Ana-1 0. Ws 2010/

Transkript

1 Ana-1 0 Ws 2010/ Wie lauten die Assoziativ- und Kommutativgesetze für und? 2 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a. (p p) q b. (p p) q 3 Die logische Verknüpfung nicht-und, englisch nand, wird definiert durch p q (p q). a. Stellen Sie die Wahrheitstafel für auf. b. Zeigen Sie: p p p. c. Stellen Sie p q und p q ausschließlich durch die nand-verknüpfung dar. 4 Definieren Sie das umgangsspachliche entweder-oder durch eine Wahrheitstafel und stellen Sie es durch logische Ausdrücke mit,, dar. 5 Seien p und q Aussagen, von denen wir nur wissen, dass p q gilt. Was können wir dann über folgende Ausdrücke aussagen? a. q p b. p q c. q p d. p q. 6 Die folgende Wahrheitstafel umfasst mögliche Alternativen zur Definition der wenn-dann-verknüpfung: p q p q p q p q p q Diskutieren Sie die logische Bedeutung jeder dieser Verknüpfungen, und warum diese keine gute Wahl einer Definition von p q wären. Dieses Blatt ist unverbindlich und geht nicht in die Punktewertung aller Übungsaufgaben ein. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 0 vom Seite 1 von??

2 Ana Ws 2010/ Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 0 vom Seite 2 von??

3 Ana-1 1 Ws 2010/ Erläutern Sie das Russelsche Paradoxon: Bildet man M = {X : X X } so führt M M zu M M, und M M führt zu M M. 3 8 Seien A und B beliebige Mengen. Diskutieren Sie alle Fälle, in denen A B = B A. 2 9 Verifizieren Sie die folgenden Aussagen über Teilmengen A, B einer Menge M. a. A B c B A c b. A B B c A c 2 10 Beschreiben Sie geometrisch die folgenden kartesischen Produkte. a. Das Produkt zweier Intervalle. b. Das Produkt zweier Geraden. c. Das Produkt einer Geraden und einer Kreislinie. d. Das Produkt einer Geraden und einer Kreisscheibe In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht. Außerdem ist die Anzahl der Bücher größer als die Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches. Diese Aussagen genügen, um den Inhalt mindestens eines Buches aus Draculas Bibliothek genau zu beschreiben. Was steht in dem Buch? 4 12 Eine Abbildung f : M N induziert Mengenabbildungen f : P(M) P(N), f 1 : P(N) P(M) indem man für A M und E N definiert: f (A) {f (a) : a A}, f 1 (E) = {a A : f (a) E }. a. Zeigen Sie, dass für E, F N f 1 (E F) = f 1 (E) f 1 (F), f 1 (C N E) = C M f 1 (E). b. Zeigen Sie, dass f (A B) f (A) f (B), A, B M. Geben Sie auch ein Beispiel, wo f (A B) f (A) f (B). Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 1 vom Seite 1 von??

5 Ana-1 2 Ws 2010/ In einem Körper K mit Addition und Multiplikation sei die Null und die Eins. Das additiv Inverse zu einem Element werde mit bezeichnet. Zeigen Sie, dass = Vervollständigen Sie den Beweis von Satz Seien a, b zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeigen Sie: a < b a 2 < b Zeigen Sie: Existieren in einem Körper K zwei Elemente a und b, so dass a 2 + b 2 = 1, so kann dieser Körper nicht angeordnet werden Es sei M R nicht leer und inf M > 0. Man zeige, dass die Menge M {1/x : x M } nach oben beschränkt ist, und dass sup M = 1 inf M Seien A und B nichtleere beschränkte Teilmengen von R, und Zeigen Sie, dass A + B {a + b : a A, b B }. sup (A + B) = sup A + sup B. Gilt dies auch für die Multiplikation? Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 2 vom Seite 1 von??

