Algorithmen 1. (2; 3)-Bäume Implementierung. KIT 1 Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft

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1 Algorithmen 1 (2; 3)-Bäume Implementierung KIT 1 Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschft

2 Letztes Ml Suchum zum Verwlten von sortierten Folgen verzeigerte Struktur gut zum Einfügen/Löschen Bumstruktur simuliert inäre Suche (2; 3)-Bum fst inär: jeder innere Knoten ht 2 oder 3 Kinder lnciert: jedes Bltt ht gleiche Tiefe Erhltung der Struktur eim Einfügen und Löschen Einfügen erzeugt ggf. Knoten mit 4 Kindern ufsplten Löschen erzeugt ggf. Knoten mit nur 1 Kind vereinigen oder uslncieren verschiet ds Prolem Schrittweise nch oen O(log n) Höhe O(log n) Lufzeit vereinigen ufsplten uslncieren 2

3 Heute Ausreitung der Detils Ws genu speichern wir ei jedem Knoten? Wie gehen wir mit Sonderfällen um (z.b. leerer Bum)? Wie müssen wir die Schlüssel updten? Wie setzen wir die Dtenstruktur in Pseudocode um? Anmerkungen es git meist nicht nur eine Antwort uf die Frgen Ziele, wenn wir mehrere Möglichkeiten hen etws umzusetzen: so einfch wie möglich möglichst wenige Sonderehndlungen Korrektheit + richtige symptotische Lufzeit Lernziel: Umsetzung eines Algorithmus uf hoher Astrktionseene in Pseudocode nicht ds Lernziel: Pseudocode von (2; 3)-Bäumen uswendig können 3

4 Ws speichern wir ei jedem Knoten? Bumstruktur jeder Knoten ht Zeiger zu is zu 4 Kindern jeder Knoten ht einen Zeiger zum Elter child[0] prent child[1] clss NODE Node prent Arry Node; 4 child Key key Nvigtion entsprechend der Schlüssel letztes Ml jeder Knoten kennt mehrere Schlüssel 1 Schlüssel für etws einfcher jeder Knoten kennt nur einen Schlüssel :key :key = größter Schlüssel im Teilum unter Entscheidung für ds richtige Kind eim Suchen: entsprechend der Schlüssel der Kinder k 3 k 1 k 2 k 3 ( ; k 1 ] (k 1 ; k 2 ] (k 2 ; k 3 ] Invrinte, die wir nch jeder Opertion wiederherstellen 4

5 Suchen Vorüerlegung & Initilisierung Wonch genu suchen wir? Einge: ein Schlüssel k flls k in der Folge entsprechendes Bltt zurückgeen ? k nicht in der Folge Bltt mit nächst größerem Schlüssel find(1) find(6) find(19) 5 -Trick Ws, wenn k größer ls lle existierenden Schlüssel? füge ein Dummy-Bltt mit Schlüssel ein vermeidet den Sonderfll, wenn k zu groß vermeidet den Sonderfll, für einen leeren Bum Initilisierung des (2; 3)-Bums Wurzelknoten mit einem Kind mit Schlüssel Schlüssel der Wurzel: eenflls root?? clss (2, 3)-TREE Node root init() Node :key := :prent := root root:child[0] := root:key :=

6 Suche Erinnerung Ziel: finde erstes Bltt mit Schlüssel k Invrinte: :key = größter Schlüssel im Teilum unter find(key k) Node := root while is not lef do i := min{i k :child[i]:key} := :child[i] return find(6) find(28) 6

7 Einfügen Ws wollen wir eigentlich genu? Option 1: insert(k) durchsuchre Menge von Schlüsseln Duplikte eim Einfügen üerspringen Option 2: set(k; v) Aildung von Schlüsseln uf Werte speichere zusätzlich einen Wert n jedem Bltt Bltt mit Schlüssel existiert nicht neues Bltt Bltt existiert Wert üerschreien Heute wir etrchten hier Option 1 Option 2 lässt sich er nlog umsetzen 7

8 Einfügen Vorüerlegung Erinnerung: Neues Bltt einfügen Schritt 1: neues Bltt n der richtigen Stelle einfügen Schritt 2: Knoten mit 4 Kindern ufsplten Schritt 1: Wo genu fügen wir den neuen Schlüssel k ein? n den Elter des Nchfolgers lso: neues Bltt wird n find(k):prent gehängt Anmerkung eigentlich egl: n den Elter des Vorgängers hängen würde uch gehen der Elter des Nchfolgers ht er ein pr Vorteile find(k) liefert direkt den Nchfolger Nchfolger existiert immer, dnk des -Knotens kein Sonderfll Schlüssel der inneren Knoten leien korrekt kein Updte nötig? 28 8

9 Einfügen Erinnerung: Neues Bltt einfügen Schritt 1: neues Bltt n der richtigen Stelle einfügen Schritt 2: Knoten mit 4 Kindern ufsplten insert(key k) if find(k):key = k then return Node := find(k):prent Node := {key :k; prent :} // new lef insert into :child // keeping it sorted // invrint: keys re correct (lrgest key in sutree) if hs four children then split()

