Referat für das Seminar. Mathematik und Didaktik in der Hauptschule. Sommersemester Flächenverwandlung. erstellt von.

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1 Referat für das Seminar Mathematik und Didaktik in der Hauptschule Sommersemester 2004 Thema: Flächenverwandlung erstellt von Sandra Hellgoth (5. Sem.; LA HS) und Hermann Angstl (5. Sem.; LA HS) Bayreuth,

2 2 Inhaltsverzeichnis: 1 Definition der Fläche 2 Historischer Hintergrund 3 Der Stufengang als didaktische Methode zur Flächenverwandlung im Schulunterricht 4 Bestimmung des Flächeninhaltes eines Dreieckes mit Hilfe der Falttechnik 5 Flächengleichheit, Inhaltsgleichheit (Arbeitsblatt) 6 Zusammenfassende Definition der verwendeten Begriffe deckungsgleich, flächengleich, zerlegungsgleich und ergänzungsgleich 7 Die Scherung 8 Parallelogramm und Trapez 9 Herleitung der Flächenformel für das Trapez anhand der zuvor genannten Methoden 10 Allgemeines Vieleck und Scherung - Berechnung der Fläche des unregelmäßigen Fünfeckes mit Hilfe der Scherung 11 Beispiel aus der Praxis 12 Praktische Erklärung der Flächenverwandlung mit TANGRAM Literaturverzeichnis

3 3 1 Definition der Fläche Definition der Fläche am Beispiel des Kreises: Ein Kreis ist konstruierbar, wenn der Mittelpunkt M und der Radius r gegeben sind. Bestandteile eines Kreises: Der Mittelpunkt M, die Randpunkte R und der Bereich dazwischen, die Innenpunkte. Mittelpunkt ist der Punkt M, der sich genau in der Mitte befindet. Die Randpunkte sind die Punkte R 1, R 2,..., R N für die gilt {R MR = r}. Viele zusammenhängende Randpunkte ergeben den Rand. Es handelt sich dabei um keine Fläche. Die Innenpunkte: Für die Innenpunkte P 1, P 2,...; P N in einem Kreis gilt: {P MP <= r}. Viele aneinanderliegende Punkte P ergeben eine Fläche. Definition: Eine Figur heißt dann Fläche, wenn sie mindestens einen inneren Punkt besitzt. Wobei es egal ist, ob es sich dabei um regelmäßige Flächen, w.z.b. einen Kreis (Fig.1), ein Quadrat etc. oder um unregelmäßige Flächen (Fig. 2) handelt. P R M Fig. 1 Fig.2 Mitarbeit: Hieraus ergeben sich die ersten beiden Fragen. Die Schüler sollen diese jedoch nicht nur beantwortet, sondern auch begründen: - Handelt es sich bei einem Dreieck um eine Fläche? - Handelt es sich bei einer Linie um eine Fläche?