7 Ana-1 3 Ws 2010/ Zeigen Sie, dass die Wurzelfunktion das Intervall [0, ) bijektiv auf sich selbst abbildet und streng monoton steigt: 0 a < b a < b Sei K ein angeordneter Körper, und Zeigen Sie: a. 0 < 1 < 2. b. Ist a < b, so ist a < a + b 2 < b. c. Jeder dedekindsche Schnitt in K hat höchstens eine Schnittzahl Zeigen Sie: Zu je zwei reellen Zahlen a < b existiert immer eine rationale Zahl r mit a < r < b Seien a, b reelle Zahlen. Zeigen Sie für alle n N a n+1 b n+1 = (a b)(a n + a n 1 b + + ab n 1 + b n ) Zeigen Sie für alle n 0: Die Potenzmenge einer n-elementigen Menge hat genau 2 n Elemente Zeigen Sie: Für jedes n N ist n + 2 2n+1 durch 7 teilbar Für welche n 1 gilt 2 n > n 2 + n? Mit Beweis! 2 26 Einem französischem Forscher ist es endlich gelungen, die erste These der Juli-Revolution»Alle Menschen sind gleich«mathematisch zu beweisen: Ist M eine Menge mit endlich vielen Elementen, so ist a b für alle a, b M, wobei für die politische Gleichheit steht. Beweis durch Induktion: Induktionsanfang: Hat M genau ein Element, so ist die Aussage wohl richtig, denn jeder ist sich selbst gleich. Induktionsschluss: Die Aussage sei richtig für alle Mengen mit n Elementen, und es sei M eine Menge mit n + 1 Elementen. Ist b irgendein Element in M und N = M {b}, so sind alle Elemente von N nach Induktionsannahme. Bleibt noch b c für ein beliebiges c N zu zeigen. Es sind aber b, c Ñ = M {d} für irgendein weiteres Element d in M, nach Induktionsvoraussetzung also auch b c... Wo steckt der Fehler in der vollständigen Induktion? Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 3 vom Seite 1 von??

9 Ana-1 4 Ws 2010/ a. Sind die Mengen (0, 1) und R gleichmächtig? Begründen Sie Ihre Antwort. b. Gilt dasselbe auch für (0, 1) und [0, 1]? 3 28 Gibt es eine streng monotone Abzählung der Menge Q (0, 1), also der rationalen Zahlen im offenen Intervall (0, 1)? Mit Begründung. Dabei heißt eine Abbildung φ : N R streng monoton, wenn aus n < m entweder immer φ(n) < φ(m) oder immer φ(n) > φ(m) folgt Zeigen Sie, dass die abzählbar unendliche Vereinigung von abzählbar unendlichen Mengen wieder abzählbar unendlich ist Sei A mn die Anzahl aller injektiven Abbildungen einer m-elementigen Menge in eine n-elementige Menge. Zeigen Sie, dass A 1n = n, A mn = na m 1,n 1, m > 1. Beweisen Sie damit, dass A mn = na m 1,n 1 = n! (n m)! Ist die Menge aller endlichen Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge abzählbar? Beweisen Sie Ihre Antwort Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene. Dabei ist immer z C gemeint. A = {1 < z 1 + i < 2}, B = { z 1 = z + 1 }, C = { z 1 z + 1 = r 2 }, r > 0. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 4 vom Seite 1 von??

11 Ana-1 5 Ws 2010/ a. Beweisen Sie, dass die Folge (( 1) n ) divergiert. b. Beweisen Sie, dass jede Abzählung von Q [0,1] divergiert a. Die Folge (a n ) sei konvergent. Zeigen Sie, dass dann auch ( a n ) konvergiert. b. Gilt auch die Umkehrung? 4 35 a. Sei A R beschränkt und nicht leer. Konstruieren Sie eine Folge (a n ) in A, die gegen sup A konvergiert. b. Konstruieren Sie zu einer beliebigen Zahl x R Q eine Folge (a n ) in Q, die gegen x konvergiert Untersuchen Sie die Konvergenz der Folge (a n ) mit a n = bnk cn l, + d bc 0, c + d 0, in Abhängigkeit von k, l N 0 = N {0} Sei (a n ) eine konvergente Folge mit a n a. Existiert für jedes ε > 0 ein N 1, so dass so ist a 0. a n < ε, n N, 2 38 Es gelte a n a und b n b. Zeigen Sie, dass dann max {a n, b n } max {a, b}. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 5 vom Seite 1 von??

