Formelsammlung HSR. Thomas Küng Urs Winiger Adrian Freihofer Version

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1 Formelammlung HSR Thoma Küng Ur Winiger Verion April 2003 Adrian Freihofer

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3 Vorwort Die vorliegende Formelammlung wurde während dem Studium für Elektrotechnik an der Fachhochchule in Rapperwil gechrieben. Ziel war e, den Inhalt an den Prüffungtoff anzupaen, aber auch ein Werk zu chreiben, da wir päter im Berufleben verwenden können. Obwohl wir den Inhalt orgfälltig zuammengetellt haben, ind Fehler nicht auchliebar. Für jegliche Korrektur- oder Verbeerungvorchläge haben wir immer ein offene Ohr! In der Formelammlung ind die folgenden Fächer enthalten: Phyik Elektrizitätlehre Energie und Antriebtechnik Elektronik Digitale Signalverarbeitung Mathematik iii

4 Inhaltverzeichni Vorwort iii I Phyik 1 1 Geometriche Optik Sichtbare Licht Reflexiongeetz Brechung Totalreflexion Prima Lichtwellenleiter Abbildungen Allgemein Spiegel Abbildungen durch Spiegel Linen Abbildungen durch Linen Optiche Geräte Statik Starre Körper im Gleichgewicht Gleichgewichtbedingung tarrer Körper Haftreibung Reaktionprinzip Drehmoment Schwerpunkt Deformierung Spannung Dehnung Querkontraktion Kompreion Schubbeanpruchung Schraubenfeder Biegung eine Balken Vorgehen beim Löen von Statikaufgaben Kinematik 16 iv

5 Inhaltverzeichni 3.1 Gleichförmige Bewegung Gleichförmig bechleunigte Bewegung Drehbewegung Gleichförmige Kreibewegung Gleichförmig bechleunigte Kreibewegung Zentripetalbechleunigung Wurfbahnen Freier Fall Senkrechter Wurf Horizontaler Wurf Schiefer Wurf Dynamik Newtonche Geetze Erte Newtonche Geetz (Trägheitgeetz) Zweite Newtonche Geetz (Aktiongeetz) Dritte Newtonche Geetz (Actio = Reactio) Allgemeine Vorgehen beim löen von Bewegungproblemen Mae und Gewicht Spezielle Kräfte, Mae, Dichte und Reibung Arbeit und Energie, Energieerhaltung Hubarbeit, Potentielle Energie Spannarbeit, Spannenergie Bechleunigungarbeit, Kinetiche Energie Rotationenergie Reibungarbeit Verformungarbeit Eintein, Kernbindungenergie Leitung Wirkunggrad Impul, Impulerhaltung Drehimpul Raketenantrieb Inelaticher Sto Elaticher Sto Analogie Tranlation und Rotation Gravitation und Mae Keplerche Geetze ( Bewegung der Planeten) Newtonche Gravitationgeetz Potentielle Energie im Gravitationfeld einer Zentralmae Fluchtgechwindigkeit Geotationäre Bahn Rotation und Maenträgheitmoment Maenträgheitmoment bei Getriebe Maenträgheitmomente oft verwendeter Körper Mechanik deformierbarer Körper Druck v

6 Inhaltverzeichni Aboluter Druck Überdruck Kompreion Hydrotatik Schweredruck Staticher Auftrieb Druckwandler Kraftwandler Druckmeung Grenzflächeneffekte Hydrodynamik Kontinuitätgleichung Bernoulli Gleichung (Energieerhaltung) Reale Strömung Zirkulation Vortizität Newtonche Reibunggeetz Strömungformen Raynold-Zahl Laminare Strömung (Re < 2320) Volumentrom Turbulente Strömung (Re > 2320) Dynamicher Auftrieb Tragflügel Wärmelehre Temperatur Audehnung von Materialien Ideale Gae Gemiche idealer Gae Reale Gae Wärme Molare Wärme kritalliner Fetkörper Autauch von Wärmemengen Phaen und Phaenübergänge Schmelz- und Verdampfungenergien Luftfeuchtigkeit Kinetiche Gatheorie Mittlere freie Weglänge, Wärmeleitung, Diffuion und Vikoität Maxwellche Gechwindigkeitverteilung Temperaturtrahlung, Strahlunggeetze Strahlungautauch Wärmetranport Zutandänderungen Iobare Zutandänderung Iochore Zutandänderungen Iotherme Zutandänderungen Adiabatiche Zutandänderungen Expanion und Kompreion vi

7 Inhaltverzeichni Enthalpie Kreiprozee Carnotproze Entropie Schwingungen Freie Schwingungen Ungedämpfte, harmoniche Schwingung Ungedämpfte, periodiche Schwingung Ungedämpfte, nicht periodiche Schwingung Federpendel Drehpendel Mathematiche Pendel Phyikaliche Pendel Gedämpfte Schwingung mit kontanter Reibung Schwingung mit gechwindigkeitproportionaler Dämpfung (D < 1 ) Aperiodeiche Löung (D > 1 ) Elektricher Schwingkrei Wellenlehre Wellengechwindigkeiten Zuammenhänge der verchiedenen Wellen Wellengleichung Intenität Harmoniche Wellen Räumliche Aubreitung von Wellen Doppler-Effekt Akuticher Doppler-Effekt Opticher Doppler-Effekt Machcher Kegel Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz Optiche Länge Stehende Wellen Eigenchwingungen Saite Pfeife Rechteckige Membrane Beugung Beugung am Spalt Beugung an Kreiförmiger Öffnung Beugung am Gitter II Elektrizitätlehre 71 9 Grundlagen Grundgröen Netzwerke bei Gleichtrom vii

