4 Geführte Wellen. 4.1 Einleitung. 4.2 Leitungswellen Zwei parallele Leiterplatten

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1 4.1 Einleitung Bei Anwendungen der Mikrowellenphysik wird man häufig mit dem Problem konfrontiert, wie ein elektromagnetisches Signal von einem Ort zum anderen übertragen wird. Dabei kann der Abstand nur einige Meter betragen, etwa wenn es darum geht, das Signal von einer Antenne zu einem Detektor zu bringen, oder er kann tausende von Kilometern betragen, wenn das Signal von einem Satelliten zu einer Bodenstation, oder umgekehrt, übermittelt wird. In diesem Falle verläuft die elektromagnetische Welle natürlich im freien Raum. Wie sich das Signal über einen Leiter oder über den freien Raum ausbreitet ist Bestandteil dieses Kapitels. Breitet sich das Signal über einen Leiter aus, so hat man es mit Leitungswellen zu tun (engl. transmission lines). Die gängigste Ausbreitungs- Situation für ein Signal mit einer Frequenz von einigen GHz ist sicher via ein Kabel, im Speziellen über ein Koaxialkabel. Wir werden sehen, dass es bei höheren Frequenzen günstiger ist, nicht zwei Leiter zur Übermittlung des Signals zu brauchen, sondern nur einen. Dies ist meist in Form einer speziell geformten Röhre, genannt Hohlleiter. Für Frequenzen über 100 GHz ist aber auch diese Methode nicht mehr besonders günstig und eine Art optische Ausbreitung ist dann sinnvoll, genannt Quasioptik. Wir wollen im Folgenden die verschiedenen Möglichkeiten der Ausbreitung genauer studieren. 4.2 Leitungswellen Zwei parallele Leiterplatten In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass sich eine elektromagnetische Welle entlang einer Leitung ausbreiten kann. Zudem wird ein Zusammenhang zwischen den elektrischen und magnetischen Feldstärken E, B und der Spannung und Stromstärke U, I hergestellt, was uns schliesslich zu den Leitungsgleichungen bringt. Eine Leitung kann im Prinzip aus zwei leitenden Platten im Abstand a beschrieben werden, wie das Figur (4.1) zeigt. Das ist sicher technisch nicht die sinnvollste Art, aber physikalische Überlegungen lassen sich an diesem Modell günstig durchführen. Zwischen diesen Platten gibt es natürlich beliebig viele mögliche Feldkonfigurationen oder Moden. Wir nehmen an, die elektrische Feldstärke E sei parallel zur x-achse, die magnetische Feldstärke B sei parallel zur y- Achse und die Ausbreitung erfolge parallel zur z-achse. In diesem Fall spricht man von einem TEM-Mode (Transversal Elektro Magnetischer Mode). Diese Feldverteilung ist in Figur (4.2) skizziert. 67

2 x b a z y Abbildung 4.1: Leitung aus zwei parallelen leitenden Platten Aus den Maxwellgleichungen E = ρ ε 0 (4.1) E = B t (4.2) B = E µ 0 ε 0 t + µ 0J (4.3) B = 0 (4.4) und der Tatsache, dass im Innern eines idealen Leiters sowohl die elektrische als auch die magnetische Feldstärke Null sind, folgen die Randbedingungen auf den Leiteroberflächen: E n : n E = ρ s ε 0 ρ s : Oberflächenladungsdichte (4.5) E t : n E = 0 (4.6) B n : n B = 0 (4.7) B t : n B = µ 0 J s. Js : Oberflächenstromdichte (4.8) Insbesondere ist E n = ρs ε 0 und B t = µ 0 J sz. Wir untersuchen nun eine Konfiguration wie in Figur (4.1) gegeben, und betrachten einen Streifen der Breite b. Wendet man das Gesetz von Faraday E d s = B d a (4.9) t c auf einen Integrationsweg c an, wie in Figur (4.3) gezeigt, so erhält man c E d s = 2 1 E d s }{{} = V (z) E d s + }{{} =0 4 3 S E d s }{{} =V (z+dz) E d s }{{} =0 = adz B y t. (4.10) 68

3 x a E x B y y Abbildung 4.2: Ansicht von der Seite x a 1 4 c 2 E x B y 3 z z z+dz Abbildung 4.3: Integrationsweg Daraus folgt, zusammen mit den Randbedingungen: wobei B y = µ 0 J sz = µ 0 b I ist. V z = a B y t y = (µ 0 a b ) I t (4.11) b B y E x J sz z Abbildung 4.4: von oben Wendet man das Gesetz von Ampère B d s = µ 0 c S ( J E + ε 0 ) d a (4.12) t auf den Integrationspfad in Figur (4.4) an, so folgt bb y (z) bb y (z + dz) = µ 0 ε 0 bdz E x t (4.13) 69

