Ski Alpin Luftwiderstand, Anzüge und Positionen

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1 Maturaarbeit Oktober 2016 Ski Alpin Luftwiderstand, Anzüge und Positionen Autorin oder Autor, Klasse Lukas Bühler, M4a Betreuende Lehrperson Markus Hägi

2 Kantonsschule Ausserschwyz 1 Inhaltsverzeichnis 1. Vorwort Danksagung Abstract Einleitung Theorie Ski-Alpin und Equipment Physik der schiefen Ebene Strömungslehre Luftwiderstand Strömungswiderstandskoeffizient und Angriffsfläche Materialien und Methoden Zeitmessungen und Bestimmung der Luftdichte Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Höhenbestimmung Höhenbestimmung von Hand Höhenbestimmung Digital Geschwindigkeitsbestimmung Videoaufnahme Videoanalyse Bestimmung der Angriffsfläche Fotoaufnahme Flächenbestimmung Luftwiderstands- und c w-wert-berechnung Ansatz Berechnung...25

3 Kantonsschule Ausserschwyz 2 6. Resultate Resultate Messungen Ergebnisse Zeitmessungen Resultate Geschwindigkeits- und Angriffsflächenbestimmung Resultate c w-wert Berechnungen Diskussion Die Ergebnisse Signifikante Ziffern und Messfehler Interpretation Vergleich Optimierungsmöglichkeiten Fazit Quellverzeichnis Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis Eigenständigkeitserklärung...40

4 Kantonsschule Ausserschwyz 3 1. Vorwort Ich stehe auf den Skiern seit ich denken kann. Meine Eltern sind gute und passionierte Skifahrer und so lag es nahe, dass auch ich mir das Skifahren zu einem Hobby machte. Ich ging in die Skischule und später in den Skiclub, wo ich auch Skirennen fuhr. Der Kampf um jede Hundertstelsekunde begeisterte mich immer mehr, was zur Folge hatte, dass ich von da an jedes Wochenende, von Mitte November bis Anfangs April, auf den Skiern stand. Ich trainierte und fuhr Rennen, Saison für Saison, Jahr für Jahr, bis zu meinem 16. Lebensjahr. Von da an konnte ich nur noch FIS Rennen fahren und selbstständig trainieren, da ich die Aufnahme in ein kantonales Nachwuchskader leider nicht schaffte. Ich entschied mich dagegen auf eigene Faust die FIS Rennen zu fahren und begann die Ausbildung zum Ski-Trainer. Heute bin ich JO-Leiter und unterstütze den Nachwuchs im Skiclub Beverin. Beim Skifahren spielt die Physik eine grosse Rolle. Dabei gibt es viele Faktoren, welche die Zeit und die Geschwindigkeit eines Fahrers beeinflussen, wie zum Beispiel die Gleitreibung zwischen Ski und Schnee, die Masse des Fahrers und die daraus resultierende Beschleunigung oder auch der Luftwiderstand. Jeder Skifahrer weiss, dass er aufrechtstehend nie so schnell ist wie in der Hocke. Doch wie viel macht die Hocke wirklich aus? Wie viel schneller ist man effektiv und wie gross ist der Luftwiderstand bei welcher Haltung? Auf das Thema Luftwiderstand beim Skifahren als Maturaarbeit kam ich nicht von selbst. Ich wollte etwas machen das mich persönlich interessiert, so kam ich aufs Skifahren. Nach der Eingrenzung des Themas auf das Skifahren, wusste ich sofort, dass ich mich auf die Physik konzentrieren möchte. Mit Hilfe meines Betreuungslehrers grenzte ich die Arbeit dann auf den Luftwiderstand ein, denn nur schon dieses Teilgebiet der Physik beim Skifahren ist sehr umfangsreich. 1.1 Danksagung Ich möchte mich an erster Stelle bei Markus Hägi bedanken, meinem Physiklehrer und Betreuungslehrer dieser Arbeit. Er stand mir jederzeit mit seinem Wissen und seiner Kompetenz zur Verfügung. An zweiter Stelle möchte ich mich bei Toni Calonder bedanken, dem Coach des Skiclub Beverins, welcher mir half, meinen Versuch durchzuführen und das notwendige Equipment für die Zeitmessungen zur Verfügung stellte. Ebenfalls bedanke ich mich bei David Bühler und Gianin Bürgi, den zwei

5 Kantonsschule Ausserschwyz 4 Versuchs-Fahrern, für ihre Unterstützung. Ich danke auch dem Skiclub Beverin und der Skilifte Tschappina AG für die Bereitstellung der Piste. 2. Abstract In dieser Arbeit wird der Luftwiderstand verschiedener Anzüge und Positionen beim Ski-Alpin untersucht. Dabei konzentrierte ich mich auf zwei Positionen und zwei Anzüge und bestimmte in einem Versuch deren Luftwiderstand. Als Positionen nahm ich die Hocke und den aufrechten Stand eines Skifahrers, und für die Anzüge einen normalen Skianzug und einen Skirennanzug, wie man ihn in den Skirennen sieht. Ich berechnete jedoch nicht einfach den Luftwiderstand, sondern bestimmte die sogenannten Strömungswiderstandskoeffizienten, auch c w-werte genannt, um die Positionen und Anzüge miteinander zu vergleichen. Diese c w-werte beschreiben die Form des Körpers und sind ein Mass für die Windschlüpfrigkeit. Je kleiner der c w-wert eines Körpers ist, desto windschlüpfriger ist der Körper. Das Ziel war es am Ende zu wissen, wie viel besser die eine Position gegenüber der anderen ist. In einem Versuch mit zwei Fahrern und 16 Läufen bestimmte ich den Luftwiderstand von jeder möglichen Kombination von Anzug, Fahrer und Position. Ich machte von jedem Lauf ein Video und ein Foto und bestimmte mit diesen die Endgeschwindigkeit und die Stirnfläche. Mit allen nötigen Angaben und den physikalischen Teilgebieten der Strömungslehre und der Mechanik konnte ich die c w-werte ausrechnen. Das Resultat war verblüffend, die Hocke hatte einen grösseren c w-wert als der aufrechte Stand. Auch der Rennanzug hatte einen grösseren c w-wert als der normale Skianzug. Das bedeutete, dass die Hocke weniger windschlüpfrig ist, als der Stand, aber sie trotzdem schneller ist. Ein Skifahrer, welcher sich in die Hocke begibt, geht also freiwillig in eine weniger windschlüpfrigere Position, ist aber trotzdem schneller, da die Stirnfläche der Hocke so viel kleiner ist, als die des aufrechten Standes und so der Gesamtwiderstand kleiner ist.

