Taschenbuch der Regelungstechnik

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1 Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink von Prof. Dr.-Ing. Holger Lutz Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Wendt 10., ergänzte Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 56788

2 Autoren: Dr.-Ing. Holger Lutz, geb. Sinning, Elektromechanikerlehre in einer Firma für Steuer- und Regelungsanlagen, Studium an der Ingenieurschule Kassel zum Ing. grad., nach Berufstätigkeit als graduierter Ingenieur Studium der Elektrotechnik und Regelungstechnik an der TU Berlin zum Dipl.-Ing., Berufstätigkeit, wissenschaftlicher Mitarbeiter an der TU Berlin im Fachbereich Konstruktion und Fertigung, Promotion über die Steuerung und Regelung der Bewegungsachsen von Industrierobotern. Mitinhaber eines Ingenieurbüros, danach Professor an der University of Applied Sciences Technische Hochschule Mittelhessen für das Fachgebiet Steuer- und Regelungstechnik im Fachbereich Informationstechnik Elektrotechnik Mechatronik. Professor Dr.-Ing. Holger Lutz Technische Hochschule Mittelhessen Friedberg Dr.-Ing. Wolfgang Wendt, Elektromechanikerlehre in einer Firma für steuerungs- und regelungstechnische Geräte, Studium an der Fachhochschule Darmstadt zum Ing. grad., danach Studium der Elektrotechnik an der TU Berlin zum Dipl.-Ing., wissenschaftlicher Mitarbeiter an der TU Berlin im Fachbereich Konstruktion und Fertigung, Promotion über die Regelung von bahngesteuerten Arbeitsmaschinen, Mitarbeiter an einem staatlichen Forschungsinstitut, danach Professor an der University of Applied Sciences Hochschule Esslingen für das Fachgebiet Steuer- und Regelungstechnik in der Fakultät Maschinenbau. Professor Dr.-Ing. Wolfgang Wendt Hochschule Esslingen Esslingen am Neckar 10., ergänzte Auflage 2014 Druck ISBN Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. c 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, Radevormwald Druck: CPI Ebner & Spiegel, Ulm

3 Vorwort Das Taschenbuch der Regelungstechnik wendet sich an Studentinnen und Studenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Maschinenbau und der allgemeinen Ingenieurwissenschaften von Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Technischen Universitäten. Es ist aufgrund der ausführlichen und doch kompakten Darstellung für die Anwendung in der ingenieurtechnischen Praxis geeignet sowie als Begleittext für regelungstechnische Vorlesungen einsetzbar. Der Themenbereich erstreckt sich von der Berechnung von einfachen Regelkreisen mit Proportional-Elementen, von Regelkreisen im Zeit- und Frequenzbereich bis zu digitalen Regelungen, Zustandsregelungen, nichtlinearen Regelungen und Fuzzy-Regelungen. Die Verfahren der Zustandsregelung werden auf Probleme der Antriebstechnik angewendet. In vielen Anwendungsbereichen hat sich MATLAB als Language of Technical Computing auf breiter Ebene für die Berechnung, Visualisierung und Programmierung von technischen und wirtschaftlichen Problemstellungen durchgesetzt. Ergänzt wird MATLAB durch das Programmpaket Simulink, mit dem dynamische Systeme modelliert, simuliert und analysiert werden können. Zwei Abschnitte befassen sich daher mit der Anwendung des Programmsystems MATLAB, Simulink auf Problemstellungen der Regelungstechnik. 1 Die Beschreibungen der regelungstechnischen Verfahren und Methoden werden durch überschaubare Beispiele ergänzt. Zu vielen Beispielen sind m-files und Simulink- Modelle für das Programmsystem MATLAB, Simulink angegeben 2, die mit den aktuellen Software-Versionen erstellt worden sind. Das Taschenbuch enthält zahlreiche Tabellen, die in der Regelungstechnik benötigt werden. Für die Anwendung der LAPLACE-Transformation und z-transformation wurden umfangreiche Transformationstabellen berechnet, z-transformationen für Regelstrecken höherer Ordnung mit Halteglied sind in dem Taschenbuch dargestellt. Die Benutzung der Tabellen zur LAPLACE- und z-transformation wird für die Anwender vereinfacht, da bei den Transformationspaaren neben den allgemeinen mathematischen Bezeichnungen auch die in der Regelungstechnik normierten Kenngrößen wie Zeitkonstanten und Kreisfrequenzen angegeben sind. Die Identifikation von Übertragungselementen mit der Sprungantwortfunktion ist ebenfalls tabellarisch angegeben. Die Kapitel mit MATLAB- und Simulink-Anwendungen wurden an die aktuelle Release des Programmpakets angepasst. In die Tabelle mit den Simulink-Blöcken wurden neue Blöcke eingefügt und deren Funktionsweise mit Beispielen erklärt. 1 MATLAB und Simulink werden in Deutschland von The MathWorks GmbH, Ismaning, vertrieben. 2 Die m-, mdl- und slx-files können von der Homepage von Holger Lutz über heruntergeladen werden.

