STATISTIK, ÖKONOMETRIE, OPTIMIERUNG

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1 Thorsten Poddig/ Hubert Dichtl/ Kerstin Petersmeier STATISTIK, ÖKONOMETRIE, OPTIMIERUNG Methoden und ihre praktische Anwendung in Finanzanalyse und Portfoliomanagement UHLENBRUCH Verlag Bad Soden/Ts.

2 m Inhaltsverzeichnis Vorwort Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis I XI XVII 1. Einleitung 1 Teil A: Statistik 7 2. Statistische Grundlagen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe und Definitionen Verschiedene Definitionen des Begriffs Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach LAPLACE Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach VONMISES Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach KOLMOGOROFF Elementare Rechenregeln Verschiedene Ansätze zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Zufallsvariablen, Realisationen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Empirische Verteilungen Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Rechenregeln Der Erwartungswert Varianz und Standardabweichung Die Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF Kovarianz und Korrelationskoeffizient Empirische Kennzahlen Lagemaße Streuungsmaße Empirische Kovarianz und Korrelationskoeffizient Wichtige Verteilungen in der Ökonometrie Die Normalverteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung Die t-verteilung Die F-Verteilung Grenzwerts ätze Gesetz der großen Zahlen Der zentrale Grenzwertsatz 89

3 rv Inhaltsverzeichnis 3. Finanzmathematische Grundlagen und Anwendung statistischer Konzepte Kurse und Renditen als Zufallsvariablen Kursverläufe als Zeitreihen Stationaritätseigenschaften einer Zeitreihe Autokovarianz und Autokorrelation Statistische Eigenschaften diskreter und stetiger Renditen Historisch basierte Renditeprognose Random-Walk-Hypothese Renditearten bei der Performancemessung Arithmetische und geometrische Renditeberechnungen Wertgewichtete und zeitgewichtete Renditen Weitere Renditearten Statistische Kennzahlen als finanzwirtschaftliche Risikomaße Volatilität Semivarianz und Ausfallwahrscheinlichkeit Value-at-Risk Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung Korrelationskoeffizient Tracking Error Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ Statistische Kennzahlen eines Portfolios Modelldarstellung Kritische Würdigung des Modells Punkt- und Intervallschätzungen Punktschätzungen Eigenschaften guter Schätzer Schätzung des Erwartungswerts und der Standardabweichung Intervallschätzungen Grundlagen und Konstruktionsprinzip von Konfindenzintervallen Konfindenzintervalle für den Erwartungswert Zweiseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe Einseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe Asymptotische Konfidenzintervalle Konfidenzintervalle für die Varianz bei normalverteilter Stichprobe 194 Teil B: Ökonometrie Einfache und multiple lineare Regression Das ökonometrische Grundmodell Parameterschätzung mittels,ordinary least Squares' (OLS) Vereinfachte Parameterschätzung bei der Einfachregression Bestimmung und Analyse der Residuen Güteeigenschaften der OLS-Schätzung 230

4 Inhaltsverzeichnis V Klassische Güteeigenschaften Asymptotische Güteeigenschaften Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient Grundidee und Definition des Bestimmtheitsmaßes Zusammenhang zwischen Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient Das korrigierte Bestimmtheitsmaß Fallstudie: CAPM, Marktmodell und Schätzung von Beta-Faktoren Erklärung von Renditen im Marktgleichgewicht mit Hilfe des CAPM Schätzung des.zukünftigen' Beta-Faktors mit Hilfe des Marktmodells Risikoanalyse mit Hilfe des Marktmodells Beispiel: Schätzung des Beta-Faktors der BASF-Aktie Fallstudie: Performancemessung Grundlagen der Performancemessung Aufgaben und Konstruktion geeigneter Benchmarks Verfahren der zweidimensionalen Performancemessung Berücksichtigung des Gesamtrisikos mit Hilfe des Sharpe-Maßes Berücksichtigung des systematischen Risikos mit Hilfe des Treynor-Maßes Anwendungsbeispiel: Sharpe-Ratio und Treynor-Maß Analyse des Regressionsmodells mittels Hypothesentests Grundlagen und Konstruktionsprinzip eines Hypothesentests Ergänzung der Annahmen des ökonometrischen Grundmodells Analyse eines geschätzten Regressionsmodells Test auf Signifikanz einzelner Regressoren mittels ;-Test Test auf Signifikanz des Gesamtmodells mittels F-Test Test der Annahmen des Regressionsmodells bezüglich der Residuen Ausgangslage Autokorrelation: Ursachen, Auswirkungen und Tests Ursachen und Auswirkungen der Autokorrelation Durbin-Watson-Test zum Test auf Autokorrelation erster Ordnung Heteroskedastizität: Ursachen, Auswirkungen und Tests Ursachen und Auswirkungen Breusch-Pagan- und White-Test zum Test auf Heteroskedastizität Test auf Normalverteilung mittels Jarque-Bera-Test Fallstudie: Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des Marktmodells Überprüfung der Residuen des Marktmodells Überprüfung des Marktmodells auf Signifikanz Fallstudie: Performanceattribution Messung des Selektionsbeitrags mit Hilfe des Jensen-Alpha-Maßes Beispiel zur Bestimmung des Jensen-Alpha-Maßes Messung des Timingbeitrags mit Hilfe einer quadratischen Regression 337

