6 Geraden Seite 1 von 7. 6 Geraden

Transkript

1 6 Geraden Seite 1 von 7 6 Geraden Der vorangehende Paragraph 5 hat zwei Mengen von Objekten in das Zentrum der Überlegungen gestellt. Die erste Menge S ist die Menge der Symmetrieachsen. Zur Erinnerung: Eine Symmetrieachse wird durch zwei voneinander verschiedene Punkte A und B erzeugt; zu ihr gehören alle Punkte P, die die Bedingung d(p, A) = d(p, B) erfüllen. Die zweite Menge G ist die Menge der geometrischen Objekte, die sich durch eine Gleichung der Form ax + by = c beschreiben lassen, wobei a, b und c feste relle Zahlen sind. x und y stehen wie bei allen Objektgleichungen für die Koordinaten eines beliebigen Punktes P, für den die Objektzugehörigkeit zu entscheiden ist. Damit wenigstens eine Koordinatenvariable erhalten bleibt, wird vorausgesetzt, dass nicht a und b gleichzeitig gleich 0 sein dürfen. Der Satz über die Zwei-Punkte-Gleichung einer Symmetrieachse besagt nichts anderes, als dass jedes Objekt aus der Menge S auch gleichzeitig zur Menge G gehört. S ist diesem Satz zufolge eine Teilmenge von G. Im Anhang von 5 wurde darüberhinaus gezeigt, dass jedes Objekt aus der Menge G auch zu S gehören muss. Also ist die Menge G umgekehrt auch eine Teilmenge von S. Symmetrieachsen Zwei Mengen können aber nur dann wechselseitig Teilmengen voneinander sein, wenn sie in Wahrheit identisch sind. Also gilt G = S. Das Ergebnis des Anhangs kann auch wie folgt formuliert werden: Außerhalb der Menge S gibt es keine weiteren Objekte in der Menge G. Auf dieser gedanklichen Grundlage ist es nun relativ einfach, den Begriff Gerade zu definieren; denn anschaulich ist uns ja völlig klar, was wir uns unter einer Geraden vorzustellen haben. Diese Vorstellung kann man (ausschnittsweise) gut realisieren, indem man ein Blatt Papier faltet. Durchstechen wir nun aber das gefaltete Papier mit einer Nadel (oder einem spitzen Bleistift), so markieren wir zwei Punkte, von denen die Faltlinie die Symmetrieachse ist. Das bedeutet aber, dass anschaulich zwischen Geraden und Symmetrieachsen kein Unterschied besteht. Jede Gerade ist eine Symmetrieachse und jede Symmetrieachse ist eine Gerade. Wie wir oben noch einmal zusammenfassend erläutert haben, sind aber die Symmetrieachsen genau diejenigen Objekte, die sich durch eine Gleichung der Form ax + by = c beschreiben lassen, wenn nur a oder b von 0 verschieden ist. Deshalb definieren wir: Definition: Eine Punktmenge g in der geometrischen Modellebene heißt Gerade, wenn sie durch eine Gleichung der Form ax + by = c beschrieben werden kann, in der wenigstens einer der Koeffizienten a oder b von 0 verschieden ist. Eine Begriffsbildung ist nur dann gut, wenn nicht nur ein gedanklich stimmiger Weg zur Definition des Begriffs gefunden wird, sondern sich auch herausstellt, dass der definierte Begriff die erwarteten Eigenschaften hat. Die erste Prüfung, die der Begriff Gerade bestehen muss, ist durch das erste Euklidischen Geradenaxiom vorgegeben. Wir untersuchen die folgende Frage an einem Beispiel: * Gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten A und B eine, aber auch nur eine Gerade, die durch diese Punkte verläuft? S = Objekte mit einer Gleichung der Form ax + by = c G

