Parametrisierte Algorithmen

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1 Parametrisierte Algorithmen Markus Lohrey Martin-Luther Universität Halle-Wittenberg Sommersemester 2006 Folien basieren auf Vorlagen von Jens Gramm und Rolf Niedermeier, Univ. Tübingen Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

2 Gesamtüberblick 1 Einführendes Beispiel: Vertex Cover 2 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung 3 Datenreduktion / Problemkernreduktion 4 Suchbäume 5 Weitere algorithmische Techniken Farbkodierung auf Graphen Induktive Kompression Baumzerlegungen Minorentheorie 6 Parametrisierte Komplexitätstheorie Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

3 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Kapitel 1 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Überblick: Definition Vertex Cover Approximationsalgorithmen für Vertex Cover Exakte Lösung: Ein Suchbaum für Vertex Cover Variationen zu Vertex Cover Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

4 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Definition Vertex Cover Vertex Cover / Knotenüberdeckungsproblem Gegeben: Graph G = (V, E), positive ganze Zahl k. Frage: Existiert eine Knotenüberdeckung der Größe k? Knotenüberdeckung ist Menge C V, sodass jede Kante aus E mindestens einen Endpunkt in C hat. Vertex Cover ist NP-vollständig! Anwendungen: Konfliktauflösung, Überwachungssysteme,... Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

5 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Trivialer Brute-Force Ansatz Sei G = (V,E) ein Graph mit n = V vielen Knoten. Suche nach einem Vertex Cover, indem alle ( n k) vielen Teilmengen der Größe k betrachten werden. Zeitaufwand: ( n k) G O(nk G ) Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

6 Einführendes Beispiel: Vertex Cover 1. Approximationsalgorithmus für Vertex Cover Im folgenden sei G v (v ein Knoten von G) der Graph, der aus G durch Löschen von v und aller an v anliegenden Kanten entsteht. Analog: G U für U eine Menge von Knoten. Greedy -Heuristik C := while (es gibt noch Kanten in G) do nimm einen Knoten v mit größter Anzahl von Nachbarn C := C {v} G := G v endwhile Bemerkung: Für jedes n gibt es einen Graphen G mit n Knoten, so dass das durch die Greedy-Heuristik konstruierte Vertex Cover Größe mindestens ln(n) k hat, falls k die Größe eines kleinsten Vertex Cover ist. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

7 Einführendes Beispiel: Vertex Cover 2. Approximationsalgorithmus für Vertex Cover Trivialer Ansatz C := ; while (es gibt noch Kanten in G) do nimm irgendeine Kante {u, v} von G C = C {u, v} G := G {u, v} endwhile Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

8 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Approximation von Vertex Cover Lemma Obiger Algorithmus ( Trivialer Ansatz ) liefert eine Faktor-2-Approximation für Vertex Cover. Beweis: Seien F die Menge der während des Ablaufs des Algorithmus ausgewählten Kanten. Dann gilt C = {u, v {u, v} F } und keine zwei Kanten aus F haben einen gemeinsamen Knoten, d.h. F = 1 2 C. Jedes Vertex Cover C muss entweder u oder v enthalten (für alle {u, v} F). Also: C 1 2 C, d.h. C 2 C Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

9 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Approximation von Vertex Cover Bemerkungen: Der Trivialer Ansatz ist im wesentlichen der beste bekannte Polynomzeit-Approximationsalgorithmus für Vertex Cover. Lediglich asymptotisch besser: Monien/Speckenmeyer (1985) und Bar-Yehuda/Even (1985) zeigen Approximation mit Faktor ( 2 log log n 2log n Håstad (1997): Kein besserer Approximationsalgorithmus als mit Faktor , es sei denn P = NP. ). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

10 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Exakte Lösung: Suchbaum für Vertex Cover I Konstruiere einen binären Suchbaum der Tiefe k, dessen Knoten mit Paaren (H, S) beschriftet sind: H ist ein Teilgraph von G, S eine Menge von höchstens k vielen Knoten. Erzeuge den Wurzelknoten (G, ). while Blatt (H, S) mit E(H), S < k do wähle beliebige Kante {u, v} E(H). erzeuge für Knoten (H, S) die beiden Kinderknoten (H u, S {u}) und (H v, S {v}) endwhile if Blatt der Form (H, S) mit E(H) = then S ist ein VC der Größe S k else VC der Größe k Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

11 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Suchbaum für Vertex Cover II Der so konstruierte Suchbaum hat höchstens 2 k viele Knoten. Für jeden Knoten verbrauchen wir Zeit O( G ). Satz Vertex Cover kann in Zeit O(2 k G ) gelößt werden, wobei G = Graphgröße. Zentrale Beobachtung: Ist k klein im Vergleich zur Eingabegröße n, so ist obiger parametrisierter Algorithmus effizient. Für k = O(log n) liefert obige Suchbaummethode Polynomzeitalgorithmus. Erhebliche Verbesserung gegenüber O(n k G ) (Brute-Force Ansatz) Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

12 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Suchbaum für Vertex Cover III Verkleinerung der Suchbaumgröße: 1 Kommt ein Knoten v nicht in das Vertex Cover, so müssen alle seine Nachbarn N(v) in das Vertex Cover. 2 Für einen Graphen G, so dass jeder Knoten v Grad d(v) = N(v) 1 hat, kann ein kleinstes Vertex Cover in Polynomialzeit berechnet werden. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

13 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Suchbaum für Vertex Cover IV Erzeuge den Wurzelknoten (G, ) while Blatt (H, S) u V(H) : d(u) 2, S < k do wähle Knoten u V(H) mit d(u) 2 erzeuge für Knoten (H, S) die beiden Kinderknoten (H u, S {u}) und (H N(u), S N(u)) endwhile for every Blatt (H, S) mit S < k oder E(H) = do Berechne (in Zeit H G ) ein kleinstes VC C für H. if C + S k then C S ist VC der Größe k; exit endfor VC der Größe k Übung: Zeigen Sie, dass im obigen Algorithmus die Größe des Suchbaums durch k beschränkt werden kann. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

14 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Variationen zu Vertex Cover I Das Studium parametrisierter Algorithmen kann in verschiedenste Richtungen gehen: Parametrisierungsvarianten Die duale Parametrisierung n k führt zum sogenannten Independent Set Problem... und ermöglicht (wahrscheinlich) keinen effizienten parametrisierten Algorithmus. Beschränkung auf planare Graphen: Vertex Cover Größe beschränkt durch 3n/4 (Vierfarbentheorem für planare Graphen). Parametrisierte Komplexität der Frage, ob ein gegebener planarer Graph ein Vertex Cover der Größe 3n/4 k besitzt, ist offen. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