10 Aufsplten: Knoten mit 4 Kindern split(node ) if = root then Sonderfll Wurzel Node := {key : ; prent: ; child: } :prent := c 0 c 1 c 2 c 3 root := := :prent c i := :child[i] (for i {0; 1}) Node := {key : c 1 :key; prent: ; child: c 0 ; c 1 } insert into :child c 0 :prent; c 1 :prent := c 0 c 1 c 2 c 3 remove c 0 nd c 1 from :child // invrint: keys re correct (lrgest key in sutree) if hs four children then split() ggf. rekursiv ufsplten c 0 c 1 c 2 c 3 c 0 c 1 c 2 c 3 10

11 Geht ds noch etws schöner? Node := {key : c 1 :key; prent: ; child: c 0 ; c 1 } insert into :child c 0 :prent; c 1 :prent := remove c 0 nd c 1 from :child Proleme schwer zu prsen fehlernfällig Wiederverwendrkeit Eigentlich mchen wir drei Dinge Knoten erstellen Kinder c 0 ; c 1 von nch verschieen ls Kind zu hinzufügen c 0 c 1 c 2 c 3 c 0 c 1 c 2 c 3 crete Node move children c 0 nd c 1 from to dd s child to Besser lgere grundlegende Opertionen in Suroutinen us 11

12 Grundlegende Suroutinen ls Kind von einfügen n der richtigen Position von :child einfügen :prent uf setzen :key uf :key setzen, flls ds rechtes Kind ist Kind von löschen us :child entfernen :prent uf setzen :key ktulisieren, flls ds rechtes Kind wr Kind von Elter zu schieen: löschen + einfügen Anmerkung: Aktulisierung des Schlüssels mchen wir hier nur lokl wird insesondere nicht n den Elter von weitergegeen dher: Suroutinen immer ottom-up usführen ggf. m Ende nochml Restpfd zur Wurzel ktulisieren (werden wir eim Löschen gleich noch sehen) 12

13 Löschen Vorüerlegung Erinnerung Schritt 1: entsprechendes Bltt einfch löschen Schritt 2: Knoten mit nur einem Kind ufräumen (Verschmelzen oder Auslncieren) fuse relnce Rekursive Aufrufe nch Verschmelzen: Elter ht ggf. nur noch ein Kind rekursiv ufräumen Prolem wird Schritt für Schritt weiter nch oen propgiert Stopp ei Auslncieren oder wenn der Elter ei Verschmelzen vorher drei Kinder htte Aktulisierung der Schlüssel enutze Opertionen von een Schlüssel werden uf dem Weg nch oen ktulisiert stimmt nicht für den restlichen Pfd zur Wurzel, wenn die Rekursion stoppt ignorieren wir zunächst und fixen es später 13

14 Existierendes Bltt entfernen Erinnerung Schritt 1: entsprechendes Bltt einfch löschen Schritt 2: Knoten mit nur einem Kind ufräumen (Verschmelzen oder Auslncieren) remove(key k) := find(k) if :key k then return := :prent remove s child from if hs only one child then fuseorrelnce() fuseorrelnce(node ) if = root then root := :child[0] remove child root from return Node := :prent Node = successor or predecessor of in :child if hs two children then fuse(; ) fuse else // hs three children relnce(; ) relnce 14

15 fuse und relnce fuse relnce fuse(node ; Node ) := :prent for Node c :child do move child c from to remove s child from if hs only one child then fuseorrelnce() relnce(node ; Node ) := :prent := rg min x {; } x:key r := rg mx x {; } x:key if hs three children do move child :child[2] from to r else move child r:child[0] from r to 15

16 fixkeysonpthtoroot fixkeysonpthtoroot(node ) // only ncestors of hve incorrect keys while root do := :prent :key := key of right-most child // ll keys re correct remove(key k) // ll keys re correct := find(k) if :key k then return := :prent remove s child from // only ncestors of hve incorrect keys if hs only one child then fuseorrelnce() else fixkeysonpthtoroot()

17 fixkeysonpthtoroot fixkeysonpthtoroot(node ) // only ncestors of hve incorrect keys while root do := :prent :key := key of right-most child // ll keys re correct fuse(node ; Node ) // only ncestors of hve incorrect keys := :prent for Node c :child do move child c from to remove s child from // only ncestors of hve incorrect keys if hs only one child then fuseorrelnce() else fixkeysonpthtoroot()

18 fixkeysonpthtoroot fixkeysonpthtoroot(node ) // only ncestors of hve incorrect keys while root do := :prent :key := key of right-most child // ll keys re correct remove(key k) // ll keys re correct := find(k) if :key k then return := :prent remove s child from // only ncestors of hve incorrect keys if hs only one child then fuseorrelnce() else fixkeysonpthtoroot()

19 Zusmmenfssung (2; 3)-Bäume Ausreitung der Detils insesondere Verwltung und Aktulisierung der Schlüssel Endergenis: Pseudocode Der Weg ist ds Ziel unwichtig: unser Endergenis der Pseudocode selst wichtig: der Prozess, der uns dort hin gercht ht Sonderfälle vermeiden ( -Knoten) Ziel: Lesrkeit, Wiederverwendrkeit, geringe Fehlernfälligkeit keine Scheu nochml umzuuen, wenn es zu frickelig wird Lernziel: von der Algorithmenidee zum Pseudocode gegeen die lgorithmische Idee Detils usreiten korrekten Pseudocode uen 17