8 Inhaltverzeichni Kirchoffche Geetzte Reale Quellen Reale Spannungquelle Reale Stromquelle Netzwerkanalye Netzwerkumwandlung Wirkunggrad und Leitunganpaung Sytematiche Analye linearer Netzwerke Quellenverchiebung Netzwerke mit geteuerten Quellen Da elektriche Strömungfeld Allgemein Spezielle Felder Räumliche Zentralfeld (Kugelanordnung) Zylindriche Zentralfeld Leitung und räumliche Leitungdichte Elektrotatik Da Coulobche Geetz Da elektrotatiche Feld (Allgemein) Spezielle Felder Räumliche Zentralfeld (Kugelanordnung) Zylindriche Zentralfeld Homogene Feld (Plattenkondeator) Paralleldrahtleitung Energie im elektrichen Feld Kräfte im elektrichen Feld Allgemein Verchiebung Anziehung Magnetimu Feldtärke Permeabilität Magnetiche Fludichte Kräfte im Magnetichen Feld Kräfte auf Ladungen Kraft auf Leiter im B-Feld Kräfte auf paralle Leiter Kräfte auf Randflächen eine Felde Durchflutung Magneticher Flu Ohmche Geetz de magnetichen Kreie Spulenflu Induktivität Gegeninduktivität und induktive Kopplung Brechung magneticher Feldlinien viii

9 Inhaltverzeichni 12.12Räumliche Energiedichte Energie im magnetichen Feld Induktiongeetz Selbtinduktion Serie- und Parallelchaltung von Induktivitäten Trafogleichungen Nichtlinearität B(H)-Kurve in Φ(Θ)-Kurve umrechnen Luftpaltkennwert α Spezielle Anordnungen Langer gerader Leiter l d Kurzer, gerader Leiter Kreiförmige Drahtchleife Voller Leiter Koaxialkabel Paralleldrahtleitung Zylinderpule Ringpule (Toroid) Kreirahmenpule Wecheltromlehre Mittel- und Kennwerte Linearer Mittelwert Betragmittelwert Halbwellenmittelwert Quadraticher Mittelwert (Effektivwert, RMS) Scheitelfaktor (Cretfaktor) Formfaktor Effektivwert eine zuammengeetzten, mehrfrequenten Signal Leitung Leitung und Leitunganpaung bei Quellen Effektivwert und Leitung Energie Komplexe Dartellung inuförmiger Vorgänge Komplexe Dartellung von Impedanz und Admittanz Klemmgröen von Schaltelementen Allgemein Ohm che Widertände Kapazitäten Induktivitäten Zeigerdartellung Komplexer Klemmgröen Impedanztranformation Tranformation von Z-Ebene zu Y-Ebene Netzwerkanalye Machenmethode / Kreitrommethode Trennbündelmethode / Knotenpannungmethode Dartellungformen Beipiel: Nyquitdiagramm, Ortkurve ix

10 Inhaltverzeichni Bodediagramm Pol- Nulltellendiagramm Eigenchaften de PT 1 -Glied Eigenchaften de PT 2 -Glied Verküpfung von Blockdiagrammen III Energie und Antriebtechnik Dreiphaenyteme Sternchaltung Dreieckchaltung Leitungen bei Stern- und Dreieckchaltung Elektromotoren und Generatoren Allgemein Gleichtrommachine Fremderregte Gleichtrommachine (GNSM) Nutzbremung mit fremderregter Gleichtrommachine Gleichtrom Nebenchlumachine (GNSM) Gleichtrom Reihenchlumachine (GRSM) Drehtrom Synchrongenerator (DSG) DSG im Inelbetrieb Belatung de DSG am tarren Netz Drehmoment und Stabilität de DSG am tarren Netz IV Elektronik Diode Ideale Diode Kontantpannungmodel Arbeitpunktberechnung Kennlinie Differentieller Widertand DC- und AC-Analye von Diodenchaltungen Vorgehen Kleinignalanalye Groignalanalye Z-Dioden Z-Dioden zur Spannungtabiliierung Bipolar Tranitor NPN- und PNP-Tranitor Der ideale Tranitor bei Gleichpannung DC-Eratzchaltung Vertärkerchaltungen Dynamiche Innenwidertände de Tranitor x

11 Inhaltverzeichni Emitterchaltug Baichaltung Kollektorchaltung (Emitterfolger) Feldeffekt Tranitor Verchiedene Typen Der ideale MOSFET (Handrechnung) Der reale MOSFET Kleinignal Eratzchaltbild für tiefe Frequenzen DC-Berechnung mit idealen MOSFET Gleichungen Der FET al Schalter De FET al AC-Vertärker Sourcechaltung Gatechaltung Drainchaltung Dynamiche Innenwidertände de MOS-Tranitor Der FET al Spannunggeteuerter Widertand MOS-Diode Stromquellen Einfache Stromquelle Stromquelle mit Kakode-Schaltung Stromquelle mit geregelter Kakode-Schaltung Strompiegel Widlar Strompiegel Operationvertärker Vertärkung Idealer OP Invertierender Vertärker Nichtinvertierender Vertärker Addierer Subtrahierer Mehrfach Addierer und Subtrahierer Intrumentationvertärker Stromquelle Strompiegel Differentieller UI-Wandler Schmitt-Trigger Wien-Robinon Ozillator Bechaltung de OP mit Zweitoren Realer Operationvertärker Ein- und Augangpannungbereich Übertragungkennlinie Gleichtaktfehler (Common Mode Error) Effektive, gechloene Vertärkung Offetfehler Verorgungpannungfehler (Power upply error) Eingangtröme (Bia- und Offettrom) xi

12 Inhaltverzeichni Kombination der tatichen Fehler Dynamicher Eingangwidertand Frequenzgang Gegengekoppelte Vertärker Mit- und Gegenkopplung Gegenkopplung beim OP Gegenkopplungarten Betimmung der Gegenkopplungart Eingangchaltungen Augangchaltungen Schleifenvertärkung Wirkung der GK auf die Senivität der Vertärkung Da Vertärkung-Bandbreiten-Produkt V Digitale Signalverarbeitung Stochatiche Signale Allgemein Abtatung Ideale Abtatung Flat Top Sampling Sample and Hold Abtattheorem Rekontruktion Interpolation Energie und Leitung bandbegrenzter Signale VI Mathematik Grundlagen Allgemeine Binome Faktorzerlegungen Quadratiche Gleichung Arithmetiche Folge Geometriche Folge Partialbruchzerlegung Matrizen und Determinanten Matrizen Matrizen Tranponierte einer Matrix Vektorrechnung Grundlagen Lineare Abbildungen xii

