Wintersemester 2015/2016, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr

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1 Serie Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe.: 4+5 P a Überprüfen Sie für beliebige Aussagen A, B und C die Äquivalenzen: i A B A B ii A B A C A B C b Für beliebige Aussagen A und B sei A B definiert als A B. Stellen Sie die Aussagen i A ii A B iii A B iv A = B v A B mittels der Aussagenverknüpfung und nur dieser dar. Aufgabe.2: 0+6 P a Formalisieren Sie die nachfolgenden Sprichwörter und denken Sie sich zwei weitere Beispiele aus. i Alle Wege führen nach Rom. ii Hunde, die bellen, beißen nicht. iii Wenn zwei sich streiten, freut sich der Dritte. Wie lauten die entsprechenden Negationen? b Geben Sie die folgenden Aussagen in Worten an. Entscheiden Sie, ob sie wahr oder falsch sind: i n N: m N: n = 2m iv n N: m N: n = 2m ii n N: m N: n = 2m v m N: n N: n = 2m iii n N: m N: n = 2m vi m N: n N: n = 2m Begründen Sie Ihre Entscheidung gegebenenfalls mit einem Beispiel/Gegenbeispiel. Aufgabe.3: 5+2 P a Bestimmen Sie für die Mengen A = {a, z, 4, 000,, lila}, B = {gruen, lila, 000, 4, z, Auto} und C = {, 2, 4, a, b, c, d, x, y, z, F ahrrad} die Mengen i A \ B := {x x A x B} ii A B C iii A B C iv C B A v C \ B \ A b Beweisen Sie formal oder widerlegen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass die Aussage für beliebige Mengen A und B wahr ist. A B \ A B = A \ B B \ A Aufgabe.4: P Konstruieren Sie auf der Menge M = {, 2, 3, 4} Relationen R, R 2, R 3, R 4, für die gelten: i R ist reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch. ii R 2 ist reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv. iii R 3 ist transitiv, symmetrisch, aber nicht reflexiv. iv R 4 ist reflexiv, aber nicht transitiv und nicht symmetrisch.

2 Serie 2 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 2.: 6 P Sei M = Z 2 und R M M eine Relation, definiert durch a, b c, d : a c = b 2 d 2. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf M ist. Aufgabe 2.2: 4 P Seien A X und B Y und f : X Y eine Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? i A f fa ii A f fa iii B ff B iv B ff B Inwieweit ändert sich die Antwort, wenn f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist? +4 ZP Zeigen Sie, dass eine Abbildung f : X Y genau dann injektiv ist, wenn für alle Teilmengen A, B X gilt: fa B = fa fb. Aufgabe 2.3: Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome und deren Folgerungen: 2+2 P a Für beliebige Körperelemente a, b K gilt a b = a b. b Für beliebige Körperelemente a, b, c K gilt a b c = a b a c. Aufgabe 2.4: 4+2 P a Gegeben sei die vierelementige Menge K = {0,, α, α + }. Es existiert genau eine Möglichkeit, die Addition : K K K und die Multiplikation : K K K derart zu definieren, dass K,, zu einem Körper wird. Finden Sie diese, d.h., füllen Sie die untenstehende Additionsund die untenstehende Multiplikationstabelle derart aus, dass die Körperaxiome erfüllt werden: 0 α α α α + α + α α α + α + α + und 0 α α α α + α 0 α α + 0 α + Begründen Sie, warum die von Ihnen gefundenen Operationstabellen eindeutig sind. Hinweis: Dieser Körper kann kein zyklischer Körper sein siehe Übung. Was ist +? b Wann ist die Menge der Abbildungen AbbM, Q von einer Menge M nach Q mit der Addition f + gm := fm + gm und der Multiplikation f gm := fm gm ein Körper?

