Einführung in die Nachrichtentechnik

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1 Klausurensammlung zur Vorlesung Einführung in die Nachrichtentechnik Sommersemester 5 Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Gerhard P. Fettweis Technische Universität Dresden Fakultät Elektrotechnik Vodafone Stiftungslehrstuhl Mobile Nachrichtensysteme D-6 Dresden

2 Ergänzung zum Skript zur Vorlesung Einführung in die Nachrichtentechnik Stand: 3. März 5

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 Inhaltsverzeichnis Vorwort 6 A Prüfungen 7 A. Prüfung SS A. Musterlösung zur Prüfung SS A.3 Nachprüfung WS 998/ A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS 998/ A.5 Prüfung SS A.6 Musterlösung zur Prüfung SS A.7 Nachprüfung WS 999/ A.8 Musterlösung zur Nachprüfung WS 999/ A.9 Prüfung SS A. Musterlösung zur Prüfung SS A. Prüfung WS / A. Musterlösung zur Prüfung WS / A.3 Nachprüfung WS / A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS / A.5 Nachprüfung SS A.6 Musterlösung zur Nachprüfung SS A.7 Prüfung WS / A.8 Musterlösung zur Prüfung WS / A.9 Nachprüfung SS A. Musterlösung zur Nachprüfung SS A. Prüfung WS / A. Musterlösung zur Prüfung WS / A.3 Nachprüfung SS A.4 Musterlösung zur Nachprüfung SS A.5 Prüfung WS 3/ A.6 Musterlösung zur Prüfung WS 3/ A.7 Nachprüfung SS A.8 Musterlösung zur Nachprüfung SS A.9 Prüfung WS 4/ A.3 Musterlösung zur Prüfung WS 4/ Sommersemester 4

4 4 INHALTSVERZEICHNIS A.3 Prüfung SS A.3 Musterlösung zur Prüfung SS A.33 Prüfung WS 5/ A.34 Musterlösung zur Prüfung WS 5/ A.35 Prüfung SS A.36 Musterlösung zur Prüfung SS A.37 Nachprüfung WS 6/ A.38 Musterlösung zur Nachprüfung WS 6/ A.39 Prüfung SS A.4 Musterlösung zur Prüfung SS A.4 Nachprüfung WS 7/ A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS 7/ A.43 Prüfung SS A.44 Musterlösung zur Prüfung SS A.45 Nachprüfung WS 8/ A.46 Musterlösung zur Nachprüfung WS 8/ A.47 Prüfung SS A.48 Musterlösung zur Prüfung SS A.49 Nachprüfung WS 9/ A.5 Musterlösung zur Nachprüfung WS 9/ A.5 Prüfung SS A.5 Musterlösung zur Prüfung SS A.53 Nachprüfung WS / A.54 Musterlösung zur Prüfung WS / A.55 Prüfung SS A.56 Musterlösung zur Prüfung SS A.57 Nachprüfung WS / A.58 Musterlösung zur Prüfung WS / A.59 Prüfung SS A.6 Musterlösung zur Prüfung SS A.6 Nachprüfung WS / A.6 Musterlösung zur Prüfung WS / A.63 Prüfung SS A.64 Musterlösung zur Prüfung SS A.65 Nachprüfung WS 3/ Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 A.66 Musterlösung zur Prüfung WS 3/ A.67 Prüfung SS A.68 Musterlösung zur Prüfung SS A.69 Nachprüfung WS 4/ A.7 Musterlösung zur Prüfung WS 4/ Sommersemester 4

6 6 VORWORT Vorwort Diese Klausurensammlung beinhaltet alle alten Klausuren zur Vorlesung Einführung in die Nachrichtentechnik seit 998. Die ersten Klausuren zwischen Beginn der ersten Vorlesung im Wintersemester 995/96 (Gründung des Lehrstuhls war 995) und 997 sind hier nicht enthalten. Für Hinweise, Anregungen und Kritik sind wir jederzeit offen und wären Ihnen auch sehr dankbar, wenn Sie uns vorhandene Druckfehler und Unstimmigkeiten mitteilen würden. Sie können uns damit helfen, diese Klausurensammlung kontinuierlich zu verbessern. (Ansprechpartner: Dipl.-Ing. Jens Bartelt, Telefon: (463) 44, Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

7 7 A Prüfungen A. Prüfung SS 998 Aufgabe : Signaltheorie (a) Wie lautet der allgemeine Zusammenhang zwischen der Impulsantwort h(t) und der Übertragungsfunktion H(f) eines LTI-Systems? (b) (4 Punkte) Gegeben sei nun ein LTI-System mit der Impulsantwort { für t < h(t) = e at für t wobei a reell und a > ist. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H(f), den Betrag H(f) und skizzieren Sie H(f). (c) (4 Punkte) Auf den Eingang des Systems werde nun die Sprungfunktion σ(t) gegeben, die wie folgt definiert ist: für t < σ(t) =.5 für t = für t > Berechnen Sie die Sprungantwort g(t) durch Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort. Skizzieren Sie hierzu die zu integrierenden Signale für die Fälle (c) t < (c) t > (d) Nennen Sie in Stichworten einen anderen Weg, um g(t) zu berechnen. Aufgabe : Analoge Modulation (a) (3 Punkte) Bei einem amplitudenmodulierten Bandpaßsignal mit der Trägerfrequenz f c sei die zeitliche Variation der Amplitude durch A(t) = + µx(t) beschrieben. (a) Schreiben Sie die Gleichung des Bandpaßsignals im Zeitbereich auf. (a) Berechnen Sie das Spektrum des Bandpaßsignals und skizzieren Sie den Betrag des Spektrums. (b) (3 Punkte) Das Quellensignal ist nun mit x(t) = cos(πf m t) gegeben, so daß A(t) = + µcos(πf m t) ist. (b) Wie verteilt sich die Leistung des Signals auf den Träger und die Seitenbänder? (b) Geben Sie einen Wert für µ an, bei dem die Leistung in den Seitenbändern maximal wird. Wie groß kann die Leistung des AM-Signals bei konstanter Sendeleistung in den Seitenbändern maximal werden? Sommersemester 4

8 8 A PRÜFUNGEN (c) (4 Punkte) Für den Empfang amplitudenmodulierter Signale werden häufig sogenannte Geradeausempfänger verwendet. (c) Skizzieren Sie das Blockschaltbild dieses Empfängertyps. (c) Welchen Nachteil hat dieser Empfängertyp, wenn Signale verschiedener Sendefrequenzen empfangen werden sollen? (c3) Durch Einsatz eines Überlagerungsempfängers kann dieser Nachteil kompensiert werden. Um welche Komponenten muß der Geradeausempfänger erweitert werden, um einen Überlagerungsempfänger zu erhalten? (c4) Wozu dienen diese Komponenten? Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) ( Punkte) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle zu den Merkmalen von LTI-Systemen. Merkmal mathematischer Ausdruck Zeitinvarianz Linearität (b) (4 Punkte) Erklären Sie verbal den Begriff Kausalität und geben Sie die Bedingung für die Impulsantwort h(t) von kausalen LTI-Systemen an. In der Nachrichtentechnik wird häufig ein Tiefpaßfilter verwendet (z.b. als impulsformender Tiefpaß bei der Übertragung digitaler Signale über den analogen Übertragungskanal). Die Impulsantwort eines idealen Tiefpasses ist gegeben durch: h(t) = sin(πt) πt Kann diese Impulsantwort ein kausales LTI-System beschreiben? Falls dies nicht der Fall sein sollte, modifizieren Sie die Impulsantwort, so daß die Bedingung der Kausalität für dieses Filter erfüllt wird. (c) (4 Punkte) Gegeben ist ein System mit der folgenden Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal: y(t) = cos (x(t)). Überprüfen Sie das System einzeln auf Kausalität, Linearität, Zeitinvarianz und Quellenfreiheit. Ist dieses System ein LTI-System? Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

