Schwache Gravitationslinsen. Seminar beobachtende Kosmologie André Lampe, Fakultät für Physik

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1 Seminar beobachtende Kosmologie André Lampe, Fakultät für Physik

2 Inhalt 1. Starke und schwache Gravitationslinsen 2. Warum Gravitationslinsen? 3. Geometrischer Zugang 4. Die Messung 5. Die Herausforderung 6. Zusammenfassung 7. Links und Quellen 2

3 Starke und schwache Gravitationslinsen Die allgemeine Relativitätstheorie sagt voraus, dass ein Lichtstrahl, der durch ein inhomogenes Gravitationsfeld läuft, eine Ablenkung erfährt. Dieser Effekt wird als gravitational lensing bezeichnet. Durch die Kugelsymmetrie der Gravitationsfelder entsteht eine Ablenkung der Lichtstrahlen, die mit den Gesetzmäßigkeiten von Linsen in der geometrischen Optik vergleichbar ist. Es existiert keine eindeutige Definition, welche Gravitationslinse als schwach oder als stark zu bezeichnen ist. 3

4 Starke und schwache Gravitationslinsen In der ART ist es zulässig, dass mehr als eine Geodäte eine Verbindung zwischen der Weltlinie der Quelle und dem Ereignis der Beobachtung herstellt. Gravitationslinsen die eine Quelle mehrfach abbilden werden als starke Gravitationslinsen bezeichnet. 4

5 Starke und schwache Gravitationslinsen Bilder von Quellen, die nur eine geringe Ablenkung durch eine Gravitationslinse erfahren haben, sind in der Regel nicht ohne zusätzliche Informationen zu identifizieren. Die Untersuchung von schwachen Gravitationslinsen schließt immer eine eine statistische Untersuchung von vielen verschiedenen Linsensystemen mit ein. 5

6 Warum Gravitationslinsen? 1. Lichtablenkung ist ein Maß für die total Massendichte ohne zwischen baryonischer und dunkler Materie zu unterscheiden. 2. Gravitationslinsen sind nur ein Maß für die Masseverteilung entlang der Sichtlinie und somit unbeeinflusst von der weiteren Masseverteilung entlang des Lichtweges. 3. Die meisten Quellen befinden sich bei hohen Rotverschiebungen, und bieten so die Möglichkeit etwas über Massefluktuationen zu frühen (interessanten) Zeit zu lernen. 6

7 Geometrischer Zugang Voraussetzungen: In der Linsenebene liegt eine Punktmasse M. Für den impact parameter x soll gelten: R S = 2 G M c 2 Daraus folgt nach der ART für den Ablenkungswinkel: 4G M = 2 c Die Feldgleichungen können linearisiert werden, wenn das Feld schwach ist. 7

8 Geometrischer Zugang Die Trajektorie des Lichtstrahls wird durch (x1(l), x2(l), r3(l)) beschrieben, wobei der Lichtstrahl sich in Richtung r3 ausbreitet. = 1, 2 ist unabhängig vom affinen Parameter l. Damit können wir den Ablenkungswinkel schreiben als: ' 4 G 2 = 2 d ' ' c ' 2 wobei = dr 3 1, 2, r 3 Diese Aussage ist wahr, solang der Unterschied zwischen gerade Linie und Lichtstrahl klein ist. So gut wie für alle astrophys. Situationen erfüllt. 8

9 Geometrischer Zugang Aufstellung der Linsengleichung: Eine exakte Definition der optischen Achse ist nicht nötig, da die vorliegenden Winkel klein sind. Ds D ds = Dd Daraus folgt mit = Dd : = D s und D ds = Dd Ds Falls diese Gleichung mehrere Lösungen besitzt, existieren genauso viele Abbilder der Quelle. Hierfür muss die Linse stark sein. 9

10 Geometrischer Zugang Nun wird die dimensionslose Oberflächenmassendichte k eingeführt: 2 Dd Ds c = mit cr = cr 4 G D d D ds cr : kritische Oberflächenmassendichte, abhängig von der Rotverschiebung der Quelle und der Linse 1 produziert multiple Bilder mit cr kann zwischen starken und schwachen Gravitationslinsen unterschieden werden 10

11 Geometrischer Zugang Nun kann man den skalierten Ablenkungswinkel einführen: 1 = ' d ' ' ' 2 ℝ 2 2 wobei sich dieser aus = Dd und der Beziehung für ergibt., Damit ergibt sich ein Ablenkungspotential von: 1 = d 2 ' ' ln ' ℝ2 denn kann geschrieben werden als =. ist das zweidimensionale Analogon zum Gravitationspotential von Newton. Es erfüllt die Poissongleichung: 2 = 2. 11

