Wahrscheinlichkeit und Zufall

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1 Wahrscheinlichkeit und Zufall Vorerfahrungen, Grundbegriffe und Geschichte 9. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1

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3 Inhalt Vorerfahrungen Grundbegriffe: Vom Zufall zur Wahrscheinlichkeit Ein Blick in die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung 3

4 KMK-Bildungsstandards Primarbereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen n in Zufallsexperimenten vergleichen: o Grundbegriffe kennen (z.b. sicher, unmöglich, wahrscheinlich). o Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z.b. Würfelspielen) einschätzen. Mittlerer Schulabschluss Daten und Zufall Die Schüler und Schülerinnen o beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen. o bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten. 4

5 Vorerfahrungen rf n 5

6 Redewendungen im Alltag WahrscheinlichW h h i h wird id es morgen regnen. Mannschaft A hat größere Chancen zu gewinnen als Mannschaft B. Mit hoher Wahrscheinlichkeit handelt es sich bei um den Täter. Es it ist unwahrscheinlich, h h dass bei der diesjährigen i Landtagswahl Partei A die absolute Mehrheit erhält. Das Risiko für einen Kernreaktorunfall wird als gering g eingeschätzt. 6

7 Subjektive Wahrscheinlichkeit In vielen Redewendungen d werden Abstufungen von Wahrscheinlichkeiten verwendet, um zum Ausdruck zu bringen, wie stark jemand vom Eintreten oder Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses überzeugt ist. Bei solchen personenbezogenen Einschätzungen handelt es sich um sogenannte subjektive Wahrscheinlichkeiten. sicher wahrscheinlich Chance 1:1 unwahrscheinlich unmöglich Wielassensich sich Wahrscheinlichkeiten objektiv, d.h. personenunabhängig, messen? 7

8 Vergleich von Gewinnchancen beim Lotto Ruth und Jenny spielen Lotto. Ruth bevorzugt aufeinander folgende Zahlen wie 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sie meint, dass sie auf diese Weise ihre Gewinnchancen verbessert. Jenny dagegen meint, dass die Chance, sechs aufeinanderfolgende Zahlen wie 1, 2, 3, 4, 5, 6 zu erhalten, kleiner sei als die Chance, eine beliebige Folge von Zahlen zu erhalten. Was halten Sie von diesen beiden Ansichten? a) Ruth hat Recht. b) Jenny hat Recht. c) Weder Ruth noch Jenny haben Recht. 8

9 Lottoziehung 6 aus 49 als Beispiel einer Zufallsauswahl Beim Lotto gibt es insgesamt verschiedene Ziehungen = 6! verschiedene Ziehungen gehören zu demselben Lottotipp. Beim Lotto haben alle Tipps dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit 1 : , unabhängig davon ob es sich bei dem Tipp um aufeinanderfolgende Zahlen handelt oder nicht. Da es beim Lottotipp nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ankommt, gibt es insgesamt ! = verschiedene Lottotipps. 9

10 Urnenmodell: Ziehen einer zufälligen Stichprobe In einem Gefäß befinden sich N Kugeln, die sich voneinander unterscheiden z.b. in der Farbe (oder Beschriftung). Nach Durchmischen werden n Kugeln gezogen, eine Stichprobe vom Umfang n. N Untersuchungseinheiten der Grundgesamtheit entsprechen den N Kugeln. Merkmalsausprägung entspricht der Kugelfarbe. Zufallsauswahl bedeutet, dass jedes Element aus der Grundgesamtheit dieselbe Chance besitzt, ausgewählt zu werden. 10

11 Grundbegriffe: Vom Zufall zur Wahrscheinlichkeit 11

12 Zufall in der Umgangssprache Etymologie: seit dem 14. Jahrhundert Gebrauch des Wortes zuoval im Mittelhochdeutschen: das, was einem zufällt Übersetzung des lateinischen accidens (von accidere aus ad zu und cadere fallen ) Verwendung in der Umgangssprache: Dummer Zufall Reiner Zufall Der Zufall kam uns zur Hilfe Der Begriff Zufall wird umgangssprachlich verwendet, wenn ein Ereignis beispielsweise nicht vorhersagbar ist. 12