13 Ana-1 6 Ws 2010/ n! 3 39 Zeigen Sie, dass lim n n n = Geben Sie Beispiele reeller Folgen (a n ) und (b n ) mit a n, b n 0, und a. lim a n b n =, b. lim a n b n =, c. lim a n b n = c mit einer beliebigen reellen Zahl c Seien a, b beliebige reelle Zahlen, und die Folge (a n ) rekursiv definiert durch a 1 a, a 2 b, a n a n 1 + a n 2, n 3. 2 Zeigen Sie, dass (a n ) konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert a. Sei (a n ) n 1 eine konvergente reelle Folge. Zeigen Sie, dass auch die Folge (b n ) mit b n a a n, n 1, n konvergiert, und zwar mit demselben Grenzwert wie (a n ). b. Geben Sie ein Beispiel einer divergenten Folge (a n ), für die (b n ) trotzdem konvergiert Zeigen Sie: a. Ist jede Teilfolge einer reellen Folge konvergent, so ist die gesamte Folge konvergent. b. Besitzt jede konvergente Teilfolge einer beschränkten reellen Folge denselben Grenzwert, so ist die gesamte Folge konvergent gegen denselben Grenzwert. c. Zeigen Sie, dass man auf das Wörtchen»beschränkt«nicht verzichten kann Gibt es eine Folge (x n ) n 1 in [0, 1], a. die abzählbar unendlich viele Häufungswerte hat? b. die überabzählbar viele Häufungswerte hat? c. deren Häufungswerte genau die rationalen Zahlen in [0, 1] sind? d. deren Häufungswerte genau einen von all diesen Häufungswerten verschiedenen Häufungswert haben? e. für die ein ε > 0 existiert, so dass x m x n ε/n für alle m > n 1? Die Antworten sollen natürlich begründet werden. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 6 vom Seite 1 von??

15 Ana-1 7 Ws 2010/ Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. n + 4 ( ) z 2n n! a. n 2 b., z C c. 3n n n n + 1 n ( ) d. e. ( 1) n n + 1 n n 3 46 Für welche x R konvergiert die Reihe n 1 (7x) 7n n 7? 3 47 Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen: ( 1) n 1 a. 2 n b. 4n 2 1 n 0 n 1 Hinweis: Versuchen Sie die Summanden der zweiten Reihe als Differenz zu schreiben Sei (a n ) monoton fallend und n 1 a n = s endlich. Zeigen Sie: a. Für alle n 1 gilt a n 0. b. Für alle n 1 gilt a n s/n Beweisen Sie für e = k 0 1 k! und die n-ten Partialsummen s n dieser Reihe die Fehlerabschätzung e s n < 1 n! n Eine punktförmige Schnecke kriecht auf einem 1 m langen Gummiband mit der konstanten Geschwindigkeit von 5 cm/min vorwärts. Am Ende der ersten und jeder weiteren Minute wird das Band homogen um jeweils einen Meter gedehnt. Wird die Schnecke in endlicher Zeit das rechte Ende erreichen, wenn sie zu Beginn der ersten Stunde am linken Ende startet? Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 7 vom Seite 1 von??

