Laser-Doppler-Anemometrie

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1 Laser-Doppler-Anemometrie Ein laseroptisches Messerfahren zur berührungslosen Messung on Strömungsgeschwindigkeiten Dr. Andreas Behrendt, 11/7 Vortragsfolien: Anemometer = Windmesser (anemos griechisch: Wind) Erfunden on Yeh und Cummins im Jahr 1964 Messung der Strömungsgeschwindigkeit on Fluiden (Gasen, Flüssigkeiten), in denen Streupartikel orhanden sind Berührungslose Messung Absolute Messtechnik, keine Kalibrierung erforderlich Sehr hohe Messgenauigkeit Sehr hohe räumliche Auflösung der Messung, da kleines Messolumen Anwendungen: Geschwindigkeitsmessungen on Partikeln (Windmessung, Fließgeschwindigkeit des Blutes,...) Untersuchung laminarer oder turbulenter Strömungen oder on Überschall- Strömungen (Aerodynamic bzw. Hydrodynamic on Turbinen, Autos, Flugzeugen, Schiffen,...) Untersuchung on Oberflächenbewegungen und -schwingungen Messungen auch in heißer Umgebung (Flammen, Plasma)... etc, etc, etc. 1

2 1. Messprinzip Das Prinzip der Laser-Doppler-Anemometrie (LDA) beruht auf der Gegebenheit, dass Lichtwellen, die on bewegten Teilchen (oder allgemein, an Phasengrenzflächen) gestreut werden, eine Doppler-Frequenzerschiebung aufweisen und somit Geschwindigkeitsinformationen enthalten. Im Fall eines Fluides (z.b. der Luft oder einer Flüssigkeit) können suspendierte Teilchen, Tröpfchen, natürliche Verunreinigungen etc. für das Messerfahren als Streuteilchen ausgenützt werden. Kann angenommen werden, dass die Streuzentren hinreichend klein sind und keine Eigendynamik im Strömungsraum entwickeln, so kann ihre lokale Geschwindigkeit als lokale Geschwindigkeit des Fluides angesehen werden. Eine direkte Messung der Doppler-Verschiebung on gestreutem Licht ist schwierig, da die Frequenzerschiebung gegenüber der Lichtfrequenz selbst für hohe Teilchengeschwindigkeiten sehr klein ist (Verhältnis on Doppler- zur Lichtfrequenz in der Größenordnung on 1-7 ). Bei der Laser-Doppler-Anemometrie wird deshalb ein "Trick" angewendet: Anstatt direkt die Frequenz des Streulichts zu messen wird durch Überlagerung eine Schwebungsfrequenz erzeugt, die genau der Frequenzerschiebung entspricht. Dies funktioniert nur, weil wir eine kohärente Lichtquelle erwenden: einen Laser. Ein Laser-Doppler-Anemometer (LDA) besteht also aus einer Laserlichtquelle, der Sende- und der Empfangsoptik, einem Detektor und einer elektronischen Vorrichtung zur Datenerfassung (Abbildung 1). Der Lichtstrahl des Lasers wird durch eine geeignete Strahlteilungsoptik in zwei Partialstrahlen aufgespalten. Die beiden Partialstrahlen werden mit einer Konexlinse fokussiert und am Brennpunkt der Linse zum Schnitt gebracht. Der Schnittpunkt der beiden Laserstrahlen stellt den Messort dar, an dem die Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt werden. Die beiden Laserstrahlen bilden am Ort ihrer Überlagerung ein Schnittolumen, das als Messolumen bezeichnet wird. Dieses Messolumen wird in die zu messende Strömung positioniert. Durch die Verwendung zweier Laserstrahlen nimmt ein Detektor die Überlagerung einer Dopplererschobenen Lichtfrequenz mit der ursprünglichen Sendefrequenz des Laserlichts