4 und damit wobei E x = V ist. a Eingesetzt in (4.11) erhält man I z = (ε b 0 a ) V t (4.14) 2 V z 2 = µ 0ε 0 2 V t 2 (4.15) beziehungsweise 2 I z = µ 2 I 0ε 2 0 t. (4.16) 2 Wir haben gezeigt, dass sich entlang der Leitung Spannungs- und Stromwellen ausbreiten können und zwar mit einer Phasengeschwindigkeit von c = 1 µ0 ε 0. Die Wellengleichung ist unabhängig von der Geometrie, d.h. a und b kommen nicht mehr darin vor. Die Geometrie kommt allerdings in den Gleichungen (4.11) und (4.14) vor. Wir wollen kurz b die physikalische Bedeutung von ε 0 und µ a 0 a betrachten. ε b 0 bl ist die Kapazität eines a b Plattenkondensators der Länge l, Breite b und Plattenabstand a. Somit ist C 0 = ε 0 die a a Kapazität der Leitung pro Einheitslänge. Analog dazu ist L 0 = µ 0 die Induktivität der b Leitung pro Einheitslänge. Damit gilt V z = L I 0 (4.17) t und I z = C V 0 t. (4.18) L 0 und C 0 charakterisieren also die Leitung. Bei einer zwei (oder mehr) -Drahtleitung gibt es immer einen Mode, d.h. eine Konfiguration des elektrischen und des magnetischen Feldes, bei dem E und B transversal zur Richtung der Energieausbreitung liegen (TEM-Mode.) Es gibt allerdings auch höhere Moden, die dadurch charakterisiert sind, dass entweder E oder B eine Komponente in Ausbreitungsrichtung hat. Mit TEM-Mode können (theoretisch) beliebige Frequenzen übermittelt werden. Da die Phasengeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz ist, gibt es keine Dispersion. Die Phasengeschwindigkeit lässt sich auch ausdrücken durch 1 v =. (4.19) L 0 C Koaxialkabel Wir betrachten ein ideales Koaxialkabel mit einem Innenleiter mit Radius b und einer ideal konzentrischen Ummantelung im Abstand a vom Zentrum (Figur (4.5)). Dazwischen sei Luft. Im realen Kabel ist allerdings zwischen den Leitern ein Dielektrikum eingefügt, meistens Teflon, um die Geometrie aufrecht zu erhalten. Wird der Zwischenraum 70

5 b a Abbildung 4.5: Koaxialkabel zwischen zwei Leitern mit einem Dielektrikum, das den Brechnungsindex n aufweist, ausgefüllt, so hat dies einen Einfluss auf die Phasengeschwindigkeit. Diese verringert sich gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und ist dann v = c/n. Im Falle eines TEM-Modes ist das elektrische Feld radial und das Magnetfeld azimuthal. Um nun die charakteristischen Grössen des Kabels zu bestimmen, müssen die Kapazität und die Induktivität pro Einheitslänge bestimmt werden, d.h. C 0 und L 0. Unter Verwendung der Gesetze von Ampère und Gauss lässt sich (als Übung) zeigen, dass L 0 = µ 0 2π ln(a b ) und C 0 = 2πε 0 ln( a (4.20) ). b Man sieht, dass das Produkt von L 0 C 0 = ε 0 µ 0 ist, und somit die Phasengeschwindigkeit v = c ist Charakteristische Impedanz, Z 0 Wir wollen nun durch unsere Zweidrahtleitung resp. unser Koaxialkabel eine Welle transmittieren. Wir schliessen also das Kabel an einen Generator an, der ein Sinus förmiges Signal der Frequenz ω generiere: resp. V = V 0 e i(ωt βz) (4.21) I = I 0 e i(ωt βz). (4.22) Dabei haben wir mit β den eindimensionalen Wellenvektor bezeichnet. Es wird sich also eine elektromagnetische Welle entlang dem Kabel ausbreiten, und wie wir gesehen haben, kann man dies alternativ als eine Spannungs- oder Stromwelle beschreiben. Dabei ist die Phasengeschwindigkeit v = ω. Strom und Spannung sind natürlich durch die beiden β Differentialgleichungen (4.17) und (4.18) miteinander verknüpft. Durch Einsetzen von (4.21) resp. (4.22) in (4.17) und (4.18) findet man I 0 = [β/(ωl 0 ]V 0 und da β/ω = (L 0 C 0 ) 1/2 71

6 folgt mit dem Resultat, dass I 0 = (C 0 /L 0 ) 1/2 V 0 V (z, t) = V 0 e i(ωt βz) I(z, t) = V 0 Z 0 e i(ωt βz) = V Z 0. Dabei ist die charakteristische Impedanz, Z 0, gegeben durch L0 Z 0 =. (4.23) C 0 Diese Impedanz heisst charakteristisch, weil sie eine für den Leiter charakteristische Grösse darstellt. Im Gegensatz zur Phasengeschwindigkeit, die Geometrie unabhängig ist, hängt die charakteristische Impedanz sehr wohl von der Geometrie ab. Für ein Koaxialkabel erhalten wir Z 0 = 1 µ0 ( a ) ln. (4.24) 2π ɛ 0 b Die Grösse µ0 ε 0 = 377 Ω bezeichnet man als Impedanz des Vakuums. Koaxialkabel, haben in der Regel eine charakteristische Impedanz von 50Ω Beschreibung mittels elektrischem Netzwerk Die Ausbreitung entlang einer Leitung kann auch von einem ganz anderen Ansatz her betrachtet werden, nämlich dem der Netzwerk-Analyse. Normalerweise geht man allerdings bei einem elektrischen Netzwerk davon aus, dass die Komponenten sehr viel kleiner als die Wellenlänge sind. Im Mikrowellenbereich, mit Wellenlängen von Millimetern oder weniger, sind die Komponenten von derselben Grössenordnung. Das bedeutet, dass Spannungen, sowohl im Betrag als auch in der Phase, über eine Komponente variieren können. Eine Wellenleitung (transmission line) wird meistens wie in Figur (4.6) als Zweidraht-Leitung dargestellt. Dies ist verständlich, da es zwei Drähte braucht, um einen TEM-Mode aufrecht zu erhalten. Dabei wird das Netzwerk charakterisiert durch I(z) Z z I(z+ z) V(z) I Y z V(z+ z) Abbildung 4.6: die folgenden Grössen: die Impedanz pro Einheitslänge Z = R + iωl und die Admittanz pro Einheitslänge Y = G + iωc. Dabei ist: 72

