V. Führung und Speicherung elektromagnetischer Wellen

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1 Führung und Speicherung em. Wellen 1 V. Führung und Speicherung elektromagnetischer Wellen Felder an metallischen Oberflächen sehr wichtig für Anwendung: eitung und Speicherung von elektromagn. Wellen über viele Größenordnungen der Wellenlänge erforderlich Mikrowellen: metallische Strukturen Infrarot, optisch: dielektrische Fasern (geringe Absorption) eitfähigkeit, Suszeptibilität und Geometrie von Materialien werden zur Führung der elektromagnetischen Wellen ausgenutzt. Wichtigste Beispiele von Anwendungen sind die Faseroptik (Telekommunikation) und Resonatoren für aser. Oftmals müssen Resonatoren designed werden. Ziel ist Kontrolle der Moden und damit der Speicherung und der Wellenausbreitung in einem Resonator bzw. Wellenleiter. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1/24

2 Felder an perfekten eitern 2 1. Felder an der Oberfläche von perfekten eitern idealer eiter: ein idealer eiter wird als unendlich schnell reagierend angenommen, egal wie hoch die angelegte Frequenz des Felds ist: immer null angenommen, also Feld immer langsam gegen jede Art von adungsgträgerdynamik aus : Das E-Feld im idealen eiter muß verschwinden, ansonsten fliesst ein unendlicher Strom (unphysikalisch). jetzt Randbedigungen untersuchen, was kann man über Felder an Grenze Vakuum-eiter lernen? Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2/24

3 Felder an perfekten eitern 3 Metall(=2) Vakuum=1 n wegen auf OF im Medium 1: : Oberflächenladungsdichte, stellt sicher, daß im eiter Null und außerhalb des eiters ungleich Null (zb. wenn angelegtes Feld vorliegt) ist auch wegen (Maxwellgl. auf OF im Medium 1: über Materialgl. über Materialgl. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.3/24

4 Felder an perfekten eitern 4 H E eiter(ideal) Alle Felder sind Null im eiter. E H 0 ξ Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.4/24

5 Felder an der Oberfläche realer eiter 5 2. Felder an der Oberfläche realer eiter Materialgesetz mit endlicher eitfähigkeit pl Drude-Modell der elek. eitfähigkeit in Metallen endlich (ÜA) Modell zeigt Frequenzabhängigkeit, damit eine retardierte Antwort auf Wellen (für idealer eiter, instantane Antwort) jetzt realer eiter: z.b. nötig für hochfrequente Felder, führt zum Skineffekt: elektromagnetische Wellen haben eine endliche Eindringstief. Iteratives ösen des Problems: 0) setzen Verschiebungsstrom, d.h., vernachlässigen Welleneffekte über ängen > (nur dort Rechng. gut) 1) 0-te Näherung: Außerhalb des eiters und in der Nähe der Oberfläche bei einem idealen eiter, im eiter dagegen sind alle Felder null (nullte Näherung ist idealer eiter) 2) 1-te Näherung: diese Felder der nullten Näherung in Maxwellgl. und Grenzbedingungen einsetzen, um Felder im eiter zu berechnen Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.5/24

6 Felder an der Oberfläche realer eiter 6 Im eiter gilt im Fourierraum: (1) Materialgleichungen im eiter: (3) aus also: (2) nur dominierte Ableitung in Oberfläche richtig mitnehmen: kann zb über Zylinderkoordinaten gemacht werden: außen innen n (Metall: σ, µ ) ζ=0 ζ Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.6/24

7 Felder an der Oberfläche realer eiter 7 die erste Gleichung nach ableiten: die zweite Gleichung mit multiplizieren: denn das doppelte Kreuzprodukt ist: weil in nullter Näherung parallel zur OF zeigt, muß auch der Quellterm(Kreuzprodukt) in diese Richtung zeigen ist eine Differentialgleichung 2.Ordnung, Ansatz: ist charakteristische Gleichung Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.7/24

