MECHANIK Eine Einführung in Experiment und Theorie

Transkript

1 S. Brandt H. D. Dahmen MECHANIK Eine Einführung in Experiment und Theorie Dritte, völlig neubearbeitete Auflage mit 270 Abbildungen, 10 Tabellen, 52 Experimenten und 145 Aufgaben mit Hinweisen und Lösungen 13

2 Professor Dr. Siegmund Brandt Professor Dr. Hans Dieter Dahmen Fachbereich Physik, Universität Gesamthochschule Siegen, D Siegen Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme Brandt, Siegmund: Mechanik: Eine Einführung in Experiment und Theorie; mit 10 Tabellen, 52 Experimenten, 145 Aufgaben mit Hinweisen und Lösungen S. Brandt; H. D. Dahmen. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hong Kong; London; Mailand; Paris; Tokyo: Springer, 1996 (Springer Lehrbuch) ISBN NE: Dahmen, Hans Dieter Die zweite Auflage erschien unter Physik Eine Einführung in Experiment und Theorie, Bd.1 Mechanik ISBN Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977, 1984, 1996 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom Autor mit Springer TEX-Makros SPIN: / Gedruckt auf säurefreiem Papier

3 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik Massenpunkt. Vektoren von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Anwendungen Gleichförmig geradlinige Bewegung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Gleichförmige Kreisbewegung Superposition von Bewegungen Einheitert von Länge und Zeit. Dimensionen. Einheitensysteme Aufgaben Dynamik eines einzelnen Massenpunktes Schwere Masse. Dichte Kraft Kraft als Vektorgröße Beispiele von Kräften, Gewicht, Reibungskraft, Federkraft. Reduzierung der Reibung durch Luftkissen Erstes Newtonsches Gesetz Zweites Newtonsches Gesetz. Träge Masse Drittes Newtonsches Gesetz Anwendungen: Federpendel. Mathematisches Pendel. Fall und Wurf Federpendel (eindimensionaler harmonischer Oszillator) Mathematisches Pendel Fall und Wurf Wurf mit Reibung Impuls Arbeit... 42

4 VIII Inhaltsverzeichnis 2.9 Kraftfelder. Feldstärke. Gravitationsgesetz Potential. Potentielle Energie Konservatives Kraftfeld als Gradient des Potentialfeldes Kinetische Energie Energieerhaltungssatz für konservative Kraftfelder Einheiten der Energie. Leistung und Wirkung Drehimpuls und Drehmoment Bewegung im Zentralfeld Bewegung im zentralen Gravitationsfeld Beschreibung der Planetenbewegung im Impulsraum Aufgaben Dynamik mehrerer Massenpunkte Impuls eines Systems zweier Massenpunkte. Schwerpunkt. Impulserhaltungssatz Verallgemeinerung auf mehrere Massenpunkte. Schwerpunktsystem Energieerhaltungssatz Drehimpuls. Drehimpulserhaltungssatz Zweikörperproblem Schwerpunkt- und Relativkoordinaten Planetenbewegung Elastischer Stoß Mehrkörperproblem Numerische Lösung Beispiele zum Dreikörperproblem Aufgaben Starrer Körper. Feste Achsen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit Impuls. Zentripetalkraft Drehimpuls und Trägheitsmoment. Bewegungsgleichung Bewegung im Schwerefeld. Physikalisches Pendel Steinerscher Satz Rotationsenergie. Energieerhaltung Aufgaben Inertialsysteme Translationen Rotation des Koordinatensystems Galilei-Transformationen Aufgaben

5 Inhaltsverzeichnis IX 6 Nichtinertialsysteme Beschleunigtes Bezugssystem Zeitabhängige Rotation Gleichförmig rotierendes Bezugssystem. Zentrifugalkraft. Corioliskraft Aufgaben Starrer Körper. Bewegliche Achsen Die Freiheitsgrade des starren Körpers Eulersches Theorem. Zeitableitung beliebiger Vektoren Drehimpuls und Trägheitsmoment des starren Körpers bei Rotation um einen festen Punkt Trägheitstensoren verschiedener Körper. Hauptträgheitsachsen Drehimpuls und Trägheitsmoment um feste Achsen Trägheitsellipsoid Steinerscher Satz Bewegungsgleichungen des starren Körpers. Drehimpulserhaltungssatz. Eulersche Gleichungen Kinetische Energie des starren Körpers. Translationsenergie. Rotationsenergie. Energieerhaltungssatz Kräftefreier Kugelkreisel Kräftefreie Rotation um eine Hauptträgheitsachse Kräftefreie Rotation um eine beliebige Achse. Poinsotsche Konstruktion Symmetrischer Kreisel Kreisel unter der Einwirkung von Kräften. Larmor-Präzession Aufgaben Schwingungen Vorbemerkungen Ungedämpfte Schwingung. Komplexe Schreibweise Phasenebene Gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung Erregter Oszillator. Schwingungsgleichung Lösung der Schwingungsgleichung Stationäre Schwingung Energie- und Leistungsbilanz. Resonanz Einschwingvorgang Grenzfall verschwindender Dämpfung. Schwebung Resonanzkatastrophe