7 R: Widerstand pro Einheitslänge, erzeugt Verluste L: Induktivität pro Einheitslänge, verändert die Phase G: Konduktanz pro Einheitslänge (Leitwert der Isolation zwischen den Leitern) C: Kapazität pro Einheitslänge Es gilt dann: V = IZ z (4.25) Der Grenzübergang z dz führt zu dv (z) dz I = V Y z (4.26) = ZI(z) und di(z) dz = Y V (z). (4.27) Die beiden Gleichungen können gleichzeitig gelöst werden, was auf eine Wellengleichung für V (z) und I(z) führt, so dass wobei d 2 V dz 2 = γ2 V und d2 I dz 2 = γ2 I (4.28) γ 2 = ZY. (4.29) γ heisst Ausbreitungskonstante (propagation constant) und ist im Allgemeinen komplex, d.h. γ = α + iβ. Setzt man Z und Y in (4.29) ein und löst nach γ auf, so erhält man: γ = ± (R + iωl)(g + iωc) = ± (RG LCω 2 ) + i(lg + RC)ω. (4.30) Die allgemeine Lösung der Wellengleichung (4.28) lautet dann V = v i e iωt γz + v r e iωt+γz (4.31) und I = γ Z (v ie iωt γz v r e iωt+γz ) (4.32) wobei v i e iωt γz die einfallende (incident) und v r e iωt+γz die reflektierte (reflected) Welle ist. Gleichung (4.31) lässt sich auch schreiben als V = v i e i(ωt βz) e αz + v r e i(ωt+βz) e αz. (4.33) Dabei stellt e ±αz einen Dämpfungsfaktor dar und β = 2π λ Wellenvektor, wie bereits oben erwähnt. ist der (hier eindimensionale) 73

8 4.2.5 Eigenschaften der verlustlosen Leitung Die obige Herleitung war für den allgemeinen Fall gültig, wo die Leitung auch Verluste aufweist. Häufig sind diese aber klein. Im folgenden sei α 0, d.h. die Leitung weist keine Verluste auf. Zudem wird der Übersichtlichkeit halber der Faktor e iωt weggelassen. Wir erhalten dann für die Spannungs- resp. die Stromwelle V = v i e iβz + v r e iβz (4.34) resp. wobei mit I = 1 Z 0 (v i e iβz v r e iβz ) (4.35) Z 0 = Z γ = L0 C 0 (4.36) die charakteristische Impedanz, Z 0 bezeichnet wird. Für eine verlustlose Leitung ist Z 0 reell. Eine Leitung der Länge A sei mit Z 0 abgeschlossen, d.h. V (A) = Z I(A) 0. Gemäss Gleichung (4.35) und (4.34) gilt aber auch V (A) I(A) = Z v i e iβa + v r e iβa 0 (4.37) v i e iβa v r e iβa was nur möglich ist, wenn v r = 0 ist. Das gibt uns die wichtige Erkenntnis, dass auf einer Leitung, die mit Z 0 abgeschlossen ist, keine reflektierte Welle entstehen kann. Es ist, als wäre diese Leitung unendlich lang. Eine solche Leitung nennt man angepasst (engl. matched) Reflexionskoeffizient, Stehwellenverhältnis Eine Leitung mit der charakteristischen Impedanz Z 0 sei mit einer beliebigen Impedanz Z L abgeschlossen, wie das in Figur(4.7) dargestellt ist. Wir werden sehen, dass in diesem Falle eine Welle reflektiert wird und dadurch eine stehende Welle entsteht. Diese lässt dann Rückschlüsse auf Z L zu. Wenn die Leitung mit irgend einer Impedanz Z L abgeschlossen ist, dann ist das Verhältnis Z 0 ZL s s=d s=0 Abbildung 4.7: Eine mit einer Last-Impedanz Z L abgeschlossene Leitung 74

9 aus Spannung und Strom an der Stelle der Last auch Z L. Dies ist aber nur dann erfüllt, wenn eine reflektierte Welle auftritt. Die totale Spannung auf der Leitung ist dann V = v 1 e iβs + v 2 e iβs (4.38) und der zugehörige Strom I = 1 Z 0 (v 1 e iβs v 2 e iβs ). (4.39) v 1 ist die Amplitude der auf Z L zulaufenden und v 2 die Amplitude der von Z L weglaufenden Welle. Die v i sind im allgemeinen komplex. Das Verhältnis ρ = v 2 v 1 (4.40) nennen wir Reflexionskoeffizient. Dieser lässt sich schreiben mit ρ = ρ e iψ = v 2 e iϑ 2 v 1 e iϑ 1 = v 2 v 1 ei(ϑ 2 ϑ 1 ) (4.41) wobei ϑ 1 und ϑ 2 die Phasen der beiden Wellen darstellen. Mit (4.38) und (4.40 folgt V = v 1 e iβs + ρv 1 e iβs = v 1 e iβs (1 + ρ e iψ e 2iβs ) = v 1 e iβs (1 + ρ e i(ψ 2βs) ). (4.42) V wird minimal, falls e i(ψ 2βs) = 1 ist, d.h. (ψ 2βs) = (2m + 1)π, m = 0, 1, 2,... Die Distanz zwischen den Minima beträgt s m s m+1 = π = λ. Das erste Minimum ist β 2 im Abstand d min von Z L, wobei ψ 2βd min = π, was die Bestimmung von ψ ermöglicht. Man definiert als Stehwellenverhältnis die Grösse S = V max V min. (4.43) S wird auch als voltage standing wave ratio (VSWR) bezeichnet. Weil V min = v 1 (1 ρ ), V max = v 1 (1 + ρ ), folgt S = 1 + ρ 1 ρ ρ = S 1 S + 1. (4.44) Wir wollen noch den Zusammenhang zwischen Z 0, Z L, ρ und S darstellen. Es gilt: Z(s) = V (s) I(s) = Z 1 + ρe 2iβs 0. (4.45) 1 ρe 2iβs Setzt man in (4.45) s = 0 ein und beachtet dabei, dass Z(s = 0) = Z L ist, so erhält man Z L = 1 + ρ 1 ρ ρ = Z L Z 0 Z L + Z 0. (4.46) 75