4 Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str Haan-Gruiten

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Regelungstechnik Steuerungen und Regelungen Begriffe der Regelungstechnik Hilfsmittel zur Darstellung von regelungstechnischen Strukturen Wirkungs- oder Signalflusspläne Elemente des Wirkungs- oder Signalflussplans Übertragungsblock und Wirkungslinie Verknüpfungselemente Einfache Signalflussstrukturen und Vereinfachungsregeln Anwendung der Wirkungs- oder Signalflusspläne Kettenstruktur Parallelstruktur Kreisstrukturen Struktur mit indirekter Gegenkopplung Struktur mit direkter Gegenkopplung Berechnungen von Regelkreisen mit Proportional-Elementen Umformung von Wirkungs- und Signalflussplänen Umformungsregeln Tabelle der Umformungsregeln für Wirkungspläne Anwendungsbeispiele Mathematische Methoden zur Berechnung von Regelkreisen Normierung von Gleichungen Linearisierung von Regelkreiselementen Definition der Linearität Linearisierung mit grafischen Verfahren Linearisierung mit analytischen Verfahren Linearisierung bei mehreren Variablen Berechnung von Differenzialgleichungen für Regelkreise Differenzialgleichungen von physikalischen Systemen Lösung von linearen Differenzialgleichungen Überlagerung von Teillösungen Lösung einer homogenen Differenzialgleichung Partikuläre Lösung einer Differenzialgleichung Testfunktionen Vergleich mit Testfunktionen Impulsfunktion Sprungfunktion Anstiegsfunktion Harmonische Funktion LAPLACE-Transformation Einleitung Mathematische Transformationen Rechenvereinfachungen durch Transformationen Original- und Bildbereich der LAPLACE-Transformation LAPLACE-Transformation und LAPLACE-Rücktransformation

6 2 Inhaltsverzeichnis Anwendung der LAPLACE-Transformation Allgemeines Linearität Verschiebungssätze Ähnlichkeitssatz Differenziations- und Integrationssatz Faltungssatz Grenzwertsätze LAPLACE-Transformation von periodischen Funktionen Lösung von linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mithilfe der LAPLACE-Transformation Übertragungsfunktionen von Übertragungselementen Partialbruchzerlegung Allgemeines Einfache reelle Polstellen Mehrfache reelle Polstellen Einfache komplexe Polstellen Charakteristische Gleichung und Pol-Nullstellenplan Tabellen für die LAPLACE-Transformation Frequenzgang von Übertragungselementen Dynamisches Verhalten im Frequenzbereich Frequenzgang Berechnung des Frequenzgangs aus der Differenzialgleichung des Übertragungselements Frequenzgang und Übertragungsfunktion Frequenzgang und Ortskurve Frequenzgang und BODE-Diagramm Frequenzgang und Sprungantwort Elemente von Regeleinrichtungen und Regelstrecken Einteilung und Darstellung der Regelkreiselemente Proportional-Element ohne Verzögerung Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Regler (P-Regler) Proportionale Regelstrecken Allgemeines Proportional-Regelstrecke (P-Regelstrecke) Proportional-Elemente mit Verzögerung Allgemeines PT 1 -Element, Proportional-Element mit Verzögerung I. Ordnung Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich PT 2 -Element, Proportional-Element mit Verzögerung II. Ordnung Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Totzeit-Element (PT t -Element) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich

7 Inhaltsverzeichnis Allpass-Elemente Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Minimal- und nichtminimalphasige Elemente Differenzierende Übertragungselemente Differenzial-Element ohne Verzögerung (D-Element) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Differenzial-Element mit Verzögerung I. Ordnung (DT 1 -Element) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Differenzial-Element mit Verzögerung I. Ordnung in multiplikativer Form (PDT 1 -, PPT 1 -Element) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Differenzial-Element mit Verzögerung I. Ordnung in additiver Form (PDT 1 -Element) Proportional-Differenzial-Regler (PD-Regler, PDT 1 -Regler) Integrierende Elemente Integral-Element (I-Element) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Integrale Regelstrecken Allgemeines Verhalten Integrale Regelstrecke (I-Regelstrecke) Integrale Regelstrecke mit Verzögerung (IT 1 -Regelstrecke) Integrale Regelstrecke mit Totzeit (IT t -Regelstrecke) Regler mit integralem Verhalten Integral-Regler (I-Regler) Proportional-Integral-Regler (PI-Regler) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Integral-Differenzial-Regler ohne Verzögerung in additiver (paralleler) Form (PID-Regler) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Integral-Differenzial-Regler ohne Verzögerung in multiplikativer (serieller) Form (PID-Regler) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Integral-Differenzial-Regler mit Verzögerung in additiver (paralleler) Form (PIDT 1 -Regler) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich Proportional-Integral-Differenzial-Regler mit Verzögerung in multiplikativer (serieller) Form (PIDT 1 -Regler) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich

8 4 Inhaltsverzeichnis PID-Reglerstrukturen, Umrechnung zwischen additiven und multiplikativen Formen PID-Regler mit zwei Freiheitsgraden Standardisierte Parameter von Übertragungsfunktionen Koeffizienten und standardisierte Parameter Ermittlung der stationären Verstärkungsfaktoren Integrierverstärkung K I Proportionalverstärkung K P Differenzierverstärkung K D Ermittlung der Verstärkungsfaktoren bei Übertragungsfunktionen mit mehreren Übertragungskomponenten Ermittlung von Zeitkonstanten, Dämpfung und Kennkreisfrequenz Ermittlung von Zeitkonstanten Ermittlung von standardisierten Zeitkonstanten Ermittlung von standardisierten Koeffizienten bei Systemen II. Ordnung mit komplexen Nullstellen Gleichungen und Symbole für Regelkreiselemente Differenzialgleichungen von Regelkreiselementen Frequenzgangfunktionen von Regelkreiselementen Übertragungsfunktionen von Regelkreiselementen Frequenzgang- und Übertragungsfunktionen für Führungs- und Störverhalten Gleichungen für Regelkreise mit direkter Gegenkopplung Strukturbild und Abkürzungen Gleichungen für das Führungsübertragungsverhalten Gleichungen für das Störungsübertragungsverhalten von Versorgungsstörgrößen Gleichungen für das Störungsübertragungsverhalten von Laststörgrößen Berechnungsbeispiel Gleichungen für das Stellgrößenverhalten Ausregelbarkeit von Störungen Gleichungen für Regelkreise mit indirekter Gegenkopplung Stationäre Regelfehler höherer Ordnung Stabilität von Regelkreisen Entstehung des Stabilitätsproblems bei Regelkreisen Definition der Stabilität Verfahren zur Stabilitätsbestimmung Algebraische und geometrische Stabilitätskriterien ROUTH-Kriterium Eigenschaften des ROUTH-Verfahrens Stabilitätskriterium nach ROUTH Abhängigkeit der Stabilität von einem Parameter Kriterium von HURWITZ Allgemeines Stabilitätskriterium nach HURWITZ NYQUIST-Kriterium Eigenschaften des NYQUIST-Kriteriums Vereinfachtes Stabilitätskriterium nach NYQUIST Beispiele zum vereinfachten NYQUIST-Kriterium Vollständiges NYQUIST-Kriterium

9 Inhaltsverzeichnis Beispiele zum vollständigen NYQUIST-Kriterium Stabilität von Regelungssystemen mit Totzeit Wurzelortskurven Einleitung Kriterium für das Wurzelortskurven-Verfahren (WOK-Verfahren) Regeln für die Konstruktion von Wurzelortskurven Allgemeines Prinzipieller Verlauf der WOK (Regel 1) WOK auf der reellen Achse (Regel 2) Schnittpunkt der Asymptoten (Regel 3) Anstiegswinkel der Asymptoten (Regel 4) Verzweigungspunkte (Regel 5) Schnittwinkel der WOK-Zweige in Verzweigungspunkten (Regel 6) Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse (Regel 7) Austrittswinkel der WOK aus Polstellen, Eintrittswinkel in Nullstellen (Regel 8) Skalierung der WOK mit dem Kurvenparameter (Regel 9) Tabelle der Schritte des WOK-Verfahrens Anwendung des WOK-Verfahrens Tabelle mit WOK für Regelungssysteme bis IV. Ordnung Erweiterung der Anwendung des WOK-Verfahrens WOK-Verfahren für andere Regelkreisparameter WOK für mehrere Kurvenparameter (WOK-Kontur) Zusammenfassung BODE-Verfahren zur Einstellung von Regelkreisen Einleitung BODE-Diagramme BODE-Diagramm des offenen Regelkreises BODE-Diagramme der wichtigsten Übertragungselemente Einleitung Proportional-Element (P-Element) Integral-Element (I-Element) Differenzial-Element (D-Element) Proportional-Element mit Verzögerung I. Ordnung (PT 1 -Element) Proportional-Differenzial-Element (PD-Element) Totzeit-Element (PT t -Element) Proportional-Element mit Verzögerung II. Ordnung (PT 2 -Element) Stabilitätsgrenze im BODE-Diagramm Vergleich mit der Ortskurvendarstellung Amplitudenreserve und Phasenreserve Anwendung des BODE-Verfahrens Einstellung der Stabilitätsgüte Einstellung des Verstärkungsfaktors Anhebung des Phasengangs Anwendung von phasenanhebenden Netzwerken Absenkung des Amplitudengangs Anwendung von amplitudenabsenkenden Netzwerken Zusammenfassung

