PageRank: Wie Google funktioniert

Transkript

1 PageRa: Wie Google futioiert Außermathematische Aweuge im Mathematiuterricht WS 0/ Fraz Embacher, Uiversität Wie Das Erfolgsrezept er Suchmaschie vo Google lag zuächst i er überzeugee Reihug vo reffer. Gibt ei User Suchbegriffe wie Quatecomputer oer Spezielle Relativitätstheorie ei, so fiet Google im erste Fall , im zweite Fall 6000 Seite, ie iese Begriffe ethalte. Die Reihug, i er ie reffer agebote were, etspricht i e meiste Fälle e Erwartuge er User: Die relevateste, ützlichste Seite were zuerst agezeigt, so ass es oft gar icht ötig ist, sich mehr also ie erste paar azusehe. Bei Suchmaschie er 990er-Jahre ote es leicht passiere, ass sich ie gesuchte irgewo weit hite i er Liste er reffer befa. Das Verhalte er Suchmaschie vo Google revolutioierte ie Art u Weise, i er Suchmaschie beutzt were ote. Zugrue liegt ihm ei Algorithmus ames PageRa, er vo Larry Page (aher er Name) u Sergei Bri etwicelt u im Jahr 998 veröffetlicht wure. Das WWW als gerichteter Graph PageRa setzt a er Verliugsstrutur vo Webseite a. Rechts ist ei Mii-WWW abgebilet: Es besteht aus 6 Seite. Jeer Pfeil stellt eie Li ar, er vo eier Seite auf eie aere Seite verweist. Das ist ie eizige Strutur, vo er PageRa Gebrauch macht. Sie a als gerichteter Graph aufgefasst were: Jeer Kote (im Beispiel rechts si as ie Pute x, x 6 ) stellt eie Webseite ar, u jee gerichtete Kate (.h. jee rote Liie mit Pfeilsymbol) eie Li. Der Webcrawler vo Google besucht regelmäßig ie ihm beate Webseite, registriert ie vo ihe ausgehee Lis u folgt ihe, um ie Seite, auf ie verwiese wir, ebefalls zu registriere. Auf iese Weise bilet Google ie Verliugsstrutur großer eile es WWW ab. Woher weiß ie Suchmaschie, welche Seite ie relevateste u ützlichste si?

2 PageRa Die Ausgagsiee vo PageRa besteht ari, Seite, auf ie viele Lis verweise, als ie populärste, relevateste u ützliche azusehe. So eifach geht as aber icht, e a öte ma ja auf eier Seite huerte vo Lis versammel, ie auf jee Seite verlie, ie ma gere gaz obe aufgelistet habe möchte. Also beommt jee Seite sozusage ur ei Stimmgewicht vo, as gerecht auf alle ausgehee Lis aufgeteilt wir. Gehe vo eier Webseite Lis aus, so beommt jeer as Stimmgewicht /. Damit a ie Verliugsstrutur es WWW als Abstimmug aufgefasst were. Dabei öte wir jeer Seite eie Score zuweise, er gleich er Summe er Stimmgewichte aller Lis ist, ie auf sie zeige. Die Reihug aller reffer eier Suchafrage würe a etsprechee ieses Scores vorgeomme were. Das hätte jeoch e Effet, ass ma e Score eier Seite bewusst verbesser a, iem viele weitere Seite agelegt were, ie alle auf sie verlie. Um ies zu verhier, were ie vo eier Seite ausgehee Stimme ei weiteres Mal gewichtet, u zwar mit em Score, ie ie Seite beommt! Eie schöe Zirelefiitio! Wie viel eie Seite im Abstimmugspoer zu e Scores aerer Seite beiträgt, hägt vo ihrem eigee Score ab: Eie Webseite ist relevat, we viele relevate Seite auf sie verweise. Mathematisch gesehe ist ieses Kozept aber ei Problem es wir eifach als Gleichugssystem formuliert. Das geht gaz eifach: Wir wolle e Score, e eie Seite x beommt, als ) bezeiche. Sei u y eie Seite, ie auf x verweist. Sie besitzt e Score u ethält C( y ) Lis, vo ee eier auf x verweist. (Falls mehrere Lis vo y auf, so were sie ur als ei Li gezählt). Dieser eie Li beommt also ei Stimmgewicht vo / C( y ), u gewichtet mit em Score vo y ergibt sich, ass ie Seite y eie Beitrag / Cy ( ) zum Score vo x als Stimme abgibt. Auf iese Weise erhalte wir ie Formel ) = für alle x WWW. () Ei lieares Gleichugssystem, as geauso viele Gleichuge u Variable ethält wie as WWW Seite (ie Google beat si)! Dummerweise a as aber icht wie gewüscht lappe! Habe wir etwa eie Situatio wie ie rechts abgebilete vor us, so wäre ) ) = ) + u ) = ). Damit wäre Cx ( ) automatisch ) = 0. Würe wir x u x etfere, so beäme ie Seite x vielleicht eie oretliche Score vo e viele Lis, ie auf sie verweise. Der eie, harmlos erscheiee Li vo x auf eie beie aufeiaer verweisee Seite x