9 A. Prüfung SS Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) Sie wollen ein Tiefpaß-Signal (Grenzfrequenz f g ) durch Dirac-Impulse (Abtastrate f a ) abtasten. (a) Geben Sie die Bedingung für die Abtastrate f a an, so daß kein Aliasing auftritt. (a) Skizzieren Sie für das abgetastete Signal schematisch den Betrag des Spektrums. Vergessen Sie nicht die Achsenbeschriftung. (a3) ( Punkte) Durch was für eine Baugruppe kann aus dem abgetasteten Signal das ursprüngliche Signal zurückgewonnen werden? Zeichnen Sie den Betrag der Übertragungsfunktion dieser Baugruppe in das Bild der Lösung (a). (b) Ein reales Abtastsystem benutzt Abtastimpulse endlicher Breite t gemäß Bild A.. Die Abtastrate f a = ist so gewählt, daß kein Aliasing auftritt. T s(t) T t t Abbildung A.: Gegebenes Abtastsystem (b) ( Punkte) Geben Sie einen mathematischen Ausdruck für das abgetastete Signal s a (t) an. (b) ( Punkte) Berechnen Sie das Spektrum S a (f) durch Fouriertransformation des Signals s a (t). + ( ) ( ) t nt t Hinweis: rect t = rect t + δ(t nt) n= n= (c) Skizzieren Sie schematisch den Betrag des Spektrums S a (f) für t = T. (d) Begründen Sie, warum das Signal trotz endlicher Impulsbreite verzerrungsfrei zurückgewonnen werden kann. Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) Im folgenden soll gelten: Ein digitales Signal ist ein zeit- und wertediskretes Signal. (a) Begründen Sie in einem Satz, wozu digitale Modulation durchgeführt wird. Sommersemester 4

10 A PRÜFUNGEN (a) Ist das durch den Modulationsprozeß entstandene Signal ein analoges oder digitales Signal? (b) Ein binäres Signal soll mittels Amplitudenumtastung (ASK) übertragen werden. Dabei werden die Datensymbole unterschiedlichen Signalamplituden eines sinusförmigen Trägersignales zugeordnet. Der Einfachheit halber werden die Binärsymbole den Signalamplituden + und - zugeordnet. Das Prinzip eines derartigen ASK-Modulators ist im Bild dargestellt. sin( π t/t) Digitales Signal {,,,, } + - rect(t/t-/) Digital Moduliertes Signal Amplitude Amplitude T Zeit T Zeit - (b) Skizzieren Sie den prinzipiellen Zeitverlauf des modulierten Signals, wenn das binäre Datensignal die Folge {,,,, } und die Impulsdauer T der Rechteckimpulse gleich der Periodendauer T des sinusförmigen Trägersignals ist. Nach erfolgter Übertragung soll das Datensignal mit einem einfachen AM- Geradeausempfänger (AM: Amplitudenmodulation), dessen Ausgangssignal zu den Zeitpunkten t = nt, n =,, 3,... abgetastet und einem Komparator zugeführt wird, zurückgewonnen werden. (b) Skizzieren Sie den Empfänger und benennen Sie die Komponenten. (b3) (3 Punkte) Stellen Sie den prinzipiellen Signalverlauf hinter den einzelnen Komponenten des Empfängers dar (entsprechend der Darstellung beim Modulator in der Aufgabenstellung). Nutzen Sie dabei die in Aufgabe (b) gegebene Signalfolge. (c) (c) Begründen Sie, warum mit einem derartigen Empfänger ein korrekter Empfang des Datensignals nicht möglich ist. Gehen Sie dabei vom Aufbau eines Geradeausempfängers aus. (c) Um welches digitale Modulationsverfahren handelt es sich unter den gegebenen Voraussetzungen (in welchem Parameter einer allgemeinen sinusförmigen Schwingung steckt die Information)? (c3) Wie sind die Amplitudenwerte der ASK allgemein zu wählen, damit ein korrekter Empfang des Sendesignals mit dem gegebenen AM-Geradeausempfänger möglich ist (Begründung)? Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

11 A. Musterlösung zur Prüfung SS 998 A. Musterlösung zur Prüfung SS 998 Aufgabe : Signaltheorie (a) H(f) = h(t)e jπft dt (b) H(f) = = e at e jπft dt e (a+jπf)t dt [ = ] e (a+jπf)t (a+jπf) = a+jπf H(f) = a +(πf) 6 Betrag der Übertragungsfunktion 5 4 H(f), a= f Betrag H(f) (c) (c) für t < gilt: g(t) = (c) für t >= gilt: g(t) = t e aτ dτ = a [e aτ ] t = a ( e at ) Sommersemester 4

12 A PRÜFUNGEN.5 Faltung, t< h(τ) g(t τ).5 Faltung, t> h(τ) g(t τ) y=exp(at), a=..5 y=exp(at), a= τ Faltung für t < Faltung für t > ( Punkte) τ (d) Transformation von σ(t) G(f) = H(f) Σ(f) Rücktransformation von G(f) Aufgabe : Analoge Modulation (a) (a) Das Signal im Bandpaßbereich läßt sich berechnen aus: s(t) = A(t)cos(πf c t) = (+µx(t))cos(πf c t) (a) Für das Spektrum des Bandpaßsignals gilt: S(f) = F{s(t)} = (δ(f f c)+δ(f +f c )+µx(f f c )+µx(f f c )) S(f) µ X(f) µ X(f) f c f c f (b) (b) Mit A(t) = +µcos(ω m t) ergibt sich das Bandpaßsignal zu ( Punkte) s(t) = A (+µcos(πf m t))cos(πf c t) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik = A cos(πf c t)+ µa cos(π(f c +f m )t)+ µa cos(π(f c f m )t)

13 A. Musterlösung zur Prüfung SS Mit P = ( A/ ) = A / gilt für die Leistung des Trägers und der Seitenbänder: P = A + ( ) A µ + ( A µ = A A + µ A + µ }{{} }{{ 8 }}{{ 8 } P Tr P OSB P USB (b) Die maximale Leistung in den Seitenbändern erreicht man bei einem Modulationsindex µ =. Dann ist die Gesamtleistung in den Seitenbändern halb so groß wie die Trägerleistung. ) (c) (c) Blockschaltbild des Geradeausempfängers: m(t) idealer BP TP (c) Geradeausempfänger besitzen zumeist eine geringe Selektivität, denn die Güte des Eingangsbandpaßfilters bestimmt ausschließlich die erreichbare Trennschärfe. (c3) Der Überlagerungsempfänger ist in seiner Struktur um einen Bandpaßfilter zur Spiegelfrequenzunterdrückung und einen Mischer erweitert. Blockschaltbild des Überlagerungsempfängers: idealer BP f ZF idealer BP TP Geradeausempfänger cosπf M t (c4) Mit dem Mischer wird das Empfangssignal mit einer variablen Mischfrequenz auf eine konstante Zwischenfrequenz heruntergemischt. Das Eingangsbandpaßfilter kann eine geringere Güte besitzen. Aufgabe 3: LTI-Systeme Merkmal mathematischer Ausdruck (a) Zeitinvarianz Linearität x(t) y(t) x(t+τ) y(t+τ) a x(t) a y(t) für x (t) y (t) und x (t) y (t) x (t)+x (t) y (t)+y (t) ( Punkte) Sommersemester 4