10 6 Inhaltsverzeichnis 7.5 Zusammenhang zwischen Kenngrößen von Zeit- und Frequenzbereich Anforderungen an das Zeitverhalten von Regelungssystemen Zusammenhang für das Übertragungselement II. Ordnung Kenngrößen für das Übertragungselement II. Ordnung Berechnungsformeln Erweiterung der Anwendung Regeleinrichtungen mit Operationsverstärkern Prinzipieller Aufbau Aufgaben von Regeleinrichtungen Kenngrößen von Operationsverstärkern Stationäre Kenngrößen Dynamische Kenngrößen Zusammenfassung Grundschaltungen mit Operationsverstärkern Allgemeines Allgemeine Schaltung eines Operationsverstärkers Invertierende Schaltung Nichtinvertierende Schaltung Schaltungen zur Bildung der Regeldifferenz Schaltung mit Spannungsvergleichsstelle Schaltung mit Stromvergleichsstelle Schaltungen zur Bildung der Stellgröße Allgemeines Proportional-Regler (P-Regler) Invertierender Proportional-Regler Nichtinvertierender Proportional-Regler Proportional-Differenzial-Regler (PD-Regler), Proportional-Differenzial-Regler mit Verzögerung I. Ordnung (PDT 1 -Regler) Invertierender PD/PDT 1 -Regler Nichtinvertierender PD/PDT 1 -Regler PD/PDT 1 -Regler mit getrennt einstellbaren Parametern Integral-Regler (I-Regler) Invertierender Integral-Regler Nichtinvertierender Integral-Regler Proportional-Integral-Regler (PI-Regler) Invertierender PI-Regler Nichtinvertierender PI-Regler PI-Regler mit unabhängig einstellbaren Parametern Proportional-Integral-Differenzial-Regler (PID-Regler), Proportional-Integral- Differenzial-Regler mit Verzögerung I. Ordnung (PIDT 1 -Regler) PID/PIDT 1 -Regler in additiver (paralleler) Form mit unabhängig voneinander einstellbaren Parametern Invertierender PID/PIDT 1 -Regler in multiplikativer (serieller) Form mit einem Verstärker Invertierender PID/PIDT 1 -Regler in multiplikativer (serieller) Form mit zwei Verstärkern Invertierender PID/PIDT 1 -Regler in multiplikativer (serieller) Form mit Entkopplung Nichtinvertierender PID/PIDT 1 -Regler in multiplikativer (serieller) Form 345

11 Inhaltsverzeichnis Kontinuierliche Einstellung von Reglerparametern Schaltungen zur Glättung von Regelkreissignalen PT 1 -Element mit invertierendem Trennverstärker PT 1 -Element mit nichtinvertierendem Trennverstärker Zusammenfassung Ermittlung mathematischer Modelle für regelungstechnische Übertragungselemente (Identifikation) Einteilung von mathematischen Modellen Anwendung der Modellbildung in der Regelungstechnik Theoretische und experimentelle Analyse Zusammenfassung Experimentelle Analyse von linearen Übertragungselementen Vorgehensweise bei der experimentellen Analyse Experimentelle Analyse mit Sprungfunktionen Bestimmung des prinzipiellen Übertragungsverhaltens aus dem Endwert der Sprungantwort Bestimmung des Elementtyps aus Anfangswert und Anfangssteigung der Sprungantwort Ableitung von Identifikationsmerkmalen aus den Eigenschaften von Sprungantworten Sprungantwortverlauf ohne Überschwingen und ohne periodisches Schwingen Sprungantwortverlauf mit Über- und Unterschwingen ohne periodisches Schwingen Sprungantwortverläufe mit periodischem Schwingen Identifikationsmerkmale von PT 2 -Elementen PT 2 -Elemente mit Vorhalt- oder Verzögerungselement Sprungantwortverläufe von Elementen mit Totzeit Sprungantwortverläufe mit Wendepunkt und ohne Überschwingen Prinzip des Wendetangentenverfahrens Wendetangentenverfahren für Übertragungselemente mit zwei unterschiedlichen Zeitkonstanten Wendetangentenverfahren für Übertragungselemente mit gleichen Zeitkonstanten Wendetangentenverfahren für Übertragungselemente mit mehreren Zeitkonstanten Zusammenfassung des Wendetangentenverfahrens Zeitprozentkennwertmethode Sprungantwortverläufe von Integral-Elementen Eigenschaften von Integral-Elementen Identifikation von reinen Integral-Elementen Identifikation von Integral-Elementen mit Verzögerung Identifikation von Integral-Elementen mit Totzeit Sprungantworten und Identifizierungsgleichungen Einleitung Zusammenstellung von Sprungantwortfunktionen und mathematischen Modellen von Übertragungselementen Zusammenfassung

