Frequenzgang - Darstellungen

Transkript

1 Frequenzgang - Darstellungen Ein Puzzle von Martin Darms und Roman Lässker Inhalt und Lernziel: Die Übertragungseigenschaften einer Schaltung sind abhängig von der Frequenz. Die Studenten und Studentinnen lernen zwei Methoden kennen, um Schaltungen und allgemeine dynamische Systeme beurteilen zu können. Unterrichtsmethode: Puzzle Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten einen Teil des Stoffes und unterrichten danach ihre Kameradinnen und Kameraden. Fachliches Review: Walter Schaufelberger, Institut für Automatik, ETH Zürich Fachdidaktisches Review: Adolf H. Glattfelder, Institut für Automatik, ETH Zürich Publiziert auf EducETH: 6. November 006 Rechtliches: Die vorliegende Unterrichtseinheit darf ohne Einschränkung heruntergeladen und für Unterrichtszwecke kostenlos verwendet werden. Dabei sind auch Änderungen und Anpassungen erlaubt. Der Hinweis auf die Herkunft der Materialien (ETH Zürich, EducETH) sowie die Angabe der Autorinnen und Autoren darf aber nicht entfernt werden. Publizieren auf EducETH? Möchten Sie eine eigene Unterrichtseinheit auf EducETH publizieren? Auf folgender Seite finden Sie alle wichtigen Informationen: Weitere Informationen: Weitere Informationen zu dieser Unterrichtseinheit und zu EducETH finden Sie im Internet unter oder unter

2 Fach-Didaktik Informationstechnologie und Elektrotechnik Signale und Systeme Frequenzgang - Darstellungen Ein Puzzle

3 Puzzle Gruppenunterricht zum Thema Frequenzgangdarstellungen Fach Signale und Systeme Schultyp Fach-Hochschule Schulstufe Zweites Studienjahr Vorkenntnisse Komplexes Rechnen Zerlegen eines Produktes in Teilprodukte Bearbeitungsdauer 4 Lektionen Autoren Martin Darms Roman Lässker Dr. Crispino Bergamaschi (Korrekturen) Betreuer Prof. Dr. G. Lekkas Fassung vom Schulerprobung am revidiert am , Glattfelder

4 Einführung Die Übertragungseigenschaften einer Schaltung sind abhängig von der Frequenz. Sie werden zwei Methoden kennenlernen, die Ihnen ein erprobtes Werkzeug in die Hand geben, um Schaltungen und allgemeine dynamische Systeme zu beurteilen. Diese Methoden sind deshalb von grosser praktische Bedeutung, weil man zur Analyse einer gegebenen Schaltung nur einen Funktionsgenerator und einen KO benötigt. Die Methoden können Sie unter anderem verwenden, wenn Sie Ihren nächsten Hifi-Verstärker kaufen. Allerdings nur, wenn Sie neben dem Design der Front noch ein technisches Kriterium anwenden. Unsere Themen: Gruppe A: Bodediagramm für Systeme. Ordnung + reell faktorisierbare Polynome Sie wissen danach, wie man Bodediagramme für Systeme. Ordnung zeichnet. Sie erkennen aus dem Bodediagramm, ob es sich um Übertragungsfunktionen erster Ordnung handelt. Im Weiteren lernen Sie eine nützliche Eigenschaft des Bodediagrammes kennen, die Sie jedoch nur anwenden können, wenn die Übertragungsfunktion faktorisiert dargestellt ist. Sie lernen vier Grundglieder kennen, mit welchen Sie einfach Bodediagramme zeichnen können. Gruppe B: Bodediagramm für Systeme. Ordnung Die physikalische Herleitung und Bedeutung von Systemen. Ordnung sollte Ihnen von früher bekannt sein. Sie wissen nach dem Durcharbeiten Ihrer Unterlagen, wieso man Systeme. Ordnung speziell behandeln muss. Sie erkennen aus einem Bodediagramm sofort, ob es sich um ein System. Ordnung handelt. Auch das Zeichnen von Bodediagrammen für Systeme. Ordnung sollte für Sie danach ein Kinderspiel sein. Gruppe C: Nyquistdiagramm allgemein Das Nyquistdiagramm ist eine zweite Methode um Systeme zu analysieren. Im Gegensatz zum Bodediagramm wird beim Nyquistdiagramm Betrag und Phase in einem einzigen Diagramm dargestellt. Das macht das Nyquistdiagramm sehr übersichtlich. Mit dem Nyquistdiagramm wird es Ihnen später möglich sein, die Stabilität eines rückgekoppelten Systems auf einfache Weise zu bestimmen. Gruppe D: Totzeitglied Totzeitglieder sind meistens unangenehm, weil sie schwierig zu analysieren sind und zu Instabilitäten führen können. Trotzdem kann man sie nie ganz vermeiden. Um so wichtiger ist es den Umgang mit ihnen zu üben. In dieser Gruppe lernen Sie, welchen Einfluss Totzeitglieder auf das Bode- und Nyquistdiagramm haben. Dieses Thema ist vergleichsweise anspruchsvoll. Sie müssen nämlich mit dem Bode- und dem Nyquistdiagramm arbeiten, ohne diese vollständig erarbeitet zu haben. Wählen Sie nun Ihr Thema! 3

5 Inhaltsverzeichnis Titelseite Einführung 3 Inhaltsverzeichnis / Arbeitsanleitung 4 Anleitung für die Gruppen (mit Lernkontrolle und Lösungen Serie A und B ) Gruppe A Bodediagramm für Systeme. Ordnung 5 Gruppe B Bodediagramm für Systeme. Ordnung 0 Gruppe C Das Nyquistdiagramm 4 Gruppe D Das Totzeitglied Dokument A.: Das Bodediagramm für Systeme. Ordnung 9 Dokument A.: Faktorisierung von Übertragungsfunktionen 35 Dokument A.3: Die vier Grund- oder Normglieder 37 Dokument B.: Das Bodediagramm für Systeme. Ordnung 40 Dokument C.: Einführung in das Nyquistdiagramm 45 Dokument D.: Kurzeinführung in das Bodediagramm 50 Dokument D.: Kurzeinführung in das Nyquistdiagramm 5 Dokument D.3: Einführung in Totzeitglieder 55 Minididaktik 59 Arbeitsanleitung Die vier vorgestellten Themen werden von je einer Studentengruppe erarbeitet. Die von uns verwendete "Puzzle-Methode" sieht dabei für jede Gruppe drei Stufen vor:. Wissenserwerb: Sie studieren die für Ihre Gruppe bereitgestellten Unterlagen gemäss Anleitung. (Zeitbedarf: 30 min) Dann absolvieren Sie einen Test und ergänzen allfällige Lücken. (Zeitbedarf: 30 min). Expertenrunde: Sie besprechen nun in der Gruppe, wie Sie das erworbene Wissen an Ihre Mitstudenten weitergeben wollen. (Zeitbedarf: 30 min) 3. Unterrichtsrunde: Nun die Hauptsache: In neuer Gruppenzusammensetzung sind Sie Experte für das von Ihnen vorbereitete Thema und unterrichten Ihre Mitstudenten. (Zeitbedarf: 90 min, d.h. 0 min/thema) 4

6 Anleitung für Gruppe A Bodediagramm für Systeme. Ordnung + faktorisierbare Polynome Übersicht Sie beschäftigen sich mit der Übertragungsfunktion erster Ordnung und lernen eine Möglichkeit kennen, die Übertragungsfunktion (im folgenden ÜF genannt) graphisch darzustellen. Ein weiteres Thema ist die Faktorisierung von Polynomen. Lernziele Sie wissen nach dem Durcharbeiten Ihrer Unterlagen, wie man Bodediagramme. Ordnung zeichnet und erkennen auch aus einem beliebigen Bodediagramm, ob es sich um eine ÜF. Ordnung handelt. Sie können danach (mathematisch) begründen, wieso man Produkte von ÜF. Ordnung im Bodediagramm addieren darf. Sie kennen die vier Grund- oder Normglieder. Ziele für die ganze Klasse - Die Studenten wissen, in welche Form eine Übertragungsfunktion gebracht werden muss, um sie in einem Bode- oder Nyquistdiagramm darzustellen. - Sie kennen einen Grund, warum Systeme. Ordnung speziell behandelt werden müssen. - Sie können aus einer gegebenen Übertragungsfunktion (. Ordnung) ein mit Geraden approximiertes Bodediagramm von Hand zeichnen. - Sie können aus einem gegebenen Bodediagramm (. Ordnung) die Übertragungsfunktion bestimmen. Vorgehen Wissenserwerb - Studieren Sie die für dieses Thema bereitgestellten Unterlagen. - Lösen Sie die Aufgaben der Lernkontrolle. Expertenrunde - Besprechen Sie in der Gruppe, welche Fakten Sie den Klassenkameraden vermitteln wollen. Beachten Sie die oben aufgeführten Lernziele. - Überlegen Sie, in welcher Form die Wissensvermittlung an die MitstudentInnen (Unterrichtsrunde) durchgeführt werden könnte. Die "Minididaktik" im Anhang E. enthält dazu einige Ratschläge. Material - Das Bodediagramm (Dokument A.) - Faktorisierung von Übertragungsfunktionen (Dokument A.) - Die vier Grund- oder Normglieder (Dokument A.3) 5

