Dieses Projekt wurde im Rahmen der Lehrveranstaltung Logik als Arbeitssprache im Sommersemester 2004 verfasst.

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1 Printed from the Mathematica Help Browser 1 Komplexe Zahlen Autoren: Frank Elisabeth 4063 Hörsching li-fra@gmx.at Nachbagauer Karin 4490 St. Florian Karin_N@gmx.net Dieses Projekt wurde im Rahmen der Lehrveranstaltung Logik als Arbeitssprache im Sommersemester 2004 verfasst. Wir haben uns für das Thema Komplexe Zahlen entschieden, weil es uns während des ganzen Semesters beschäftigt hat und wir uns noch näher damit befassen wollten. Aus diverser mathematischer Fachliteratur, die im Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit angeführt sind, haben wir die Informationen zur Erstellung dieser Arbeit gesammelt und zusammengefasst. Abstract Diese Arbeit beschäftigt sich-wie gesagt-mit dem komplexen Zahlenbereich. Wir konnten natürlich mit unseren Ausführungen nicht in die Tiefe dieses Themas eintauchen, aber hoffen, dass es uns gelungen ist, die wichtigsten Informationen klar und leicht verständlich zu beschreiben. Wir haben uns folgende Ziele für dieses Projekt gesteckt: Der Leser dieser Arbeit sollte im Nachhinein folgende Fragen beantworten können: à Wie sieht eine komplexe Zahl aus? à Wie rechnet man mit komplexen Zahlen?

2 2 Printed from the Mathematica Help Browser à Besitzt eine komplexe Zahl z eine n-te Wurzel? Wie berechnet man die n-ten Wurzeln? Introduction Inhalt: ØEinführung ØDarstellung komplexer Zahlen 1)Algebraische Form 2)Trigonometrische Form 3)Exponentialform Wir befassen uns in diesem Abschnitt mit den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten der komplexen Zahlen. ØRechenregeln Wir nennen hier die wichtigsten Rechenregeln und führen den Beweis für die Division komplexer Zahlen an. ØBeweis Der Beweis für die Eulersche Formel ist näher erläutert. ØBeispiel (Problembehandlung) In diesem Abschnitt ist ein Beispiel zum Radizieren einer komplexen Zahl mit Erklärung gegeben.

3 Printed from the Mathematica Help Browser 3 Einführung Die Verwendung von komplexen Zahlen ist ungefähr im 16. Jahrhundert zum ersten Mal aufgetreten. Die Existenz von Wurzeln mit negativen Zahlen wurde angezweifelt. Diese Wurzeln wurden deshalb als imaginäre Zahlen bezeichnet. Die Verwendung komplexer Zahlen brachte Lösungsvorteile bei innermathematischen Problemen und erwies sich bei der Beschreibung von phsikalischen Vorgängen als nützlich. Die Menge der komplexen Zahlen wird folgendermaßen definiert: = { a + bi» a, b œ } Es gilt: N Õ Z Õ Q Õ R Õ C

4 4 Printed from the Mathematica Help Browser Darstellung komplexer Zahlen 1) Algebraische Form (kartesische Binomialform) Die Gleichung x = 0 besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. Ebenso stellen è!!!!!! -2 oder è!!!!!! -8 keine reellen Zahlen dar. Es ist möglich, falls eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt, komplexe Zahlen als Lösungen anzugeben. Um diese komplexen Zahlen darstellen zu können, wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen. Die imaginäre Einheit i, deren Quadrat gleich -1 ist, ist der Ausgangspunkt. Für die quadratische Gleichung x = 0 sind die Zahlen i und -i Lösungen. Imaginäre Einheit i: i 2 = -1 Diese imaginäre Einheit i in Verbindung mit zwei reellen Zahlen a und b stellt eine komplexe Zahl z = a + bi dar. z = a + bi, a, b œ R i 2 = -1 Eine komplexe Zahl z stellt sich also aus einem reellen Teil a, der als Realteil bezeichnet wird, und aus einem imaginären Teil b, dem Imaginärteil, zusammen. Die Menge C der komplexen Zahlen enthält alle komplexen Zahlen. C = { z = a + bi» a, b œ R } Die Zahl z = a + bi wird als komplexe Zahl, die Zahl z = bi (a = 0) als imaginäre Zahl und die Zahl z = a (b = 0) als reelle Zahl bezeichnet. Wenn komplexe Zahlen z = a + bi und z ê = a - bi den gleichen Realteil und den entgegengesetzt gleichen Imaginärteil aufweisen, heißen sie konjugiert komplex. Komplexe Zahlen sind nur in der Gaußschen Zahlenebene darstellbar. Der Name dieser Zahlenebene stammt von dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der von 1777 bis 1855 lebte. Darstellung der komplexen Zahl z = x + i in der Gaußschen Zahlenebene:

5 Printed from the Mathematica Help Browser 5 Wenn bei der Darstellung einer komplexen Zahl z = a+bi kartesische Koordinaten verwendet werden, nennt man die Darstellungsweise algebraische Form. Für die Darstellung der komplexen Zahlen gibt es auch die trigonometrische Form und die Exponentialform, auf die wir später noch näher eingehen werden. Rechenregeln in der algebraischen Form: Addition: Komplexe Zahlen z 1 = a 1 +b 1 i und z 2 = a 2 +b 2 i werden addiert, indem man die Realteile addiert und die Imaginärteile addiert. Subtraktion: z 1 + z 2 = Ha 1 + b 1 il + Ha 2 + b 2 il = Ha 1 + a 2 L + Hb 1 + b 2 L i Komplexe Zahlen z 1 = a 1 +b 1 i und z 2 = a 2 +b 2 i werden voneinander subtrahiert,indem man die Realteile subtrahiert und die Imaginärteile subtrahiert. z 1 z 2 = Ha 1 + b 1 il Ha 2 + b 2 il = Ha 1 a 2 L + Hb 1 b 2 L i Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z = a+bi und z ê = a-bi ist reell,die Differenz konjugiert komplexer Zahlen ist imaginär. Multiplikation: z + z = Ha + bil + Ha bil = 2 a z z = Ha + bil Ha bil = 2 bi Komplexe Zahlen z 1 = a 1 +b 1 i und z 2 = a 2 +b 2 i in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert. z 1 z 2 = Ha 1 + b 1 il Ha 2 + b 2 il = Ha 1 a 2 b 1 b 2 L + Ha 1 b 2 + a 2 b 1 L i Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell.

6 6 Printed from the Mathematica Help Browser Division: z z = Ha + bil Ha bil = a 2 + b 2 Komplexe Zahlen z 1 = a 1 +b 1 i und z 2 = a 2 +b 2 i in algebraischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert. z 1 ê z 2 = Ha 1 a 2 + b 1 b 2 + Hb 1 a 2 a 1 b 2 L ilêha b 2 2 L Beweis : z 1 ê z 2 = Ha 1 + b 1 ilêha 2 + b 2 il = Ha 1 + b 1 il Ha 2 b 2 ilêha 2 + b 2 il Ha 2 b 2 il = Ha 1 a 2 + b 1 b 2 + Hb 1 a 2 a 1 b 2 L ilêha 2 2 b 2 2 i 2 L = Ha 1 a 2 + b 1 b 2 + Hb 1 a 2 a 1 b 2 L ilêha b 2 2 L z 2 0 Wie oben leicht erkennbar definieren wir die beiden komplexen Zahlen z 1 und z 2 folgendermaßen: z 1 := a 1 +b 1 i ; z 2 := a 2 +b 2 i Beweisschritt: Wir erweitern den Bruch mit der konjugiert komplexen des Nenners. Durch diesen "Trick" wird der Nenner reell, da nun kein i erster Potenz mehr, sondern nur noch i 2 (= -1) darin vorkommt. Der Zähler wird (nach dem Distributivgesetz) ausmultipliziert. Das Ergebnis ist nun ein Bruch mit komplexem Zähler und reellem Nenner. z 2 0 ist eine notwendige Einschränkung um eine Nulldivision zu vermeiden. Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl. Potenzieren: z ê z = Ha + bilêha bil = Ha 2 b 2 LêHa 2 + b 2 L + 2 abi êha 2 + b 2 L Wenn n eine nichtnegative ganze Zahl ist, so wird die n-te Potenz z n von z durch z 0 =1, z n =z n-1 *z definiert. weiter bei Darstellungsformen 2) Trigonometrische Form (Polarform) Eine andere Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen, bietet die Darstellung in trigonometrischer Form mit Hilfe der Polarkoordinaten der komplexen Zahl z: z = Hr; ϕl z = a + bi = rcosϕ+hrsinϕl i = r Hcosϕ+isinϕL Diese Darstellung ergibt sich durch die Umrechnungsformeln zwischen kartesischer Binomialform und Polardarstellung:

