Musterlösung zur 3. Übung

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1 Musterlösung zur 3. Übung a) Didaktische Aufbereitung des Themas: Flächenberechnung eines Dreiecks Einführung Flächeninhalt eines Dreiecks: 2 Grundideen: (vgl. S. 5-7) (1) Rechteck rechtwinkliges Dreieck allg. Dreieck Parallelogramm (2) Rechteck Parallelogramm Dreieck (Trapez) Welt der Zahl, Klasse 8 (Hauptschule): o Anknüpfung an vorhandenes Wissen (Rechteckfläche) o Zerlegung in Einheitsflächen o Erweiterung auf Dezimalzahlen o Vereinfachung durch Zerlegung o Verdopplung von Dreiecken => Rechteck o Erweiterung auf das Parallelogramm o Flächenformel für Dreieck wird vorgegeben o Vertiefung aller Formeln mittels (weniger) Aufgaben o Aufgaben zum selber Üben (mit Lösung) Elemente der Mathematik, Klasse 8 (Gymnasium / Realschule): o Rechteck Parallelogramm Dreieck o Einführungsaufgabe o Wiederholung Flächeninhalt des Rechtecks o Neue Formel für Flächeninhalt eines Parallelogramms o Neue Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks o Übungsaufgabe 1

2 Mathenetz, Klasse 8 (Gymnasium) o motivierende Einstiegsaufgabe o Vernetzung/ gleichzeitige Einführung der Formeln für den Flächeninhalt beim Parallelogramm und Dreieck. o Formeln selbstständig erarbeiten o viele Bilder o Vertiefung durch Textaufgaben/Übungen o Zusammenfassung in einer Tabelle o Projekte (für draußen) Matheaktiv, Klasse 7 (Hauptschule, Bayern): o Flächeninhalt des Dreiecks wird aus dem des Parallelogramms hergeleitet o Formel wird in Kästchen hervorgehoben o Herleitung der Formel: Halbieren des Parallelogramms Dreiecke zum Parallelogramm ergänzen o Übung der Formel durch Aufgaben o Anwendungsaufgaben (wenig) o Flächeninhalt wechselt mit Winkelsumme Welt der Zahl: Skizze: Gib den Flächeninhalt der beiden markierten Dreiecke an: a) (gestrichelt) cm 2 b) (gepunktet) cm 2 c) Vergleich eigene Aufgabe mit Schulbuch-Aufgaben Welt der Zahl: Im Schulbuch handelt es sich entweder um rechtwinklige Dreiecke, so dass man den Flächeninhalt mit Hilfe eines halben Rechtecks berechnen kann. Bei einem nichtrechtwinkligen Dreieck sind die Höhen gegeben, so dass die Fläche auch wieder über ein Rechteck bestimmt wird. In dieser Aufgabe wird das Rechteck in zwei Dreiecke zerlegt. 2

3 Elemente der Mathematik: Ein Boot soll ein neues Segel bekommen. Das Segel soll 4m breit und 5m hoch sein. Der Segelstoff kostet 20 pro m 2. Wie teuer ist das neue Segel? c) Vergleich eigene Aufgabe mit Schulbuch-Aufgaben Elemente der Mathematik: Aufgabe mit Alltagsbezug und zusätzlicher Kostenberechnung. Die Aufgaben im Buch bieten wenig Freiraum, außerdem sind es sehr viele Aufgaben mit Bildern. In dieser Aufgabe ist es nicht nötig ein Segel zu skizzieren, das müssen die Schüler sich selber vorstellen. Mathenetz: Für den neu angelegten dreieckigen Schulsandkasten soll eine Abdeckplane zurechtgeschnitten werden. a) Wie viel Plane benötigt die Schule? b) Wie hoch sind die Kosten für die Pläne, wenn 1m 2 12 kostet? c) Vergleich eigene Aufgabe mit Schulbuch-Aufgaben: Mathenetz: Der Aufgabentyp in dieser Aufgabe (einfache Anwendungsaufgaben zur Flächenberechnung eines Dreiecks) kommt im Buch nicht vor. Problem: Schulbuchaufgaben sind nicht aufeinander aufbauend, sondern nur unter dem Oberbegriff Flächen zusammengefasst. Im Schulbuch Mathenetz geht es entsprechend dem Buchtitel um vernetztes Denken und die Verbindung einzelner Teilbereiche. Besonders das Problemlösen und Argumentieren steht im Vordergrund. Beispielaufgabe: Zeichne vier Dreiecke mit gleicher Grundseite und Höhe. Begründe durch Zerlegung oder Ergänzung, dass sie alle den gleichen Flächeninhalt haben. 3