15 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Variationen zu Vertex Cover II Spezialisierungen Vertex Cover beschränkt auf planare Graphen ist einfacher es gibt parametrisierte Algorithmen mit Laufzeit O(c k + kn) für konstantes c. Verallgemeinerungen Gewichtetes Vertex Cover, Capacitated Vertex Cover. Vertex Cover auf Hypergraphen: Hitting Set Probleme. Zählen und Aufzählen Zähle die Zahl der optimalen Vertex Covers. Zähle alle optimalen Vertex Covers Schritt für Schritt auf. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

16 Einführendes Beispiel: Vertex Cover Variationen zu Vertex Cover III Untere Schranken Kann Vertex Cover in Zeit (1 + ǫ) k n O(1) gelöst werden für beliebiges ǫ > 0 oder gibt es minimalen ǫ-wert? Kann Vertex Cover auf allgemeinen Graphen in Zeit 2 o(k) n O(1) gelöst werden? Implementiere und wende an Effizienz verschiedener Methodiken sowohl auf sequentiellen als auch parallelen Maschinen. Re-Engineering von Fallunterscheidungen bei Suchbaumalgorithmen. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

17 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Kapitel 2 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Überblick: Klassische Komplexitätstheorie P, NP, NP-Vollständigkeit, NP-Härte. Parametrisierte Algorithmen Parametrisierte Probleme Idee Parametrisierter Algorithmen Fixed-Parameter Tractability Beispiele und Anwendungen Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

18 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Klassische Komplexitätstheorie Definition: Die Klasse P Klasse von (Entscheidungs-)Problemen, die in polynomieller Laufzeit von deterministischer Turingmaschine oder RAM gelöst werden. Beispiele: Sortieren von n Elementen: O(n log n). Wortproblem kontextfreier Sprachen mittels des CYK-Algorithmus: O(n 3 ) (Wortlänge n). Matrixmultiplikation für n n-matrizen mittels Standardmethode: O(n 3 ). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

19 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Klassische Komplexitätstheorie Definition: Die Klasse NP Ein Problem gehört zur Klasse NP, wenn es in polynomieller Laufzeit von einer nichtdeterministischen Turingmaschine entschieden werden kann. Beispiele: Alle Probleme aus P, da P Teilmenge von NP ist. Satisfiability: Erfüllbarkeitsproblem für aussagenlogische Formeln in konjunktiver Normalform, kurz Sat. Vertex Cover, Independent Set. Dominating Set. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

20 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Reduktionen, NP-Vollständigkeit Seien K, L Σ zwei Probleme. K ist in Polynomzeit reduzierbar auf L (kurz K p L, genau dann wenn es eine deterministisch in Polynomzeit berechenbare Funktion f : Σ Σ gibt, sodass für alle x Σ gilt: x K f (x) L. Σ = Eingabealphabet, f heißt Reduktionsfunktion. Beispiel: Es gilt: Vertex Cover p Independent Set (und umgekehrt). Definition: NP-vollständige Probleme Ein Problem L ist NP-vollständige, wenn es (i) zu NP gehört, und (ii) jedes andere Problem in NP auf L in Polynomzeit reduziert werden kann. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

21 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung NP-Härte Definition: NP-harte Probleme Wie NP-vollständige Probleme, nur dass nicht gefordert wird, dass das Problem selbst in NP liegen muss. Beispiele: NP-vollständig: Sat, Vertex Cover, Dominating Set,... Aber auch härtere Probleme wie QBF (Quantified Boolean Formula) Gegeben: Eine quantifizierte boolesche Formel, d.h. aussagenlogische Formel, in welcher auch Allquantoren und Existenzquantoren vorkommen können. Frage: Ist diese quantifizierte Boolesche Formel wahr? QBF ist PSPACE-vollständig und deshalb wohl härter / noch schwieriger als NP-vollständige Probleme. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

22 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Polynomielle versus exponentielle Laufzeiten Vergleich zwischen exponentiellen und polynomiellen Laufzeiten: Angaben beziehen sich auf n = 50 und einen Rechner, welcher mit 10 8 Operationen pro Sekunde arbeite. Polynomiell Exponentiell Komplexität Laufzeit Komplexität Laufzeit n 2 25 µsec 1.5 n 6.3 sec n msec 2 n 130 Tage n sec 3 n Jahre Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

23 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Behandlung (NP-) Harter Probleme Ansätze zur Behandlung kombinatorisch schwieriger Probleme: Average Case statt Worst Case analysieren Approximationsalgorithmen Randomisierte Algorithmen Heuristische Verfahren Neue Berechnungsmodelle (DNA- oder Quantum-Computing) Hier: Parametrisierte Algorithmen/ fixed-parameter tractability Grundidee: Versuche den exponentiellen Anteil in der Laufzeit auf kleine Parameter zu beschränken. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

24 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Parametrisierte Probleme Betrachtung parametrisierter Probleme führt quasi zu einer zweidimensionalen Komplexitätstheorie: Definition: Parametrisierte Probleme Ein parametrisiertes Problem ist eine Sprache L Σ Σ. Für (x, k) Σ Σ nennen wir k den Parameter. Hierbei ist Σ ein Eingabealphabet endlicher Größe. Zu entscheiden ist, ob (x, k) L. Hinweis: Meistens betrachten wir parametrisierte Probleme speziell als Untermenge von Σ N. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

25 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Drei (parametrisierte) Graphprobleme Gegeben: Graph G = (V, E) und Parameter k. Problem 1: Vertex Cover Gibt es S V mit S k, sodass jede Kante aus E mindestens einen Endpunkt in S besitzt? Problem 2: Independent Set Gibt es S V mit S k, sodass keine 2 Knoten aus S in G benachbart sind? Problem 3: Dominating Set Gibt es S V mit S k, sodass jeder Knoten aus V \ S mindestens einen Nachbarn aus S besitzt? Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

26 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Triviale Lösungsansätze für die drei Graphprobleme Überprüfe alle Teilmengen S der Knotenmenge mit S = k. Es gibt ( n k) = O(n k ) solche Teilmengen, falls n die Anzahl der Knoten ist. Somit lassen sich alle 3 Graphproblem in Zeit O(n k G ) lösen. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

