Kryptologie. Bernd Borchert. Univ. Tübingen SS Vorlesung. Teil 13. Zertifikate, DLP: Shanks, Pohlig-Hellman
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- Magdalena Hoch
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1 Kryptologie ernd orchert Univ. Tüingen SS 2017 Vorlesung Teil 13 Zertifikte, DLP: Shnks, Pohlig-Hellmn
2 Zertifikte Diffie-Helmn Schlüsselvereinrung zwischen rowser und Weseite g rowser Ftles Prolem: Mn-in-the-middle g m M Spezielle (einseitige) Sitution ist ds ufrufen einer Weseite: wie knn sicher sein, dss er ttsächlich uf der richtigen Weseite ist?
3 Erste Lösung: Signtur durch uthority Certifiction uthority C k C,priv Prolem: muss jedesml C itten, zu signieren ( Stndleitung ) k C,pu s = e k C,priv (g, g, s entschlüsselt mit k C,pu die Signtur s Wenn lles stimmt, setzt er den Schlüsselustusch fort g m M geht schief
4 Zweite Lösung: Zertifikt Certifiction uthority C k C,priv k C,pu cert = < k,pu, e k C,priv (k,pu, C> k,priv g s = e k,priv (g ) g, s, cert M m prüft ID und C- Signtur in cert (ei C) und prüft dnn mit k,pu die Signtur s. Wenn lles stimmt, setzt er den Schlüsselustusch fort Ein Zerfikt ist die Signtur eines Pres <k pu,id> eines Teilnehmers mit ID in einer PKI durch eine C.
5 C Hierrchie C-top k C-top,priv k C-top,pu cert C1 = < k C,pu, C, e k C-top,priv (k C1,pu,C), C-top> C k C,priv zusätzlich k C,pu cert = < k,pu, e k C,priv (k,pu, cert C1 > s = e k,priv (g ) cert k,priv g, s, cert prüft cert C1 und cert
6 TLS g rowser TLS ( https ) esteht - us rowsersicht - us 3 Schritten. 1. Prüfe Zertifikt der Weseite (z.. vi ECC). 2. Vereinre (z.. vi Diffie Helmn) einen symmetrischen Schlüssel, er nur wenn dei von der Weseite die Nchrichten signiert werden. 3. Verschlüssele/Entschlüssele d den Rest der Kommuniktion mit dem vereinrten symmetrischen Schlüssel (z.. ES).
7 DLP lgorithmen Es folgen zwei lgorithmen für DLP: Gint-Step-y-Step und Pohlig-Helmn
8 y-step-gint-step lgorithmus y-step-gint-step lgorithmus zur erechnung des Diskr. Logrithmus DL Fest vorgegeen: Primzhl p, Genertor g. Prolem: Gegeen x in Z p *, finde y mit g y = x mod p Sei r = kleinste gnze Zhl größer ls Qudrtwurzel von p, d.h., jedes y lässt sich drstellen ls y = ry Gint + y y mit y Gint,y y < r. (Eindeutigkeit unwesentlich) Es gilt: g y = x mod p g ry Gint + y y = x mod p g ry Gint g y y = x mod p g y y = xg -ry Gint mod p lgorithmus. Finde y mit g y = x mod p Schritt 1: Lege eine 2-spltige D n mit den Einträgen (in,out) = (0,g 0 mod p), (1,g 1 mod p), (2,g 2 mod p),.,(r-1,g r-1 mod p). Lege einen Index n zum schnellen Suchen in der 2. Splte out. Schritt 2: Durchlufe lle Möglichkeiten y Gint = 0, 1,, r-1: erechne s = xg -ry Gint mod p und prüfe, o es einen D-Eintrg (y y,s) git. Wenn j, RETURN y = ry Gint + y y ; nsonsten gehe zum nächsten y Gint ; Korrektheit: Wenn usge ry Gint + y y erfolgt, dnn g y y = s = xg -ry Gint mod p, lso g y = x mod p. ndererseits wird der Schritt 2 uch irgendwnn den DL y erwischen, nämlich eim Durchluf von y Gint. Komplexität: Der lgorithmus reduziert die Lufzeit eines Exhustive Serch von p uf Wurzel p (ws erhelich ist), uf Kosten eines großen Speicheredrfs. em. Ds ist wieder ein Meet-in-the-middle lgorithmus, so wie der für 2-DES. em. Der lgorithmus wird uch nch seinem Erfinder Shnks lgorithmus gennnt. em. Der lgorithmus zum Finden des multipliktiven Fktors k eim DL-ECC Prolem ist identisch!