14 4 A PRÜFUNGEN (b) Kausalität: für t < t gilt y(t ) ist unabhängig von x(t ) Das Filter ist nichtkausal, darum Abschneiden und Verschieben. ( Punkte) sin(π(t τ) für t τ π(t τ) h kausal (t) = sonst (c) y(t) = cos (x(t)) = (+cos(x(t))) x(t) = y(t) = nicht quellenfrei ax(t) ay(t) nicht linear x(t) y(t) und x(t+τ) y(t+τ) zeitinvariant t < t y(t ) ist unabhängig von x(t ) kausal Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (a) f a f g (a) Spektrum eines abgetasteten Signals S(f) f g f g f S a (f) Tiefpaß-Übertragungsfunktion f a f a f g f g f a f a f (a3) analoges Tiefpaßfilter, Übertragungsfunktion: siehe Lösung (a) ( Punkte) (b) (b) s a (t) = s(t) (b) S a (f) = S(f) + n= ( ) ( t nt rect t = s(t) rect ( t T si(πt f) + n= ( ) t t + ) δ(t nt) ( Punkte) δ ( f n T) ) ( Punkte) (c) Spektrum S a (f) für t = T Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

15 A. Musterlösung zur Prüfung SS S a (f) 3 T T T T T 3 T f (d) Durch die endliche Impulsbreite werden nur die sich periodisch fortsetzenden Spektralanteile verzerrt, aber nicht der Spektralanteil im Tiefpaßbereich Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (a) Digitale Modulation wird durchgeführt, um digitale Daten sinusförmigen Signalen derart aufzuprägen, daß eine Übertragung über einen (Bandpaß)-Kanal möglich wird. ( Punkt) (a) Das durch den Modulationsprozeß entstandene Signal ist ein analoges Signal. ( Punkt) (b) (b) Signaldarstellung, siehe Bild hinter dem Empfangsfilter (b) Geradeausempfänger, siehe Bild (b3) Signaldarstellung nach Betragsbildung, siehe Bild Signaldarstellung nach Tiefpassfilterung, siehe Bild Signaldarstellung nach Abtaster und Komparator, siehe Bild Sommersemester 4

16 6 A PRÜFUNGEN Empfangsfilter Betragsbildung Tiefpass-Filter Daten Antenne Geradeausempfaenger Abtaster Komparator Amplitude T Zeit Amplitude T Zeit Amplitude T Zeit Amplitude T Zeit Amplitude T Zeit (c) (c) Aufgrund der Betragsbildung im Geradeausempfänger wird eine Unterscheidung der Signalamplituden + und - unmöglich. (c) Binary Phase Shift Keying (BPSK) bzw. Binäre Phasenumtastung (die Information ist in der Phase enthalten) (c3) Um eine Amplitudenunterscheidung hinter der Betragsbildung im Geradeausempfänger zu ermöglichen, sind die absoluten Beträge der beiden Amplituden unterschiedlich zu wählen. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

17 A.3 Nachprüfung WS 998/999 7 A.3 Nachprüfung WS 998/999 Aufgabe : Signaltheorie (a) ( Punkte) Sie wollen die Eigenschaften eines Audioverstärkers vermessen. (a) Sie nehmen als Eingangssignal x(t) einen Diracstoß δ(t), messen den Ausgang u(t) und führen eine Fouriertransformation von u(t) durch. Wie nennt man das Ergebnis? (a) Wenn Sie statt des praktisch nicht realisierbaren Diracstoßes einen Rechteckimpuls r(t) auf den Eingang des Verstärkers geben, können Sie dann zu den gleichen Erkenntnissen wie unter (a) gelangen (wenn ja, wie)? (b) (7 Punkte) Gegeben sei nun ein LTI-System mit der Impulsantwort für t a h(t) =.5 für a < t a sonst wobei gilt: a R, a >. Das System wird mit folgendem Eingangssignal angeregt wobei gilt: ǫ R, < ǫ < a. x(t) = (b) Skizzieren Sie h(t) und x(t). { /ǫ für t ǫ sonst (b) Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t) im Bereich t a+ǫ. (b3) Skizzieren Sie y(t). (c) Es gehe nun ǫ. Wie lautet dann das Ausgangssignal y(t)? Hinweis: Teilaufgabe (c) ist auch unabhängig von (b) lösbar. Aufgabe : Analoge Modulation (a) (3 Punkte) Modulation bedeutet bekanntlich das Aufprägen eines Quellensignales auf einen Träger. Dabei entsteht aus einem Tiefpaß-Signal ein Bandpaß-Signal. Nennen Sie mindestens 3 Gründe für die Modulation von Signalen. (b) (4 Punkte) Das Quellensignal x(t) soll der Frequenz des Trägers aufgeprägt werden, was einer Frequenz-Modulation entspricht. (b) Schreiben Sie die Gleichung des frequenzmodulierten Signals s(t) im Zeitbereich auf. Für den Phasenverlauf ϕ(t) soll dabei gelten: ϕ(t) = k t x(u)du. Sommersemester 4

18 8 A PRÜFUNGEN (b) Berechnen Sie den Frequenzhub f des FM-Signals in Abhängigkeit von x(t).(hinweis: ω(t) = dϕ(t) dt ) (b3) Welche Aussage kann man zur Amplitude der Einhüllenden des modulierten Signals treffen? (b4) Nennen Sie ein Beispiel für FM aus dem Rundfunkbereich. (c) (3 Punkte) Nach Differentiation eines FM-Signals s(t) läßt sich zur Demodulation ein einfacher Empfänger verwenden, der eigentlich für eine andere Modulationsart entwickelt wurde. (c) Führen Sie die Differentiation g(t) = ds(t) dt durch. (c) In welchem Parameter des Signals g(t) ist das informationstragende Signal jetzt zusätzlich enthalten? (c3) Skizzieren Sie einen einfachen FM-Empfänger, der die Differentiations-Stufe enthält. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) ( Punkte) Erklären Sie in der folgenden Tabelle die beiden angegebenen Merkmale von LTI-Systemen. Merkmal Erklärung Kausalität Quellenfreiheit (b) (3 Punkte) Berechnen Sie die Impulsantwort h(t) eines Systems mit folgender Übertragungsfunktion H(f). A f f f Prüfen Sie ob bei diesem System Linearität und Kausalität vorliegt. (c) (4 Punkte) Gegeben ist ein System mit der folgenden Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal: Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

19 A.3 Nachprüfung WS 998/999 9 x(t) cos ( πf c t) + y(t) sin ( π f c t) Prüfen Sie, ob es sich um ein kausales, lineares, zeitinvariantes und quellenfreies System handelt. Ist dieses System ein LTI-System? Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) Sie haben ein Tiefpaß-Signal s TP (t) mit der Grenzfrequenz f g gegeben. Dieses Signal wird durch eine Dirac-Impulsfolge mit der Rate f a abgetastet. (a) ( Punkte) Geben Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen dem abgetasteten Signal s a (t) und dem ursprünglichen Signal s TP (t) an. Welche Beziehung besteht zwischen den Spektren S a (f) und S TP (f)? (b) (b) (4 Punkte) Zeichnen Sie schematisch den Betrag des Spektrums S a (f) für die Fälle f a < f g und f a > f g. Vergessen Sie nicht die Achsenbeschriftung. (b) Begründen Sie anhand der Skizzen aus (a), warum die Mindestabtastrate f a > f g sein muß. (c) Jetzt haben Sie ein reelles Bandpaß-Signal gemäß dem folgenden Bild gegeben. Dabei ist f BP f g. Sie könnten dieses Signal mit einer Rate f a > (f BP +f g ) abtasten. S BP (f) f f BP f g f BP f BP +f g f BP f g f BP f BP +f g (c) Überlegen Sie, wie das Signal mit einer Rate f a < f BP verzerrungsfrei abgetastet werden kann. Geben Sie dazu verbal die entscheidende Bedingung für eine verzerrungsfreie Rückgewinnung des Signals an. (c) ( Punkte) Mit welcher Baugruppe kann dieses so abgetastete Signal wieder in ein zeitkontinuierliches Bandpaß-Signal s BP (t) gewandelt werden? Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) Gegeben sei die binäre Folge g n = {,,,,,,,,,,,,,}. Sommersemester 4