7 Lernkontrolle Beantworten Sie die nachfolgenden Fragen in schriftlicher Form. Arbeiten Sie dabei individuell, selbständig und verwenden Sie die Unterlagen. Anschliessend vergleichen Sie Ihre Antworten mit den korrekten Lösungen. Schauen Sie erst in den Lösungen nach, wenn Sie alle Aufgaben wirklich gelöst haben! Sie haben das Thema verstanden, wenn Sie drei Aufgaben pro Serie korrekt beantworten konnten. Sinn dieser Lernkontrollen ist, dass Sie als angehender Experte für das Bodediagramm feststellen können, über welches Wissen Sie verfügen bzw. wo Sie noch Lücken haben. Ihre Klassenkameraden haben schliesslich ein Anrecht auf kompetente Experten. Aufgaben - Serie A.) Bestimmen Sie die Grenzfrequenz des folgenden Bodediagrammes. (K) 6

8 .) Zeichnen Sie das Bodediagramm der folgenden ÜF: G( jω ) = jω (K3) 3.) Zeichnen Sie den Phasengang, wenn der folgende Amplitudengang gegeben ist. Achtung: Beachten Sie die Skalierung! (K3) 4.) Zeichnen Sie das Bodediagramm der folgenden ÜF Tip: j = - G( jω ) = 00 ( ω ) jω 7

9 Lösungen Serie A.) ω g = 30: Die Grenzfrequenz ω g erhält man entweder aus dem Amplitudengang (Schnittpunkt der horizontalen Gerade mit der mit 0 db/dek. fallende Asymptote) oder aus dem Phasengang (Frequenz, bei der die Phase genau -45 o ist.)..) G( jω ) 5 = = 5+ jω + jω/5 3) 8

10 4) G( jω ) = = 00 ω + 0 jω 00 + ( jω) + 0 jω ( ) ( ) = = = ω + ω+ ω+ ω+ ω + ω + ( ) ( ) ( ) ( ) ( j ) 0 j 00 j j 00 j j /00 Daraus erkennen wir sofort die Grenzfrequenzen: ω = 00 und ω = 00, und können somit das Bodediagramm zeichnen. g g 9

11 Anleitung für Gruppe B Bodediagramm für Systeme. Ordnung Übersicht Das Bodediagramm bietet bei Systemen zweiter Ordnung, die nicht reell faktorisierbar sind, andere Schwierigkeiten als bei Systemen erster Ordnung. Darum werden die Systeme zweiter Ordnung hier speziell behandelt. Lernziele Sie wissen nach dem Durcharbeiten Ihrer Unterlagen, wie man Bodediagramme für Systeme. Ordnung zeichnet und erkennen auch aus einem beliebigen Bodediagramm, ob es sich um eine Übertragungsfunktion. Ordnung handelt. Ziele für die ganze Klasse - Die Studenten kennen einen Grund, warum Systeme. Ordnung speziell behandelt werden müssen. - Sie können aus einer gegebenen Übertragungsfunktion (. Ordnung) ein Bodediagramm von Hand zeichnen. - Sie können aus einem gegebenen Bodediagramm (. Ordnung) die Übertragungsfunktion bestimmen. Vorgehen Wissenserwerb - Studieren Sie die für dieses Thema bereitgestellten Unterlagen. - Lösen Sie die Aufgaben der Lernkontrolle. Expertenrunde - Besprechen Sie in der Gruppe, welche Fakten Sie den Klassenkameraden vermitteln wollen. Beachten Sie die oben aufgeführten Lernziele. - Überlegen Sie, in welcher Form die Wissensvermittlung an die MitstudentInnen (Unterrichtsrunde) durchgeführt werden könnte. Die "Minididaktik" im Anhang E. enthält dazu einige Ratschläge. Material - Das Bodediagramm. Ordnung (Dokument B.) 0

12 Lernkontrolle Lösen Sie folgende Aufgaben selbständig. Falls Sie nicht weiterkommen, schauen Sie nochmals den Theorieteil an und probieren Sie nochmals. Sie haben den Stoff begriffen, wenn Sie alle 3 Aufgaben alleine lösen können. Sinn der Lernkontrollen ist, dass Sie als angehende ExpertenInnen für spezielle ÜF. Ordnung feststellen können, über welches Wissen Sie verfügen bzw. wo Sie noch Lücken haben. Ihre MitstudentInnen haben schliesslich ein Anrecht auf kompetente ExpertInnen. Serie A.) Schreiben Sie in drei Sätzen (oder Stichworte) auf, was das Spezielle an ÜF. Ordnung mit d < ist. (K).) Zeichen Sie das Bodediagramm der folgenden ÜF: G(s) = + s+ s Gehen Sie dabei genau so vor, wie bei dem Zahlenbeispiel im Dokument B. (K) 3.) Betrachten Sie nun die ÜF. Ordnung mit d = 0. 0 G(s) = + s Berechnen Sie zuerst die wichtigsten Punkte des Bodediagrammes und zeichnen Sie es danach. (K4)

13 Lösungen Serie A.) Für die spezielle ÜF. Ordnung mit d < gilt: - Sie ist nicht faktorisierbar mit reellen Koeffizienten. - Die Überhöhung des Amplitudenganges ist abhängig von der Dämpfung d. - Der Amplitudengang fällt mit 40 db/dek. für ω. - Sie hat eine Phasenänderung von Die Resonanzkreisfrequenz ist abhängig von der Dämpfung d..) G(s) = + s+ s Grenzfrequenz: ω 0 =0s - Dämpfung d = 5 d = Bemerkung: d < spezielle ÜF, d < Überhöhung Verstärkung A 0 = ωr = Amax = A 0 = [ db] d d G( jω ) = G( s) = = s= jω ω ω ω ω + j + j + j A( ω 0 ) = 0 log( ) 0 log( 0. ) = 0 log( 0. ) = [ db] 0

14 3.) 0 G( jω ) ω 0 G( jω ) = ω = 0 ω = Re { G( jω )} 0 ϕω ( ) = 80 A( ω 0) = + Im { G( jω )} = 0 3

15 Anleitung für Gruppe C Das Nyquistdiagramm (allgemein) Ziele für die ganze Klasse - Sie können aus einer gegebenen Übertragungsfunktion ein approximiertes Nyquistdiagramm von Hand zeichnen. - Sie können das Nyquistdiagramm zeichnen, wenn mehrere ÜF parallel oder in Serie geschaltet sind. - Sie können aus einem Nyquistdiagramm die Übertragungsfunktion schätzen. Vorgehen Wissenserwerb - Studieren Sie die für dieses Thema bereitgestellten Unterlagen. - Lösen Sie die Aufgaben der Lernkontrolle Expertenrunde - Besprechen Sie in der Gruppe, welche Fakten Sie den Klassenkameraden vermitteln wollen. Beachten Sie die oben aufgeführten Lernziele. - Überlegen Sie, in welcher Form die Wissensvermittlung an die MitstudentInnen (Unterrichtsrunde) durchgeführt werden könnte. Die "Minididaktik" im Anhang E. enthält dazu einige Ratschläge. Material - Einführung in das Nyquistdiagramm (Dokument C.) 4