27 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Leitbild für parametrisierte Algorithmen k n statt k n Kombinatorische Explosion bei exakter Lösung (NP-)harter Probleme auf Parameter k beschränkt statt auf ganze Eingabegröße n = x einwirkend. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

28 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Fixed-Parameter Tractability Zentrale Frage: Welche der parametrisierten Probleme können für einen kleinen Parameterwert (meist k) effizient gelöst werden? Definition: Fixed-Parameter Tractability Ein parametrisiertes Problem L heißt fixed-parameter tractable, wenn in Laufzeit f (k) n c festgestellt werden kann, ob (x, k) L ist. Dabei n := x, c eine Konstante unabhängig von sowohl n als auch k, und f : N R beliebige Funktion. Die Familie aller parametrisierten Probleme, welche fixed-parameter tractable sind, bezeichnen wir mit FPT. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

29 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Beispiele Fixed-Parameter Tractability Alle Probleme aus P, da P Teilmenge von FPT ist. Vertex Cover ist in FPT. Independent Set und Dominating Set beschränkt auf planare Graphen sind in FPT... Clique, Independent Set und Dominating Set für allgemeine Graphen sind sehr wahrscheinlich nicht in FPT. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

30 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Vertex Cover exakt gelöst... Vergleich der Laufzeiten eines Brute Force -Algorithmus mit einem einfachen Suchbaumalgorithmus für Vertex Cover: Betrachte dazu den Quotienten n k /2 k : n = 50 n=150 k= k= k= Natürliches Ziel parametrisierter Algorithmen: Suche Algorithmus mit möglichst kleiner, auf k beschränkter exponentieller Laufzeitkomponente. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

31 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Suchbaumgrößen für Vertex Cover Mitteilung Für Vertex Cover läßt sich die Suchbaumgröße von 2 k bis auf etwa 1.28 k (und noch etwas mehr) verkleinern. Die Verkleinerung von Suchbaumgrößen ist sehr wichtig vergleichen wir obige Größen durch Betrachtung des Quotienten 2 k /1.28 k 1.56 k : k k Kleine Änderungen in exponentieller Basis zeigen große Wirkung! Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

32 Grundlegende Definitionen / Standortbestimmung Kleine Parameter in Anwendungen?! Kleine Parameter k in verschiedensten Anwendungsgebieten, z.b.: Netzwerk-Probleme: Z.B. optimale Positionierung einer kleinen Anzahl von Einrichtungen in einem großen Netzwerk. Logik- und Datenbank-Probleme: Z.B. Eingabe, bestehend aus einer Formel (Anfrage, klein) und einer anderen, großen Struktur (Datenbank). Robotik: Z.B. beschränkte Anzahl von Freiheitsgraden (typischerweise k 10) bei komplexen Bewegungs-/Routen-Planungen. VLSI-Entwurf: Z.B. Layout in der Chip-Produktion: k = beschränkte Anzahl von Verdrahtungsschichten. Typisch: k 30. Compiler Design: Z.B. Typinferenz in Programmen mit Schachtelungstiefe k von Variablendeklarationen. Algorithmische Biologie: Z.B. Untersuchung/Vergleich von DNS-Sequenzen der Länge n für k Spezies. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

33 Datenreduktion / Problemkernreduktion Kapitel 3 Datenreduktion / Problemkernreduktion Überblick: Datenreduktion Beispiel: Datenreduktion beim Satisfiability Problem Reduktion auf einen Problemkern Beispiel: Problemkernreduktion für Maximum Satisfiability Beispiel Vertex Cover: Der Algorithmus von Buss Nochmal Vertex Cover: Das Nemhauser-Trotter-Theorem Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

34 Datenreduktion / Problemkernreduktion Datenreduktion Grundidee Datenreduktion Verkleinere Eingabeinstanz eines harten Problems durch Anwendung einfacher Reduktionsregeln. Eine Reduktionsregel für ein NP-hartes Problem L mit Eingabealphabet Σ ist eine in det. Polynomzeit berechenbare Ersetzung Φ : Σ Σ, sodass für alle x Σ gilt: x L Φ(x) L. Bemerkungen: Datenreduktion bedeutet in der Regel einen Polynomzeit-Vorverarbeitungsschritt (Preprocessing) vor dem eigentlichen (Exponentialzeit-)Lösungsalgorithmus. Datenreduktionsregeln verwenden in der Regel problemspezifische Eigenschaften. Datenreduktion ist von zentraler Bedeutung in der Praxis. Datenreduktion hat häufig heuristischen Charakter. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

35 Datenreduktion / Problemkernreduktion Beispiel: Datenreduktion beim Satisfiability Problem Satisfiability Problem Gegeben: Aussagenlogische Formel F in KNF. Frage: Gibt es eine erfüllende Belegung für F? Drei einfache Reduktionsregeln: 1 Gibt es in F eine Klausel bestehend aus nur einem Literal, so muss die dazugehörige Variable entsprechend belegt werden. 2 Kommt in F eine Variable z.b. ausschliesslich nur nichtnegiert vor, so kann diese Variable immer mit wahr belegt werden. 3 Resolution: Angenommen die Variable x tritt in der Formel nur genau zweimal wie folgt auf: (x F 1 ) (x F 2 ). Ersetze diese beiden Klauseln durch die Klausel (F 1 F 2 ). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

36 Datenreduktion / Problemkernreduktion Reduktion auf einen Problemkern Definition: Problemkern, Problemkernreduktion Sei L ein parametrisiertes Problem mit Eingabeinstanzen (x, k). Eine Ersetzung Φ : (x, k) (x, k ) ist eine Problemkernreduktion, falls gilt: k c k und x g(k) für eine Konstante c und eine beliebige, nur von k abhängige Funktion g, (x, k) L (x, k ) L, und die Ersetzung Φ ist in Zeit polynomiell in x und k berechenbar. Die neue Instanz (x, k ) heißt dann Problemkern. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

37 Datenreduktion / Problemkernreduktion Problemkernreduktion für Maximum Satisfiability I Maximum Satisfiability Gegeben: Aussagenlogische Formel F in KNF, bestehend aus K Klauseln, und positive ganze Zahl k (der Parameter). Frage: Gibt es eine Belegung der Variablen, die mindestens k Klauseln erfüllt? Beobachtung 1: Wenn k K/2, dann hat eine gegebene Instanz eine Lösung durch eine beliebige Variablenbelegung oder ihr bitweises Komplement. Wegen Beobachtung 1 gelte im folgenden ohne Einschränkung, dass k > K/2, also K < 2k. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