20 A PRÜFUNGEN (a) Die in g n enthaltene Information soll durch Aufprägen auf rechteckförmige Impulse der Länge T übertragen werden. Zeichnen Sie das dadurch entstehende Zeitsignal g (t). (a) (3 Punkte) Durch Modulation des sinusförmigen Trägersignals s(t) = A(t) cos(ω c t+φ(t)) durch das Signal g (t) kann die in g n enthaltene Information über einen bandbegrenzten Funkkanal übertragen werden. Welche Parameter von s(t) kann g (t) modulieren? Nennen Sie die dazugehörigen digitalen Modulationsarten. (b) Kommen wir noch einmal zum Signal g (t) zurück. (b) Bestimmen Sie den zeitlichen Mittelwert der Amplitude eines Rechteckimpulses des Signals g (t). (b) ( Punkte) Bei der Nachrichtenübertragung sind mittelwertfreie Signale wünschenswert. Wie kann g (t) mittelwertfrei gemacht werden, wenn Rechteckimpulse der Länge T als Träger der Information beibehalten werden? Zeichnen Sie das aus g (t) gebildete mittelwertfreie Signal g (t). (c) Weil Sinus- und Kosinusschwinungen derselben Frequenz zueinander orthogonale Signale sind, kann man beiden unterschiedliche Information aufprägen und diese dann gemeinsam übertragen. Dieser Weg soll bei der Übertragung der in g n enthaltenen Information beschritten werden. (c) (3 Punkte) Zunächst sind aus der Folge g n zwei Folgen g k und g k+, k zu bilden, die die Elemente mit geradem bzw. ungeradem Index aus g n enthalten (Index von g n startet mit n = ). Aus diesen beiden Folgen sind entsprechend Aufgaben (a) und (b) zwei mittelwertfreie Zeitsignale h (t) und h (t) zu bilden. Zeichnen Sie diese Signale. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

21 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS 998/999 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS 998/999 Aufgabe : Signaltheorie (a) (a) Übertragungsfunktion (Phasen- und Amplitudenantwort) des Verstärkers. (a) Ja, F{u(t)}/F{r(t)} ergibt dasselbe. (b) (b) Skizze h(t), x(t): /ε x(t) h(t) a t ε t (b) Impulsantwort h(t) Eingangssignal x(t) t < ǫ : y(t) = t ǫ (b3) Skizze y(t): ǫ t < a : y(t) = a t < a+ǫ : y(t) =.5.5a t+ ǫ ǫ a+ǫ t < a : y(t) =.5 a t a+ǫ : y(t) =.5 ǫ t+ a ǫ y(t) ε a a+ε a a+ε t (c) y(t) = h(t) Aufgabe : Analoge Modulation (a) Gründe für Modulation von Signalen: (3 Punkte) Verschiebung eines Signales in gewünschten Frequenzbereich/Kanal (z.b. UKW-Kanal, Fernseh-Kanal...) Sommersemester 4

22 A PRÜFUNGEN (b) (b) prinzipielle Realisierbarkeit einer Funkübertragung erfordert Antennen in der Größenordnung der Wellenlänge der Signale (z.b. f = MHz λ = c f = 3 8 m/s = 3m), 6 /s d.h. daß TP-Signale praktisch nicht direkt über Funk übertragbar sind oft wird Gleichstromfreiheit der Signale gefordert, wenn Übertrager gleichstromundurchlässig sind Unterdrückung von Störungen Frequenzmultiplexing von Signalen zur Auslastung der Übertragungskanal-Bandbreite t s(t) = A cos(ω t+ϕ(t)+ϕ ) = A cos(ω t+k x(u)du+ϕ ) (b) Mit ω(t) = dϕ(t) = kx(t) = πf(t) ergibt sich der Frequenzhub für den maximalen dt Betrag von x(t) zu f = k x max π (b3) Da eine Modulation der Phase erfolgt, bleibt die Amplitude von s(t) konstant. (b4) Ein Beispiel für FM ist der UKW-Rundfunk. (c) (c) Mit s(t) = A cos(ω t+k t ds(t) dt x(u)du) ergibt sich nach der Differentiation = A (ω +kx(t)) sin(ω }{{} t+k A(t) t x(u)du) (c) Die Information des Quellensignals steht in A(t), dies ist äquivalent zu einer Amplituden-Modulation. (c3) Beispielsweise durch Hüllkurvendetektion läßt sich dieses Signal demodulieren. s(t) idealer BP Differentiator AM Demodulator TP x(t), demod. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) je Punkt für vollständige und richtige Erklärung der Zeitinvarianz und Linearität ( Punkte) Merkmal Erklärung Skript Einführung in die Nachrichtentechnik Kausalität y(t ) ist unabhängig von x(t ) für t < t für x (t) y (t) und x (t) y (t) Quellenfreiheit x(t) = y(t) = y(t) = für t <

23 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS 998/999 3 (b) H(f) = { A für f < f sonst h(t) = + +fo H(f)e jπft df = Ae jπft df f o [ ] +fo A = jπt ejπft f o = A jπt ejπfot A jπt e jπfot = Af si(πf o t) Kausalität: für t < t gilt y(t ) ist unabhängig von x(t ) g(t < ) = Das Filter ist nichtkausal darum Abschneiden und Verschieben. ax (t)+bx (t) = a y (t)+a y (t) System ist linear (c) y(t) = x(t) cos(πf c t)+x(t) sin(πf c t) x(t) = y(t) = cos(πf c t)+ sin(πf c t) = System ist quellenfrei t < t y(t )ist unabhängig von x(t )System ist kausal a x (t)+a x (t) = a (x (t)cos(πf c t)+x (t)sin(πf c t))+a (x (t)cos(πf c t)+x (t)sin(πf c t)) = a y (t)+a y (t) System ist linear f(t) = y(t) x(t) = cos(πf ct)+sin(πf c t) f(t) ist zeitabhängig System ist zeitvariant Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) s a (t) = s TP n= S a (f) = S TP (f) ) δ (t nfa n= δ(f nf a ) = n= S TP (f nf a ) (b) (b) siehe Abb. A. (4 Punkte) Sommersemester 4

24 4 A PRÜFUNGEN f a < f g S(f) f a f g f a +f g f a f g f g f a f f a > f g S(f) f a f a +f g f g f g f a f g f a f Abbildung A.: Betrag des Spektrums von S a (f) (b) Weil für f a < f g Aliasing auftritt und es damit nicht mehr möglich ist, das zeitkontinuierliche Signal verzerrungsfrei aus dem abgetasteten Signal zurückzugewinnen. (c) (c) Die Abtastrate muß so gewählt werden, daß bei den sich periodisch wiederholenden Spektralanteilen kein Aliasing auftritt. (c) Mit einem entsprechenden Bandpaßfilter kann das zeitkontinuierliche Signal wieder gewonnen werden. ( Punkte) Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (a) Der Zeitverlauf von g (t) ist im Bild gegeben. g (t) {g n } {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} T t (a) g (t) = A(t): Amplitudenumtastung (amplitude shift keying - ASK) g (t) = φ(t): Phasenumtasung (phase shift keying - PSK) Veränderungvonω c durchg (t):frequenzumtastung(frequencyshiftkeying-fsk) (b) (b) Mit der Lösung von (a) gilt: 4T 4T t= g (t)dt =. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

25 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS 998/999 5 (b) Durch Abbilden beider Elemente aus g n auf Impulse mit Amplituden gleichen Betrages aber unterschiedlichen Vorzeichens kann das Signal g (t) mittelwertfrei gemacht werden. Zum Beispiel: g n = Amplitude von g (t) = und g n = Amplitude von g (t) = +. Der Zeitverlauf von g (t) ist im Bild gegeben. g (t) {g n } {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} t - T (c) (c) g k = {,,,,,,} g k+ = {,,,,,,} Die Zeitverläufe von h (t) und h (t) sind im Bild gegeben. h (t) {g k } h (t) {g k+ } {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} t t - - T T Sommersemester 4