16 Lernkontrolle Beantworten Sie die nachfolgenden Fragen in schriftlicher Form. Arbeiten Sie dabei individuell, selbständig und verwenden Sie die Unterlagen. Anschliessend vergleichen Sie Ihre Antworten mit den korrekten Lösungen. Schauen Sie erst in den Lösungen nach, wenn Sie alle Aufgaben wirklich gelöst haben! Sie haben das Thema verstanden, wenn Sie drei Aufgaben pro Serie korrekt beantworten konnten. Sinn dieser Lernkontrollen ist, dass Sie als angehender Experte für das Nyquistdiagramm feststellen können, über welches Wissen Sie verfügen bzw. wo Sie noch Lücken haben. Ihre Klassenkameraden haben schliesslich ein Anrecht auf kompetente Experten. Aufgaben - Serie A.) Eine häufig vorkommende ÜF ist: G( s) = s R C + Welche Einheit hat die Zeitkonstante: RC? (K).) Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm folgender ÜF: G( s) = 3 s + Fig. C.5 Vorlage zu Aufgabe, Serie A (K3) 5

17 3.) Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm folgender ÜF: G( s) = 3 s + (K) Fig. C.6 Vorlage zu Aufgabe 3, Serie A 4.) Zur Analyse einer Schaltung haben Sie Messungen gemacht. Das Eingangssignal ist eine sinusförmige Spannung mit V Amplitude und der Frequenz f. Mit einem KO haben Sie im eingeschwungenen Zustand folgendes gemessen: Frequenz f Amplitude Phasendrehung ϕ zwischen der Ausgangsspannung Ein- und Ausgang 0 Hz.0 V 0 40 Hz. V - 00 Hz.5 V Hz.7 V Hz.5 V Hz.0 V - 40 khz 0. V - 7 Hinweis: ω = π f (K3) Fig. C.7 Vorlage zu Aufgabe 4, Serie A 6

18 Aufgaben - Serie B.) Geben Sie Vorteile des Nyquistdiagramms gegenüber dem Bodediagramm an. (K).) Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm folgender Schaltung. Benutzen Sie als Vorlage Fig. C.8 R U A G( s) = U E (K3) U E C U A R = kω C = 50 nf 3.) Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm folgender Schaltung. Benutzen Sie als Vorlage Fig. C.8 U R R A G( s) = U E (K3) U E C C U A R = R = kω C = C = 50 nf Fig. C.8 Vorlage zu den Aufgaben, 3, Serie B 7

19 4.) Die ÜF folgender Schaltung ist gegeben. Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm. Benutzen Sie dabei Fig. C.9 als Vorlage. U E R L C U A G( s) = R = 00 Ω L = 0 mh C = 0.47 μf + src + s LC (K) Fig. C.9 Vorlage zur Aufgabe 4, Serie B 8

20 Lösungen - Serie A.) Wie es sich für eine Zeitkonstante gehört, ergeben sich Sekunden als Dimension: V A s [ R C ] =Ω F = = s A V.) Fig. C.0 Lösung zu Aufgabe, Serie A 3.) Wird die ÜF mit - multipliziert, so wird das Nyquistdiagramm am Ursprung gespiegelt. 4.) Fig. C. Lösung zu Aufgabe 4, Serie A 9

21 Lösungen - Serie B.) - Übersichtlichkeit - Es braucht nur Diagramm. - Stabilität kann in Systemen mit Totzeit analysiert werden..) U A G( s) = = = U jω R C + j + E 5 ω 5 0 Fig. C. Lösung zu Aufgabe, Serie B 3.) U G( s) = = A UE + 3 s R C + s R C = = ω = = ( 5 ω) + j ( 5 ω) + ω ω + j d ω ω + 3 mit rad / s und d

22 Fig. C.3 Lösung zu Aufgabe 3, Serie B 4.) Fig. C.4 Lösung zur Aufgabe 4, Serie B

23 Anleitung für Gruppe D Totzeitglied Ziele für die ganze Klasse - Die Studenten können in einem Bode- oder Nyquistdiagramm eines Systems einzeichnen, wie es sich durch der Einführung eines Totzeitgliedes verändert. Vorgehen Wissenserwerb - Studieren Sie die für dieses Thema bereitgestellten Unterlagen. - Lösen Sie die Aufgaben der -Lernkontrolle. Expertenrunde - Besprechen Sie in der Gruppe, welche Fakten Sie den Klassenkameraden vermitteln wollen. Beachten Sie die oben aufgeführten Lernziele. - Überlegen Sie, in welcher Form die Wissensvermittlung an die MitstudentInnen (Unterrichtsrunde) durchgeführt werden könnte. Die "Minididaktik" im Anhang E. enthält dazu einige Ratschläge. Material - Kurzeinführung in das Bodediagramm (Dokument D.) - Kurzeinführung in das Nyquistdiagramm (Dokument D.) - Einführung in Totzeitglieder (Dokument D.3)

24 Lernkontrolle Beantworten Sie die nachfolgenden Fragen in schriftlicher Form. Arbeiten Sie dabei individuell, selbständig und verwenden Sie die Unterlagen. Anschliessend vergleichen Sie Ihre Antworten mit den korrekten Lösungen. Schauen Sie erst in den Lösungen nach, wenn Sie alle Aufgaben wirklich gelöst haben. Sie haben das Thema verstanden, wenn Sie drei Aufgaben pro Serie korrekt beantworten konnten. Sinn dieser Lernkontrollen ist, dass Sie als angehender Experte für das Totzeitelement feststellen können, über welches Wissen Sie verfügen bzw. wo Sie noch Lücken haben. Ihre Klassenkameraden haben schliesslich ein Anrecht auf kompetente Experten. Aufgaben - Serie A.) Beschreiben Sie in einem Satz, wie sich der Amplitudengang eines Systems beim Einfügen eines Totzeitgliedes mit dem Verstärkungsfaktor verändert. (K).) In der Figur D.3.7 sehen Sie den Vergleich einer Schaltung mit und ohne Totzeitglied. Wie gross wäre die Phasenverschiebung des Totzeitgliedes alleine bei einer Kreisfrequenz von 47 rad/s? (K) Fig D.3.7 Aufg. ) Serie A 3

25 3.) a) Das Nyquistdiagramm eines ohmschen Spannungsteilers besteht nur aus einem Punkt auf der reellen Achse. Wir haben gesehen, dass das Nyquistdiagramm eines Totzeitgliedes aus einem Kreis besteht. In Fig. D.3.8 ist das Nyquistdiagramm des unten gezeichneten Spannungsteilers und dasjenige des Totzeitgliedes aufgezeichnet. Zeichnen Sie in das gleiche Diagramm die Gesamt-ÜF hinein. Hinweis: Um die Gesamt-ÜF zu erhalten, müssen die einzelnen ÜF multipliziert werden. R R = kω U E R U T T t U A R = kω T t = 5 ms Fig D.3.8 Aufg. 3) Serie A, Nyquistdiagramm b) Wie verändert sich das Nyquistdiagramm, wenn die Totzeit verkleinert wird? (K3) 4.) Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm der unten stehenden Schaltung in die Fig. D.3.9 hinein. 4

26 G( s) = s 0 ms U G (s) E T t = 0 ms U T T t U A Fig D.3.9 Aufg. 4) Serie A, Nyquistdiagramm 5

27 Lösungen zur Serie A.) Der Amplitudengang wird in y-richtung um 0 log(k) verschoben. Falls K eins ist, verändert sich der Amplitudengang nicht..) Die Schaltung ohne Totzeit hat bei 47 rad/s eine Phasendrehung von -90. Die Gesamtschaltung hat bei 47 rad/s Phasendrehung von Da die Phasendrehungen addiert werden, bleibt für das Totzeitglied alleine eine Phasendrehung von = -70 übrig. 3.) a) Die Gesamt-ÜF wird mit der ÜF des Spannungsteilers ( =/3 ) multipliziert. k Ω jω 5ms jω 5ms G( s) = e = e kω+ kω 3 b) Im Nyquistdiagramm wären keine Änderungen ersichtlich. Wären einzelne Punkte mit ihrem Wert von ω beschriftet, so sähe man, dass der Phasenwinkel für dasselbe ω kleiner ist. Man könnte sagen, die Kurve dreht sich langsamer. 4.) Die zwei ÜF werden multipliziert. D.h., die Beträge werden multipliziert und die Phasen addieren sich. Es kommt in dieser Aufgabe nicht darauf an, dass Ihre Lösung genau richtig gezeichnet ist. Wichtig ist, dass Sie erkannt haben, wie der qualitative Kurvenverlauf ist. 6