4 4 2 Historischer Hintergrund Bereits im alten Griechenland beschäftigte man sich mit der Flächenverwandlung. So z.b. Euklid in seinem Werk Elemente in dem er sich u.a. auch den Flächeninhalten widmete. Jedoch wurden dabei keinerlei Formeln verwendet. Die (Un-) Gleichheit von Flächen bewiesen sie nur durch den Vergleich von Flächen miteinander. 3 Der Stufengang als didaktische Methode zur Flächenverwandlung Unter dem Stufengang versteht man eine stufenartige Heranführung der Schüler an geometrische Flächen und deren Inhalt. Diese Heranführung erfolgt mittels sechs aufeinanderfolgender Schritte, den sogenannten Stufen. Qualitativer Vergleich von Flächen: Der qualitative Vergleich von Flächen ist der erste Schritt, den man im Sinne des Stufengangs anwenden sollte. Die Schüler bekommen dazu ein Arbeitsblatt, auf dem verschiedene Flächen abgebildet sind. Durch das Ausschneiden, Zerschneiden und Aufeinanderlegen der Flächen machen sie das erste Mal Bekanntschaft mit den Begriffen (flächen-)größer, (flächen-)kleiner und (flächen-)gleich und deren Bedeutung. Zur weiteren Veranschaulichung dienen im Folgenden kleinere Aufgaben mit verschiedenen Hilfsgrößen, deren Schwierigkeitsgrad jedoch mehr und mehr gesteigert werden sollte. Quantitativer Vergleich von Flächen: Im Laufe dieser Stufe werden im Hinblick auf Flächen und deren Inhalt erstmals Zahlen herangezogen. Zum Vergleich zweier Flächen sucht man sich hierfür einen der beiden Flächen oder ein Teilstück derer aus mit der es möglich ist, die andere Fläche lückenlos zu bedecken. (Bsp: Die Fläche A ist halb so groß wie die Fläche B; man kann also die Fläche B zweimal mit der Fläche A bedecken; es ergibt sich: B = 2x A) Quantitativer Vergleich mit Maßquadraten: Nach den Zahlen werden nun zur Benennung des Flächeninhalts Maßquadrate herangezogen. Es ist dabei anfänglich von Vorteil, wenn die zu bestimmenden Flächen auf karierten Papier abgedruckt sind. Im vornherein wird dann ein Quadrat beliebiger Größe ausgesucht. Der Flächeninhalt einer Figur kann dann durch das Abzählen der in ihr enthaltenen Maßquadrate bestimmt werden. Der Vorteil dabei ist, dass nunmehr die zu bestimmenden Vielecksflächen nicht mehr zwingend Rechtecke sein müssen, sondern zum Beispiel auch Dreiecke für die Schüler bestimmbar werden. Genormte Maßeinheiten: Im fünften Schritt werden den Schülern genormte Maßeinheiten nähergebracht, wobei man sich dabei zuerst auf cm- Einheiten beschränken sollte, da diese für die Schüler am leichtesten erfassbar sind. Der bislang eher abstrakte Flächenbegriff wird durch die Einführung der Quadratzentimeter zu einer reellen Größe. Durch erneutes Abzählen der Zentimeterquadrate können die Schüler nun die tatsächliche Größe der Flächen bestimmen und sind nach einiger Übungsphasen auch dazu in der Lage, zur mathematischen Berechnung der Flächen überzugehen. Man sollte allerdings bei diesem Schritt nicht vergessen den Schülern zu vermitteln, dass mit einem Quadratzentimeter nicht unbedingt nur ein Quadrat von einem Zentimeter Seitenlänge gemeint sein kann, sondern dass ebenfalls ein Rechteck von 2 cm Länge und ½ cm Breite einen Flächeninhalt von einem Quadratzentimeter hat.

