Vorlesung "Molekülphysik/Festkörperphysik" Sommersemester 2012 Prof. Dr. F. Kremer. Übersicht der Vorlesung am

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Benedict Maurer
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1 olesug "Molekülhysik/estköehysik" Sommesemeste Pof... Keme Übesicht de olesug am Halbleite mit idealem Kistall Eegieeigewetdichte des Elektoegases Eegieveteilug de quasifeie Elektoe Elektische eitfähigkeit eies ideale Halbleites Stöstelle im Halbleite e --Übegag H: Kistallelektoe köe duch themische egug i das eitugsbad übegehe im themodyamische Gleichgewicht gibt es eie temeatuabhägige Gleichgewichtsveteilug vo Kistallelektoe im eitugsbad ud efektelektoe (öche) im alezbad Halbleite mit idealem Kistall Halbleite mit idealem Kistall sid Eigehalbleite: Eigeschafte: - bei TK keie eitug - bei T>K themische egug vo Elektoe vom alez- i das eitugsbad - jedes ageegte Kistallelekto hitelässt ei efektelekto i (eutalitätsbedigug) damit stehe adugstäge fü de Tasot zu efügug ie eitfähigkeit des ideale Halbleites ist vo seie Eigeleitugskozetatio abhägig. Zu Beechug wede die effektive Masse m de adugstäge ud die Eegieeigewetdichte g(w) beötigt. - effektive Masse: wid duch. ewtosches Gesetz defiiet ma a m - ei Kistallelekto efäht ute quatemechaische Betachtug im äußee E-eld eie Beschleuigug

2 d W a qe h dk hkplack'schekostate KKWellezahl k h W ( k) KEegie als uktio vo k qkadug des Elektos ei feies Elekto im akuum wüde higege mit q a E me beschleuigt (Koeffiziete-egleich) dk m h d W ( k) (Säte wede wi das i de om d W ( K) h bauche.) dk m ie Beechug de Eegieeigewetdichte g(w) wüde eigetlich die Ketis de Badstuktu W(K) voaussetze. iese sid im llgemeie abe icht exakt bekat, dahe vewedet ma die Stadadbäde als Modell. ies basiet auf de ahme, dass das eitugsbad (B) u geig besetzt ud das alezbad (B) fast vollstädig mit quasifeie Elektoe besetzt ist, sowie, dass die iteessate Eegiezustäde i umittelbae ähe de Badgeze liege, wo ma W(K) aabolisch aehme ka. - We ma dabei u W(k x ) a de Stelle kx kx i eie Taylo-Reihe etwickelt, egibt sich dw ( kx ) W ( k ) W + k k dkx kx d W ( kx) + x dkx kx +Khöhee Teme ( ) x x x ( k k ) x - dw ( kx) dkx kx, da W(k) a de Badäde etwede miimal ode maximal - dw ( kx ) dkx kx h m aus Heleitug de effektive Masse de adugstäge a folgt W ( k ) W + h k k ( ) x x x mx

3 We m isoto ist folgt h W ( k ) W + k k m ( ) Ud aalog h W ( k ) W + k k m ( ) wobei W ( k ) W ud W ( k ) W sid. - bbildug diekte od. idiekte Übegag: - We k k sicht ma vo diekte Halbleite - We k k sicht ma vo idiekte Halbleite. Hie muß zusätzlich zu Übegagseegie W i (Badlücke) och ei Imuls h ( k k ) zugefüht wede, damit die Imulsehaltug efüllt ist. ies geschieht übe geeigete Phooe. amit ist bei idiekte Halbleite abe auch die Übegagswahscheilichkeit kleie. Eegieeigewetdichte des Elektoegases - Jedes Eegiebad ethält Eegieiveaus. ie ichte de Eegieiveaus im k-raum ist k d d 8π E da im k-raum fü kubische Kistalle zu jedem Eegiebad ei Raumwüfel mit de Kateläge π / a zugeodet wede ud a E ist.

4 - gesucht wede Eegieiveaus zwische W ud W+dW, im k-raum etsicht de Eegie W eie Kugel mit dem Radius k ud W + dw k + dk. ie olumediffeez beide Kugel ist da 4π d k 4π k dk 4 d E π k dk. 8π uch Esetze vo k mit W egibt sich me k W h ud me kdk dw h ( ) E m e g W dw W dw 4π. h ü Kistallelektoe wid daaus E m ( ) ( ) g W W W 4π h ud m E ( ) ( ) g W W W 4π h adugstägekozetatioe f gdw E W W f g dw, E wobei f die Besetzugswahscheilichkeit ist ud eigetlich de emi-iac-eteilug geüge sollte. Eegieveteilug de quasifeie Elektoe Bei de eteilug de quasifeie Elektoe auf die Eegieiveaus eies Bades muss beücksichtigt wede, dass Elektoe emioe sid ud damit dem Pauli-Pizi uteliege. as heisst, die iveaus köe u so betachtet wede, dass sich alle Elektoe midestes i eie Quatezahl utescheide (i jedes Eegiebad asse also maximal Elektoe (Si/)). e ie Beechug de Eegieveteilug ka mit de emi-iac-eteilug efolge. abei ist die zahl de Elektoe de( W ) mit Eegie zwische W ud W+dW d ( ) ( ) ( ) e W g W f W dw, wobei f ( W ) die emi-iac-uktio ist 4

