Beurteilende Statistik

Transkript

1 Beurteilende tatistik igma-regeln Binomialverteilung n = 200 p = 0.7 μ = n p = 140 σ = np(1 p) 6,48 > 3 P(μ σ X μ + σ) 0,680 P(μ 2σ X μ + 2σ) 0,955 P(μ 3σ X μ + 3σ) 0, *.07 TO M 2nd ( 200 * 0.07 * 0.3 ) TO Überprüfung dieser Angaben mit TR anhand dieser Beispieldaten. B(200;0,7; abgerundet(μ+σ)) - B(200;0,7; abgerundet(μ-σ)) Umgekehrt findet man den Radius des Intervalls mit dem TR durch Probieren: P(μ c σ X μ + c σ) = 0,5 c 0,68 P(μ c σ X μ + c σ) = 0,9 c 1,64 P(μ c σ X μ + c σ) = 0,95 c 1,96 P(μ c σ X μ + c σ) = 0,99 c 2,58 Hypothesentest (Ja-Nein) Binomialverteilung Linksseitiger Test Entscheidung anhand einer tichprobe, ob eine Wahrscheinlichkeit kleiner ist als die vermutete. Hypothese H 0 : p = 0,70 (p 0,70) Alternative H 1 : p < 0,70 tichprobenumfang n = 200 tichprobenergebnis 135 linksseitiger Test: sehr kleine Werte sprechen gegen H 0 Wenn das tichprobenergebnis im Annahmebereich liegt, wird die Hypothese beibehalten. (Andernfalls wird sie verworfen und die Alternative H 1 akzeptiert.)

2 durch Probieren herausfinden: P(X 128) 0.05 P(X 129)>0.05 [129; 200] enthält das tichprobenergebnis 135, deshalb wird die Hypothese beibehalten. Binomialverteilung binomcdf(200,.7,130) binomcdf(200,.7,{127, 128, 129}) Bestimmung der ganzzahligen Grenzen näherungsweise mit Normalverteilung möglich; denn μ = n p = 140 σ = np 1 p 6,48 > 3 P(X 129,3) ,3 0,5 = 128,8 Der Annahmereich beginnt bei der nächstgrößeren ganzen Zahl [128,8]+1 = = 129 [129; 200] enthält das tichprobenergebnis 135, deshalb wird die Hypothese beibehalten. [μ-1,64 σ; n] [129,37; 200] enthält das tichprobenergebnis 135, deshalb 200 *.7 TO M ( 200 *.7 *.3 ) TO DITR 3:invNorm(.05, M, ) MATH NUM 5:int( AN -.5 ) *.7 TO M ALPHA M 1.96 * ALPHA... + ENTER

3 Linksseitiger Test, Fehler 1. Art, Fehler 2. Art ist [129; 200]. B 200; 0,7 (X 128) 0,0396 Für den Fall, dass p=0,6 ist, kann der Fehler 2. Art B 200; 0,6 (X 129) = 1 B 200; 0,6 (X 128) 0,1094 berechnet werden. Hypothesentest (Ja-Nein) Binomialverteilung - Rechtsseitiger Test Entscheidung anhand einer tichprobe, ob eine Wahrscheinlichkeit größer ist als die vermutete Hypothese H 0 : p = 0,06 (p 0,06) Alternative H 1 : p > 0,06 tichprobenumfang n = 200 tichprobenergebnis 22 rechtsseitiger Test: sehr große Werte sprechen gegen H 0 durch Probieren herausfinden: P(X 17) 0.95, also P(X>17) > 0,05 P(X 18) > 0.95, also P(X>18) 0,05 [0; 18] enthält das Binomialverteilung binomcdf(200,.6,17) binomcdf(200,.6,18) Bestimmung der ganzzahligen Grenzen näherungsweise mit Normalverteilung möglich; denn μ = n p = 12 σ = np 1 p 3,36 > 3 P(X 17,52) ,52 + 0,5 = 18,02 Der Annahmereich endet bei der ganzen Zahl [18,02] = 18 [0; 18] enthält das [0; μ-1,64 σ] [0; 17,51] enthält das 200 *.06 TO M 2nd ( 200 * 0.06 * 0.94 ) TO DITR 3:invNorm(.95, M, ) MATH NUM 5:int( AN +.5 ) 200 *.06 TO M 2nd ( 200 * 0.06 * 0.94 ) TO E 1.64 *