4 Suche nach einer Strategie und begründe damit die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Matheaktiv: Skizze: In einer Stadt soll ein neuer Park angelegt werden auf einer Fläche von 100m Breite und 500m Länge. In der Mitte des Parks verläuft ein Zaun. Die schwarz gekennzeichnete Fläche soll mit Rasen eingesät werden. Berechne diese. c) Vergleich eigene Aufgabe mit Schulbuch-Aufgaben: Matheaktiv: Anwendungsbezug aus dem Buch erweitert. Aufgabenstellung ähnlich wie im Buch (Bezug Rechteckfläche) 4

5 Flächenberechnung Dreieck Ausgehend vom Rechteck gibt es zwei Möglichkeiten zum Flächeninhalt von Dreiecken und Parallelogrammen zu gelangen: 1) Rechteck - rechtwinkliges Dreieck - allg. Dreieck - Parallelogramm 2) Rechteck - Parallelogramm - Dreieck Zu 1) Zwei gleiche, rechtwinklige Dreiecke werden zu einem Rechteck zusammengelegt. Die Schüler erkennen sofort, dass der Flächeninhalt des Dreiecks halb so groß ist wie der Flächeninhalt des Rechtecks, d.h. die eine Kathete des Dreiecks mal der anderen Kathete durch zwei. Als nächstes stellt sich die Frage, ob sich diese Erkenntnis auch auf das gleichschenklige Dreieck übertragen lässt. Ausgehend von den Konstruktionen wissen die Schüler bereits, dass die Höhe (Faltlinie) das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke einteilt. Das gleichschenklige Dreieck ist also ein doppeltes rechtwinkliges Dreieck. Durch ergänzen zum Rechteck sehen die Kinder, dass sich für den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks die Formel Basis mal Höhe geteilt durch zwei ergibt. Gleiches wird dann am allg. Dreieck gemacht. Der Nachteil dieses Weges ist, dass die Schüler so nur auf eine Dreieckseite fixiert sind. Außerdem entsteht ein Problem bei einem Dreieck, wo die Höhe außerhalb liegt, dass nun subtrahiert werden muss, d.h. man muss zwei Methoden anwenden. (3) Rechteck rechtwinkliges Dreieck allg. Dreieck Parallelogramm 5

