ffl Kräfte ~K: der Betrag gibt die Stärke der Kraft die Richtung gibt die Richtung in welcher die Kraft ausgeübt wird. ffl Geschwindigkeiten ~v: der B

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1 Kapitel I (Vektorrechnung) x1. Vektoren Unser Raum ist 3-dimensional. Wir kennen drei Hauptrichtungen: rechts-links, vornehinten, oben-unten. Als Modell wählen wir: ffl Ein Punkt O als Ursprung ffl Drei zueinander senkrechte Richtungen nach der rechten Hand-Regel: legt man den Zeigenger in x-richtung und den Mittelnger in y-richtung, so zeigt der Daumen in z-richtung ffl Ein Längenmass in jeder Richtung. Die Lage eines Punktes P ist dann durch 3 Zahlen x; y und z bestimmt. Diese Zahlen sind reelle Zahlen. Insbesondere können sie positiv, negativ oder null sein. Sie heissen Koordinaten von P. Sei R die Menge der reellen Zahlen. Als Modell des Raumes haben wir somit R 3 = Φ (x; y; z) j x; y; z 2 R Eine wichtige Grösse ist der Abstand. Der Abstand zwischen O = (; ; ) und P, mit Koordinaten (x; y; z), ist r = jopj = p x 2 + y 2 + z 2 Der Abstand zwischen A =(a 1 ;a 2 ;a 3 ) und B =(b 1 ;b 2 ;b 3 ) ist jabj = p (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 +(b 3 a 3 ) 2 : Punkte sind eine erste Art von Objekten im Raum. Eine zweite wichtige Art sind Vektoren, Pfeile", oder gerichtete Strecken. Gegeben Punkte A; B in R 3, betrachten wir die gerichtete Strecke AB (A = Anfangspunkt, B = Endpunkt). Sie hat eine Länge oder Betrag jabj und eine Richtung. Wichtige Beispiele von Objekten welche einen Betrag und eine Richtung haben, kommen aus der Physik: Ψ

2 ffl Kräfte ~K: der Betrag gibt die Stärke der Kraft die Richtung gibt die Richtung in welcher die Kraft ausgeübt wird. ffl Geschwindigkeiten ~v: der Betrag ist die Geschwindigkeit z.b. in ms 1. die Richtung ist die momentane Richtung der Bewegung. Es ist zweckmässig zwei gerichtete Strecken AB und CD als gleich (oder äquivalent) zu betrachten, falls sie gleich lang und gleichsinnig parallel sind. AB = CD Def () ρ jabj = jcdj gleichsinnig parallel: Sei A =(a 1 ;a 2 ;a 3 ) und B =(b 1 ;b 2 ;b 3 ). Die Koordinatendifferenzen b 1 a 1 ; b 2 a 2 ; b 3 a 3 nennen wir die Komponenten von AB. Weil die Komponenten Koordinatendifferenzen sind, gilt AB = CD () AB und CD haben die gleichen Komponenten. Wir schreiben b1 a 1 AB = b 2 a 2 b 3 a 3 Wir haben j p ABj = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 +(b 3 a 3 ) 2.Sowohl Punkte wie Vektoren werden also durch Tripel von Zahlen charakterisiert.es gilt folgende Zuordnung bestimmt durch x Punkt P =(x; y; z) 7 Ortsvektor OP = ~r P = y z Punkt C p Vektor AB = ~a OC = AB: Also hat ein Tripel von Zahlen verschiedene Interpretationen: ffl Punkt P ffl Ortsvektor ~r P = OP 2

