Mathematisch begabte Kinder individuell und nachhaltig fördern

Transkript

1 Mathematisch begabte Kinder individuell und nachhaltig fördern 8. ÖZBF-Kongress Salzburg, den Aufgabenfelder für eine prozessbezogene Förderung im Mathematikunterricht in außerunterrichtlichen Projekten 1

2 Meine Gliederung 1. Was verstehe ich unter mathematisch begabten Kindern? 2. Warum ist eine individuelle und nachhaltige Förderung jedes kleinen Matheasses sehr wichtig? 3. Welche speziellen Förderangebote für kleine Matheasse gibt es in der fachdidaktischen Literatur? 4. Worin bestehen besondere Lernchancen beim Einsatz von mathematischen Aufgabenfeldern? 5. Was ist bei der Planung und beim Einsatz eines konkreten Aufgabenfeldes sowie bei der Analyse von Schülerlösungen zu beachten? (Kleingruppenarbeit) 2

3 1. Meine Grundpositionen zum Begriff Mathematische Begabung 1.1 Begabung ist ein komplexes interdisziplinäres Themenfeld. 1.2 Mathematische Begabung ist bereichsspezifisch. 1.3 Grundschulkinder können schon auf außergewöhnliche Weise mathematische Probleme lösen, Strukturen entdecken und mit ihnen arbeiten, eine besondere Sensibilität für Mathematik entwickeln, und somit mathematisch begabt sein. 3

4 Aktuelle Position der Hirnforschung IQ-Wert G. Roth (Hirnforscher): Viele Neuropsychologen gehen von einer Umweltabhängigkeit der Intelligenz aus, die bei 15 bis 20 IQ-Punkten liegt. 4

5 1.4 Die Entwicklung einer Begabung hat einen sehr dynamischen Charakter. Vorgeburtlich, geburtlich und nachgeburtlich bestimmte Potenziale und ein förderliches soziales Umfeld sind für die Entwicklung von Begabungen unverzichtbar. Erst ein günstiges Zusammenwirken beider Faktoren ermöglicht die Entfaltung einer Begabung und prägt die Eigendynamik der kindlichen Entwicklung. 5

6 1.5 Es gibt nicht einen einheitlichen Begabungstyp, sondern viele verschiedene Begabungsausprägungen mit zum Teil konträren Merkmalen. Auch mathematisch begabte Kinder weisen, wie Begabte generell, oft seltene individuelle Begabungszüge auf. Es gibt die kühnen Eroberer, die mit stärkster Intuition, aber ungeordneten Begriffen arbeiten, die durch Instinkt und Anempfinden neue Schätze auffinden und zutage fördern; und es gibt die sorgfältigen Ordner und Verwalter des Gewonnenen, die jedes Ding richtig einzuschätzen und an seinen Platz zu stellen vermögen mit der klaren, sicheren Kritik eines scharfen Verstandes. Die Vereinigung dieser beiden sich widersprechenden Gaben findet sich nur in ganz seltenen Fällen. Felix Klein ( ) 6

7 Kompetenz (Begabungspotential) Mathematikspezifische Begabungsmerkmale Speichern mathematischer Sachverhalte im Arbeitsgedächtnis unter Nutzung erkannter Strukturen Strukturieren mathematischer Sachverhalte Mathematische Sensibilität Mathematische Fantasie Selbstständiger Transfer erkannter Strukturen Selbstständiges Wechseln der Repräsentationsebenen Selbstständiges Umkehren von Gedankengängen Begabungsstützende Persönlichkeitseigenschaften Jeweils auf mathematische Aktivität bezogene Hohe geistige Aktivität Intellektuelle Neugier Anstrengungsbereitschaft Freude am Problemlösen Konzentrationsfähigkeit Beharrlichkeit Selbstständigkeit Kooperationsfähigkeit 7

8 Beispiel für das Speichern mathematischer Sachverhalte im Arbeitsgedächtnis Wer kann alle Zahlen korrekt in ein leeres 4x4-Feld eintragen? 8

9 Ein wichtiger Aspekt der mathematischen Sensibilität: Besondere (intuitive) visuelle Vorstellungskompetenzen Svens Lösung zum Erkunden aller Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei 1, 2, 3, 4, und 5 Geraden Sven (10 J.): Ich habe beim Knobeln so viele Dinge im Kopf, dass ich das, was ich sagen möchte, nicht [mit Worten] rausselektieren kann. 9