6 Kantonsschule Ausserschwyz 5 3. Einleitung Beim Skirennen zählt jeder Hundertstel. Die Laufzeit wird von vielen Faktoren beeinflusst, wie zum Beispiel der Technik des Fahrers, dem Wachs auf den Skiern, dem Anzug des Fahrers, dem Gewicht des Fahrers sowie der Grösse des Fahrers. Ein Schlüsselfaktor ist der Luftwiderstand, es ist das Ziel diesen möglichst gering zu halten. Je kleiner der Luftwiderstand ist, desto grösser sind die Beschleunigung und die Höchstgeschwindigkeit eines Fahrers. Bei Ski-Alpin-Rennen werden deshalb hautanliegende Rennanzüge getragen. Diese können aus verschiedenen Materialien sein und über unterschiedliche Oberflächenstruktur verfügen. Ebenfalls ist es für die Laufzeit der Fahrer von enormer Bedeutung, so lange wie möglich in der Hocke zu verweilen, um so den Faktor Luftwiderstand möglichst optimal, das heisst gering zu halten. Als Trainer von jungen Skirennfahrern ist es wichtig zu verstehen, wie viel ein Rennanzug ausmacht und wann und wo man in einem Rennen in die Hocke gehen soll. Das Verständnis über den Luftwiderstand ist für jeden Skirennfahrer von grosser Bedeutung um schnelle Zeiten zu fahren. Ziel meiner Arbeit war es herauszufinden wie viel die Hocke und die Rennanzüge wirklich ausmachen. Wie viel besser ist es in der Hocke zu fahren, als in einer anderen, nicht aerodynamischen Position? Wie gross ist der Vorteil eines Fahrers im Rennanzug gegenüber einem Fahrer ohne? Um diese Fragen zu klären wurde eine Feldarbeit durchgeführt um anschliessend den Luftwiderstand in verschiedenen Anzügen und Positionen zu vergleichen. Ich habe, auf einer Strecke von 200 Metern und einem Gefälle von 20%, Zeitmessungen durchgeführt und die Endgeschwindigkeit durch Videoanalyse bestimmt um im Nachhinein für jede Kombination von Fahrer, Anzug und Position den Luftwiderstand und den dazugehörigen Strömungswiderstandskoeffizienten, auch c w-wert genannt, zu berechnen. Diese c w-werte können untereinander verglichen werden und dann können Aussagen zur Windschlüpfrigkeit getroffen werden. Die Resultate des Versuches waren verblüffend und schlussendlich auch einleuchtend.

7 Kantonsschule Ausserschwyz 6 4. Theorie 4.1 Ski-Alpin und Equipment Beim Ski-Alpin wird um jede Hundertstelsekunde gekämpft, logischerweise spielt die Ausrüstung deshalb auch eine grosse Rolle neben der reinen Fahrtechnik des Rennfahrers. Zur Ausrüstung gehören zum Beispiel die Skier des Fahrers, der Anzug und einige andere Utensilien, welche von kleinerer Bedeutung sind, wie zum Beispiel die Skistöcke. Heute gibt es viele verschiedene Ski Anzüge und auch Haltungen unterscheidet man einige. In dieser Arbeit konzentriere ich mich aber nur auf zwei Positionen und zwei Anzüge. Die Skier schaue ich mir nicht explizit an, da sie praktisch keinen Einfluss auf den Luftwiderstand haben. Sie sind aber trotzdem nicht zu vernachlässigen, da unterschiedliche Skier in unterschiedlichen Geschwindigkeiten resultieren. Positionen: Eine Position ist die Hocke, dabei wird von einer normalen Abfahrtshocke (Abbildung 1) ausgegangen. Diese Position verringert den Luftwiderstand und erhöht somit die mögliche Höchstgeschwindigkeit und die Beschleunigung eines Fahrers. Als Vergleichsposition wählte ich den aufrechten Stand (Siehe Abbildung 2), welcher keine optimale aerodynamische Position ist und im Skirennsport normalerweise nicht gebraucht wird. Man sieht ihn allerdings öfters neben der Rennstrecke. Anzüge: Bei den Anzügen wählte ich den aerodynamischen Skirennanzug (Abbildung 1) und einen normalen, alltäglichen Skianzug (Abbildung 2). Der Skirennanzug (Abbildung 1) wird im Ski-Alpin bei allen Disziplinen verwendet und hat gegenüber dem normalen Ski-Anzug einen geringeren Luftwiderstand, da er auch hauteng ist. Der normale Skianzug (Abbildung 2) trifft man zum Beispiel bei Freestyle Disziplinen an, in welchen der Fokus nicht auf einer Laufzeit liegt. Er eignet sich aber als Vergleichsobjekt hervorragend.

8 Kantonsschule Ausserschwyz 7 Abbildung 1: Skifahrer in Rennanzug und Hocke (Wick Jon, ) 1 Abbildung 2: Skifahrer in normalem Skianzug und aufrechtem Stand 1 Abbildung 1: (Wick, 2010)

9 Kantonsschule Ausserschwyz Physik der schiefen Ebene Die schiefe Ebene ist ein Teilgebiet der Mechanik in der Physik und beschreibt Kräfte an einem Hang oder einem Gefälle. Die schiefe Ebene (Abbildung 3) hat eine Neigung mit dem Winkel α, eine Höhe (Gegenkathete) von h, eine Breite (Ankathete) b und eine Länge (Hypotenuse) l. Der Körper liegt auf der Ebene auf und es wirkt die Gewichtskraft (F G ) auf ihn. Die Gewichtskraft ist F G = m g. 2 Das bedeutet die Gewichtskraft entspricht der Masse (m) des Körpers, multipliziert mit der Fallbeschleunigung (g) ergibt die Kraft in Newton, welche den Körper, am Schwerpunkt angreifend, in Richtung Erdmittelpunkt zieht. Laut Halliday, Resnick und Walker entspricht die Fallbeschleunigung 9,81 m s 2.3 Sie lässt sich, wie in Abbildung 3 erkennbar ist, in zwei Teilkräfte aufspalten. Die eine Kraft ist die Hangabtriebskraft (F H ), welche parallel zur Ebene ist und die Kraft beschreibt, welche den Körper an der Ebene entlang zieht. Die Andere Kraft, in welche die Gewichtskraft aufgespalten wird, ist die Normalkraft (F N ), sie steht senkrecht zur Ebene. 2 F G = m g (Halliday, Resnick, & Walker, 2010), S g = 9,81 m s2 (Halliday, Resnick, & Walker, 2010), S.1060 (Appendix C)

10 Kantonsschule Ausserschwyz 9 Abbildung 3: Schiefe Ebene (Zenz Rainer, ) 4 Die Hangabtriebskraft und die Normalkraft werden wie folgt definiert: F H = F G sin α 5 F N = F G cos α 6 Hierbei steht α für den Winkel der Ebene und F G für die zuvor erläuterte Gewichtskraft. Dann gäbe es noch die Haftreibungskraft F R, welche wie folgt definiert ist: F R = μ F N 7 Dabei ist μ der Reibungskoeffizient und ist ein Mass für die Reibung zwischen dem Körper und der Oberfläche. 4 Abbildung 3: Schiefe Ebene (Zenz, 2005) 5 F = m g sin θ (Halliday, Resnick, & Walker, 2010), S F N = m g cos θ (Halliday, Resnick, & Walker, 2010), S f k = μ k F N (Halliday, Resnick, & Walker, 2010), S. 119

11 Kantonsschule Ausserschwyz Strömungslehre «Unter einer Strömung versteht man die Bewegung von Flüssigkeiten oder Gasen» 8 Die Strömungslehre ist ein Teilgebiet der Physik und beschreibt das Verhalten von Flüssigkeiten und Gasen. Sie findet Anwendungsmöglichkeiten in sehr vielen Bereichen, so auch beim Skisport, denn mit ihr kann das Verhalten von Objekten beschrieben werden, welche Luft oder Wind ausgesetzt sind Luftwiderstand Der Luftwiderstand ist die Kraft, welche die Luft gegen Körper in Bewegung, relativ zu ihr, ausübt. Die Luft bremst also alle von ihr umgebenen Körper in Bewegung, relativ zu ihr. In der Strömungslehre spricht man allerdings nicht speziell vom Luftwiderstand, sondern von Strömungswiderstand, welcher die Strömungswiderstandskraft in allen Gasen und Flüssigkeiten beschreibt, denn das Verhalten von Gasen und Flüssigkeiten beim Umströmen von Körpern ist praktisch identisch. Der Strömungswiderstand eines Körpers ist abhängig von der Geschwindigkeit des anströmenden Fluides, von den Eigenschaften des Fluides und von den geometrischen Eigenschaften des Körpers. Der Strömungswiderstand wird wie folgt berechnet: F w = 1 2 c w A ρ v 2 9 c w ist der Strömungswiderstandskoeffizient und A ist die Angriffsfläche. Diese beiden Variablen sind im nächsten Kapitel «Strömungswiderstandskoeffizient und Angriffsfläche» detaillierter beschrieben. In der Formel kommt als nächstes der griechische Buchstaben «Rho» (ρ). Er steht für die Dichte des Fluides, in unserem Fall ist das die Dichte der Luft. Als letztes kommt das Quadrat der relativen Geschwindigkeit des Fluides zum Körper (v). Um nun den korrekten Strömungswiderstand zu erhalten, muss das Ganze noch mit einem Faktor von 1 2 multipliziert werden. 8 (Kuchling, 1988), S F W = c A ρ 2 v2 (Kuchling, 1988), S.166