13 Inhaltverzeichni 23.4 Trigonometrie Komplementwinkel Sinuatz Coinuatz Goniometerie Serien (Löungmengen) Potenzen Additiontheoreme Doppelwinkel Dreifachwinkel Halbwinkel Summen und Produkte Genaue Funktionwerte Logarithmen Komplexe Zahlen Allgemeine Rechenregeln Euler Ableiten Rechenregeln Integrieren Rechenregeln Subtitution Sätze Integration rationaler Funktionen Rationaliierungformeln Spezielle Integrale Fourierreihen Bezeichungen Skalarprodukt Eigenchaften Definitionen in P und E Für orthonormierte Bai Norm in P und E Cauchy-Schwarzche Ungleichung Abtand Fourierreihe reell Fourierkoeffizienten Fourierreihe der Funktion f P Fourierreihe komplex Fourierkoeffizienten Fourierreihe der Funktion f E Parevalche Theorem Durchgang durch LTI-Sytem Fourierkoeffizienten wichtiger periodicher Signale Fouriertranformation 188 xiii

14 Inhaltverzeichni 25.1 Fouriertranformation Fourier-Coinutranformation Fourier-Sinutranformation Faltung Falluntercheidung bei Definitionbereichen Eigenchaften Fouriertranformationen mit Diracdelta Fouriertranformationen wichtiger Impule Laplace Laplacetranformation Rechenregeln Spezielle Laplacetranformationen Faltung Periodiche Funktionen Differentialgleichungen Ordnung Homogene Partikuläre Löung Höhere Ordnung Homogen, linear mit kontanten Koeffizienten Partikuläre Laplace Lineare Übertragung Nichtlineare Übertragung Übericht Laplace und Fourier Funktiondikuion Funktionen mit einer Variablen Zu beantwortende Fragen Gerade (2-Punkte-Form) Abtand eine Punkte von einer Geraden Funktionen mit mehreren Variablen Bezeichnungen Kegelchnitte Krei Ellipe Hyperbel Parabel xiv

15 Teil I Phyik 1

16 1 Geometriche Optik 1.1 Sichtbare Licht Wellenbereich λ/nm Farbe violett blau blaugrün grün gelb orange rot 1.2 Reflexiongeetz α 1 α kel α 2 Aufallwinkel α 1 = α 2 α 1 Einfallwin- 2 [rad] [rad] 1.3 Brechung α 1 fall n 2 > n 1 : 1 n 2 α 2 n 1 in(α 1 ) = n 2 in(α 2 ) n = c u n 2 > n 1 α 1 > α 2 α 1 α 2 n 1,2 Einfallwinkel Brechungwinkel Brechungindex [rad] [rad] [1] 2

17 1.4 Totalreflexion 1.4 Totalreflexion n 1 n 2 α g Grenzfall Totalreflexion fall n 2 > n 1 : α g = arcin ( n1 n 2 ) α g Grenzwinkel [rad] n 1,2 Brechungindex [1] Prima γ α δ wei δ δ n 1 n 2 β rot violett fall n 2 = 1: n 1 = in δ+γ 2 δ 2 n 2 = n 1 in δ 2 γ min +δ 2 γ = α δ + arcin {in(δ)z} ( ) 2 z = [ n1 in α] 2 co δ inα n 2 α Einfallwinkel [rad] β Aufallwinkel [rad] δ Scheitelwinkel [rad] γ Ablenkwinkel [rad] γ min min Ablenkwinkel [rad] n 1 n-prima [1] n 2 n-medium [1] ( n1 γ min = 2 arcin in δ ) δ n Lichtwellenleiter α 2 α 1 α 2 n 1 n 2 n 0 fall n 1 > n 2 : α 1max = arcin [ ( )] n 1 co arcin n2 n 1 n 0 n 0 inα 1 = n 1 1 co2 α 2 n 0 inα 1 = n 1 1 n 0 inα 1 = n 2 1 n2 2 ( ) 2 n2 n 1 α 1 Einfallwinkel [rad] α 1max max Einfallwinkel [rad] n 0 n-medium [1] n 1 n-kern [1] n 2 n-mantel [1] 3

18 1 Geometriche Optik 1.5 Abbildungen Allgemein G H 1H2 F 2 F 1 Vorzeichen: B Für ammelde optiche Bauelemente it f > 0. Für zertreuende optiche Bauelemente f < 0. Für virtuelle Bilder it b < 0 und B < 0. Für vortuelle Gegentände it g < 0 und G < 0. g = H 1 G b = H 2 B f = H 1 F 1 f = H 2 F 2 1 f = 1 g + 1 b B G = b g β = B G g Gegentandweite [m] b Bildweite [m] f Brennweite [m] H 1 vorderer Hauptpunkt H 2 hinterer Hauptpunkt F 1 vorderer Brennpunkt F 2 hinterer Brennpunkt G Gegentandgröe [m] B Bildgröe [m] β Abbildungverhältni [1] Spiegel Parabolpiegel Bei Parabolpiegeln treffen ich alle paralell einfallenden Strahlen in einem Punkt (Brennpunkt) auf der optiche Ache. Elliptiche Spiegel Alle Strahlen die vom einen Brennpunkt augeendet werden, treffen auf den zweiten Brennpunkt. (Ellipe it der geometriche Ort aller Punkte einer Ebene, für die die Summe ihrer Abtände von zwei feten Punkten F 1 und F 2 kontant it.) Hyperboliche Spiegel Alle Strahlen, die von einem Brennpunkt augeendet werden, verlaufen nach der Reflexion o, al wären ie vom anderen der beiden Brennpunkte augeendet worden.(hyperbel it der geometriche Ort aller Punkte einer Ebene, für die die Differenz ihrer Abtände von zwei feten Punkten F 1 und F 2 kontant it.) 4