26 6 A PRÜFUNGEN A.5 Prüfung SS 999 Aufgabe : Signaltheorie (a) (5 Punkte) Gegeben sei folgender Rechteckimpuls s(t) a t < T s(t) = a t = T sonst (a) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von s(t). Geben Sie die Fouriertransformierte S(f) = F{s(t)} an. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von S(f). (a) Könnte das Signal s(t) die Impulsantwort eines kausalen Systems sein? Begründen Sie Ihre Aussage. (b) (3 Punkte) Gegeben sei folgende Übertragungsstrecke P Q Leistungsverstärker +5dB L Kabel Erdkabel Länge l Rauschen P N = 35dBm P R + Empfangsverstärker +db Signalquelle SNR db P S Signalsenke (b) Berechnen Sie den Mindestempfangspegel P R (in dbm), wenn für den Signal-Rausch- Abstand an der Signalsenke SNR db gelten soll. (b) Die Dämpfung L Kabel des Erdkabels wird vom Hersteller mit L Kabel = l db Länge l in Meter angegeben. Berechnen Sie die maximale Leitungslänge l, wenn P S P Q gelten soll (die Rauschleistung P N soll unberücksichtigt bleiben). (c) ( Punkte) Zeigen Sie, daß für jede reelle ungerade Funktion x u (t) mit X u (f) = F{x u (t)} gilt. Hinweis: x u (t) = x u ( t) Re{X u (f)} = Re{X u ( f)} = Aufgabe : Analoge Modulation (a) (5 Punkte) Wir betrachten Amplituden-Modulation (AM) zur Übertragung. Das gesendete Signal sei s(t) = (+µx(t))cos(πf c t). x(t) habe eine maximale Amplitude von sowie das Spektrum X(f) gemäß folgendem Bild. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

27 A.5 Prüfung SS X(f) A -f f f (a) Skizzieren Sie S(f) (Spektrum von s(t), Achsenbeschriftung!). (a) Skizzieren Sie einen einfachen Hüllkurven-Demodulator (Geradeaus-Empfänger), mit dem x(t) wiedergewonnen werden kann, und beschreiben Sie kurz (Stichworte) dessen Funktionsweise. (b) (3 Punkte) Zum Empfang von s(t) stehen nun der Hüllkurven-Demodulator aus (a), und ein Synchron-Demodulator (siehe Bild) zur Verfügung. HP- filter s(t) BPfilter TPfilter C x(t) g(t) Synchron-Demodulator Zur korrekten Demodulation (bis auf einen konst. Faktor) von x(t) muß man das Eingangsignal (nach einer ev. Bandpaßfilterung) mit einem Signal g(t) multiplizieren. (b) Um welche Art von Signal handelt es sich bei g(t)? (b) Worauf muß man dabei besonders achten? (b3) Wie kann man g(t) aus dem Signal s(t) wiedergewinnen? (c) ( Punkte) Wie groß darf µ zum verzerrungsfreien Empfang jeweils maximal werden, für den (c) Hüllkurven-Demodulator (c) Synchron-Demodulator Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) (4 Punkte) (a) Formulieren Sie die Bedingungen für Linearität und Zeitinvarianz von LTI Systemen. (a) Gegeben ist ein nichtkausales System mit einem Eingang und einem Ausgang: x(t) h(t) y(t) Sommersemester 4

28 8 A PRÜFUNGEN y(t) = x(t+τ) x(t) τ > Wie groß muß die zeitliche Verschiebung der Impulsantwort h(t) mindestens gewählt werden, damit man ein kausales System erhält? Geben Sie für diesen Fall die Beziehung zwischen x(t) und y kausal (t) an! (b) (4 Punkte) Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Systeme linear und zeitinvariant sind. (b) Das System y(t) = x(t) (b) Die Reihenschaltung zweier LTI Systeme mit den Impulsantworten h (t) und h (t) x(t) h (t) (c) ( Punkte) Ein ideales Tiefpaßfilter h TP (t) wird durch ein FIR Filter h FIR (t) approximiert. DazuwirddieImpulsantworth TP (t)desidealentiefpassesdurcheinefensterfunktionh W (t) zeitlich begrenzt und verschoben (siehe Abbildung). h (t) y(t) h TP (t) h W (t) h FIR (t) t T T t T t Geben Sie den Ansatz zur Berechnung der Übertragungsfunktion H FIR (f) des approximierten Tiefpasses aus den Spektren des idealen Tiefpasses und der Fensterfunktion an! Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (4 Punkte) Sie haben ein Tiefpaßsignal s(t) mit dem Spektrum S(f) (siehe folgende Abb.) gegeben. Dieses TP-Signal wollen Sie mit Dirac-Impulsen der Rate /T ideal abtasten. S(f) f g f g Spektrum des TP-Signals (a) Wie groß darf die Grenzfrequenz f g des TP-Signals höchstens sein, um Aliasing zu vermeiden? (a) Geben Sie einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem durch Abtastung gewonnenen Signal s a (t) und dem Signal s(t) an. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik f

29 A.5 Prüfung SS (a3) Skizzieren Sie das Spektrum S a (f) des Signals s a (t). (a4) Durch welche Baugruppe kann aus dem Signal s a (t) das Signal s(t) wiedergewonnen werden? (b) (6 Punkte) Sie haben nun ein reales Abtastsystem gemäß folgender Abb. gegeben. s(t) s a,r (t) T T 3T 4T 5T Gegebener Abtastvorgang t (b) Geben Sie einen Ausdruck für das Signal s a,r (t) an. Hinweis: Überlegen Sie dabei, mit welcher Funktion das in Teilaufgabe (a) erhaltene Signal s a (t) gefaltet werden muß, damit die Signalwerte s(nt) jeweils die Zeitdauer T gehalten werden. (b) Geben Sie das dazugehörige Spektrum S a,r (f) in Abhängigkeit von dem Spektrum S(f) des Signals s(t) an. (b3) Skizzieren Sie den Betrag des Spektrums S a,r (f). Heben Sie dabei die Unterschiede gegenüber dem Spektrum des idealen Abtastsystems (siehe Teilaufgabe (a3)) hervor. Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (4 Punkte) Gegeben ist das quantisierte Basisbandsignal g(t) (siehe folgende Abb.). 4 Basisbandsignal g(t) --> Zeit t/t --> Basisbandsignal g(t) Bei dem Verfahren der digitalen Modulation wird dieses Signal einem sinusförmigen Träger s c (t) = A c sin(πf c t+ϕ c ) aufgeprägt. Dazu stehen verschiedene Modulationsverfahren zur Verfügung. Sommersemester 4

30 3 A PRÜFUNGEN (a) Eine einfache Methode ist die sog. Amplitudenumtastung (ASK Amplitude Shift Keying), bei der unterschiedliche Signalwerte des Basisbandsignals unterschiedlichen Amplituden der Trägerschwingung entsprechen. Stellen Sie das ASK-modulierte Signal grafisch dar. Gehen Sie davon aus, daß für Frequenz und Phase der Trägerschwingung gilt: f c = T (T Symboldauer), ϕ c =. (a) In folgender Abb. sind zwei Zeitverläufe digital modulierter Trägerschwingungen gegeben. Ordnen Sie den Sendesignalen und 3 das jeweils verwendete digitale Modulationsverfahren zu. Sendesignal s(t) --> - Sendesignal s(t) --> - (b) (3 Punkte) Zeit t/t --> Zeit t/t --> Sendesignal Sendesignal 3 (b) Stellen Sie die Zustände des komplexen Basisbandsignals s TP (t) für die Modulationsarten QPSK (Quarternary Phase Shift Keying) 6-QAM (Quadrature Amplitude Modulation) in der komplexen Ebene (I/Q-Ebene, Phasenstern ) dar. (b) Wieviel Bit pro Symbol können bei der Modulationsart 6-QAM maximal übertragen werden? (c) (3 Punkte) Bei der Zweifrequenzumtastung (-FSK) wird durch das binäre Datensignal die Frequenz des Trägers zwischen zwei festen Werten f und f variiert. Zweckmäßigerweise wählt man die Frequenzen f und f orthogonal zueinander, so daß die Bedingung erfüllt ist. T cos(πf t)cos(πf t)dt = (A.) Leiten Sie aus Gleichung (A.9) eine Bedingung für den Abstand f f der beiden Träger und den Wert der Frequenz f in Abhängigkeit von der Symboldauer T her. Hinweis: cos(α)cos(β) = [cos(α β)+cos(α+β)] Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

