Seminar. Probabilistische Methoden in der Anwendung

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1 Seminar Probabilistische Methoden in der Anwendung Matthias Voigt André Beschorner Ilko Reuter

2 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Statistik Regression Probabilistische Systemanalyse mit MCS Gleiderung Folie 2

3 Einleitung Zwei Turbinenschaufeln aus der gleichen Maschine Quelle: Massachusetts Institute of Technology, Prof. David L. Darmofal Einleitung Folie 3

4 Einleitung Klassische deterministische Auslegung Design Intent Simulation Wirkliches Verhalten Design Intent Reality Einleitung Folie 4

5 Einleitung Stochastik Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Kombinatorik Wie viele Möglichkeiten gibt es, Elemente anzuordnen oder aus einer Menge von Elementen zu ziehen? Statistik Ableiten von Gesetzmäßigkeiten und Strukturen aus Ereignissen Einleitung Probabilistik Definition von Modellen zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen Vorhersagen dieser Ereignisse Folie 5

6 Randbedingungen für prob. Simulationen Probabilistische Simulationen von Systemen Deterministische Modelle Einleitung Folie 6

7 Beispiel für deterministische Modelle Träger auf zwei Stützen mit Kragarm Eingangsgrößen: Höhe des Trägers Breite des Trägers E-Modul Punktlast Position der Punktlast Einleitung Ergebnisgrößen: Durchbiegungen w m, w i Folie 7

8 Randbedingungen für prob. Simulationen Probabilistische Simulationen von Systemen Deterministische Modelle Verteilungsart, Verteilungsparameter, Korrelationen der Eingangsgrößen Probabilistische Methoden Einleitung Folie 8

10 Zufallsvariablen Zufallsexperiment diskret Zufallsvariable stetig Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Grundlagen Folie 10

11 Gaußverteilung auch Normalverteilung genannt [1] Grundlagen Folie 11

12 Lognormalverteilung [1] Grundlagen Folie 12

13 Gleichverteilung [1] Grundlagen Folie 13

14 Zusammenhänge von Verteilungen [1] Grundlagen Folie 14

15 Statistische Maße von Stichproben 1 Arithmetischer Mittelwert: [1] Flächenschwerpunkt der Fläche unter der Dichtefunktion Stark abhängig von Ausreißern Median oder Zentralwert: Stichprobenwert, der genau in der Mitte einer geordneten Stichprobe steht. Robustes Lagemaß Modulwert oder Modus: Ausprägung mit der größten Häufigkeit Nur eindeutig, wenn die Häufigkeitsverteilung ein eindeutiges Maximum aufweist Grundlagen Folie 15

16 Statistische Maße von Stichproben 2 Grundlagen Folie 16

17 Statistische Maße von Stichproben 3 Standardabweichung: [1] Variationskoeffizient: Grundlagen Folie 17

18 Statistische Maße von Stichproben 4 Schiefe: Grad der Asymmetrie einer Verteilung um den Median [1] Wölbung: Grad der Flachheit/Steilheit einer Verteilung Grundlagen Folie 18

19 Statistische Maße von Stichproben 4 b Grundlagen Folie 19

20 Gründe für Streuungen Grundlagen Folie 20

21 Gründe für Streuungen Grundlagen Folie 21

22 Kolmogorow-Smirnow- Anpassungstest Grundlagen Folie 22

23 Anderson-Darling-Test Der Anderson-Darling-Test ist eine Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests. [10] Die Abweichungen der Testverteilung von der Zielverteilung werden in den Randbereichen der Verteilungen höher und im Mittelbereich der Verteilung niedriger gewichtet. Kritische Werte für sind abhängig von der verwendeten Verteilungsfunktion. Tabellierte Werte für für verschiedene Verteilungsfunktionen sind z.b. in [11] veröffentlicht. Grundlagen Folie 23

24 Korrelationen Korrelationskoeffizient nach Pearson [1] Wertebereich: [-1,1] Grundlagen Folie 24

25 Korrelationen Rangkorrelationskoeffzient nach Spearman [1] Wertebereich: [-1,1] Grundlagen Folie 25

26 Korrelationen Grundlagen Folie 26

27 Was ist eine Sensitivitätsanalyse? deterministisch probabilistisch Ableitungsbasierte Analyse Sensitivität aufgrund des partiellen Einflusses der Eingangsgröße am jeweils untersuchten Ort Varianzbasierte Analyse Sensitivität aufgrund der Variation der Eingangsgröße und ihren mittleren Einfluss im Streubereich Grundlagen Folie 27