12 Kantonsschule Ausserschwyz 11 In der Formel lässt sich erkennen, dass der Strömungswiderstand von der Geschwindigkeit im Quadrat abhängig ist. Das heisst bei doppelter Geschwindigkeit ist der Strömungswiderstand viermal so gross. Bei dreifacher Geschwindigkeit beträgt der Strömungswiderstand das Neunfache. Um den Luftwiderstand zu erhalten müssen wir die Luftdichte bestimmen. Die Luftdichte ist abhängig von dem Luftdruck und der Luftfeuchtigkeit. Beide dieser Faktoren sind Wetter und Standortsabhängig. Die Formel zur Berechnung der Luftdichte ist: ρ = p R s T 10 Wobei p dem Umgebungsdruck in Pascal entspricht, R s ist die spezifische Gaskonstante für trockene Luft ( R s = 287,058 J kg K )11 und T entspricht der Lufttemperatur in Kelvin. Diese Formel bezieht sich allerdings nur auf die Dichte von trockener Luft, also 0% Luftfeuchtigkeit Strömungswiderstandskoeffizient und Angriffsfläche Der Strömungswiderstandskoeffizient, auch Widerstandsbeiwert oder c w-wert genannt, beschreibt die Form des umströmten Körpers in der Strömungslehre. «Umgangssprachlich ausgedrückt ist der c w-wert ein Maß das die [sic!] "Windschlüpfigkeit" des Körpers wiedergibt.» 12 Für viele praktische Zwecke kann man lediglich einzelne c w-werte miteinander vergleichen und dann Aussagen über ihre Windschlüpfrigkeit treffen. Die nachfolgende Abbildung (Abbildung 4) stammt aus einer englischen Quelle. Der Ausdruck Cd steht für drag coefficient und ist das englische Äquivalent zum c w-wert. 10 (Luftdichte, kein Datum) [ ] 11 (Luftdichte, kein Datum) [ ] 12 (Kirchner, kein Datum) [ ]

13 Kantonsschule Ausserschwyz 12 Abbildung 4: Vergleich verschiedener Körper und deren cw-werten (Mendonca Celso, 2011) 13 Je kleiner der cw-wert, desto windschlüpfriger der Körper. Wie man aus der Abbildung lesen kann, ist der tropfenförmige Körper derjenige mit dem kleinsten Strömungswiderstandskoeffizienten und die leere Halbkugel, mit der konkaven Seite gegen die Stromrichtung, der Körper mit dem grössten. Das liegt daran, dass es hinter einem tropfenförmigen Körper praktisch keine Verwirbelungen gibt. Der cw-wert ist formabhängig, aber unabhängig von der Grösse des Körpers. Das heisst, ein gewisser Körper hat im Miniatur-Format und Gross-Format denselben c w-wert, nicht aber denselben Strömungswiderstand. Der Strömungswiderstand ist nämlich auch abhängig von der Angriffsfläche des Körpers, welche eine Aussage über die Grösse des Körpers macht. Die Angriffsfläche (A), wobei A für das englische Wort Area (= Fläche) steht, wird auch Referenzfläche genannt. Die Referenzfläche wird je nach Anwendungsbereich anders gewählt. Zum Beispiel in der Aviatik wird die Fläche der Tragflächen eines Flugzeugs als Referenzfläche genommen und nicht dessen Stirnfläche. In unserem Fall wird speziell die Stirnfläche des Körpers als Referenzfläche verwendet, also die dem Strom zugewandte Fläche, an welcher die Luft angreifen kann. Man gibt sie in Quadratmeter (m 2 ) an. Die Angriffsfläche ist, im Gegensatz zum c w-wert, unabhängig von der Form eines Körpers. Alle Körper in Abbildung 4, ausser dem Flügelprofil, haben dieselbe Angriffsfläche. 13 Abbildung 4 (Mendonca, 2011)

14 Kantonsschule Ausserschwyz 13 Man könnte sagen, der c w-wert beschreibt die Form des Körpers und die Angriffsfläche beschreibt die Grösse des Körpers, und so beschreiben die beiden Parameter die Geometrie des Körpers in der Strömungslehre. Normalerweise werden c w-werte in einem Windkanal bestimmt. In dieser Arbeit werden diese aber über die Formel des Strömungswiderstandes berechnet. Die Formel des Strömungswiderstandes umgeformt nach dem Strömungswiderstandskoeffizienten ist wie folgt: c w = 2 F w A ρ v 2 14 Mit ihr werden in den folgenden Kapiteln die c w-werte berechnet. 14 Umformung von F W = c A ρ 2 v2 (Kuchling, 1988), S.166

15 Kantonsschule Ausserschwyz Materialien und Methoden Um den Strömungskoeffizienten für einzelne Anzüge und Positionen berechnen zu können, braucht man verschiedene Angaben und Messwerte. In einem Versuch sollten alle notwendigen Parameter gemessen werden, um anschliessend die c w-werte zu bestimmen. Diese Arbeit beschränkt sich auf zwei unterschiedliche Positionen und zwei Skianzüge. Die ausgewählten Positionen sind die Hocke und der aufrechte Stand. Bei den Anzügen wird zwischen einem Standard-Skirennanzug und einem normalen Skianzug unterschieden (Siehe Abbildungen 1 & 2, Kapitel 4.1 «Ski-Alpin und Equipment»). Für den Versuch wurden zwei Fahrer aufgeboten, welche beide ähnlich gross und ähnlich schwer waren. Ihre exakte Masse wurde mir bekanntgegeben und die zusätzliche Masse für die Ausrüstung wurde separat gewogen und ein der Berechnung ebenfalls berücksichtigt. 5.1 Zeitmessungen und Bestimmung der Luftdichte Der Versuch wurde am Nachmittag des durchgeführt. Es war ein eher warmer Winter Nachmittag im März. Das Wetter war klar und der Schnee gut, er war nicht klebrig, aber auch nicht zu hart oder gefroren, ideale Bedingungen um skizufahren. Es war die ganze Zeit absolut Windstill, doch in den Nachmittag hinein wurde es immer wärmer Versuchsaufbau Der Versuch war so aufgebaut, dass ein Fahrer in einem Lauf zwei Lichtschranken passieren musste. Sobald er die erste Lichtschranke passierte, löste er die Zeitmessung aus und es wurde die Zeitmessung gestartet. Die Zeit wurde gestoppt, sobald der Fahrer die zweite Lichtschranke passierte. Die Strecke zwischen den Lichtschranken betrug 200 Meter. Diese 200 Meter wurden zuerst von Hand geradlinig ausgemessen und dann die Lichtschranken entsprechend platziert. Es lagen ein Thermometer und Barometer im Ziel bereit, sowie eine Digitalkamera um jeden Lauf der Fahrer aufzunehmen. All dies war am rechten Rand des Ziels, in Fahrtrichtung, positioniert (Siehe Abbildung 5) und am linken Rand des Ziels war das Equipment für die Zeitmessung aufgebaut. Der Start und das Ziel waren ausserdem beide mit einem Funkgerät ausgerüstet um die Kommunikation mit den Fahrern zu vereinfachen. So war es möglich den Fahrern Informationen und Anweisungen zum weiteren Verlauf des