3 ffl Vektor ~a äquivalent zu~r P. Je nach Situation wird eine dieser Interpretationen benützt. Operationen mit Vektoren: ffl Addition Sei ~a = AB; ~ b = CD. Wir denieren ~a + ~ b = AS wobei S bestimmt wird durch CD = BS, d.h. S ist der Endpunkt von ~ b,wenn ~ b in B angeheftet wird. In Komponenten haben wir a1 b1 a1 ~a = a 2 ; ~ b = b 2 =) ~a + ~ + b 1 b = a 2 + b 2 a 3 b 3 a 3 + b 3 Regeln für die Addition (1) ~a + ~ b = ~ b + ~a Kommutativität (2) (~a + ~ b)+~c = ~a +( ~ b + ~c) Assoziativität (3) es gibt einen Nullvektor" ~ mit ~a + ~ = ~a (4) zu jedem ~a gibt es den entgegengesetzten Vektor ~a, d.h. ~a +( ~a) = ~. Aus (2) folgt, dass bei einer beliebigen Summe a 1 + a a n keine Klammern nötig sind. Subtraktion: ~a ~ b := ~a +( ~ b) wichtige Anwendung: AB = OB OA = ~rb ~r A. Multiplikation mit einer Zahl Sei ~a ein Vektor und eine reelle Zahl. Der Vektor ~a hat nach Denition die Länge j ~aj = j jj~aj und ist gleichgesinnt wie ~a falls >, resp. entgegengesinnt falls <. 3

4 Anwendung: Haben zwei Vektoren ~a; ~ b (6= ~) dieselbe Richtung, so gibt es 6= so dass ~a = ~ b. a1 a1 Aus der Denition folgt, dass ~a = a 2 a 3 falls ~a = a 2 a 3 Regeln: ~a = ~; 1 ~a = ~a; ( 1) ~a = ~a (~a + ~ b)= ~a + ~ b; ( + μ)~a = ~a + μ~a Ein Vektor ~e mit j~ej = 1 heisst Einheitsvektor. Die Menge der Punkte P mit jopj =1 ist die Einheitssphäre S 2 (S 1 ist der Kreis mit Radius 1). Ist ~a 6= ~, so hat ~e = ~a j~aj die Länge 1 und heisst die Normierung von ~a. Spezielle Einheitsvektoren sind ~e 1 = 1 ~e 2 = 1 ~e 3 = 1 Jedes ~a = in in in a1 a 2 a 3 x Richtung y Richtung z Richtung lässt sich zerlegen als ~a = a 1 ~e 1 + a 2 ~e 2 + a 3 ~e 3 Der Vektor a 1 ~e 1 ist die Komponente von ~a in x-richtung. Anwendungen (1) Der Schwerpunkt Gegeben seien N Punktmassen m 1 ;:::;m N in den Punkten A 1 ;:::;A N. Gesucht ist der Schwerpunkt dieses Systems. Der Schwerpunkt S ist deniert durch die Momentenbedingung m 1 SA1 + m 2 SA2 + + m N SAN = ~ 4

5 h Abkürzung NX i m i SAi = ~ Wegen SA i = ~a i ~s mit ~a i = OA i und ~s = OS folgt somit ~ = NX m i (~a i ~s) = ~s = NX NX m i ~a i = m i ~a i NX m i In Komponenten, mit S =(x S ;y S ;z S ); A i =(x i ;y i ;z i ),, NX m i P P P mi x i x S = P mi y i ; y S = P mi z ; z S = P i mi mi mi Sind alle Massen gleich, so folgt ~s = 1 N P ~ai. (2) Parameterdarstellung einer Gerade Eine Gerade g wird durch 2 Punkte A; B; A 6= B, bestimmt. Sei P ein Punkt im Raum. Wir haben P 2 g () es gibt t 2 R mit ~s AP = t AB Der laufende Punkt von g hat somit den Ortsvektor ~r P = OP = OA + AP = OA + t AB = ~r A + t(~r B ~r A ): Dieselbe Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben. Beispiel: Sei g die Gerade durch A =(1; 2; 1) und B =(2; 1; 2). Gesucht ist der Schnittpunkt von g mit der (x; y)-ebene. Die Parameterdarstellung ist 4 x =1+t; y =2 3t; z =1 3t Der Schnittpunkt Q ist gegeben durch die Bedingung z =,so dass t = 1=3 und Q =(4=3; 1; ). 5