12 Geometrischer Zugang Oberflächenhelligkeitsverteilung: Wenn Isource die Oberflächenhelligkeitsverteilung in der Ebene der Quelle ist, dann gilt: I = I source [ ] Wenn die Quelle kleiner ist als der Winkelbereich auf dem sich die Linseneigenschaften ändern, kann die Linsenfunktion lokal linearisiert werden. 12

13 Geometrischer Zugang Verzerrung des Bildes Bei lokal linearisierter Linsenfunktion wird die Verzerrung des Bildes durch die folgende Jacobi-Matrix erklärt: 2 A = = ij = i j = mit der Scheerung 1 i 2 = e 2 i, 1 wobei 1 =,11,22 ; 2 =,

14 Geometrischer Zugang Helligkeit des Bildes 0 sei der Punkt des Bildes und 0 = 0 die Position der Quelle, dann folgt für die Oberflächenhelligkeitsverteilung: I = I source [ 0 A 0 0 ] das Bild einer sphärischen Quelle erscheint eliptisch. Das Verhältnis der Halbachsen zum Radius einer solchn Quelle sind gegeben durch das Inverse von 1 ± welches die Eigenwerte der Matrix sind. Das Verhältnis der Bildwinkel zur wirklichen Form der Quelle ist gegeben durch das Inverse der Determinante von A. 14

15 Geometrischer Zugang Vergrößerung Das Verhältnis der Flüsse vom beobachteten Bild und der Quelle ist die Vergrößerung (magnification), die gegeben ist durch: = 1 1 = det A Die Formveränderung wird durch die Scherung g beschrieben. Die Vergößerung m entsteht durch isotrope Fokussierung (durch k) und durch anisotrope Fokussierung hervorgerufen durch g. 15

16 Geometrischer Zugang Die Scherung Da die Scherung durch den spurfreien Teil der Matrix A definiert ist, besitzt sie zwei unabhängige Komponenten. Die Scherung transformiert unter Drehungen wie e 2 i Es handelt sich nicht um einen Vektor Aus 1 = und 1 = 2 d ' ' ln ' ℝ2 1,11,22 ; 2 =,12. 2 folgt schließlich: 16

17 Geometrischer Zugang Man kann die Scherung auch darstellen als: = 1 2 d ' D ' ' ℝ i mit D = = Diese Gleichungen liefern uns das Handwerkszeug, um Vergrößerungen und Verzerrungen des Bildes auf eine Massendichte zu beziehen, denn ausgegangen sind wir von: = dr 3 1, 2, r 3 Dd = mit = Dd. cr 17

18 Die Messung Nachdem Gleichungen gefunden sind, welche die Verzerrung und Vergrößerung des Bildes in Zusammenhang mit der Oberflächenmassendichte bringen, sollte man in der Lage sein eine Messung durchführen zu können. Es werden aber noch weitere Annahmen benötigt um Größen wie die Scherung oder die Vergrößerung aus den Messungen zu erhalten. 18

19 Die Messung Randbedingungen Wir gehen davon aus, dass bei unseren Messungen nur schwache, isolierte Massendichteinhomogenitäten vorliegen, mit einer Ausdehnung die klein gegenüber der Hubble-Entfernung ist. x Ausdehnung c H0 Damit kann die Metrik lokal durch das post-minkowski'sche Linienelement angenähert werden. Allerdings existieren keine exakten Lösungen der Einstein'schen Feldgleichungen, welche isolierte Inhomogenitäten und das Hintergrundmodell eines expandierenden Universums enthalten. Man ist also gezwungen dies anzunähern, unter anderem mit: c 2, v Eigen c 19

20 Die Messung Diese Näherungen versetzen uns in die Lage, die ausführlich besprochnen Linseneigenschaften aus der so erhaltenen Metrik zu berechnen. Dabei muss man unendlich dünnen Masseverteilungen der Linse in die Ausbreitungsrichtung des Lichtes annehmen. 20

21 Die Messung Formen Das Bild einer Galaxie ist in der Regel nicht durch eliptische Isophoten zu beschrieben. Hinzu kommt das die beobachteten Bilder der Galaxie durch Pixel-Helligkeiten auf einem CCD gegeben ist. Es muss also eine Näherung gefunden werden um hieraus eine Beschreibung zu erhalten, die man in Scherung und Vergrößerung übetragen kann. 21