28 Aufgaben - Serie B.) Eine häufig vorkommende ÜF ist G( s) = s R C+. Welche Einheit hat die Zeitkonstante R C? (K).) Zur Analyse einer Schaltung haben Sie Messungen gemacht. Das Eingangssignal ist eine sinusförmige Spannung mit V Amplitude und der Frequenz f. Mit einem KO haben Sie im stationären Zustand folgendes gemessen: Frequenz f Amplitude Phasendrehung ϕ zwischen der Ausgangsspannung Ein- und Ausgang 0 Hz.0 V 0 40 Hz. V - 00 Hz.5 V Hz.7 V Hz.5 V Hz.0 V - 40 khz 0. V - 7 Hinweis: ω = π f (K3) 3.) Zeichnen Sie das Nyquistdiagramm der untenstehenden Schaltung. Das Nyquistdiagramm des RC-Gliedes und des Totzeitgliedes sind in der Fig. D.3.0 vorgegeben. Es sind ebenfalls 3 Punkte (A, B und C) vorgegeben, in denen die Kreisfrequenz ω bei beiden Kurven gleich ist. R R = kω U E C U T T t U A C = 50 nf T t = 50 μs 7

29 (K) Fig D.3.0 Aufg. 3) Serie B, Nyquistdiagramm 4.) Beschreiben Sie in Worten die Lösung von Aufgabe 3.), falls die Totzeit um einen Faktor 00 kleiner ist: T t =.5 μs. (K3) 8

30 Expertengruppe A: Das Bodediagramm (Dokument A.) Was ist eine Übertragungsfunktion? Eine Übertragungsfunktion (im folgenden ÜF genannt) definiert das Verhältnis von einer Ausgangsgrösse zu einer Eingangsgrösse eines Systems im Bildbereich (Laplace-Bereich). Y() s G() s = U() s AB = 0 Für harmonische Anregung im stationären Zustand kann man s durch jω ersetzen und somit die Übertragungsfunktion G(s = jω), in Funktion von ω nach Betrag und Phase auftragen. Die Darstellung des Betrages G( jω ) nennt man auch Amplitudengang. Er wird doppeltlogarithmisch aufgetragen. Die Darstellung der Phase arg( G( jω )) wird Phasengang genannt. Der Phasengang wird hingegen einfach-logarithmisch aufgetragen. Diese Darstellungsart nennt man Bodediagramm nach dem "Entdecker" H. Bode (945). Wieso zeichnet man das Bodediagramm logarithmisch auf? Weil man so einen weiten Ausschnitt des Frequenzbereiches beurteilen kann. Das Verhalten für kleine Frequenzen, sowie das Verhalten für grosse Frequenzen kann aus dem Bodediagramm herausgelesen werden. Mathematische Grundlagen Eine Übertragungsfunktion kann nach Betrag und Phase angegeben werden. j ( ) G( jω) = G( jω) e ϕ ω (A.) G( jω ) : = Re{ G( jω)} + Im{ G( jω)} (A.) Im{ G( jω )} ϕω ( ) = arg( G( jω)) : = arctan (A.3) Re{ G ( jω )} G( jω ) ist der Betrag von G( jω ). Den Betrag (in db) wird Amplitudengang genannt. A( ω) = G( jω) : = 0 log( G( jω) ) (A.4) db ϕ( ω) = arg( G( jω)) nennt man Phasengang. Bemerkungen: db ist die Abkürzung für Dezibel Umwandlungsformel: X db : = 0 log 0( X ) (A.5) X 0 bzw. X : 0 db = 9

31 Das Bodediagramm. Ordnung Eine ÜF. Ordnung ist eine Funktion in s, wobei keine Potenzen > von s vorkommen dürfen. Wir betrachten als Beispiel die ÜF Gs () : = G ( j ω) = A s jω 0 = + jωt wobei A 0 die Verstärkung und T die Zeitkonstante ist. Zuerst berechnen wir den Real- und den Imaginärteil. A0 ωta Re { G( jω )} = Im { G( jω )} = + ωt + ωt ( ) ( ) 0 (A.6) Danach setzten wir in die Formel (A.) und (A.3) ein und erhalten den Betrag A0 A0 A0 G( jω ) = = = + jωt + jωt + ( ωt ) und die Phase ϕ( ω) = arg( G( jω)) = arg{ Zähler} arg{ Nenner} = arctan ( ωt ) So, jetzt berechnen wir die Asymptoten, d.h. die Grenzwerte für ω gegen null und gegen. Zuerst für den Betrag für ω gegen null (das ist gerade die Gleichstromverstärkung, d.h. ω = 0) A0 lim ( G( jω )) = lim = A0 ω 0 ω 0 ( ωt ) + A A lim G( jω ) = lim ω ωt >> ( ) + ωt ωt und für ω gegen : ( ) 0 0 (A.7) (A.8) Und jetzt für die Phase für ω gegen null ω 0 ( ω ) lim ( ( ω )) lim arg( G( j )) = arctan T = 0 ω 0 und für ω gegen : ( G jω ) ( ( ωt) ) lim arg( ( )) = lim arctan 90 ω ωt >> o 30

32 Nun berechnen wir den Amplitudengang nach Formel (A.4): A 0 A( ω) = G( jω) = 0 log db + ( ωt ) 0 ( ωt ) = 0 log( A ) 0 log + ( ) 0 ( ωt ) = 0 log( A ) 0 log + ( ) 0 log( A ) 0 log fürωt >> 0 ( ωt) (A.9) (A.0) Aus Formel (A.9) sehen wir sofort, dass A( ω) = G( jω) db für ω gegen null ungefähr konstant ist, nämlich 0.log(A 0 ). Aus (A.0) ist ersichtlich, dass A( ω ) für ω T >> gegen eine Gerade strebt, die mit 0 db/dekade fällt. Zum Schluss berechnen wir noch einen speziellen Punkt im Bodediagramm, nämlich für ω = ωg = T Betrag: A 0 A0 lim ( G( jω )) = lim = ω / T ω / T ( ωt ) + A A ω A A Phase: ( ) ( ) 0 lim ( ) = lim 0 log = 0 log 0 0 log 0 log 0 3 ω / T ω / T Deshalb nennt man diesen Punkt auch 3 db-punkt, weil der Betrag bei ω = ωg = um T 3 db abgenommen hat. Beachten Sie, dass das im linearen Massstab eine Multiplikation mit / = 0.7 ist, d.h. der Betrag hat um fast 30% abgenommen! lim ( G jω ) ( ( ωt) ) ( ) arg( ( )) = lim arctan = arctan = 45 ω / T ω / T Die Phase nähert sich für ω gegen gegen - 90 an, für ω gegen null bleibt sie ungefähr 0 und für ω = ωg = ist sie genau T o 3

33 Also: Wir können den Amplitudengang der ÜF. Ordnung folgendermassen approximieren: Wir ziehen eine horizontale Gerade bis Gleichstromverstärkung A 0 ω = ωg = mit dem Betrag der T Von dort aus zeichnen wir eine schräg abfallende Gerade (Steigung = - 0 db/dek.) und den Phasengang: Wir ziehen eine horizontale Gerade bis ω = bei 0. 0 T Von dort aus zeichnen wir eine schräg abfallende Gerade (Steigung = - 45 /Dek.) 0 bis ω =. T 0 Wir ziehen bei -90 eine horizontale Gerade von ω = bis unendlich. T Die soeben berechnete ÜF. Ordnung soll an einem Zahlenbeispiel visualisiert werden. Beispiel: Verstärkung Ao=0 Zeitkonstante T=s Re G( jω ) 0 ω Im G( jω ) 0 ω + ω Wir erhalten damit { } = { } + G( jω ) = 0 + ω und ϕ( ω) = arg( G( jω)) = arctan( ω) Wir berechnen G( jω ) für ω gegen 0. => G( jω ) = A0 = 0 => G( jω ) = 0 db Nun berechnen wir G( jω ) für ω gegen,d.h. einsetzen in Formel (A.8) liefert G( jω ) = Ao 0 = ωt ω Daraus folgt sofort G( jω ) db = 0 log(0 / ω) = 0 log(0) 0 log( ω) = 0 0 log( ω) Bemerkung: Das ist eine Gerade, die im logarithmischen Massstab mit 0 db/dekade fällt. = 3