6 (3) Parameterdarstellung einer Ebene Die Ebene E sei durch 3 nicht-kollineare Punkte A; B; C gegeben. Die Ebene E wird erzeugt von den Vektoren AB und AC, also P 2 E () 9 u; v 2 R mit Der laufende Punkt von E hat somit den Ortsvektor. AP = u AB + v AC ~r p = ~r A + u (~r B ~r A )+v (~r C ~r A ) ;u;v 2 R Wir haben 2 Parameter: E ist ein zweidimensionales" Gebilde. Entsprechend ist eine Gerade eindimensional". x2. Das Skalarprodukt Wir geben eine geometrische Denition (d.h. ohne Koordinaten) und eine analytische Denition (mit Koordinaten). Sind 2 Vektoren ~a; ~ b beide 6=, so ist der nichtorientierte Winkel ' =Ξ (~a; ~ b) wohldeniert. Das Skalarprodukt von ~a und ~ b ist die Zahl ~a ~b = j~aj j ~ bj cos ' (geometrische Denition) Wir haben Regeln: ~a ~b =, ' = ß 2 (~a? ~ b); oder ~a = ~; oder ~ b = ~ ~a ~b >, ' ist spitz ~a ~b <, ' ist stumpf : ~a ~b = ~ b ~a ( ~a) ~b = (~a ~b) ~a (~x + ~y) = ~a ~x + ~a ~y Beweis: Die erste Regel ist klar. Bei der zweiten muss man die Fälle > und <unterscheiden (benütze, dass cos(ß ') = cos '). Die dritte Regel ist weniger evident und wir geben einen Beweis. Wegen der 2. Regel können wir annehmen, 6

7 dass ~a = ~e ein Einheitsvektor ist. Jeder Vektor ~x besitzt eine wohlbestimmte Orthogonalprojektion in die Richtung von ~e. Bezeichnen wir diesen Vektor mit ~x ~e, so gilt (Figur) ~x ~e = j~xj cos ' ~e ; ' =Ξ (~x; ~e): Da j~ej =1, folgt ~x ~e =(~x ~e)~e. Es ist klar (Figur), dass (~x + ~y) ~e = ~x ~e + ~y ~e, d.h. die Projektion der Summe ist die Summe der Projektionen. Somit gilt ~e (~x + ~y) ~e =(~e ~x)~e +(~e ~y)~e = (~e ~x)+(~e ~y) Λ ~e und die Behauptung ~e (~x + ~y) =~e ~x + ~e ~y folgt durch Koefzientenvergleich. Λ Für die Einheitsvektoren ~e 1 ;~e 2 ;~e 3 gilt Setzen wir f ij := so gilt ~e 1 ~e 1 = ~e 2 ~e 2 = ~e 3 ~e 3 =1 ~e 1 ~e 2 = ~e 2 ~e 3 = ~e 3 ~e 1 = 8 < : Für beliebige Vektoren ~a = Regeln, ~a = a i ~e i ; ~ b = ~a ~b = 3 X = ; i 6= j 1; i = j Kronecker-Delta" ~e i ~e j = f ij i; j =1; 2; 3: j=1 a1 a 2 a 3 b j ~e j a i ~e i ) ( j=1 ; ~ b = b1 b 2 b 3 und b j ~e j ) = i;j=1 a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 :, folgt mit Hilfe der obigen a i b j ~e i ~e j = i;j=1 ~a ~b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a 3 b 3 (analytische Denition) a i b j f ij Kleine Anwendung: gegeben ~a; ~ b; gesucht ' = ^(~a; ~ b): cos ' = ~a ~b j~ajj ~ bj = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b p p 3 : a a a 2 3 b b b 2 3 7

