Physik A VL2 ( )

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1 Physik A VL2 ( ) Online-Zugriff auf - Vorlesungsinhalte (Folien & zus. Material) - Übungszettel

2 Physik A VL2 ( ) Messen und Abschätzen Messfehler Messmethoden Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Mittelwert, Varianz, Standardabweichung Fehlerfortpflanzung Signifikante Stellen, wissenschaftliche Schreibweise Einheiten Mathematische Grundlagen!

3 Messen und Abschätzen Genaue (!) Messungen sind ein grundlegender Teil der Physik! Jede Messung vergleicht die Messgröße mit einer Referenzgröße aber: und: Mit jeder Messung ergibt sich ein Messfehler! In manchen Fällen reicht es aus, eine bestimmte Größe lediglich grob abzuschätzen, Abschätzung der Größenordnung einer Messgröße: Angabe innerhalb eines Faktors 10 genau. Beispiel: Bestimmung der Dicke einer Buchseite mit einem Lineal das Buch hat 1000 Seiten = 500 Blätter mit dem Lineal wird gemessen: 500 Blätter = 40,0 mm 40,0 mm 0.08mm m 500 Blatt

4 Messen Einsatz unterschiedlicher Messmethoden Wahl der Messmethode abhängig von Beispiel: Längenmessung zu erwartendem Wertebereich Anforderungen an die Genauigkeit der Messung Methode/Gerät Messbereich Genauigkeit Massband, Lineal einige mm bis m ± 1 mm (± 0,5 mm) Schieblehre mm bis cm ± 0,1 mm Mikrometerschraube µm bis cm wenige µm Laufzeit von Lasern (Interferometer) Mikroskope (Licht-, Elektronen-, Raster-) bis > 10 5 km einige nm bis µm Bereich der Lichtwellenlängen (µm) bei Tunnelmikroskopen: 0.1 nm (atomare Auflösung!) Kobaltatome auf Kupferoberfläche, Durchmesser ca. 15 nm (1, m)

5 Messen Messfehler Wiederholte (gleiche) Messungen können verschiedene Ergebnisse liefern. Die Differenz zwischen Messwert und (unbekanntem!) wahren Wert ist der Messfehler. Einteilung der Messfehler in zwei Gruppen: 1. zufällige Fehler Schwankungen / Streuung der Messwerte durch Störeffekte äussere Einflüsse (Temperaturschwankungen, Zugluft, elektromagnetische Felder, Erschütterungen) Rauschen der Messgeräte 2. systematische Fehler Fehler der Messinstrumente nicht optimale Auslegung des Experiments in Bezug auf die Fragestellung falsche Nutzung von Messgeräten Fehler des Messenden (Ablesefehler!) Oft schwer abzuschätzen bzw. werden häufig nicht erkannt!

6 Messfehler Messfehler ergeben sich aus unterschiedlichen Ursachen: - Begrenzte Genauigkeit des Messinstrumentes Beispiele: Genauigkeit von Skalen und Eichung Empfindlichkeit des Messgerätes bei digitalen Instrumenten: Digitalisierung liefert diskrete Anzahl möglicher Messwerte, d.h. begrenzte Auflösung, z.b. digitales Multimeter: 12 bit analog-digital-wandler 2 12 = 4096 mögliche Werte! Messbereich V: Genauigkeit ± ~0.25 V Spannungsänderungen im mv-bereich bleiben verborgen!

7 Messfehler Messfehler ergeben sich aus unterschiedlichen Ursachen: - Ablesefehler (bei analogen Anzeigen oder durch Digitalisierung) Beispiel: Ablesegenauigkeit eines Zentimetermaßes, Zollstocks oder Lineals mit 1 mm als kleinster Einteilung Ablesegenauigkeit von ± 1 mm, eventuell auch ± 0,5 mm, aber z.b. 10,1 oder 10,2 mm nicht bestimmbar! Demgegenüber: Schieblehre Mikrometerschraube - Äussere Einflüsse, die das Messergebnis beeinflussen können Beispiel: Ballwurf, bei dem (unkontrollierbare) Luftbewegungen die Messergebnisse beeinflussen und verfälschen.

8 Messfehler Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler relativer Messfehler: - Verhältnis des Messfehlers zum gemessenen Wert, multipliziert mit 100: 0,5mm ,0mm 5% Direkt mit einem möglichen Messfehler verknüpft ist die Zahl signifikanter Stellen bei der Angabe bzw. Auswertung von Messwerten. Beispiel (s.o.): Angabe des Messwertes in der Form 10,00 mm impliziert, dass die Messung mit einer Genauigkeit erfolgte, die es z.b. erlaubt zu unterscheiden, ob eine Länge 10,00 oder 10,05 mm beträgt! Tatsächlich wissen wir (s.o.), dass wir gerade in der Lage sind, 10,0 von 10,5 mm zu unterscheiden!