5 VI Inhaltsverzeichnis Beispiel zur Bestimmung der Timing-Fähigkeit Weitere Probleme bei der Regressionsanalyse Einsatz schwach stationärer Zeitreihen bei der Regressionsanalyse Das Phänomen der,spurious Regressions' Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch deterministische Trends Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch stochastische Trends Überprüfung der Stationariätseigenschaft Fallstudie: Überprüfung der Stationarität der Variablen des Marktmodells Das Problem der MultikoUinearität Formen, Auswirkungen und Kennzeichen der MultikoUinearität Verfahren zur Messung von MultikoUinearität Einfache Korrelationsanalyse Das Konzept der,variance Inflation Factors' (VIF) Behandlung der MultikoUinearität Fallstudie: Überprüfung eines Multi-Index-Modeils auf MultikoUinearität Fallstudie: Renditeprognose mit Hilfe von Regressionsmodellen Grundprinzip der Kurs- bzw. Renditeprognose mit Hilfe eines Regressionsmodells Problemstellung, Datenaufbereitung und Aufteilung des Datenmaterials Überprüfung der Stationaritätseigenschaften der Variablen Analyse des Datenmaterials mit Hilfe der Korrelationsanalyse Auswahl der erklärenden Variablen und Überprüfung der MultikoUinearität Schätzung der Regressionsparameter des Prognosemodells Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des Renditeprognosemodells Überprüfung der Residuen Überprüfung des Renditeprognosemodells auf Signifikanz Evaluierung der Prognosegüte des Renditeprognosemodells Generierung der Renditeprognosen Evaluierung der Prognosegüte mit Hilfe statistischer Maßzahlen Vergleich mit geeigneten Benchmark-Strategien Ökonomische Evaluierung der Prognosegüte Eindimensionale Performancemessung Zweidimensionale Performancemessung 424 Teil C: Optimierung Optimierungsverfahren Einführung Die formale Struktur eines Optimierungsproblems Überblick über verschiedene Optimierungsverfahren Lineare Optimierung Quadratische Optimierung 447

6 Inhaltsverzeichnis VII Suchverfahren First-Order Verfahren Second-Order Verfahren Schlussbemerkungen Eindimensionale Optimierung Verfahren ohne Gradienten Schachtelung des Minimums Erstmalige Schachtelung des Minimums Implementation zur eindimensionalen Optimierung Beispiel zur eindimensionalen Optimierung Verfahren mit Gradienten Das einfache Gradientenabstiegverfahren Beispielhafte Implementation des einfachen Gradientenabstiegverfahrens Beispielhafte Anwendung des einfachen Gradientenabstiegverfahrens Gradientenabstiegverfahren mit variabler Schrittweite Verfahren mit Gradienten und zweiter Ableitung Grundlegender Ansatz des Newton-Verfahrens Beispielhafte Implementation des Newton-Verfahrens Beispielhafte Anwendung des Newton-Verfahrens Optimierung im mehrdimensionalen Fall Gradientenabstiegverfahren im mehrdimensionalen Fall Gradientenabstiegverfahren mit Linienminimierung Theoretische Grundlagen Beispielhafte Implementation Beispielhafte Anwendung Zusammenfassung und Schlussbemerkungen Konjugierter Gradientenabstieg Theoretische Grundlagen Beispielhafte Implementation des konjugierten Gradientenabstiegs Beispielhafte Anwendung Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall Die Berücksichtigung von Nebenbedingungen Vorbemerkungen Optimierung mit Hilfe von Barrierefunktionen Beispiel zur Optimierung mit Hilfe von Barrierefunktionen Beispielhafte Implementation von Barrierefunktionen Optimierung eines Portfolios mit Hilfe von Barrierefunktionen Beispielhafte Implementation zur Portfoliooptimierung Probleme der nichtlinearen Optimierung Abschließende Bemerkungen zu den Implementationen 573

7 VIII Inhaltsverzeichnis 10. Anwendung der Optimierung Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung Der grundlegende Ansatz der nichtlinearen Kleinste-Quadrate Schätzung Die Bestimmung der Standardfehler Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten Fallstudie 3: Die Bestimmung des optimalen Portfolios Finanzwirtschaftlicher Hintergrund Die Ausgangsdaten Risikolose Anlagemöglichkeit und Leerverkäufe Risikolose Anlagemöglichkeit und keine Leerverkäufe Keine risikolose Anlagemöglichkeit und Leerverkäufe Keine risikolose Anlagemöglichkeit und keine Leerverkäufe Die Bestimmung des Minimum-Varianz Portfolios Fallstudie 4: Index Tracking Finanzwirtschaftlicher Hintergrund Bestimmung des Tracking Portfolios Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten Fallstudie 3: Die Bestimmung des optimalen Portfolios Fallstudie 4: Index Tracking 648 Anhänge 653 A.l. Grundlagen der Matrizenrechnung 653 A.1.1. Addition und Subtraktion von Matrizen 653 A.l.2. Multiplikation von Matrizen 654 A.l.3. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) 657 A.l.4. Transponieren von Matrizen 657 A.1.5. Multiplizieren und Transponieren von Matrizen 658 A.l.6. Quadratische und symmetrische Matrizen 659 A.l.7. Einheitsmatrix 659 A.l.8. Invertieren von Matrizen 660 A.l.9. Rechenregeln bei der Bildung von Ableitungen 661 A.l.10. Matrizen mit Zufallsvariablen 663 A.2. Tabellen 665 A.3. Grundlagen der Programmiersprache Visual Basic for Applications für Excel A.3.1. Datentypen 674 A.3.2. Zuweisung 676 A.3.3. Elementzugriff 676 A.3.4. Rechenoperationen 677 A.3.5. Verzweigungen 677 A.3.6. Programmschleifen 679

8 A.3.7. Funktionen und Prozeduren 680 A.3.8. Verwendung von Excel-Tabellenfunktionen 682 A.3.9. Programmausführung 683 A Schlussbemerkungen 684 Literaturverzeichnis 685 Stichwortverzeichnis 689 IX