13 Erzeugung g von Zufall am Beispiel des Roulette Die meisten Zufallsgeneratoren, denen wir im Alltag begegnen, sind so genannte chaotische Systeme. Würfel und Münze gehören ebenso dazu wie Lottomaschine und Roulette. Chaos bedeutet in diesem Zusammenhang die empfindliche Abhängigkeit des Ergebnisses von den Anfangsbedingungen. Ein kleiner Unterschied in der Bahn der Roulettekugel kann zu einer großen Abweichung des Zielfaches führen. Trotzdem sind die chaotischen Zufallsgeneratoren im Prinzip berechenbar. Wenn ein Beobachter die genaue Position und Geschwindigkeit aller bewegten Teile messen könnte und ihm dazu sämtliche Materialeigenschaften bekannt wären, könnte er das Ergebnis exakt vorhersagen. 13

14 Zufall in der Quantenphysik Die Quantenphysik beschreibt die Welt der Protonen, Lichtteilchen, Elektronen und anderer Elementarteilchen. Hier kann man nach Meinung der meisten Physiker den wahren Zufall studieren. Es ist bisher kein verborgener, innerer Mechanismus bekannt, der das zufällige Verhalten von Elementarteilchen steuert (z.b. bei der Emission radioaktiver Strahlung). Das ist der wesentliche Unterschied zu anderen Zufallsgeneratoren wie Münze, Würfel,. Albert Einstein war einer der prominentesten Kritiker des eingebauten Zufalls. Sein Kommentar: "Gott würfelt nicht! 14

15 Zufall in der Mathematik Modellbildungsprozess Es geht nicht iht um die begriffliche Klärung was ist Zufall?, sondern um die mathematische Beschreibung von zufallshaltigen sogenannten stochastischen Situationen Mathematisierung. Die Wahrscheinlich- keitstheorie th i bildet die Grundlage für die Modellierung stochastischer scher Situationen: Abb. aus Kütting: Elementare Stochastik 2008, S. 9 15

16 Mathematisierung zufallshaltiger Situationen: Der Zufallsversuch Zufallsversuch: Versuch unter exakt festgelegten Bedingungen, wobei die möglichen Ausgänge (Ergebnisse) des Versuches feststehen, jedoch nicht der Ausgang eines einzelnen Versuches. Versuch kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden. In der Realität sind Versuche nicht unendlich oft wiederholbar, außerdem können sich Versuchsbedingungen ändern. Zufallsgeneratoren: Münze, Würfel, Glücksrad, Urne, Wie unterscheidet sich ein Zufallsversuch vom naturwissenschaftlichen Versuch? 16

17 Mathematisierung zufallshaltiger Situationen: Ergebnismenge Zu jedem Zufallsversuch gehört eine Menge von Ergebnissen, die mathematisch zur sogenannten Ergebnismenge (bzw. zum Stichprobenraum) zusammengefasst werden. Ergebnismenge: Zusammenfassung der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments zu einer (endlichen) Menge Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } Zufallsversuch Ergebnismenge Eine Münze werfen Ω = {Κ,Ζ} Einen Würfel werfen Ω = {1,2,3,4,5,6} Aus einer Urne mit 3 roten und 2 weißen Ω = {rr,rw,wr,ww} Kugeln zweimal nacheinander ziehen. 17

18 Ergebnismenge und Wahrscheinlichkeiten beim zweifachen Würfeln Neue Wege 6 (2006), S

19 Ergebnismengen bei Würfelspielen Zufallsversuch Ergebnismenge Einen gelben und einen blauen Ω = {11, 12, 13..., 16, 21, 22, 23,..., 61, Würfel werfen 62,..., 66} Zwei Würfel werfen ohne Ω = {11, 12, 13..., 16, 22, 23,..., 56, 66} Beachtung der Reihenfolge Zwei Würfel werfen und die Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Augensumme bilden Zwei Würfel werfen und den Ω = {0,1,2,3,4,5},,,,, Unterschied der Augenzahlen bilden Einen Würfel so lange werfen, Ω = {1,2, 2 3, 4, 5, 6 } } bis '6' erscheint, und die Würfe alle natürlichen Zahlen bis dahin zählen. 19