34 Vorgehen zum Zeichen von Bodediagrammen: ("Kochrezept"). Berechnen Sie zuerst den Real- und Imaginärteil von G( jω ).. Berechnen Sie nach den Formeln (A.) und (A.3) den Betrag und die Phase von G( jω ). 3. Vollziehen Sie die Grenzübergänge für ω gegen 0 und gegen. 4. Zeichnen Sie die Asymptoten. 5. Wenn es nötig ist, so berechnen Sie spezielle Punkte (ω =/T) Mit den eben gemachten Berechnungen können wir nun das Bodediagramm zeichnen. Fig. A.. Bodediagramm. Ordnung mit Verstärkung Ao=0, Zeitkonstante T=s und Grenzfrequenz ω = s -. g 33

35 Einige nützliche Regeln für Bodediagramme. Ordnung : Eine ÜF. Ordnung fällt für ω ω g / mit 0 db/dek. ab. Eine ÜF. Ordnung hat eine konstanten Betrag bis Die Phase senkt sich total um -90. ω g Bemerkungen: ω g = /T nennt man Grenz-, Knick-, Eck- oder 3dB-Frequenz. Das ist die Frequenz, bei welcher man bei der asymptotischen Näherung für den Betrag den grössten Fehler macht, man nimmt nämlich 3 db zuviel. - 3dB: der Betrag hat bei ω g in Wirklichkeit um / abgenommen. Bei ω = ω ist die Phasendrehung 45 o g 34

36 Expertengruppe A: Faktorisierung von Übertragungsfunktionen (ÜF) (Dokument A.) A0 Eine ÜF ist meistens folgendermassen gegeben: Gs () = n n an s + an s a s+ a wobei man G(s) oft so umformt, dass a 0 gleich eins wird. 0, Diese ÜF kann man, sofern der Nenner nur reelle Nullstellen besitzt, faktorisieren und auf folgende Form bringen: Gs () = A0 + st + st + stn Ersetzen Sie nun alle s durch jω und Sie erhalten: G( jω ) = A0 + jωt + jωt + jωt n = A0 G( jω) G ( jω) Gn ( jω). Jetzt erkennen wir die Faktoren Gi ( jω ) = + jωt als Übertragungsglieder. Ordnung. i Im Dokument A. haben wir gelernt, wie man Bodediagramme. Ordnung zeichnet. Wir sind also in der Lage jeden Faktor von G( jω ) einzeln zu zeichnen. Aber wie zeichnen wir das Bodediagramm des Produktes der einzelnen Faktoren? Aus dem Dokument A. wissen wir, dass der Amplitudengang doppelt-logarithmisch aufgetragen wird. Folgendes gilt für den Logarithmus: log (a. b) = log (a) + log(b) log(a.a..... a n ) = log(a ) + log(a ) log(a n ) Daraus erkennt man, dass man das Bodediagramm von Produkten ganz einfach zeichnen kann. Man addiert (graphisch) die Amplitudengänge und die Phasengänge der einzelnen Bodediagramme. Ordnung. Beachten Sie dabei die verschiedenen Zeitkonstanten "T i ", d.h. die Grenzfrequenzen liegen an verschiedenen Stellen. Eine ÜF G( jω ) ist mit Betrag und Phase genügend bestimmt: j ( ) G( jω) = G( jω) e ϕ ω (A.) Es gilt nun: G( jω ) = G( jω) G ( jω) Gn ( jω) jϕ jϕ jϕn = G ( jω) e G ( jω) e G ( jω) e = ( ) ( ) ( ) jϕ jϕ jϕn G jω G jω Gn jω e e e j( ϕ+ ϕ + + ϕn ) G( jω G ( jω) Gn ( jω) e = wobei G( jω ) = G( jω) G( jω)... Gn ( jω) der Betrag ist und ϕ( ω) = ϕ ( ω) + ϕ ( ω) ϕ ( ω) die Phase. n n 35

37 Also setzt sich der Betrag G( jω ) aus dem Produkt der einzelnen Beträgen zusammen. Da logarithmisch aufgetragen wird, kann man die Beträge addieren. A( ω) = G( jω) = 0 log( G ( jω) ) + 0 log( G ( jω) ) log( G ( jω) ) db Die Phase wird linear aufgetragen. Also kann man auch hier die Phasen der einzelnen ÜF. Ordnung addieren. ϕ( ω) = ϕ( ω) + ϕ( ω) ϕn( ω) Zusammenfassung: Sie dürfen also eine beliebige Anzahl in Serie geschalteter ÜF. Ordnung zusammenfügen, wenn Sie die einzelnen Bodediagramme kennen. Sie müssen einfach die einzelnen Amplitudengänge und die einzelnen Phasengänge addieren. Wichtig: Der Nenner der ÜF muss reelle Nullstellen haben, da man sonst nicht reell faktorisieren kann. Beispiel: G( jω ) = G( jω) G( jω), wobei G ( jω ) = + 0. jω und G ( jω ) = + 0 jω. Aus Dokument A. wissen wir, dass Übertragungsglieder. Ordnung einfach zu zeichnen sind. Betrag: Zwei Geraden: eine horizontal bis zur Grenzfrequenz und eine abfallend mit der Steigung -0dB/Dekade. Phase: bis /(0T) eine horizontale Gerade, von /(0T) bis 0/T eine mit 45 o /Dek. abfallende Gerade und für ω grösser als 0/T ist es wieder eine horizontale Gerade, aber bei -90 o. n Fig. A.. Bodediagramm für G( jω ) = G ( jω) G ( jω) 36

38 Expertengruppe A: Die vier Grund- oder Normglieder (Dokument A.3) Sie kennen aus Dokument A. das Bodediagramm von G( jω ) = + jωt. Lösen Sie die folgenden drei Aufgaben. Verfahren Sie genau so wie in Dokument A. ("Kochrezept"), wo das Bodediagramm von G( jω ) = + jωt berechnet und gezeichnet wurde.. G( jω ) = jωt Wie sieht das Bodediagramm aus? Zeichnen Sie den Amplituden- und den Phasengang auf. Bemerkung: arctan( ) = 90 o. G( jω ) = jωt Berechnen Sie zuerst die wichtigsten Punkte der ÜF und zeichnen Sie danach das Bodediagramm auf: Bemerkung: arctan( ) =90 o 3. G( jω ) = + jωt a.) Wie gross ist der Betrag für ω gegen unendlich und für ω gegen null? b.) Wie gross ist die Phase für ω gegen unendlich und für ω gegen null? c.) Zeichnen Sie das Bodediagramm. Vergleichen Sie die Lösungen. Was fällt Ihnen dabei auf? Nun kennen Sie die vier Grund- oder Normglieder, mit deren Hilfe man zusammengesetzte Bodediagramme höherer Ordnung zeichnen kann. 37

39 Lösungen. Gegeben ist: G( jω ) = jωt daraus folgt unmittelbar Realteil Re { G( jω ) } = 0 und der Imaginärteil Im { G( jω )} =. Somit gilt für den Betrag G( jω ) = und für ωt ωt die Phase ϕω ( ) = arg( G( jω)) = arctan ωt arctan( ) = 90 o 0 Der Amplitudengang berechnet sich folgendermassen: A( ω) = G( jω) db = 0 log( G( jω) ) = 0 log( ) = 0 log() 0 log( ωt) = 0 log( ωt) ωt Man erkennt die mit 0 db fallende Gerade. So jetzt kann man das Bodediagramm zeichnen. Fig. A.3. Betrag und Phase von G( jω ) = jωt ωt. Gegeben ist: G( jω) = jωtϕ( ω) = arg( G( jω)) = arctan arctan( ) = 90 0 Daraus berechnet man den Realteil Re { G( jω )} = 0 und den Imaginärteil Im { G( jω) } = ωt. Somit gilt für den Betrag G( jω ) = ωt ωt o und für die Phase G( jω) = jωtϕ( ω) = arg( G( jω)) = arctan arctan( ) = A( ω) = G( jω) = 0 log( G( jω) ) = 0 log( ωt) db o 38