8 Felder an der Oberfläche realer eiter 8 ösung: ( Minus-sg. ist nicht physikalisch denn divergierend) ist bekannt aus 0-ter Ordnung, Wert außerhalb des eiters. schneller räumliche Zerfall der Felder mit, Eindringstiefe innerhalb des eiters kupfer nm Bereich, für optische Frequenzen 10 Bereich Das verhältnismaßig schwache Eindringen von em. Felder in OF heißt Skineffekt. Felder sind parallel zur Oberfläche gerichtet und breiten sich senkrecht dazu aus (analog Wellen). Felder können allein durch außerhalb der Oberfläche ausgedrückt werden. (Eindringstiefe) geht mit gegen Unendlich, wegen der Frequenzabh. von. E H E E,H Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.8/24

9 Resonatoren und Wellenleiter 9 3. Resonatoren und Wellenleiter Ausbreitung von em. Wellen in struktierten Systemen, z.b. Metallzylinder/Kasten: soll Felder leiten oder lokalisieren eingeschlossenes Medium mgl. mit Endfläche = Resonator (wichtig für aser) ohne Endfläche = Wellenleiter (wichtig für gerichteten Transport) Annahme: idealer eiter, d.h., homogene Maxwellgl. mit Randbedingg. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.9/24

10 Resonatoren und Wellenleiter 10 nutzen der Zylindersymmetrie, machen Separation: : Ausbreitungsrichtung, es gilt: ist transversales Profil zu. denn: Die Zerlegung ist vernünftig definiert. Die Zerlegung in eine zur z-achse parallelen (z) und einer transversalen (t) Komponente senkrecht dazu führt zu einer Zerlegung der Maxwellfelder in diese Komponenten (z,t). Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.10/24

11 Resonatoren und Wellenleiter 11 Beispiel: mit Man erhält insgesamt die folgende Gleichungen, wobei aus dem vektoriellen Maxwellgleichungen( ) je zwei neue Gleichungen entstehen: weiteres Vorgehen mit Ansätzen f. die Felder: 1) Wellenleiter ( ) (laufende Welle: 3.1) 2) Resonator ( ) (stehende Welle: 3.2) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.11/24

12 Wellenleiter Wellenleiter: Ausbreitung von Wellen in Hohlleiter Ausbreitung in positive z-richtung: Ansatz in den Vorfaktoren stecken die x,y Abhängigkeiten Es bleibt die Felder zu bestimmen. unterscheiden 2 Sorte von Wellen, die linear überlagert werden können: Transversale magnetische Welle (TM) Überall im Wellenleiter, hat rein tranversale Komponente. Transversale elektrische Welle (TE) Überall im Wellenleiter, hat rein tranversale Komponente. Die Gesamtlösung wird durch die Überlagerung beider gefunden. Die Motivation für diese Vorgehen wird klar, wenn man einen Hohlleiter in idealem Metall betrachtet. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.12/24

13 Metallischer Wellenleiter 13 a) Hohlleiter im idealen Metall Randbedingungen ( sei Normale auf Metallrand wichtig für ösung der Wellengleichung für ), es gilt: TM-Mode: überall und TE-Mode: als Randbedingung überall und oftmal in einfacher Form verwendet (ohne Beweis) Für die Bestimmung der im Hohlleiter(homogenes Medium) nehmen und man kann diese als Randbedingung für TE- bzw. TM-Mode anpassen und diese unabhängig voneinander überlagern. Komponente kann man die Wellengleichung Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.13/24

14 Metallischer Wellenleiter 14 Wellengleichung im homogenen Medium für alle Komponenten gültig - Mit den gegebenen Randbedingungen kann bestimmt werden und damit die daraus bestimmt werden, ebenso wird dadruch die Dispersionsrelation im Wellenleiter festgelegt. Beispiel: y b k rechtechiger Wellenleiter, innerhalb sei Vakuum, Wände aus Metall z a x Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.14/24

15 Metallischer Wellenleiter 15 suchen nach TM ösungen, d.h. ösung der Wellengleichungen, die die RB.( efüllen: weil TM-Mode numerieren verschiedene ösungen, die sg. der Wellengl. und Randbedingg. erfüllen, die verschiedenen sg. werden Moden genannt Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.15/24

