 a1 b1 a 2 b 2 = a 1 b 1. a 2 b 2 D.h. a 1 b 1 ist der orientierte Fächeninhalt des von a 2 b ( ) ( 2 ) a1 b1 und aufgespannten Parallelogramms. a 2 b 2 Regel von Sarrus (nur für 3 3-Matrizen!!!) det A = Summe der Produkte in Hauptdiagonalrichtung minus Summe der Produkte in Nebendiagonalrichtung.
22 Definition Die Zahlen M ij := det A ij heissen Minoren von A. Die Zahlen ã ij := ( 1) i+j M ij heisst Kofaktoren von A. Die Matrix (ã ij ) T heisst Adjunkte von A.
23 Satz i. Vertauscht man zwei Zeilen von A, so wechselt die Determinante das Vorzeichen. ii. Addiert man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen (Zeilenoperation II) so ändert sich die Determinate nicht. Die Determinante ist als Funktion jeder Zeile linear, d.h. a [1] a [1] a [2] a [2].. iii. det αa [i] = α det a [i] und.. a [n] a [n]
24 Satz (Fortsetzung) a [1] a [1] a [1] a [2] a [2] a [2]... iv. det a [i] + b [i] = det a [i] + det b [i]... a [n] a [n] a [n] Beispiele i. a b c d = c d a b ii. a b c d = a b c + 2a d + 2b
25 Beispiele iii. 3a 3b c d = 3 a b c d iv. a b c 1 + c 2 d 1 + d 2 = a b c 1 d 1 + a b c 2 d 2 Folgerungen 1. Hat eine Matrix A zwei gleiche Zeilen, so gilt det A = Hat A eine Nullzeile, so gilt det A = Ist A eine n n-matrix, so gilt det(αa) = α n det A.
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49 Determinanten Für gegebene Vektoren a 1,,a n K n, betrachte die Matrix deren Zeilenvektoren a 1,,a n sind, also A = Ab sofort benutzen wir diese bequeme Schreibweise Definition Sei M : K n K }{{ n K
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