38 Datenreduktion / Problemkernreduktion Problemkernreduktion für Maximum Satisfiability II Beobachtung 2: Wenn es k Klauseln in F gibt, von denen jede aus mindestens k Literalen besteht, dann können mindestens k Klauseln aus F erfüllt werden. Unterteile Formel F in F s und F l, d.h. F = F s F l, wobei F s aus allen Klauseln mit weniger als k Literalen und F l aus allen Klauseln mit mindestens k Literalen besteht. Sei L die Zahl der Klauseln in F l. Falls L k, so können wegen Bemerkung 2 indestens k Klauseln erfüllt werden! Gelte also im folgenden L < k. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

39 Datenreduktion / Problemkernreduktion Problemkernreduktion für Maximum Satisfiability III Beobachtung 3: (F s, k L) ist ein Problemkern. F s besteht aus höchstens K L K < 2k Klauseln, von denen jede aus weniger als k Literalen besteht. Damit besteht F s aus weniger als 2k k = 2k 2 Literalen. Wir müssen noch zeigen: Es sind k L Klauseln in F s erfüllbar Es sind k Klauseln in F erfüllbar : klar : Um k L Klauseln in F s zu erfüllen, müssen höchstens k L Variablen belegt werden. Setzt man diese k L Wahrheitswerte in F l ein, so erhält man L Klauseln mit jeweils mindestens k (k L) = L Literalen. Nach Beobachtung 2 sind diese Klauseln alle erfüllbar. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

40 Datenreduktion / Problemkernreduktion Problemkernreduktion für Maximum Satisfiability IV Zusammengefasst: Proposition Maximum Satisfiability besitzt einen Problemkern bestehend aus einer Formel mit O(k 2 ) Literalen, welcher in Linearzeit gefunden werden kann. Bemerkung: In der Praxis benutzte Datenreduktionsregeln liefern häufig keinen Problemkern: Nach Anwendung der Reduktionsregeln ist nicht garantiert, dass die resultierende Probleminstanz Größe g(k) hat. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

41 Datenreduktion / Problemkernreduktion Beispiel Vertex Cover: Der Algorithmus von Buss 1 H := {v V(G) d(v) > k}; if H > k then VC der Größe k; exit else Lösche alle Knoten in H aus G; k := k H ; Lösche alle isolierten Knoten fi 2 if (resultierender Graph hat mehr als k k Kanten) then VC der Größe k; exit; 3 Wende Suchbaumalgorithmus für VC auf verbleibenden Graph mit Parameterwert k an Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

42 Datenreduktion / Problemkernreduktion Korrektheit des Algorithmus von Buss Zentrale Idee Ein Knoten mit mehr als k Nachbarn muss stets Bestandteil des Vertex Covers (VC) der Größe k sein. Schritt 1: Alle Knoten mit mehr als k Nachbarn werden ins VC aufgenommen und es verbleiben k Knoten, die noch zum gesuchten VC hinzugenommen werden dürfen. Schritt 2: Im verbleibenden Graph kann jeder Knoten maximal je k Nachbarn besitzen. Also sind mit k Knoten noch maximal k k Kanten abdeckbar. Schritt 3 Es liegt jetzt ein Graph zugrunde, welcher maximal k k k 2 Kanten besitzt. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

43 Datenreduktion / Problemkernreduktion Zeitkomplexität des Algorithmus von Buss Zeitkomplexität des Algorithmus von Buss ist wobei G = (V,E). O( G + 2 k k 2 ), Term G entspricht Zeitkomplexität der Schritte 1 und 2. Term 2 k k 2 entspricht der Komplexität unseres trivialen Suchbaumalgorithmus aus Kapitel 1 zur Suche eines VC der Größe k k, angewandt auf den verbleibenden Restgraph mit maximal k 2 Kanten. Zusammengefasst: Proposition Vertex Cover kann in Zeit O( G + 2 k k 2 ) gelöst werden. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

44 Datenreduktion / Problemkernreduktion Das Nemhauser-Trotter-Theorem Satz (NT-Theorem) Gegeben sei ein Graph G = (V,E) mit n = V Knoten und m = E Kanten. Dann lassen sich in Zeit O( n m) zwei disjunkte Mengen C 0, V 0 V berechnen, die folgende Eigenschaften erfüllen: (i) Falls eine Menge D V 0 ein Vertex Cover für den durch V 0 induzierten Teilgraphen G[V 0 ] von G ist, so ist C := D C 0 ein Vertex Cover von G. (ii) Es gibt ein optimales Vertex Cover C von G mit C 0 C. (iii) Ein optimales Vertex Cover von G[V 0 ] hat mindestens V 0 /2 viele Knoten. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

45 Datenreduktion / Problemkernreduktion Das Nemhauser-Trotter-Theorem Folgerung 1 Seien C 0 und V 0 die Knotenmengen aus dem NT-Theorem. Dann gilt: D V 0 ist opt. VC für G[V 0 ] D C 0 ist opt. VC für G. Beweis: Sei D V 0 ein optimales VC für G[V 0 ]. (i) aus dem NT-Theorem D C 0 ist ein VC für G. Sei C ein optimales VC von G mit C 0 C (existiert nach (ii) aus NT-Theorem). Sei U := C \ C 0. C 0 V 0 = U V 0 ist VC von G[V 0 ] U D. C = C 0 + U C 0 + D = D C 0 Also: D C 0 ist optimales VC von G. Folgerung 2 G hat ein VC der Größe k ( V 0 2k und G[V 0 ] hat ein VC der Größe k C 0 ). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

46 Datenreduktion / Problemkernreduktion Anwendung des NT-Theorems (Datenreduktion) Satz Sei (G, k) eine Eingabeinstanz von Vertex Cover. Dann lässt sich in Zeit O( G + k 3 ) ein Problemkern (G, k ) mit V(G ) 2k und k k berechnen. Beweis: Schritt 1: Wende auf (G, k) den Algorithmus von Buss an. Probleminstanz (G, k ) mit V(G ) 2k 2, E(G ) k 2, k k, welche in Zeit O( G ) berechnet werden kann. Schritt 2: Wende Folgerung 2 des NT-Theorems auf G an. Probleminstanz (G, k ) mit V(G ) 2k 2k und k k k, welche in Zeit O( V(G ) E(G ) ) O(k 3 ) berechnet werden kann. Bemerkung: Könnte man einen Problemkern kleiner als 2k finden, so könnte man auch trivialerweise das Vertex Cover mit einem Faktor besser als 2 approximieren ein lange offenes Problem. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