2 6 Geraden Seite 2 von 7 Beispiel Gleichung einer Geraden durch zwei vorgegebene Punkte Gegeben sind die Punkte A = ( 6; -3) und B = (2; 3). Gesucht ist eine Gerade g: ax + by = c, deren Gleichung von den Koordinaten der Punkte A und B erfüllt wird (Existenzproblem). Ist eine Gerade g gefunden, so ist nachzuprüfen, ob es noch eine zweite Gerade mit dieser Eigenschaft gibt (Eindeutigkeitsproblem). Lösung: Man muss sich zunächst klar machen, dass sich zwei Geradengleichungen nur durch die Koeffizienten a, b und c voneinander unterscheiden. Die Variablen x und y kommen in jeder Geradengleichung vor, weil diese ja die Einsetzstellen für die Punktprobe (x;y) g markieren. [Zur Erinnerung: Der Zweck einer Gleichung eines geometrischen Objekts besteht darin, für jeden Punkt (x; y) der Modellebene entscheiden zu können, ob er dem geometrischen Objekt angehört.] Es geht daher darum, die Werte für die Koeffizienten a, b und c so zu bestimmen, dass die Koordinaten der Punkte A und B das Zugehörigkeitskriterium ax + by = c erfüllen. Es gilt A g 6a 3b = c und B g 2a + 3b = c. Zu lösen ist also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in drei Variablen: (1) 6a 3b = c (2) 2a +3b = c (2) - (1) 8a + 6b = 0 8a = 6b a = 3 4 b (3) (3) (1) 6 ( 3 4 b) 3b = c 9 2 b 6 2 b = c c = 3 2 b (4) Die Gleichungen (3) und (4) deuten an, dass das Problem mehrere Lösungen zu haben scheint. Wird b aus \ 0 { } beliebig gewählt, so können a und c passend bestimmt werden. Wählen wir beispielsweise b := 4, so erhalten wir aus (3) a = 3 und aus (4) c = 6. g: 3x + 4y = 6 müsste daher eine Gerade sein, die durch die Punkte A und B verläuft. Tatsächlich ergibt die Probe: A g 3 ( 6) + 4 ( 3) = = 6 6 = 6 [wahr] B g = = 6 6 = 6 [wahr] An dieser Stelle ist das Existenzproblem gelöst. Wir haben eine Gerade gefunden, die die vorgegebenen Punkte A und B enthält. Und die Lösung lässt sogar erkennen, dass sie auf jedes Paar von verschiedenen Punkten übertragen werden kann. Wir werden diesem Gedanken durch eine allgemeine Untersuchung des Problems nachgehen. Zur Lösung des Eindeutigkeitsproblems ist nachzuprüfen, ob die auf dem vorgestellten Lösungsweg erzielten Gleichungen (3) und (4), die sich aus den Bedingungen A g und B g zwangsläufig ergeben haben, wirklich verschiedene Lösungen zulassen. Wählen wir b := 8, so erhalten wir aus (3) a = 6 und aus (4) c = 12. h: 6x 8y = 12 müsste daher ebenfalls eine Gerade sein, die durch die Punkte A und B verläuft. Der Leser kann die Probe selbst durchführen und bestätigen, dass die Behauptung stimmt. Für alle Zahlen x und y gilt jedoch: 3x + 4y = 6 6x 8y = 12 Die Gleichung der Geraden h kann aus der Gleichung der Geraden g gewonnen werden, indem beide Seiten der Gleichung mit 2 multipliziert werden. Aus der Algebra wissen wir, dass eine solche beidseitige Multiplikation mit einem von 0 verschiedenen Faktor eine Äquivalenzumformung ist, die die Lösungsmenge nicht verändert. Ein Punkt (x; y) gehört also genau dann zu g, wenn er zu h gehört. Die Geraden g und h sind identisch (d.h. stimmen punktweise überein), weil ihre Zugehörigkeitskriterien algebraisch äquivalent sind!