9 Pohlig-Hellmn lgorithmus Pohlig-Helmn lgorithmus zur erechnung des Diskr. Logrithmus DL Fest vorgegeen: Primzhl p, Genertor g. Prolem: Gegeen x in Z p *, finde y mit g y = x mod p Teillgorithmus (teilerfremde Fktoren) Sei phi(p) = r. s mit r und s teilerfremd. erechne g 0. s, g 1. s, g 2. s,..., g (r-1). s mod p, solnge is ein g i. s = x s mod p gefunden ist. Dieses i existiert, nämlich ls i = y mod r, denn für y = i + z. r gilt x s = (g (i + z. r) ) s = g (i + z. r). s = g i. s. g z. r. s = g i. s. g z. phi(p) = g i. s Euler/Fermt mod p eknnt ist dmit lso i = y mod r. nlog finden wir durch usproieren von g 0. r, g 1. r, g 2. r,..., g (s-1). r mod p und jeweils den Vergleich g j. r = x r mod p? den Wert j = y mod s. Dmit sind die Vorussetzungen für CRT perfekt gegeen: y ergit sich ls eindeutige Lösunodulo r. s (r und s teilerfremd), für die gilt i = y mod r und j = y mod s. Es gilt dnn: g y = x mod p
10 Pohlig-Hellmn lgorithmus Pohlig-Helmn lgorithmus zur erechnung des Diskr. Logrithmus Fest vorgegeen: Primzhl p, Genertor g. Prolem: Gegeen x in Z p *, finde y mit g y = x mod p Teillgorithmus (Primzhlpotenzen) Sei phi(p) = q h. s mit q (Primzhl) und s ( Restfktor ) teilerfremd. Gesucht ist die Zhl j = y mod q h. Dfür schreien wir fiktiv y = 0 q q h q h mit 0 <= i < q (ist eindeutig, wie z.. inärzhlen). Zuerst wird 0 gefunden durch usproieren/erechnen von g 0.q h-1. s, g 1.q h-1. s, g 2.q h-1. s,..., g (q-1).q h-1. s mod p, solnge is ein g i.q h-1. s = x qh-1. s mod p gefunden ist. Dieses i existiert, nämlich i= 0 : Euler/Fermt x qh-1. s = (g y ) qh-1s = g y. q h-1. s = g ( q h. q h ).q h-1. s = g 0.qh-1. s. g ( 1 q h. q h ).q h-1. s = g 0.q h-1. s. g ( h. q h-1 ).q h. s = g 0 q h-1.s mod p Mit 0 ls eknnt, finde 1 durch usproieren von g ( q).q h-2. s, g ( q).q h-2. s, g ( q).q h-2. s,..., g ( 0 + (q-1). q).q h-2. s ds i mit g ( 0 + i).q h-2. s = x qh-2. s mod p. Es ist i = 1 us dem nlogen Grund wie ei 0 : Euler/Fermt x qh-2. s = (g y ) qh-2 s = g y. q h-2. s = g ( q + 2 q h. q h).q h-2. s = g ( q).q h-2. s. g ( h. q h-2 ).q h. s = g ( q). q h-2. s mod p Mit 0 und 1 ls eknnt, finde durch usproieren von g ( q + 0. q 2).q h-3. s, g ( q + 1. q 2).q h-3. s,..., g ( q + (q-1). q 2).q h-3. s ein i ( = 2 ) mit g ( q+ i. q 2).q h-3. s = x qh-3. s mod p. Mche ds h ml, d.h., estimme lle 0,..., h-1. Wegen y = 0 q q h-1 q h-1 + h q h gilt für j = 0 q q h-1 q h-1, dss j = y mod q h. Diese Zhl j wurde gesucht.
11 Pohlig-Hellmn lgorithmus Pohlig-Helmn lgorithmus zur erechnung des Diskr. Logrithmus Fest vorgegeen: Primzhl p, Genertor g. Prolem: Gegeen x in Z p *, finde y mit g y = x mod p Gesmt-lgorithmus Sei phi(p) = q 1 h 1. q 2 h q n h n die Primfktorzerlegung von phi(p). estimme für jede Primzhl q i ds j i, so dss y = j i mod p i h i Diese n Gleichungen hen mit CRT eine eindeutige Lösung y, für die gilt: g y = x mod p. Wenn phi(p) lso in kleine Primfktoren zerfällt, dnn lässt sich DLP schnell lösen. eispiel: p = Konsequenz us Pohlig-Helmn: Sophie-Germin Primzhlen p für DLP enutzen (p = 2q+1, mit q Primzhl. eispiel p=47).
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