22 Die Messung Point Spread Funktion Die PSF verschmiert die Bilder der Galaxien. Sie variert ebenfalls mit der Zeit, und muss damit für jedes einzelne Bild gemessen und modelliert werden. 22

23 Die Messung Statistik Das Bild einer einzelnen Galaxie bietet nur wenig Information über die Linse selbst, denn die Form der Qulle ist unbekannt. Es muss also ein Ensamble von Bildern herangezogen werden, wobei an dieser Stelle die Näherung gemacht wird, dass Galaxien am Himmel eine zufällige Ausrichtung besitzen. Obwohl für viele Galaxien dies nicht zutrifft, ist es eine gute Näherung, da zumeist faint galaxys als Bilder von schwachen Gravitationslinsen untersucht werden. 23

24 Die Messung Rotverschiebung Bisher sind wir davon ausgegangen, dass alle Qullen die selbe Rotverschiebung besitzen bzw. das Dds / Ds für alle Sitationen den selben Wert hat. Für z d 0,2 ist dieses Verhältnis für z s 0,8 nahzu konstant. Für Linsen mit höhrer Rotverschiebung muss die Rotverschiebunsverteilung der Quellen mit einbezogen werden. Dies schlägt sich in Korrekturfunktionen in der Gleichung für und damit auch in den Ausdrücken für, und nieder. 24

25 Die Messung Was wird denn nun gemessen? Es existieren mehrere Möglichkeiten: Estimation of shear: Mit genauer Kenntnis der Rotverschiebung jedes einzelnen Bildes kann eine Aussage über die reduzierte Scherung gemacht werden. Number Density Effect : Durch eine Gravitationslinse kann die Zahl der Galaxien in einen Intervall dz mit Fluß größer S erhöht oder erniedrigt werden. Mit Abweichungen davon können statistischen Methoden verwendet werden um die Vergrößerung zu berechnen. Size Effect: Es kann eine Korrelationsfunktion zwischen gelinsten und ungelinsten Galaxien erstellt werden, in Abhängigkeit vom Raumwinkel des Bildes, Oberflächenhelligkeit und Rotverschiebung. Daraus erhält man ebenfalls die Vergrößerung....und einige mehr... 25

26 Die Messung Die wirkliche Messung Datenreduktion: Bildverarbeitung. Leicht versetzte, stark überlappende Bilder. Bildsuche: Galaxien identifitieren und die Form messen Formverteilung: Errechnung der Parameter PSF Korrektur: Korrekturen für Wetterlage und Teleskop 26

27 Die Herausforderung Abgesehen von vielen systematischen Fehlern wie PSF, Statistik, Definition der Randbedingungen, Rotverschiebung, Überlappung von Isophoten, CCD-Nichtlinearitäten, Korrelation unter den Galxien......gibt es ein Problem, welches bald der dominierende Fehler in der Bestimmung von Kosmologischen Paramtern von cosmic-shear survays sein wird: Ungenaue Theorie 27

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29 Die Herausforderung Im Einzelnen: Genauigkeit der nichtlinearen Korrekturen für das MassenEnergie-Spektrum ist von der Großenordnung 10%. Bessere Näherungen für Lösungen der Einstein'schen Feldgleichungen mit isolierten Inhomogenitäten und expandierendem Universum. Große Simulationen von N-Körpersystemen müssen durchgeführt werden, spätestens dann, wenn eine Satelitenmission mit einem cosmic-shear survey unterwegs ist. Es werden Genauigkeiten erwartet, die bisherige Verteilungsannahmen zu ungenau werden lassen. 29

30 Zusammenfassung......erlauben uns eine direkte Messung von kosmologischen Parametern....sind ein gute Test für kosmologische Modelle und für die ART....sind direkter Nachweis für dunkle Materie Ein interessanter Bereich, den man im Auge behalten sollte! 30

31 Links und Quellen [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] Bartelmann & Schneider Weak Gravitational Lensing Refregier Weak Gravitational Lensing by LSS Witmann et. al. - Detection of Weak Gravitational Lensing distortions of distant galaxies Huterer Weak Lensing and Dark Energy Rhodes, Refregier, Massey et. al. - Weak Lensing from Space I,II & III Bartelmann Strong and Weak Lensing by Galaxy Clusters Zhang et. al. - Optimal Weak Lensing Skewness Measurements Webseite des HST... Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 31

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