5 5 Abschluss: Am Ende des Stufengangs sollte man dringend noch einmal auf den Unterschied zwischen dem Flächeninhalt und dem Umfang von Flächen eingehen. Anhand von verschiedenen Beispielen muss den Schülern gezeigt werden, dass Flächen gleichen Inhalts nicht unbedingt auch den gleichen Umfang haben, und umgekehrt. Zum besseren Verständnis wäre es auch gut, die Schüler verschiedene Flächen mit gleichem Umfang oder gleicher Fläche zeichnen und berechnen zu lassen. 4 Bestimmung des Flächeninhalts mit Hilfe der Falttechnik Nachdem den Schülern die Bedeutung des Inhalts von Flächen und deren Berechnung mittels des Stufengangs anhand von Rechtecken verdeutlicht wurde ist es nun an der Zeit, unterschiedliche geometrische Flächen heranzuziehen. Am anschaulichsten für die Schüler ist dazu die sogenannte Falttechnik. Die Schüler bekommen nacheinander Arbeitsblätter mit unterschiedlichen geometrischen Figuren (Dreieck, Parallelogramm und Trapez). Im Folgenden werden nun die Flächen ausgeschnitten. Danach bekommen die Schüler die Aufgabe, alle Flächen nacheinander zu einem Rechteck, welches den Schülern ja nunmehr mehr als bekannt ist, zu falten. Nacheinander gelangt man so praktisch zu den Flächenformeln der einzelnen geometrischen Figuren. Dreieck: Um das Dreieck zu dem Rechteck zu falten, müssen nacheinander die drei Ecken zur Grundlinie gefaltet werden. Die Schüler werden erkennen, dass das Dreieck genau die doppelte Fläche besitzt wie das gefaltete Rechteck. Es ergibt sich dadurch die Flächenformel für das Dreieck: A = (g x h) : 2; also Fläche = Grundlinie mal Höhe geteilt durch zwei, wobei g die Länge einer beliebigen wählbaren Seite des Dreiecks und h die Länge der zugehörigen Höhe ist. Parallelogramm: Die Faltungen des Parallelogramms sind ähnlich denen des Dreiecks. Die beide äußeren Ecken werden ebenfalls wieder nach innen geklappt. Da die Fläche des Rechtecks wieder doppelt liegt ist der Inhalt des Parallelogramms ebenfalls doppelt so groß wie der des Rechtecks. Durchläuft man zweimal die Grundlinie des Rechtecks, so hat man aber ebenfalls zweimal die Grundlinie des Parallelogramms zurückgelegt. Die beiden Grundlinien stimmen also überein. Allerdings besitzt das Parallelogramm lediglich die halbe Höhe des Rechtecks. Es ergibt sich somit folgende Flächenformel für das Parallelogramm: A = g x h Trapez: Auch das Trapez lässt sich mühelos zu einem Rechteck falten, welches aber nur noch halb so groß ist. Es ergibt sich folgende Flächenformel: (g1 + g2) x ½ x h 5 Flächengleichheit, Inhaltsgleichheit (Arbeitsblatt) Um den Unterschied von Flächengleichheit und Inhaltsgleichheit zu verdeutlichen bietet es sich an, wieder ein Arbeitsblatt zu erstellen auf dem unterschiedliche Flächen abgebildet sind. (Wie wir es auch im Seminar getan haben) So kann man dazu zum Beispiel Vielecke, Rechtecke, Quadrate, Dreiecke, Trapeze und auch Parallelogramme wählen die zum Teil flächengleich, also kongruent, oder nur inhaltsgleich sind. Um die Flächengleichheit nachzuweisen, könnten die Flächen wiederum ausgeschnitten werden. Allerdings müssten die Schüler zu diesem Zeitpunkt schon weit genug sein, dies auch so erkennen zu können. Um die Inhaltsgleichheit zu überprüfen sollen die Schüler nunmehr auch die erarbeiteten Formeln verwenden. Nach und nach wird ihnen bewusst, dass nicht nur Flächen, die genau gleich, also

6 6 kongruent sind, gleichen Inhalt haben können, sondern auch ganz unterschiedliche Flächen. Und sie lernen gleichermaßen diese beiden Begriffe zu unterscheiden und richtig anzuwenden. 6 Zusammenfassende Definition der verwendeten Begriffe deckungsgleich, flächengleich, zerlegungsgleich und ergänzungsgleich deckungsgleich (kongruent): wenn sich zwei oder mehrere Flächen lückenlos auf einander legen lassen, spricht man von deckungsgleichen oder kongruenten Flächen. flächengleich oder flächeninhaltsgleich = inhaltsgleich: Zwei oder mehr Flächen sind dann inhaltsgleich, wenn sie die gleiche Flächengröße, jedoch nicht unbedingt die selbe Form haben. zerlegungsgleich: Zwei oder mehr Flächen sind dann zerlegungsgleich, wenn sie sich in gleiche Teilflächen zerlegen lassen. Diese Teilflächen können zwar innerhalb einer Gesamtfläche verschieden in Form und Größe sein, exakt diese Teilflächen müssen dann auch in den anderen Flächen enthalten sein. ergänzungsgleich - zerlegungsgleich: Zwei Polygone sind dann ergänzungsgleich, wenn sie sich jeweils mit den selben Figurenpaaren ergänzen. 7 Die Scherung Haben die Schüler die Formel für die Dreiecksfläche F = g x h x ½ verstanden, so kann man ihnen das Prinzip der SCHERUNG, ein Begriff aus der Flächenverwandlung, erklären. Definition Scherung: Verschiebt man den Punkt C eines Dreieckes entlang einer Geraden die parallel zur Strecke AB durch den Punkt C führt (= Wandergerade mit Fixpunkt C), so entstehen neue Dreiecke ABC, ABC,..., ABC n. Da sich bei diesem Versuch weder die Grundlinie g noch die Höhe h verändert, haben diese Dreiecke immer den selben Flächeninhalt und sind somit inhaltsgleich. Sie haben aber unterschiedliche Formen. Mit dieser Methode können Flächen in ihrer Form verwandelt werden, ohne dass sich der Inhalt verändert.