28 Ergebnisse einer Sensitivitätsanalyse deterministisch probabilistisch Grundlagen Folie 28

29 Einfluss der Streuung der Eingangsgrößen deterministisches Ranking probabilistisches Ranking Grundlagen Folie 29

30 Konfidenzintervall 1 Statistische Maße (z.b. Mittelwert, Standardabweichung ) sind Punktschätzungen enthalten keine Aussage über die Güte der Schätzung Grundlagen Folie 30

31 Konfidenzintervall 2 Relative Häufigkeit des Ereignisses [1] Linke Grenze: Rechte Grenze: Grundlagen Folie 31

32 Konfidenzintervall 3 Grundlagen Folie 32

33 Konfidenzintervall 4 Grundlagen Folie 33

34 Konfidenzintervall 5 Weicht der Korrelationskoeffizient statistisch signifikant von Null ab, unterscheidet sich seine Verteilung von der Normalverteilung [1]. [3] Grundlagen Folie 34

35 Konfidenzintervall 6 (α=0.05) Grundlagen Folie 35

36 Konfidenzintervall 7 (α=0.05) Grundlagen Folie 36

38 Was sind Antwortflächen Regression Folie 38

39 Was sind Antwortflächen Antwortflächen sind mathematische Modelle (z.b. Polynome) zur Beschreibung des Systemverhaltens. Oftmals auch Metamodell oder Response Surface genannt. Beispiel: Antwortfläche 2. Ordnung (Polynom 2. Ordnung) Ergebnisgröße Koeffizienten Eingangsgrößen Regression Folie 39

40 Abhängigkeit von n sim Anzahl der Stützpunkte >= Anzahl der Koeffizienten Regression Folie 40

41 Bestimmung der Koeffizienten 1. Punktwolke aus MCS 2. Typ der Antwortfläche festlegen 3. Koeffizienten so bestimmen, dass Summe der Fehlerquadrate minimal wird Regression Folie 41

42 Methode der kleinsten Quadrate 1. Punktwolke aus MCS 2. Typ der Antwortfläche festlegen 3. Koeffizienten so bestimmen, dass Summe der Fehlerquadrate minimal wird Regression Folie 42

43 Bewertung von Antwortflächen Zur Bewertung der Güte von Antwortflächen kann das Bestimmtheitsmaß R² verwendet werden Das Bestimmtheitsmaß R² beschreibt den Anteil der Streuung der Ergebnisgröße, die sich durch die Antwortfläche beschreiben lässt R² ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von y zu ỹ R²=0..1 Regression Folie 43

44 Bewertung von Antwortflächen R²=0,87 y = 1,68 + 0,65*b + ε Regression Folie 44

45 Abhängigkeit von n sim Träger Beispiel: 5 Eingangsgrößen Polynom 3. Ordnung (16 Koeffizienten) n sim variiert Gleiche Parameter Streuung n sim R² 16 1, , , , , ,79 Regression Folie 45

46 Abhängigkeit von n sim Regression Folie 46

47 Vor- und Nachteile von R² Vorteile: Weit verbreitetes Maß zur Güte Vergleichbares, normiertes Maß des Approximationsfehlers Beschreibt den Anteil der Ergebnisgrößenstreuung, der durch das Modell beschrieben werden kann Nachteile: Abhängig von der Anzahl der Stützpunkte Keine Aussage zum maximalen Fehler Macht nur Aussagen an den Stützpunkten Hoher R² garantiert keine gute Vorhersage Regression Folie 47

48 Grafische Kontrolle Für n b > 2 entspricht grafischer Abstand zwischen Antwortfläche und Stützpunkten nicht dem Approximationsfehler. Approximationsfehler kann als Farbinformation dargestellt werden. Regression Folie 48

49 Kontrolle von Antwortflächen Eine grafische Kontrolle der Antwortflächen ist empfehlenswert Entspricht die Form der Antwortfläche der Punktwolke? Wo sind die Fehler groß? Sind die Fehler im Vergleich annehmbar? Regression Folie 49

50 Anwendungen von Antwortflächen Sensitivitätsanalyse mit COI Schnelle Systemanalyse durch Erzeugen sehr vieler neuer Datenpunkte Ersetzen des Deterministischen Modelles mit dem Meta-Modell Regression Folie 50

51 Coefficient of Importance COI Coefficient of Importance [9] Bewertet den Einfluss einer Eingangsgröße auf eine Ergebnisgröße, über Antwortflächen. R²: Bestimmtheitsmaß der Antwortfläche R e ²: Bestimmtheitsmaß einer Antwortfläche, bei der der Einfluss der betrachteten Eingangsgröße b e nicht berücksichtigt ist Wenn nicht berücksichtigte Eingangsgröße wichtig war, dann ist R e ² << R² und daher hoher COI. Regression Folie 51