19 1.5 Abbildungen Sphäriche Spiegel Die Spiegelnde Fläche it ein Teil einer Kugel. Wenn nur ein kleiner Auchnit der Kugelfläche verwendet wird, gehen parallel einfallende Strahlen näherungweie durch einen Brennpunkt: f = r/ Abbildungen durch Spiegel Konkavpiegel G B F Befindet ich der Gegntand auerhalb der Brennweite, o entteht ein reelle Bild, andereit it da Bild virtuell. G Gegentand [m] B Bild [m] F Brennpunkt G F B Konvexpiegel G B F Konvexpiegel haben tet virtuelle Bilder bei reellen Gegentänden. G Gegentand [m] B Bild [m] F Brennpunkt Planpiegel G B Da Virtuelle Bild it gleich gro wie der Gegentand. Der Brennpunkt F liegt im Unendlichen. Der Planpiegel it ein Spezialfall de Konvexpiegel. G Gegentand [m] B Bild [m] F Brennpunkt 5

20 1 Geometriche Optik Linen Linentypen F f f F q = d f D = 1 f Linenchleifergleichung: ( ) ( n2 1 D = ) n 1 r 1 r 2 Fall da Linenmaterial optich dichter it al da umgebende Medium, zeigt die obere Abbildung eine Sammel- und die untere eine Streuline. q Öffnungverhältni [m] d effektiver [m] Durchm. f Brennweite [m] D Brechkraft [dpt] n 1 n-umgebung [1] n 2 n-line [1] r 1,2 Linenradien [m] Linenyteme Zwei Linen mit Brennweiten f 1, f 2 auf einer Ache ergeben eine Line mit Brennweite f, fall ihr Abtand d kleiner f 1 it. 1 f = 1 f f 2 d f 1 f 2 D = D 1 + D 2 dd 1 D 2 f 1,2 Brennweiten [m] D Brechkraft [dpt] d Linenabtand [m] Abbildungen durch Linen Sammelline G B f 1 G f 2 F F B Der Gegentand it innerhalb der Brennweite reelle Bild. Der Gegentand it auerhalb der Brennweite virtuelle Bild. G Gegentand [m] B Bild [m] F Brennpunkt f 1,2 Brennweiten [m] f 1 f 2 6

21 1.5 Abbildungen Zertreuungline G B f 1 f 2 Bei Zertreunglinen haben reelle Gegentände tet virtuelle Bilder, unabhängig von ihrer Poition. G Gegentand [m] B Bild [m] F Brennpunkt f 1,2 Brennweiten [m] Optiche Geräte Fotoapparat Film Verchlu Objektiv Blende Objektiv Film G 0 G d g g 0 B 0 b 0b B u B = I d 2 f g f G H 1 B 2 d2 f 2 E = Ht q = d f E q 2 t u d = b b 0 b 1 g = 1 g 0 ± u q f 2 Z = 1 q g > g 0 g < g 0 + G Gegentand [m] g Gegentandweite [m] g 0 Schärfentiefenbereich [m] B Bildweite [m] b Bild [m] f Brennweite [m] I Lichttrom [W] d Durchm. Eintrittpupille [m] H Helligkeit [ W ] m 2 q Öffnungverhältni [1] Z Brendeneintellung [1] E Belichtung [1] t Belichtungzeit [] u Durchm. Unchärfenkrei [m] Projektor Kondenator Spiegel Objektiv r Lampe Dia IR-Filter Leinwand Da Dia wird im Objektiv abgebidet g 2 = b 1 Da Bild der Lampe mu im Objektiv ein. g 2 g-objektiv [m] b 1 b-kondenator [m] 7

22 1 Geometriche Optik Lupe B F G g f Sammelline zur Vergröerung de Sehwinkel (Bild im Unendlichen) V = tanɛ tanɛ 0 V = g > V normal tanɛ = G f tanɛ 0 = G Gegentand in Brennweite Sehwinkel ɛ it unabhängig von der Augenpoition G Gegentand [m] g Gegentandweite [m] B Bildweite [m] b Bild [m] f Brennweite [m] ɛ Sehwinkel [rad] durch Lupe ɛ 0 Sehwinkel [rad] ohne Lupe deutliche Sehweite [m] V Vergröerung [1] (max. ca. 25) V = f Mikroprojektor G Objektiv Mattcheibe F B Da reelle Bild einer Sammelline wird verwendet und auf einer Mattcheibe abgebildet V = B G = b g Stahlengang iehe Projektor Bild au deutlicher Sehweite betrachtet: G Gegentand [m] g Gegentandweite [m] B Bildweite [m] b Bild [m] V Vergröerung [1] 8

23 1.5 Abbildungen Mikrokop G F 1 F 2 g 1 B ɛ f 1 f 2 b 1 Da Objektiv verhält ich wie ein Mikroprojektor. Sein Bild wird durch da Okular, welche ich wie eine Lupe verhält, betrachtet. V = V 1 V 2 V = tanɛ tanɛ 0 V = B G f f 2 V = f 1 f 2 V 1 = f 1 V 2 = f 2 = b 1 f 1 G Gegentand [m] g 1 Gegentandweite [m] B Bild [m] b 1 Bildweite [m] F 1 Brennpunkt Objektiv F 2 Brennpunkt Okular f 1 Brennweite [m] Objektiv f 2 Brennweite [m] Okular Tubulänge [m] ɛ Sehwinkel [rad] deutliche Sehweite [m] V Vergröerung [1] total V 1 V-Objektiv [1] V 2 V-Okular [1] 9

24 1 Geometriche Optik Fernrohre Objektiv Autrittpupille Okular ɛ F 1 F 2 ɛ B f 1 f 2 a Ein Ferngla mit den Daten hat eine Vergröerung von 10 und einen Objektivdurchmeer von 50 mm. d V = tanɛ tanɛ 0 ɛ = Vɛ V = f 1 f 2 1 f 1 + f a = 1 f 2 D d = f 1 + f 2 a a = l V L = d 2 L = ( ) 2 D V l = f 1 + f 2 = V d = D V B Bildweite [m] f 1 Brennweite [m] Objektiv f 2 Brennweite Okular [m] l Fernrohrlänge [m] ɛ Aufallwinkel[rad] ɛ Einfallwinkel [rad] deutliche Sehweite [m] V Vergröerung [1] total L Lichttärke [1] D Durchm. Objektiv [m] d Durchm. Autrittpupille [mm] a Abtand Okular Atrittpupille [m] 10

