Moderne Portfoliotheorie

Transkript

1 ortfoliooptimierung nach Markowitz Moderne ortfoliotheorie Carlos Nasher Universität Hamburg Hamburg, 12. Mai 2009

2 ortfoliooptimierung nach Markowitz Moderne ortfoliotheorie 1. Theoretische Grundlagen 2. Empirische Untersuchung

3 Das Markowitz-Modell bewertet ein ortfolio ausschließlich anhand von Rendite und Risiko Modellannahmen Anleger verhalten sich risikoavers Investitionsobjekte sind beliebig teilbar Keine Berücksichtigung von Transaktionskosten und Steuern lanungszeitraum beträgt eine eriode Bewertungskriterien sind erwartete Rendite und erwartetes Risiko (Standardabweichung der Rendite) Für jedes Asset sind der Rendite-Erwartungswert, die Rendite- Varianz sowie sämtliche Korrelationen mit den übrigen Assets bekannt 3

4 Die statischen Kennzahlen eines ortfolios sind die erwartete ortfoliorendite und die ortfoliovarianz Statistische Kennzahlen eines ortfolios Erwartete ortfoliorendite: ortfoliovarianz: n w i i i1 n n wi i 2 wiw j ij i1 i1 i j n n i1 j1 ww i j ij 4

5 Die statistischen Kennzahlen eines ortfolios lassen sich in einem Rendite-Risiko Diagramm darstellen Rendite-Risiko Diagramm 5

6 Unterschiedliche Gewichtungen der Assets innerhalb des ortfolios ergeben verschiedene Rendite-Risiko Kombinationen Rendite-Risiko Diagramm (3 Allokationen) 6

7 Unterschiedliche Gewichtungen der Assets innerhalb des ortfolios ergeben verschiedene Rendite-Risiko Kombinationen Rendite-Risiko Diagramm (23 Allokationen) 7

8 Unterschiedliche Gewichtungen der Assets innerhalb des ortfolios ergeben verschiedene Rendite-Risiko Kombinationen Rendite-Risiko Diagramm (500 Allokationen) 8

9 Unterschiedliche Gewichtungen der Assets innerhalb des ortfolios ergeben verschiedene Rendite-Risiko Kombinationen Rendite-Risiko Diagramm (5000 Allokationen) 9

10 Für gegebene Assets ergibt sich ein Rand erreichbarer Rendite- Risiko Kombinationen Rendite-Risiko Diagramm 10

11 Unter den Modellannahmen ergibt sich ein "effizienter Rand" auf dem alle optimalen ortfolios liegen Rendite-Risiko Diagramm 11

12 Optimale ortfolios lassen sich mithilfe eines Optimierungsansatzes finden Definition des Optimierungsproblems in Summendarstellung n n 2 ww i jij i1 j1 min! Unter den Nebenbedingungen: n w w 1 i i i i1 i1 n 12

13 Optimale ortfolios lassen sich mithilfe eines Optimierungsansatzes finden Definition des Optimierungsproblems in Matrizendarstellung 2 T w w min! Unter den Nebenbedingungen: w = Matrix der Anteilsgewichte (nx1) = Varianz-Kovarianz Matrix = Erwartungswertvektor = Vektor mit n Einsen w T T w 1 13

14 Die Berechnung anhand von Summenzeichen erfordert eine explizite Summierung der einzelnen Terme Summendarstellung für den 2 Asset Fall ww i jij i1 j1 2 w1w1 11 w2w2 22 w1w2 12 w2w1 21 w w 2w w

15 Das Falk'sche Schema bietet eine einfache Möglichkeit zur Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation für den 2 Asset Fall 2 T w w Falk sches Schema T w w w w w w w

16 Das Falk'sche Schema bietet eine einfache Möglichkeit zur Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation für den 2 Asset Fall 2 T w w Falk sches Schema T w w w w 1 2 w w w w w w w w w w w w

17 Die Darstellung in Matrixalgebra reduziert den rogrammieraufwand erheblich Vergleich beider Lösungen 2 w T w w w w w w w w w w w 2w w ww i jij i1 j1 w w 2w w nn Summanden 17

18 Optimale ortfolios lassen sich mithilfe eines Optimierungsansatzes finden Definition des Optimierungsproblems in Matrizendarstellung 2 T w w min! Unter den Nebenbedingungen: w = Matrix der Anteilsgewichte (nx1) = Varianz-Kovarianz Matrix = Erwartungswertvektor = Vektor mit n Einsen w T T w 1 18

19 Der Lagrange Ansatz stellt ein einfaches Verfahren zur Bestimmung der optimalen Lösung dar Lösung des Optimierungsproblems mittels Lagrange Ansatz Umstellen der Nebenbedingungen: w w T T Aufstellen der Langrange Funktion: L w w w w T T T