40 Fig. A.3. Betrag und Phase von G( jω ) = jωt 3. Gegeben ist G( jω ) = ( + jωt). Daraus folgt: Re { G( jω )} = und Im { G( jω )} = ωt a.) Betrag: Somit gilt für den Betrag ( ), für ω 0 G( jω) = + ωt ωt, fürωt >> ( ) 0, für ω 0 A( ω) = G( jω) db = 0 log( G( jω) ) = 0 log( + ωt ) 0 log( ωt), fürωt >> o ωt 0, für ω 0 b.) Phase: ϕω ( ) = arg( G( jω)) = arctan = arctan( ωt) = o 90, für ωt >> c.) Fig. A.3.3 Betrag und Phase von G( jω) = ( + jωt) 39

41 Expertengruppe B: Das Bodediagramm. Ordnung (Dokument B.) Überblick: Systeme. Ordnung trifft man sehr oft an, wie z. B. ein RLC-Glied. Wie Sie sicher von früher wissen, können Systeme. Ordnung schwingen. Wir betrachten das Bodediagramm für solche Systeme. Ordnung. Mathematische Grundlagen Eine Übertragungsfunktion kann nach Betrag und Phase angegeben werden. j ( ) G( jω) = G( jω) e ϕ ω (B.) G( jω ) : = Re{ G( jω)} + Im { G( jω)} (B.) Im { G( jω )} ϕω ( ) = arg( G( jω)) : = arctan (B.3) Re{ G( jω )} G( jω ) ist der Betrag von G( jω ). Den Betrag (in db) wird Amplitudengang genannt. A( ω) = G( jω) : = 0 log( G( jω) ) (B.4) db ϕ( ω) = arg( G( jω)) nennt man Phasengang. Bemerkungen: db ist die Abkürzung für Dezibel Umwandlungsformel: X : db = 0 log 0( X ) (B.5) X 0 bzw. X : 0 db = Bodediagramm. Ordnung Wir betrachten folgende Übertragungsfunktion. Ordnung: A0 A0 Gs () = = (B.6) + T s+ T d s + s+ s ω0 ω0 T d = T ist die Dämpfung und ω = die Eigenkreisfrequenz (der nicht gedämpften 0 T Schwingung). Wir beschäftigen uns mit Übertragungsfunktionen (im folgenden ÜF genannt). Ordnung, bei denen d < ist. Solche ÜF müssen wir speziell behandeln. Wieso dies? 40

42 Um das zu zeigen, berechnen wir die Nullstellen des Nenners. + d s 0 s ω + ω = s + dω0s+ ω0 = 0 s = d ω ± ω d 0 0, 0 0 Jetzt sehen wir, dass wir komplexe Nullstellen des Nenners erhalten, wenn wir d < wählen. Für d > kann man das System. Ordnung faktorisieren und in folgende Form bringen: (+st).(+st). Das ist aber das Thema der Gruppe A. Zum Zeichnen des Bodediagrammes ersetzt man in der ÜF G(s) alle s durch jω Daraus erhält man folgendes: Ao Ao G( jω ) = G( s) = s jω ω ω ω ω + dj + = = j dj ωo (B.7) ωo + ωo ωo Dazu berechnen wir den Real- sowie den Imaginärteil: ω A 0 ω 0 Re { G( jω )} = ω ω d ω + 0 ω 0 ω d A0 ω 0 Im { G( jω )} = ω ω d ω + 0 ω 0 Daraus erhält man durch Einsetzen in (B.) und (B.4) den Betrag: ω ω A d ω ω 0 Ao G( jω ) = = ω ω d ω ω ω ω d ωo ωo und den Amplitudengang ω ω A( ω ) = log( A ) log d ωo ωo (B.8) (B.9) (B.0) (B.) Folgende Näherungen (Asymptoten) werden oft gebraucht: ω 0 log( A0 ), für << ωo A( ω ) ω ω ω 0 log( A0 ) 0 log = 0 log( A0 ) 40 log, für >> ωo ωo ωo 4

43 Wir sehen, dass der Amplitudengang mit - 40 db/dek. fällt. Setzen wir ω 0 in (B.0) und (B.) ein, so erhalten wir den genauen Wert bei ω 0 G( j ) A = A( ω 0 ) = 0 log( A 0 ) 0 log( d) (B.) d ω 0 0 Hier sehen wir, dass für d < / der Amplitudengang eine Überhöhung bei ω = ω 0 hat, d.h. der Amplitudengang ist oberhalb der Asymptoten. Für d > / erhält man eine Abschwächung (unterhalb der Asymptoten). Jetzt berechnen wir den Maximalwert der Wurzel in Formel (). Dazu müssen wir den zweiten Term von (B.), bzw. den Term unter der Wurzel, minimieren ω ω a( ω ) = d + (B.3) ωo ωo Dazu setzen wir die erste Ableitung von a(ω ) nach ω gleich null. da( ω ) ω = d dω + = 0 ω 0 Nach kurzer Rechnung erhält man: die Resonanzkreisfrequenz: ωr = ω0 d (B.4) Bemerkung: Es gilt immer ω r ω0. Man sieht sofort, dass die Formel nur für d < / gilt. Es existiert also nur für d < / ein Maximum. A0 Amax = G(j ω) ω = = ω (B.5) r d d Amax = G(j ω r ) = 0 log( A ) 0 log( d d db db 0 ) (B.6) Spezielle Werte von d: - Wenn die Dämpfung d = / ist, so ist ω r = 0 und A A - Für d = 0 ist ωr ω0 und A max = Ein System. Ordnung ist ohne Dämpfung (d = 0) grenzstabil. max = 0 Nun berechnen wir den Phasengang nach Formel (B.3): ω d ϕ( ω ) = arctan ωo ω ωo (B.7) 4

44 Folgendes gilt: ϕ( ω ) 0, ω 0 80, ω Der Phasengang senkt sich also von 0 auf -80 ab. Für ω = ω0 erhält man ϕ( ω) = 90 Wir kennen also drei Punkte des Phasenganges. Für die Zwischenwerte der Phase ist es ein wenig schwieriger: Am besten berechnet man für ein paar Werte von ω mit (B.7) die Phase und zeichnet sie in den Phasengang ein. Merkregel: Je kleiner d ist, desto steiler fällt die Phase ab (d.h. in einem kürzeren Intervall) Je grösser d ist, desto flacher fällt die Phase ab (d.h. in einem längeren Intervall) Der Phasengang ist punktsymmetrisch bezüglich ω 0. Zum Zeichnen von Bodediagrammen von Systemen. Ordnung, bei denen d < gilt, ist das folgende Vorgehen sehr nützlich. Vorgehen ("Kochrezept") Amplitudengang:. Prüfen Sie, ob es sich wirklich um ein spezielle ÜF handelt (d < ). Bestimmen Sie die Konstanten A0, d und ω 0 3. Berechnen Sie G( jω 0), ω r und Amax mit den Formeln (B.), (B.4) und (B.5). 4. Zeichnen Sie A max bei der Resonanzkreisfrequenz ω r ein, sowie A( ω 0 ) bei ω Zeichnen Sie die zwei Asymptoten ein: ω horizontale Gerade bei A 0 von 0 bis ungefähr r eine mit 40 db fallende Gerade für ω, welche durch den Punkt 0 db bei ω 0 geht Phasengang:. Werte für ω 0 und ω, sowie Wert für ω = ω 0 einzeichnen. Ein paar Werte nach (B.7) berechnen, bis man weiss, wie steil die Phase verläuft. Zusammenfassung: Jetzt können wir auch das Bodediagramm von ÜF. Ordnung zeichnen, welche nicht faktorisierbar (d < ) sind. d < ist ein Mass für die Faktorisierung. d < / ist ein Mass für die Überhöhung. 43

45 Zahlenbeispiel: 0 Folgende ÜF sei gegeben: G( jω ) = jω + ( jω ) Daraus erhält man sofort folgende Werte für die Konstanten: d = 0.5, das heisst, die ÜF ist nicht mit reelen Nulstellen faktorisierbar, also speziell. Grenzkreisfrequenz ω 0 = ω r = A0 =0 Amax 33.7 Amax [db] Da d relativ klein ist, ändert sich Phase schnell und steil. Setzen wir ein paar Werte für ω in (B.7) ein. ω ϕω ( ) Somit können wir das Bodediagramm zeichnen. G( jω ) = Fig B. Ein typisches Bodediagramm. Ordnung jω ω ω 0 =,d = 0.5, A0 = 0 und Amax = 33.7 AmaxdB = [db] 44