8 Speziell: ~a = ; ~ b = 2 2, cos ' = 4 2 p 9 p 8 = 1 p 2 ; ' = 3ß 4 : Wichtige Anwendung Eine Ebene E kann durch eine normale Richtung und einen Punkt A gegeben werden (Figur). Sei die normale Richtung durch einen Vektor ~n (6= ~) bestimmt. Es gilt: In Koordinaten: P 2 E () AP? ~n () ~n ( OP OA) = () ~n OP = n OA n 1 x + n 2 y + n 3 z = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 Also bestimmt eine Ebene eine lineare Gleichung in x; y; z. Umgekehrt, jede solche Gleichung bestimmt eine Ebene: Sei n 1 x+n 2 y+n 3 z = d die Gleichung. Sei (a 1 ;a 2 ;a 3 ) irgendeine Lösung, d.h. n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 = d dann ist die Ebene bestimmt durch A =(a 1 ;a 2 ;a 3 ) und ~n =(n 1 ;n 2 ;n 3 ). Abstand Punkt-Ebene Sei die Ebene E durch den Punkt A und die Normale ~n mit j~nj = 1 gegeben und sei P ein Punkt im Raum. Sei D der Schnittpunkt mit E der Gerade durch P in Richtung ~n. Die Länge j PDj ist der Abstand zwischen P und E. Wir haben (Figur) PD =( PA) ~n =( PA ~n)~n und somit d = j PDj = j PA ~nj: Ist ~n nicht normiert, so gilt d = j PA ~nj. j~nj Übung: Interpretiere das Vorzeichen von PA ~n. Wir haben eine Ebene auf 2 Arten dargestellt: 1. durch eine Parameterdarstellung 8

9 2. durch eine lineare Gleichung. Aus den 3 Gleichungen einer Parameterdarstellung x = a 1 + u b 1 + v c 1 y = a 2 + u b 2 + v c 2 z = a 3 + u b 3 + v c 3 können wir u und v eliminieren. Es bleibt eine Gleichung in x; y und z. Umgekehrt, gegeben eine lineare Gleichung für die Ebene E,kann man 3 Punkte (nichtkollinear) auf E nden und eine entsprechende Parameterdarstellung aufstellen. Physikalische Anwendung des Skalarproduktes. Die Arbeit einer konstanten Kraft K längs einem Weg parallel zur Kraft ist bekanntlich: Arbeit = Kraft Weg oder W = K d Ist die Richtung der Kraft nicht in Richtung des Weges und ist der Weg geradlinig von A nach B so gilt W = K 1 jabj, wobei K 1 die Komponente von ~K in Richtung des Weges ist. Also W = j ~K ~e j j ABj AB wobei ~e = j ABj. Da j ~K ~e j = j K ~ej folgt W = j ~K ABj. Will man das Vorzeichen berücksichtigen (positive, resp. negative Arbeit) so setzt man W = ~K AB Beispiel: Segelboot im Wind (Figur) x3. Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt ~a ~ b ist ein Vektor. Eswird wie folgt deniert: ffl Sind ~a und ~ b parallel, oder ~a = ~, resp. ~ b = ~, so ist ~a ~ b = ~. ffl Sind ~a und ~ b nicht parallel, so - j~a ~ bj = j~ajj ~ bj sin '; ' =Ξ (~a; ~ b) - ~a ~ b steht senkrecht auf ~a und auf ~ b 9

10 - ~a; ~ b;~a ~ b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (rechte Hand- Regel) Folgerungen: ffl ~a ~ b = ~ () ~a und ~ b sind linear abhängig (d.h. es gibt,, μ 2 R nicht beide = mit ~a + μ ~ b = ~. ffl j~a ~ bj ist der Flächeninhalt F des von ~a und ~ b aufgespannten Parallelogramms. ffl ~a ~ b = ~ b ~a ; ~a ~a = ~ F = Basis Höhe = j~aj (j ~ bj sin ') ffl ~e 1 ~e 2 = ~e 3 ~e i ~e i+1 = ~e i+2 (Index modulo 3) ffl ~a ~ b = (~a ~ b) Der Beweis dieser Regeln folgt ziemlich unmittelbar aus der Denition. Die nächste Regel ffl ~a (~x + ~y) =~a ~x + ~a ~y ist weniger evident. Zum Beweis dürfen wir annehmen, dass ~a 6= ~ und, durch Normierung, dass ~a = ~e ein Einheitsvektor ist. Sei E die Ebene senkrecht zu ~e durch O und sei D die Drehung um die Achse ~e um ß. Sei weiter P die 2 Orthogonalprojektion auf E (Figur). Es gilt D(~x + ~y) = D(~x)+ D(~y) P (~x + ~y) = P (~x)+p (~y) jp (~x)j = j~xj sin '; ' =Ξ (~x; ~e) = j~xjj~ej sin ' = j~e ~xj Behauptung: D P (~x) = ~e ~x. Beweis: jd P (~x) j = jp (~x)j = j~e ~xj. Also sind die Längen gleich. Die Richtung stimmt auch (rechte Hand-Regel). Λ Es folgt nun ~e (~x + ~y) = D P (~x + ~y) = D P (~x)+p(~y) = D P (~x) + D P (~y) = ~e ~x + ~e ~y : 1