3 wahr. Die sich ergebende Welle kann aufgefaßt werden als eine hochfrequente Signalwelle, die on einer niederfrequenten Schwebung f = f 1 - f in ihrer Intensität moduliert wird (siehe auch Abbildung ). Diese Schwebungsfrequenz f liegt in einem leicht auflösbaren Frequenzbereich. In der Laser-Doppler-Anemometrie wird die Schwebungsfrequenz f als "Signalfrequenz" oder auch "Doppler-Frequenz" bezeichnet. (In der Physik wird die Frequenz einer elektromagnetischen Welle meist mit ν (ny) bezeichnet. Der besseren Lesbarkeit wegen erwende ich hier jedoch f.) f Frequenz der empfangenen Welle). Einerseits empfängt das Partikel Dopplerf f f und f ' Detektor Abbildung 1. Vereinfachte Messanordnung des Laser-Doppler-Anemometers (LDA). Praktisch kann der Detektor (ein Photomultiplier) an beliebiger Stelle stehen. Die Herleitung der Formel für die Signalfrequenz ist jedoch komplizierter für den allgemeinen Fall. Aus Abbildung 3 erkennt man, dass die Doppler-erschobene Frequenz f ' des om Empfänger (Photomultiplier) detektierten Signals durch zweimalige Anwendung der Doppler-Formel f = f1 1 ± c ermittelt werden kann (: Relatigeschwindingkeit zwischen Sender und Empfänger; c: Lichtgeschwindigkeit; f 1 : Frequenz der ausgesendeten Welle; f : Doppler-erschobene 3

4 erschobenes Licht der Frequenz f P. Andererseits sendet es dieses bei der Streuung nochmals Doppler-erschoben zum Empfänger. Das bedeutet: Die Streuung on Laserlicht an bewegten Partikeln zeigt den Doppler-Effekt, auch wenn der ursprüngliche Sender (Laser) und der endgültige Empfänger des Streulichts (Photomultiplier) sich nicht relati zueinander bewegen. 1.5 y x Zwei Schwingungen leicht unterschiedlicher Frequenz: y 1 = sin x und y = sin( 1,1 x). 1.5 y x Überlagerung y = y 1 y = sin(x) sin( 1,1 x) (scharze dünne Linie) und Schwebung y =.5 cos(,1 x) (graue dicke Linie) Abbildung. Prinzip der Schwebungsfrequenz: Überlagern sich zwei Schwingungen mit leicht unterschiedlicher Frequenz entsteht eine Schwebung, deren Frequenz der Differenz der Frequenzen der überlagerten Schwingungen entspricht. 4

5 Abbildung 3. Prinzip der zweifachen Doppler-Verschiebung der Frequenz des Streulichts. P Geschwindigkeit des Partikel S Komponente on P parallel zu dem Laserstrahl (Sender) f f ' E Komponente on P parallel zu der Bewegungsrichtung der Photonen, die den Empfänger erreichen Frequenz des ausgesandten Laserlichts Frequenz des detektierten Streulichts. Theorie Für die Doppler-erschobene Frequenz des om Partikel empfangenen Lichts f P und die Frequenz des detektierten Streulichts f' gilt = + S fp f 1 und = E f fp c 1 c, ( ) also = + S E S E S E f f 1 1 = f c c c c c 5

6 Da c P < 1 6 und damit auch E S, c c < 1 6, wird und ist damit ernachlässigbar gegenüber den anderen Summanden. Man erhält mit dieser Näherung f = f 1 + c S c und damit für den Betrag der Doppler-Verschiebung E S E c < 1 1 f S E f = f f = S E = (1) c mit für die Wellenlänge des ausgesendeten Laserlichts. Wie man nachprüfen kann, bleibt der Betrag der "Gesamt"-Doppler-Verschiebung f gleich, auch wenn die Bewegung des Partikels entgegengesetzt erläuft. Streng genommen, müßten wir jetzt noch weitere Fälle für die Bewegungsrichtung des Partikels betrachten, nämlich solche, bei denen die Doppler-Verschiebung in den Gleichungen ( ) beide positi bzw. beide negati sind. Oder wir müßten gleich eine allgemeine ektorielle Betrachtung anstellen. Es zeigt sich jedoch dann, dass die im Folgenden abgeleiteten Ergebnisse dieselben sind und so sparen wir uns die Diskussion weiterer Fälle hier. 3. Messanordnung Da die Doppler-Verschiebung der Lichtfrequenz schwierig direkt zu bestimmen ist, wird wie oben bereits beschieben ein "Trick" angewendet: Das gestreute Licht der Frequenz f ' wird mit einem Teil des Laserlichts der Ausgangswellenlänge f überlagert. Es entsteht dann eine Schwebung mit gerade der Doppler-Verschiebung als Schwebungsfrequenz f S E f = f f = S E =. c Man erreicht dies mit der in Abbildung 1 dargestellten Versuchsanordnung. Der Partialstrahl 1 entspricht dem auch in Abbildung 3 gezeigten Laserstrahl, der an dem Partikel 6