47 Datenreduktion / Problemkernreduktion NT-Theorem: Berechnung von C 0 und V 0 Sei V := {v v V } eine Kopie von V, V V =. Algorithmus zur Berechnung von C 0 und V 0 : Eingabe: G = (V,E). Phase 1: Definiere bipartiten Graph (*) B = (V V, E B ) mit Kantenmenge E B := {{x, y } {x, y} E}. Phase 2: Berechne optimales Vertex Cover C B von B (**). Ausgabe: C 0 := {x V x C B AND x C B } V V 0 := {x V x C B XOR x C B } V Ausserdem definiere (für folgenden Korrektheitsbeweis) I 0 := {x x / C B AND x / C B } = V \ (V 0 C 0 ). Ergebnis: (G[V 0 ], k C 0 ) ist Problemkern der Eingabeinstanz. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

48 Datenreduktion / Problemkernreduktion Maximum Matching in bipartiten Graphen (*) Ein bipartiter Graph ist ein Graph, dessen Knoten in zwei Mengen V l und V r aufgeteilt werden können, sodass Kanten ausschließlich zwischen V l und V r laufen. (**) Vertex Cover in bipartiten Graphen kann über ein Maximum Matching berechnet werden: Ein Maximum Matching eines Graphen G = (V,E) ist eine Menge von Kanten E E, sodass keine zwei Kanten aus E einen gemeinsamen Endpunkt haben und E von maximaler Größe ist. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

49 Datenreduktion / Problemkernreduktion Maximum Matching in bipartiten Graphen Satz von König Sei G bipartit. Die Größe eines Maximum Matching von G ist gleich der Größe eines optimalen Vertex Cover von G. Satz (Hopcroft, Karp) Ein Maximum Matching eines bipartiten Graphen kann in Zeit O( V E ) berechnet werden. Folgerung Ein optimales Vertex Cover eines bipartiten Graphen kann in Zeit O( V E ) berechnet werden. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

50 Datenreduktion / Problemkernreduktion NT-Theorem: Korrektheit I NT-Theorem Teil (i) Falls eine Menge D V 0 ein Vertex Cover für den durch V 0 induzierten Teilgraphen G[V 0 ] von G ist, so ist C := D C 0 ein Vertex Cover von G = (V,E). Für {x, y} E ist zu zeigen, dass x C oder y C. Fall 1: x I 0, d.h. x, x / C B. y, y C B y C 0 C. Fall 2: y I 0. Analog zu Fall 1. Fall 3: x C 0 oder y C 0. Trivial. Fall 4: x, y V 0. Dann gilt x D C oder y D C. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

51 Datenreduktion / Problemkernreduktion NT-Theorem: Korrektheit II NT-Theorem Teil (ii) opt. Vertex Cover C von G mit C 0 C. Sei S V ein optimales Vertex Cover von G. Sei S V := S V 0 (ist ein Vertex Cover von G[V 0 ]), S C := S C 0, S I := S I 0 und S I := I 0 \ S I. Beachte: S = S V S C S I und S = S V + S C + S I. Zwischenbehauptung 1: C B := (V \ S I ) S C ist ein VC von B. Beweis von Zwischenbehauptung 1: Sei {x, y } E B. Es ist zu zeigen, dass x C B oder y C B. Fall 1: x / S I. Dann ist x C B gemäß Definition von C B. Fall 2: x S I, d.h. x I 0 und x S I = S I 0. x C B und x C B und x S Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

52 Datenreduktion / Problemkernreduktion NT-Theorem: Korrektheit III y, y C B (d.h. y C 0 ) und y S (da {x, y} E) y S C 0 = S C, d.h. y S C C B. Zwischenbehauptung 2: C 0 S \ S V. Beweis von Zwischenbehauptung 2: V C 0 = V 0 C 0 C 0 = C B [Def. von V 0 und C 0 ] C B [Zwischenbeh. 1 & Optimalität von C B ] = V \ S I + S C = V 0 C 0 S I + S C = V 0 + C 0 + S I + S C C 0 S I + S C = S I + S C + S V S V = S S V = S \ S V. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

53 Datenreduktion / Problemkernreduktion NT-Theorem: Korrektheit IV Sei nun C = C 0 S V. Da S V ein Vertex Cover von G[V 0 ] ist, ist C ein Vertex Cover von G (nach (i) des NT-Theorems). Aus Zwischenbehauptung 2 folgt außerdem C = C 0 + S V S \ S V + S V = S = Größe eines optimalen VC von G. Also ist C ein optimales Vertex Cover von G mit C 0 C. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

54 Datenreduktion / Problemkernreduktion NT-Theorem: Korrektheit V NT-Theorem Teil (iii) Ein optimales Vertex Cover von G[V 0 ] hat V 0 /2 viele Knoten. Sei S 0 optimales Vertex Cover von G[V 0 ]. Gemäß (i) gilt, dass C 0 S 0 ein Vertex Cover von G ist. Gemäß Definition von B ist damit C 0 C 0 S 0 S 0 ein Vertex Cover von B. Also: V C 0 = C B [Def. von V 0 und C 0 ] C 0 C 0 S 0 S 0 [C B optimal] = 2 C S 0. Hiermit folgt V 0 2 S 0. Ende des Beweises des NT-Theorems. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

55 Datenreduktion / Problemkernreduktion Schlechtes Beispiel: Vor NT Anwendung Number of nodes of the Vertex Cover of the original graph: 559 Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

56 Datenreduktion / Problemkernreduktion Schlechtes Beispiel: Nach NT Anwendung Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

57 Datenreduktion / Problemkernreduktion Gutes Beispiel: Vor NT Anwendung Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

58 Datenreduktion / Problemkernreduktion Gutes Beispiel: Nach NT Anwendung Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

59 Datenreduktion / Problemkernreduktion Schlussbemerkungen zu Problemkernen Folgende theoretischen Aussagen können zu Problemkernen gemacht werden: Jedes entscheidbare parametrisiertes Problem mit einem Problemkern ist in FPT: Berechne den Problemkern und löse darauf das Problem durch brute force. Jedes parametrisierte Problem in FPT hat einen Problemkern, wie das folgende Resultat zeigt. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