11 Somit ist die letzte Regel auch bewiesen. Wir können jetzt das Vektorprodukt mit Koordinaten berechnen: Sei ~a = a i ~e i ~ b = j=1 b j ~e j. Es folgt ~a ~ X 3 X b = a i ~e i 3 b j ~e j = j=1 i;j=1 a i b j (~e i ~e j ) = a 2 b 3 a 3 b 2 ~e1 + a 3 b 1 a 1 b 3 ~e2 + a 1 b 2 a 2 b 1 ~e3 ~a ~ b = a 2 b 3 a 3 b 2 ; a 3 b 1 a 1 b 3 ; a 1 b 2 a 2 b 1 Die Koefzienten sind 2-reihige Determinanten. Man schreibt sie auch als ;::: a 3 b 3 a 2 b 3 a 3 b 2 =: a 2 b 2 Anwendungen: ffl Fläche eines Dreiecks im Raum. Sei das Dreieck durch die Ecken A; B und C gegeben. Es gilt F = 1 2 j AB ACj ffl Schnitt von 2 Ebenen. Der Schnitt ist eine Gerade. Wir suchen eine Parameterdarstellung dieser Gerade. E 1 : n 1 x + n 2 y + n 3 z = d 1 E 2 : m 1 x + m 2 y + m 3 z = d 2 n1 m1 E 1 ist senkrecht zu ~n = n 2 n 3. E 2 ist senkrecht zu ~m = m 2 m 3, somit ist die Schnittgerade parallel zu ~n ~m. (Figur) Wir brauchen noch einen Punkt A um die Gerade festzulegen. Die Koordinaten a 1 ;a 2 ;a 3 von A sind Lösung der zwei Gleichungen für E 1 und E 2. ffl Abstand Punkt - Gerade. Eine Gerade g sei durch zwei Punkte A; B gegeben. Gesucht ist der Abstand eines Punktes P zur Gerade g. Man betrachte das von den Vektoren AB und AP aufgespannte Parallelogramm. Seine Höhe bezüglich 11

12 der Basis j ABj ist die Distanz d von P zu g. Also bekommen wir für die Fläche F : F = j ABj d = j AP ABj so dass d = j AP ABj j ABj = j AP ~ej falls ~e = AB j ABj : ffl Vektordarstellung einer Drehung. Ein Körper dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit w > um die Achse g durch O. Sei ~e der durch die Korkzieherregel bestimmte Einheitsvektor auf g (Figur ). Der Vektor ~w = w~e heisst Winkelgeschwindigkeitsvektor. Sei ~v der Geschwindigkeitsvektor eines Masseteilchen an der Stelle P und sei v = j~vj. Es gilt j~vj = w d; d Abstand zwischen g und P somit j~vj = wj~e ~r P j = j~w ~r P j. Weiter gilt ~v? ~e; ~v? ~r P ~w;~r P ;~v ist ein Rechtssystem. (Figur ) Es ergibt sich und das Tripel ~v = ~w ~r P. ffl Gleichung einer Ebene. Ist die Ebene E durch 3 Punkte (A; B; C) gegeben, so ist ~n = AB AC senkrecht zu E. Somit ist die Gleichung AB AC ~rp = AB AC ~ra eine Gleichung für E. x4. Das gemischte Produkt (oder Spatprodukt) Gegeben drei Vektoren ~a; ~ b;~c, sie spannen ein Parallelepiped auf mit Volumen V. Wir denieren ~a; ~ b; ~c Λ = 8 > < >: Aus der Denition folgt sofort falls V =(~a; ~ b;~c sind komplanar) V falls ~a; ~ b;~c ein Rechtssystem bilden V falls ~a; ~ b;~c ein Linkssystem bilden [~a; ~ b;~c ] = [ ~ b;~c;~a ]=[~c;~a; ~ b ] = [ ~ b;~a;~c ]= [~a;~c; ~ b ]= [~c; ~ b;~a ] 12

