Elektrodynamik Zusammenfassung wichtiger Formeln und Verfahren

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1 Elektodyaik Zusaefassug wichtige oel ud efahe E ( ( : potetielle Eegie ( E( d ( q * E( W q E q di Stodichte: J d ρv Potetial eie Puktladug: q ( ε Kaft zw. Puktladuge: q q ε Plattekodesato: x E σ x e x ε QC*U C ε Spaugsteso: T ε EE E T * df Maxwell-Gleichuge de Elektostatik: diffeetielle Dastellug: div E ρ ( ε q( itegale Dastellug: E * df ε ± ± ± vgl.: (/x -/x² S( d ot E,de ot gad E * d eld vo Puktladuge: E( qi * ε i q( physikalische Gaußsche Satz: E * df * ρ( d ε ε Gaußsche Satz: * Skalafelde df... d... it *, ektofelde * df gad d E * df div E d df ot d

2 Stokessche Satz: * Skalafelde d... ( df... it *, ektofelde * d df gad * d ot * df (Zyklische etauschug des Spatpodukts d ( df. Geesche Idetität: ( ψ + ( ψ * d S( ψ df. Geesche Idetität: ( ψ ψ ψ ψ d df S( Def.: Noalableitug vo auf S(: * ( Poisso-Gleichug: ( ρ ε wid ohe Radbediguge gelöst duch das Poisso-Itegal: ρ( ( d πε, de it δ( folgt: 4 ρ ρ( d ε ρ( * δ( d ε ε Ist de Raubeeich Ladugsfei gilt die Laplace-Gleichug: ( Die allgeeie Lösug de Poisso-Gleichug läßt sich als Sue eie spezielle Lösug de Poisso- Gleichug ud de allgeeie Lösug de Laplace-Gleichug dastelle. Radwetpoblee de Elektostatik: ρ( + πε π d ( df 4 4 S( G ρ( G(, d ε ( G(, df S( it G(, f(, ε + Übe die fei vefügbae uktio f(- lasse sich die Radbediguge efülle. Radbediguge:. Diichlet: Ist auf S( gegebe, wählt a f(- so, daß gilt: G( df,. Neua: S( was a oft ealisiet duch: G(- S( * E auf S( gegebe

3 i kathesische Koo.: ( x x + ( y y + ( z z i Zylidekoodiate: + * cos( + ( z z i Kugelkoodiate: + * [cos ϑ * cosϑ + si ϑ * si ϑ * cos ] Jackso S 7 ehalte vo E a leitede läche it σ : Noalkopoete: * ( E E σ ustetig σ ε * E ε Tagetialkopoete: ( t * ( E E stetig a i a i eldeegie & beit: Die beit wid positiv gezählt, we sie a Syste veichtet wid. Die Eegie eie auf eie edliche Raubeeich beschäkte Ladugskofiguatio ρ( etspicht de beit, u Laduge aus de Uedliche ( ( zu diese Kofiguatio zusae zu ziehe. W * d q E * d q d q *( ( ( q * U U E ( * d E * d d UE*d W CU kotiuieliche Ladugsveteilug: W ρ( ( d ( ist das vo de Ladugsveteilug selbst ezeugte el-stat.-potetial ε W E d ei Plattekodesato: Dipoloet: p li q a a q p ρ( d D Eegiedichte des el.stat.-eldes: w ε E w σ dw ε W dd * * p p cosϑ ( ; D (, ϑ, ε ε Quadupoloet: q i li d i p di p Qi ρ( ( xix δ i d Teso Q( qi ( x i x δ i 5 ε i, Q ist Spufei ud syetisch, hat dahe u 5 uabhägige Eleete