3 6 Geraden Seite 3 von 7 Dieser Sachverhalt nährt den Verdacht, dass jede andere Wahl von b auch nur auf eine Gleichung führt, die zu der Gleichung 3x + 4y = 6 äquivalent ist, solange nur b 0 vorausgesetzt wird. Wir bestätigen diese Vermutung, indem wir b nicht durch eine Zahl ersetzen, sondern für a und c die Terme verwenden, die von der Gleichung (3) und (4) vorgeschrieben werden: 3 4 b x + by = 3 2 b Da b 0 vorausgesetzt ist, dürfen beide Seiten der Gleichung durch b geteilt werden. Anschließend multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 6: 3 4 b x + by = 3 2 b 3 4 x + y = 3 3x + 4y = 6 2 Damit ist klar, dass jede Wahl von b auf eine Gleichung führt, die zur Gleichung von g äquivalent ist. Es gibt deswegen nur eine Gerade, die durch die Punkte A und B verläuft. Im Anhang zu diesem Paragraphen wird Schritt für Schritt gezeigt, wie die am Beispiel gewonnenen Erkenntnisse verallgemeinert werden können. Hier stellen wir nur die Ergebnisse zusammen, die bei diesem Verallgemeinerungsprozess gewonnenen werden. Theorem (1. Euklidisches Geradenaxiom) Durch zwei verschiedene Punkten A und B verläuft genau eine Gerade. Das Theorem berechtigt uns, folgende Vereinbarung zu treffen: Definition Gegeben seien zwei verschiedene Punkte A und B. Dann wird die durch A und B eindeutig bestimmte Gerade mit AB bezeichnet. Wie im wegweisenden Beispiel wird beim Beweis des Theorems zunächst das Existenz- und dann das Eindeutigkeitsproblem gelöst. Es wird sich beim weiteren Aufbau der Analytischen Geometrie zeigen, dass es sich lohnt, die Ergebnisse der beiden Lösungsabschnitte separat festzuhalten. Die Lösung des Existenzproblems liefert eine Formel für die Gleichung einer durch zwei Punkte gegebenen Geraden. Zwei-Punkte-Gleichung einer Geraden Gegeben seien zwei verschiedene Punkte A = x A ;y A Dann hat die Gerade AB die Gleichung: ( )(y y A ) = (y B y A )(x x A ) ( ) und B = B = ( x B ; y B ). Für die Lösung des Eindeutigkeitsproblems treffen wir folgende Vereinbarung: Definition Zwei Geraden g 1 und g 2 heißen identisch, wenn sie als Punktmengen übereinstimmen 1, d.h. ein Punkt P = (x; y) der Modellebene genau dann zu g 1 gehört, wenn er zu g 2 gehört. Sind g 1 und g 2 identisch, so schreiben wir g 1 = g 2. Aus der Lösung des Eindeutigkeitsproblems ergibt sich einerseits der folgenden Identitätssatz: 1 Eigentlich ist diese Vereinbarung überflüssig, weil hier nur noch einmal für einen speziellen Fall die Gleichheit (bzw. Identität) von Mengen erläutert wird: Zwei Mengen M 1 und M 2 sind gleich (bzw. identisch), wenn sie elementweise übereinstimmen, das heißt, ein Element x genau dann zu M 1 gehört, wenn es zu M 2 gehört.

4 6 Geraden Seite 4 von 7 Identitätssatz für Geraden Besitzen zwei Geraden g 1 und g 2 zwei verschiedene gemeinsame Punkte A und B, so sind sie bereits identisch. Andererseits wird deutlich, dass identische Geraden an ihren Gleichungen erkannt werden können: Satz über die Gleichungen identischer Geraden Zwei Geraden g 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 und g 2 : a 2 x + b 2 y = c 2 sind genau dann identisch, wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl t gibt, die die folgenden drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt: (1) t a 1 = a 2 (2) t b 1 = b 2 (3) t c 1 = c 2 Das bedeutet aber, dass Geraden genau dann identisch sind, wenn die Gleichung einer der beiden Geraden durch eine einfache Multiplikation beider Gleichungsseiten mit demselben Faktor t aus der Gleichung der anderen gewonnen werden kann: a 1 x + b 1 y = c 1 t ta 1 x + tb 1 y = tc 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Übungen zu 6 Übung 6.1 Trage in ein Koordinatensystem die Punkte A und B ein und zeichne die Gerade AB. Bestimme durch Aufstellen eines Gleichungssystems eine Gleichung des Typs ax + by = c von AB. Stelle dann mit Hilfe der Formel die Zwei-Punkte-Gleichung der Geraden AB auf und zeige, dass diese zu der über ein Gleichungssystem gewonnenen Gleichung äquivalent ist. Trage die Punkte P und Q in die Zeichnung ein und prüfe durch Punktproben, ob sie ebenfalls zur Geraden AB gehören. (a) A = ( 2; 3), B = (6; 3) P = ( ; 2 ),Q = ( ;5 1 2 ) ( ) (b) A = ( 5; 4), B = (10; 2) P = (7,8; 1,2), Q = Q = ; 3 (c) A = (6; 7), B = ( 3; 7) P = (7; 6), Q = ( 6; 7) (d) A = ( 4; 6), B = ( 4; 8) P = (7; 4), Q = ( 4; 7) Übung 6.2 Zeige, dass die Zwei-Punkte-Gleichung im Falle x A = x B eine vertikale Gitterlinie und im Falle y A = y B eine horizontale Gitterlinie liefert. Übung 6.3 Notiere zu der gegebenen Geraden jeweils zwei weitere Gleichungen, die sie ebenfalls beschreiben. (a) g: 12x + 42y = 78 (b) v: 2x = 7 (c) h: 4 3y = 0 Übung 6.4 Untersuche für die in der Übung 6.3 gegebenen Geraden, ob sie sich durch Gleichungen der Form (1) y = mx + n (2) x = my + n (3) x p + y q =1 darstellen lassen.