3 Serie 3 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 3.: Verkettung von Abbildungen 2+4 P a Es sei A eine Menge und f : A A sowie g : A A zwei Abbildungen. Zeigen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass f g = g f gilt. b Es seien A und B nichtleere Mengen sowie f : A B eine Abbildung und I B : B B diejenige Abbildung, welche jedes Element auf sich selbst abbildet. Zeigen Sie: Abbildung g : B A mit f g = I B f surjektiv Aufgabe 3.2: Körperaxiome 4+2 P Auf der Menge Z der ganzen Zahlen seien die beiden folgenden Abbildungen definiert: Tropische Addition : Z Z Z, a b := mina, b. Tropische Multiplikation : Z Z Z, a b := a + b. Beweisen Sie Ihre Antworten auf die folgenden Fragen! a Sind bzw. assoziativ, kommutativ, distributiv? b Wird Z mit der tropischen Addition und der tropischen Multiplikation zu einem Körper? Aufgabe 3.3: Rechnen in angeordneten Körpern 6+2 P a Seien a, b Elemente eines angeordneten Körpers mit 0 < a b. Zeigen Sie die Ungleichungskette a 2 2 2ab ab a + b Wann gilt jeweils das Gleichheitszeichen? 2 a + b a2 + b b b Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie: Für alle a, b K gilt: a b 4 Hinweis: Verwenden Sie auch Gleichung a 3 b 3 a b. Aufgabe 3.4: Vollständige Induktion P a Zeigen Sie, dass 5 2n+ + 3 n+2 2 n für alle natürlichen Zahlen n durch 9 teilbar ist. b Für welche n N gilt 2 n 5 > n 2? Begründen Sie Ihre Aussage. c Für welche n N gilt 2 n > n 3? Begründen Sie Ihre Aussage. d Beweisen Sie durch vollständige Induktion die Gültigkeit von n N 0 q R \ {}: n q k = qn+ q geometrische Summenformel. 3.2 e Es seien a, b beliebige Körperelemente. Dann gilt für alle n N die folgende Gleichung: n a n+ b n+ = a b a n k b k. 3.3

4 Serie 4 Abgabetermin: spätestens..205, 09:30 Uhr Aufgabe 4.: P a Bestimmen Sie alle x R mit x x. b Bestimmen Sie alle x R mit x x. c Finden Sie alle Lösungen der Ungleichung x + + x x Welche x R lösen die Gleichung x + + x x + 3 = 4? +2 ZP Aufgabe 4.2: Die Folge a n n N sei durch n a n := 3n 5n + 7 definiert P a Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a n und beweisen Sie die Konvergenz, indem Sie direkt die Definition des Grenzwertes verwenden, d.h., finden Sie a R und zu jedem beliebigen ε > 0 ein Nε N, so dass für alle n Nε die Ungleichung a n a < ε gilt. b Bestimmen Sie jeweils mindestens ein Nε für alle ε {0, 0 3, 0 6 }. c Bestimmen Sie mittels Rechenregeln den Grenzwert der Folge b n = n n 5n + 7. Aufgabe 4.3: Zeigen Sie direkt mit Hilfe der Definition bestimmter Divergenz: P a Falls a n den Grenzwert a R mit a > 0 besitzt und b n bestimmt divergent gegen ist, dann ist auch die Folge a n b n bestimmt divergent gegen. b a n b n = a n b n. c Die durch a n := n 2 n für n N definierte Folge a n n N ist bestimmt divergent gegen. +2 ZP Geben Sie ein Beispiel für eine unbeschränkte Folge a n n N an, so dass a n > 0 für alle n gilt, die jedoch nicht bestimmt divergent ist. Aufgabe 4.4: Bestimmen Sie mittels Rechenregeln für konvergente Folgen die Grenzwerte 6 P 3n 3 5n + n 2 + 6n + n 2 + a lim b lim c lim 4n 3 2n n 2 6n 2n + 3 n3 + 2n 2 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge a n n N = n n n n + n 2 n 2 n 2 n N. +2 ZP