7 gestreut wird. Partialstrahl wird nicht gestreut und erreicht den Empfänger ohne Frequenzerschiebung. Wie hängt nun die Schwebungsfrequenz on dem experimentellen Aufbau (Winkel ϕ und Frequenz des Laserlichts f ) und der Teilchengeschwindigkeit und -bewegungsrichtung ( P und φ) ab? Zur Beantwortung dieser Frage lassen sich zwei zueinander äquialente Betrachtungen anstellen. (Ein schönes Beispiel dafür, wie die Dinge in der Physik zusammenpassen zumindest in der "klassischen"...) 4. Herleitung der Signalfrequenz mit der Doppler-Effekt-Formel Wir betrachten die folgende Skizze, in der die beiden Partialstrahlen mit 1 und gekennzeichnet sind: Abbildung 4. Bezeichnungen der auftretenden Winkel. φ Winkel, der die Bewegungsrichtung des Partikels kennzeichnet ϕ Winkel, in dem sich die beiden Partialstrahlen (mit 1 und bezeichnet) schneiden Es gilt mit den Hilfswinkeln α = β + ϕ und β = 9 φ ϕ/: o ϕ S = P cos( α) = P cos( β + ϕ) = P cos 9 φ + () 7

8 o ϕ E = P cos( β) = P cos 9 φ. (3) Man beachte, dass die beiden Formeln sich lediglich im Vorzeichen on ϕ/ unterscheiden. Wir setzen () und (3) in (1) ein und erhalten f = P cos 9 Mit den Abkürzungen γ = 9 φ und P o o ϕ φ + cos 9 ( γ δ) cos( γ + δ) f = cos. Da cos( δ) cos( γ + δ) = sin( δ) sin( γ) γ ist, folgt o ϕ φ ϕ δ = ergibt sich dann f = P o ϕ ( φ) sin sin 9 und mit sin( χ) = sin( χ) und sin( 9 χ) = cos( χ) o für beliebige Winkel χ erhält man schließlich für die Signalfrequenz des Laser-Doppler-Anemometers (Schwebungsfrequenz des detektierten Signals) ϕ f = P cos( φ) sin. (4) 5. Herleitung der Signalfrequenz über Betrachtung des entstehenden Interferenzmusters Auch ohne Verwendung der Formel für den Doppler-Effekt läßt sich die soeben abgeleitete Formel (4) herleiten. Die nun folgende Herleitung über die Betrachtung des im Schnittbereich der Partialstrahlen entstehenden Interferenzmusters ist der orhergehenden Ableitung äquialent, hat jedoch den deutlichen Vorteil weitaus anschaulicher zu sein. 8

9 Wir betrachten eine Momentaufnahme der Wellenfronten des Lichts der sich überlagernden Partialstrahlen: (a) (b) Hier symbolisieren die Linien, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Partialstrahlen gezeichnet sind, die Maxima der Wellenfronten. Man erkennt, dass sich im Überlagerungsbereich Linien konstruktier und destruktier Interferenz ausbilden. Da die Wellenfronten der Partialstrahlen sich mit derselben Geschwindigkeit (nämlich der Lichtgeschwindigkeit) fortbewegen, liegen die Schnittpunkte der Wellenfront-Maxima in der Darstellung auf Linien parallel zur optischen Achse. Im zeitlichen Mittel entsteht im Messolumen ein räumliches Interferenzmuster. (Da die Partikeln sich in diesem Versuch deutlich langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, ist die Mittelung gerechtfertigt.) Es bilden sich also stationär äquidistante Ebenen hoher Lichtintensität aus (senkrecht zur Zeichenebene on Abbildung 4). Zwischen diesen "hellen" Ebenen liegen jeweils "dunklere" Bereiche. Ein Partikel, das sich in diesem Hell-Dunkel-Muster bewegt, streut abwechselnd Licht mit hoher und niedriger Intensität. Der Detektor empd Abbildung 5. Interferenzmuster im Messolumen. d bezeichnet den Anstand der Ebenen, in denen konstruktie (oder auch destruktie) Interferenz stattfindet. 9