25 2 Statik 2.1 Starre Körper im Gleichgewicht Gleichgewichtbedingung tarrer Körper Ein Körper it dann im Gleichgewicht, wenn keine reultierende Kraft auf ihn wirkt, d.h. die Summe der ihn angreifenden Kräfte it null. Allgemein: n i=1 Fi = 0 In Komponenten: n F ix = 0 i=1 n M i = 0 i=1 n i=1 M ix = 0 F Kraft [N] M Drahmoment [Nm] n F iy = 0 i=1 n F iz = 0 i=1 n i=1 n i=1 M iy = 0 M iz = Haftreibung F R F R F G F F N = FG F R FR = F F Rmax µ H F N F Kraft [N] F G Gewichtkraft [N] F N Normalkraft [N] F R Reibkraft [N] µ H Haftreibungkoeffizient [1] 11

26 2 Statik Reaktionprinzip Da Reaktionprinzip gilt, wenn zwei Körper Kräfte auf einander auüben. F BA = FAB F AB Kraft von Körper A F BA Kraft von Körper B [N] [N] Drehmoment Drehmoment eine Kräftepaar a F r α F M = af M auf Ebene r, F : M = Fr in(α) M Drehmoment [Nm] a Abtand [m] F Kraft [N] r Radiu [m] Drehmomente nicht in einer Ebene: M = r F Drehinn im Gegenuhrzeigerinn: + Drehmoment einer Einzelkraft P a r F M = af M Drehmoment [Nm] a Abtand [m] M = r F F Kraft [N] r Radiu [m] 12

27 2.2 Schwerpunkt 2.2 Schwerpunkt y S 2 S S 1 x x = i x i m i i m i y = i y i m i i m i z = i z i m i i m i Schwerpunkt eine Halbkreie: x, Koordinaten [m] y, z de Geamtchwerpunkte x i, Schwer- [m] y i, z i punktko- ordinaten Teilkörper i r Radiu [m] x = 0 y = 4r 3π 2.3 Deformierung Spannung A F F F σ = F A τ = F A p = σ σ Zugpannung [ N ] m 2 τ Schubpannung [ N ] m 2 p Druck [ N ] m 2 A Fläche [m 2 ] F Kraft [N] Dehnung F A l l F ɛ = l l l lf A ɛ = 1 E σ = 1 E F A ɛ Dehnung [1] A Querchnittfläche [m 2 ] l Balkenlänge [m] F Kraft [N] E Elatizitätmodul [ N ] m 2 σ Zugpannung [ N ] m 2 13

28 2 Statik Querkontraktion Die Querkontraktion entpricht dem Dünnenrwerden eine Material bei Dehnung ɛ q = d d ɛ q = µɛ = µ l l ɛ q Querkontraktion [1] µ Poionzahl [1] d Dicke Material [m] l Länge [m] Kompreion Wird ein Körper einem Druck augeetzt, pricht man von Kompreion V V κ = = κ p 3(1 2µ) E V Volumen [m 3 ] p Druck [ N ] m 2 κ Kompreibilität [ m2 N µ Poionzahl [1] E E-Modul [ N ] m Schubbeanpruchung y γ F A y b b G = = 1 G F A = 1 G τ E 2(1 + µ) F Kraft [N] A Fläche [m 2 ] y Spaltbreite [m] γ Winkel [rad] b Körperbreite [m] G Schubmodul [ N ] 2 τ Schubpan. [ m ] m 2 µ Poionzahl [1] E E-Modul [ N ] m Schraubenfeder l F F F = c l c = Gr4 4nR 3 parallel: c = c 1 + c c n eriel: 1 = 1 c c c c n F Kraft [N] c Federkont. [ N ] m l Länge [N] G Schubmodul [ N ] m 2 r Radiu Draht [m] R Radiu Feder [m] n Windungen [1] 14

29 2.4 Vorgehen beim Löen von Statikaufgaben Biegung eine Balken h l F l y F b h b z z = 4l3 Ebh 3 F y = 5ρgl4 32Eh 2 z Durchbiegung [m] y Durchbiegung [m] l Länge [m] b Balkenbreite [m] h Balkenhöhe [m] F Kraft [N] ρ Dichte [ kg ] 3 g Erdanziehung [ m ] 2 = 9, 81 E Elatizitätmodul [ N ] m Vorgehen beim Löen von Statikaufgaben 1. Skizze mit allen Kräften aufzeichnen 2. Koordinatenytem einführen 3. Fall notwendig einen Drehpunkt einführen 4. Gleichgewichtbedingung - Gleichungytem auftellen 5. Gleichungytem auflöen 15

30 3 Kinematik 3.1 Gleichförmige Bewegung a = 0 v = kontant = vt + 0 a Bechleunigung [ m ] 2 Strecke [m] v Gechw. [ m] t Zeit [] 0 Anfang Strecke [m] 3.2 Gleichförmig bechleunigte Bewegung a = kontant v = at + v 0 v = ṡ = a 2 t2 + v 0 t + 0 = v2 1 v2 0 2a a = v2 1 v2 0 2 = v t a = v = v 2 = v a a Bechleunigung [ m ] 2 Strecke [m] v Gechw. [ m] v 0 Start-Gechw. [ m] v 1 End-Gechw. [ m] t Zeit [] 0 Anfang Strecke [m] 16

31 3.3 Drehbewegung 3.3 Drehbewegung Gleichförmige Kreibewegung v r ϕ Analogie: ϕ v ω a α α = 0 = rϕ v = rω ω = ϕ = v r ϕ = ωt f = 1 T ω = 2π f v = ω r α ω Winkel- Bechleunigung Winkel- [ rad 2 ] [ rad ] Gechw. ϕ Winkel [rad] r Radiu [m] T Periode [] f Frequenz [ 1] Strecke [m] v Gechw. [ m] t Zeit [] 0 Anfang Strecke [m] v Gechw. tang. [ m] Gleichförmig bechleunigte Kreibewegung r v ϕ α = kontant α = ω α = ϕ a = rα ω = αt + ω 0 ω = ω α(ϕ ϕ 0) ϕ = α 2 t2 + ω 0 t + ϕ 0 ϕ = ω2 1 ω2 0 2α α ω ω 0 ω 1 [ rad 2 ] [ rad ] [ rad ] [ rad ] Gechw. ϕ Winkel [rad] ϕ 0 Start-Winkel [rad] r Radiu [m] t Zeit [] a Winkel- Bechleunigung Winkel- Gechw. Sart-Winkel- Gechw. End-Winkel- Bechleunigung [ m 2 ] 17