5 Serie 5 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 5.: Sei s R beliebig. Zeigen Sie: 6 P Es gibt eine Intervallschachtelung a n n N0, b n n N0 aus Q mit den Eigenschaften i n N 0 : a n s b n, ii a n s, iii b n s. Hinweise: Verwenden Sie gegebenenfalls Satz 3.3 b Forster sowie Zusatzaufgabe 4. a. Aufgabe 5.2: 3+3 P a Beweisen Sie das sogenannte Sandwich-Lemma : Seien a n n N und c n n N konvergente Folgen mit a n g und c n g. Desweiteren existiere zu einer Folge b n n N ein K N, so dass a n b n c n für alle n K. Dann ist auch die Folge b n n N konvergent mit b n g. b Von a n n N sei bekannt, dass sie die Häufungspunkte a, b R besitze und dass a 2n a sowie a 2n+ b und a b gelte. Zeigen Sie, dass a n n N keine weiteren Häufungspunkte besitzt. Konvergieren die nachstehenden Folgen? Falls ja, wogegen? i x n := n n ii y 2n 2 n := n n 5 3 iii z n := n ZP 2n3 2n n2 5n + Aufgabe 5.3: 4+4 P a Beweisen Sie, dass für jeden Startwert 0 < a 0 < 2 die durch a n+ := a n + 2 rekursiv definierte Folge a n konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert. b Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 5.2 a die Aussage: n n Tipp: Verwenden Sie den Binomischen Lehrsatz für n n n = + x n n. Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 5.2 a die Aussage: a > 0 = n a +3 ZP Tipp: Betrachten Sie zuerst a und verwenden Sie Satz 3.2 Bernoulli-Ungleichung. Aufgabe 5.4: 6+4 P a Sei q R beliebig und S n n N die durch S 0 =, S n = S n + q n rekursiv definierte Folge. i Finden Sie mittels Summenformel 3.2 eine explizite Darstellung der Folge S n n N und begründen Sie, warum sie genau für q < konvergiert. ii Beweisen Sie im Fall q ]0, [ erneut die Konvergenz der Folge S n n N, in dem Sie zeigen, dass es sich um eine monotone und beschränkte Folge handelt. b Sind die nachstehenden Folgen konvergent/bestimmt divergent? i a n := 42 n ii b n := n +! 3n n + 2! n! iii c n := 7 + n n + 42 n iv d n := Bestimmen Sie gegebenenfalls ihren möglicherweise uneigentlichen Grenzwert. n k 2

6 Serie 6 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 6.: 5+3 P a Seien n 0 Z, b N mit b 2 und a n n n0 eine Folge mit der Eigenschaft n Z: n n 0 = a n N 0 a n < b. 6. Zeigen Sie, dass die Reihe a n b n konvergiert mit einem Grenzwert S [0, b n0+ ]. n= n 0 b Bestimmen Sie den Grenzwert von a n n für a n n mit n N: a 2n = 7 a 2n = ZP Geben Sie die Ziffernfolgen a n n n 0 zu den nachstehenden Zahlen für die Basen b = 0 Dezimalbrüche, b 2 = 2 dyadische Brüche und b 3 = 60 von den Babyloniern verwendete Sexagesimalbrüche explizit an: i ii iii Aufgabe 6.2: Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels: 4+2 P a Konvergiert die Reihe a n absolut, dann ist die Reihe a 2 n konvergent. b Ist a n eine Nullfolge nichtnegativer Zahlen, dann konvergiert die Reihe n a n. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels: +6 ZP an i Konvergiert die Reihe a n und gilt n N: a n 0, so konvergiert die Reihe n. ii Ist a n konvergent mit n N: a n 0, dann konvergiert auch die Reihe an a n+. Aufgabe 6.3: 6+4 P a Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: n i n + n ii n n + iii n 2 + b Untersuchen Sie die Reihen n n n + n 2 und n 2 2 n 2 + n 4 + n n + auf Konvergenz. Aufgabe 6.4: Versteckte Reihen 3+3 P a Konvergiert die durch a := und a n+ := a n + a n für n N definierte Folge a n n N? b Sei a n n N eine reelle Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass für alle natürlichen Zahlen n die Ungleichung n a n a n+ < 2 gilt. Zeigen Sie die Konvergenz der Folge a n n N?