12 8 Inhaltsverzeichnis 9.5 Identifikation von dynamischen Systemen mit Parameterschätzverfahren Stochastische Prozesse, Modellbegriffe MA-Modell (moving-average model) AR-Modell (auto-regressive model) ARMA-Modell (auto-regressive moving-average model) Modelle mit zusätzlicher deterministischer Eingangsgröße Allgemeine Modellstruktur Modellarten mit deterministischer und stochastischer Eingangsgröße Parameterschätzung von ARX-Modellen Prinzip der Identifikation von dynamischen Systemen mit Parameterschätzverfahren (experimentelle Identifikation) Fehlerarten für die Anwendung von Parameterschätzverfahren Modellbestimmung bei Prozessen mit vernachlässigbaren Störgrößen Modellbestimmung mit der Methode der kleinsten Quadrate Optimierungskriterien und Einstellregeln für Regelkreise, erweiterte Regelkreisstrukturen Einleitung Parameteroptimierung im Zeitbereich Begriff der Regelfläche Integralkriterien im Zeitbereich, Anwendung von Vergleichsübertragungsfunktionen Integralkriterium der Linearen Regelfläche, IE-Kriterium (Integrated Error criterion) Integralkriterien der Betragsregelfläche Integralkriterien der Quadratischen Regelfläche Berechnung der Integralkriterien für Standardregelkreise II. Ordnung Einstellregeln für Regelkreise Anwendung der Einstellregeln Einstellregeln von ZIEGLER und NICHOLS Einstellregeln nach CHIEN, HRONES und RESWICK Regler-Einstellung nach der T-Summen-Regel Summenzeitkonstante einer Regelstrecke Experimentelle Bestimmung der Summenzeitkonstanten T-Summen-Regel für PI- und PID-Regler Anwendung der T-Summen-Regel Optimierungskriterien im Frequenzbereich Betragsoptimum Prinzip der Optimierung im Frequenzbereich Einstellung von Regelkreisen nach dem Betragsoptimum Anwendung des Verfahrens Vereinfachung von Streckenübertragungsfunktionen Satz von der Summe der kleinen Zeitkonstanten Vereinfachung von Totzeitelementen Anwendung des Betragsoptimums bei Regelstrecken höherer Ordnung Kompensation einer großen Zeitkonstanten Kompensation von zwei großen Zeitkonstanten Einstellregeln für das Betragsoptimum Optimierungskriterien im Frequenzbereich Symmetrisches Optimum Prinzip des Verfahrens und Anwendung bei IT 1 -Regelstrecken Standardeinstellung des Symmetrischen Optimums

13 Inhaltsverzeichnis Anwendung des Verfahrens bei integralen Regelstrecken mit Verzögerung höherer Ordnung Anwendung des Verfahrens bei proportionalen Regelstrecken mit Verzögerungen höherer Ordnung PT n -Regelstrecken mit einer großen Zeitkonstanten PT n -Regelstrecken mit zwei großen Zeitkonstanten Einstellregeln für das Symmetrische Optimum Zusammenfassung zur Optimierung im Frequenzbereich Erweiterte Regelkreisstrukturen Einleitung Regelungen mit Störgrößenaufschaltung Anwendungsbeispiele Störgrößenaufschaltung auf den Regelstreckeneingang Störgrößenaufschaltung auf den Reglereingang Regelstrecken mit Totzeit (SMITH-Regler, SMITH-Prädiktor) Digitale Regelungssysteme (Abtastregelungen) Prinzipielle Arbeitsweise von digitalen Regelkreisen Einleitung Kontinuierliche und diskrete Signale in digitalen Regelungssystemen Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen Basisalgorithmen für digitale Regelungen Einleitung Proportionalalgorithmus Approximation von Integration und Differenziation durch diskrete Operationen Integralalgorithmen mit Rechtecknäherung Integralalgorithmus mit Trapeznäherung Einfache Differenzialalgorithmen Differenzialalgorithmen mit Mittelwertbildung Regelalgorithmen für Standardregler PID-Stellungsalgorithmus PID-Geschwindigkeitsalgorithmus, Regler mit Pulsweitenmodulation PID-Standardregelalgorithmen Modifizierte PID-Regelalgorithmen Einstellregeln für digitale Regelkreise Quasikontinuierliche digitale Regelkreise Bestimmung der Abtastzeit aus Kenngrößen der Regelstrecke Bestimmung der Abtastzeit aus Kenngrößen des Regelkreises Einstellregeln mit Berücksichtigung der Abtastzeit Mathematische Methoden zur Berechnung von digitalen Regelkreisen im Zeitbereich Allgemeines Differenzengleichungen Lösung von Differenzengleichungen Ermittlung der Lösung durch Rekursion Lösung mit homogenem und partikulärem Ansatz Stabilität von Abtastsystemen im Zeitbereich Mathematische Methoden zur Berechnung von digitalen Regelkreisen im Frequenzbereich Technische und mathematische Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen Allgemeines