9 Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Angabe des Messfehlers: Messfehler x x sys x stat Berechnung des Mittelwertes einer Messgröße aus n Messungen: n 1 1 x x1 x2 xn xi n n i 1 Der Mittelwert x ist der wahrscheinlichste Wert für die gemessene Größe x. Die Verlässlichkeit des Mittelwertes steigt mit der Anzahl der Wiederholungsmessungen.! Das gilt nur bei zufälligen, statistischen Fehlern!

10 Messfehler Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Quantifizierung der Streuung der Messwerte um den Mittelwert Δx = als Maß für den Messfehler: x i x Nicht die Summe der Differenzen vom Mittelwert: Stattdessen: Quadratische Differenz = Varianz n n 1 1 x x xi x n i i1 n i1 n n 1 1 xi x 0 n i1 n i1 x x n ( x) ( xi ) n 1 i1 1 n 1 n i1 x i 1 x 2

11 Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Aus der Varianz σ 2 erhält man die Standardabweichung σ, über die die Messgröße bestimmt wird: Messgröße = Mittelwert ± Standardabweichung x x Messfehler Die Angabe des Messergebnisses erfolgt dann als absoluter Fehler oder relativer Fehler Beispiel 0,5mm x x 0,05 bzw. 5% x 10mm

12 Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Beispiel: Messreihe mit n = 5 Messwerten (Zeit) Messung # Messwert 1. Mittelwert t 1 5 t i n i ,34 s 1,54 s 1,44 s 1,29 s 1,43s 7,04 s 1,408 s 2. Quadratische Differenz / Varianz i1 2 0,03748 s s s s s s 2 t 2 t 0,068 s2 0,132 s2 0,032 s2 0,118 s2 i t 0,022 s 3. Standardabweichung 2 0,03748 s 2 0,194 s Messfehler Angabe des Messwertes mit absolutem Fehler: mit relativem Fehler: 0,19 t 0,135 13,5% 1,41 t t 1,41 0,19s 1,41 113,5% s 2

13 Messfehler Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Graphische Darstellung des Messfehlers: Fehlerbalken 2.0 Messung # Messwert t / s s s s s s Experiment # t t 1,41 0,19s 1,41 113,5% s

14 Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Fehlerfortpflanzung Messfehler 1. Addition und Subtraktion c = a + b; Messfehler: a ± Δa, b ± Δb c ± Δc = a + b ± Δa ± Δb Δc max = Δa + Δb Bei Addition oder Subtraktion von Messwerten addieren sich die absoluten Fehler.

15 Messfehler Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Fehlerfortpflanzung 2. Multiplikation und Division c = a b; Messfehler: a ± Δa, b ± Δb c ± Δc = (a ± Δa)(b ± Δb) = ab ± bδa ± aδb ± ΔaΔb Δc max = bδa + aδb + ΔaΔb relativer Fehler: c c ba ab ab ; ab ab ab, ba c c a a b b Bei Multiplikation und Division addieren sich die relativen Fehler.

16 Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler Fehlerfortpflanzung Messfehler 3. Allgemeine Definition des Größtfehlers R f x, y, z,... R dr dx x dr dy y dr dz z... Partielle Ableitungen von R nach x,y und z Relativer Größtfehler: R R

17 Signifikante Stellen Die Zahl signifikanter Stellen eines Messergebnisses ergibt sich aus dem mit der Messung verknüpften Messfehler. Beispiel: Lineal, Zollstock mit 1 mm-skalierung aber: 10 mm oder, falls es möglich ist, auch halbe Millimeter abzulesen 10,0 mm (da sich 10,0 bzw. 10,5 mm noch ablesen lassen) weder 1 cm (impliziert, das der Messwert auch bei 0,9 oder 1,2 cm liegen könnte), noch 10,00 mm (impliziert eine Messgenauigkeit < 0.1 mm!!) Entscheidend ist die Anzahl signifikanter Stellen auch bei Rechnungen insbesondere, wenn dabei Messgrößen die mit unterschiedlicher Genauigkeit bestimmt wurden, miteinander verknüpft werden. Das Endergebnis einer Multiplikation oder Division sollte nur so viele Stellen haben wie die Zahl mit der kleinsten Signifikanz.

18 Signifikante Stellen Das Endergebnis einer Multiplikation oder Division sollte nur so viele Stellen haben wie die Zahl mit der kleinsten Signifikanz. Beispiel: 11,3 cm x 6,8 cm = 76,84 cm 2, 6,8 cm: 2 signifikante Stellen 76,84 aufrunden auf 2 signifikante Stellen: 77 cm 2! Gleiches gilt für Addition und Subtraktion: (3,6 0,57 = 3,0 und nicht 3,03)! Auch nicht zu wenige signifikante Stellen angeben: 2,5 x 3,2 = 8,0 und nicht 8! Im Laufe einer Rechnung sollte mit mehr Stellen gerechnet werden Vermeidung von Rundungsfehlern, das Endergebnis sollte aber nur mit der entsprechenden (sinnvollen!) Anzahl signifikanter Stellen angegeben werden!