7 Serie 7 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 7.: 4+4 P a Zwei Folgen a n n N, b n n N positiver reeller Zahlen heißen asymptotisch proportional, wenn es ein c > 0 mit an b n c gibt. In diesem Fall schreiben wir a n b n. Zeigen Sie: a n b n = a n < b n <. b Untersuchen Sie die Reihen n 2 n n und n n auf Konvergenz. n 5 Zeigen oder widerlegen Sie: i Existiert c R mit n 2 a n c, dann konvergiert die Reihe a n. ii Konvergiert die Reihe a n und gilt n: a n 0, dann ist die Reihe +4 ZP a 2 n konvergent. Aufgabe 7.2: Sei x <. Berechnen Sie jeweils das Cauchy-Produkt von 2+2 P a x k k x k und b k x k k x k. Ermitteln Sie die Grenzwerte von k= 3 5 k und k=2 k 2 k 3k 3 k 2 k! +3 ZP Aufgabe 7.3: Über Reihen definierte Funktionen P a Zeigen Sie für beliebiges x R die absolute Konvergenz der Reihe k 2k +! x2k+. b Bezeichnet nun jeweils g x den Grenzwert der von x abhängigen Reihe aus a, dann wird durch f : x g x eine Funktion f : R R definiert. Zeigen Sie: Die Reihe k 2k +! x2k konvergiert für festes x 0 gegen fx x. fx n c Sei x n n N eine Nullfolge, so dass n N: x n 0 gilt. Bestimmen Sie lim. x n +4 ZP i Wogegen konvergiert die durch a n := n+5 definierte Folge a n n 3? n 2 ii Bestimmen Sie lim k. Tipp: ZA 7.4 oder Bernoulli-Ungleichung und A 5.2 a. k k 2 Aufgabe 7.4: P a Bestimmen Sie Supremum und Infimum folgender Mengen. Entscheiden Sie jeweils, ob ein Maximum und/oder ein Minimum existiert. { } { n } { x } i M := n N ii M 2 := n N iii M 3 := x R n 2n + x + b Beweisen Sie lim supa n + b n lim sup a n + für die eine echte Ungleichung vorliegt. lim sup b n und geben Sie Beispielfolgen an, c Zeigen oder widerlegen Sie: Die Menge {A N N \ A endlich } aller coendlichen Teilmengen von N ist überabzählbar.

8 Serie 8 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 8.: Grenzwerte von Funktionen 2+6 P a Beweisen Sie mittels Definition des Grenzwertes von Funktionen lim x 2 x 2 = 4. b Berechnen Sie die Grenzwerte i lim x x 2 + x 2 x 2 + 4x + 3 Berechnen Sie für m, n N den Grenzwert x 2 x 6 ii lim x 3 x 2 9 x 3 x m lim x x n. x iii lim x x + x. +2 ZP Aufgabe 8.2: Anwendung der Folgen-Definition für die Stetigkeit P a Gegeben seien Funktionen u, v, w : R R, so dass die Ungleichungskette ux vx wx für alle x R erfüllt sei. Desweiteren seien die Funktionen u und w stetig in einem Punkt x 0 R mit ux 0 = wx 0. Zeigen Sie, dass dann auch v in x 0 stetig ist. b Zeigen oder widerlegen Sie: Sind f, h: R R stetig mit q Q: fq = hq, dann gilt schon x R: fx = hx. c Welche stetigen f : R R erfüllen die Funktionalgleichung x, y R: fx + y = fx + fy? Aufgabe 8.3: Übereinstimmung von links- und rechtsseitigem Grenzwert 3+4 P a Zeigen Sie: Es existiert ein a R mit stetigem f a : R R, definiert durch f a x := { x 2, x < 3, 2ax, x 3. b Bestimmen Sie das Paar a, b R 2, so dass f a,b : R R stetig wird, welches definiert ist durch 2, x, f a,b x := ax b, < x <, 3, x. 8. Aufgabe 8.4: Anwendung des Nullstellensatzes 3+3 P a Zeigen Sie: Die Polynomfunktion fx = x 6 x 3 + x 2 hat mindestens zwei Nullstellen in R. b Zeigen Sie: Ist f : [a, b] R stetig mit f[a, b] [a, b], dann existiert ein p [a, b] mit fp = p.

9 Serie 9 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 9.: Anwendung der ε-δ-charakterisierung der Stetigkeit 3+3 P a Beweisen Sie mittels ε-δ-charakterisierung, dass die Wurzelfunktion fx := x im Punkt a := stetig ist. b Zeigen Sie: Ist h: R R stetig mit h0 = 0, η > 0 und g : [ η, η] R beschränkt, dann ist die Funktion x gx hx in 0 stetig. Die modifizierte Dirichlet-Funktion d: R R ist definiert durch 0 für x = 0 oder x R \ Q, dx := für x = z mit teilerfremden n N, z Z \ {0}. n n Zeigen Sie, dass d in allen x mit dx > 0 unstetig und in x = 0 stetig ist. +5 ZP Aufgabe 9.2: Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischen Koordinaten P a Zeigen Sie die Parallelogramm-Gleichung: z, w C: z + w 2 + z w 2 = 2 z 2 + w 2. n b Sei pz = a k z k ein Polynom mit Koeffizienten a k R, k = 0,..., n. Beweisen Sie: Ist z C eine Nullstelle von p, dann ist auch z eine Nullstelle von p. c Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, den Betrag, das Quadrat sowie das konjugiert Komplexe, das additive und das multiplikative Inverse jeweils in der Gestalt x + iy mit reellen x, y für die komplexe Zahl 4 z := i i. Zeigen Sie: i z C \ {0}: z z = ii z C: z = = w C \ {0}: w w = z +5 ZP Aufgabe 9.3: Konvergenz in C P i n n i a Überprüfen Sie die Reihen i und ii n 3 auf Konvergenz. n 2 + i Sind die Reihen auch absolut konvergent? b Sei z C \ N beliebig, fest. Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe Tipp: Führen Sie eine Partialbruchzerlegung durch. z + nz + n +. Aufgabe 9.4: Anwendungen der Eulerschen Formel +3 P a Zeigen Sie die Formel von Moivre: n N 0 : cosϕ + i sinϕ n = cosnϕ + i sinnϕ. m n b Verwenden Sie die in a gezeigte Formel, um ein Polynom P x, y = a jk x j y k mit reellen Koeffizienten a j,k zu finden, so dass P cosϕ, sinϕ = j=0 cos2ϕ sin3ϕ gilt.