10 Mit der Normierung z L = Z L Z0 = 1+ ρ eiψ 1 ρ e iψ erhält man z L = 1 is tan(βd min) S i tan(βd min ). (4.47) Durch Ausmessen des Stehwellenverhältnisses und der Distanz zum ersten Minimum kann somit die komplexe Impedanz bestimmt werden. Wir wollen uns nun noch fragen, welche Impedanz sieht man, wenn man an der Stelle s = l in die Leitung sieht? Diese sogenannte Eingangsimpedanz Z in respektive z in = Z in Z 0 erhält man aus zu Z in = V ( l) I( l) = v 1[e iβl + ρe iβl ] v 1 [e iβl ρe iβl ] Z 0 (4.48) z in = z L + i tan(βl) 1 + iz L tan(βl). (4.49) Beispiele und Diskussion Wir wollen nun einige in der Anwendung häufig vorkommende Beispiele kurz erwähnen: Offene Leitung, d.h. Z L = Eingesetzt in (4.46) folgt ρ = 1 Das einfallende Signal wird reflektiert. Einfallendes und reflektiertes Signal sind am Leitungsende, d.h. bei Z L, in Phase. Kurzschluss, d.h. Z L = 0 Es folgt ρ = -1 Das einfallende Signal wird auch hier reflektiert, allerdings sind das einfallende und das reflektierte Signal am Leitungsende um 180 Grad ausser Phase. Beweglicher Kurzschluss (engl. back short) im Abstand d. Die Eingangsimpedanz z in = i tan(βd) = Z short Z 0 ist rein reaktiv und mit d frei wählbar. Anpassung mit Parallel-Impedanz Z S, vgl. Figur (4.8) Z S Z L Z 0 d Abbildung 4.8: Anpassung mit einer Impedanz Z S im Abstand d von der Lastimpedanz Z L 76

11 Die Eingangsimpedanz an der Stelle d beträgt nach (4.45) Z i = Z 0 1+ρe 2iβd 1 ρe 2iβd. Die totale Impedanz Z an der Stelle d ist gegeben durch 1 Z = (4.50) Z S Z i (vergleiche Parallelschaltung von Widerständen). Die Reflexion ist Null, falls Z = Z 0, d.h. Z S = Z 0Z i Z i Z 0. Anpassung mit Back-Short Z short im Abstand d Wir wollen an eine Leitung mit charakteristischer Impedanz Z 0 eine Impedanz Z = X + iy anschliessen. Es ist möglich durch Einfügen eines Kurzschlusses im Abstand d vor der Last Reflexionen zu verhindern. 1 Z 0 = 1 X + iy + 1 = Z short 1 X + iy + 1 i tan(βd) (4.51) Keine Reflexionen treten genau dann auf, wenn gilt: X 2 Y + Y = Z 0 tan(βd) (4.52) Bei allen Anpassungen ist zu beachten, dass eine ideale Anpassung stets nur für ein bestimmtes β, d.h. für eine bestimmte Wellenlänge λ erreicht werden kann λ/4-transformator Leitungen können selbst verwendet werden, um Impedanzen anzupassen. Als Beispiel soll eine Leitung mit charakteristischer Impedanz Z 1 an eine andere Leitung mit charakteristischer Impedanz Z 2 angepasst werden, wie das in Figur (4.9) dargestellt ist. Z 1 Z 0 Z 2 = Z L A l=! /4 B Abbildung 4.9: Die einfallende Welle wird bei A und B reflektiert. Damit sich die beiden reflektierten Wellen weginterferieren können, muss der Transformator eine Länge von l = λ/4 haben. Nun stellt sich die Frage, welche Impedanz der Transformator selbst haben muss: 77

12 Die Eingangsimpedanz Z in an der Stelle A ist Z 2 + iz 0 tan(βl) Z in = Z 0 Z 0 + iz 2 tan(βl) = Z Z 2 cos(βl) + iz 0 sin(βl) 0 Z 0 cos(βl) + iz 2 sin(βl). (4.53) Mit βl = βλ = 2πλ = π folgt Z 4 λ4 2 in = Z2 0 Z 2. Damit Anpassung auch bei A vorliegt, muss Z 1 = Z in gelten, und daraus folgt Z 0 = Z 1 Z 2. (4.54) Wie bei den anderen bisher diskutierten Anpassungen ist auch diese Anpassung frequenzabhängig. Je mehr Elemente kaskadiert werden, desto breitbandiger ist die Anpassung. Vergleicht man diese Problematik mit der Optik, so sieht man, dass der Impedanz der Brechungsindex entspricht. Man spricht in der Optik nicht unbedingt von Impedanzanpassungen, sondern eher von Vergütungen beispielsweise einer Linse. Auch in diesem Fall werden λ/4-transformatoren eingesetzt S-Parameter Für tiefe Frequenzen ist es möglich, Impedanzen durch Spannungs- und Strommessungen zu bestimmen. Dies ist im Mikrowellenbereich nicht mehr der Fall. Man bestimmt an Stelle der Impedanz die Reflexion, Transmission und Absorption mit Hilfe eines sogenannten vektoriellen Neztwerk-Analysators. Ein Prinzipschema zeigt Figur (4.10). Vektoriell bedeutet, dass sowohl Amplitude wie Phase gemessen werden. in at input = a 1 Mikrowellenkomponente out at output = b 2 out at input = b 1 in at output = a 2 Abbildung 4.10: Es ist zu beachten, dass a 1 und b 1 am gleichen Anschluss der Komponente gemessen werden, ebenso a 2 und b 2. Man definiert S 11 = b 1 a 1, a 2 = 0 Reflexionskoeffizient (input) S 21 = b 2 a 1, a 2 = 0 Transmissonskoeffizient, ( engl. Gain/Loss) S 12 = b 1 a 2, a 1 = 0 Transmissonskoeffizient, (Isolation) S 22 = b 2 a 2, a 1 = 0 Reflexionskoeffizient (output) Allgemein kann man schreiben: ( ) ( ) ( ) b1 S11 S = 12 a1 b 2 S 21 S 22 a 2 (4.55) 78