17 Ana-1 8 Ws 2010/ Zeigen Sie: Jede Funktion f : D R ist in einem isolierten Punkt stetig. Dabei heißt ein Punkt a D isolierter Punkt von D, wenn es ein δ > 0 gibt, so dass U δ (a) D = {a} Die Funktionen f, g : D R seien stetig. Zeigen Sie, dass dann auch f g : D R, (f g)(x) = max {f (x), g(x)} stetig ist Sei I ein offenes Intervall, und f : I R sei im Punkt a I stetig. Dann existiert zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass f (x) (1 ε) f (a), x U δ (a) Sei I ein offenes Intervall, und f : I R. Geben Sie ein Folgenkriterium dafür, dass f im Punkt a unstetig ist Sei I = [a, b], und f : I I stetig. Zeigen Sie, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt also einen Punkt ξ I mit f (ξ) = ξ Sei I = [a, b]. Zeigen Sie: Ist f : I R stetig und injektiv, so ist f streng monoton. 4* 57 Die modifizierte Dirichletfunktion d : R R ist definiert durch 0, x Q d(x) = 1/q, x = p/q mit teilerfremden p, q und q > 0. Zeigen Sie: d ist in jedem Punkt von R Q stetig, und in jedem Punkt von Q unstetig. Aufgaben mit * sind freiwillige Zusatzaufgaben. Sie gehen nicht in die Bestimmung der nötigen Mindestpunktzahl ein. Aber natürlich werden die Punkte gutgeschrieben, wenn man sie erfolgreich bearbeitet. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 8 vom Seite 1 von??

19 Ana-1 9 Ws 2010/ Zeigen Sie für Teilmengen eines normierten Raumes E die folgenden Aussagen: a. A B A B. b. (A B) = A B. c. (A ) = A Sei (E, ) ein normierter Raum und M eine beliebige nichtleere Teilmenge von X. Zeigen Sie, dass die Abstandsfunktion d M : E R, lipschitzstetig ist mitl = 1. d M (x) inf x m m M 3 60 Zeigen Sie: Eine Teilmenge K R ist kompakt genau dann, wenn jede stetige Funktion f : K R beschränkt ist Ist f : [0, 1] [0, 1] stetig mit f (0) = f (1) = 0, so existiert zu jedem n 1 ein Punkt x n I n = [0, 1 1/n] mit f (x n ) = f (x n + 1/n) a. Sei I = [ 1, 1]. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge (u n ) in C(I), u n (t) = t 2 + 1/n 2, gleichmäßig gegen die Betragsfunktion u = konvergiert. b. Gilt dies auch auf ganz R, also in C(R)? 4 63 Zeigen Sie: Es gibt keine stetige Funktion f : R R, die jeden Wert ihres Wertebereiches f (R) genau zweimal annimmt. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 9 vom Seite 1 von??

21 Ana-1 10 Ws 2010/ Welche der durch die folgenden Ausdrücke definierten Funktionenfolgen (f n ) konvergieren gleichmäßig auf (0,1)? a. 1 n 1 t t b. c. 1 + nt 1 + nt 3 65 Sei D eine beliebige Teilmenge eines normierten Raumes. Gilt f n f und g n g in B(D), so gilt auch f n g n f g Für die Funktion f Ra b gelte f 0, b a f = 0. Dann ist f (c) = 0 in jedem Stetigkeitspunkt c [a,b] von f Zeigen Sie, dass auf C([a,b]) ein Skalarprodukt definiert wird durch b f,g = f g. a 4 68 Sei f Ra b. Dann existiert zu jedem ε > 0 ein g C([a,b]) mit b a f g < ε. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 10 vom Seite 1 von??