3 u x immt x ihre asoste wohlveriete Score gäzlich weg! Das soll atürlich icht sei! Die Lösug, ie Page u Bri vorschluge, besteht ari, jeer Seite eifach afür, ass sie existiert zuächst e Score zu gebe u a ei gewichtetes Mittel ieses Vorab- Scores mit em i () efiierte Wert zu bile. Die Gewichtugsfatore were i er Form u geschriebe, wobei eie fest gewählte Kostate (er so geate Dämpfugsfator ) ist, ie 0< < erfüllt. Damit äerte Page u Bri ie ursprügliche Defiitio () es Scores i ) = + für alle x WWW. () Der so ermittelte Score eier Seite ist ihr PageRa. Der Wert es Dämpfugsfators ist ei Betriebsgeheimis vo Google, aber Gerüchte wolle wisse, ass er i er Gege vo 0.85 agesetzt wir. Das Gleichugssystem () ist as ursprügliche Erfolgsrezept vo Google. Mit ihm a ei Malheur wie mit () passiere, u ma a zeige, ass es stets (wie auch immer gewählt wir, solage 0< < ist) eie eieutig bestimmte Lösug besitzt. Jee i er Dateba vo Google registrierte Webseite hat eie eieutig bestimmte PageRa. Die Azeige er reffer wir ach abehmeem PageRa vorgeomme (gegebeefalls moifiziert urch zusätzliche Kriterie, ie etwa ie Güte er Übereistimmug er eigegebee Suchbegriffe mit e i er Seite ethaltee Worte messe oer Maipulatiosversuche wie as Alege fast ietischer Seite bestrafe). Für as obe abgebilete Mii-WWW immt as Gleichugssystem () i e Form ) = ) = Rx ( ) ) 5) ) = ) 4) = + ) 5) = + 5) 6) = + für ie sechs Variable ), ), 6) a. Gerechterweise habe ie Seite x u x, auf ie überhaupt eie Lis verweise, e leiste PageRa. Sie were als letzte gereiht, so ass also ie Vergabe eies Vorab-Scores eie Überbewertug vo Seite, ie eie Stimme erhalte, arstellt. Mit = 0.85 lautet ie Lösug (geruet): ) = 0.5,

4 ) = 0.5, ) = 0.59, 4) = 0., 5) = 0.65 u 6) = 0.. Die Reihug er Seite mit abehmeem PageRa lautet aher x 5, ( x 4 6 ), ( x ), wobei ie Klammer Seite mit gleichem PageRa azeige. MathematierIe öe sich mit e bisherige Iformatioe atürlich icht zufriee gebe! Zwei Frage räge sich auf: Wie lässt sich zeige, ass as Gleichugssystem () stets geau eie Lösug besitzt? U wie schafft es Google, ieses System für Milliare vo Webseite zu löse? Existez u Eieutigeit es PageRa Um zu zeige, ass as Gleichugssystem () stets geau eie Lösug besitzt, wir es am beste i Matrixform R = D + AR ageschriebe. Dabei si Spaltevetore urch Pfeile geezeichet, u es ist () R Rx ( ) ) ) = er Vetor er (gesuchte) PageRas u D =. ist ie Gesamtzahl er erfasste Webseite, ie i beliebiger Weise als x, x urchummeriert wore si. Die -Matrix A ist so gewählt, ass AR = ist. Ihre Koeffiziete A j si urch A j = { 0 we x icht auf xj verweist / Cx ( ) we x auf x verweist j