13 oder kurz b = S a. S wird als Streumatrix bezeichnet, die Komponenten von S heissen S-Parameter. Sie charakterisieren eine Mikrowellenkomponente und besitzen Amplitude und Phase Technische Kenngrössen Das Verhalten einer Mikrowellenkomponente bezüglich Reflexion, Dämpfung, Verstärkung usw. wird durch spezielle Grössen charakterisiert. Dabei werden durchaus häufiger die englischen Ausdrücke verwendet, insertion loss, Gain, Return loss als die deutschen, wie Einfügedämpfung etc. Zudem werden zugehörige Zahlenwerte meist in der sog. db- Terminologie angegeben. db-terminologie: db = 10 log(n) (Faktor) dbm-terminologie: Der Referenzwert für Leistungen im Mikrowellengebiet ist 1mW. Verwendet man statt dem Zehner- den natürlichen Logarithmus, so spricht man statt von db von Neper. P in P refl. Komponente Abbildung 4.11: P trans. Gemäss Figur (4.11) definiert man: Insertion Loss = P trans. P in Return Loss = P refl. P in Dabei ist zu beachten, dass der Loss als positiver Wert in db angegeben wird. Das Wort Loss sagt, dass der Wert negativ genommen wird. Die Dämpfung ist nicht der Insertion Loss, sondern der Verlust innerhalb der Komponente. Als Gain (Verstärkung) bezeichnet man: G = 10 log( Ausgangsleistung ) [db] (4.56) Eingangsleistung Es lohnt sich, sich die folgenden Zahlen zu merken: Faktor db-wert

14 4 Gefu hrte Wellen Abbildung 4.12: Verschiedene Rechteckhohlleiter. Zwei Beispiele: Ein Faktor von 80(= ) entspricht einem db-wert von 19dB (= ), 2 ein Faktor von 0.02(= ) entspricht einem db-wert von 17dB (= ) Es gibt verschiedene Arten, die reflektierte Leistung zu spezifizieren. Pref l. [%] Ptrans. [%] Return Loss [db] SWR refl. Koeff. ρ Hohlleiter Ein Wellenleiter (engl. waveguide) oder Hohlleiter ist eine hohle Ro hre aus Metall, meist Messing, Kupfer oder Silber. Gegenu ber der Zweidrahtleitung hat ein Wellenleiter den Vorteil, dass die Da mpfung geringer ist, und dass keine Probleme mit genauer Montierung des Innenleiters bestehen. Dies ist kritisch, da die Impedanz fu r ein Koaxialkabel ja eine Funktion der Geometrie ist. Eine Ansicht verschiedener Hohlleiter zeigt Figur (4.12). 80

15 y z b a x Abbildung 4.13: Geometrie eines Rechteckhohlleiters y E B E Ausbreitungsrichtung x B E a z b Abbildung 4.14: Feldkonfiguration im Rechteckhohlleiter Rechteckhohlleiter Wir betrachten wieder ein System von zwei parallelen Platten (wie bei der Zweidrahtleitung). Durch Einfügen von Wänden machen wir einen Hohlleiter daraus, einen sog. Rechteckhohlleiter, wie dies als Beispiel in Figur (4.13) angedeutet ist. Dieses Einbringen von Wänden hat tiefgreifende Konsequenzen: Der TEM-Mode breitet sich nicht mehr aus, die Phasengeschwindigkeit ist nicht mehr c, Signale können nicht mehr bis zu ν = 0 Hz übermittelt werden. Ferner ist eine Beschreibung mit U und I nicht mehr sinnvoll. Der Grund für alle diese Änderungen liegt einzig darin, dass jetzt andere Randbedingungen gelten. Es muss nämlich E t auf der Wand verschwinden. Um diese Behauptungen zu verifizieren, wollen wir mögliche Feldkonfigurationen im Hohlleiter untersuchen. Wir betrachten vorerst einen Ausbreitungsmode innerhalb des Hohlleiters, wobei das E-Feld nur eine y-komponente aufweist. E = (0, E y, 0), E y = 0 für x = 0 und x = a. In y-richtung sei das E-Feld konstant. Dies ist in Figur (4.14) veranschaulicht. In diesem Fall bietet sich für E y folgende Form an: E y muss die Wellengleichung erfüllen, d.h. E y = g(x)e i(ωt kzz). (4.57) 81

16 2 E y x E y y E y z 2 = 1 c 2 2 E y t 2. (4.58) Setzt man die Ableitungen von (4.57) in (4.58) ein, so erhält man [ 2 g ( x + ( ω ) ] 2 c )2 kz 2 g e i(ωt kzz) = 0. (4.59) Dieser Ausdruck ist dann Null, wenn die eckige Klammer verschwindet. Setzt man k 2 x = ( ω c )2 k 2 z, (4.60) so folgt aus der Differentialgleichung (4.59), dass g(x) von der Art g(x) = A cos(k x x) = B sin(k x x) (4.61) sein muss. Weil g(x) = 0 für x = 0 und x = a, folgt A = 0 und k x = mπ. a Die einfachste Lösung für E y lautet somit (m = 1): wobei E y = E 0y sin( πx a ) cos(ωt k zz) (4.62) k z = ± ω 2 Dabei ist πc = λ 0, weil λ ωa 2a 0 = 2πc ω beträgt die Wellenlänge im Hohlleiter c 2 π2 a 2 = ±ω c 1 ( πc ωa )2. (4.63) = c ν. λ 0 ist dabei die Wellenlänge im Vakuum. Da k z = 2π λ g, (4.64) λ g = λ 0 1 ( ). (4.65) λ 0 2 2a Mit Hilfe der Maxwell-Gleichung B = µ 0 ε 0 E t und (4.62) kann man das Magnetfeld bestimmen: (4.66) B x = E 0y c B z = E 0y c ck z ω sin(πx a ) cos(ωt k zz) (4.67) πc ωa cos(πx a ) sin(ωt k zz). (4.68) 82