10 fängt damit Signale, die mit der besagten Schwebungsfrequenz f intensitätsmoduliert sind. Die Signalfrequenz f ist also der Kehrwert der Zeit T, die das Streuteilchen benötigt, um on einem Maximum zum nächsten zu gelangen, 1 f =. (5) T Der Abstand d der Intensitätsmaxima, die Zeit T und die Geschwindigkeit des Teilchens stehen über P d = = d = f d (6) T cos ( φ ) T cos( φ ) in Bezug zueinander. d' bezeichnet die om Teilchen in T zurückgelegte Strecke, die ja nicht zwingend die kürzeste Verbindung zwischen zwei Maxima ist. Oder anders ausgedrückt: Die Geschwindigkeitskomponente parallel zu d beträgt ( φ ) cos. P a a Abbildung 6. Skizze zur Berechnung des Abstandes d der Maxima-Ebenen Es sind d = CE, a = AE = EB und die Wellenlänge = AF. Aus a tan ϕ = in EBC folgt d ϕ und aus cos = in a ABF folgt d = a tan ϕ (7) ( ) a =. (8) cos ( ϕ ) 1

11 Einsetzen on (8) in (7) ergibt und weiter erhält man mit (6) d = = (9) tan ( ϕ ) cos( ϕ ) sin( ϕ ) sin cos =. (1) P ( ϕ ) ( φ ) Wir stellen noch schließlich (1) um und bekommen ebenfalls die bereits bekannte Formel (4) f ϕ f = P cos( φ) sin. (4) 6. Intensitätserteilung Da die beiden Partialstrahlen keine idealen ebenen Wellen sind, sondern jede für sich im Querschnitt eine näherungsweise Gauss-förmige Intensitätserteilung aufweisen, ergibt sich auch im Überlagerungsbereich, d.h. im Messolumen, eine entsprechende Intensitätsmodulation. Die Maxima des Interferenzmusters haben also nicht alle dieselbe Intensität. C' C'' C' C'' 11

12 x C" y C' Abbildung 7. Intensitätserteilung im Messolumen. Auf der Linie C'C'' entsteht qualitati der skizzierte Intensitätserlauf. Durchläuft ein Partikel das Intensitätsfeld im Messolumen erreicht den Detektor Strahlung, die mit der Schwebungsfrequenz f intensitätsmoduliert ist. Ist die Geschwindigkeit beim Durchlauf nicht konstant, so ändert sich T, d.h. die Zeit, in der das Partikel die Ebenen maximaler Intensität erreicht. Für den Praktikumsersuch (s.u.) gilt = 63 nm (rotes HeNe-Laserlicht) und sin ( ϕ ) tan( ϕ ) 3 / 5. Aus Formel (9) erhält man damit für den Abstand der Maxima d = 5,3 µm. Veränderliche Geschwindigkeiten lassen sich also mit einer Ortauflösung on 5,3 µm messen, was beispielsweise bei einer Geschwindigkeit on P =3 m/s und φ = einer Zeit T = 1,6 1-8 s = 16 ns entspricht. Die Genauigkeit der Geschwindigkeitsmessung ist damit im Wesentlichen durch das (meist schlechtere) Auflösungsermögen des Detektors und der Messelektronik begrenzt und nicht durch das grundlegende Auflösungsermögen des Messprinzips. Verständnisfrage: Was könnte man im Experimentaufbau ansonsten ändern, um die prinzipielle Auflösung zu erbessern, d.h. um d zu erkleinern? 1