7 7 8 Parallelogramm und Trapez Parallelogramm: Entsprechende Beweisführungen mit Faltung, Zerlegung und Scherung wie bei Dreieck. Trapez: egal, wie schief ein Trapez ist, man braucht nur Parallelen im Abstand m senkrecht zur Mittellinie zeichnen, falten umknicken. 9 Herleitung der Flächenformel für das Trapez anhand der zuvor genannten Methoden Gegeben sei das Trapez ABCD. Flächenformel des Trapezes: F= (a + c) h x ½ Verdoppelung: (Figur 1) Die Fläche des Trapezes wird verdoppelt, indem an der Strecke b ein spiegelverkehrtes Trapez angesetzt wird. Dadurch erhält man ein Parallelogramm. Die Grundlinie g = a + c, die Fläche F = g x h = (a+c) h. Da die Fläche zuvor verdoppelt wurde, muss sie nun wieder halbiert, d.h. mal ½ genommen werden. Flächenteilung: (Figur 2) Die Strecke AC teilt das Trapez in zwei Dreiecke. Die Fläche des Trapezes errechnet sich somit aus der Summe der beiden Dreiecke: F= a x h x ½ + c x h x ½ = (a + c) h x ½. Umwandlung: (Figur 3) Umwandlung des Trapezes in ein Rechteck. Man zeichnet die Mittelparallele zwischen den strecken a und c, schneidet die kleinen Dreiecke unter dieser Geraden ab und setzt sie oberhalb an. F = [(a x y) + (c + x + y)] h x ½ = (a + c + x + y x y) h x ½ = (a + c) h x ½ Flächenteilung: (Figur 4) Aufteilung des Trapezes in ein Parallelogramm AECD und ein Dreieck EBC. F = c x h + (a c) h x ½ = h ( c + ½ a ½ c) = h ( ½ c + ½ a) = (a + c) h x ½. Ergänzung: (Figur 5)

8 8 Ergänzung des Trapezes zu einem Rechteck, wobei diesmal die Strecke c über die Punkte C und D hinaus auf die Länge von a verlängert wird. Länge der neuen Strecke e: e = c + x + y. F = (a + e) h x ½ - x x h x ½ - y x h x ½ = = (a + c + x + y) h x ½ - x x h x ½ - y x h x ½ = = (a + c x + y x y) h x ½ = = (a + c) h x ½ Scherung: (Figur 6) Durch Verschiebung des Punktes C entlang einer Wandergeraden, die parallel zur Strecke BD führt, erhält am auf der Verlängerung der Stecke a über den Punkt B hinaus den Schnittpunkt B. Es entsteht das neue Dreieck AB D. Da die Strecken BD und B C parallel sind, sind die Strecken BB und CD gleich lang. Die Grundlinie g (=AB ) des neuen Dreieckes hat somit die Länge g = a + c. Setzt man dies in die Flächen-Formel für das Dreieck ein, so ergibt sich folgende Berechnung: F = g x h x ½ = (a + c) h x 1/2. 10 Allgemeines Vieleck und Scherung Gegeben sei ein beliebiges, unregelmäßiges Fünf-Eck ABCDE. Die Fläche lässt sich auf zweifache Art berechnen: Flächenteilung: Durch verbinden der Ecken A und C sowie B und D entstehen die drei neuen Teildreiecke ABD, BCD und ADE. Berechnung der drei Teilflächen und Addition. E D C A B