17 E y und B x sind also in räumlicher und zeitlicher Phase gleich, wie das auch im Vakuum der Fall ist. Aber dazu kommt B z entlang der z-achse, 90 Grad ausser Phase mit B x. Für ω geht πc 0 und damit auch B ωa z. Es wird B x = E 0y und k c z = ω, d.h. Licht c ( ω gross) geht ungehindert durch den Hohlleiter (man kann ja problemlos durch einen Hohlleiter hindurchblicken). Für ω < ω c = πc wird k a z imaginär! Man nennt diese Frequenz Cutoff-Frequenz. Entsprechend existiert eine Grenzwellenlänge λ c = 2a, (4.69) oberhalb der keine Ausbreitung mehr erfolgen kann. Es stellt sich sofort die Frage, was für die Wellenausbreitung unterhalb der Cutoff-Frequenz passiert. Für ω < ω c gilt und damit (eingesetzt in (4.57)) k z c = i ω 2 c ω 2 (4.70) E y = g(x)e ω 2 c ω2 z c e iωt. (4.71) Das E-Feld oszilliert in der Zeit und fällt im Raum exponentiell ab. Die Welle ist evaneszent. Das E-Feld nimmt innerhalb der Distanz π auf 1 ab. Dies erlaubt die Verwendung a e eines Hohlleiters als Hochpassfilter. Wir wollen nun noch die Wellengeschwindigkeiten betrachten. Die Phasengeschwindigkeit ist v P hase = ω k z = und die Gruppengeschwindigkeit entsprechend v Gruppe = dω = c 1 dk z c 1 ( ω c ) (4.72) 2 ω ( ωc ) 2. (4.73) ω Es gilt v P hase v Gruppe = c 2. Die für die Energieausbreitung ausschlaggebende Gruppengeschwindigkeit ist kleiner als c und ist frequenzabhängig, d.h. im Hohlleiter gibt es Dispersion. Den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Geschwindigkeiten zeigt auch das Phasendiagramm in Figur (4.15). Nebst der eben diskutierten Grundmode im Rechteckhohlleiter gibt es auch höhere Moden der Feldkonfiguration. Die allgemeine Lösung des elektrischen Feldes im Rechteckhohlleiter für sog. TE mn -Moden lautet E y = E 0y sin( mπx a ) cos(nπy b ) cos(ωt k zz). (4.74) Diese Moden sind dadurch charakterisiret, dass sie ein E-Feld mit E z = 0 haben, dass aber B z 0 bzw. H z 0. Sie werden deshalb auch als H-Moden bezeichnet. Entsprechend gibt es TM mn -Moden (E z 0), die auch als E-Moden bezeichnet werden. 83

18 ! k z c = 4 Geführte Wellen! 2! 2 c c d! d = v G k z! c! = vph k z k z.. Welle im Vakuum ohne "Wande"! =c, keine Dispersion k Abbildung 4.15: Die Cutoff-Frequenz für die höheren Moden (sowohl TE- als auch TM-Moden) ist gegeben durch (m ) 2 ( n ) 2. ω c (m, n) = πc + (4.75) a b Für a > b ist die tiefste Cutoff-Frequenz diejenige des TE 10 -Mode. Man nennt dies den dominanten Mode oder den Grundmode. Die meisten Rechteckhohlleiter sind so konstruiert, dass a 2b. Mit m = 1 und n = 0 folgt für a = 2b ω c (1, 0) = πc und a ω c (m, n) = ω c (1, 0) m 2 + 4n 2. (4.76) Es gilt also ωc(m,n) ω c(1,0) = 1, 2, 2.236, 2.828, 3,... Ein Hohlleiter kann also nur über eine bestimmte Bandbreite (ausschliesslich) im Grundmode betrieben werden. Oberhalb der Frequenz ω = 2ω c (1, 0) beginnen sich höhere Moden auszubreiten. Je höher die Frequenz oberhalb ω c, desto mehr Moden sind möglich. Es ist vorteilhaft, einen Hohlleiter nur im Grundmode zu betreiben, da verschiedene Moden unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten und Dämpfungen haben, und es zudem schwierig ist, sie gleichzeitig zu detektieren. Aus diesem Grunde sind im Handel rund 34 verschiedene Hohlleiter erhältlich! Eine Übersicht über die Abmessungen der verschiedenen Hohlleiter mit Angabe der Bandbezeichnung sowie der Cutoff- Frequenz für den TE 10 Grundmode ist in Figur (4.16) zusammengestellt. Verschiedene Moden, die dieselbe Cutoff-Frequenz haben (z.b. TE 01 und TE 20 ) heissen degeneriert. Die Mode-Zahlen für TE- und TM-Moden geben die Variationen des E- bzw. des B- Feldes über die Höhe und Breite des Hohlleiters an, z.b. TE 12 : eine vertikale (y-richtung) und zwei horizontale (x-richtung) Unterteilungen des E-Feldes. Die ist deutlich in Figur (4.17) ersichtlich. 84