52 COI-Matrix Antwortfläche 2. Ordnung Antwortfläche 3. Ordnung Regression Folie 52

53 COI-Matrix Vorteile der COI-Matrix gegenüber der Korrelationsmatrix zur Sensitivitätsanalyse: 1. Erkennen von nicht monotonen Zusammenhängen Regression Folie 53

54 COI-Matrix r = -0,15 COI = 0,63 (R²=0,79) Regression Folie 54

55 COI-Matrix Vorteile der COI-Matrix gegenüber der Korrelationsmatrix zur Sensitivitätsanalyse: 1. Erkennen von nicht monotonen Zusammenhängen 2. fokussierte Sensitivitätsaussage Regression Folie 55

56 Arbeiten mit Antwortflächen Wann sind Antwortflächen als Meta-Model geeignet? Wenn die Antwortfläche das Systemverhalten gut beschreibt, dazu gibt es folgende Indizien: R² >= 0,8 Approximationsfehler im interessanten Bereich gering graphisch überprüfen Regression Folie 56

57 Arbeiten mit Antwortflächen Sind die Antwortflächen validiert, kann eine neue MCS mit sehr vielen (~10.000) Samples aufgesetzt werden. Die Antwortfläche dient dabei als Berechnungsmodell. Vorteil: Rechengeschwindigkeit ( Samples < 1 Sek) Aus den MCS werden nun der/die beste(n) Samples(s) mit dem deterministischen Modell überprüft. Regression Folie 57

58 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess 300er MCS mit gleichverteilten Eingangsgrößen R² etac etat Tmax pmax min: max: Regression Folie 58

59 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Antwortfläche als Meta-Modell geeignet? Wirkungsgrad R² Leistung Durchschnittl. rel. Fehler 0.26% 0.36% Maximaler rel. Fehler 1.5% 1.8% Untersuchung des Systemverhaltens unter Nutzung des Meta-Modells durch Variation eines einzelnen Parameters und festhalten der übrigen. Modell ist Polynom 3. Ordnung ohne gem. Terme Regression Folie 59

60 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Analyse des Systems im Zentrum R² etac etat Tmax pmax Regression Folie 60

61 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Analyse des Systems im Zentrum R² etac etat Tmax pmax Regression Folie 61

62 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Extrapolation über die Grenzen der Datenbasis R² etac etat Tmax pmax min: max: Außerhalb der Systemgrenzen kann sich das Verhalten der Antwortfläche ungünstig verändern Regression Folie 62

63 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Detailanalyse des Systems am Maximum R² etac etat Tmax pmax min: max: Vorsicht bei Detailinterpretationen an den Systemgrenzen! Regression Folie 63

64 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Detailanalyse des Systems am Maximum Vorsicht bei Detailinterpretationen an den Systemgrenzen! Regression Folie 64

65 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Verbesserung der Approximation am Rand möglich? Durch das Hinzufügen von gemischten Termen wird hier eine sehr gute Approximation im gesamten Untersuchungsraum ermöglicht. Wirkungsgrad Leistung R² 1 1 Maximaler rel. Fehler <0.1% <0.1% Regression Folie 65

66 Arbeiten mit Antwortflächen Beispiel: Triebwerks Kreisprozess Vergleich mit/ohne gemischte Terme: Wirkungsgrad Leistung R² 1 1 Maximaler rel. Fehler <0.1% <0.1% Regression Folie 66

67 Verbessern von Antwortflächen Box-Cox-Transformation [6] Skalierung der y-werte zur besseren Anpassbarkeit der Antwortfläche. Variable s wird so gewählt, dass sich die Summe der Fehlerquadrate weiter reduziert. s = [0,1 2,0] Regression Folie 67

68 Verbessern von Antwortflächen Box-Cox-Transformation Regression Folie 68

69 Zusammenfassung Antwortflächen Antwortflächen sind mathematische Beschreibungen des Systemverhaltens. Sie können genutzt werden, um Sensitivitäten zu detektieren (für R²>0,8) Das deterministische Modell zu ersetzten Das Bestimmtheitsmaß beschreibt die Güte der Antwortfläche, liefert jedoch keine Informationen über den maximalen Fehler Zum Approximationsfehler zwischen den Stützstellen Regression Folie 69