31 A.6 Musterlösung zur Prüfung SS A.6 Musterlösung zur Prüfung SS 999 Aufgabe : Signaltheorie (a) (a) Fouriertransformation von s(t) ( Punkt auf S(f)=Spaltfunktion, Punkt auf richtige Normierung) T S(f) = s(t)e jπft dt = a e jπft dt T = a e jπft e jπft = at sin(πft) = at si(πft) ( Punkte) jπf πft oder mit rect(t) si(πf) und x(at) X( f a a) wird ( ) t s(t) = a rect S(f) = at si(πft) T s(t) a S(f) at ( Punkte) T T t T T (a) Nein, s(t) kann nicht die Impulsantwort eines kausalen Systemes sein. Begründung: s(t) für t < (b) (b) Pegelrechnung (b) T SNR = P R P N P R = db 35dBm = 5dBm P S = P Q L Kabel = 5dB+dB l = 45m T f Aufgabe : Analoge Modulation (a) (a) Spektrum S(f) S(f).5.5µA f c - f f c c f + f f Sommersemester 4

32 3 A PRÜFUNGEN Wichtig: Dirac in der Mitte Spektrum bei ±f c Achsenbeschriftung (a) Skizze: HP- filter s(t) TPfilter C x(t) (a3) Funktionsweise: Gleichrichtung, Glättung (TP-Filter), Gleichstromanteil wegfiltern (HP-Filter). (b) (b) Cos-Funktion mit Frequenz f c (b) Wichtig ist die exakte Phase, hier g(t) = cos(πf c t + nπ) (normalerweise n = ) (b3) Scharfe BP-Filterung (oder PLL o.ä.) zur Gewinnung von cos(πf c t + ϕ) und Phasenschätzer zur Bestimmung von ϕ. (c) (c) µ für Hüllkurven-Demodulator (c) µ nicht begrenzt für den Synchron-Demodulator. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) (a) Linearität: ( N ) N N y(t) = f a n x n (t) = a n f (x n (t)) = a n y n (t) n= n= n= Zeitinvarianz bedeutet, daß die Systemreaktion unabhängig vom Erregungszeitpunkt ist. Es gilt: y(t) = f (x(t)) y(t+τ) = f (x(t+τ)) (a) y(t) hängt von x(t + τ) ab Kausalität kann durch zeitliche Verschiebung des Eingangssignals erreicht werden x(t) x(t t V ). Dabei muß t V τ gelten. Für t V = τ ergibt sich: y(t) = x(t+τ) x(t) y kausal (t) = x(t) x(t τ) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

33 A.6 Musterlösung zur Prüfung SS (b) (b) y(t) = N x n (t) n= N x n (t) nichtlinear n= y(t+τ) = x(t+τ) zeitinvariant (b) y(t) = f ( = f ( N n= N ( ( f f xn (t) )) = n= y(t+τ) = f (f (x(t+τ))) ) ) ( N ( x n (t) = f f xn (t) )) n= N y n (t) linear n= zeitinvariant (c) H FIR (f) = F{h FIR (t)} = F{h TP (t T/) h W (t T/)} = H TP (f) H W (f) e jtπf ( Punkt auf Faltung; Punkt auf Zeitverschiebung) ( Punkte) Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (a) f g < T (a) s a (t) = s(t) (a3) Skizze n= δ(t nt) S a (f) /T f g f g /T f Betragsspektrum S a (f) (a4) Analoges Interpolations-TP-Filter ( ) ( ) (b) (b) s a,r (t) = s(t) δ(t nt) rect t T/,PunktfürFaltung,Punktfürrichtige T n= Normierung ( (b) S a,r (f) = S(f) T n= ( Punkte) δ ( f n T) ) T si(πft)e jπft, Punkt für richtige Anteile (S(f), Dirac-Kamm, si( )), Punkt für richtige Normierung ( Punkte) Sommersemester 4

34 34 A PRÜFUNGEN (b3) Skizze, Punkt für prinzipiell richtige Darstellung der Verzerrungen und Nullstellen bei n, Punkt für maßstäblich richtige Darstellung (Faktor /T) ( Punkte) T si(πft) S a,r (f) T S a (f) /T f g f g /T f Betragsspektrum S a,r (f) Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (a) Darstellung des ASK-modulierten Sendesignals qualitativ richtig quantitativ richtig 4 3 Sendesignal s(t) --> Zeit t/t --> ASK-Sendesignal (a) Sendesignal : Frequenzumtastung (FSK - Frequency Shift Keying) Sendesignal 3: Phasenumtastung (PSK - Phase Shift Keying) (b) (b) (je Skizze Punkt) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

35 A.6 Musterlösung zur Prüfung SS Q Q I I ( Punkte) QPSK 6-QAM Zustände des komplexen Basisbandsignals s TP (t) (b) 4 Bit pro Symbol (c) Aus erhält man [ T cos(π[f f ]t)dt } {{ } = f f = k T T + ] cos(π[f +f ]t)dt = } {{ } = mit k = ±,±,... und f +f = l mit l = ±,±,... und l k. T Durch Einsetzen von Glg. (A.) in (A.) ergibt sich schließlich (A.) (A.3) f = n 4T mit n = l k Sommersemester 4

36 36 A PRÜFUNGEN A.7 Nachprüfung WS 999/ Aufgabe : Signaltheorie (a) (3 Punkte) Entscheiden Sie für jede der Zeitfunktionen s (t), s (t) und s 3 (t), ob sie für ǫ n in den Diracimpuls δ(t) übergeht, d.h. ob gilt: lim ǫn s i(t) = δ(t). Negative Entscheidungen müssen begründet werden! s (t) s (t) s (t) 3 /ε n /ε n /(3 ε n ) t - εn εn - εn εn - εn t ε n t (b) (3 Punkte) Gegeben sei eine einfache Funkübertragungstrecke bestehend aus Sender, Übertragungskanal und Empfänger. Der Pegel P S des Sendesignals betrage 3dBm, die Kanaldämpfung L S 33dB. (b) Wie groß ist die absolute Sendeleistung in Watt? (b) Welcher Pegel (dbm) ergibt sich für das Empfangssignal? (b3) Wie groß darf die absolute Rauschleistung (in mw) am Empfänger maximal sein, wenn dort ein minimales Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) von db nicht unterschritten werden soll? Hinweis: Zehnerpotenz Dezimalzahl (ger.) (c) (4 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe des Fourierintegrals, daß für das Spektrum der Zeitfunktion s ( t) gilt: F{s ( t)} = S (f), wobei S(f) = F{s(t)} das Spektrum von s(t) bezeichnet. Das Zeichen bedeutet konjugiert-komplex. Aufgabe : Analoge Modulation (a) (3 Punkte) Durch Aufprägen des Informationssignals x(t) auf einen der Parameter A T, f T, ϕ T des Trägersignals f(t) = A T cos(πf T t+ϕ T ) (A.4) können drei Modulationsverfahren abgeleitet werden. Geben Sie den Parameter und das dazugehörige Modulationsverfahren an. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