60 Datenreduktion / Problemkernreduktion Schlussbemerkungen zu Problemkernen Satz Jedes parametrisierte Problem in FPT hat einen Problemkern. Beweis: Sei L ein parametrisiertes Problem in FPT, das durch Algorithmus A in Laufzeit f (k) n c gelöst werden kann. Ein Problemkern kann dann wie folgt berechnet werden. Lasse Algorithmus A auf einer gegebenen Eingabe (x, k) mit n = x genau n n c = n c+1 Schritte lang laufen. Fall 1: Algorithmus A terminiert innerhalb der n c+1 Schritte. Dann gib als Problemkern eine triviale Ja - oder Nein -Instanz aus. Fall 2: Algorithmus A terminiert nicht innerhalb der n c+1 Schritte. Dann gilt, dass n f (k). Gib deshalb die Eingabe als Problemkern der Größe f (k) aus. Ergebnis: Das Problem hat einen Problemkern der Größe f (k), der in polynomieller Laufzeit n c+1 berechnet werden kann. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

61 Suchbäume Kapitel 4 Suchbäume Überblick: Beispiele anhand folgender Probleme: 3-Hitting Set Independent Set auf planeren Graphen Dominating Set auf planeren Graphen Closest String Analyse von Suchbaumgrößen Verkleinerter Suchbaum für Vertex Cover Verflechtung von Datenreduktion mit Suchbäumen Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

62 Suchbäume Tiefenbeschränkte Suchbäume Grundidee Finde (in polynomieller Zeit) kleine Teilmenge der Eingabe, sodass mindestens ein Element dieser Teilmenge in einer optimalen Lösung des Problems liegen muss. Beispiel: Vertex Cover: Teilmenge = Kante, denn einer der beiden Endknoten der Kante muss im optimalen Vertex Cover liegen (vgl. 2 k -Suchbaum aus Einführungskapitel). Die Suchbaumtiefe wird in der Regel durch den Parameterwert beschränkt. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

63 Suchbäume Suchbaum für 3-Hitting Set 3-Hitting Set Gegeben: Menge C von dreielementigen Teilmengen einer Menge S und k N. Frage: Enthält S eine 3-Hitting Set für C der Größe k, d.h. S S, S k, sodass S mindestens ein Element aus jeder der Mengen in C enthält? Lösung analog zu Vertex Cover: Wähle beliebiges {u, v, w} C. Einer der drei Knoten u, v, oder w muss zu jedem Hitting Set gehören. Verzweigung in jeweils drei Möglichkeiten. Suchbaum der Größe O(3 k ). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

64 Suchbäume Independent Set auf planaren Graphen I Independent Set Gegeben: Planarer Graph G = (V,E) und k N. Frage: Gibt es S V mit S k, sodass keine 2 Knoten aus S in G benachbart? Eulerformel für planare Graphen: Sei G = (V,E) ein zusammenhängender planarer Graph und sei f die Zahl der durch Kanten begrenzten Flächen (Facetten). Dann gilt: V E + f = 2. Folgerung aus Eulerformel (Übung) Jeder planare Graph hat einen Knoten v mit d(v) 5. Sei v ein Knoten von minimalen Grad in G. Dann gilt {v} N(v) 6. Einer der höchstens 6 Knoten in {v} N(v) gehört zu jeder größten unabhängigen Menge! Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

65 Suchbäume Independent Set auf planaren Graphen II Proposition Independent Set auf planaren Graphen kann in O(6 k n) Zeit gelöst werden, wobei n die Zahl der Graphknoten ist. Beweis: Sei d(v) 5. Wähle einen Knoten u {v} N(v) aus und nimm u in die unabhängige Menge auf (6 Möglichkeiten). Entferne {u} N(u) aus dem Graphen, und suche im resultierenden Graphen nach einer unabhängigen Teilmenge der Größe k 1, Suchbaum der Größe O(6 k ) Aber: Es ist bekannt, dass Independent Set auf allgemeinen Graphen in O(1.21 n ) Zeit gelöst werden kann. Andererseits wissen wir mit dem Vierfarbensatz für planare Graphen, dass eigentlich nur der Fall k > n/4 von Interesse ist. Für k > n/4 ist aber 6 k > 1.56 n > 1.21 n und damit obiger Algorithmus eigentlich wertlos. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

66 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen I Dominating Set auf planaren Graphen Gegeben: Planarer Graph G = (V,E), positive ganze Zahl k. Frage: Gibt es S V mit S k und S N(S) = V? Selbe Grundidee wie vorher bei Independent Set anwendbar? Nein! Problem: Wenn ein Knoten u aus V entfernt wird, dürfen die Nachbarn N(u) von u nicht entfernt werden. Wir müssen uns jedoch merken, dass die Knoten in N(u) nun dominiert sind (nämlich von u). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

67 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen II Ausweg aus geschilderter Problematik: Übergang zu einer Variante des Dominating Set Problems: Annotated Dominating Set auf planaren Graphen Gegeben: Planarer Graph G = (B W, E), (B ist die Menge der schwarz gefärbten Knoten, W ist die Menge der weiß gefärbten Knoten), Zahl k N. Frage: Gibt es S B W mit S k und B S N(S)? Ein S V mit B S N(S) wird im Folgenden als Annotated Dominating Set bezeichnet. Suchbaumidee: Suchbaumverzweigungen lediglich bzgl. schwarzer Knoten (Knotenmenge B) durchführen... Zentrale Frage: Was lässt sich für den minimalen Knotengrad schwarzer Knoten garantieren? Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

68 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen III In planaren Graphen mit Schwarz-Weiß-Färbung gilt die Gradschranke 5 für schwarze Knoten nicht mehr: Betrachte z.b. Sterngraph mit einem schwarzen Knoten, der mit beliebig vielen weißen Knoten verbunden ist. Daher werden nachfolgend einige Reduktionsregeln angegeben, die solche pathologischen Fälle ausschließen und es ermöglichen, den Minimalgrad schwarzer Knoten von oben zu beschränken. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

69 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen IV Reduktionsregeln zur Lösung von Annotated Dominating Set: 1 Lösche Kanten zwischen weißen Knoten. 2 Lösche weiße Knoten vom Grad 1. 3 Sei u ein weißer Knoten vom Grad 2 mit den zwei schwarzen Nachbarn v 1 und v 2 : Falls v 1 und v 2 mit einer Kante verbunden sind, so lösche u. Falls v 1 und v 2 beide zu einem vierten Knoten v 3 verbunden sind, so lösche u. 4 Sei u ein weißer Knoten vom Grad 3 mit den drei schwarzen Nachbarn v 1, v 2, v 3. Falls es die Kanten {v 1, v 2 } und {v 2, v 3 } gibt, so lösche u. Korrektheit: Übung Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