10 Serie 0 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 0.: 3+3 P { π a Beweisen Sie: Für alle x, y R mit x, y, x + y / 2 + kπ } k Z gilt tanx + y = tanx + tany tanx tany. 0. b Zeigen Sie nun die Funktionalgleichung des Arcustangens: Für alle x, y R gilt arctanx + arctany < π x + y = arctanx + arctany = arctan. 2 xy arctanx arctanx Berechnen Sie die Grenzwerte lim und lim. +4 ZP x x 2 + x x Aufgabe 0.2: 5+4 P a Stellen Sie die komplexe Zahl z = i in der Form z = x + iy mit x, y R und in der + i 2 Form z = r cosϕ + i sinϕ mit r 0, ϕ [0, 2π[, dar. Berechnen Sie auch z 4. b Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Gestalt z = rcosϕ + i sinϕ an: i i 3 i π π ii iii cos + i sin + i 7 7 Aufgabe 0.3: Lösen von Gleichungen über C P a Welche z C lösen die Gleichung z 2 = i? b Bestimmen Sie alle Lösungen z C der Gleichung z 4 = z. c Zeigen Sie, dass es eine reelle und eine rein imaginäre Nullstelle der Gleichung fz = 0 mit fz = z 4 + 4z 3 + 6z iz + 3 2i gibt. Ermitteln Sie anschließend die verbleibenden Nullstellen der Gleichung fz = 0. Welche Lösungen besitzt die Gleichung z 4 iz 2 = i z 3 in C? +4 ZP Aufgabe 0.4: 2+3 P a Prüfen Sie mit Hilfe der Definition, ob die Funktion fx := x 2 + differenzierbar ist. fa + h fa b Sei a R beliebig, fest. Bestimmen Sie b, c R, so dass lim existiert, falls h 0 h { x 2 x a, fx := Tipp: Ist die Funktion f dann auch stetig? bx + c, x > a. Das Team der Analysis wünscht allen Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch... Auf Wiedersehen bis 206.

11 Serie Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe.: 9+5 P a Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Punkt a = : { x 2, falls x, i f x = x 2, falls x < ; x + 2, falls 0 < x <,, falls 0 < x <, x x + ii f 2 x = iii f 3 x 2 3 x = 3 x, falls x ;, falls x ZP Finden Sie ein Beispiel für eine in allen x a differenzierbare, jedoch in a R unstetige Funktion f : R R, welche dennoch lim f x = lim f x erfüllt. x a x a Warum ist dieses Beispiel kein Widerspruch zur Aussage, dass Stetigkeit von f in a eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit von f in a ist? { x 2 cos b Zeigen Sie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion gx = x, x 0, 0, x = 0. Ist g stetig differenzierbar? Aufgabe.2: 3+3 P a Beweisen Sie für die n-te Ableitung eines Produktes von n-mal differenzierbaren Funktionen f, g : R R die Leibnizsche Produktregel n n fg n = f n k g k.. k b Berechnen Sie mit Hilfe der Leibnizschen Produktregel x lnx 206. Aufgabe.3: 2+4 P a Sei u: R R eine differenzierbare ungerade d.h. für alle x R gilt u x = ux Funktion. Beweisen Sie, dass die Ableitung von u eine gerade Funktion ist. b Bestimmen Sie die Ableitung f fx für die Funktion fx = ln + x 4, x > 0. Bestimmen Sie die Ableitung von arctan x2 + 2, + sinx xx+lnx, ln sinx, 2x arctan, + x 2 +5 ZP 3 x +. Aufgabe.4: 4 P Bestimmen Sie alle Koeffizienten a, b, c R, für welche die durch fx = x 3 +ax 2 +bx+c definierte Funktion f : R R sowohl ein lokales Maximum als auch ein lokales Minimum besitzt. +3 ZP Bestimmen Sie die lokalen Extrema der durch fx := x definierten Funktion f : R R. + x2