37 A.7 Nachprüfung WS 999/ 37 (b) (3 Punkte) In einem Überlagerungsempfänger wird das bandbegrenzte Empfangssignal r(t) von der Trägerfrequenz f T auf die Zwischenfrequenz f ZF durch Multiplikation mit dem Oszillatorsignal cosπf M t umgesetzt (f ZF < f T ) r M (t) = r(t)cos(πf M t) (A.5) (b) Geben Sie einen Zusammenhang zwischen f T, f ZF und f M an, wenn f M < f T gelten soll. (b) Zeichnen Sie in nachfolgendes Diagramm das Betragsspektrum aller entstehenden Mischprodukte ein. R(f) / f f T f ZF f ZF f T (c) (4Punkte)DurchdiesesMischprinzipwirdnocheinweiteresSignalr S (t)beidersogenannten Spiegelfrequenz f T,S empfangen und auf dieselbe Zwischenfrequenz f ZF gemischt. (c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen f T,S, f T und f ZF? (c) Zeichnen Sie in nachfolgendes Diagramm das Betragsspektrum aller entstehenden Mischprodukte ein. R S (f) / f f T f T,S f ZF f ZF f T,S f T Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) ( Punkte) Ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t) werde durch einen Impuls x(t) angeregt. x(t) h(t) T T t T t Sommersemester 4

38 38 A PRÜFUNGEN Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t) = x(t) h(t) (keine Berechnung). (b) (6 Punkte) Gegeben sei ein nachrichtentechnisches System mit folgender Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal y(t) = a x(t) mit (b) a = a = konst. > (b) a = a(t) = cos(ω t+ϕ ) (b3) a = a(t) = n= δ(t nt ) Entscheiden Sie für jedes der so entstehenden Systeme, ob es sich um ein LTI-System handelt. Benennen Sie jeweils die Funktion dieser Systeme / Baugruppen. (c) ( Punkte) Weisen Sie nach, daß die Faltungsoperation x (t) x (t) kommutativ ist. D.h. es muß gelten x (t τ)x (τ)dτ = x (τ)x (t τ)dτ Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (5 Punkte) Gegeben sei das reelle Tiefpaßsignal s(t) mit der Eigenschaft S(f) = für f > f g (siehe Abbildung). Durch ideale Abtastung (mit Diracimpulsen) von s(t) mit der Abtastfrequenz f A = T A erhält man das abgetastete Signal s A (t). f g S(f) f (a) Geben Sie die mathematische Beschreibung des abgetasteten Signals s A (t) an. (a) Geben Sie das Spektrum S A (f) des abgetasteten Signals in Abhängigkeit von S(f) an. (a3) Wählen Sie eine Abtastfrequenz f A und skizzieren Sie S A (f). (a4) Welche Bedingung muß bezüglich f A und f g eingehalten werden? (a5) Wie läßt sich das ursprüngliche analoge Signal aus dem abgetasteten Signal wiedergewinnen? (b) (3 Punkte) Das analytische Signal s + (t) mit dem Spektrum S + (f) (siehe Abbildung) soll durch ideale Abtastung mit der Abtastfrequenz f A in den Tiefpaßbereich transformiert werden. Im folgenden soll f A f C gelten (Unterabtastung). Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

39 A.7 Nachprüfung WS 999/ 39 + S (f) f g -f C f C f (b) Skizzieren Sie für den Fall f A = 4 f C das bei Unterabtastung entstehende Spektrum. (b) Welche Voraussetzungen müssen hinsichtlich f g, f C und f A erfüllt sein, damit Aliasing vermieden wird? (b3) Welcher allgemeine Zusammenhang läßt sich dann zwischen f A und f C angeben? (c) ( Punkte) Das Signal eines Sinusgenerators f S = 9 khz wird mit einer festen Frequenz f A = 8 khz abgetastet. Das abgetastete Signal wird mit einem Tiefpaß der Grenzfrequenz f g = 4 khz gefiltert und über einen akustischen Wandler wiedergegeben. ~ f = 9 khz S f = 8 khz A TP f = 4 khz g Welche Frequenz ist zu hören? Begründen Sie! Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (3 Punkte) Eine Folge von Bits b k wird auf eine Folge von Modulationswerten a k wie folgt abgebildet: + und, also a k = ( ) b k. Das modulierte Sendesignal bei der Trägerfrequenz f c im Intervall kt t < (k +)T lautet Es handelt sich um BPSK QPSK ASK s(t) = a k cos(πf c (t kt)) Richtig Falsch Weiß nicht Mehrere Modulationsarten können richtig sein. Bitte nicht raten(punktabzug für eine falsche Antwort)! (b) (5 Punkte) Es soll die sogenannte Offset-QPSK mit sinusförmigen Halbwellen der Dauer T als Sendeimpuls g(t) betrachtet werden (siehe Abbildung). Die Folge der Modulationswerte a k sei a k = +,+,,,,..., beginnend mit a. Das komplexe Basisbandsignal s(t) = s I (t)+js Q (t) wird dabei wie folgt gebildet: Sommersemester 4

40 4 A PRÜFUNGEN Die Werte a k treten zu den Zeitpunkten kt auf. Sie werden jeweils abwechselnd zur Modulation von s I (t) und s Q (t) verwendet, d.h. die Werte a k modulieren s I (t), die Werte a k+ modulieren s Q (t) jeweils zum Zeitpunkt ihres Auftretens mit g(t). s I (t) = a k g(t kt) g(t)=sin( πt/t) s Q (t) = k= a k+ g(t (k +)T) k= t T T (b) Skizzieren Sie die Signale s I (t) und s Q (t) im Bereich T t 5T. (b) Kennzeichnen Sie die Punkte des komplexen Sendesignals s(t) = s I (t) + js Q (t) für t = T,T,3T,4T,5T im komplexen Phasenstern. (b3) Kennzeichnen Sie im gleichen Phasenstern den Verlauf von s(t) zwischen den Zeitpunkten t = T,T,3T,4T,5T. (b4) Skizzieren Sie den Verlauf der Phase ϕ von s(t) für T t 5T, ( ϕ < π). (c) ( Punkte) Es soll ASK betrachtet werden. Alternativ seien zwei Methoden der Abbildung der Bits b k auf die Modulationssymbole a k gegeben, b k {,} a k {,A} b k {,} a k {, }. sowie (c) Wie groß muß A sein, damit im Mittel bei beiden Methoden die gleiche Leistung gesendet wird (die Bits treten gleichwahrscheinlich auf)? (c) Welches Verfahren ist bei gleicher mittlerer Sendeleistung bei durch Rauschen gestörter Übertragung vorteilhaft und warum? Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

41 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung WS 999/ 4 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung WS 999/ Aufgabe : Signaltheorie (a) s (t) : Nein, da s (t) : Ja. + s (t)dt =. s 3 (t) : Nein, da s 3 (t) nicht symmetrisch, d.h. s 3 (t)dt + s 3 (t)dt. ) PSabs (b) (b) P S = lg( dbm = P mw Sabs = P S dbmmw = mw = W (b) P E = P S L S = 3dBm (b3) Mit P R P E SNR E erhält man: P Rabs P E SNR E dbm mw =.3 mw.5mw (c) Nach Einsetzen in das Fourierintegral ergibt sich: F{s ( t)} = + s ( t)e jπft dt. Die Substitution t = t ( dt = dt ) liefert: F{s ( t)} = = = + [ + [ + = S (f) s (t )e jπf( t ) dt ] s(t )e jπf( t ) dt ] s(t )e jπft dt } {{ } S(f) Aufgabe : Analoge Modulation (a) jeweils Punkt für eine richtige Zuordnung (3 Punkte) A(t) Amplitudenmodulation f(t) Frequenzmodulation ϕ(t) Phasenmodulation (b) (b) f M = f T f ZF (b) siehe Bild: alle Anteile eingezeichnet richtige Normierung auf / Sommersemester 4