7 Printed from the Mathematica Help Browser 7 a = rcosϕ b = rsinϕ r = è!!!!!!!!!!!!!!!! Ha 2 + b 2!!!!! L tanϕ = b ê a H0 ϕ 2 πl Erklärung: z = r Hcosϕ+isinϕL r ist Modul oder Absolutbetrag Halso r =» z» mit r, r 0L ϕ ist das Argument der komplexen Zahl z und wird im Bogenmaß gemessen H0 ϕä 2 πl. Wenn man j=0 einsetzt, erhält man positive reelle Zahlen. Für j=p ergeben sich die negativen reellen Zahlen, für j= p/2 die positiven imaginären Zahlen und für j=3p/2 die negativen imaginären Zahlen. Darstellung der komplexen Zahl z in der trigonometrischen Form: Die Darstellung der komplexen Zahlen wird für die trigonometrische Form mit Hilfe der Polarkoordinaten möglich. Die Polardarstellung ist notwendig für weitere Rechenarten: Multiplikation: Zwei komplexe Zahlen in Polarform werden multipliziert, indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert: Potenzieren: z 1 z 2 = Hr 1 ; ϕ 1 L Hr 2 ; ϕ 2 L = Hr 1 r 2 ; ϕ 1 +ϕ 2 L = Hr 3 ; ϕ 3 L Entsprechend gilt für die n-te Potenz einer komplexen Zahl: z n = Hr; ϕl n = Hr n ;nϕl n = 2, 3, 4,...

8 8 Printed from the Mathematica Help Browser ÆSpezialfall für r=1(z=(1;j)): Moivresche Formel: Für die n-te Potenz einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1,z=(1;j), gilt: Radizieren: z n = H1; ϕl n = H1; nϕl Die n te Wurzel der Zahl entspricht è!!! n z : è!!! n z = è!!!!!!!!!!!!!! n Hr; ϕl = J è!!! n r ; ϕ n N wobei z = r Hcosϕ+isinϕL. Jede binomische Gleichung z n = a hat genau n Lösungen ζ k in : Beispiele: a = Hr; ϕl ζ k = i j è!!! n r ; ϕ k n + k.360 z n { k = 0, 1, 2,... Beispiele für das Radizieren einer komplexen Zahl z: Angabe: Berechne alle dritten Wurzeln aus z = 8 (cos60 +isin60 )! ζ k = i j è!!! n r ; ϕ k n + k.360 z n { k = 0, 1, 2,... Wir setzen in die Formel für è!!! n z ein und erhalten : k = 0: ζ 0 = è!!! 3 i 8 k jcos 60 + isin 60 z = 2 HCos20 isin20 L = i 3 3 { k = 1: ζ 1 = è!!! 3 8 i jcos i j z + isin i j z z = 2 HCos140 isin140 L = k k 3 { k 3 { { k = 2: ζ 2 = è!!! 3 8 i jcos i j z + isin i j z z = 2 HCos260 isin260 L = k k 3 { k 3 { { Es ergibt sich hier ein regelmäßies Dreieck mit den Eckpunkten ζ 0, ζ 1 und ζ 2.

9 Printed from the Mathematica Help Browser 9 In[19]:= ListPlot@ , 0.68<, , 1.26<, , 1.97<, 81.88, 0.68<<, PlotJoined TrueD Out[19]= Graphics Angabe : Berechne alle vierten Wurzeln aus z = - è!!! 2 + i è!!! 2! z = è!!! 2 + i è!!! 2... Werte in Umrechnungsformeln einsetzen r = 2, ϕ = 135 è!!! 2 + i è!!! 2 = 2 HCos135 + isin135 L k = 0: ζ 0 = è!!! 4 i 2 k jcos isin 135 z = è!!! 4 2 HCos33.75 isin33.75 L = i 4 4 { k = 1: ζ 1 = è!!! 4 2 i jcos i j z + isin i j z z = k k 4 { k 4 { { è!!! 4 2 HCos isin L = i k = 2: ζ 2 = è!!! 4 2 i jcos i j z + isin i j z z = k k 4 { k 4 { { è!!! 4 2 HCos isin L = i k = 3: ζ 3 = è!!! 4 2 i jcos i j z + isin i j z z = k k 4 { k 4 { { è!!! 4 2 HCos isin L = i Es ergibt sich hier ein regelmäßies Viereck mit den Eckpunkten ζ 0, ζ 1, ζ 2 und ζ 3.

10 10 Printed from the Mathematica Help Browser 0.66<, , 0.99<, , 0.66<, 80.66, 0.99<, 80.99, 0.66<<, PlotJoined TrueD Graphics Eulersche Formel Mit der Eulerschen Formel für komplexe Zahlen z wird die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen miteinander verknüpft. Die Zahl e steht für die Eulersche Zahl, die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler ( ) benannt wurde. Die Eulersche Zahl ist wie folgt definiert: e iz = cosz + isinz, z Für die reelle Zahl x gilt: z = x e ix = cosx + isinx. Für das Argument j der komplexen Zahl z gilt: z =ϕ z = r Hcosϕ+isinϕL = re iϕ Wenn man z = j setzt erhält man die 3. Darstellungsform: 3) Exponentialform z = r Hcosϕ+isinϕL = re iϕ Diese fundamentale Eulersche Formel offenbart, dass das Verhalten der Exponentialfunktion in der komplexen Ebene um einiges vielseitiger ist, als man vermuten mag, wenn man nur das Verhalten der Exponentialfunktion entlang der reellen Achse kennt. Der Wert und die Nützlichkeit der Eulerschen Formel beweisen sich in den verschiedensten Bereichen der Mathematik. Beispielsweise dient die Eulersche Formel als Basis der modernen Definition der Sinusund Kosinusfunktion. Man beweist sie durch Zielreduktion mit Hilfe der Regel: "Equalit Proving b Simplification", also indem man beide