70 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen V Ein schwarz-weiß-gefärbter Graph, auf den keine der obigen Regeln mehr anwendbar ist, heiße reduziert. Beispiel: Folgender Graph ist reduziert. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

71 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen VI Mit etwas Mühe lässt sich folgendes Lemma beweisen: Lemma Mit Hilfe vorangehender Reduktionsregeln lässt sich in Linearzeit ein reduzierter Graph berechnen. Die zentrale technische Aussage ist nun folgende: Lemma Jeder reduzierte, schwarz-weiß-gefärbte planare Graph hat einen schwarzen Knoten v mit d(v) 7. Der sehr aufwändige Beweis basiert wesentlich auf der Euler-Formel. Bemerkung: Vorangehender, reduzierter Beispielgraph hat Grad sieben für alle schwarzen Knoten! Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

72 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen VII Satz (Annotated) Dominating Set auf planaren Graphen kann in O(8 k n) Zeit gelöst werden, wobei n die Zahl der Graphknoten ist. Beweis: Nach vorangehenden Lemmas kann ein reduzierter Graph mit mindestens einem schwarzen Knoten v mit d(v) 7 in O(n) Zeit berechnet werden. Wähle einen Knoten u {v} N(v) aus (8 Möglichkeiten) und nimm u in das Annotated Dominating Set auf. Färbe alle Knoten in N(u) weiß und entferne u aus dem Graphen. Suche im resultierenden Graphen nach einem Annotated Dominating Set der Größe k 1. Suchbaum der Größe O(8 k ). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

73 Suchbäume Dominating Set auf planaren Graphen VIII Mitteilung Dominating Set auf planaren Graphen hat einen Problemkern bestehend aus O(k) Knoten, der in Zeit O(n 3 ) berechnet werden kann. Korollar Dominating Set auf planaren Graphen kann in O(8 k k + n 3 ) Zeit gelöst werden, wobei n die Zahl der Graphknoten ist. Beweis: Wende die Problemkernreduktion für Dominating Set auf planaren Graphen an. Auf diesen Graph wende nun vorangehenden Satz an. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

74 Closest String I Suchbäume Closest String Gegeben: m Zeichenketten s 1, s 2,...,s m über Alphabet Σ, s i = L für 1 i m, und d N. Frage: Gibt es Zeichenkette s mit s = L derart, dass Hamming-Abstand d H (s, s i ) d für alle i? Der Hamming-Abstand d H (s, t) zweier Zeichenketten s und t der gleichen Länge L ist definiert als {p s[p] t[p], 1 p L }, wobei s[p] den Buchstaben an der p-ten Position der Zeichenkette s bezeichnet. Closest String ist NP-vollständig. Parameter (hier): Der maximale Hammingabstand d. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

75 Closest String II Suchbäume Anwendung im Primer-Design:...GGTGAG...GGTGGA...GGCGAG...GGCGAG...GGCAAG closest string : primer candidate : ATCTATAGAAGT TGAATGC... ATCTACAGTAAC GGATTGT... ATCTACAGAAGT GGAATGC... ATCTATAGAGAT GGAATGC... ATCTATAGAAGT GGAATGC... ATCTACAGAAAT TAGATGTCTTTA Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

76 Closest String III Suchbäume Lemma Falls für s 1, s 2,...,s m gilt, dass i, j {1,...,m } mit d H (s i, s j ) > 2d, so gibt es kein s mit max i=1,...,m d H (s, s i ) d. Beweis: Hammingabstand erfüllt Dreiecksungleichung. Also gilt für alle s: d H (s, s i ) + d H (s, s j ) d H (s i, s j ) > 2d d H (s, s i ) > d oder d H (s, s j ) > d (oder beides) keine Lösung! Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

77 Closest String IV Suchbäume Algorithmus für Closest String benutzt rek. Funktion CSd(s, d): Globale Variablen: s 1, s 2,...,s m und d N. Eingabe: Kandidatenzeichenkette s und d N. Ausgabe: Zeichenkette ŝ mit max i=1,...,m d H (ŝ, s i ) d und d H (ŝ, s) d falls existent, nicht möglich sonst. if d = 0 then if d H (s, s i ) > d für ein i {1,...m} then return nicht möglich else (d H (s, s i ) d für alle i = 1,...,m) return s; else ( d > 0) Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

78 Closest String V Suchbäume if d H (s, s i ) d für alle i = 1,...,m then return s else wähle beliebiges i {1,...,m}, sodass d H (s, s i ) > d; (a) P := { p s[p] s i [p] }; ( P > d) (b) wähle beliebiges P P mit P = d + 1; (c) for all p P do s := s; s [p] := s i [p]; (beachte: d H (s, s ) = 1) (d) s ret := CSd(s, d 1); if s ret nicht möglich then return s ret endfor return nicht möglich endif endif Um Closest String zu lösen, rufen wir CSd(s 1, d) auf. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

79 Closest String VI Suchbäume Satz Closest String kann in O(m L + m 2 d d+1 ) Zeit gelöst werden. Beweis: Wir zeigen: Der Aufruf CSd(s, d) findet einen String ŝ mit max i=1,...,m d H (ŝ, s i ) d und d H (ŝ, s) d falls existent. Korrektheit: Wenn der Aufruf CSd(s, d) einen String ŝ ausgibt, so muss für diesen max i=1,...,m d H (ŝ, s i ) d und d H (ŝ, s) d gelten (Beweis durch Induktion über d). Noch zu zeigen: Sei ŝ eine String mit max i=1,...,m d H (ŝ, s i ) d und d H (ŝ, s) d. Dann findet der Aufruf CSd(s, d) diesen String (oder liefert vorher einen anderen String mit der gewünschten Eigenschaft zurück). Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

80 Closest String VII Suchbäume O.B.d.A. sei d > 0 und d H (s, s i ) > d für ein i {1,...m}. Sei s i der in Zeile (a) ausgewählte String, d.h d H (s, s i ) > d Betrachte P := { p s[p] s i [p] } aus Zeile (b). Aus P werden d + 1 Kandidatenpositionen P in Zeile (c) beliebig ausgewählt. Sei P 1 := { p s[p] s i [p] und ŝ[p] = s i [p] }. P 2 := { p s[p] s i [p] und ŝ[p] s i [p] }. Es gilt P = P 1 P 2. Da d H (ŝ, s i ) d, muss P 2 d gelten. Wegen P = d + 1 muss ein p P P 1 existieren. Die Position p ergibt in Zeile (d) einen Kandidaten s, mit d H (s, ŝ) = d H (s, ŝ) 1 d 1. Nach Induktion wird somit ŝ im rekursiven Aufruf CSd(s, d 1) gefunden. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

