Um welche Flächen geht es beim Sehnensatz? Dr. Emese Vargyas Prof. Dr. Ysette Weiss-Pidstrygach Johannes Gutenberg - Universität Mainz

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1 Um welche Flächen geht es beim Sehnensatz? Dr. Emese Vargyas Prof. Dr. Ysette Weiss-Pidstrygach Johannes Gutenberg - Universität Mainz

2 Vorlesung Sehnensatz Sekantensatz Sekanten-Tangenten-Satz Umkreis von Drei- und Vierecken verschiedene Definitionen von Sehnenvierecken Satz des Thales Satz vom Umfangswinkel Sehnen-Tangenten-Satz Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Winkelsumme im Dreieck Basiswinkelsatz Quadrieren von Flächen Kongruenzabbildungen flächenerhaltende Abbildungen (Scherungen)

3 Vorlesung Sehnensatz Sekantensatz Sekanten-Tangenten-Satz Umkreis von Drei- und Vierecken verschiedene Definitionen von Sehnenvierecken Satz des Thales Satz vom Umfangswinkel Sehnen-Tangenten-Satz Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Winkelsumme im Dreieck Basiswinkelsatz Quadrieren von Flächen Kongruenzabbildungen flächenerhaltende Abbildungen (Scherungen)

4 Vorlesung Sehnensatz Sekantensatz Sekanten-Tangenten-Satz Umkreis von Drei- und Vierecken verschiedene Definitionen von Sehnenvierecken Satz des Thales Satz vom Umfangswinkel Sehnen-Tangenten-Satz Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Winkelsumme im Dreieck Basiswinkelsatz Quadrieren von Flächen Kongruenzabbildungen flächenerhaltende Abbildungen (Scherungen)

5 Vorlesung Sehnensatz Sekantensatz Sekanten-Tangenten-Satz Umkreis von Drei- und Vierecken verschiedene Definitionen von Sehnenvierecken Satz des Thales Satz vom Umfangswinkel Sehnen-Tangenten-Satz Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Winkelsumme im Dreieck Basiswinkelsatz Quadrieren von Flächen Kongruenzabbildungen flächenerhaltende Abbildungen (Scherungen)

6 Übung Verschiedene Darstellungsebenen Anwendungsbeispiele Illustration Problemlösestrategien Sehnensatz Sekantensatz Sekanten-Tangenten-Satz Umkreis von Drei- und Vierecken verschiedene Definitionen von Sehnenvierecken Satz des Thales Satz vom Umfangswinkel Sehnen-Tangenten-Satz Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Winkelsumme im Dreieck Basiswinkelsatz Quadrieren von Flächen Kongruenzabbildungen flächenerhaltende Abbildungen (Scherungen)

7 Heuristiken Zurückführung auf eine bekannte Aufgabe Analogie Fallunterscheidung Spezialisierung/Verallgemeinerung Symmetrie Invariante Vorwärts/Rückwärtsarbeiten Variation G.Polya, Schule des Denkens 1945

8 Abschließende Aufgabe Skizzieren einer Lernumgebung Variationen zum Sehnensatz

9 Variation der Fragestellung Variation des Beweises Sehnensatz Variation der Bedingungen Werkzeug vs Untersuchungsgegenstand

10 Problemlösen...setzt voraus, dass jemand ein (mathematisches) Problem hat Ausprobieren verschiedener Strategien Variationen Forscherfrage?

11 Um welche Flächen geht es beim Sehnensatz?

12 Übung Sehnensatz Sekantensatz Sekanten-Tangenten-Satz Umkreis von Drei- und Vierecken verschiedene Definitionen von Sehnenvierecken Satz des Thales Satz vom Umfangswinkel Sehnen-Tangenten-Satz Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz Winkelsumme im Dreieck Basiswinkelsatz Quadrueren von Flächen Kongruenzabbildungen flächenerhaltende Abbildungen (Scherungen)

13 pq = rs Flächenbeweise p - r = s - q Ähnlichkeitsbeweise?

14 Ähnlichkeit Beweis1

15 Ähnlichkeit Beweis1

16 Historische Begriffsentwicklung pq = rs Flächenbeweise p - r = s - q Ähnlichkeitsbeweise Wiedergabe des Euklidischen Beweises Verwendung DGS zum Verständnis und Illustration des Beweises

17 Buch 2 Satz 4 Heiberg ( ) Richard Fitzpatrick, 2007

18 Sehnensatz (Euklid) Beweis 2 Buch 3 Satz 35

19 Sehnensatz (Euklid)

20 Scherung Beweis 3

21 Forschungsfrage zum Beweis 3

22 Drehung? Beweis 4

23 Forschungsfrage zu Beweis 4 (Sehnensatz als Werkzeug)

24 Variation der Lage des Punktes P

25 Variation der Lage des Punktes P

26 Variation der Grundfigur Bedingungen Unter welchen Bedingungen gilt

27 Variation der Anzahl der Punkte

28 Verschiedene Fragestellungen

29 Sehnensatz als Werkzeug

30 Sehnensatz als Werkzeug

31 Sehnensatz als Werkzeug

32 Umkehrung des Sehnensatzes

33 H. Schupp, Pythagoräische Satzgruppe und Strahlensätze, PM 5/

34 u.a. Bubeck, H Neubrandt, M, 1994 Dirnböck, H Pickert, G.1995 Artmann, B. Schuhmann, H 2005 Weigand, H.G. 2011

35 Wir danken für Ihre Aufmerksamkeit!