20 Mathematisierung zufallshaltiger Situationen: Wahrscheinlichkeitsverteilung Der entscheidende d Schritt in die Stochastik tik ist nun, dass man den Ausfällen ω 1, ω 2,..., ω n des Zufallsversuchs eine Zahl zuordnet, die die Wahrscheinlichkeit ihres Eintreffens messen soll. Auf die einzelnen Ausfälle der gesamten Ergebnismenge verteilt man die Wahrscheinlichkeitsmasse 1. Wahrscheinlichkeitsverteilung: Jedem Element der Ergebnismenge Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } wird eine reelle Zahl P(ω i ) i = 1,, n zugeordnet, die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Dabei gilt: 0 p(ω i ) 1 p(ω 1 ) + p(ω 2 ) + + p(ω n ) = 1 20

21 Gleichwahrscheinlichkeit Bei vielen Zufallsversuchen gibt es keinen vernünftigen Grund, einen Ausfall hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit seines Auftretens vom andern zu unterscheiden: Bei idealen Versuchsbedingungen sind die Ausfälle gleichwahrscheinlich. Wenn die Ergebnismenge Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } insgesamt n Ausfälle umfasst, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Ausfälle gleich groß: 1 p( (ω ω i ) = i = 1,..., n n Zufallsversuch Ergebnismenge Wahrscheinlichkeit Eine Münze werfen Ω = {Κ,Ζ} p(k) = p(z) = ½ Einen Würfel werfen Ω = {1,2,3,4,5,6} p(1) = p(2) = =p(6) = 1/6 Eine Kugel aus der Ω = {1,2,...,48,49} 49} p(1) = p(2) = =p(49) = 1/49 Lottotrommel ziehen 21

22 Objektive Objektive Wahrscheinlichkeit Das Ergebnis ω besitze die objektive Wahrscheinlichkeit h hk i p = p(ω). Dann ist diese Wahrscheinlichkeit ein Maß für das Eintreten des Ergebnisses ω. Falls der Zufallsversuch unter denselben Bedingungen sehr oft wiederholt wird, tritt das Ergebnis auf Dauer in p 100% der Versuche ein. Beim Werfen einer idealen Münze beträgt p(kopf) = ½. Daher wird auf Dauer bei 50% der Münzwürfe Kopf oben liegen. Dabei sind mehr oder weniger große Abweichungen möglich, die auf den Zufall zurückgeführt werden können. 22

23 Kopf oder Zahl? Ergebnisse langer Versuchsserien mit Münzwürfen Anzahl der Würfe n Absolute Häufigkeit für Kopf H n (Kopf ) ( Kopf Relative Häufigkeit für Kopf h n (Kopf ) ( Kopf G.L.Buffon K.Pearson K.Pearson ,5069 0,5016 0,5005 Welche Beziehungen bestehen zwischen der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses Kopf und dessen relativer Häufigkeit bei einer großen Zahl von Wiederholungen des Münzwurfs unter gleichen Bedingungen? 23

24 Wechselspiel zwischen Wahrscheinlichkeit und relativen Häufigkeiten Prognose Wahrscheinlichkeit h hk it Relative Häufigkeit it Schätzung Aus den Kernlehrplänen NRW (Anforderungen am Ende der Sek I): Schülerinnen und Schüler nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten. 24

25 Stabilisierung der relativen Häufigkeiten beim Münzwurf Die relativen Häufigkeiten h n ( Kopf ) schwanken mit wachsender Versuchzahl n immer weniger um eine bestimmte Zahl, nämlich p(kopf)=0,5. pf) Applet in VUSTAT, CD Neue Wege 7

26 Auswertung von Zufallsversuchen mit Hilfe relativer Häufigkeiten h n ( ) ω = ( ω) Anzahl Hn der Versuche mit dem Ergebnis ω Gesamtzahl n der Versuche Eigenschaften: h n (ω) ist stets eine rationale Zahl Zähler und Nenner des Quotienten sind natürliche Zahlen Es gilt: 0 h n (ω) 11 Die absolute Häufigkeit des Ergebnisses ω liegt zwischen 0 H n (ω) n Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Mit wachsender Versuchsanzahl n schwanken die relativen Häufigkeiten weniger. Sie stabilisieren i sich um einen festen Wert. 26