13 Das Volumen V lässt sich als Basis Höhe berechnen. Nehmen wir als Basis das Parallelogramm aufgespannt von ~a und ~ b, so gilt V = j~a ~ bj h Eine Normale zur Ebene aufgespannt von ~a und ~ b ist der Vektor ~a ~ b. Sei ' der Winkel zwischen ~a ~ b und ~c. Dann gilt h = j~cj jcos 'j, also V = j~a ~ bjj~cj cos ' = j(~a ~ b) ~cj ~a; ~ b;~c ist ein Rechtssystem genau wenn ' spitz ist, d.h. cos '> und ein Linkssystem genau dann wenn ' stumpf ist, d.h. cos '<. Es folgt [~a; ~ b;~c] = (~a ~ b) ~c Folgerung: Da [~a; ~ b;~c] = [ ~ b;~c;~a] gilt, In Koordinaten ist mit ~a = (~a ~ b) ~c = ( ~ b ~c) ~a a1 a 2 a 3 ; ~ b = b1 b 2 b 3 ; ~c = c1 c 2 c 3 [~a; ~ b; ~c ] = a 1 b 2 c 2 b 3 c 3 + a 2 b 3 c 3 b 1 c 1 + a 3 b 1 c 1 b 2 c 2 b = a 2 c 2 b 1 a 1 c 1 b b 3 c 2 + a 1 c 1 3 b 3 c 3 3 b 2 c 3 =: a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 3-reihige" Determinante Anwendungen: ffl Volumen eines von 4 Punkten (A; B; C; D) aufgespannten Tetraeders T. Das Parallelepiped aufgespannt von den 3 Vektoren AB; AC; AD enthält 6Tetraeder mit Volumen T. Somit V = 1 6 [ AB; AC; AD ] : 13

14 ffl Abstand Gerade-Gerade. Sei g durch A; B und h durch C; D gegeben. Sei P auf g und Q auf h so, dass j PQj der gewünschte Abstand d ist. Der Vektor PQ ist senkrecht zu g und h. Sei ~n = und damit PQ = ( AC) ~n. Es folgt AB CD j AB CDj d = j(~r C ~r A ) ~nj = (~rc ~r A ) = [ ~r C ~r A ; AB; CD] j AB CDj AB CD j AB CDj ffl Lösung eines Systems von 3 linearen Gleichungen. Das System a 1 x 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3 = d 1 a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2 a 3 x 1 + b 3 x 2 + c 3 x 3 = d 3 für die Unbekannten x 1 ;x 2 ;x 3 kann verktoriell geschrieben werden: x 1 ~a + x 2 ~ b + x3 ~c = ~ d j ~ b x 1 (~a ~ b)+x 3 (~c ~ b) = ~ d ~ b j ~c x 1 [~a; ~ b;~c ] = [ ~ d; ~ b;~c ] x 1 = [ ~ d; ~ b;~c ] [~a; ~ b;~c ] : Es folgt analog: x 2 = [~a; ~ d;~c ] [~a; ~ b;~c ] x 3 = [~a;~ b; ~ d ] [~a; ~ b;~c ] Als unmittelbare Folgerung haben wir die Identität [ ~ d; ~ b;~c ] ~a +[~a; ~ d;~c ] ~ b +[~a; ~ b; ~ d ] ~c =[~a; ~ b;~c ] ~ d: 14