19 Band* s H (G) c (J) w (H) X Ku (P) K Ka (R) a U V D G Letters Recommended Frequency Range (GHz) parcntheses t.t2-t.70 t.7r2.& 2.ffi Vr lL O L110.0 m t40.v220.o TEroCutoff Frequency (GHz) t u r r I EIA Designation WR.XX wr-650 wr430 wr-284 wr-187 wr-137 wr- lt2 wr-90 wr-62 wr42 wr-28 wr-22 wr-19 wr-15 wr-12 wr-10 wr-8 wr-6 wr-5 Inside Dimensions Inches (cm) 6.500x3.250 (16,51x8.255) 4.300x2.150 (ro.922x5.46r) 2.840x (7.L14x3.4M) 1.872x0.872 (4.755x2.215) 1.372xO.622 (3.485x 1.580) 1.122xO.497 (2.850x1.262) 0.900x0.400 (2.286x 1.016) 0.622x0.311 (1.580x0.790) 0.420x0.17O (1.07 x0.43) 0.280x0.140 (0.71I x0.356) 0.274x0.112 (0.57 x0.28) 0.188x0.094 (0.48 x0.24) 0,148x0.074 (0.38 x0.19) 0.122x0.061 (0.31 x0.015) 0.100x0.050 (0.254x0.r27) 0.080x0.040 (0.203x0.102) x (0.170x0.083) 0.051x (0.130x0.0@18) Abbildung 4.16: Standard Rechteckhohlleiter Outside Dimensions Inches (cm) 6.660x3.410 (16,916x ffix2.310 (11.328x x (7.620 x 3.810) 2.000x (5.080x x0.750 (3.810x 1.905) 1.250x0.625 (3.175x 1.587) 1.000x0.500 (2.540xr.270) 0.702x0.391 (1.783 x0.993) 0.500x0.250 (1.27 x0.635) 0.360x0.220 (0.914x x0.192 (0.772x x0.u4 (0.681x x (0.579x0.391 O.202x0.141 (0.513 x0.356) x (0.458 x 0.330) x (0.,106x x (0.368x x0.105 (0.333 x.26e0) Hohlleiter werden üblicherweise bis zu Frequenzen von etwa 220 GHz verwendet. Bei noch höheren Frequenzen würden die Hohlleiter so klein, dass sie mechanisch kaum mehr mit ausreichender Genauigkeit über eine grössere Länge herstellbar wären. Deshalb verzichtet man bei so hohen Frequenzen ganz auf Leiter und lässt die Mikrowellen quasioptisch im freien Raum ausbreiten Kreishohlleiter Es gibt keinen Grund warum sich nur rechteckige Wellenleiter für die Ausbreitung von Moden eignen würden. Es ist durchaus auch möglich Signale in kreisförmigen Hohlleiter zu propagieren. Im Prinzip ist jeder Querschnitt denkbar, vorausgesetzt, er bleibt über die Distanz erhalten. In der Praxis haben sich primär die Rechteckhohlleiter durchge- 85

20 Abbildung 4.17: Höhere Moden 86

21 setzt, obschon auch Rundhohlleiter oder elliptische Hohlleiter vorkommen. Zusätzlich gibt es speziell geformte Hohlleiter, die aber hier nicht weiter erwähnt werden sollen. Man würde denken, dass der Rundhohlleiter der wichtigste Hohlleiter sei, da er sicher am einfachsten herzustellen ist, schliesslich kennen wir den Einsatz von Röhren in unterschiedlichen Gebieten aus dem täglichen Leben. Wir werden sehen, dass es seine Gründe hat, dass trotz allem der Rechteckhohlleiter bevorzugt wird. Entsprechend der Geometrie verwendet man zur Beschreibung der Feldkonfiguration im Rundhohlleiter Zylinderkoordinaten. Dies führt dann auf die Verwendung von Besselfunktionen. Grundsätzlich sind aber die Betrachtungsweisen analog wie beim Rechteckhohlleiter. Es soll hier auch keine Herleitung der charakteristischen Grössen gegeben, sondern lediglich die Ergebnisse erläutert werden. Die Feldkonfiguration im Kreishohlleiter ist in den Figuren (4.18) und (4.19) veranschaulicht. Ebenso wie im Rechteckhohlleiter gibt es verschiedene Moden, wobei der Modenindex die Anzahl der Variationen des Feldes beschreibt. Dabei gibt der Wert n diejenigen in azimuthaler Richtung an, und der Wert m diejenigen in radialer Richtung. Eine Analyse der Feldbelegungen, zusammen mit den Randbedingungen ergibt die Cutoff-Frequenzen, f c, für einen Kreishohlleiter mit Radius a. Für die TE mn -Welle gilt f c (m, n) = cp nm 2πa (4.77) wobei p nm die m-te Nullstelle der Ableitung J n der Besselfunktion J n ist. Werte für p nm findet man tabelliert. Der Grundmode ist der TE 11 Mode, gefolgt von TE 01. Der TE 10 existiert nicht. Eine analoge Rechnung ergibt für die TM mn Moden eine Grenzfrequenz von f c (m, n) = cp nm 2πa (4.78) wobei p nm die m-te Nullstelle der Besselfunktion J n ist. Der erste TM-Mode, der sich ausbreitet, ist der TM 01, gefolgt von TM 11. Wir haben gesehen, dass die Reihenfolge für die TE mn -Moden im Kreishohlleiter TE 11, TE 21, TE 01, TE 31 etc. ist, und dass diese Reihenfolge auch nicht durch eine andere Wahl der Geometrie geändert werden kann. Die Bandbreite zwischen den Moden ist auch fest. So ist die Bandbreite für den Grundmode gegeben durch / = : 1, was aber weniger ist als das Verhältnis von 2 : 1 im Rechteckhohlleiter. Es ist zu beachten, dass dieses Verhältnis im Rechteckhohlleiter von der Geometrie abhängig ist, und den maximalen Wert erreicht, wenn a = 2b. Der Grund für das unterschiedliche Verhalten liegt darin, dass im Falle des Rechteckhohlleiters zwei Dimensionen, a und b, vorliegen, im Gegensatz zum Rundhohlleiter, wo nur der Radius geändert werden kann. Die Bandbreite im Rundhohlleiter ist aber noch kleiner, da nach dem TE 11 sehr schnell der TM 01 - Mode kommt, so dass die Bandbreite lediglich 1.3 : 1 ist. Wird auf beiden Seiten des Bandes noch eine kleine Marge gelassen, so reduziert sich dies noch weiter. Das ist der Hauptgrund, weshalb der Rundhohlleiter praktisch nicht verwendet wird. Wie wir in Abschnitt (4.3.4) sehen werden, gäbe es allerdings durchaus Gründe den Rundhohlleiter zu verwenden. 87

