Statistische Tests: t-test

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1 EDV in der Geologie, SS003 Statistische Tests: t-test In der Regel verfügt ein Geologe nur über einen begrenzten Datensatz, z.b. aufgrund schlechter Aufschlußverhältnisse. Statistisch betrachtet steht ihm nur eine Teilmenge an Daten aus einer Grundgesamtheit zur Verfügung. Messreihen erlauben einen Einblick in die Zusammenhänge, für quantitative Aussagen sind aber eigentlich grössere Datenmengen nötig. Welche Aussagekraft haben der Mittelwert, die Standardabweichung und die Varianz, wenn uns nur ein begrenzter Datensatz, also eine Stichprobe, zur Verfügung steht? Abb.. Wegen der schlechten Aufschlussverhältnisse konnten nur drei gute Gesteinsproben von Granit an der Erdoberfläche genommen werden. Reicht diese Menge an Proben aus, um mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen zu können, daß es sich bei der Intrusion wirklich um einen Granit handelt? t-test Ein grosses Gebäude soll in Aachen aus dem Aachener Blaustein errichtet werden. Die Vorschriften setzen eine bestimmte Festigkeit (strength) von xx MPa des Gesteins voraus. Wir könnten zwar zahlreiche Bruchversuche durchführen, doch das Gestein ist teuer. Stattdessen stellen wir die Hypothese auf, dass es erst nach einer Auflast von mehr als xx MPa zum Versagen kommt. Das statistische Verfahren verläuft wie folgt: Aufstellen einer Nullhypothese H 0 (null hypothesis): Null steht für kein Unterschied, d.h. man setzt etwas gleich (=). Bei der Nullhypothese handelt es sich um eine Annahme, die sich möglichst als unwahrscheinlich herausstellen soll; bspw. alle Schwäne sind weiss ; die vom Hersteller angegebenen technischen Spezifikationen können nicht eingehalten werden ; der Blaustein bricht Aufstellen der Alternativhypothese H a (alternative or research hypothesis): Hier geht es, den Unterschied darzustellen, s.h. >,< oder. Ziel der Alternativhypothese ist es, die Nullhypothese abzulehnen, sodaß sich H a als wahr herausstellt. Z.b. ein Schwan ist schwarz. Bei den statistischen Tests arbeitet man mit Wahrscheinlichkeiten. Wir führen einige Experimente durch, wobei der Mittelwert x quer für die Bruchfestigkeit deutlich über 50 Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen

2 EDV in der Geologie, SS003 MPa liegt. Kann man davon ausgehen, dass das Gestein verbaut werden kann? m - arithmetisches Mittel der Grundgesamtheit / sample mean x - arithmetisches Mittel der Stichprobe / population mean Wir messen in einer kleinen Serie die Festigkeit einiger Gesteine und plotten die Daten in ein Diagramm (Abb. a, b). Die Daten streuen um einen Mittelwert. Die meisten Meßwerte liegen nahe dem Mittelwert, dennoch gibt es auch einige weiter vom Mittelwert entfernt liegende Punkte. Die Wendepunkte der Normalverteilung entsprechen dem Mittelwert ± Standardabweichung und liegen etwa bei y=0.6 y max.demnach liegen zahlreiche Messwerte ausserhalb dieses Bereiches, entfernter gelegen als Mittelwert plus Standardabweichung! Zur Überprüfung der Hypothesen (notwendig wegen eines geringen Datensatzes) gibt es statistische Tests. Wir wenden den t-test an, der In der Regel arbeitet man mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% (Vertrauenswahrscheinlichkeit / gelber Bereich in Abb.), da es sehr unwahrscheinlich ist, daß bei den Messungen der Gesteinsfestigkeit stärkere Abweichungen auftreten. Entsprechend wird in 5% der Fälle (Irrtumswahrscheinlichkeit) mein Meßwert außerhalb des 95%-Bereiches liegen. normal distribution y frequency normal distribution y=ae -bx x values -s m s.5 95%.5 yª0.6 y max Abb.. Die Verteilung eines Datensatzes als Beispiel einer Standard-Normalverteilung. Die Student t-verteilung hat einen ähnlichen (symmetrischen, glockenförmigen, mit einem Variationsbereich von - bis + ) Kurvenverlauf, der sich mit zunehmender Anzahl der Datenpunkte n der Standard-Normalverteilung anpasst. Sie ist aber keine Normalverteilung i.e.s., weil sie im Gegensatz zur Standard-Normalverteilung von µ und s unabhängig ist. Die Form der t-verteilung wird nur durch den sog. Freiheitsgrad v bestimmt. Diese Vorgehensweise kann zu einem Fehler bei der Überprüfung der Hypothese führen, bei dem der Meßwert korrekt ist (er liegt unter der Normalverteilungskurve), aber aus dem 95%-Bereich herausfällt und damit die Annahme fälschlicherweise abgelehnt wird. Dieser Fehler ist durch Zufall entstanden, und diese unberechtigte Ablehnung der Nullhypothese wird Fehler. Art genannt (type error). Entsprechend wird die Alternatuvhypothese Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen

3 EDV in der Geologie, SS003 fälschlicherweise aktzeptiert. Ein Fehler. Art (type error) existiert dann, wenn die Nullhypothese unberechtigt beibehalten wird, obwohl eigentlich die Alternativhypothese korrekt wäre. Beispiel: Beim Werfen einer Münze sollte mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Münz- oder Zahlseite auftreten. Dazu nehmen wir einen Vertrauensbereich von 95% an. Die Wahrscheinlichkeit P, daß beim vier- bzw. fünfmaligen Werfen die Münze immer auf die Seite Zahl fällt,ist P 4 x % = ( ) = ª P 5x % = ( ) = ª Das heißt, daß beim viermaligen Auftreten der Münzseite Zahl von einem Zufall auszugehen ist, beim fünfmaligem Auftreten der Münzseite Zahl hingegen von einem überzufälligen Fall. Da von einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% bzw. von einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% (man nennt das auch Signifikanzniveau a=0.05) ausgegangen wurde, wird für das untere Beispiel 5x Zahl die Nullhypothese fälschlich abgelehnt (Fehler. Art). Zur weiteren Überprüfung könnte man den Vertrauensbereich zum Beispiel auf 99% (a=0.0) oder 99.9% (a=0.00) ändern. In beiden Fällen wäre die Nullhypothese angenommen. Durch Erhöhung der Datenmenge kann man die Möglichkeit eines Fehlers. Art stark reduzieren. Mit dem t-test rechnet man einen Parameter t aus und vergleicht diesen mit dem kritischen t-wert aus einer Tabelle. Ist t> tcrit, so wird die Nullhypothese abgelehnt, und die Alternativhypothese angenommen. Ist hingegen t<t crit, so spricht kein statistischer Hinweis gegen die Nullhypothese. Für einen univariaten Datensatz berechnet sich t aus evidence x, hypothesis m x - m t = 0 s n für einen bivariaten Datensatz aus t = x -x - m - m s ( ) Ê ˆ Á + Ë n n A B Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen 3

4 EDV in der Geologie, SS003 Aufgaben. In Dünnschliffen eines magmatischen Gesteines ist der %-uale Anteil an Quarz bestimmt worden: a) Bestimme mit den Excel-Funktionen Mittelwert x quer, Standardabweichung s, Varianz s, Anzahl der Werte n. b) Berechne die Vertrauensbereiche für den Mittelwert einer Normalverteilung, in denen die Werte mit einer 95% igen Wahrscheinlichkeit liegen. Entsprechend Abb.c liegen in der Normalverteilung 95% der Werte im zentralen Bereich, und je.5% (a=0.05) an den beiden Flanken. Entnehme den Wert für t der Tabelle, i.e. Anzahl der Freiheitsgrade n=n- für a=.5%. m m upper lower x t s 0. 05; n - n = + x t s 0. 05; n - n = - Ergebnis: Der 95% Vertrauensbereich für den Mittelwert reicht von bis. Ich bin mir zu 95% sicher, dass der von mir errechnete Mittelwert des Quarzgehaltes um nicht mehr als % vom tatsächlichen Mittelwert abweicht. c) Durch eine erhöhte Anzahl an Messungen verbessert sich die Genauigkeit des Vertrauensbereiches. Wieviel weitere Dünnschliffe wären notwendig, um zu 95% sicher zu sein, dass der errechnete Mittelwert nicht % (Lösung Aufgabe b), sondern nur g=% vom wahren Mittelwert abweicht? Gesamtmenge der Dünnschliffe mit s der in erechneten Standardabweichung, und n der Menge an bereits vorhandenen Werten (beides in a gelöst). Menge der noch nötigen Dünnschliffe: n ( t s / ) 0. 05; n - g required samples = n -n Ergebnis: Es sind noch weitere Dünnschliffe anzufertigen, wenn der Mittelwert des Quarzgehaltes nur % vom wahren Mittelwert abweichen soll. Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen 4