6 X Inhaltsverzeichnis 8.6 Gekoppelte Oszillatoren Aufgaben Nichtlineare Dynamik. Deterministisches Chaos Duffing-Oszillator Lineare Bewegungsgleichung. Stabilität. Fixpunkte Nichtlineare Bewegungsgleichung. Linearisierung Grenzmengen. Attraktoren. Poincaré-Darstellung Stabile und seltsame Attraktoren. Deterministisches Chaos Feigenbaum-Diagramm Hysterese Aufgaben Wellen auf ein- und zweidimensionalen Trägern Longitudinale Wellen Transversale Wellen Allgemeine Lösung der Wellengleichung Harmonische Wellen Superpositionsprinzip Energiedichte und Energiestromdichte Reflexion Stehende Wellen Laufende Welle auf eingespannter Saite Membranschwingungen Aufgaben Elastizität Elastische Körper Dehnung Dehnung und Querkontraktion Spannungs- und Verzerrungstensor für den längsverzerrten Quader Lokaler Verzerrungstensor Lokaler Spannungstensor Kraftdichte Lokales Hookesches Gesetz Scherung Torsion Biegung Aufgaben

7 Inhaltsverzeichnis XI 12 Wellen in elastischen Medien Eulersche Bewegungsgleichung elastischer Medien Zerlegung in Quell- und Wirbelfeld Das Quellfeld. Longitudinalwellen im unendlich ausgedehnten Medium Das Wirbelfeld. Transversalwellen im unendlich ausgedehnten Medium Verzerrungs- und Spannungstensoren von Transversal- und Longitudinalwellen Reflexion und Brechung der Transversal- und Longitudinalwelle an der Oberfläche eines Mediums Transversal- und Longitudinalwellen in einer Materialplatte Aufgaben Hydrodynamik Deformation eines Flüssigkeitselementes Rotations- und Verzerrungsgeschwindigkeitstensor Kontinuitätsgleichung Konservative äußere und innere Kräfte Ideale Flüssigkeiten. Eulersche Bewegungsgleichung Hydrostatik Gleichförmig rotierende, inkompressible, ideale Flüssigkeit im Schwerefeld Stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung Energiesatz für die nichtstationäre Strömung der idealen Flüssigkeit Spannungstensor der Reibung einer zähen Flüssigkeit. Stokessches Reibungsgesetz Navier-Stokes-Gleichung. Ähnlichkeitsgesetze Strömung durch Röhren. Hagen-Poiseuille-Gesetz Reibungswiderstand einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit. Stokessches Reibungsgesetz Aufgaben Anhang A Vektoren A.1 Begriff des Vektors A.2 Vektoralgebra in koordinatenfreier Schreibweise A.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl A.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren

8 XII Inhaltsverzeichnis A.2.3 Skalarprodukt A.2.4 Vektorprodukt A.2.5 Spatprodukt A.2.6 Entwicklungssatz A.3 Vektoralgebra in Koordinatenschreibweise A.3.1 Einheitsvektor. Kartesisches Koordinatensystem. Vektorkomponenten A.3.2 Rechenregeln A.4 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter A.4.1 Vektor als Funktion eines Parameters. Ortsvektor A.4.2 Ableitungen A.5 Nichtkartesische Koordinatensysteme A.5.1 Kugelkoordinaten A.5.2 Zylinderkoordinaten A.5.3 Ebene Polarkoordinaten A.6 Aufgaben B Tensoren B.1 Basistensoren B.2 Allgemeine Tensoren. Rechenregeln B.3 Darstellung durch Links- und Rechtsvektoren B.4 Produkt von Tensor und Vektor B.5 Produkt zweier Tensoren B.6 Vektorprodukt in Tensorschreibweise B.7 Matrizenrechnung B.8 Determinante B.9 Matrixinversion B.10 Zerlegung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren 445 B.11 Abbildungen durch einfache Tensoren B.12 Rotation B.13 Infinitesimale Rotation B.14 Basiswechsel B.15 Hauptachsentransformation B.16 Aufgaben C Vektoranalysis C.1 Skalarfelder und Vektorfelder C.2 Partielle Ableitungen. Richtungsableitung. Gradient C.3 Nabla-Operator in Kugel- und Zylinderkoordinaten C.4 Divergenz C.5 Rotation C.6 Laplace-Operator C.7 Totale Zeitableitung

9 Inhaltsverzeichnis XIII C.8 Einfache Rechenregeln für den Nabla-Operator C.9 Linienintegral C.10 Wegunabhängiges Linienintegral. Potentialfunktion eines Vektorfeldes C.11 Oberflächenintegral C.12 Volumenintegral C.13 Integralsatz von Stokes C.14 Integralsatz von Gauß C.15 Aufgaben D Taylor-Reihen E Komplexe Zahlen F Die wichtigsten SI-Einheiten der Mechanik Hinweise und Lösungen zu den Aufgaben Sachverzeichnis

10