13 7. Praktikumsexperiment Grundlage der Messung on Strömungsgeschwindigkeiten mit Hilfe der Laser-Doppler- Anemometrie ist die Lichtstreuung an Partikeln, welche der Strömung folgen. Besserer Reproduzierbarkeit und der Übersichtlichkeit wegen wird im Praktikumsexperiment das strömungsgetragene Partikel durch ein mechanisch definiert bewegtes Objekt ersetzt, nämlich den Faden einer Spinne auf einem xy-schreiber. Abbildung 8. Versuchsaufbau x y z Der Spinnenfaden wird mit einer Halterung auf dem Schlitten des xy-schreibers (auch "Spannungskompensograph" genannt) befestigt. Die Position des Spinnenfadens in y- Richtung ist proportional zur angelegten Spannung. Durch Anlegen einer Spannung bestimmter Zeitabhängigkeit (Funktion, Amplitude und Frequenz) wird der Spinnenfaden durch das Messolumen mit einer definierten Geschwindigkeit bewegt. Der Aufbau wird so gewählt, dass φ = gilt. Formel (4) ereinfacht sich daher zu und es gilt ϕ f = sin P f sin P = mit ( ϕ ) d sin =. ( ϕ ) 13

14 Aufgaben: 1) Für fünf Frequenzen f Schreiber einer angelegten Sinus-Spannung soll die Geschwindigkeit des Spinnenfadens P im Nulldurchgang (= Maximalgeschwindigkeit) gemessen werden. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den zu erwarteten Werten, d.h jeweils mit dem mechanisch aus der Amplitude y und der Frequenz f Schreiber der Bewegung bestimmten Geschwindigkeit beim Nulldurchgang. Stellen Sie die Erwartungswerte und die Messwerte graphisch dar. Benötigte Formeln: Mechanisch bestimmte Geschwindigkeit im Nulldurchgang Für die Bewegung des Spinnenfadens (in y-richtung) gilt y(t) = y sin(ω t) und damit für die Geschwindigkeit P (t) = dy/dt = y ω cos(ω t). In den Nulldurchgängen bei sin(ω t)=, also cos(ω t) = 1, gilt P (t) = y ω = π f Schreiber y. Mit dem LDA bestimmte Geschwindigkeit im Nulldurchgang Es gilt = 63 nm (rotes HeNe-Laserlicht) und sin( ϕ ) tan( ϕ ) 3 / 5 (9) erhält man damit für den Abstand der Maxima d = 5,3 µm. Aus (4) ergibt sich dann für die Geschwindigkeit mit φ = d P = f = f 5,3 µ m. cos ( φ ). Aus Formel Zur besseren Ablesegenauigkeit bestimmt man f aus mehreren Nulldurchgängen, d.h. einem Vielfachen on T. 14

15 ) Alternati zu einer sinus-förmingen Spannung kann auch eine Dreiecks- oder Rechteckspannung an den xy-schreiber angelegt werden. Die jeweiligen Geschwindigkeiten beim Nulldurchgang sind die Steigungen der Weg- Zeit-Diagramme an diesem Punkten (gestrichelte Linie in Abbildung 9). Messen Sie die Geschwindigkeit des Spinnenfadens für gleichbleibendes f Schreiber und y bei den unterschiedlichen Formen der Spannungsfunktion und ergleichen Sie die Werte wieder zunächst mit den mechanisch bestimmten Werten (aus f Schreiber und y ), anschließend miteinander. Erhalten Sie die theoretisch zu erwartenden Werte/Verhältnisse? S S S S S S Abbildung 9. Weg-Zeit-Diagramme für erschiedene Bewegungsarten des Schreibers. T S bezeichnet die Periode der Bewegung des xy-schreibers. Es gilt f Schreiber = 1/ T S. 15

16 3) Bei einer sinus-förmigen Schwingung ist die Beschleunigung (Änderung der Geschwindigkeit) in den Umkehrpunkten am größten und näherungsweise linear on der Zeit t abhängig (denn es gilt hier cos( χ) χ ). Zeigen Sie dies mit entsprechenden Messungen. Hinweis: Tragen Sie hierfür die mit dem LDA bestimmte Geschwindigkeit gegen die Zeit auf. WICHTIG: Wiederholen Sie für diesen Versuch die Formeln für sinusförmige Bewegungen, d.h. Ort(Zeit), Geschwindigkeit(Zeit), Beschleunigung(Zeit), falls Sie mit den Formeln nicht ertraut sind. 16