10 Svens gedankliche Visualisierung: Eine doppelte Dreiecksanordnung auf der Basis der nachfolgenden Ergebnistabelle Zahl der Geraden 1 X 2 X X Anzahl der Schnittpunkte X X X X 4 X X X X X X 5 X X X X X X X X X 6 X X X X X X X X X X X X X 7 X X X X X X X X X X X X X X X X X X Prof. Dr. Käpnick WWU Münster 10

11 Selbstreflexionen eines Mathematikers der WWU Münster Prof. Dr. Ch. Deninger (Leibniz-Preisträger) Also jeder macht sich halt ein Bild von den Dingen, mit denen er operiert. Niemand operiert ganz, indem er formal irgendwelche Dinge umformt und ohne ein übergeordnetes Bild. Wenn man nicht ein übergeordnetes Bild hat, in irgendeinem Sinne, kann man diese tausende Umformungen, die man machen muss, ja nicht zielgerichtet machen. Man muss schon eine Vorstellung haben. Diese Vorstellung ist irgendwie bildhaft, ja das ist irgendwie, man sieht es. Aber es ist nicht zu vergleichen mit irgendetwas anderem in dieser Welt. Man sucht, probiert, macht, tut, entwickelt ein Gefühl für den Gegenstand und in irgendeiner Weise entsteht dann ein Bild von dem Gegenstand. Aber das Wort Bild ist in einem sehr viel weiteren Sinne, als das Übliche, was man darunter versteht, gemeint N. Berlinger & F. Käpnick WWU Münster

12 Besonderheiten der visuellen Vorstellungskompetenzen Die visuellen Vorstellungen entstehen intuitiv und sind zumindest z.t. noch unbewusst, werden als Bilder oder Zeichengebilde und (zumindest) meist nonverbal (gedanklich) repräsentiert, sind häufig noch unpräzise, sind aber zugleich sehr komplex, d.h., sie beinhalten wesentliche Grundstrukturen oder Kernideen, sind individuell geprägt. Die Problembearbeiter identifizieren sich schnell mit den Vorstellungsbildern, indem sie diese gefühlsmäßig für sehr wichtig und richtig erachten. 12

13 Besondere Stärken visueller Vorstellungen beim Bearbeiten anspruchsvoller Problemaufgaben Die besonderen Stärken visueller Vorstellungen ergeben sich gerade daraus, dass sie bild- oder symbolhaft, nonverbal und unpräzise sind. Dies ermöglicht den Problembearbeitern unter Beibehalt wesentlicher Zusammenhänge bzw. Kernideen ein sehr schnelles Vergleichen und Auswählen von Wichtigem aus dem jeweiligen inhaltlichen Kontext, eine große Komplexitätsreduktion und damit eine beträchtliche Entlastung des Arbeitsgedächtnisses, einen sehr flexiblen und spielerisch-kreativen Umgang mit den visuellen Vorstellungen. 13

14 Modell mathematischer Begabungsentwicklung im Grundschulalter von Käpnick und Fuchs Geburt 6 10 Alter in Jahren Vorgeburtlich, geburtlich und nachgeburtlich bestimmte (r) Fördernde / hemmende und typprägende intrapersonale Katalysatoren (allgemeine physische, psychische, kognitive und persönlichkeitsprägende Grundkompetenzen, ) Körperliche Konstitution Gehirnstruktur Charakterzüge Zahlensinn Räumliche Wahrnehmung und Orientierungskompetenzen Struktursinn Entwicklung des Zahlbegriffs, von rechnerischen und geometrischen Kompetenzen Kompetenz (Begabungspotential) Mathematikspezifische Begabungsmerkmale Speichern mathematischer Sachverhalte im Arbeitsgedächtnis unter Nutzung erkannter Strukturen Strukturieren mathematischer Sachverhalte Mathematische Sensibilität Mathematische Fantasie Selbstständiger Transfer erkannter Strukturen Selbstständiges Wechseln der Repräsentationsebenen Selbstständiges Umkehren von Gedankengängen Begabungsstützende Persönlichkeitseigenschaften Jeweils auf mathematische Aktivität bezogene Hohe geistige Aktivität Intellektuelle Neugier Anstrengungsbereitschaft Freude am Problemlösen Konzentrationsfähigkeit Beharrlichkeit Selbstständigkeit Kooperationsfähigkeit Performanz Weit über dem Durchschnitt liegende mathematische Leistungsfähigkeit (diagnostiziert durch spezielle Indikatoraufgaben sowie durch komplexe prozessbegleitende Fallstudien, ) Sprachliche und allgemeine kognitive Potentiale Fördernde / hemmende und typprägende interpersonale bzw. Umweltkatalysatoren Prof. Dr. Käpnick WWU Münster (bedeutsame Personen, physikalische Umwelt, Interventionen (Kindergarten, Schule, ), besondere Ereignisse, Zufälle, 14