5 f ( W ) W µ e + ie emi-iac-eteilug gibt die Wahscheilichkeit fü die Besetzug des Eegieiveaus W a. e akto gibt a, dass jede Eegiewet mit Elektoe besetzt wede ka, µ ist das chemische Potetial, g(w) Eegieeigewetdichte (Zustadsdichte), g(w)dw etsicht de zahl de Eigewete zwische W ud W+dW. Boltzma-äheug fü f möglich, da elativ weige Kistallelektoe im B W W f e e damit egibt sich fü die adugstägekozetatio W W m ( ) h W e e W W dw π W W mit x ud folgt m dw dx k T x e e e xdx π h 44 π e W W m mit 4 πh ud aalog fü W W e, 4 W emi-eegie W B W m πh duch Eisetze vo ud i die eutalitätsbedigug ehält ma W W ( ) ( ) m e m e Umstelle ud log W W m m ( W W W ) l l m m W + W m W + l 4 m ie emi-eegie eies ideale Halbleites liegt bei gleiche effektive Masse vo Kistall- 5

6 ud efektelektoe i de Mitte de Eegielücke, sost ist die emi-eegie temeatuabhägig 4 kb i { ( m m ) T e 4 πh ducheisetze Wi bbildug: Badstuktu eitfähigkeit eies ideale Halbleites σ e b mit b Beweglichkeit ü Halbleite σ e( b + b ) fü die Eigeleitug mit eutalitätsbedigug i : i i ( b ) σ e b + Eisetze vo i ud Zusammefasse liefet da Wi ( ) Eigeleitug eies Halbleites σ i σ i T e 6

7 Stöstelle im Halbleite as gezielte Eibige vo emdatome et ma dotiee. Je ach Kozetatio vo oatoe bzw. kzetoe ka ma Halbleite i folgede Klasse uteteile: Itisische Hableite i Es liegt u Eigeleitug vo. -Ty Halbleite mit, >> -Ty Halbleite mit, << Mischty Halbleite, ie Kozetatio de oatoe ud kzetoe etsicht de Summe aus eutale ud ioisiete oatoe ud kzetoe. + + ud + ie Wahscheilichkeit fü die Ioisieug eies oatos ode kzetos ist vo de age seies Eegieiveaus abhägig ud geügt folgede eteilugsfuktioe: f + + e E E k T B f + e E E k T B ie aktoe ½ ud basiee auf dem Pauli-Pizi.. e --Übegag de Kotaktfläche besteht ei steile Kozetatiosgadiet fü die beide adugstägesote 7

8 Elektoe diffudiee i de -Teil efektelektoe diffudiee i de -Teil Elektoe ud efektelektoe (öche) ekombiiee Eie eamugszoe mit de Raumladugsdiche ρ - el im -Gebiet ud ρ + el im - Gebiet bildet sich aus. aaus esultiet gemäß de Poisso-Gleichug ρ( x) div E( x) εε de d Φ( x) dx dx ei elektisches eld E mit dem Potetialgadiete E gad Φ. as elektische eld teibt die adugstäge zuück ud wikt dem iffusiosstom etgege. Im statioäe Gleichgewicht sid iffusiosstom ud eldstom gleich goß ud dee Summe ull. Im themische Gleichgewicht egibt sich fü die adugstägekozetatioe im -Teil -Teil () e () e () E E ( ) E E () e () e ( ) E E () E E. us eutalitätsgüde muß außehalb de Raumladugszoe (RZ) () () () () Eg e gelte, wobei E die Badlücke ist ud g 8

9 E g E () E () E () E () etsicht. Obige Übeleguge ud die Tatsache, dass sich die emiiveaus a de Kotaktstelle gleich sid, füht zu iffusiossaug U. eu E ot E () E () E () () () l l () () E () esweite hilft die Betachtug des -Übegag als Kodesato ei Gefühl übe die Göße de Raumladugszoe zu bekomme. Zuächst wede die aduge auf beide Seite de RZ betachtet: -Seite -Seite Q + q d Q q d Hie sid die Kotaktfläche, d ud d die icke de RZ i ihem Gebiet, q bzw. q die mittlee adug o Stöstelleatom ud bzw. die adugstägekozetatio. Wege de eutalitätsbedigug gilt fü q q d d. ü die Kaazität eies Kodesatos mit de icke ( d d ) / + egibt sich εε Q C d + d U. Eisetze vo Q ud de eutalitätsbedigug i diese Gleichug liefet da d εε U q( + ) ud mit aaloge Beechug vo d egibt sich fü die gesamte Seschicht d S εε U q +. 9

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