16 Kantonsschule Ausserschwyz 15 Versuches zu geben. Ausserdem hatte die Strecke von Start bis Ziel ungefähr dieselbe Steigung, abgesehen von einigen Unebenheiten. Die Steigung und die Höhe des Gefälles wurden nach dem Versuch empirisch ermittelt, mehr dazu im Kapitel «Höhenbestimmung». Start 38m Kamera Ziel Abbildung 5: Aufbau des Versuches Versuchsdurchführung Bei der Durchführung des Versuches wurden insgesamt 16 Läufe gefahren. Jeder der zwei Fahrer musste einmal im Rennanzug und im normalen Skianzug je einmal in der Hocke und im Stand fahren, das macht vier Läufe pro Fahrer. Der Versuch wurde mit zwei verschiedenen Fahrern durchgeführt, was acht Läufe ergibt. Um Messfehler auszuschliessen wurde diese Versuchsreihe dann zweimal durchgeführt, das ergibt total 16 Läufe. Die Versuchsreihen, mit je 8 Läufen, wurden separat durchgeführt, das heisst unabhängig voneinander. Mit anderen Worten: Es wurde nicht dieselbe Kombination von Position und Anzug direkt nacheinander durchgeführt. In der ersten Versuchsreihe trugen beide Fahrer ihre eigenen Skier. Der erste Fahrer trug einen 1.70 m Riesenslalom Ski und der zweite Fahrer trug einen 1.45 m Slalom Ski. Bei der zweiten Versuchsreihe fuhren die zwei Fahrer aber andere, praktisch identische Skier. Sie fuhren dann beide Super-G Skier derselben Marke, mit 1.90 m und 1.95 m Länge.

17 Kantonsschule Ausserschwyz 16 Die fünf Zentimeter Längenunterschied machen aber auf dieser Skipiste und Länge praktisch nichts aus. So kann man den Faktor Ski ausschliessen. Es wurde jeder einzelne Lauf der Fahrer mit einer Kamera aufgenommen und nach jedem Lauf eines Fahrers die Lufttemperatur und der Luftdruck gemessen um die Luftdichte bestimmen zu können. Die Luftfeuchtigkeit wurde nicht berücksichtigt, da sich diese aufgrund der sehr stabilen Wetterverhältnisse kaum veränderte. Es wurde zudem jede Kombination von Fahrer, Anzug und Position von vorne fotografiert, mit derselben Kamera die für Aufzeichnung der Läufe benutzt wurde. Ausserdem wurde auf jedem dieser Fotos ein Doppelmeter neben den Fahrer gehalten, welcher bei der Angriffsflächenbestimmung als Referenzlänge diente. Aus diesem Foto wurde später die Angriffsfläche bestimmt. (Siehe Kapitel 5.4 «Bestimmung der Angriffsfläche») 5.2 Höhenbestimmung Für die Berechnung der Strömungswiderstandskoeffizienten wird der Winkel des Gefälles benötigt. Diesen Winkel kann man bestimmen, sobald die Länge und die Höhendifferenz der Strecke bekannt sind. Um diese Höhe zu bestimmen wurden zwei Möglichkeiten in Betracht gezogen. Die eine Möglichkeit ist Vorort mit der nötigen Ausrüstung und Unterstützung die Höhe von Hand zu bestimmen. Die andere Möglichkeit ist digital über die Geo-Location Daten, welche zum Beispiel für GPS- Navigationssysteme benötigt werden, die Höhe zu bestimmen. Es wurden beide Möglichkeiten durchgeführt und die Resultate verglichen Höhenbestimmung von Hand Die Höhendifferenz des Gefälles wurde erst ein paar Wochen nach den Versuchen bestimmt. Der Schnee war grösstenteils schon geschmolzen, die Steigung bleibt aber dieselbe. Um die Höhe von Hand zu bestimmen, wurde folgendermassen vorgegangen: Es wurden an Start und Ziel je ein Stock in vertikaler Position platziert. Im Ziel wurde eine Wasserwage waagrecht auf das obere Ende des vertikalen Stockes gehalten. Nun wird mit einem Geo-Dreieck auf den oberen (bergseitigen) Stock gezielt. Der entstandene Winkel zwischen Geo-Dreieck und Wasserwage entspricht dem Winkel des Gefälles. Zur Veranschaulichung der Vorgehensweise ist hier noch eine Skizze des Aufbaus im Ziel angefügt.

18 Kantonsschule Ausserschwyz 17 Winkel α Wasserwage Geo-Dreieck Höhenbestimmung Digital Abbildung 6: Veranschaulichung Höhenmessung von Hand Die andere Methode ist die digitale Höhenbestimmung, man kann sie zum Beispiel zur Bestätigung der ersten Messungen verwenden. Mit Google Earth 15 kann eine Strecke ausgemessen und deren Höhenprofil anzeigt werden. Dazu muss man mit dem Streckentool von Google Earth eine Strecke ziehen; in unserem Fall von Start bis zum Ziel. Wichtig ist, dass die Strecke wieder den abgemessenen 200 Metern entspricht. Mit dem eingeblendeten Höhenprofil zeigte sich, dass die Geo-Location Daten von Google an diesem Ort sehr unpräzise sind. Aus diesem Grund wurde das Ergebnis der digitalen Höhenbestimmung nicht weiterverwendet. Abbildung 7: Google Earth Höhenbestimmung weist Fehler auf 15 Google Earth (Version: ): [ ]

19 Kantonsschule Ausserschwyz Geschwindigkeitsbestimmung Um den Luftwiderstand und den Strömungswiderstandskoeffizienten zu berechnen wird die Maximalgeschwindigkeit benötigt. Mit einem Video, einer Referenzlänge im Bild und der Framerate 16 des Videos kann man die Geschwindigkeit eines nachverfolgbaren Punktes bestimmen. Dies wird in dieser Arbeit getan um die Endgeschwindigkeit der Fahrer zu bestimmen, welche in unserem Fall auch der Maximalgeschwindigkeit entspricht. Dass die Endgeschwindigkeit und die Maximalgeschwindigkeit identisch sind, liess sich auch in der Videoanalyse für die Geschwindigkeitsbestimmung erkennen Videoaufnahme Es wurde jeder Lauf der Fahrer von Start bis Ziel gefilmt. Man versuchte das Video möglichst ruhig aufzunehmen um eine einfachere Videoanalyse zu erhalten. Ausserdem gibt es keine Bezugspunkte, welche immer da sind, da das Video mit dem Fahrer im Fokus gefilmt wurde und so sich der Kontext stets änderte. Die Kamera war eine 8 MP Digitalkamera und konnte 1080p-HD-Videos aufnehmen mit 30 FPS. Beispielbilder eines Videos: Abbildung 8: Beispiel Bild aus dem Video eines Laufes 16 Framerate: Englisch für Bildrate. Das ist die Zahl, welche angibt wie viele Bilder pro Sekunde im Video enthalten sind.