81 Closest String VIII Suchbäume Laufzeit: Suchbaumtiefe: d; Verzweigungsgrad: d + 1 Suchbaumgröße O((d + 1) d ) = O(d d ). Zudem kann ein Problemkern der Größe m 2 d in O(m L) Schritten berechnet werden (vgl. Übungen). Je Suchbaumknoten ist der Zeitaufwand also O(m 2 d). Insgesamt erhalten wir somit Laufzeit O(m L + m 2 d d d ). Nachbemerkung: Für optimales d können alle (optimalen) Lösungen in gleicher Laufzeit gefunden werden. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

82 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen I Bisher: Sehr einfache, regelmäßige Verzweigungsstrategie bei Suchbäumen. Einfache mathematische Abschätzung der Suchbaumgrößen. Im Folgenden: Kompliziertere Verzweigungsstrategien und deswegen Abschätzung der Suchbaumgrößen nicht mehr so einfach! Mathematisches Hilfsmittel: Rekursionsgleichungen Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

83 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen II Grundidee Umsetzung der rekursiven Struktur von Suchbaumalgorithmen in Rekursionsgleichungen. Homogene, lineare Rek.gleichungen mit konst. Koeffizienten. Beispiel: Trivialer 2 k -Suchbaum für Vertex Cover Rekursionsgleichung für Baumgröße T i : T i = 1 + T i 1 + T i 1, T 0 = 1. Zur Vereinfachung nur Abschätzung der Blattanzahl: Lösung 2 i (klar!) B i = B i 1 + B i 1, B 0 = 1. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

84 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen III Allgemeiner Fall: Lineare homogene Rekursionsgleichung B i = B i d1 + B i d B i dr mit konstanten Werten für B 0,...,B d 1 wobei d = max{d 1, d 2,...,d r }. D. h. die Lösung eines Problems der Größe i wird zurückgeführt auf die Lösungen von Problemen der Größen i d 1,...,i d r. Beispiel: Suchbaum für Vertex Cover von Aufgabenblatt 1: B i = B i 1 + B i 3. Suchbaum der Größe O(1.47 k ) Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

85 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen IV Definitionen aufbauend auf Rekursionsgleichung B i = B i d1 + B i d B i dr : Verzweigungsvektor (d 1, d 2,...d r ) charakterisiert obige Rekursionsgleichung eindeutig. Gesucht: Verzweigungszahl α, so dass B i = O(α i ). Charakteristisches Polynom z d z d d 1 z d d 2... z d dr, wobei d := max{ d 1,...,d r }, dient zur Lösung der Rekursionsgleichung. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

86 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen V Für Rekursionsgleichungen wie angegeben gilt folgendes: Mitteilung Sei α die (eindeutige!) positive reelle Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Rekursionsgleichung. Dann ist α die Verzweigungszahl der Rekursionsgleichung. Folge: Unsere Rekursionsgleichungen lassen sich durch Nullstellenbestimmung des charakteristischen Polynoms lösen. Numerisch kann das z. B. mit dem Newton-Verfahren geschehen, um beliebig genaue Abschätzungen für α zu erhalten. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

87 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen VI Bemerkungen: Häufig treten in Suchbaumalgorithmen mehrere Verzweigungsfälle im Suchbaum auf. Berechne für jeden Fall zugehörigen Verzweigungsvektor; größte erhaltene Verzweigungszahl liefert Worst-Case-Schranke für Suchbaumgröße. Vorangehender Punkt macht klar: In der praktischen Anwendung kann Suchbaum noch deutlich kleiner sein, als es die theoretische Worst-Case-Schranke vorgibt. Weitere heuristische (also nicht oder nur schwer analysierbare) Techniken ergeben häufig eine weitere Suchbaumverkleinerung. Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

88 Suchbäume Analyse von Suchbaumgrößen IX Beispiele: Verzweigungsvektoren und Verzweigungszahlen errechnete Basis der Baumgröße Verzweigungsvektor Verzweigungsvektor errechnete Basis der Baumgröße (1,1) 2.0 (1,1,1) 3.0 (1,2) (1,1,2) (1,3) (1,1,3) (1,4) (1,1,4) (2,1) (1,2,1) (2,2) (1,2,2) 2.0 (2,3) (1,2,3) (2,4) (1,2,4) Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

89 Suchbäume Verkleinerter Suchbaum für Vertex Cover I Grundidee Deutlich komplexere Fallunterscheidung basierend auf Knotengrad. Wichtiger Hinweis: Hier und i.a. auch sonst ist die Reihenfolge der betrachteten Fälle essentiell! (So lässt sich in einem späteren Fall ausnützen, dass eine in einem früheren Fall abgehandelte Situation nicht auftreten kann.) Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

90 Suchbäume Verkleinerter Suchbaum für Vertex Cover II Erweiterte rekursive Prozedur für Vertex Cover: Procedure VC(G, k) Eingabe: Graph G = (V,E) und positive ganze Zahl k. Ausgabe: ein kleinstmögliches Vertex Cover V V für G, falls für dieses 0 V k gilt, falls es kein solches V gibt. Vorgehen: if (E = ) then return ; if (E und k = 0) then return ; Entferne isolierte Knoten aus G; Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207

91 Suchbäume Verkleinerter Suchbaum für Vertex Cover III Erweiterte rekursive Prozedur für Vertex Cover (Fortsetzung): /* Um sicherzustellen, dass G im Weiteren zusammenhängend */ if (G nicht zusammenhängend und G 1 Zusammenhangskomponente von G) then if (G 1 hat kleinstmgl. Vertex Cover V 1 der Größe 4) then V 2 :=VC(G \ G 1, k V 1 ); else V 1 :=VC(G 1, k 1); V 2 :=VC(G \ G 1, k 5); /* ergibt Verzweigungsvektor (1,5) */ end if; if (V 1 und V 2 und V 1 V 2 k) then return V 1 V 2 else return end if; end if; Markus Lohrey (Univ. Halle-Wittenberg) Parametrisierte Algorithmen Sommersemester / 207