5 6 Geraden Seite 5 von 7 Übung 6.5 Untersuche, ob die Geraden g und h identisch sind. Stelle eine Behauptung auf und begründe diese. Beachte, dass die Begründungen für die Behauptungen g und h sind identisch bzw. g und h sind nicht identisch strukturell verschieden voneinander sind: Im ersten Fall ist die Äquivalenz zweier Gleichungen nachzuweisen, im zweiten Fall ist wenigstens ein Punkt zu finden, der nicht gleichzeitig beide Gleichungen erfüllt. (a) g: 4x 12y = 6 h: 10x + 30y = 15 (b) g: x = 9 + 5y h: y = 9 + 2x 2 5 (c) g: 3x 5 = 0 h: 5x = 3 (d) g: 2y = 17y 5 h: 3 + 7y = 11y 9 (e) g: 2(y 11) = x h: 2y x = 11 (f) g = m AB mit A = ( 2; 3), B = (7; 3) h = m CD mit C = (2; 4), D = ( 1; 2) (g) g = AB mit A = ( 5; 3), B = ( 11; 5) h = CD mit C = ( 1; 1), D = (9; 3) (h) g = m AB mit A = ( 9; 2), B = (7; 10) h = CD mit C = ( 1; 4), D = (2; 0) Anhang zu 6: Der Beweis des 1. Euklidischen Geradenaxioms Im Rahmen der klassischen Euklidischen Geometrie ergibt ein Beweis eines Geradenaxioms natürlich keinen Sinn, denn die Axiome bilden ja das nicht zu hinterfragende Fundament, auf der die Theorie aufgebaut wird. Es kann allenfalls der Frage nachgegangen werden, ob die formulierten Axiome widerspruchsfrei sind, sich also aus ihnen keine einander widersprechenden Folgerungen ableiten lassen. Die Analytische Geometrie wird aber nicht auf den Euklidischen Geradenaxiomen aufgebaut. Stattdessen wird per definitonem festgelegt, was ein Punkt (geordnetes Paar reeller Zahlen) und eine Gerade (Menge der Punkte, deren Koordinaten eine bestimmte Gleichung erfüllen) sein sollen. Dieser neue Ansatz für eine geometrische Theorie ist aber nur dann sinnvoll, wenn die Axiome der klassischen Theorie wahr bleiben. Andernfalls wäre die Analytische Geometrie als Modell unbrauchbar! Aus diesem Grund nehmen die Ausführungen in diesem Anhang eine Schlüsselstellung für die gesamte Analytische Geomtrie ein. Lösung des Existenzproblems Zu je zwei verschiedenen Punkten A und B gibt es (wenigstens) eine Gerade, die durch diese Punkte verläuft. Beweis: ( ) und B = B = ( x B ; y B ). Wir prüfen, ob es Koeffizienten a, b und c gibt, so dass Gelte A = x A ;y A die Gleichung ax + by = c durch die Koordinaten der Punkte A und B erfüllt wird: A g a x A + b y A = c (1) B g a x B + b y B = c (2) Da die Punkte A und B verschieden sein sollen, muss x A x B oder y A y B gelten. Wir nehmen o.b.d.a. an, dass x A x B richtig sei. Durch Subtraktion der Gleichung (1) von (2) erhalten wir dann: ( )a + ( y B y A )b = 0 a = y B y A b (3) [Wäre x A = x B, so würde die vorangehende Gleichung nach b aufgelöst!]