20 Kantonsschule Ausserschwyz 19 Abbildung 9: Beispiel Bild 2 aus dem Video eines Laufes Gut sichtbar ist auch die abgesperrte Piste, auf welcher der Versuch durchgeführt wurde Videoanalyse Für die Videoanalyse wurde das Programm Tracker 17 verwendet. OSP Tracker ist ideal um Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aus Videos zu bestimmen. Die Geschwindigkeit ergibt sich bekanntlich aus der Strecke über der Zeit (v = s t )18. Mit der Framerate kann man die Zeitdifferenz zwischen den einzelnen Bildern berechnen, welche dann für die Zeit (t) eingesetzt wird. Zudem braucht man eine Referenzlänge im Bild um den Massstab von Pixeln zu Metern zu ermitteln. Ebenfalls wird noch die Differenz der Strecke benötigt, welche ein Punkt von Bild zu Bild zurücklegt um die Geschwindigkeit zu bestimmen. Das Programm Tracker macht genau das. Es lässt den Benutzer Punkte im Bild markieren und kann diese dann auf den weiteren Bildern nachverfolgen. Man muss allerdings auch ein Koordinatensystem festlegen und eine Referenzlänge auswählen um die korrekte Geschwindigkeit zu erhalten. 17 OSP Tracker (Version: ): [ ] 18 v = x (Halliday, Resnick, & Walker, 2010), S.17 t

21 Kantonsschule Ausserschwyz 20 In meinem Fall war das Ganze ein wenig komplizierter, da man in den Videos die Punkte und das Koordinatensystem verschieben musste. Ausserdem veränderten sich die Referenzlängen aufgrund der perspektivischen Streckung und Verkürzung. Dies war der Fall, weil das Video nicht genügend gut aufgenommen wurde. Die Kamera wurde bewegt um den Fahrer stets im Bild zu haben, am besten wäre jedoch gar keine Bewegung der Kamera, da man ohnehin nur die Endgeschwindigkeit brauchte. Doch auch diese Probleme konnten mit Tracker bewältigt werden. Tracker kann selbständig Punkte im Bild verfolgen und das Koordinatensystem von Bild zu Bild verschieben. Dasselbe ist möglich mit Anfangs und Endpunkten von Referenzlängen. Trotzdem muss man sich das Video Bild für Bild in Tracker anschauen um sicher zu gehen, dass alles richtig durchgeführt wurde. Ich setzte den Nullpunkt des Koordinatensystems auf den Fuss der Lichtschranke und als Referenzlänge nahm ich die Skilänge. Die Skilänge als Referenzlänge war ideal, da sich die Skilänge nicht veränderte, durch die perspektivische Verkürzung sich die Länge im Bild allerdings schon, was jedoch bei der Berechnung entsprechend berücksichtigt wurde. Nach Eingabe der notwendigen Informationen kann Tracker die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunden berechnen. Die berechnete Geschwindigkeit, an welcher sich der Skifahrer genau bei der Lichtschranke befindet und der Kamera exakt seitwärts gegenüber ist, erhält man die präzise Geschwindigkeit des Fahrers. (Siehe Abbildung 10)

22 Kantonsschule Ausserschwyz 21 Abbildung 10: Screenshot aus Tracker Dass die berechnete Endgeschwindigkeit auch die Maximalgeschwindigkeit ist, lässt sich auch in Tracker erkennen, da die Geschwindigkeit nicht mehr grösser wird und der Fahrer nicht mehr beschleunigt. 5.4 Bestimmung der Angriffsfläche Die Angriffsfläche ist ebenfalls eine wichtige Variable in unserer Gleichung. Sie kann aus einer Fotografie bestimmt werden, sofern eine Referenzlänge im Bild vorhanden ist. Mit einer solchen Referenzlänge im Bild muss der Massstab von Pixeln zu Metern bestimmt werden. Danach muss man die Pixel in der digitalen Fläche zählen und berechnet mit dem Massstab die Anzahl Pixel in die Fläche in Metern um. Doch auch für diesen Prozess kann man ein Programm zur Hilfe nehmen Fotoaufnahme Das Foto wurde mit derselben Kamera aufgenommen wie die Videos der Läufe. Es wurden insgesamt acht Fotos erstellt. Von jedem Fahrer, in jeder Position und in jedem Anzug. Das Foto wurde im Hochformat aufgenommen um den Fahrer grösser auf dem Foto abbilden zu können, damit die Flächenbestimmung genauer ausfällt. Auf jedem Foto wurde ausserdem ein Doppelmeter platziert, welcher dann als Referenzlänge fungierte. Hier ist ein Beispielfoto für die Angriffsflächenbestimmung:

23 Kantonsschule Ausserschwyz 22 Abbildung 11: Beispielfoto für die Angriffsflächenbestimmung Flächenbestimmung Die Flächenbestimmung wurde mit dem Programm Adobe Photoshop 19 durchgeführt. Photoshop eignet sich ideal für diese Aufgabe, da es über integrierte Mess-Tools verfügt. Der Massstab lässt sich in Photoshop selbst ermitteln, indem man unter dem Tab «Analyse» eine Messskala festlegt, indem man eine Strecke auf dem Bild auswählt und die logische Einheit eingibt. So konnte man einen Abschnitt auf dem Doppel-Meter im Bild auswählen und angeben, wie vielen Metern dieser Abschnitt entsprach. Photoshop berechnete dann automatisch wie viele Pixel auf einen Meter kommen. Nun braucht man nur noch die gewünschte Fläche zu selektieren mit dem «Schnellauswahlwerkzeug» und die Pixel in der Fläche zu zählen. Auch das kann Photoshop selbst vornehmen indem man, mit einer selektierten Fläche, im Tab «Messungsprotokoll» auf Messen klickt. 19 Adobe Photoshop CS5 (Link zu Adobe Photoshop CC): [ ]

24 Kantonsschule Ausserschwyz 23 Abbildung 12: Screenshot aus Adobe PS bei der Flächenselektion Adobe Photoshop gibt dem Benutzer alle möglichen Werte aus dieser Selektion zurück, wie zum Beispiel der Umfang, die Höhe, die Breite und die Fläche der Selektion. Die Fläche hat nun die Einheit Quadratmeter, da Meter als die logische Einheit bei der Anpassung der Messskala verwendet wurde. Die von Photoshop ausgegebene Fläche entspricht exakt der gesuchten Angriffsfläche. Abbildung 13: Screenshot aus Adobe PS bei der Messung der Fläche