9 9 Berechnung der Fläche des unregelmäßigen Fünfeckes mit Hilfe der Scherung: Verschiebung des Punktes E auf einer Geraden die durch den Punkt E parallel zur Strecke AD verläuft, trifft die über den Punkt A hinaus verlängerte Gerade a im Punkt A. Ebenso Verschiebung des Punktes C auf einer Geraden, die parallel zur Strecke BD verläuft, schneidet die Verlängerung der Strecke AB über B hinaus im Punkt C. So entsteht das Dreieck A BC. Berechnung der Fläche dieses Dreieckes, welches inhaltsgleich mit dem Fünfeck ist. Darstellung und Herleitung an der Tafel. Aufteilung: Durchführung der ersten Scherung durch die Lehrkraft, zweite und folgende Scherungen durch die Schüler. 11 Beispiel aus der Praxis Zwei Landwirte besitzen zwei benachbarte Weideflächen. Beide Flächen ergeben zusammen ein Quadrat mit einer Fläche von qm. Auf dieser Grenze soll der Weidezaun erneuert werden. Um Kosten zu sparen, beabsichtigen sie zuvor eine Begradigung der gemeinsamen Grenze. Diese interne Flurbereinigung soll jedoch ohne Flächenberechnung vonstatten gehen. Die beiden Landwirte zeichnen ihre Grundstücke in ein Koordinatensystem ein. Die gemeinsame Grenze verläuft dabei über folgende Eckpunkte: (1 cm entspricht dabei 100 m). A (0/2,5), B (1/3), C (1,5/1,5) D (2,5/2,5), E (3/2), F (3,5/3), G (4/3). Erster Schritt - Berechnung: Die Lehrkraft zeichnet die beiden Grundstücke an die Tafel. Danach zerlegt sie eines der Grundstücke in mehrer Teilflächen. Bei diesem Beispiel ergibt dies ein Rechteck sowie mehrere Trapeze und Dreiecke. Diese kleinen Flächen können nun mit Hilfe der inzwischen bekannten Formeln berechnet und addiert werden (Vorteil: Wiederholung der pythagoreischen Lehrsätze). Als Ergebnis erhält man die Größe der beiden Gründstücke. Teilt man die Fläche eines der beiden Grundstücke durch die bekannte Grundstücksbreite (= 400 m), so erhält man die Länge eines der Grundstücke und somit auch die beiden Koordinaten der gemeinsamen Grundstücksgrenze. Allerdings ist in dieser Aufgabe nicht nach der Größe der Grundstücke gefragt. Die gesuchten Eckpunkte können deshalb in einem zweiten Schritt auch experimentell mit Hilfe der Scherung bestimmt werden. Zweiter Schritt Scherung: Arbeit an der Tafel: Durchführung der einzelnen Schritte durch mehrere Schüler an der Tafel, bis die Strecke E F (= Verlauf der neuen Grenze) gezogen wurde. Nun kann man feststellen, dass die gemeinsame Grenze die selben Koordinaten hat, wie bei obiger Berechnung.

10 10 Da der Vorgang sehr zeitaufwendig ist, die Zeichnung danach relativ unübersichtlich wird und die einzelnen schritte sich sowieso wiederholen, könnte auf die Punkte C und E verzichtet werden. Somit nur Verlauf ABDFG. Mögliche Zusatzaufgabe: Berechnung der Länge der alten Grenze sowie der neuen Grenze. Dann feststellen, wie viel Geld die Landwirte gespart haben, wenn der Zaun z. B. 10 /m kostet. 12 Praktische Erklärung der Flächenverwandlung mit TANGRAM Das Spiel TANGRAM besteht aus insgesamt 7 Holzplättchen und zwar aus fünf Dreiecken, einem Quadrat und einem Parallelogramm, von unterschiedliche Flächengröße. Diese lassen sich, sozusagen als Grundform, in ein Quadrat auflegen. Mit viel Geschick kann man dieses Quadrat mit allen (!) Teilplättchen in verschiedene geometrische Formen umwandeln. Mit etwas Phantasie Es können aber auch Tiere oder andere Figuren oder Gegenstände gebildet werden. Diese Ergebnisse sind bezüglich der Form sehr unterschiedlich. Es kann jedoch die Behauptung aufgestellt werden, dass alle Figuren den gleichen Flächeninhalt haben. Sollten unter den Schülern ein paar Zweifler sein, so müssen sie nur die Anzahl und Form der Stückchen von der Ausgangsfigur mit denen der Endfigur vergleichen. Da sie identisch sein müssen, ist bewiesen, dass die Flächen den gleichen Flächeninhalt haben. Das Spiel TANGRAM kann auch aus dem Internet heruntergeladen werden, z.b.:

11 11 Literaturverzeichnis: Fricke, Arnold: Didaktik in der Inhaltslehre. Stuttgart S und S Kratz, Johann: Zentrale Themen des Geographieunterrichts aus didaktischer Sicht. S Schupp, Hans: Elementargeometrie. Paderborn 197. S

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