19 Angabe in Zehnerpotenzen: Wissenschaftliche Schreibweise = 3,69 x 10 4 oder = 3,6900 x 10 4, wenn alle 5 Stellen signifikant sind. Offensichtliche Vorteile bei großen Zahlen ( Übersichtlichkeit ): Welche Zahl ist größer?: oder ? Besser: 1,543 x vs. 1,543 x 10 13!!! Und: Die wissenschaftliche Schreibweise verdeutlicht die Anzahl signifikanter Stellen!

20 Einheiten Keine (physikalische) Größe ist sinnvoll ohne Einheit!! Das SI-Einheitensystem (Systeme International des Unites, seit 1954) 1. Länge (Meter, m) Ursprüngliche Definition (1790): zehnmillionster Teil der Entfernung zwischen dem Äquator und den Polen. 1960: 1 Meter ist das ,73-fache der Wellenlänge einer Emissions- Linie des Gases Krypton 86 (im orangefarbenen Bereich). 1983: 1 Meter ist die Wegstrecke, die das Licht im Vakuum während einer Zeit von 1/ ,458 Sekunde zurücklegt. Beispiele: Größenordnungen von subatomaren Partikeln bis hin zu astronomischen Größenordnungen (Entfernung zwischen Galaxien, Größe des bekannten Universums).

21 Größenordnungen der Länge von subatomaren Partikeln zu astronomischen Größenordnungen Protonen-/Neutronen-Radius Atom (inkl. Elektronenhülle) Virus Bakterien Blatt Papier Fingerdicke Fussballfeld Höchste Berge (Mt. Everest) Erddurchmesser Abstand Erde-Sonne Abstand nächster Fixstern Abstand nächste Galaxie Größe des beobachtbaren Universums (fernste sichtbare Galaxie) m m 10-7 m 10-6 m 10-4 m 10-2 m 10 2 m 10 4 m 10 7 m m m m m

22 Einheiten Das SI-Einheitensystem 1. Länge (Meter, m) 2. Masse (Kilogramm, kg) Beispiele: Größenordnungen von subatomaren Partikeln bis hin zu astronomischen Größenordnungen (Masse von Erde & Sonne).

23 Größenordnungen der Masse von subatomaren Partikeln zu astronomischen Größenordnungen Elektron Proton/Neutron Bakterium Mücke Maus Mensch Schiff Erde Sonne Galaxie kg kg kg 10-5 kg 10-2 kg 10 2 kg 10 8 kg kg kg kg

24 Einheiten Das SI-Einheitensystem 1. Länge (Meter, m) 2. Masse (Kilogramm, kg) 3. Zeit (Sekunde, s) 4. Elektrischer Strom (Ampere, A) 5. Temperatur (Kelvin, K) Vergleich mit anderen (nicht-si) Einheiten: Celsius, Fahrenheit 6. Stoffmenge (Mol, mol) 7. Lichtstärke (Candela, cd)

25 Einheiten Kohärente SI-Einheiten Alle anderen physikalischen Größen sind abgeleitete Größen, die als Produkt aus Potenzen der 7 SI-Basiseinheiten ausgedrückt werden. Beispiele: Größe Einheit Einheiten- Zeichen in SI-Einheiten in SI- Basiseinheiten Kraft Newton N J/m m kg s -2 Druck Pascal Pa N/m 2 m-1 kg s-2 Energie Joule J N m; W s m2 kg s-2 Leistung Watt W J/s; V A m2 kg s-3 elektr. Spannung Volt V W/A m2 kg s-3 A-1 elektr. Ladung Coulomb C A s A s

26 Mathematische Grundlagen Grundrechenarten! Vektoren und Skalare, Vektorrechnung (VL 3 & 4) Geometrie Funktionen - lineare Funktionen - Parabeln und Polynome - trigonometrische Funktionen - Exponential- und Logarithmusfunktion Differential- und Integralrechnung, partielle Ableitungen Übungen (ÜZ 1 & 2)

27 Messen und Abschätzen Signifikante Stellen Zusammenfassung Jede Messung vergleicht die Messgröße mit einer Referenzgröße. Mit jeder Messung ergibt sich ein Messfehler! In manchen Fällen reicht es aus, eine bestimmte Größe lediglich grob abzuschätzen. Es gibt zufällige und systematische Messfehler. Erstere können quantifiziert werden. Messwerte werden angegeben in der Form: Mittelwert ± Standardabweichung. Die Standardabweichung berechnet sich dabei aus der quadratischen Differenz (Varianz). Beim Rechnen mit fehlerbehafteten Größen muss die Fehlerfortpflanzung beachtet werden. Die Zahl signifikanter Stellen eines Messergebnisses ergibt sich aus dem Messfehler. Ergebnisse von Rechnungen nur mit der entsprechenden Anzahl signifikanter Stellen angegeben! Sehr große und sehr kleine Zahlen sollten in wissenschaftlicher Schreibweise ausgedrückt werden. Einheiten Keine (physikalische) Größe ist sinnvoll ohne Einheit!! Nach Möglichkeit sollte das SI-Einheitensystem verwendet werden bzw. Werte in SI- Einheiten umgerechnet werden.