16 Metallischer Wellenleiter 16 einsetzen in Wellengl führt auf Dispersionrelation: wenn in Wellengleichung für eingesetzt. diese Gleichung legt die möglichen k-werte (Wellenzahl in z-richtung) der propagierenden sg. fest: Wenn erlaubt (verboten / gedämpft=evaneszent) auch hier findet man wieder evaneszente Wellen und propagierende Wellen, die Abschneidefrequenz unter der eine Ausbreitung nicht mgl. ist, ist, da dann ein imaginäres k entsteht Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.16/24

17 Metallischer Wellenleiter 17 vor Diskussion der Dispersion, Berechnung der vollen Felder im rechteckigen Metall-Wellenleiter TM-Mode: sind die vollständigen Fourieramplituden im rechteckigen Wellenleiter. alle 3 Vektorkomponenten treten auf, sind in z-richtung propagierend, ist durch die Dispersionrelation festgelegt, wenn die Moden und eine Frequenz vorgegeben sind. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.17/24

18 Metallischer Wellenleiter 18 Diskussion der Dispersionsrelation: allgemeine Formulierung der Helmholtz-Gl.: muß nicht negativ sein, um oszillierende sg. zu erlauben, damit man die Randbedinungen (Null auf dem Rand) erfüllen kann es gibt für, entsprechend dem Eigenwertproblem, diese verschiedene sg. werden Wellenleitermoden genannt, für jede Mode ergibt es für eine feste Frequenz ein mit dem sich diese Welle in z-richtung ausbreitet: durch sg. der EW-Problems bekannt als also wählen, damit bekannt wählen Welle, die sich ausbreitet ist damit charakterisiert Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.18/24

19 Metallischer Wellenleiter 19 Definition einer Abschneide(Cut-off)-Frequenz zur besseren Darstellung der Dispersion diskutieren jetzt die mgl. für feste Für : ist reell Welle ist proportional zu und damit propagierend im Wellenleiter Für : ist imaginär evaneszente Welle proportional zu, zeigt also keine Wellenausbreitung Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.19/24

20 Metallischer Wellenleiter 20 k λ ω µ ε 1 λ=1 λ=2 ω 1 ω 2 ω 3 ω=fest Schnittpkt. gilt Anzahl mgl. sg. d.h., mgl. Moden 1. Für eine feste Frequenz können sich nur eine endliche Zahl von Moden ausbreiten. 2. ω ist die freie Dispersion in Medium in Wellenleiter Wellenleiter hat keine Einfluß(??) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.20/24

21 Dielektrischer Wellenleiter 21 b) Wellenleiterproblematik in Dielektrika zur Wellenleitung mak mak im Dielektrikum, untersuchen zunächst beliebige Suszeptibilität Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.21/24

22 Dielektrischer Wellenleiter 22 Analog findet man: Dielektrikum : Manchmal werden: setzen und Feldkomponente lösen. vorgeben. Bsp:. Dann kann rechte Seite der Gl. vernachlässigt homog. Helmholtzgl. für jede Bei stückweise Komponenten n: ösungen der Helmholtzgl. über RB. miteinander verbinden (z.b. Fresnelformeln) Starker Gradient: Behandlung wie in metallischem Wellenleiter: Gl. für werden durch bestimmt. Helmholtzgl. für, aber stark modifiziert. (i.a. keine Entkopplung von TE,TM) Aber mit RB. für Dielektrikum zu lösen: ( tang tang stetig) normal normal Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.22/24

23 Resonatoren Resonatoren Speicherung von em. Energie in an offenem Ende verspiegelten Wellenleitern suchen nach stehender ösung: statt für den E,B-Feld d.h.: TM-Felder, nutzen bei zur Vereinfachung TE-Felder, nutzen bei des EWPs. Beispiel: TM-Resonator des rechteckigen Resonators. verkleidet metallisch 0 d Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.23/24

24 Dielektrischer Wellenleiter 24 Aus den Wellenleitergleichungen für den rechteckigen W. bekommen wir: Modifikation der Dispersionsrelation in Resonatoren ist ein Bestimmungsgleichung für die Frequenz der em. Strahlung, die im Resonator gespeichert werden kann. In der Praxis wird der Resonator so gestaltet, daß er möglicht nur die resonante Frequenz des atomaren Übergangs enthält, bzw. alle andere Frequenzen spektral weit weg sind. Man kann Einzelmodenresonatoren bauen (Halbleiterphysik: VCSE). Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.24/24