71 Übersicht MCS-LHS 1. Möglichkeiten einer MCS mit optimierten Latin Hypercube Sampling 1. Anwendungsbeispiel Rotorscheibe 1. det. Modell / prob. Modell 2. Monte Carlo Simulation, was ist möglich 1. Eintretens-/Ausfallwahrscheinlichkeit, Häufigkeiten 2. Sensitivitäten 1. Korrelationen 2. COI 3. Robustheit eines Systems 4. Potentielle System Verbesserung Mittelwert und Varianz MCS-LHS Folie 71

72 Anwendungsbeispiel Rotorscheibe Webbreite Flanschbreite Verschiebung Nabe Web Nabenbreite Nabendurchmesser WT FT strukturmechanische Problemstellung, FEM Analyse Eingangsparameter: exemplarisch geometrische Parameter Ergebnisparameter: von Mises Spannung O BD MCS-LHS BT Folie 72

73 Monte Carlo Simulation (MCS) MCS-LHS Folie 73

74 Monte Carlo Simulation (MCS) Anwendung der Monte-Carlo Methoden für probabilistische Untersuchungen unter Verwendung eines optimierten Latin-Hypercube-Samplings. Ergebnisse der prob. Simulation Dichtefunktion der Eingangsgrößen - geschätzt (Industriestandard) Ausfallwahrscheinlichkeiten Detektion von kritischen Orten Sensitivitäten Robustheit System Verbesserung - genau bekannt Benötigte Anzahl an det. Rechnungen Ergebnisse Eine einzige MCS liefert für alle Ergebnisgrößen: MCS-LHS Folie 74

75 Ausfallwahrscheinlichkeit (MCS-LHS) MCS-LHS Folie 75

76 Ausfallwahrscheinlichkeit (MCS-LHS) Versagen Überleben MCS-LHS Folie 76

77 Ausfallwahrscheinlichkeit (MCS-LHS) Versagen Überleben MCS-LHS Folie 77

78 Ausfallwahrscheinlichkeit (MCS-LHS) BT nn ssssmm = 100 Grenze = 770 MPa Max von Mises Spannung klein hoch Simulation 21 3 O MCS-LHS Folie 78

79 Ausfallwahrscheinlichkeit (MCS-LHS) BT nn ssssmm = 100 Grenze = 710 MPa Max von Mises Spannung klein hoch Simulation 21 3 O MCS-LHS Folie 79

80 Überblick Ausfallwahrscheinlichkeit RSM (LHS, DS) (SRS) MCS Importance Sampling, Zuverlässigkeitsverfahren MCS-LHS Folie 80

81 Monte Carlo Simulation (MCS) Anwendung der Monte-Carlo Methoden für probabilistische Untersuchungen unter Verwendung eines optimierten Latin-Hypercube-Samplings. Ergebnisse der prob. Simulation Ausfallwahrscheinlichkeiten Detektion von kritischen Orten Sensitivitäten Robustheit System Verbesserung Dichtefunktion der Eingangsgrößen - geschätzt (Industriestandard) - genau bekannt Benötigte Anzahl an det. Rechnungen Ergebnisse Eine einzige MCS liefert für alle Ergebnisgrößen: MCS-LHS Folie 81

82 Statistische Auswertung Global Globale Statistik für CFD, FEM Simulationen Darstellen der statistischen Werte auf eine Basis Diskretisierung Relative Häufigkeit von Mises Spannung < Grenzwert 1 h = (nn cccccccccc<llllllllll) oooo (nn cccccccccc>llllllllll ) nn ssssss 0 Anwendung von Statistik auf nn ssssss Ergebniswerte pro Knoten für das gesamte Bauteil MCS-LHS Folie 82

83 Monte Carlo Simulation (MCS) Anwendung der Monte-Carlo Methoden für probabilistische Untersuchungen unter Verwendung eines optimierten Latin-Hypercube-Samplings. Ergebnisse der prob. Simulation Ausfallwahrscheinlichkeiten Detektion von kritischen Orten Sensitivitäten Robustheit System Verbesserung Dichtefunktion der Eingangsgrößen - geschätzt (Industriestandard) - genau bekannt Benötigte Anzahl an det. Rechnungen Ergebnisse Eine einzige MCS liefert für alle Ergebnisgrößen: MCS-LHS Folie 83

84 Sensitivitäten Global Globale Bewertung anhand des Rangkorrelationskoeffizienten rr von Mises stress vs. Web Thickness 1 Offset web-bore 0 Bore Thickness -1 MCS-LHS Folie 84