22 4.3.3 Höhere Moden im Koaxialkabel In einem Koaxialkabel können sich nicht nur TEM-Moden ausbreiten, sondern ebenfalls TE- und TM-Moden. Die mathematische Behandlung ist allerdings für diese Geometrie nicht einfach, da dies auf transzendente Gleichungen führt, die nur numerisch gelöst werden können. Es sei aber vermerkt, dass der Grundmode ein TE 11 -Mode ist. Für ein Koaxialkabel des Typs RG 142 kann dieser Mode bei etwa 17 GHz einsetzen. Dies zeigt, dass auch beim Koaxialkabel die Ausbreitung eines einzelnen Modes limitiert ist Dämpfung im Hohlleiter Bisher haben wir nichts über die Dämpfung in einem Wellenleiter gesagt. Dämpfung kann einerseits von Verlusten in einem Dielektrikum stammen, das z.b. zwischen dem Innenund Aussenleiter eines Koaxialleiters liegt, und andererseits durch Ohmsche Verluste in den Leitern entstehen. Für einen idealen Hohlleiter würde oberhalb der Cutoff-Frequenz keine Dämpfung auftreten. Die verschiedenen Moden induzieren in den Wänden des Hohlleiters Ströme (vgl. Figur (4.20)). Wegen der endlichen Leitfähigkeit der Hohlleiterwände entstehen Ohmsche Verluste. Diese werden durch einen Dämpfungskoeffizienten α c beschrieben. 1 Die Leistung P l pro Einheitslänge, die durch eine Wandfläche A m absorbiert und als Wärme dissipiert wird, kann analog einem Ansatz RI2 2 berechnet werden: P l = R s 2 A m Js J s ds (4.79) wobei µ J s = n B ist. J s ist eine lineare Stromdichte [A/m], die induziert wurde. P l kann also aus J s resp. B für alle Wände berechnet werden. Wir suchen aber einen Dämpfungskoeffizienten α c. P 0 sei die Leistung im Hohlleiter bei einem Referenzpunkt z 0. P mn sei die Leistung des Modes mn an der Stelle z: P mn (z) = P mn (z = 0)e 2αcz = P 0 e 2αcz. (4.80) Dabei bedeutet das negative Vorzeichen des Exponenten, dass es sich um eine Dissipation handelt, also dass die Leistung bei wachsendem z abnimmt. Für einen Hohlleiter der Länge l ist die total dissipierte Leistung P c P c = z dp mn dz z=l = z d ( P0 e 2αcz) dz z=l = 2α c zp 0 e 2αcz z=l = 2α c lp mn. (4.81) Für den Dämpfungs- oder Absorptionskoeffizienten erhalten wir nun 1 Der Index c steht für conduction α c = P c/l 2P mn = P l 2P mn (4.82) 88

23 P mn kann man aus der Feldbelegung bestimmen, gemäss: P mn = 1 a 2 R b E Hẑ dy dx (4.83) 0 0 Für den TE 10 -Mode erhält man auf diese Weise nach einigen Umformungen α c = R s (1 + 2b a ( fc f )2 ) µ ε b 1 ( fc f )2.[Np/m] (4.84) Die Dämpfungskonstante α c wird häufig in [db/m] angegeben 2. Für die Umrechnung gilt: db = 20 log(e αcz ) = 20( α c z) log(e) = 20( α c z)(0.434) = 8.68(α c z), d.h. α c [Np/m] = α c[db/m] (4.85) Figur (4.21) zeigt die Dämpfung als Funktion der Frequenz für einen Rechteckhohlleiter. Analoge Überlegungen lassen auch die Dämpfung in einem Kreishohlleiter berechnen. Als Beispiel zeigt Figur (4.22) den Dämpfungsfaktor in diesem Fall. Interessant ist, dass hier ein Mode existiert, nämlich TE 01, in dem die Dämpfung mit zunehmender Frequenz abnimmt. Leider ist dieser Mode aber nicht der Grundmode und Leistung ginge dann in diesem Fall an die tieferen Moden verloren. 2 Achtung: Häufig wird die Umrechnung nicht auf Leistungen bezogen, dann ist α c [Np/m] = α c [db/m] 89

24 Abbildung 4.18: TE und TM-Moden im Rundhohlleiter 90

25 Abbildung 4.19: TE und TM-Moden im Rundhohlleiter (Fortsetzung) 91

26 Abbildung 4.20: TE-Moden im Rechteckhohlleiter mit zugehörigen Strömen. 92

27 Abbildung 4.21: Dämpfung in einem Rechteck-Hohlleiter mit a=2cm Abbildung 4.22: Dämpfung in einem Kreishohlleiter mit a=2cm 93

28 THE EFFECT OF VSWR ON TRANSMITTED POWER RETURN TRANS. VOLT. POWER POWER RETURN TRANS. VOLT. POWER POWER VSWR LOSS LOSS REFL. TRANS. REFL. VSWR LOSS LOSS REFL. TRANS. REFL. VSWR (db) (db) (db) COEFF. (%) (%) VSWR (db) (db) (db) COEFF. (%) (%)