12 Serie 2 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr + xp Aufgabe 2.: Sei p und sei fx =. 2+2 P + xp a Bestimmen Sie das Minimum und das Maximum von fx in [0, ]. b Beweisen Sie mit Hilfe von a die Aussage a, b 0: a p + b p a + b p 2 p a p + b p. 2. Aufgabe 2.2: 8+5 P a Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden positiven Funktionen, indem Sie zunächst jeweils ln f bestimmen und anschließend die Beziehung zur Ableitung von f verwenden. x i f : ], [ R, x x x + 7 x x + 3 ii f : ], [ \{5} R, x x 5 2 x + x + 2 iii f : ]2, [ R, x xx x 2 iv f : ]0, π[ R, x sinx x 4 2x b Bestimmen Sie die lokalen Extrema von fx := ex2 einmal direkt durch Anwenden notwendiger und hinreichender Kriterien und dann noch einmal erneut mit logarithmischem Ableiten. x 4 +4 ZP Sei n > 0. Beweisen Sie, dass die Funktion f : ]0, [ R, x x n e x genau an der Stelle x = n ihr globales Maximum annimmt. Aufgabe 2.3: 4+4 P a Beweisen Sie den Satz von Cauchy auch verallgemeinerter Mittelwertsatz genannt: Seien f, g : [a, b] R im offenen Intervall ]a, b[ differenzierbare und in den Randpunkten a, b stetige Funktionen. Weiter gelte g x 0 für alle x ]a, b[. fb fa Dann ist gb ga und es gibt ein ξ ]a, b[ mit gb ga = f ξ g ξ. b Wo steckt der Fehler in dem folgenden scheinbaren Gegenbeispiel zur Regel von L Hospital? Für fx = x + sinx cosx und gx = fxe sinx fx existiert der Grenzwert lim x gx offensichtlich nicht. Dennoch gilt f x lim x g x = lim e sinx 2 cosx = 0. x 2 cosx + fx Berechnen Sie i lim x 0 lnsin5x lnsin3x und ii lim x lnx ln x +6 ZP Aufgabe 2.4: 3+2 P a Sei f : R R in einer Umgebung von x R differenzierbar und in x selbst zweimal differenzierbar. Zeigen Sie mittels der Regel von L Hospital die Gültigkeit von fx + h 2fx + fx h lim = f x. 2.2 h 0 h 2 b Zeigen Sie, dass für die durch fx := x x definierte Funktion der Limes auf der linken Seite in 2.2 bei x = 0 existiert, obwohl die Funktion nicht zweimal differenzierbar im Nullpunkt ist.

13 Serie 3 Abgabetermin: spätestens , 09:30 Uhr Aufgabe 3.: 4+2 P a Bestimmen Sie jeweils das Integral der durch { 3 für t [, 0], ϕt := sonst, 2 für t [ 4, ], und ψt := 4 für t [3, 7], 5 sonst, definierten Treppenfunktionen ϕ: [ 2, ] R und ψ : [ 4, 7] R. b Geben Sie eine Funktion f auf [0, ] an, die nicht Riemann-integrierbar ist, deren Betrag f aber Riemann-integrierbar ist. Aufgabe 3.2: 4+3 P a Begründen Sie knapp, warum die Funktion fx := maxx 3, x 2, x eine Stammfunktion besitzt. Finden Sie eine Stammfunktion von f und bestimmen Sie mit deren Hilfe das Integral 3 6 fx dx. b Sei n N 0, a 0. Finden Sie eine Rekursionsformel zur Bestimmung der Stammfunktion H n x von h n x = x n e ax mit H n 0 = 0. Geben Sie mit deren Hilfe eine Stammfunktion von h 3 x an. Aufgabe 3.3: P a Zeigen Sie: Ist R eine auf [a, b] ]0, [ definierte rationale Funktion, so gilt lnb Re x dx = b lna a Rt t dt. b Bestimmen Sie Stammfunktionen zu i ax = expx 2 2x 3 und ii bx = 9 x cos3 x. c Ermitteln Sie jeweils eine Stammfunktion zu i ux := ii vx := ex 2x x e x + iii wx := x2 + x Aufgabe 3.4: 5 P Die rationale Zahl 22 7 sogar π = 22. Berechnen Sie das Integral 7 ist eine hervorragende Näherung für die Zahl π. Viele Leute behaupten 0 x 4 x 4 + x 2 dx und argumentieren Sie mit dessen Hilfe sowie mittels qualitativer Eigenschaften des Integranden sowie des allgemeinen Integrals, warum π 22 gelten muss ZP Berechnen Sie die Fläche zwischen der x-achse und dem Graphen von gt = t t 3 e t2 im Intervall [ 2, 2].