14 10 Inhaltsverzeichnis Abtastung von kontinuierlichen Signalen Darstellung von zeitdiskreten Signalen durch Folgen Ausführung des Regelalgorithmus (Berechnung der Stellgröße) Speicherung der diskreten Stellgröße (Halteglied) z-transformation Einleitung Definition der z-transformation Rechenregeln der z-transformation Tabellen zur z-transformation Anwendung der Tabellen zur z-transformation Inverse z-transformation (z-rücktransformation) Verfahren zur z-rücktransformation Rücktransformation mit dem komplexen Umkehrintegral Partialbruchzerlegung, Rücktransformation mit Tabelle Rücktransformation mit der Potenzreihenentwicklung Berechnung der Impulsfunktion mit Rekursion z-übertragungsfunktionen (Impulsübertragungsfunktionen) z-übertragungsfunktionen von zeitdiskreten Elementen z-übertragungsfunktionen von Regelalgorithmen z-übertragungsfunktionen von zeitkontinuierlichen Elementen Tabelle von z-übertragungsfunktionen für zeitkontinuierliche Elemente (Regelstrecken mit Halteglied) Eigenschaften von z-übertragungsfunktionen Normierte Testfolgen für z-übertragungsfunktionen Umformungsregeln für z-übertragungsfunktionen Voraussetzungen für die Anwendung der Umformungsregeln Einfache Strukturen Reihenschaltung von Übertragungselementen Parallelschaltung von Übertragungselementen Kreisstrukturen z-übertragungsfunktionen von digitalen Regelkreisen Voraussetzungen Führungsübertragungsverhalten Störungsübertragungsverhalten (Versorgungsstörgröße) Störungsübertragungsverhalten (Laststörgröße) Berechnung von z-übertragungsfunktionen Stabilität von digitalen Regelungssystemen Stabilitätsdefinition Verfahren zur Stabilitätsbestimmung Stabilitätskriterien Anwendung der Bilineartransformation Koeffizientenkriterien (Bilineartransformation) Stabilitätskriterium von JURY Kompensationsregler für digitale Regelkreise Prinzip der Kompensation Kompensationsregler für endliche Einstellzeit (Dead-Beat-Regler) Kompensationsregler für endliche Einstellzeit mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts

15 Inhaltsverzeichnis Diskretisierung von kontinuierlichen Übertragungsfunktionen Anwendung von Diskretisierungsverfahren Substitutionsverfahren Stabilität der Verfahren Systemantwortinvariante Transformationen Invariante Systemreaktionen im Zeitbereich Impulsinvariante Transformation Sprunginvariante Transformation Zustandsregelungen Allgemeines Mathematische Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustandsvariablen Beschreibung von Übertragungssystemen mit Zustandsvariablen Allgemeine Form des Gleichungssystems Beschreibung linearer Mehrgrößensysteme mit Zustandsvariablen Beschreibung linearer Eingrößensysteme mit Zustandsvariablen Lösung der Zustandsgleichung im Zeitbereich Berechnung der Matrix-e-Funktion Differenziation der Matrix-e-Funktion Lösung der inhomogenen Zustandsgleichung Transitionsmatrix Lösung der Zustandsgleichung im Frequenzbereich Normalformen von Übertragungssystemen Allgemeines Regelungsnormalform Beobachtungsnormalform Zusammenfassung Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen Steuerbarkeit Beobachtbarkeit Untersuchung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eines Regelungssystems Transformation auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform Allgemeine Form der Transformationsgleichungen Berechnung der Transformationsmatrix für die Transformation auf Regelungsnormalform Berechnung der Transformationsmatrix für die Transformation auf Beobachtungsnormalform Regelung durch Zustandsrückführung Allgemeines Berechnung von Zustandsregelungen Ermittlung von Zustandsreglern durch Polvorgabe Berechnung des Vorfilters Zustandsregelung mit Beobachter Prinzipielle Arbeitsweise von Beobachtern Ermittlung von Zustandsbeobachtern durch Polvorgabe Systematische Vorgehensweise bei der Berechnung von Zustandsreglern und Zustandsbeobachtern Zusammenfassung

16 12 Inhaltsverzeichnis 12.4 Regelungen durch Zustandsrückführung mit verbessertem Störungsverhalten Allgemeines Zustandsregelung mit Zustands- und Störgrößenbeobachter Berechnung des Zustandsreglers mit Vorfilter Störungsverhalten der Zustandsregelung Berechnung des Zustands- und Störgrößenbeobachters Störungsverhalten der Zustandsregelung mit Zustands- und Störgrößenbeobachter Proportional-Integral-(PI)-Zustandsregelung Zustandsgleichungen für die PI-Zustandsregelung Berechnung der Zustandsregelung mit überlagertem PI-Regler Störungsverhalten der PI-Zustandsregelung Robuste Regelung Vergleich der Zustandsregelung mit Zustands- und Störgrößenbeobachter mit der PI-Zustandsregelung Begriff der robusten Regelung Vergleich der Zustandsregelung mit Zustands- und Störgrößenbeobachter mit der PI-Zustandsregelung auf Robustheit Zusammenfassung Regelungen in der elektrischen Antriebstechnik Allgemeines Regelstrecken für elektrische Antriebe Mathematisches Modell der Regelstrecke Elektrischer Teil der Regelstrecke Mechanischer Teil der Regelstrecke Vereinfachung der Regelstrecke Zeitverläufe von Führungs- und Störgrößen bei Antriebsregelungen von Drehmaschinen Einschleifige Lageregelung Berechnung des Lagereglers Führungsverhalten der einschleifigen Lageregelung Störungsverhalten der einschleifigen Lageregelung Lageregelung mit Kaskadenstruktur Allgemeines Führungsverhalten der Lageregelung mit Kaskadenstruktur Berechnung des Momentenreglers Drehzahlregelung mit unterlagerter Momentenregelung Berechnung des Drehzahlreglers Führungsverhalten der Drehzahlregelung mit unterlagerter Momentenregelung Lageregelung mit unterlagerter Drehzahl- und Momentenregelung Berechnung des Lagereglers Führungsverhalten der Lageregelung mit unterlagerter Drehzahl- und Momentenregelung Störungsverhalten der Lageregelung mit Kaskadenstruktur Störungsverhalten der Regelstrecke Störungsverhalten der Drehzahlregelung mit unterlagerter Momentenregelung Störungsverhalten der Lageregelung mit unterlagerter Drehzahl- und Momentenregelung