32 3 Kinematik Zentripetalbechleunigung r v ϕ Fz a z a z = v2 r a z = rω 2 v = 2πr T F z = ma z = mv2 r F z = mω 2 r α z ω Zentr.- Bechleunigung Winkel- [ rad 2 ] [ rad ] Gechw. ϕ Winkel [rad] r Radiu [m] T Periode [] v Gechw. [ m] m Mae [kg] 3.4 Wurfbahnen Freier Fall y m v y a y = g v y = gt v e = 2gh y = g 2 t2 t = 2h g Senkrechter Wurf v y t = v 0 g y m h = v 0t 2 = t f = 2t v 2 0 2g v 0 Abchu- Gechw. [ m] t Zeit [] t Steigzeit [] t f Flugzeit [] h Höhe [m] g Erdbechl. = 9.81 [ m ] 2 v 0 Abchu- Gechw. [ m] t Steigzeit [] t f Flugzeit [] h Höhe [m] g Erdbechl. = 9.81 [ m ] 2 18

33 3.4 Wurfbahnen Horizontaler Wurf y v 0 v y m x a x = 0 v x = v 0 x = v 0 t 2v x = 2 0 y g a y = g v y = gt a Bechl. [ m ] 2 Strecke [m] v Gechw. [ m] v 0 Start-Gechw. [ m] t Zeit [] g Erdbechl. = [ m ] y = g 2 t2 y = g 2 2v 2 x Schiefer Wurf y ϕ v 0 a y = g a x = 0 h m v y x d = v2 0 g in(2ϕ) h = v2 0 2g in2 (ϕ) t = 2v 0 in(ϕ) g a Bechl. [ m ] 2 d Wurfditanz [m] Strecke [m] v Gechw. [ m] v 0 Start-Gechw. [ m] t Zeit [] ϕ Abchuwinkel [rad] g Erdbechl. = 9.81 [ m ] 2 y = v 0 in(ϕ)t gt2 2 x = v 0 co(ϕ)t Parabelgleichung: y = tan(ϕ) x g 2 x 2v 2 0 co2 (ϕ) 19

34 4 Dynamik 4.1 Newtonche Geetze Erte Newtonche Geetz (Trägheitgeetz) Ein Körper verharrt im Zutand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, einen Zutand zu ändern. Die Geamtumme der Kräfte in einem abgechloenen Sytem it unveränderlich: F = i F i = Zweite Newtonche Geetz (Aktiongeetz) Die Bechleunigung eine Körper it umgekehrt proportional zu einer Mae und direkt proportional zur Kraft, die auf ihn wirkt. F = m a Dritte Newtonche Geetz (Actio = Reactio) Wirkt ein Körper A auf einen Körper B mit der Kraft FAB, o wirkt der Körper B mit der entgegengeetzt gerichteten, gleich groen Kraft FBA. n F ix = ma x a i=1 n F iy = ma y a i=1 n F iz = ma z a i= Allgemeine Vorgehen beim löen von Bewegungproblemen 1. Zeichnung anfertigen 2. Für jeden Körper, der unterucht werden oll, wird ein Kräftediagramm eingezeichnet 3. Ein geeignete Koordinatenytem einführen 4. Da enttandene Gleichungytem auflöen 5. Ergebnie mit geundem Menchenvertand auflöen 20

35 4.2 Mae und Gewicht 4.2 Mae und Gewicht Spezielle Kräfte, Mae, Dichte und Reibung y x F N m ϕ mg FR F G = mg F R = µ G F N ρ = m V µ = a g µ H = tan(ϕ krit ) F Hmax = µ H F N F G Gewichtkraft [N] F R Reibungkraft [N] F N Normalkraft [N] ρ Dichte [ kg ] m 3 µ Reibung [1] µ G Gleitreibung [1] µ H Haftreibung [1] ϕ krit kritiecher Winkel [rad] F Hmax Max. Haftreibungkraft [N] a Bechleunigung [ m ] 2 g Fallbechleunigung [ m ] 2 m Mae [kg] V Volumen [m 3 ] 4.3 Arbeit und Energie, Energieerhaltung Energie it die Fähigkeit Arbeit zu leiten. Arbeit = überwinden eine Widertande dw = F d W = Pt Energieerhaltung im abgechloenen Sytem: E i = cont. i W Arbeit [J] E Energie [J] F Kraft [N] Weg [m] t Zeit [] 21

36 4 Dynamik Hubarbeit, Potentielle Energie h m E pot2 me pot1 E pot = mgh W H F h E pot = W H E pot potentielle [J] Energie W H Hubarbeit [J] m Mae [kg] g Fallbechleunigung [ m ] 2 h Höhe [m] Spannarbeit, Spannenergie x E = cx2 2 W = F x E = W E Spannenergie [J] W Spannarbeit [J] c Federkont. [ N ] m x Spann-Weg [m] F Spannkraft [N] Bechleunigungarbeit, Kinetiche Energie m v E kin = mv2 2 W B = m( v)2 2 E tran Tranlationenergie [J] W B Bechleunigungarbeit [J] m Mae [kg] v Gechw. [ m] Rotationenergie E rot = 1 E rot Rotationenergie [J] 2 Jω2 J Maeträgheit [kgm 2 ] ω Winkelgechw. [ rad] 22