5 EDV in der Geologie, SS003 d) Teste die Hypothese, dass der wahre Mittelwert des prozentualen Quarzanteiles im Dünnschliff 0% ist, also Nullhypothese H 0 :µ=0, mit dem t-test. Gehe sicher, dass der Wert nicht >0% ist (Alternativhypothese H a :µ>0). Dazu wird der errechnete Mittelwert mit dem vermuteten Wert verglichen, vor der Hintergrundverteilung der Standardfehler, also evidence x, hypothesis m x - m t = 0 s n Dabei betrage die Signifikanzwahrscheinlichkeit (level of significance) a=0.05 (5%). Entnehme den kritischen Wert von t crit der Tabelle und berechne den t-wert für deine Daten. Vergleiche t crit und t (Bemerkung: t>t crit : Nullhypothese kann abgelehnt werden, t<t crit : es spricht nichts gegen die Nullhypothese). Kann davon ausgegangen werden, dass die Nullhypothese, der Mittelwert sei 0%, richtig ist? ) Teste, ob die Belemniten in Schicht A und die Belemniten in Schicht B gleich gross sind. Länge in cm: Horizont AHorizont B Berechne Mittelwert, Standardabweichung, Varianz, Datenmenge, und t. Nullhypothese H 0 : Länge A = Länge B Arbeitshypothese H a : A > B Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen 5

6 EDV in der Geologie, SS003 allgemein: t = x - x -( m - m ) s Ê ˆ Á + Ë n n A B here: H 0 : m = m fi m - m = 0 Beachte, daß sich in der allgemeinen Formel durch die Nullhypothese µ reduziert! Wichtig für das kritische t aus der Tabelle: Signifikanzwahrscheinlichkeit a=0.05 (5%) und der Freiheitsgrad der Verteilung (hier bivariat; Datensätze): Vergleiche t mit dem kritischen Wert von t aus der Tabelle. Kann davon ausgegangen werden, dass die Belemniten in beiden Horizonten gleich gross sind (Bemerkung: t>t crit : Nullhypothese kann abgelehnt werden, die Arbeitshypothese ist wahrscheinlicher, t<t crit : es spricht nichts gegen die Nullhypothese)? degree of freedom univariate: n - bivariate: n + n - *) Nimm als Arbeitshypothese an, die Mittelwerte der Längen von A und B seinen ungleich (nicht wie oben Mittelwerte der Längen von A seien > Mittelwerte der Längen B). Dann gilt: H H 0 a : m = m fi m - m = 0 : m π m fi m - m > 0 or m - m < 0 A B Beachte: Bei der Bestimmung von t crit ist bei dieser Arbeitshypothese bei einer Signifikanzwahrscheinlichkeit a von.5% abzulesen, weil nun positive und negative Werte zu einer Ablehnung der Nullhypothese führen kann (.5% am positiven und.5% am negativen Ender ergibt insgesamt 5%). sample variance = (standard deviation) s n = xi x n - Â - i= ( ) Literatur Chapra, S.C., Canale, R.P Numerical methods for engineers. 3rd ed., McGraw Hill. Kapitel 5, Curve fitting. Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen 6

7 EDV in der Geologie, SS003 Sachs, L. 993.Statistische Methoden: Planung und Auswertung. 7. Aufl., Springer. Swan, A.R.H., Sandilands, M Introduction to geolgical data analysis. Blackwell Science, 446 pp.. Geologie-Endogene Dynamik, Prof. Dr. Janos L. Urai, RWTH Aachen 7