17 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung Digitale Lageregelung mit Kaskadenstruktur Allgemeines Digitale Winkelgeschwindigkeitsregelung (Drehzahlregelung) mit unterlagerter Momentenregelung Regelalgorithmus und Abtastzeit Führungsverhalten der Winkelgeschwindigkeitsregelung mit unterlagerter Momentenregelung Störungsverhalten der Winkelgeschwindigkeitsregelung mit unterlagerter Momentenregelung Digitale Lageregelung mit unterlagerter Winkelgeschwindigkeits- und Momentenregelung Regelalgorithmus und Abtastzeit Führungsverhalten der Lageregelung mit unterlagerter Winkelgeschwindigkeits- und Momentenregelung Störungsverhalten der Lageregelung mit unterlagerter Winkelgeschwindigkeits- und Momentenregelung Zusammenfassung Lageregelung mit Zustandsregler Allgemeines Berechnung der Zustandsregelung Ermittlung des Zustandsreglers durch Polvorgabe Berechnung des Vorfilters für den Zustandsregler Sprungverhalten der Lageregelung mit Zustandsregler Stellgliedzeitkonstante und Stellgrößenaufwand Berechnung des Zustands- und Störgrößenbeobachters Struktur des Zustands- und Störgrößenbeobachters Ermittlung des Beobachters durch Polvorgabe Berechnung des Vorfilters für die Störgrößenaufschaltung Dynamisches Verhalten des Beobachters Störungsverhalten der Zustandsregelung mit Zustands- und Störgrößenbeobachter und Störgrößenaufschaltung Zustandslageregelung mit Störgrößenaufschaltung Digitale Drehzahl- und Lageregelungen mit Zustandsregler Zustandsdarstellung für digitale Regelungen Digitale Drehzahlregelung mit Zustandsregler Digitale Integral-Zustandslageregelung Zusammenfassung Nichtlineare Regelungen Einleitung Verfahren zur Untersuchung nichtlinearer Systeme Definition der Nichtlinearität Lineare und nichtlineare Operationen Eigenschaften von nichtlinearen Regelkreiselementen und -systemen Grundtypen von nichtlinearen Elementen Prinzipielle Eigenschaften von nichtlinearen Funktionen Verfahren der Linearisierung Allgemeines

18 14 Inhaltsverzeichnis Linearisierung mit inversen Kennlinien Linearisierung durch Rückführung Linearisierung im Arbeitspunkt (Tangentenlinearisierung), Vernachlässigung höherer Ableitungen der TAYLOR-Reihe Harmonische Linearisierung mit der Beschreibungsfunktion, Vernachlässigung von höheren Harmonischen der FOURIER-Reihe Grundlage des Verfahrens Beschreibungsfunktionen von Elementen mit eindeutigen Kennlinienfunktionen Beschreibungsfunktionen von Elementen mit mehrdeutigen Kennlinienfunktionen Direkte Berechnung von Beschreibungsfunktionen aus Kennlinienfunktionen Rechenregeln für Beschreibungsfunktionen Beschreibungsfunktionen von Kennlinienelementen (Tabelle) Berechnung der Gleichung der Harmonischen Balance Stabilität von Grenzschwingungen Untersuchung der Stabilität nichtlinearer Systeme Methode der Phasenebene (Zustandsebene) Eigenschaften von Zustandskurven in der Phasenebene Berechnung von linearen Systemen II. Ordnung im Zeitbereich und in der Phasenebene Ruhelagen von linearen und nichtlinearen Systemen Stabilität von Ruhelagen Berechnung der Stabilität von Ruhelagen Stabilitätsuntersuchung mit der direkten Methode von LJAPUNOW Grundgedanke der direkten Methode Stabilitätsuntersuchung mit der LJAPUNOW-Funktion Stabilitätskriterium von POPOW Absolute Stabilität Numerische Form des POPOW-Kriteriums Ortskurvenform des POPOW-Kriteriums Regelkreise mit schaltenden Reglern Anwendung von schaltenden Reglern Regelkreise mit Zweipunktreglern Berechnung der Kenngrößen von Regelkreisen mit Zweipunktreglern und proportionalen Regelstrecken Zweipunktregler an proportionalen Regelstrecken mit Totzeit Zweipunktregler an proportionalen Regelstrecken ohne Totzeit Berechnung der Kenngrößen von Regelkreisen mit Zweipunktreglern und Regelstrecken mit Integral-Anteil Berechnung von Regelkreisen mit Dreipunktreglern Schaltende Regler mit Rückführung Eigenschaften von quasistetigen Reglern Einfluss der Rückführung bei schaltenden Reglern Quasistetige Standardregler (Regler mit Rückführung) Anwendung der Fuzzy-Logik in der Regelungstechnik Grundbegriffe der Fuzzy-Logik Scharfe und unscharfe Mengen, Zugehörigkeitsfunktionen