37 4.4 Leitung Reibungarbeit F R v W R = F R W R Reibarbeit [J] F R Reibkraft [N] Strecke [m] Verformungarbeit v 1 v 2 m 1 m 2 Inelatich: W D = m 1m 2 (v 1 v 2 ) 2 2(m 1 + m 2 ) Elatich: W D = F 1 + F Eintein, Kernbindungenergie E = mc 2 E Energie [J] m Mae [kg] c v Licht = [ m] (Vakuum) 4.4 Leitung P = dw dt P = Fd dt P = Mω = F P Leitung [W] W Energie [J] t Zeit [] F Kraft [N] Strecke [m] M Drehmoment [Nm] ω W D Deformationarbeit [J] m 1, m 2 Maen [kg] v 1, v 2 Gechw. [ m] F 1, F 2 Kräfte [N] Winkelgechwindigkeit [ rad ] 23

38 4 Dynamik 4.5 Wirkunggrad η = W ab W zu = p ab P zu η tot = η 1 η 2... η Wirkunggrad [1] P ab P-Abgeg. [W] P zu P-Aufge. [W] W ab W-Abgeg. [J] W zu W-Aufge. [J] 4.6 Impul, Impulerhaltung Impulerhaltungatz: Im abgechloenen Sytem bleibt der Impul kontant p = m v F = p p ge = Kraftto: F = p t n m i v i=1 p Impul [ kgm ] m Mae [kg] v Gechw. [ m] F Kraft [N] t Wirkungdauer [] Drehimpul r m v L = mvr in(ϕ) L = r p L = Jω M = d p dt L Drehimpul [ kgm ] m Mae [kg] r Radiu [m] v Gechw. [ m] ω Winkelgechw. [ rad] M Drehmoment [Nm] 24

39 4.6 Impul, Impulerhaltung Raketenantrieb m v u m m v + v v = u ln m 0 m + v 0 F = dm dt u Spezificher Impul: T = u g v Gechw. [ m] u v-strahl relativ zu Rakete [ m] m 0 Startmae [kg] m Mae [kg] F Schubkraft [N] T Zeit [] g Erdbechl. [ m ] Inelaticher Sto v = m 1v 1 + m 2 v 2 v Gechw. nach [ m] m 1 + m 2 Sto v 1,2 v vor Sto [ m] m 1,2 Maen [kg] Elaticher Sto v 1 v 2 = (v 1 v 2) v 1 = (m 1 m 2 )v 1 + 2m 2 v 2 m 1 + m 2 v 1,2 Gechw. nach [ m] Sto v 1,2 v vor Sto [ m] m 1,2 Maen [kg] v 2 = (m 2 m 1 )v 2 + 2m 1 v 2 m 1 + m 2 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 25

40 4 Dynamik 4.7 Analogie Tranlation und Rotation Tranlation Rotation Symb Gröe Beziehung Symb Gröe Beziehung Weg ϕ Winkel v Gechwindigkeit v = d dt ω Winkelgechwindigkeit ω = dϕ dt α = dω dt m Mae J Trägheitmoment J = r 2 dm p Impul p = mv L Drehimpul L = Jω F Kraft F = dp M Drehmoment M = dl dt dt dw Arbeit dw = F d dw Arbeit dw = Mdϕ P Leitung P = F v P Leitung P = Mω E tran a Bechleunigung a = dv dt α Winkelbechleunigung Tranlationenergie E tran = mv2 2 E rot Rotationenergie E rot = Jω

41 4.8 Gravitation und Mae 4.8 Gravitation und Mae Keplerche Geetze ( Bewegung der Planeten) 1. Keplergeetz Die Planeten bewegen ich auf Elypen, in deren einem Brennpunkt die Sonne teht. (Bahn it eben) 2. Keplergeetz v P Planet Sonne A A r P A P r A v A Der Fahrtrahl de Planeten übertreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. v P r P = v A r A A P = A A 3. Keplergeetz Da Quadrat der Umlaufdauer eine Planeten it proportional zur dritten Potenz einer mittleren Entfernung zur Sonne. v P,A Bahngechw. [ m] r P,A Elypen- [m] Radien T Umlaufdauer [] Planet C Kontante [1] r mitlerer Abtand [m] v K Kreibahngechwindigkeit [ m] G Gravitationkontante = [ m3 ] kg T 2 = Cr 3 t = 4π GM Sonne r 3 Planetengechwindigkeit: v K = 2πr T v K = gmsonne r Newtonche Gravitationgeetz m 1 m 2 F 2 F 1 r F = G m 1m 2 r 2 g = G m E r 2 = F m F Anziehungkraft [N] m 1,2 Körpermae [kg] r Abtand [m] G Gravitationkontante = [ m3 ] kg g Erdbechl. [ m ] 2 27

42 4 Dynamik Potentielle Energie im Gravitationfeld einer Zentralmae E pot = G m Zm r ϕ = Gm Z r m Z m- [kg] Zentralmae m Körpermae [kg] ϕ Gravitationpotential [ m2 ] 2 G Gravitationkontante = [ m3 ] kg Fluchtgechwindigkeit Die Bahn it eine Parabel v F = 2 Gm Z r 0 v F = 2v K v F Fluchtgechw. [ m ] 2 v K Kreibahnge- [ m ] 2 chwindig- keit m Z m- [kg] Zentralmae r 0 Abtand [m] G Gravitationkontante = [ m3 ] kg Geotationäre Bahn Ein geotationärer Satellit cheint von der Erde au geehen till zu tehen. r = 3 GmP t 2 r Bahnradiu [m] 4π 2 m P m-planet [kg] t Umlaufzeit [] G Gravitationkontante = [ m3 kg 2 ] 28

43 4.9 Rotation und Maenträgheitmoment 4.9 Rotation und Maenträgheitmoment F t F r F x l M = F t l = Fr in(ϕ) M = J dω dt = Jα J = m i ri 2 i Satz von Steiner: J A = J S + md 2 M Drehmoment [Nm] F Kraft [N] F t F-tangential [N] l Hebelarm [m] J Maenträgheitmoment [kgm 2 ] J A J bez. Ache A [kgm 2 ] J S J bez. Schwp [kgm 2 ] ω Winkelgechw. [ rad] t Zeit [] d Abt. Drehp. [m] Maenträgheitmoment bei Getriebe J 1 i J 1 = J 2 n 1 Getriebe J 2 n 2 η G J 1 = J 2 η G i 2 ( ω2 ω 1 ) 2 = J 2 η G ( ) 2 n2 n 1 J Maenträgheit[kgm 2 ] ω Winkelgechw. [ rad] n Drehzahl [1] i Überetzung [1] 29