27 Beispiele aus Schulbüchern (Sek I) 27

28 Zufallsversuch und Ergebnismenge Elemente der Mathematik 6, Hessen, S

29 Wahrscheinlichkeit als Schätzwert aus relativen Häufigkeiten bestimmt Elemente der Mathematik 6, Hessenausgabe, S

30 Gleichwahrscheinlichkeit Neue Wege 6, Hessenausgabe, S

31 Ein Blick in die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung 31

32 Astragale Glücksspiel Geschicklichkeit - Orakel 32

33 Würfeln in der Antike 33

34 Würfelspieler im Mittelalter (Anfang 13. Jahrhundert) 34

35 Barth & Hallers Zeitleiste zur Entwicklung der Stochastik 35

36 Ein berühmter Briefwechsel von Pascal und Fermat (Paris 1654) Blaise Pascal ( ) Pierre de Fermat ( ) Das Jahr 1654 gilt als Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Erst jetzt begann die systematische Begründung der Theorie des Zufalls mit einer Reihe von Briefen, in denen Pascal und Fermat sich gegenseitig Probleme aus der Welt des Glücksspiels vorlegten z.b. Teilungsprobleme: Wie soll der Gesamteinsatz eines Spieles gerecht verteilt werden, wenn das Spiel vorzeitig abgebrochen werden muss ( Höhere Gewalt )? Die Wetten des Chevalier de Méré: Gewinnchancen bei Würfelspielen 36

37 Ein Teilungsproblem verschiedene Lösungswege Zwei Spieler A und B haben eine Reihe von Glücksspielen verabredet. Die Chancen zu gewinnen, sind für beide Spieler gleich. Unentschieden gibt es nicht. Wer zuerst 5 Partien gewonnen hat, erhält die Einsätze. A hat schon vier, B erst drei Spiele gewonnen. Bei diesem Spielstand 4:3 muss das Spiel abgebrochen werden. Wie sind die Einsätze zu verteilen? Lösung von Pascal: Wenn B das nächste Spiel gewinnen würde, wäre Gleichstand, und B müsste die Hälfte des Einsatzes bekommen. Da die Chance zu gewinnen nur ½ ist, gebührt ihm die Hälfte von der Hälfte der Einsätze, also ¼ der Einsätze d.h. es ist im Verhältnis 3:1 zu teilen. Lösung von Fermat: nach Kütting 2008, S. 16f. 37

38 Geburtenziffern und Münzwurf Verbindung von Statistik und Wahrscheinlichkeit AG Moderner MU John Arbuthnot ( ) interpretierte den leichten systematischen Überschuss von Jungengeburten mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsmodells: Wäre das Geschlecht das Ergebnis eines Münzwurfs, dann wäre die Chance ½, dass in einem Jahr mehr Jungen als Mädchen geboren würden. Dies wurde jedoch in 84 aufeinander folgenden Jahren beobachtet. Diese Abweichung ist sehr unwahrscheinlich: ,

39 Ars conjectandi Die Kunst des Vermutens (1713) Jakob Bernoulli ( ) "Irgendein Ding vermuten, heißt soviel, als seine Wahrscheinlichkeit messen. Deshalb bezeichnen wir als Vermutungs- oder Mutmaßungskunst (ars conjectandi sive stochastice) die Kunst, so genau als möglich die Wahrscheinlichkeiten der Dinge zu messen, und zwar zu dem Zwecke, dass wir bei unseren Urteilen und Handlungen stets das auswählen und befolgen können, was uns besser, trefflicher, sicherer oder ratsamer erscheint. Darin allein beruht die ganze Weisheit it des Philosophen h und die ganze Klugheit des Staatsmannes. Jakob Bernoulli ( ) "Ars conjectandi" (veröff. 1713) 39

40 Stochastik Das Wort Stochastik tik kommt aus dem Griechischen h und bedeutet t soviel wie Lehre des richtigen Mutmaßens. (In dem Wort Mutmaßen steckt beides: Vermuten und Messen) Stochastik Statistik Beschreibende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlich- Keitsrechnung

41 Literatur zur Vertiefung Elektronische Ressource der Universitätsbibliothek Paderborn 41

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