46 Expertengruppe C: Nyquistdiagramm allgemein (Dokument C.) Einführung in das Nyquistdiagramm ( = Ortskurve). Mathematische Grundlagen Bei einfachen elektrischen Netzwerken kann die Übertragungsfunktion (im folgenden ÜF genannt) durch Rechnung bestimmt werden. Diese ÜF wird komplex, sobald Elemente mit einer frequenzabhängigen ÜF vorhanden sind. (Ausser idealen Widerständen haben alle Elemente eine frequenzabhängige ÜF.) Wir gehen daher von der komplexen ÜF aus. Als Nyquistdiagramm bezeichnen wir die Darstellung dieser komplexen ÜF in einer komplexen Ebene, wenn ω von Null bis unendlich variiert wird. Jede komplexe Zahl oder Funktion kann auf zwei Arten dargestellt werden. Entweder als Summe aus Real- und Imaginärteil oder als Produkt von Betrag und Phasendrehung: ( ) Re ( ) j ( ) { } Im ( ) ( ) G jω = G jω + G jω = G jω e ϕ ω In der Figur C. ist eine ÜF dargestellt. Dabei sind die Werte angegeben, die zu den zwei Darstellungsarten gehören. Fig. C. Nyquistdiagramm von /(8s +3s+). Vorgehen ("Kochrezept") Das Vorgehen beim Zeichnen eines Nyquistdiagramms ist ähnlich wie beim Zeichnen einer "normalen" Kurve.. Die Schnittpunkte mit der reellen und der imaginären Achse suchen. Dazu setzen Sie jeweils den Imaginär- oder den Realteil null. Dann müssen Sie ω in den Schnittpunkten bestimmen. Dieses ω wird anschliessend in G(jω) eingesetzt. Die erhaltenen Punkte können Sie einzeichnen. 45

47 . Das Verhalten für ω = 0 und für ω bestimmen. 3. Wenn der Verlauf der Kurve noch nicht klar ist, müssen Sie noch Punkte dazwischen ausrechnen und einzeichnen. 4. Mit diesen Punkten sollte es dann möglich sein, die Kurve von Hand zu vervollständigen. 5. Einzeichnen, in welche Richtung ω zunimmt. (Das ist später wichtig für die Stabilitätsanalyse.) Beispiel 4 Wir wollen die ÜF G( s) = in einem Nyquistdiagramm darstellen. Die 5 s + 3 s+ gefundenen Punkte sind in der Figur C. bezeichnet.. Da wir eine Frequenzanalyse machen, ersetzen wir s durch jω. 4 G( jω ) = 5 ω + 3 jω + Zuerst suchen wir die Schnittpunkte mit der reellen Achse. G(jω) ist genau dann reell, wenn der Nenner reell ist. Also 3 j ω = 0 ω = 0 Setzen wir ω = 0 in die ÜF ein, so erhalten wir für G(0) = 4. (Punkt A) Jetzt bestimmen wir die Schnittpunkte mit der imaginären Achse. G(jω) ist genau dann imaginär, wenn der Nenner imaginär ist. Also 5ω = 0 ω =± =± Es ergeben sich also zwei Lösungen. Wir wollen keine negativen Frequenzen zulassen. Somit bleibt noch eine Lösung übrig, ω= 045. G(0.45) = 3.0 j (Punkt B). Den Nullpunkt (ω 0) haben wir schon bestimmt: G(0) = 4. (Punkt A) Für ω strebt der Nenner auch gegen, das bedeutet, G(jω) strebt gegen 0. (Punkt C) 3. Der Kurvenverlauf ist noch nicht ganz klar. Darum bestimmen wir noch zwei weitere Punkte. Wir möchten noch einen Punkt zwischen den Punkten A und B. Und einen weiteren zwischen B und C. Wir wählen daher ω = 0. und ω =. 46

48 G(0.) = j (Punkt D) G() = j (Punkt E) 4. Die Kurve können wir nun von Hand vervollständigen. (Das Beispiel wurde mit MATLAB gezeichnet.) Selbstverständlich wird die von Hand gezeichnete Kurve nicht ganz genau. Das spielt jedoch keine Rolle. Später muss man aus dem Nyquistdiagramm vor allem erkennen, in welchem Bereich Schnittpunkte mit den Achsen oder mit anderen Geraden auftreten. Für die genaue Analyse werden dann diese Punkte berechnet. Es ist also nur wichtig die Kurvenform qualitativ zu erkennen. 5. Zum Schluss zeichnen wir noch mit einem Pfeil ein, in welche Richtung ω zunimmt. Fig. C. Beispiel eines Nyquistdiagramms Zusammenfassung: Das Nyquistdiagramm stellt das Frequenzverhalten einer elektrischen Schaltung dar. Dabei variiert man die Kreisfrequenz ω von 0 bis unendlich und betrachtet das Verhältnis von Ausgang zu Eingang. Obwohl die Kreisfrequenz variabel ist, trägt man ω nicht auf der x-achse auf. Man zeichnet die ÜF direkt in der komplexen Ebene. Daher kann die Kreisfrequenz an einem bestimmten Punkt normalerweise nicht aus der Graphik herausgelesen werden. Das spielt aber bei der späteren Analyse keine Rolle. 47

49 3. Kombinationen Elektrische Schaltungen werden häufig aus einzelnen "Standardgliedern" aufgebaut. Von diesen einzelnen Teilschaltungen kennt man das Verhalten und hat vielleicht auch das Nyquistdiagramm (NyD) zur Hand. Dann kann man bei Parallel- oder Serieschaltungen das NyD der Gesamtschaltung geometrisch aus den NyD en der einzelnen Glieder bestimmen. a) Parallel geschaltete Glieder Werden zwei Glieder parallel geschaltet, so addieren sich ihre Ausgänge. G(jω) = G (jω) + G (jω) Das Addieren zweier komplexen Zahlen geschieht mit einer Vektoraddition. Also genau gleich, wie Sie es sich von der Physik her gewohnt sind beim Addieren zweier Kräfte. Fig. C.3 Vektoraddition bei fester Frequenz ω_a 48

50 b) Hintereinander geschaltete Glieder Da es sich bei der ÜF um eine komplexe Funktion handelt, wird sie auch wie eine komplexe Zahl multipliziert. Graphisch betrachtet führt man eine Vektormultiplikation durch. Wie dies gemacht wird, ersehen Sie aus folgender Gleichung: jϕ jϕ G( jω) = G( jω) G( jω) = G( jω) e G( jω) e j ( ϕ+ jϕ) = G ( jω) G ( jω) e Es werden also in jedem Punkt des Diagramms die Beträge multipliziert. Die Winkel werden gleichzeitig addiert. Fig. C.4 Multiplikation zweier komplexer ÜF 49

51 Expertengruppe D: Totzeitglied (Dokument D.) Kurzeinführung in das Bodediagramm Einleitung Eine Übertragungsfunktion (im folgenden ÜF genannt) definiert das Verhältnis von einer Ausgangsgrösse zu einer Eingangsgrösse eines Systems im Laplacebereich. Allgemein ist eine ÜF ein Funktion von s. Da wir nur an der Abhängigkeit von der Frequenz interessiert sind, ersetzen wir zum Zeichnen des Bodediagramms das s durch jω. Da wir einen grossen Frequenzbereich betrachten möchten, tragen wir ω logarithmisch auf. Ein Bodediagramm besteht immer aus zwei Diagrammen. Einmal wird der Betrag der ÜF aufgetragen und im zweiten Diagramm tragen wir die Phase auf. Mathematische Grundlagen Eine Übertragungsfunktion kann nach Betrag und Phase angegeben werden. G( j ) G( j ) e j ϕω ( ) ω = ω G( jω) : = Re{ G( jω)} + Im{ G( jω)} Im{ G( jω )} ϕ( ω) = arg( G( jω)): = arctan Re{ G( jω )} (A.) (A.) (A.3) A( ω) = G( jω) : = 0 log( G( jω) ) (A.4) db Bemerkungen: db ist die Abkürzung für Dezibel Umwandlungsformel: X db X 0 (A.5) bzw. X X db := 0 0 Für den Amplitudengang tragen wir j ( ) G( jω) = Re{ G( jω) } + jim{ G( jω) } = G( jω) e ϕ ω auf. Das hat zwei Gründe. Erstens wird in der Graphik ein grösserer Amplitudenbereich sichtbar gemacht, und zweitens kann man zusammengesetzte Funktionen einfach darstellen. Sind zwei Funktionen hintereinander geschaltet, so werden die ÜF multipliziert. Eine graphische Multiplikation ist ziemlich kompliziert. Wir haben aber Glück. Da wir die Funktionen logarithmisch auftragen, wird aus der Multiplikation eine Addition. Aus dem Mathematikunterricht wissen wir, dass der Logarithmus eines Produktes gleich der Summe der einzelnen Logarithmen ist. log (a. b) = log (a) + log(b) log(a.a..... a n ) = log(a ) + log(a ) log(a n ) 50

