Flächenberechnung im Trapez

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1 Flächenberechnung im Trapez Das Trapez im Lehrplan Jahrgangsstufe 6 M 6.8 Achsenspiegelung (ca. 15 Std) Fundamentalsätze (umkehrbar eindeutige Zuordnungen, Geradentreue, Winkeltreue, Kreistreue), Abbildungsvorschrift Eigenschaften von Ur- und Bildfigur... Fundamentalkonstruktionen... achsensymmetrische Figuren; Eigenschaften von achsensymmetrischen Dreiecken und Vierecken einfache geometrische Figuren zeichnen Jahrgangsstufe 8 / I M I 8.7 Dreiecke und Vierecke (ca. 28 Std) Beziehungen zwischen den Seitenlängen bzw. zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen im Dreieck Konstruierbarkeit von Dreiecken; Kongruenzsätze Aufbau von kongruenz- und abbildungsgeometrischen Beweisen Symmetrische und nicht symmetrische Vierecke; Eigenschaften achsensymmetrischer und punktsymmetrischer Vierecke Umkreis und Inkreis von Vierecken Begründungen mithilfe von Konkruenzsätzen, Abbildungen und Vektoren Jahrgangsstufe 8 II / III M 8.5 Dreiecke und Vierecke (ca. 20 Std) Beziehungen zwischen den Seitenlängen bzw. zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen im Dreieck Konstruierbarkeit und Konstruktion von Dreiecken; Kongruenzsätze Symmetrische und nicht symmetrische Vierecke; Eigenschaften achsensymmetrischer und punktsymmetrischer Vierecke Umkreis und Inkreis von Vierecken Begründungen mithilfe von Konkruenzsätzen und Vektoren

2 Jahrgangsstufe 9 I M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std) Die S vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen. Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhen in Dreieck, Parallelogramm, Trapez Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Drachenviereck Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen und Extremwerte berechnen Jahrgangsstufe 9 II / III M 9.5 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 12 Std) Inhalt wie in Zweig I Fazit: Während der Begriff Trapez schon in der 6. bzw. 8. Jahrgangsstufe eingeführt werden kann bei Eigenschaften achsensymmetrischer Vierecke (6. Klasse) oder bei symmetrische und nicht symmetrische Vierecke (8. Klasse) -, wird die Flächenberechnung im Trapez nur in der 9. Jahrgangsstufe behandelt.

3 Möglichkeiten zur Herleitung der Flächenformel 1 Punktspieglung an der Mitte einer nichtparallelen Seite Diese Herleitung der Trapezflächenformel baut auf Kenntnissen zu Punktspiegelung und Flächenformel des Parallelogramms auf (allgemein) Ein beliebiges Trapez ABCD wird an der Seitenmitte M einer nicht-parallelen Seite punktgespiegelt. Das dadurch entstandene Parallelogramm hat den doppelten Flächeninhalt gegenüber dem ursprünglichen Trapez, da es ja aus dem (Ur-)Trapez und dem gespiegelten Trapez zusammengesetzt ist. trapez1.gxt geg.: Höhe h, Seitenlängen a und c Beweis: a = a, c =c (Punktsymmetrie) A trapez = 0,5 * A parallelogramm = 0,5 * [h * (a+c )] = 0,5 * [h * (a+c)]

4 2 Zerlegung in ein Rechteck und zwei Dreiecke Aufbauend auf Kenntnissen zu Flächenzerlegung und Flächenberechnung bei Dreiecken und Rechtecken. Ein Trapez ABCD wird in zwei Dreiecke und ein Viereck zerlegt. Danach wird die Trapezformel aus den drei Teilflächenformeln hergeleitet. trapez2.gxt geg.: h, a, c, x, y Beweis: A trapez = A rechteck + A dreieck1 + A dreieck2 1.Fall: x und y auf a: = (a-x-y) * h + 0,5 * x * h + 0,5 * y * h = h * ((a-x-y) + 0,5 * x + 0,5 * y) = h * 0,5 * (x + 2(a-x-y) + y) a-x-y = c = h * (x +a x + c - y+ y)/2 2.Fall(x und y auf c): analog zu 1. Fall 3.Fall(x=>a, y=>c): = (a x) * h + 0,5 * x * h + 0,5 + y * h = 0,5 * ( 2 * (a x) + x + y) * h a x = c - y = 0,5 * (a x + x + c y + y) * h = 0,5 * (a + c) * h

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6 3 Umwandlung des Trapezes durch Scherung in ein Dreieck Diese Herleitung der Trapezflächenformel baut auf Kenntnissen zur Scherung auf: Scherungen sind flächentreu. Als kleiner Schönheitsfehler ist anzumerken, dass die Scherung im Gegensatz zur Trapezflächenformel nicht in der neunten, sondern erst in der zehnten Jahrgangsstufe behandelt wird. In ein beliebiges Trapez ABCD wird eine Diagonale eingezeichnet. Zu der Diagonale zeichnet man nun eine Parallele durch einen freien Eckpunkt. Dieser wird in der Art entlang der Parallele geschert, dass ein Dreieck mit der Grundseite a + c entsteht. Wegen der Flächentreue der Scherung hat das Dreieck D BC den gleichen Flächeninhalt wie das ursprüngliche Trapez ABCD. trapez3.gxt geg.: Höhe h, Seitenlängen a und c Beweis: A trapez = A dreieck = 0,5 * [h * (a+c)]