15 2. Warum ist eine individuelle und nachhaltige Förderung jedes kleinen Matheasses sehr wichtig? Aspekt: Individuelle Förderung Kleine Matheasse unterscheiden sich z. T. sehr stark bzgl. ihrer Leistungspotenziale, Einstellungen, Lernstile, Selbstkonzepte, Sozialkompetenzen,... Aspekt: Nachhaltige Förderung Kontinuierliche langfristige Förderung Mitbestimmung und Eigenverantwortung jedes Kindes Flow-Erlebnisse und andere emotional relevante Erlebnisse Gemeinschaftsleben (Traditionen, Rituale, Freundschaften, ) 15

16 3. Welche speziellen Förderangebote für kleine Matheasse gibt es in der fachdidaktischen Literatur? a) Knobelbücher / Aufgabensammlungen 16

17 3. Welche speziellen Förderangebote für kleine Matheasse gibt es in der fachdidaktischen Literatur? a) Knobelbücher / Aufgabensammlungen Einschätzung: - viele sehr schöne und größtenteils mathematisch substanzielle und motivierende Aufgaben Aber: - keine didaktisch-methodische Aufbereitung (keine Hinweise zu konkreten Lernpotenzialen, zur Aufgabenpräsentation, Zeitplanung, Lernmittelnutzung, Differenzierungsangeboten, ) - keine konkreten Lehrplanbezüge - keine Hinweise auf authentische Kinderlösungen 17

18 3. Welche speziellen Förderangebote für kleine Matheasse gibt es in der fachdidaktischen Literatur? b) Sternchenaufgaben in Schulbüchern Beispiele für Sternchen-Aufgaben aus Schulbüchern: 18

19 Probleme beim Einsatz von Sternchen-Aufgaben Hauptproblem: Aufgabeninhalte und Schwierigkeitsniveaus sind für die Kinder vorgegeben. Hieraus ergibt sich: Kleine Matheasse werden nur z. T. entsprechend ihren individuellen Voraussetzungen, Interessen, Denkstilen, gefördert. Die Kinder haben kaum Möglichkeiten für ein selbst bestimmtes Mathematiktreiben. Die Kinder haben nur eingeschränkte Möglichkeiten, ihre Kreativität zu entfalten. Die Motivation zum Lösen von Sternchen-Aufgaben ist bei den Kindern von der jeweiligen Aufgabe abhängig. 19

20 3. Welche speziellen Förderangebote für kleine Matheasse gibt es in der fachdidaktischen Literatur? c) Komplexe Aufgabenfelder 1. Beispiel: Erkunde alle verschiedenen Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Geraden. Welche Besonderheiten (Zahlbeziehungen) kannst du dabei entdecken? 20

21 Allgemeine Grobplanung einer 90-minütigen Förderstunde im Projekt Mathe für kleine Asse Einstiegsphase: Gemeinsame Verständnisgrundlage schaffen (etwa 20 Min.) Forscherphase: Erkunden der verschiedenen Anzahlen von Schnittpunkten (etwa 45 Min.) Präsentations- und Auswertungsphase (etwa 25 Min.) 21

22 Hauptfunktionen der Einstiegsphase: - Gemeinsame Verständnisgrundlage schaffen - Neugier, Lust am Problemlösen wecken Konkrete Umsetzung für Schnittpunkte-Geraden-Problem gemeinsame Begriffsklärung (Geraden, Schnittpunkte, parallel, ) bzgl. der Parallelität den Sonderfall der Gleichheit von Geraden für die weiteren Erkundungen ausschließen Einstiegsfragen / Einstiegsproblem: - Welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es für das Zeichnen von 4 Geraden? - Wie viele verschiedene Schnittpunkte können vorkommen? 22