44 4 Dynamik Maenträgheitmomente oft verwendeter Körper r Ache Allgemein: J = Vollzylinder: J = mr2 2 r 2 dm J Maenträgheitmoment [kgm 2 ] m Mae [kg] r Radiu [m] a, b Seite [m] l Länge [m] r i r a Ache Hohlzylinder: J = m(r2 a + r 2 i ) 2 r Kugel: J = 2 5 mr2 a b Ache l Ache Quader: J = m(a2 + b 2 ) 12 Stange: J = ml2 12 Ache Kreicheibe: r J = mr2 4 = md

45 5 Mechanik deformierbarer Körper 5.1 Druck A F F F p = F A τ = F A p Druck [Pa] F Kraft [N] A Fläche [m 2 ] τ Schubpannung [Pa] Aboluter Druck Überdruck p = p p 0 F i F a A p F = F i F a 0 F = pa p 0 A p Druck [Pa] p 0 Auendruck = 1, [Pa] F i, F a Kraft innen, [N] auen A Fläche [m 2 ] 5.2 Kompreion p 2, ρ 2, V 2 p 1, ρ 1 V 1 F1 F2 Ideale Fluide ind inkompreibel und reibungfrei, Gae können zuammengedrückt werden. κ = 1 V K = 1 κ V p ideale Ga: pv = kont. p 1 V 1 = p 2 V 2 κ Kompreibilität [ 1 ] Pa K Kompreionmodul [Pa] p Druck [Pa] V Volumen [m 3 ] ρ Dichte [ kg ] m 3 31

46 5 Mechanik deformierbarer Körper 5.3 Hydrotatik Schweredruck A A p + dp p Foben Funten h + dh h dp = ρ g dh (h poitiv nach oben) Bei Flüigkeiten: p = ρgh + p 0 p 0 = p(h) ρ 0 ρ(h) Bei Gaen: p = p 0 e ρ 0 p 0 gh (h poitiv nach unten) p Druck [Pa] p 0 Druck bei h = 0 [Pa] ρ Dichte [ kg ] m 3 ρ 0 Dichte bei h = [ kg ] m 3 0 h Höhe [m] g Erdbechleunigung [ m ] 2 = Staticher Auftrieb FA FG F A = ρ Fl V K g ρ K V K g F A = m Fl g m K g F A = Aρ Fl g h F A Auftriebkraft [N] ρ Fl Dichte Fluid [ kg ] m 3 ρ K Dichte Körper [ kg ] m 3 m Fl Mae Fluid [kg] m K Mae Körper [kg] A Fläche Körper [m 2 ] g Erdbechleunigung [ m ] 2 = Druckwandler p 2 A 1 A 2 p 1 p1 = A 2 p Druck [Pa] p 2 A 1 A Fläche [m 2 ] Kraftwandler F2 A2 A1 F1 F 1 F 2 = A 1 A 2 F Kraft [N] A Fläche [m 2 ] 32

47 5.3 Hydrotatik Druckmeung Manometer p 2 p 1 h ρ p = p 1 p 2 p = ρg h p Druck [Pa] h Höhe [m] ρ Dichte [ kg ] m 3 Aboluter Druck p = 0 p p a = ρg h p Druck [Pa] h Höhe [m] h ρ Dichte [ kg ] 3 g Erdbechl. = [ m ] ρ Staticher Druck (Druck auf Rohrwand) p 1 v p tat h p tat = p 1 + ρg h Fall oben offen: p 1 = p 0 p Druck [Pa] p 0 Auendruck [Pa] = h Höhe [m] ρ Dichte [ kg ] 3 g Erdbechl. = [ m ] Dynamicher Druck v h p ge = ρg h p Druck [Pa] h Höhe [m] ρ Dichte [ kg g Erdbechl. = 9.81 m 3 ] [ m 2 ] 33

48 5 Mechanik deformierbarer Körper Geamtdruck v h p dyn = ρg h Strömgechwindigkeit: 2p dyn v = ρ p Druck [Pa] h Höhe [m] ρ Dichte [ kg ] 3 g Erdbechl. = [ m ] v Gechw. [ m] Druckdifferenzen v 1 p 1 p 2 v 2 h Venturirohr p = p 1 p 2 p = ρg h Strömgechwindigkeit: 2 p v 1 = [ ( ) ] 2 A 1 A 2 1 ρ p Druck [Pa] h Höhe [m] A Fläche [m 2 ] ρ Dichte [ kg ] 3 g Erdbechl. = [ m ] v Gechw. [ m] Grenzflächeneffekte Oberflächenpannung Pipette l FG Draht F FG σ = F l σ = W A Kraft um Draht zu heben: F = 2σl + m Drath g σ Oberflächenpannung [ N ] m F Kraft [N] l Länge [m] A Kontaktfläche [m 2 ] W Arbeit [J] g Erdbechl. = 9.81 [ m ] 2 34

49 5.3 Hydrotatik Grenzflächenpannung Flüigkeit auf Fetkörper Benetzung: ϕ σ lg σ l nicht Benetzung: σ lg ϕ σ g σ l σ g Flüigkeit auf Flüigkeit σ lg ϕ σ 2g σ 12 Benetzung: ϕ < 90 Nicht Benetzung: ϕ > 90 Flüigkeit auf Fetkörper co(ϕ) = σ g σ l σ lg Flüigkeit auf Flüigkeit co(ϕ) = σ 2 2g σ 2 lg σ 2 2σ lg σ l2 ϕ Kontaktwinkel [rad] σ Zugpannung [ N ] m σ l σ fet, flüig [ N ] m σ σ fet, Ga [ N ] m σ σ flüig, Ga [ N ] m Kapillarität Benetzung: σ g σ l ϕ σ lg Röhrchen: Nicht Benetzung: ϕ σ g σ l σ lg h = 2σ ρgr σ Zugpannung [ N ] m h Höhe [m] r Radiu [m] ρ Dichte [ kg ] 3 g Erdbechl. = [ m ] ρ 2r h 35