15 Diese Formeln (Cramer) lassen sich für Systemen von n Gleichungen mit n Unbekannten verallgemeinern. x5. Mehrfache Produkte Wir haben bis jetzt 3 Produkte deniert ffl das Sklarprodukt ~a ~b ffl das Vektorprodukt ~a ~ b ffl das gemischte Produkt (~a ~ b) ~c =[~a; ~ b;~c]. Es gibt weitere Kombinationen: z.b. ~a ( ~ b ~c); (~a ~ b) (~c ~ d); (~a ~ b) (~c ~ d) ::: Eine Formel für ~a ( ~ b ~c): Zuerst muss man merken, dass (im allgemeinen) (~a ~ b) ~c 6= ~a ( ~ b ~c) d.h. das Vektorprodukt ist nicht assoziativ. Es gilt z.b. Man hat die Grassmannsche Identität: (1) (~a ~ b) ~c =(~a ~c) ~ b ( ~ b ~c)~a (2) ~a ( ~ b ~c) =(~a ~c) ~ b (~a ~b)~c. ~e 1 (~e 1 ~e 2 ) = ~e 1 ~e 3 = ~e 2 (~e 1 ~e 1 ) ~e 2 = ~ ~e 2 = ~ : Wir beweisen nur die erste. Ein (langer) Beweis ist mit Koordinaten links und rechts zu rechnen. Ein geschickter Beweis ist die Koordinaten anzupassen: Wir wählen: - ~e 1 in Richtung von ~a. - ~e 2 so, dass ~ b in der Ebene liegt, welche von ~e 1 und ~e 2 erzeugt und - ~e 3 = ~e 1 ~e 2. Dann haben wir ~a = a1 Es folgt: ~a ~ b = a 1 b 2 ~ b = b1 b 2 (~a ~ b) ~c = 15 ~c = c1 c 2 c 3 a1 b 2 c 2 a 1 b 2 c 1

16 und (~a ~c) ~ b ( ~ b ~c)~a = a1 c 1 b 1 a 1 c 1 b 2 (b1 c 1 + b 2 c 2 )a 1 = a1 b 2 c 2 a 1 b 2 c 1 Als Folgerung bekommen wir die Jacobische Identität (~a ~ b) ~c +( ~ b ~c) ~a +(~c ~a) ~ b = ~ Beweis: (~a ~c) ~ b ( ~ b ~c)~a +( ~ b ~a)~c (~c ~a) ~ b +(~c ~b)~a (~a ~b)~c = ~. Bemerkung: Ein Vektorraum V mit Produkt?" so, dass (1) a?b= b?a (2) (a?b)?c+(b?c)?a+(c?a)?b= heisst Lie-Algebra. 16

17 Weitere Identitäten: Behauptung: Beweis: (~a ~ b) (~c ~ d) = (~a ~c)( ~ b ~d) (~a ~d)( ~ b ~c) (Lagrange) = ~a ~c ~ b ~c ~a ~d ~ b ~d (~a ~ b) (~c ~ d) = [~a; ~ b;~c ~ d ]=[ ~ b;~c ~ d;~a ] = ~a ~ b (~c ~ d) = ~a Φ ( ~ b ~d)~c ( ~ b ~c) ~ d Ψ Spezialfall: j~a ~ bj 2 = j~aj 2 j ~ bj 2 (~a ~b) 2. = (~a ~c)( ~ b ~d) (~a ~d)( ~ b ~c): Bemerkung: In R n haben wir das Skalarprodukt ~a ~b =(a 1 b a n b n ) und die Norm j~aj = p ~a ~a. Ein Vektorprodukt in R n mit j~a ~ bj 2 = j~aj 2 j ~ bj 2 (~a ~b) 2 gibt es nur für n = 3 und n =7 Λ Behauptung: (~a ~ b) (~c d) ~ = [~a; ~ b; d ~ ]~c [~a; ~ b;~c ] d ~ = [~a;~c; d ~ ] ~ b [ ~ b;~c; d ~ ]~a: Beweis: Sei ~u = ~a ~ b. Dann ~u (~c ~ d)=(~u ~d)~c (~u ~c) ~ d =[~a; ~ b; ~ d ]~c [~a; ~ b;~c ] ~ d Spezialfall: ( ~ b ~c) (~c ~a) =[~a; ~ b;~c ]~c. Λ 17