85 Statistische Auswertung Lokal relative frequency max von Mises Spannung O MCS-LHS Folie 85

86 Korrelationsmatrix Lokale Bewertung anhand des Rangkorrelationskoeffizienten rr Von Mises stress stress node 1 WT stress node 2 stress node 3 FT max stress WT O FT BT BD BD BT O MCS-LHS WT FT BT BD O Folie 86

87 Konfidenzintervall Bewertung des Rangkorrelationskoeffizient anhand des Konfidenzintervalls nn ssssss = 50 nn ssssss = 2500 MCS-LHS Folie 87

88 Nichtlineares - nichtmonotones Verhalten Lokale Bewertung von nichtlinearen und nichtmonotonen Verhalten WT max stress FT O BD BT Offset web-bore MCS-LHS Folie 88

89 COI Matrix Lokale Bewertung anhand des Coefficient of Importance (CoI) Von Mises stress WT stress node 1 FT stress node 2 O stress node 3 max stress BD BT R² WT FT BT BD O MCS-LHS Folie 89

91 Robustheit Was ist robustes Design? Ingenieurmäßige Maße - Überschreiten von Grenzwerten - Auftreten von unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen (z.b. lokales Maximum der Ergebnisgröße) - Ansprechen von Systeminstabilitäten (z.b.: Beulen) Statistische Maße - Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen - Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen Notwendige Anzahl an Rechnung bei MCS: o Abhängig von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses o Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen: o Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen: [9] MCS-LHS Folie 91

92 Robustheit Eingangsgrößen Ergebnisgrößen deterministisches Modell zulässige Streubreite MCS-LHS Folie 92

93 Robustheit max stress WT FT BD O BT Toleranzen Offset web-bore min max mean sigma MCS-LHS Folie 93

95 Systemverbesserung (MCS) Verwendung des besten Samples aus der MCS, hinsichtlich der Ergebnisgrößen WT FT von Mises O BD BT Masse MCS-LHS Folie 95

96 Systemverbesserung (Sensitivitäten) Verwendung des Systemverhaltens bzw. der Sensitivitäten WT FT Masse O von Mises BD BT WT FT BT BD O MCS-LHS Folie 96

97 WT FT Systemverbesserung (Antwortflächen) Verwendung von Antwortflächen von Mises Überprüfung des ausgewählten Shots mit dem deterministischen Modell!!! O BD BT Masse MCS-LHS Folie 97

98 Robustes Design MCS-LHS Folie 98

99 Robustes Design MCS-LHS Folie 99

100 Robustes Design (Varianzabschätzung) MCS Spannbreite Fertigungstoleranz Spannbreite Designraum ss 2 = 1 nn 1 (xx ii xx ii )² nn ii=0 MCS-LHS Folie 100

101 Monte Carlo Simulation (MCS) Anwendung der Monte-Carlo Methoden für probabilistische Untersuchungen unter Verwendung eines optimierten Latin-Hypercube-Samplings. Ergebnisse der prob. Simulation Dichtefunktion der Eingangsgrößen - geschätzt (Industriestandard) Ausfallwahrscheinlichkeiten Detektion von kritischen Orten Sensitivitäten Robustheit System Verbesserung - genau bekannt Benötigte Anzahl an det. Rechnungen - nahezu unabhängig von Anzahl der Eingangsgrößen - typisch: n sim = ; minimal: n sim = Eingangsgrößen bessere Konfidenzintervalle mit höherer Anzahl n sim Ergebnisse Eine einzige MCS liefert für alle Ergebnisgrößen: MCS-LHS Folie 101

102 Monte Carlo Simulation (MCS) Vorteile* - Genauigkeit der Ergebnisgrößen nahezu unabhängig von Anzahl der Eingangsgrößen - Betrachtung aller Ergebnisgrößen innerhalb einer MCS - Arbeiten mit deterministischen black box Modellen möglich Nachteile* - Abhängigkeit der Güte der stat. Maße von der Anzahl der Realisierungen nn ssssss * gegenüber anderen probabilistischen Methoden MCS-LHS Folie 102

103 Seminar Probabilistische Methoden in der Anwendung Matthias Voigt André Beschorner Ilko Reuter

104 Alte Mensa N Dining Room 3 way in Dining Room 3 ddcp dc Meal 2 Meal 1 Sushi Pizza Salad self-service Dining Room 2 drinks home-made Pasta Casserole Brat² Pasta drinks Dining Room 4 Non selfservice Salad Wok n Grill veggie Meal 1 Soup ddcp dirty dishes collection point Dining Room 1 ddcp dc

105 Literatur [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Grundlagen Folie 105

106 Literatur [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] Grundlagen Folie 106