25 Kantonsschule Ausserschwyz Luftwiderstands- und cw-wert-berechnung Um die verschiedenen Positionen und Anzüge miteinander vergleichen zu können brauchen wir die Strömungswiderstandskoeffizienten aller Kombinationen. Um diese c w-werte zu berechnen brauchen wir einen guten Ansatz. Man könnte zum Beispiel versuchen mit dem Energieerhaltungssatz den Luftwiderstand zu berechnen, aber dieser Ansatz erwies sich als ungeeignet. Ein anderer Weg wäre über die Mechanik und den Newton schen Gesetzen. Dieser Ansatz stellte sich als sinnvoll heraus, jedoch muss man hier folgende zwei Varianten unterscheiden. 1) Die Maximalgeschwindigkeit ist bekannt. In diesem Fall kann mit einer einfachen Kräftegleichung der Luftwiderstand bestimmt und nach dem c w-wert umgeformt werden. 2) Die Maximalgeschwindigkeit ist nicht bekannt. In diesem Fall könnte man den Luftwiderstand immer noch berechnen, man bräuchte aber eine grosse Differentialrechnung und Mathematikkenntnisse welche mein aktuelles Mathematikwissen übersteigen. Ausserdem bräuchte man noch die Werte der Anfangsgeschwindigkeit und der Laufzeit. In meinem Fall war die Maximalgeschwindigkeit glücklicherweise bekannt, deshalb konnte ich mit der ersten Variante rechnen Ansatz Mit dem Kraftansatz und der Maximalgeschwindigkeit liess sich der Luftwiderstand und der Strömungswiderstandskoeffizient berechnen. Um mit diesem Ansatz rechnen zu können muss folgendes gegeben sein: Der Fahrer muss sich im Kräftegleichgewicht zwischen der Hangabtriebskraft, der Reibungskraft und der Luftwiderstandskraft befinden. Das heisst diese drei Kräfte heben sich gegenseitig auf und der Fahrer beschleunigt nicht mehr, er fährt konstant mit derselben Geschwindigkeit. Er kann nicht mehr schneller werden, vorausgesetzt er verändert seine Position nicht. Die aktuelle Geschwindigkeit des Fahrers ist auch seine Maximalgeschwindigkeit. Um den cw-wert zu berechnen muss man nun die Kräftegleichung aufstellen und umformen.

26 Kantonsschule Ausserschwyz 25 Mit der Luftwiderstandskraft, der Hangabtriebskraft und der Reibungskraft, welche wir aus dem Kapitel «Theorie» kennen, können wir die folgende Kräftegleichung aufstellen: F W = F H F R Wenn wir die Formeln einsetzen ergibt sich folgende Gleichung: c w A ρ v 2 = m g sin α μ m g cos α 2 Diese muss dann nur noch nach dem Strömungswiderstandskoeffizienten umgeformt werden. 2 m g (sin α μ cos α ) c w = A ρ v 2 Das ist die Gleichung, welche verwendet wird um den c w-wert zu berechnen. Man braucht folgende Angaben: die Masse (m) des Fahrers, die Fallbeschleunigung (g), den Reibungskoeffizienten (μ), den Winkel des Gefälles (α), die Angriffsfläche des Fahrers (A), die Dichte der Luft (ρ) und die Maximalgeschwindigkeit (v) Berechnung Es fällt auf, dass die Zeit für die Berechnung nicht benötigt wird. Das ist auch korrekt so. Wir hätten die Zeit benötigt, wenn die Geschwindigkeit der Fahrer im Ziel nicht der Maximalgeschwindigkeit entsprochen hätte. Aber es ist auch gut die Zeit als Vergleich für die Resultate zu haben, um die Resultate auf ihren Wahrheitsgehalt zu überprüfen. Es fehlt aber noch eine Angabe, welche wir für die Berechnung notwendig ist, und zwar ist dies der Gleitreibungskoeffizient zwischen dem Ski und dem Schnee. Er ist essenziell für die Reibungskraft und wird benötigt, um keine falschen Resultate zu produzieren. Er ist ein Koeffizient welcher angibt wie gross die Reibung zwischen zwei Materialien ist, in unserem Fall dem Ski und dem Schnee auf der Ebene. Da ich den Koeffizienten aber nicht explizit bestimmt habe, suchte ich nach einer Quelle für Schneereibungskoeffizienten. Dabei ist es wichtig den Gleitreibungskoeffizienten und nicht den Haftreibungskoeffizienten zu verwenden, da der Gleitreibungskoeffizienten ausschliesslich die Reibung eines bewegten Körpers beschreibt. Laut Clifford 20 beträgt die Gleitreibung zwischen einem Ski und dem Schnee 0,05. Da es nun aber ein warmer 20 μ Ski Snow = 0,05 (Tabraiz, 2007)

27 Kantonsschule Ausserschwyz 26 Winternachmittag im März war, ging ich von einer Schnee-Ski-Gleitreibung von 0,07 aus. Dieser Reibungskoeffizient wurde für alle Läufe verwendet. Durchgeführt wurden die Berechnungen mit Microsoft Excel 21. Excel ist ideal um die erhaltenen Messwerte abzuspeichern und direkt in Gleichungen einzusetzen. Man kann die Ergebnisse nicht nur berechnen, sondern auch noch optisch aufbereiten, zum Beispiel in einem Diagramm. Abbildung 14: Screenshot aus Microsoft Excel 21 Microsoft Excel

28 Kantonsschule Ausserschwyz Resultate 6.1 Resultate Messungen Ergebnisse Zeitmessungen Bei den Zeitmessungen zeigte sich, dass die Hocke mit Abstand die schnellste Position ist und der Rennanzug der schnellere Skianzug. Lauf Fahrer Anzug Position Temperatur ( C) Luftdruck (hpa) Zeit (s) 10 1 Normal Hocke 8,7 810,58 13,4 8 1 Normal Stand 7,7 810,58 14, Renn Hocke 8,6 810,53 13,2 2 1 Renn Stand 8,9 810,65 14, Normal Hocke 8,3 810,51 13, Normal Stand 8,7 810,55 14, Renn Hocke 5,8 810,44 13, Renn Stand 5,8 810,43 13, Normal Hocke 8,9 810,64 13, Normal Stand 8,9 810,59 14,7 6 2 Renn Hocke 7,8 810,55 13, Renn Stand 8,9 810,58 14, Normal Hocke 5,8 810,43 14, Normal Stand 7,8 810,43 13, Renn Hocke 9,2 810,52 12, Renn Stand 8,7 810,59 14 Tabelle 1: Messergebnisse Zeitmessung (geordnet) Diese Tabelle ist nach Fahrer, Anzug und Position sortiert und nicht nach der Reihenfolge der Durchführung der Läufe um eine bessere Übersicht über die Ergebnisse zu erhalten. 6.2 Resultate Geschwindigkeits- und Angriffsflächenbestimmung Bei der Geschwindigkeitsbestimmung war ich teilweise überrascht, dass die Fahrer so hohe Geschwindigkeiten erreichten, sie sind jedoch kongruent mit den Laufzeiten. Speziell hoch war die Geschwindigkeit mit den Super-G Skiern und in der Hocke.

29 Kantonsschule Ausserschwyz 28 Resultate Geschwindigkeitsbestimmung: Lauf Fahrer Anzug Position Geschwindigkeit (m/s) Geschwindigkeit (km/h) 10 1 Normal Hocke 23, Normal Stand 18, Renn Hocke 24, Renn Stand 19, Normal Hocke 24, Normal Stand 19, Renn Hocke 23, Renn Stand 19, Normal Hocke 22, Normal Stand 18, Renn Hocke 23, Renn Stand 19, Normal Hocke 22,826 82, Normal Stand 19,177 69, Renn Hocke 24, Renn Stand 19, Tabelle 2: Resultate Geschwindigkeitsbestimmung Wieder ist die Hocke der aufrecht stehenden Haltung klar überlegen. Der Rennanzug scheint aber nur wenig schneller zu sein als der normale Skianzug, einige Ausnahmen gibt es allerdings. Diese Resultate bestätigen die Zeitmessungen und umgekehrt. Angriffsflächen: Fahrer Anzug Position Angriffsfläche (m 2 ) 1 Normal Hocke 0, Normal Stand 0, Renn Hocke 0, Renn Stand 0, Normal Hocke 0, Normal Stand 0, Renn Hocke 0, Renn Stand 0, Tabelle 3: Resultate Angriffsflächenbestimmung Diese Tabelle zeigt, dass die Angriffsfläche der Hocke viel kleiner ist, als die Angriffsfläche der aufrecht stehenden Haltung. Auch die Angriffsfläche des Rennanzuges ist kleiner als die des normalen Skianzuges.