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8 4 Zerlegung in ein Parallelogramm und ein Dreieck Aufbauend auf den Flächenformeln von Parallelogramm und Dreieck wird die Trapezflächenformel entwickelt. Dazu wird in ein Trapez ABCD ein Parallelogramm so einbeschrieben, dass drei Seiten von Trapez und Parallelogramm deckungsgleich sind. Als Restfläche verbleibt ein Dreieck im Trapez. Da die Flächenformeln für Dreieck und Parallelogramm vorausgesetzt werden, kann man nun die Trapezformel leicht herleiten. geg.: h, a, c, x Beweis: A trapez = A parallelogramm + A dreieck = (a-x) * h + 0,5 * x * h = h * ((a-x) + 0,5 * x ) = h * 0,5 * (x + 2(a-x)) a-x = c => 2(a-x) = c + a - x = h * (x +a x + c)/2

9 5 Überführung in ein Parallelogramm der Höhe h/2 Für diese Herleitung wird die Kenntnis der Flächenformel für das Trapez vorausgesetzt. Ein Trapez ABCD wird entlang der Mittelparallelen m getrennt und einer der beiden entstehenden Teile wie in der Abbildung gezeigt gedreht. Es entsteht ein Parallelogramm mit den Kantenlängen h/2 und a+c. geg.: Höhe h, Seitenlängen a und c Beweis: A trapez = A parallelogramm = (a + c) * (h /2) An dieser Stelle lässt sich nun auch leicht zeigen, warum in der Flächenformel zum Trapez gilt : m = (a + c) / 2.

10 Nach der Definition eines Parallelogrammes sind bei einem solchen jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel und insbesondere gleichlang. Deshalb gilt a + c = 2 * m. Löst man diesen Term nun nach m auf, so erhält man den bekannten, für Schüler nicht unbedingt sofort einsichtigen Ausdruck m = (a + c) / 2.

11 6 Zerlegung des Trapezes in zwei Dreiecke Voraussetzung hierfür ist lediglich die Kenntnis der Flächenformel für Dreiecke. Ein Trapez ABCD wird hierbei entlang einer der beiden Flächendiagonalen in zwei Dreiecke unterteilt und die Fläche aus den beiden Teilflächen berechnet. trapez6.gxt geg.: Höhe h, Seitenlängen a und c Beweis: A trapez = A dreieck + A dreieck = 0,5 * a * h + 0,5 * c * h = h * (a + c) * 0,5

12 7 Zerlegung des Trapezes in ein Rechteck und ein Dreieck Voraussetzungen hierfür sind die Kenntnis der Flächenformeln für Dreiecke und Vierecke. Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall von (4) und eignet sich nur für Trapeze mit rechtem Winkel. In seiner Einfachheit ist dieser Fall nach meiner Einschätzung für matheschwache Schüler recht gut geeignet, da ein Trapez kaum einfacher und übersichtlicher sein kann. Das Trapez ABCD wird in das Rechteck AHCD und das Dreieck HBC zerlegt. geg.: Höhe h, Seitenlängen a und c Beweis: A trapez = A rechteck + A dreieck = c * h + 0,5 * [h * (a - c)] = h * [ c + 0,5 * (a c)] = h * 0,5 *[2c + a c] = h * [c + a]/2

13 8 Überführung des Trapezes in ein Rechteck Hierbei wird durch geschickten Umbau des Trapezes ein Rechteck erzeugt. Diese Variante hat große Haken: Zum einen eignet sie sich nur, solange das Trapez nicht zu schief ist, zumindest ein kleines Stück der Seite a sich mit der Seite c überlappt. Trifft dies nicht zu, so entsteht beim Umklappen der Dreiecke kein Recht-, sondern ein Vieleck. Zum anderen lässt sich nur schwer ohne weiterführende Überlegungen verdeutlichen, weshalb für die Kante mit der Länge m gilt: m = (a + c) / 2. Dies ist nur mit z.b. dem Wissen aus Herleitung 5 zu zeigen. geg.: Höhe h, Mittelparallele m Beweis: A trapez = A rechteck = m * h m = (a + c) / 2 [muß man zeigen werden; siehe 5] Einzig interessant ist eine Variante, bei der durch scheinbar falsches Umklappen nicht ein, sondern zwei Rechtecke entstehen: eines mit den Seitenlängen a und h/2 und eines mit c und h/2. Aber auch hierbei ist zu beachten, dass sich a und c ein bisschen überlagern sollten. geg.: Höhe h, Seitenlängen a und c Beweis: A trapez = A rechteck + A rechteck = a * (h / 2) + c * (h / 2)

14 = (h / 2) * (a + c)