11 Printed from the Mathematica Help Browser 11 Gleichungsseiten vereinfacht und dann zeigt, dass die veränderten Seiten übereinstimmen, die Gleichung also stimmt. Beweisschritt: Wir entwickeln die Talor-Reihen für e ix, cosx und sinx. Voraussetzung dafür ist, dass die 3 oben genannten Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Wir brauchen die Ableitungen für die Entwicklung der Reihen: Reihenentwicklung von e ix : Die ersten vier Ableitungen der Funktion z(x) = e ix sind: z HxL = e ix d z HxL = i.eix dx d 2 z HxL dx 2 = eix d 3 z HxL dx 3 = i.eix d 4 z HxL = dx 4 eix d 5 z HxL = dx 5 i.eix Wir leiten oben die Funktion z (x) = e ix ab und nehmen die Ableitung in unsere Wissensbasis dazu. Nun differenzieren wir die 1. Ableitung und erhalten so die 2. Ableitung, die wir wieder in unsere Wissensbasis aufnehmen, u.s.w. Es gilt also: d n dx n z HxL = dn+4 dx z HxL n+4 Die ersten vier Werte für die Talor-Koeffizienten sind bei Entwicklungspunkt a = 0 demzufolge: e i.0 = 1 i.e i.0 = i e i.0 = 1 i.e i.0 = i Allgemeine Talorformel: f HnL HaL f HxL = Hx al n n! n=0 Durch Einsetzen von unserem z(x) erhält man die Reihe: He i.x L HnL H0L z HxL = Hx 0L n n! n=0 Wir spalten diese Reihe in zwei Reihen auf, in gerade und ungerade Glieder: He i.x L H2 kl H0L z HxL = x 2 k He i.x L H2 k+1l H0L + H2 kl! H2 k + 1L! Da alle "geraden Ableitungen" an der Stelle a = 0 abwechselnd 1 und -1 IHe i.x L H2 kl H0L entspricht H-1L k M und alle "ungeraden Ableitungen" abwechselnd i und -i (He i.x L H2 k+1l H0L entspricht i H 1L k ) ergeben, sieht z(x) folgendermaßen aus: x 2 k+1

12 12 Printed from the Mathematica Help Browser z HxL = e i.x H 1L k = H2 kl! x2 k i H 1L k + H2 k + 1L! Die Talor-Reihen von cos(x) und sin(x) sind analog zu entwickeln,sie sind außerdem aus der Vorlesung Analsis bereits bekannt: H 1L k.x 2 k cos HxL = H2 kl! H 1L k.x 2 k+1 sin HxL = H2 k + 1L! Durch Addition der Talor-Reihe des Kosinus und der mit i multiplizierten Talor-Reihe des Sinus stößt man auf die Gleichung: x2 k+1 H 1L k.x 2 k H 1L k.x 2 k+1 cos HxL + i.sin HxL = + i. H2 kl! H2 k + 1L! die nun aber ganz offensichtlich mit der Talor-Reihe der Funktion e ix übereinstimmt. Mittelbar folgt daraus, dass die Funktionen e ix und cos(x) + i sin(x) identisch sind, und gerade dies besagt ja die Eulersche Formel. Anhang Komplexe Zahlen sind praktisch, weil sie die mathematische Aufarbeitung von vielen inner- und außermathematischen Problemen deutlich vereinfachen oder überhaupt erst möglich machen. Die kurze Einführung in die komplexe Zahlenebene hat nicht nur die Rechenregeln und die verschiedenen Darstellungsformen gezeigt, sondern auch, dass z.b. die Eulersche Zahl beim Rechnen mit komplexen Zahlen eine wichtige Rolle spielt. Abschließend möchten wir sagen, dass dieses Projekt uns geholfen hat, Erfahrungen in Bezug auf Teamarbeit und Präsentationstechniken zu sammeln.

13 Printed from the Mathematica Help Browser 13 Literaturverzeichnis Kemnitz, Arnfried: Mathematik zum Studienbeginn. Friedr.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/- Wiesbaden 2002 Knerr, Richard: Lexikon der Mathematik. Passavia Passau, Lexikographisches Institut, München 1977 Laub, Josef: Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen.Verlag Hölder- Pichler-Tempsk, Wien 1978 Malle, Horst: Mathematik erleben: ein Lehr-und Übungsbuch für Schule und Praxis.Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main, 1990