30 Kantonsschule Ausserschwyz 29 0,6 0,5 0,4 Angriffsfläche Fahrer 1 m 2 0,3 0,2 0,1 0 Hocke Positionen Stand Normal Rennanzug Abbildung 15: Angriffsflächen des ersten Fahrers Angriffsflächen Fahrer 2 0,6 0,5 0,4 m 2 0,3 0,2 0,1 0 Hocke Positionen Stand Normal Rennanzug Abbildung 16: Angriffsflächen des zweiten Fahrers Auch in den Diagrammen (Abbildungen 15 & 16) lässt sich erkennen, dass die Angriffsfläche der Hocke viel kleiner ist, als die des Standes. Man erkennt auch, dass der Unterschied zwischen dem normalen Skianzug und dem Rennanzug im Stand grösser ist, als in der Hocke.

31 Kantonsschule Ausserschwyz Resultate cw-wert Berechnungen Aus den Berechnungen ergaben sich folgende Resultate: Lauf Fahrer Anzug Positio A (m 2 ) c w-werte n 10 1 Normal Hocke 0, , Normal Stand 0, , Renn Hocke 0, , Renn Stand 0, , Normal Hocke 0, , Normal Stand 0, , Renn Hocke 0, , Renn Stand 0, , Normal Hocke 0, , Normal Stand 0, , Renn Hocke 0, , Renn Stand 0, , Normal Hocke 0, , Normal Stand 0, , Renn Hocke 0, , Renn Stand 0, , Tabelle 4: Resultate cw-werte In der Tabelle lässt sich erkennen, dass die Hocke und der Rennanzug keinen tieferen c w-wert haben als die aufrechtstehende Haltung und der normale Skianzug. Meistens sind die Strömungswiderstandskoeffizienten der Hocke und des Rennanzuges sogar grösser, und damit schlechter, als die der aufrechtstehenden Haltung und dem normalen Skianzug. Zur Veranschaulichung habe ich noch zwei weitere Diagramme (Abbildungen 17 & 18) erstellt. Diese beziehen sich nicht auf den durchschnittlichen c w-wert, sondern nur auf die c w-werte der Läufe, in welchen mit den Super-G Skiern gefahren wurde. So kann man den Ski als Fehlerquelle ebenfalls ausschliessen.

32 Kantonsschule Ausserschwyz 31 c w 1 0,9 0,8 0,7 0,6 c w -Werte Super-G Fahrer 1 0,5 Hocke Positionen Stand Normal Rennanzug Abbildung 17: Diagramm der cw-werte des ersten Fahrers mit dem Super-G Ski c w 1 0,9 0,8 0,7 0,6 c w -Werte Super-G Fahrer 2 0,5 Hocke Positionen Stand Normal Rennanzug Abbildung 18: Diagramm der cw-werte des zweiten Fahrers mit dem Super-G Ski Und trotzdem zeigt sich, dass die Hocke einen grösseren c w-wert besitzt, als der Stand. Auch der Rennanzug hat mehrheitlich einen grösseren c w-wert, als der normale Skianzug. Eine Ausnahme gibt es allerdings, sie wurde mit einem roten Rahmen im Diagramm markiert.

33 Kantonsschule Ausserschwyz Diskussion Die Ergebnisse sind bekannt, nun ist es an der Zeit sie zu interpretieren und zu vergleichen. Doch zuerst schauen wir uns an wie genau diese Resultate sind, und wie genau sie angegeben werden können um sie vergleichen zu können. 7.1 Die Ergebnisse Signifikante Ziffern und Messfehler Alle Ergebnisse im Bereich «Resultate» sind nicht gerundet, da es unverarbeitete Rohdaten sind. Nun frage ich mich aber wie genau man diese Resultate angeben kann und wie genau sie sind. Lichtschranken: Starten wir am Anfang. Die Zeitmessanlage mit den Lichtschranken kann die Zeit auf Hundertstel genau angeben. Um die Zeiten untereinander zu vergleichen muss man aber auch von Menschen produzierte Fehler einbeziehen. Zum Beispiel könnte eine Position vom Fahrer sich leicht verändert haben während dem Lauf. Deshalb gehe ich von möglichen Messfehlern bis zu ± 0,1 Sekunden bei den Zeitmessungen aus. Gefälle: Der Winkel des Gefälles wird höchstens ± 1 abweichen. Luftdichte: Die Ungenauigkeit der Luftdichte würde ich auf ± 0,001 kg m3 setzen. Diese wurde nämlich mit der genauen Formel berechnet und nicht mit einer Annäherungsformel. Jedoch kommt es auch auf Genauigkeit des Thermometers und des Barometers an, denn diese sind in dieser Schätzung inbegriffen. Reibung und Fallbeschleunigung: Für den Reibungskoeffizienten (μ) und die Fallbeschleunigung (g) setze ich gar keine Abweichung, da ich die beiden Werte aus einer von Quelle habe. Geschwindigkeit: Bei den Geschwindigkeiten kommt es auf die Genauigkeit der Kamera an, sowie auch auf die Genauigkeit der Auswertung. Tracker gab die Geschwindigkeiten auf drei Nachkommastellen an, aber um diese zu berechnen mussten auch Punkte vom

34 Kantonsschule Ausserschwyz 33 Benutzer gesetzt werden und würde ich sagen wir müssen mit ungefähr ± 0,5 m s Messfehler rechnen. Angriffsflächen: Die Angriffsflächen werden von Photoshop auf sechs Nachkommastellen angegeben, mit sechs signifikanten Stellen. Bei den Angriffsflächen gehe ich von einer Ungenauigkeit von ± 0,05 m 2 aus. Masse: Bei der Masse der Fahrer rechne ich mit einer Abweichung von ± 0,5 kg. Mit den nun bestimmten Abweichungen, haben die c w-werte eine Durchschnittliche Abweichung von ± 0,053. Jeder einzelne cw-wert hat natürlich seine eigene Fehlergrenze. Zu den signifikanten Ziffern ist zu sagen, dass das Gewicht am wenigsten signifikante Ziffern hat. Das sind genau zwei signifikante Stellen, deshalb dürfen wir die c w-werte nur auf zwei signifikante Stellen angeben Interpretation Die Resultate der Zeitmessungen stimmen mit meinen Vorstellungen überein. Die Fahrer in der Hocke sind viel schneller, als die Fahrer im Stand. Ebenfalls sind die Fahrer im Rennanzug schneller als die Fahrer im normalen Skianzug. Bei den c w-werten sieht das ganze anders aus.