6 6 Geraden Seite 6 von 7 Setzen wir die Gleichung (3) in die Gleichung (1) ein, ergibt sich: y B y A b x A + b y A = c c = ( y B y A )x A + ( )y A b (4) Die Gleichungen (3) und (4) zeigen, dass die Koeffizienten a und c durch b festgelegt sind. Der Koeffizient b darf offenbar frei gewählt werden. Aus Gründen der algebraischen Einfachheit wählen wir b := x A x B und bestimmen die dazu passenden Koeffizienten a und c: a = y B y A ( ) = ( y B y A ) c = ( y B y A )x A + ( )y A ( ) = ( y B y A )x A + ( )y A Damit ergibt sich folgende Geradengleichung: ( y B y A )x + ( )y = ( y B y A )x A + ( )y A ( )( y y A ) = ( y B y A )( x x A ) Wie durch zwei Punktproben sofort gezeigt werden kann, erfüllen die Koordinaten der Punkte A und B die Gleichung ( )( y y A ) = ( y B y A )( x x A ) auch dann, wenn ihre Abszissen x A und x B übereinstimmen. Mit Hilfe der gefundenen Gleichung kann also immer eine Gerade angegeben werden, die durch zwei vorgegebene voneinander verschiedene Punkte A und B verläuft. Lösung des Eindeutigkeitsproblems Zu je zwei verschiedenen Punkten A und B gibt es keine zwei verschiedenen Geraden, die durch diese Punkte verlaufen. Beweis: Gelte wieder A = x A ;y A ( ) und B = B = ( x B ; y B ). g 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 und g 2 : a 2 x + b 2 y = c 2 seien zwei Geraden, die A und B enthalten. Aus dem Existenzbeweis entnehmen wir, dass dann gefolgert werden kann, dass die Koeffizienten beider Geradengleichungen in gleicher Weise die folgenden Gleichungen (3) und (4) erfüllen müssen. (3) a 1 = y B y A b 1 a 2 = y B y A b 2 (4) c 1 = (y B y A )x A + ( )y A b 1 c 2 = (y B y A )x A + ( )y A b 2 Aus diesen Gleichungen folgt sofort, dass a 1 = a 2 und c 1 = c 2 gelten muss, falls b 1 = b 2 gilt. Ist b 1 b 2, so ist entweder b 1 oder b 2 von 0 verschieden. Gelte o.b.d.a. b 1 0. Setzen wir t := b 2 b 1, so erhalten wir b 2 = t b 1, aus Gleichung (3) a 2 = t a 1 und aus Gleichung (4) c 2 = t c 1. Das bedeutet aber, dass die Koeffizienten der Gleichung von g 2 durch Multiplikation mit derselben Zahl t aus den Koeffizienten der Gleichung von g 1 hervorgehen.

7 6 Geraden Seite 7 von 7 Die Gleichung von g 1 kann daher durch eine Äquivalenzumformung aus der Gleichung von g 2 gewonnen werden. Beide Gleichungen werden also durch dieselben Zahlenpaare (x; y) erfüllt. g 2 und g 1 sind identisch. Folgende Umformulierung der Eindeutigkeitsaussage ist von weitreichender Bedeutung: Identitätssatz für Geraden Besitzen zwei Geraden g 1 und g 2 zwei verschiedene gemeinsame Punkte A und B, so sind sie bereits identisch. Der Eindeutigkeitsbeweis deutet an, dass identische Geraden an ihren Gleichungen erkannt werden können: Satz über die Gleichungen identischer Geraden Zwei Geraden g 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 und g 2 : a 2 x + b 2 y = c 2 sind genau dann identisch, wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl t gibt, die die folgenden drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt: (1) t a 1 = a 2 (2) t b 1 = b 2 (3) t c 1 = c 2 Beweis: : : Zu dieser Beweisrichtung ist nichts zu zeigen. Sind g 1 und g 2 identische Geraden, so haben sie unendlich viele verschiedene gemeinsame Punkte. Seien A und B zwei dieser Punkte; dann sind g 1 und g 2 zwei Geraden, die durch die Punkte A und B verlaufen. Im Eindeutigkeitsbeweis wird gezeigt, dass es eine reelle Zahl t mit der gewünschten Eigenschaft gibt. Übung zum Anhang von 6 Übung 6.6* In der Herleitung der Zwei-Punkte-Gleichung wird gleich zu Anfang aus der Voraussetzung A B gefolgert, dass eine der beiden Annahmen x A x B oder y A y B gelten muss, und dann unter der Annahme, dass x A x B gilt, die Herleitung durchgeführt. Zeige, dass auch die Annahme y A y B zur Zwei-Punkte-Gleichung führt!