19 Inhaltsverzeichnis Beschreibung von scharfen und unscharfen Mengen Beschreibungsformen von scharfen Mengen Beschreibungsformen von unscharfen Mengen Darstellung von unscharfen Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen Linguistische Variablen und Werte Linguistische Variablen zur Beschreibung von unscharfen Aussagen Struktur von linguistischen Variablen, linguistische Operatoren Operationen mit unscharfen Mengen Elementaroperationen mit scharfen Mengen Operationen mit unscharfen Mengen Elementaroperationen mit unscharfen Mengen Allgemeine Anforderungen an Fuzzy-Operatoren t-normen und t-konormen (s-normen) Parametrisierte t-normen und t-konormen Kompensatorische und mittelnde Operatoren Unscharfe Relationen Einstellige Relationen Scharfe Relationen mit scharfen Mengen Unscharfe Relationen mit scharfen Mengen Unscharfe Relationen mit unscharfen Mengen Verknüpfung von unscharfen Relationen Verkettung (Komposition) von unscharfen Relationen Unscharfes Schließen (Fuzzy-Inferenz) Fuzzy-Regelungen und -Steuerungen (Fuzzy-Control) Anwendungsgebiete von Fuzzy-Reglern Arten von Fuzzy-Reglern Struktur und Komponenten von relationalen Fuzzy-Reglern Prinzipieller Aufbau Fuzzifizierung Inferenzkomponenten von Fuzzy-Reglern Regelbasis Teilschritte des Inferenzverfahrens Auswertung der Regelprämissen Regelaktivierung und Aggregation Defuzzifizierung Defuzzifizierungsverfahren Defuzzifizierung mit der maximalen Höhe der Zugehörigkeitsfunktion Defuzzifizierung mit Schwerpunktverfahren Allgemeines Schwerpunktverfahren Schwerpunktsummen-Verfahren für die Inferenz mit der SUM-MIN-, SUM-PROD-Methode Schwerpunktverfahren für vereinfachte Zugehörigkeitsfunktionen (Rechteckfunktionen) Schwerpunktverfahren für vereinfachte Zugehörigkeitsfunktionen (Singletons) Schwerpunktverfahren für erweiterte Zugehörigkeitsfunktionen Struktur und Komponenten von funktionalen Fuzzy-Reglern Unterschiede von relationalen und funktionalen Fuzzy-Reglern Prinzipieller Aufbau von funktionalen Fuzzy-Reglern

20 16 Inhaltsverzeichnis 15.5 Übertragungsverhalten von Fuzzy-Reglern Allgemeine Eigenschaften von Fuzzy-Reglern Kennlinien von Fuzzy-Reglern Einfluss der Defuzzifizierung Einstellung von linearen Übertragungsfunktionen Einstellung von nichtlinearen Übertragungsfunktionen Fuzzy-PID-Regler PID-ähnliche Fuzzy-Regler Fuzzy-P-Regler Fuzzy-PD-Regler Fuzzy-PI-Regler (Stellungsalgorithmus) Fuzzy-PI-Regler (Geschwindigkeitsalgorithmus) Fuzzy-PID-Regler Strukturen von Fuzzy-Regelkreisen Einsatz von Fuzzy-Komponenten Fuzzy-Regler als Ersatz für konventionelle Regler Erweiterung von konventionellen Regelkreisstrukturen mit Fuzzy-Komponenten (Fuzzy-Hybrid-Strukturen) Berechnung von Regelungssystemen mit MATLAB Allgemeines Einführung in MATLAB Einfache Berechnungen mit MATLAB Vektoren, Matrizen und Polynome Eingabe und Grundoperationen Vektoren Matrizen Polynome Elementweise Multiplikation und Division von Vektoren und Matrizen m-files Script-Files und Function-Files Script-Files Function-Files Kontrollstrukturen Arten von Kontrollstrukturen for-schleife while-schleife if-elseif-else-struktur switch-case-otherwise-struktur Verkürzung der Rechenzeit Nützliche Anweisungen: echo, keyboard, pause, type, what Grafische Darstellungen Zweidimensionale Grafiken Dreidimensionale Grafiken Tabellen wichtiger Standardfunktionen für MATLAB Objektorientierte Programmierung LTI-Objekte für lineare zeitinvariante Systeme Daten und Methoden für LTI-Objekte Tabelle für Funktionen der Control System Toolbox zur Erzeugung und Konversion von LTI-Modellen