23 Ana-1 11 Ws 2010/ Zeigen Sie: a. Eine stetige Funktion f : I R ist im Punkt a I differenzierbar, wenn es eine affine Funktion α : t m(t a) + b gibt, so dass f (t) α(t) lim = 0. t a t a b. Wenn es eine solche affine Funktion α gibt, so ist sie eindeutig Sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar. Zeigen Sie: f ist lipschitz auf [a, b] mit L-Konstante M genau dann, wenn f M auf (a, b) Für t 0 und n 1 ist n t = t 1/n definiert als die Umkehrfunktion von t n. Bestimmen Sie die Ableitung von t 1/n mit Hilfe des Satzes über die Ableitung einer Umkehrfunktion Berechnen Sie die Ableitungen von a. t 1 t + 1 b. t 1 t 2 c. t t t d. t p/q, p, q N 4 73 Sei f C 2 (I) und c ein innerer Punkt von I. Zeigen Sie: a. Ist f (c) = 0 und f (c) > 0, so ist c eine Minimalstelle von f. b. Ist c eine Minimalstelle von f, so ist f (c) = 0 und f (c) 0. c. Warum wird die erste Aussage falsch, wenn nur f (c) = 0 und f (c) 0 vorausgesetzt wird? 4* 74 Zeigen Sie: Ist f an der Stelle t differenzierbar, so ist f (t) = lim h 0 f (t + h) f (t h). 2h Und ist f zweimal stetig differenzierbar, so ist f f (t + h) 2f (t) + f (t h) (t) = lim h 0 h 2. Aufgaben mit * sind freiwillige Zusatzaufgaben. Sie gehen nicht in die Bestimmung der nötigen Mindestpunktzahl ein. Aber natürlich werden die Punkte gutgeschrieben, wenn man sie erfolgreich bearbeitet. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 11 vom Seite 1 von??

25 Ana-1 12 Ws 2010/ Die Umkehrfunktion zu t a t mit a > 0, a 1, ist der Logarithmus zur Basis a, bezeichnet mit log a. Zeigen Sie: log a t = log t log a = log ae log t. 76 Zeigen Sie, dass für jedes α > 0 lim x x α log x = 0, lim x α log x = 0. x 0 Zeigen Sie damit auch, dass lim x 0 x x = Untersuchen Sie, ob die durch t sin(1/t), t 0 f (t) = 0, t = 0, g(t) = t 2 cos(1/t 2 ), t 0 0, t = 0, auf ganz R definierten Funktionen differenzierbar oder sogar stetig differenzierbar sind. 78 Bestimmen Sie zu den folgenden Funktionen das n-te Taylorpolynom an der Stelle 0 sowie das zugehörige Restglied nach Lagrange. Untersuchen Sie, für welche x das Restglied für n gegen 0 konvergiert. a. t t b. t log c. t sinh t et e t 1 + t 1 t 2 79 Sei φ : R R eine differenzierbare Funktion, die der Funktionalgleichung φ(s + t) = φ(s)φ(t) genügt, aber nicht identisch 0 ist. Zeigen Sie: a. ϕ(t) > 0 für alle t R, und insbesondere ϕ(0) = 1. b. φ (t) = aφ(t), t R, mit a = φ (0). c. φ ist die Exponentialfunktion e at. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 12 vom Seite 1 von??

27 Ana-1 13 Ws 2010/ a. Sei ω > 0. Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems ϕ = ω 2 ϕ, ϕ(0) = ϕ 0, ϕ(0) = ψ 0? b. Zeigen Sie, dass der Raum aller Lösungen von ϕ = ω 2 ϕ mit ω R einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bildet. c. Wie sieht dieser Raum für ω = 0 aus? 81 Beweisen Sie das Additionstheorem für die Tangensfunktion, tan(x + y) = tan x + tan y 1 tan x tan y. 82 Geben Sie die Polardarstellungen der folgenden komplexen Zahlen an. a. 1 + i b. 1 c. 1 3 i 83 Bestimmen Sie a. sin i b. cos i c. i i d. 5 i 84 Zeigen Sie, dass 1 2 sin(n + 1/2)x + cos x + cos 2x + + cos nx =. 2 sin x/2 Verwenden Sie dazu die Identität 2 cos x = e ix + e ix, um die linke Seite als geometrische Reihe darzustellen. 85 Untersuchen Sie, für welche α, β 0 die Funktion im Punkt t = 0 t α sin t β, t 0, f : R R, f (t) = 0, t = 0 a. stetig b. differenzierbar c. stetig differenzierbar ist. Ana-1 Ws 10/11 Pöschel Blatt 13 vom Seite 1 von??