4 Rechtsseitiger Test, Fehler 1. Art, Fehler 2. Art ist [0; 18]. B 200; 0,06 (X>18) = 1 B 200; 0,06 (X 18) 0,0328. Für den Fall, dass p=0,11 ist, kann der Fehler 2. Art B 200; 0,11 (X 18) 0,22 berechnet werden. Alternativtest, Fehler 1. Art, Fehler 2. Art - Binomialverteilung Entscheidung für eine von zwei Wahrscheinlichkeiten anhand einer tichprobe Hypothese H 0 : p = 0,6 (p 0,6) Alternative H 1 : p = 0,8 tichprobenumfang n = 50 Willkürliche Entscheidungsregel: Wenn das tichprobenergebnis 36 ist, wird H 0 angenommen. ist [0; 36]. Die Wahrscheinlichkeit, dass man H 0 fälschlich ablehnt (Fehler 1. Art), ist B 50; 0,6 (X>36) = 1 B 50; 0,6 (X 36) 0,028. Die Wahrscheinlichkeit, dass man H 0 fälschlich annimmt (Fehler 2. Art), ist B 50; 0,8 (X 36) 0,11. Hypothesentest (Ja-Nein) Binomialverteilung - Zweiseitiger Test Bestätigung einer vermuteten Wahrscheinlichkeit durch ein tichprobenergebnis Hypothese H0: p = 0,55 Alternative H1: p 0,55 ignifikanznineau tichprobenumfang n = 900 tichprobenergebnis 512 durch Probieren herausfinden: P(X 465) P(X 466)>0.025 P(X 523) 0.975, also P(X>523)>0,025 P(X 524)>0.975, also P(X>524) 0,025 [466; 524] enthält das tichprobenergebnis 512, deshalb Binomialverteilun binomcdf(900,.55,470) binomcdf(900,.55,{465, 466,467}) binomcdf(900,.55,{521, 522,523})...

5 Bestimmung der ganzzahligen Grenzen näherungsweise mit Normalverteilung möglich; denn μ = n p = 495 σ = np 1 p 14,92 > 3 P(X 465,75) ,75 0,5 = 465,25 Der Annahmereich beginnt bei der nächstgrößeren ganzen Zahl [465,25]+1 = = 466 P(X 524,25) ,25 + 0,5 = 524,75 Der Annahmereich endet bei der ganzen Zahl [524,75] = 524 [466; 524] enthält das tichprobenergebnis 512, deshalb [μ-1,96 σ; μ+1,96 σ] [465,75; 524,25] enthält das tichprobenergebnis 512, deshalb wird die Hypothese beibehalten. Eventuell noch vornehmen. 900 *.55 TO M 2nd ( 900 *.55 *.55 ) TO DITR 3:invNorm(.025, M, ) MATH NUM 5:int( AN -.5 ) + 1 DITR 3:invNorm(.975, M, ) MATH NUM 5:int( AN +.5 ) 900 *.55 TO M 2nd ( 900 *.55 *.55 ) TO M 1.96 * M * Zweiseitiger Test, Fehler 1. Art, Fehler 2. Art ist [466; 524]. B 900; 0,55 (X 465) + B 900; 0,55 (X 524) = B 900; 0,55 (X 465) + 1 B 900; 0,55 (X 523) 0,0521 Für den Fall, dass p=0,6 ist, kann der Fehler 2. Art B 900; 0,6 (466 X 524) = B 900; 0,6 (X 524) B 900; 0,6 (X 465) 0,1458 berechnet werden.