5 gegebe. Die Summe er Koeffiziete er -te Spalte ist etweer gleich (we x auf zumiest eie aere Seite verweist) oer gleich 0 (we x auf eie aere Seite verweist). Beweis für e erste Fall: Aj = = Cx ( ) =. Cx ( ) Cx ( ) j= Lis vo x irgewohi Zur Illustratio schreibe wir ie Matrix A für user obiges Mii-WWW a: A = Jee Spalte ethält etweer lauter Nulle oer eie isrete Wahrscheilicheitsverteilug. Mit Hilfe er -Eiheitsmatrix I lässt sich () i er Form I A R = D ( ) (4) schreibe. Es bleibt zu zeige, ass ie Matrix I Aivertierbar ist, e i iesem Fall ist ie (eieutige) Lösug urch R = ( I A) D gegebe. Satz: Die Matrix I Aist ivertierbar. Beweis: Die Ivertierbareit vo I Aist gleichbeeute mit jeer er traspoierte Matrix I A, mit er sich er Beweis leichter formuliere lässt. I A ist geau a ivertierbar, we ( I A ) S= 0 ur für S = 0 möglich ist. Sei also ( I A ) S= 0 oer, gleichbeeute, S= A S. Gemäß er Defiitio vo A ist ie -te Kompoete es Vetors A S etweer ei Mittelwert eiiger er Kompoete vo S (we x auf zumiest eie aere Seite verweist) oer 0 (we x auf eie aere Seite verweist). Nu wähle wir eie Kompoete S, ere Betrag größer-gleich er Beträge aller aere Kompoete vo S ist. Wir ehme o.b..a. a, ass S 0 ist (asoste betrachte wir S astelle vo S ). Die -te Gleichug es Systems S= A S besagt u, ass S etweer 0 ist oer mal em Mittelwert eiiger er Kompoete vo S. Ei solcher Mittelwert a aber ie größer als as maximale Elemet sei er ist also S. Nu wir er och mit er positive Zahl, ie leier als ist, multipliziert. Wäre S 0, so wäre S gleich eier Zahl, ie leier als S ist. Da as offesichtlich icht er Fall sei a, folgt

6 S = 0. We as für ie Kompoete mit em größte Betrag gilt, verschwiet er Betrag aller Kompoete, woraus folgt: S = 0. Damit ist er Beweis beeet: I A ist ivertierbar u amit auch I A. PageRa für viele Webseite bereche Das Gleichugssystem () bzw. i er Form () oer (4) ausgerüct besitzt also geau eie Lösug. Wir omme wir aber zu ihr, we ie Zahl er Gleichuge u Variable i ie Milliare geht? Google gibt sich mit eier Näherugslösug zufriee. Das Gleichugssystem () lässt sich reursiv löse. Dazu wir ei beliebiger Start-Vetor R0 ageomme u i ie rechte Seite vo () eigesetzt. Der araus etstehee Vetor auf er rechte Seite wir als R bezeichet: R = D + AR0. Die gleiche Operatio wir u mit R als euem Start-Vetor urchgeführt,, R = D + AR u oft wieerholt. Das allgemeie Schema lautet also R = D + AR. (5) Nu lässt sich zeige, ass ie Folge er Vetore R für gege ie (eieutige) Lösug overgiert. (Die Beweisiee ist eifach: Bezeichet R ie exate Lösug, so a ie Differez X = R R urch X = AX erhalte were. Daher gilt X = ( A) X 0, u es ist ur och zu zeige, ass ( ) A für gege 0,.h. gege ie Matrix, ie ur Nulle als Koeffiziete besitzt, overgiert. Überlege Sie selbst, warum as so ist!) Wir as Verfahre ach eier eliche Zahl vo Schritte abgebroche, so ergibt sich eie Näherugslösug. Im Mathematica-Noteboo ist ieser Algorithmus für as obige Mii-WWW urchgeführt. Google geht och ei bissche öoomischer vor: Die Aweug vo (5) ist eie lagwierige Agelegeheit mit Milliare vo Rechuge, bei er sich ach u ach ie Kompoete vo R ergebe. Wa immer eie solche Kompoete berechet wure, wir er erhaltee Wert i R ersetzt. I er übliche Logi vo Programmiersprache a as so ausgerüct were (wobei u wieer ie ursprügliche Form () verweet wir): Zuächst beomme alle j ) irgeeie Startwert(z.B. ). Da wir berechet:

7 ) = + ) = + ) = + (Noch eimal, zur Sicherheit: Damit ist ei Gleichugssystem gemeit, soer tatsächlich eie Berechug. I Programmiersprache wir i geau emselbe Si etwa x= x+ als Aweisug für eie Berechug geschriebe). Ist etwa ie erste Zeile eimal erleigt, so wir ab sofort für ) er bereits ermittelte Wert verweet, wa immer er i e folgee Zeile beötigt wir. Nach etwa 50 Iteratioe u eiige Stue Rechezeit ist as Ergebis für Google geau geug. Da täglich eue Webseite etstehe u sich ie Verliugsstrutur äert, weet Google ieses Verfahre pratisch otiuierlich a, um e PageRa er eizele Webseite stets atuell zu halte. Aufgabe : Bereche Sie e PageRa er Seite es folgee Mii-WWW mit 0.85 = (i) urch exate Lösug es etsprechee Gleichugssystems u (ii) urch Aweug er reursive Näherugsalgorithmus. Wie lautet aher ie Reihug urch Google? Es wir sivoll sei, für ie Berechuge ei Computeralgebra-System wie Mathematica zu verwee.