20 Der Optimierungsansatz liefert eine lineare Beziehung zwischen dem Erwartungswert-Vektor und dem Allokationsvektor Lösung der Optimierungsproblems L w w w w T T T Differenzieren der Lagrange Funktion nach der Gewichtungsmatrix: L 2 w w Umstellen und Einsetzen der Nebenbedingungen ergibt die Lösung: w g h 20

21 Der Optimierungsansatz liefert eine lineare Beziehung zwischen dem Erwartungswert-Vektor und dem Allokationsvektor Ergebnis des Optimierungsprozesses Allokationsvektor effizienter ortfolios: Mit den Hilfskoeffizienten: w g h 1 g B D A 1 h C D A A T 1 T 1 C T B D BC A

22 Das globale Minimum Varianzportfolio lässt sich unter Vernachlässigung der ortfolierendite vereinfacht berechnen Das globale Minimum Varianz ortfolio 2 T w w min! unter der NB: T w 1 globales MV w g g 2 g 1 C A C 1 C 1 22

23 ortfoliooptimierung nach Markowitz Moderne ortfoliotheorie 1. Theoretische Grundlagen 2. Empirische Untersuchung

24 Anhand einer Untersuchung von 6 DAX Aktien soll die einfache Berechnung mithilfe gängiger Standardsoftware gezeigt werden raktisches Beispiel Bildung eines ortfolios aus den Aktien der 6 DAX Unternehmen: Allianz BMW HypoVereinsbank Continental SA Volkswagen Schätzung der erwarteten Renditen und der erwarteten Volatilitäten auf Basis der diskreten Eintagesrenditen vom bis zum

25 Die geschätzte Varianz-Kovarianz Matrix bildet den Ausgangspunkt der quantitativen Untersuchung Varianz-Kovarianz Matrix Allianz BMW HVB Conti SA VW Allianz 0, , , , , , BMW 0, , , , , , HVB 0, , , , , , Conti 0, , , , , , SA 0, , , , , , VW 0, , , , , ,

26 Die Bestimmung der globalen MV erfolgt anhand der eingeführten Berechnungsformeln Rendite-Risiko Diagramm des Beispielportfolios 26

27 Mithilfe des eingeführten Optimierungsansatzes, lässt sich das varianzminimale ortfolio finden Bestimmung des globalen MV A T 1 T 1 C 2, ,6382 T 1 2 B 0,0020 D BC A 4,6929 Allokationsvektor: w g 1 C 1 0, ,1080 0,1602 0, , ,1486 Kennzahlen der globalen MV: g 2 g A C 1 C 0, ,

28 Zur Vergleichbarkeit werden die ortfoliokennzahlen annualisiert Kennzahlen des globalen MV Gewichtungen Allianz 23,45% erwartete ortfoliovolatilität p.a. g, ann 23,82% BMW 10,80% HVB 16,02% Conti 30,09% erwartete Rendite p.a. g, ann 12,03% SA 4,78% VW 14,86% 28

29 Durch Diversifikation lässt sich das Gesamtrisiko signifikant reduzieren Vergleich: Globales MV vs. Einzelwerte Globales MV Allianz SA g, ann 23,82% ann 32,29% ann 52,56% g, ann 12,03% 12,70% ann 35,92% ann 29

30 Unter der Vorgabe einer bestimmten ortfoliorendite, lässt sich ebenfalls das optimale ortfolio ermitteln Rendite-Risiko Diagramm des Beispielportfolios 21%? 30

31 Mithilfe des eingeführten Optimierungsansatzes, ergibt sich das varianzminimale ortfolio, welches eine Rendite von 21% hat Bestimmung des 21%-MV A T 1 2,0021 C T ,6382 T 1 2 B 0,0020 D BC A 4,6929 0, ,1995 0, h C A g 1 B A D 0, , , D 24, , , ,16 737, 72 92, 60 31

32 Mit der zuvor bestimmten linearen Beziehung ergibt sich der optimale Allokationsvektor Kennzahlen des 21%-MV Allokationsvektor des 21%-MV: Varianz des 21%-MV: 0, ,3175 0,0246 w g h 0,0391 0, , w w T 0,

33 Zur Vergleichbarkeit werden die ortfoliokennzahlen annualisiert Kennzahlen des 21%-MV Gewichtungen Allianz 22,66% (23,45%) erwartete ortfoliovolatilität p.a., ann 28,14% BMW 31,75% (10,80%) HVB 2,46% (16,02%) erwartete Rendite p.a., ann 21,00% Conti 3,91% (30,09%) SA 27,62% (4,78%) VW 11,59% (14,86%) 33