23 Forscherphase: Erkunden der verschiedenen Anzahlen von Schnittpunkten selbstständiges Erkunden aller verschiedenen Möglichkeiten für die Anzahlen von Schnittpunkten bei 1, 2, 3, 4 und 5 Geraden die jeweiligen Anzahlen schätzen und Vermutungen über Regelmäßigkeiten aufstellen Ergebnisse in geordneter Form darstellen allein, zu zweit oder in kleinen Gruppen arbeiten 23

24 Präsentations- und Auswertungsphase verschiedene Ergebnisse und erkannte Regelmäßigkeiten vorstellen und vergleichen Entdeckungen verbal beschreiben und begründen zusammenfassend die Ergebnisse systematisieren und ordnen 24

25 Ausgewählte Eigenproduktionen von unseren Projektkindern 25

26 26

27 Anzahl der Schnittpunkte in Abhängigkeit von der Anzahl der Geraden in einer Ebene Zahl der Geraden Anzahl der Schnittpunkte X 2 X X 3 X X X X 4 X X X X X X 5 X X X X X X X X X 6 X X X X X X X X X X X X X 7 X X X X X X X X X X X X X X X X X X 27

28 4. Besondere Lernchancen beim Einsatz mathematischer Aufgabenfelder Aufzeigen bzw. Erleben der Vielfalt und Reichhaltigkeit mathematischen Tuns Förderung prozessbezogener Kompetenzen (Kompetenzen im Problemlösen, Modellieren, Argumentieren,...) Ermöglichen einer natürlichen Differenzierung (Selbstbestimmung des Anspruchsniveaus, von Lösungswegen, Lernmitteln, Organisationsformen, der Lösungsdarstellung) 28

29 5. Generelle Anforderungen an offene Aufgabenfelder Motivierende, leicht verständliche mathematische Themen realistische Chancen für alle Kinder, erfolgreich zu lernen reichhaltige mathematische Substanz Offenheit bzgl. der Wahl von Lösungswegen, von Lernmitteln, der Organisationsform, der Lösungsdarstellung Möglichkeiten zum Mathematiktreiben (Finden von Anschlussproblemen) 29

30 5. Was umfasst die Planung des Einsatzes eines Aufgabenfeldes? Vorüberlegungen zu den konkreten math. Aktivitäten beim Bearbeiten des Aufgabenfeldes und zu dessen math.-logischer Struktur, einer gewissen Vertrautheit der Kinder mit dem math. Thema, der intrinsischen Motivation bzw. zum natürlichen Interesse der Kinder für derartige Aktivitäten, möglichen Sinnkonstruktionen der Kinder beim Bearbeiten der Aufgaben, der Art und Weise der Präsentation eines Ausgangsproblems, möglichen bzw. günstigen sozialen Lernformen, weiteren Fragen der methodischen Gestaltung (Bereitstellung von Arbeitsmitteln, zeitliche Planung,...) 30

31 5. Ausgewählte Aspekte der Vorüberlegungen zum Einsatz eines zweiten Aufgabenfeldes Das Haus vom Nikolaus und andere Streckenzüge Hauptproblem: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, das Haus vom Nikolaus in einem Zug zu zeichnen? Workshop-Aufgaben: Welche Aufgabe eignet sich als Einstiegsproblem? Wie lösen Kinder das Problem? Welche Darstellungsarten könnten sie hierbei nutzen? Auf welche Lösungen könnten Kinder kommen? 31

32 Vorschlag eines Einstiegsproblems mit dem Ziel, eine gemeinsame Verständnisbasis zu schaffen und Neugier, Freude am Problemlösen zu wecken Versucht, jede Figur in einem Zug zu zeichnen. 32

33 Vorschlag einer Kopiervorlage für die Forscherphase: Erkunden aller verschiedenen Möglichkeiten für das Zeichnen des Nikolaus-Hauses in einem Zug 33

34 Ausgewählte Eigenproduktionen von Kindern Nadja (3. Klasse) Max (3. Klasse) 34

35 Musterlösung für das Erkunden aller verschiedenen Möglichkeiten zum Zeichnen des Nikolaus-Hauses Vom Punkt 1 aus gibt es 44 Möglichkeiten. Da die Hausfigur symmetrisch ist, Gibt es auch vom Punkt 5 aus 44 Möglichkeiten. Insgesamt sind es also 88 Möglichkeiten. 35