14 Serie 4 Abgabetermin: spätestens , 3:00 Uhr Aufgabe 4.: Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion der rationalen Funktionen 3+3 P a fx := 3x2 + 6x + 5 x 3 + x 2 + x + b gx := 2x3 + 2x 2 + 2x + x 4 + x 2 Aufgabe 4.2: Uneigentliche Integrale und Integralvergleichskriterium 4+3 P a Berechnen Sie das uneigentliche Integral Konvergiert die Reihe k= lnk k 3? lnx x 3 dx. b Überprüfen Sie mittels Integralvergleichskriterium, ob die Reihe k= k 3 konvergiert. Aufgabe 4.3: Konvergenz von Funktionenfolgen 3+4 P a Bestimmen Sie für festes n N die Stammfunktion F n von f n x := n n 2 + x 2 mit F n0 = 0. b Konvergieren die Funktionenfolgen f n und F n aus Aufgabenteil a punktweise auf R? Konvergieren f n und F n gleichmäßig auf R? +6 ZP Auf [0, ] seien die Funktionen f n durch f n x = nx x n n N gegeben. i Berechnen Sie für jedes x [0, ] jeweils den Grenzwert lim f n x. ii Berechnen Sie lim sup f n x. iii Ist die Folge f n x gleichmäßig konvergent? n N x [0,] Aufgabe 4.4: Konvergenz von Potenzreihen P n + a Wo konvergieren die Potenzreihen i 2n + x + 2n und ii n x 32n? n=0 b Ermitteln Sie den Konvergenzradius und ggf. die Grenzfunktion der Potenzreihe nx + n. c Für welche z C konvergiert die Reihe fz := n z 4n? Zeigen Sie die Gleichung f Stellen Sie e x2 2 i = 6 7. n=0 für beliebiges x R als Potenzreihe a n x n dar. n=0 +3 ZP

15 Sporadisches Fachwortverzeichnis Abbildung injektive, 2 surjektive, 2 Urbild einer Menge unter einer, 2 Addition tropische, 3 Aussage, Negation einer, Aussagenverknüpfung, Axiome Körper-, 2 bijektive, 2 Bruch Dezimal-, 6 dyadischer, 6 Sexagesimal-, 6 Cauchy-Produkt von Reihen, 7 Folge divergente bestimmt, 4 konvergente, 4 Limes Inferior einer, 7 Limes Superior einer, 7 rekursiv definierte, 5 Formel Eulersche, 9 von Moivre, 9 Funktion stetige, 8 Funktionalgleichung linearer Funktionen, 8 Gleichung Parallelogramm-, 9 Grenzwert einer Folge, 4 von Funktionen eindeitiger, 8 linksseitiger, 8 rechtsseitiger, 8 Häufungspunkt, 5 Induktion vollständige, 3 Intervallschachtelung, 5 Körper, 2 angeordneter, 3 Lehrsatz Binomischer, 5 Lemma Sandwich-, 5 Menge Infimum einer, 7 Maximum einer, 7 Minimum einer, 7 Supremum einer, 7 Multiplikation tropische, 3 Nullstellensatz, 8 Produktregel Leibnizsche, proportional asymptotisch, 7 Quantor All-, Existenz-, Regeln Rechenfür konvergente Folgen, 4 Reihe konvergente, 6 absolut, 6 versteckte, 6 Relation, Äquivalenz-, 2 antisymmetrische, relfexive, symmetrische, transitive, Summenformel geometrische, 3 Symbol A \ B, Tabelle Additions-, 2 Multiplikations-, 2 Ungleichung Bernoulli-, 5, 7 Ungleichungen Betrags-, 4 Verkettung von Abbildungen, 3 5