35 Kantonsschule Ausserschwyz 34 Fahrer Anzug Position c w-werte 1 Normal Hocke 0,82 ± 0,08 1 Normal Stand 0,83 ± 0,01 1 Renn Hocke 0,87 ± 0,11 1 Renn Stand 0,78 ± 0,01 1 Normal Hocke 0,78 ± 0,07 1 Normal Stand 0,69 ± 0,01 1 Renn Hocke 0,89 ± 0,12 1 Renn Stand 0,77 ± 0,01 2 Normal Hocke 0,85 ± 0,09 2 Normal Stand 0,76 ± 0 2 Renn Hocke 0,88 ± 0,12 2 Renn Stand 0,80 ± 0,02 2 Normal Hocke 0,83 ± 0,09 2 Normal Stand 0,72 ± 0 2 Renn Hocke 0,77 ± 0,1 2 Renn Stand 0,81 ± 0,02 Tabelle 5: cw-werte mit signifikanten Ziffern und Fehlergrenze Ich war zu Beginn dieser Arbeit fest überzeugt, dass die Hocke einen kleineren Strömungswiderstandskoeffizienten haben muss, als der Stand. Meine Resultate zeigen jedoch das exakte Gegenteil. Mehrheitlich sind die c w-werte der Hocke sogar beträchtlich grösser als die des Standes. Doch was man hier vergisst, ist Angriffsfläche. Sie spielt ebenfalls eine grosse Rolle für den Luftwiderstand und der cw-wert gibt lediglich die Form des Körpers an, nicht aber seine Masse. Man stelle sich vor zwei Fahrer gleicher Masse, einer im Stand, der andere in der Hocke, und beide haben die gleiche Angriffsfläche. Wenn man Sie nebeneinander stellen würde wäre der Fahrer in der Hocke einiges grösser, im Vergleich zum anderen Fahrer. Ich versuchte das Gedankenexperiment in einer Abbildung zu veranschaulichen: (Abbildung 19)

36 Kantonsschule Ausserschwyz 35 Abbildung 19: cw-wert und Angriffsflächen Vergleich Die Flächen A1 und A2, in Abbildung 14, entsprechen den Angriffsflächen des ersten Fahrers im Rennanzug. Bei A1 ist der Fahrer im Stand, bei A2 in der Hocke. A3 und A1 haben dieselbe Fläche. Nun hat A1 einen kleineren cw-wert als A3, das zeigen meine Resultate. Das ist theoretisch auch gut möglich, da die Hocke nicht aerodynamisch ist. Man kann sich die Hocke auch als offene Halbkugel vorstellen, oder wie ein kleiner Fallschirm. Sie hat sich aber dennoch auf der Piste bewährt und ist schneller als der Stand, da sie eine solch kleine Angriffsfläche hat. Der grosse Vorteil der Hocke ist nicht ihre Windschlüpfrigkeit, es ist ihre Winzigkeit. Sie ist schneller, weil sie einfach viel kleiner ist, auch wenn es die aerodynamisch ungünstigere Position ist. Wo ich mehr Mühe hatte waren die Anzüge. Klar, ohne die dicke Ski Jacke und Ski Hosen hat der Fahrer wieder eine kleinere Angriffsfläche, also ist er wieder schneller. Aber dass die Angriffsfläche so viel kleiner, dass der c w-wert des Skianzuges kleiner ist, als derjenige des Rennanzuges erstaunte mich unglaublich. Es erstaunte mich so sehr, dass ich es kaum glauben wollte. Ich konnte mir nicht vorstellen, dass dieser hautenge Rennanzug nicht windschlüpfriger ist, als der dicke Skianzug. Aber genau das ist das Stichwort, hauteng. Ein Fahrer im Rennanzug hat viel weniger Stoff um sich herum, als ein Fahrer im normalen Skianzug. Die Angriffsfläche ist so viel kleiner, dass der Fahrer viel schneller ist ohne eine bedeutsame Änderung beim dazugehörigen cw- Wert.

37 Kantonsschule Ausserschwyz Vergleich Für den durchschnittlichen Strömungswiderstandskoeffizienten im Stand erhielt ich: 0,77 ± 0,01. Für die Hocke erhielt ich im Durchschnitt: 0,84 ± 0,10. Laut Byland hat ein normaler, aufrechtstehender Mensch hat einen Strömungswiderstandskoeffizienten von 0, Dieser Wert kommt unserem durchschnittlichen Wert von 0,77 für den Stand der Fahrer schon sehr nahe. Die Hocke ist möglicherweise vergleichbar mit einem liegenden, geschlossenen Zylinder. Ein liegender Zylinder, mit dem Verhältnis von Länge zu Durchmesser von 2 zu 1, hat laut Byland einen cw-wert von 0, In einer anderen Quelle spricht man von einem cw-wert von 0,51-0,6 für die Hocke und von 0,46-0,54 für den Stand. 24 In der Quelle sind die c w-werte der des Standes auch alle tiefer, als die der Hocke. Aber die c w-werte dieser Quellesind im Allgemeinen viel tiefer als meine, und können deshalb auch nur schwer direkt verglichen werden. Es kann viele Gründe geben für unterschiedlich grosse Strömungswiderstandskoeffizienten. 7.2 Optimierungsmöglichkeiten Es gibt viele Bereiche, welche man optimieren könnte in meiner Arbeit. Wahrscheinlich würden die Ergebnisse immer besser und genauer werde. Aber es können auch immer Fehler geschehen, egal wie viel man plant. Klar, je mehr geplant wird, desto weniger passiert im Normalfall, aber auch der beste Plan kann schiefgehen. Die aufgenommenen Videos für die Geschwindigkeitsbestimmung haben am meisten optimierungsbedarf. Die ganze Geschwindigkeitsbestimmung wäre einiges einfacher gewesen ohne perspektivische Krümmung und Streckung und die Bewegungen der Kamera. Es wäre viel besser gewesen eine Kamera fix im Ziel zu positionieren und den Fahrer von der Seite im Bild zu haben. Ein weiteres Problem zeigte sich später bei den Berechnungen, und zwar habe ich die Schneereibung bei der Planung komplett vernachlässigt da ich dachte, dass man sie nicht braucht um die Strömungswiderstandskoeffizienten untereinander zu 22 Person (aufrecht) c w = 0,78; (Byland, 2015), S Kreiszylinder (l/d = 2) c w = 0,85; (Byland, 2015), S (Brownlie, et al., 2010), S.6, Table 3

38 Kantonsschule Ausserschwyz 37 vergleichen. Doch ohne die Schneereibung konnte ich gar keine c w-werte berechnen und zu diesem Zeitpunkt hatte es auch keinen Schnee mehr um sie noch zu bestimmen. Beim letzten Mangelpunkt geht es um die Luftdichte, genauer gesagt geht es um die Luftfeuchtigkeit, welche benötigt wird um die Luftdichte zu berechnen. In den Berechnungen bin ich bis zum Schluss von einer Luftfeuchtigkeit von 0% ausgegangen, da es die Rechnung um einiges vereinfacht. An dem Versuchstag war die Luft schon eher trocken, aber sie muss grösser gewesen sein 0%. Im Nachhinein kann man argumentieren, dass man die Luftfeuchtigkeit mit einem Hygrometer hätte messen können, oder zumindest von einer Schätzung ausgehen. Es ist nicht so schlimm, da die Luftfeuchtigkeit die Luftdichte nur sehr gering beeinflusst, fast weniger als die von mir abgeschätzte Fehlergrenze. 7.3 Fazit Nach der Fertigstellung dieser Arbeit habe ich nun auch meine persönliche Frage geklärt. Wenn mich nun ein Kind aus dem Skiclub fragt, wie viel schneller man in der Hocke ist, würde ich ihm wohl mit einem breiten Grinsen sagen: «Sehr viel schneller.» Was ich ihm allerdings vorenthalte, ist der von mir berechnete, durchschnittliche Strömungswiderstandskoeffizient der Hocke. Dabei weiss ich genau, dass bei der Hocke die Angriffsfläche ausschlaggebend ist, und nicht der c w-wert. Dennoch bin ich immer noch verwundert darüber, dass die Hocke einen schlechteren c w-wert hat, als eine aufrechte Position. Die Hocke ist nicht aerodynamisch, sie ist einfach klein. Sie ist so klein, dass es keine Rolle spielt ob sie aerodynamisch ist oder nicht. Der Ideale Abfahrts-Skifahrer wäre möglichst schwer und dazu möglichst klein, also könnte man sagen: Je grösser seine Dichte ist, desto besser.