6 Zu 2) Gegenteiliges Prinzip: Vom allgemeinen zum speziellen. Das Ziel dieses Weges ist, das Dreieck durch Halbierung des Parallelogramms zu gewinnen, wobei es zwei Möglichkeiten (zwei Diagonalen) gibt. Hier kommt es zu keiner Betonung einer Dreiecksseite und somit liegt der Vorteil dieses Weges darin, dass kein Methodenwechsel erforderlich ist. Zunächst befasst man sich mit der Figur des Parallelogramms, das Rechteck kennen sie bereits. Herstellen: mit OHP- Parallelstreifen. Bei dieser Herstellung sollten durchaus auch die Sonderformen Rechteck, Quadrat, Raute auftreten. Im Schülerverständnis wird es sich bei diesen Figuren um kein Parallelogramm handeln. An dieser Stelle ist es dann sinnvoll, den Schülern einsichtig zu machen, dass es zweckmäßig ist, diese Figuren auch als Parallelogramme zu bezeichnen. An der Figur am OHP Eigenschaften ablesen lassen und eine Liste erstellen: gegenüberliegende Seiten sind parallel, alle Seiten sind gleich lang, die Diagonalen halbieren sich, die Diagonalen sind gleich lang. Bei genauerer Betrachtung wird man feststellen, dass immer dann, wenn ein Kreuzchen beim Parallelogramm steht, steht es auch bei allen anderen Figuren (Rechteck- Quadrat). D.h. alle Eigenschaften, die das Parallelogramm (Rechteck) aufweist, findet man bei allen andern Figuren wieder, also sind alle anderen Figuren Sonderfälle des Parallelogramms. (Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck). Durch solche Aktivitäten wird wieder ein Stück lokaler Theorie, hier speziell die Familie der Parallelogramme, erarbeitet (lokales Ordnen). Neben der Tabelle sollte das Bild der Familie des Parallelogramms geordnet nach Strichen/ Symmetrien an der Tafel stehen. Wichtig bei einer solchen Darstellung ist, dass alle Merkmale, die herangezogen wurden, auch kenntlich gemacht werden. Nach solchen Überlegungen erfolgt dann der Übergang zum Dreieck durch halbieren: Rechteck führt zu einem rechtwinkligen Dreieck, die Raute führt zum gleichschenkligen Dreieck, im Spezialfall sogar zum gleichseitigen Dreieck, das Quadrat führt zum gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck. Grafik: Vom Parallelogramm zum Dreieck An der Stelle x wird die Symmetrie des Bildes gestört. Hier müsste ein Dreieck mit 2 rechten Winkeln stehen, dies ist aber nicht möglich. Man kann dies zum Anlass nehmen, die Winkel im Dreieck näher zu untersuchen. 6

7 Die Methodische Schwierigkeit des 2. Weges liegt in der Erarbeitung des Flächeninhalts des Parallelogramms. Die Schüler kennen bisher nur die Flächeninhaltsformel für das Rechteck. Vergleicht man diese Formel mit der des Parallelogramms ergibt sich die Schwierigkeit, dass die Höhe eine virtuelle Größe ist, da sie im Parallelogramm nicht unmittelbar auftritt. Außerdem sind Grundlinie und Höhe relationale Größen, d.h. Höhe und zugehörige Höhe. Für die Flächeninhaltsformel ergeben sich zwei konkrete Ausfüllungen der Formel, da jede Seite des P. als Grundlinie gewählt werden kann. Ein weiteres Problem taucht auf, wenn das Parallelogramm auf der kürzeren Seite liegt, dann gibt es nichts mehr abzuschneiden. Häufig wird das P. umgedreht, aber dann dürfte man immer nur die längere Seite als Grundlinie nehmen. Ziel des Unterrichts ist es aber, den Schülern die Gültigkeit der Formel in beiden Fällen einsichtig zu machen. Wenn man den Flächeninhalt des P. auf das Rechteck zurückführt, basiert dies auf dem Prinzip der Zerlegungsgleichheit. Oder man nutzt das Prinzip der Ergänzungsgleichheit. Idee: P. einpacken. Großes Rechteck bleibt gleich, 1+2 gleich, also 3=3 Die zweite Seite des Rechtecks ist die Höhe des P. Im Gegensatz zur Zerlegungsgleichheit bereitet selbst der Fall des überzogenen Parallelogramms bei der Ergänzungsgleichheit keine Schwierigkeiten. Wichtig ist, dass die Aktivität des Zerschneidens und Zusammenschiebens von den Schülern wirklich durchgeführt wird. Schüler der 7. Klasse brauchen noch die Sicherheit des Erlebens, um den Sachverhalt glauben zu können. Ausgehend vom einem beliebig gewählten Dreieck bekommt man durch Verdoppeln ein Parallelogramm. Da es drei Möglichkeiten gibt, das Dreieck zum Parallelogramm zu ergänzen, gibt es auch drei Mögl. den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen (Jede Dreiecksseite kann als Grundlinie angenommen werden). Danach folgt der Flächeninhalt vom Trapez, wozu man die Dreiecksflächen und Parallelogramme berechnet und danach folgt die Flächeninhaltsberechnung eines allg. Vielecks. Dies wird in Trapeze und Dreiecke aufgeteilt. (4) Rechteck Parallelogramm Dreieck Trapez 7