52 Für das Bodediagramm bedeutet das, dass hintereinander geschaltete ÜF graphisch addiert werden dürfen! Das ist wichtig, weil Totzeitglieder praktisch nie alleine vorkommen, sie treten meistens in Verbindung mit anderen Gliedern auf. In der Figur D.. sehen Sie ein Beispiel zweier hintereinander geschalteter Glieder, mit G ( jω ) = s0.+ und G ( jω ) = s0 + Fig. D.. Bodediagramm für G( jω) = G( jω) G ( jω), wobei die dicke Linie G( jω ) darstellt, die strichpunktierte Linie steht für G ( jω ) und die gestrichelte Linie stellt G ( jω ) dar. Zusammenfassung: Sie dürfen also eine beliebige Anzahl in Serie geschalteter ÜF. Ordnung zusammenfügen, wenn Sie die einzelnen Bodediagramme kennen. Sie müssen einfach die einzelnen Amplitudengänge und die einzelnen Phasengänge addieren. 5

53 Expertengruppe D: Totzeitglied (Dokument D.) Kurzeinführung in das Nyquistdiagramm ( = Ortskurve). Grundlagen Die ÜF einer Schaltung ist im allgemeinen komplex. Für das Nyquistdiagramm wird diese komplexe ÜF in einer komplexen Ebene aufgezeichnet. Jede komplexe Zahl oder Funktion kann auf zwei Arten dargestellt werden. Entweder als Summe aus Real- und Imaginärteil oder als Produkt von Betrag und Phasendrehung: G(jω) = Re{G(jω)} + j Im{G(jω)} = G(jω) e jϕ(ω) In der Figur D.. ist eine ÜF dargestellt. Dabei sind die Werte angegeben, die zu den zwei Darstellungsarten gehören.. Kombinationen Fig. D.. Nyquistdiagramm von /(8s +3s+) Elektrische Schaltungen werden häufig aus einzelnen "Standardgliedern" aufgebaut,deren Verhalten man kennt und vielleicht auch das Nyquistdiagramm (NyD). Dann kann man bei Parallel- oder Serieschaltungen das NyD der Gesamtschaltung geometrisch aus den NyD en der einzelnen Standardglieder bestimmen. a) Parallel geschaltete Glieder 5

54 Werden zwei Glieder parallel geschaltet, so addieren sich ihre Ausgänge. Für die gesamte ÜF gilt: G(jω) = G (jω) + G (jω) Das Addieren zweier komplexer Zahlen geschieht mit einer Vektoraddition. Also genau gleich, wie Sie es sich von der Physik her gewohnt sind beim Addieren zweier Kräfte. Fig. D.. Vektoraddition bei fester Frequenz ω 53

55 b) Hintereinander geschaltete Glieder Da es sich bei der ÜF um eine komplexe Funktion handelt, wird sie auch wie eine komplexe Zahl multipliziert. Graphisch betrachtet führt man eine Vektormultiplikation durch. Wie dies gemacht wird, ersehen Sie aus folgender Gleichung: ω ω ω ω ω jϕ G( j ) = G( j ) G( j ) = G( j ) e G( j ) e j ( ϕ+ jϕ) = G ( j ) G ( j ) e ω ω jϕ Es werden also in jedem Punkt des Diagramms die Beträge multipliziert; die Winkel werden addiert. Fig. D..3 Multiplikation zweier komplexer ÜF 54

56 Expertengruppe D: Totzeitglied (Dokument D.3) Einführung in Totzeitglieder. Das Totzeitglied Legt man an ein Totzeitglied ein Signal an, so reagiert der Ausgang erst mit einem gewissen Zeitverzug T. Der Ausgang ist proportional zum Eingang, es braucht aber eine gewisse Zeit t T t, bis er reagiert. Ein Totzeitglied hat also folgende Schrittantwort: 4 K 3 Ausgang 0 T t Eingang Fig D.3. Schrittantwort eines idealen Totzeitgliedes t [s] Falls die Totzeit T t gegen 0 geht, wird der Eingang einfach mit K multipliziert. Falls nichts anderes angegeben ist, nehmen wir K als an. Für ein K von und eine Totzeit von 0 können wir die Totzeit vernachlässigen. Am liebsten würden wir alle Totzeitglieder vernachlässigen, denn die Analyse einer Schaltung wird sofort viel komplizierter, wenn Totzeitglieder vorhanden sind. Doch wann können wir eine Totzeit vernachlässigen? Entscheidend ist, wie sich T t zur angelegten Frequenz verhält. Falls die Totzeit viel kleiner ist als die Periodendauer des Eingangssignals, so können wir sie vernachlässigen. Wenn die Periode des Eingangssignals im Bereich der Totzeit liegt, gibt es eine merkliche Verschiebung um die Zeit T t. Also: Je grösser T t im Verhältnis zur Periodendauer des Eingangssignals ist, desto grösser ist der Einfluss des Totzeitgliedes.. Veränderungen im Bodediagramm Ein Totzeitglied hat folgende ÜF: G s K e s T t ( ) = wobei T t die Totzeit oder Laufzeit ist (engl. delay). 55

57 Das Bodediagramm dieses Totzeitgliedes ist in Fig D.3. dargestellt. Fig D.3. Totzeitglied mit einer Totzeit von 0.00s: G( j ) = e ω jω 0.0 Der Betrag ist unabhängig von der Frequenz. Diese Tatsache ist auch aus der ÜF ersichtlich. Das frequenzabhängige Element darin ist e j ω T t. Aus der komplexen Rechnung wissen wir, dass der Betrag einer Zahl hoch einer imaginären Zahl immer ist: x jy Die Phase hingegen ist nicht konstant. Die Kurve der Phase sinkt bei hohen Frequenzen sehr steil ab. Aus der Fig. D.3. sehen wir, dass der Einfluss des Totzeitgliedes mit höherer Frequenz zunimmt. Betrachten wir 3 Punkte: ω = 0 rad / s ω = 00 rad / s ω = 00 π rad / s = 34. rad / s ϕ = arg( G( jω )) = ϕ = arg( G( jω )) = ϕ = arg( G( jω)) = π 80.0 Diese Zahlen zeigen, wie stark die Phasenverschiebung zunimmt. Betrachten wir einen weiteren wichtigen Punkt. Bei ωt t = π ergibt sich eine Phasenverschiebung von 80. Dort sieht das Eingangssignal wie das invertierte Signal aus! Dieser Punkt ist übrigends zentral bei der Untersuchung der Stabilität von gegengekoppelten Kreisschaltungen, wie z.b. Regelkreisen. 56

58 sin( ωt ) sin( ωt +80 ) Fig D.3.3 Sinus mit einer Phasenverschiebung von 80 Was passiert nun, wenn wir ein Totzeitglied hinter eine beliebige Funktion schalten? Werden zwei Glieder hintereinander geschaltet, so multiplizieren sich die ÜF. Im Bodediagramm addieren sich Betrag und Phase. In Fig. D.3.4 ist das Bodediagramm einer solchen Hintereinanderschaltung aufgezeichnet. Das Totzeitglied hat eine Betrag von, daher wird über den ganzen Frequenzbereich 0 ( 0 log( ) = 0 ) zum ursprünglichen Betrag addiert. Auch die Phasen addieren sich. Ab ca. ω / Tt dominiert die Phasenverschiebung des Totzeitgliedes. s T G( s) = e t mit Tt = 0.; 0.0; 0.05; 0.30 s 0.3 s + Fig D.3.4 Vergleich ohne und mit verschiedenen Totzeit-Werten 57