4 Eigeschafte de Diacsche δ-uktio: Di[ δ ( - ] Di[] falls δ( d sost δ( f( a falls α < a < β β f( x * δ( x a dx f( a falls a α ode a β α sost δ( f( x δ( x xi Nullstelle vo f(x sid bei x i i f ( xi δ( ax δ( x a g( x δ( x a g( a δ( x a ( x a δ( x a f( x δ ( x a f ( a δ( x a *( x a δ( x a li * e π Mehdiesioale δ-uktio: kathesische Koodiate: δ( δ( x x δ( y y δ( z z Zylidekoodiate: δ( δ( δ( δ( z z Kugelkoodiate: δ ( si ϑ δ ( δ ( ϑ ϑ δ ( Levi-Cevita-Teso: falls ( i,, k zyklisch ε ik falls ( i,, k atizyklisch sost a * b a i b i Es gilt die Eistei sche Suekovetio [ a b] ε a b ode als gaze ekto: a b ε ik a i b e k k ik i a * ( b c ε a b c ik i k a ( b c ε a ( b c ε a ε b c ε ε a b c εik εkl δ il δ δi δ l ε ε ik ik ik i ik i l l ik l i l

5 eya-tick: α* d α* * e d e d dα d α* * e P oduktegel dα α α* α* * e + * * e α α α* e * ( α * α Wichtige oel de Magetostatik & Löugsvefahe Kotiuitätsgleichug: div Leistug: P ( * E ( d Stofäde: d I d peesches Gesetz: -eld: ρ t II d ( d I I ( C C C C I d ( C d * d J ρ e fü ρ < R I -eld eies zyl. Leites: ( ( e J R e fü ρ > R πρ ρ beliebige Stodichte: ( d ( Kaft, die auf eie Stodichte ( vo eie vo eie adee Stodichte ezeugte -eld ausgeübt wid: [ ( ( ] d Dehoet M auf die Stodichte : M [ ( ( ] d Maxwellgleichuge: Diffeetiell: ot div ot H Itegal: * d * df I (pesches Duchflutugsgesetz; vegleichba it physikalische Gaußsche Satz ektopotetial: ot ( ( d Eichtasfoatio: + gad χ Coulob-Eichug: div agetisches Moet: (Noltig S 74 Magetisieug: ( H + M M χ H H

6 Poisso-Gleichug de Magetostatik: Lösugsvefahe wie bei de Elektostatik Ist i it Radbediguge auf S( ka a zu H wege ot H ei skalaes agetisches Potetial defiiee: H it div folgt da: (Laplacegleichug de Magetostatik Ist M( ugleich Null it i egibt sich: div M (skalae Poisso-Gleichug de MS Eie Lösug läßt isch it de Poisso-Itegal agebe: div M( M( ( d d Die bekate Multipoletwicklug, ka a ach de este Te abbeche ud ehält de Dipolte: * tot ( eldvehalte a Gezfläche: Die Noalkopoete de agetische Iduktio ist a de Gezfläche stetig: * ( H H ei fehlede lächestodichte ist die Tagetialkopoete des H-eldes stetig. ( t * ( H H * t Sepeatio de aiable: fü Laplace gilt: + + x y z Sepeatiosasatz: ( X( x * Y( y * Z( z i Laplace-Gl. eisetze ud duch teile. X Y Z + + X x Y y Z z a defiiet: α : X X x Y β : Y y woit a dei eizelee DGl.e hat. it α + β γ Das Podukt de Lösuge X*Y*Z sieht allgeei folgedeaße aus: e e e iαx iβy α β z ± ± ± + ( * * γ Z : Z z it α,β aus R; letzte Te ohe i, da γ² positiv ist Die Radbediguge bestie geaue. (? -> Reell: ( a cosαx + b siαx + a cosβy + b siβy + a cosh γz + b sih γzx sp: α α β β γ γ R: Potetial Null a de Räde eies Quades it b*l*h π π α β γ, π + b l b l Da & beliebig sid, ist die allgeeie Lösug die Sue aus alle Kobiatiosöglichkeite it eie etspechede Gewichtugsfakto,. ( si α x * si β y * sih γ z, ultipliziet it si α,,, x * siβ b l 4c bl sih( γ, y y ud itegiet vo bis b & vo bis l egibt sich fü, : si( α x dx si( β x dx... (vegleiche auch ufgabe 5.