42 4 A PRÜFUNGEN / f f T +f ZF f T f ZF f ZF f T f T f ZF (c) (c) f T = f M +f ZF hier so gewählt, siehe (b) f T,S = f M f ZF f T,S = f T f ZF (c) siehe Bild: alle Anteile eingezeichnet richtige Normierung auf / richtige Lage des nichtsymmetrischen Spektrums / f f T +3f ZF f T +f ZF f ZF f ZF f T f ZF f T 3f ZF Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) Skizze: y(t) T T 3T t qualitativ richtig quantitativ richtig (Achsenbeschriftung) (b) (b) LTI-System Skalierung / Verstärkung des Eingangssignals Verstärker (b) kein LTI-System (zeitvariant) moduliert Eingangssignal Mischer Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

43 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung WS 999/ 43 (b3) kein LTI-System (zeitvariant) Eingangssignal wird mit Periode T abgetastet idealer Abtaster (c) x (t τ)x (τ)dτ = = = x (τ )x (t τ )dτ mit τ = t τ x (τ )x (t τ )dτ x (τ)x (t τ)dτ mit τ := τ Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (a) (a) s A (t) = s(t) n= S A (f) = S(f) T A δ(t nt A ) = ν= n= δ(f νf A ) = T A s(nt A ) δ(t nt A ) ν= S(f ν f A ) (a3) Skizze qualitativ richtig (periodische Fortsetzung des Spektrums um ±ν f A ) S (f) A f g -4f A -3f A -f A -f A f A f A 3f A 4f A f (a4) Durch Bandbegrenzung des Signals vor dem Abtasten ist sicherzustellen, daß das Abtasttheorem eingehalten wird f A f g. (a5) Das ursprüngliche analoge Signal läßt sich durch Filterung mit einem Interpolationstiefpaß der Grenzfrequenz f A wiedergewinnen. (b) (b) Für f A = 4 f C ergibt sich folgendes Spektrum: S + (f) A f g -f =-4f C -3f A -f A -f f A f A 3f A A A f =4f C A f periodische Wiederholung des Spektrums des Bandpaßsignals um die Vielfachen der Abtastfrequenz f A (b) f A f g und f C f g (b3) n f A = f C n =,,... Sommersemester 4

44 44 A PRÜFUNGEN (c) Ein Ton bei khz ist zu hören. -f -f g f S -f A - khz khz g f f A S Durch das Abtasten entstehen Spektrallinien um n f A ± f S. Der Tiefpaß sperrt alle Frequenzen mit f > f g, so daß nur die Spektrallinien ±(f A f S ) = ± khz zum akustischen Wandler gelangen. Skizze oder verbale Begründung Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) Punkt für jede richtige Antwort, - Punkt für jede falsche Antwort. Insgesamt keine negativen Punkte. (3 Punkte) BPSK QPSK ASK Richtig Falsch Weiß nicht X X X (b) (b) je Skizze Punkt ( Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

45 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung WS 999/ 45 s I(t) t T T 3T 4T 5T 6T s Q(t) T T 3T 4T 5T 6T t (b+b3) je Skizze Punkt ( Punkte) Q s(t) s(t) s(3t) s(5t) s(t) I s(4t) (b4) Skizze Sommersemester 4

46 46 A PRÜFUNGEN ϕ(t) 3 π/ π π/ 3T T T 4T 5T t (c) (c) A = (c) b k {,} a k {, } ist besser, da hier bei gleicher mittlerer Leistung ein größerer Abstand zwischen den Symbolen vorhanden ist und somit die Gefahr eines Übertragungsfehlers geringer ist. Q Q = =.44 - I I A=.44 Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

47 A.9 Prüfung SS 47 A.9 Prüfung SS Aufgabe : Signaltheorie (a) (3 Punkte) Entscheiden Sie für jede der Zeitfunktionen s (t), s (t) und s 3 (t), ob sie für ǫ n in den Diracimpuls δ(t) übergeht, d.h. ob gilt: lim ǫn s i(t) = δ(t). Negative Entscheidungen müssen begründet werden! s (t) s (t) s (t) 3 /ε n /ε n /(3 ε n ) t - εn εn - εn εn - εn t ε n t (b) (3 Punkte) Gegeben sei eine einfache Funkübertragungstrecke bestehend aus Sender, Übertragungskanal und Empfänger. Der Pegel P S des Sendesignals betrage 3dBm, die Kanaldämpfung L S 33dB. (b) Wie groß ist die absolute Sendeleistung in Watt? (b) Welcher Pegel (dbm) ergibt sich für das Empfangssignal? (b3) Wie groß darf die absolute Rauschleistung (in mw) am Empfänger maximal sein, wenn dort ein minimales Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) von db nicht unterschritten werden soll? Hinweis: Zehnerpotenz Dezimalzahl (ger.) (c) (4 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe des Fourierintegrals, daß für das Spektrum der Zeitfunktion s ( t) gilt: F{s ( t)} = S (f), wobei S(f) = F{s(t)} das Spektrum von s(t) bezeichnet. Das Zeichen bedeutet konjugiert-komplex. Aufgabe : Analoge Modulation (a) (3 Punkte) Modulation bedeutet bekanntlich das Aufprägen eines Quellensignales auf einen Träger. Dabei entsteht aus einem Tiefpaß-Signal ein Bandpaß-Signal. Nennen Sie mindestens 3 Gründe für die Modulation von Signalen. (b) (4 Punkte) Das Quellensignal x(t) soll der Frequenz des Trägers aufgeprägt werden, was einer Frequenz-Modulation entspricht. Sommersemester 4

48 48 A PRÜFUNGEN (b) Schreiben Sie die Gleichung des frequenzmodulierten Signals s(t) im Zeitbereich auf. Für den Phasenverlauf ϕ(t) soll dabei gelten: ϕ(t) = k t x(u)du. (b) Berechnen Sie den Frequenzhub f des FM-Signals in Abhängigkeit von x(t).(hinweis: ω(t) = dϕ(t) dt ) (b3) Welche Aussage kann man zur Amplitude der Einhüllenden des modulierten Signals treffen? (b4) Nennen Sie ein Beispiel für FM aus dem Rundfunkbereich. (c) (3 Punkte) Nach Differentiation eines FM-Signals s(t) läßt sich zur Demodulation ein einfacher Empfänger verwenden, der eigentlich für eine andere Modulationsart entwickelt wurde. (c) Führen Sie die Differentiation g(t) = ds(t) dt durch. (c) In welchem Parameter des Signals g(t) ist das informationstragende Signal jetzt zusätzlich enthalten? (c3) Skizzieren Sie einen einfachen FM-Empfänger, der die Differentiations-Stufe enthält. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) ( Punkte) Ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t) werde durch einen Impuls x(t) angeregt. x(t) h(t) T T t T t Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t) = x(t) h(t) (keine Berechnung). (b) (6 Punkte) Gegeben sei ein nachrichtentechnisches System mit folgender Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal y(t) = a x(t) mit (b) a = a = konst. > (b) a = a(t) = cos(ω t+ϕ ) (b3) a = a(t) = δ(t nt ) n= Entscheiden Sie für jedes der so entstehenden Systeme, ob es sich um ein LTI-System handelt. Benennen Sie jeweils die Funktion dieser Systeme / Baugruppen. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

49 A.9 Prüfung SS 49 (c) ( Punkte) Weisen Sie nach, daß die Faltungsoperation x (t) x (t) kommutativ ist. D.h. es muß gelten Aufgabe 4: Abtasttheorem x (t τ)x (τ)dτ = x (τ)x (t τ)dτ (a) (4 Punkte) Sie haben ein Tiefpaßsignal s(t) mit dem Spektrum S(f) (siehe folgende Abb.) gegeben. Dieses TP-Signal wollen Sie mit Dirac-Impulsen der Rate /T ideal abtasten. S(f) f g f g Spektrum des TP-Signals (a) Wie groß darf die Grenzfrequenz f g des TP-Signals höchstens sein, um Aliasing zu vermeiden? (a) Geben Sie einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem durch Abtastung gewonnenen Signal s a (t) und dem Signal s(t) an. (a3) Skizzieren Sie das Spektrum S a (f) des Signals s a (t). (a4) Durch welche Baugruppe kann aus dem Signal s a (t) das Signal s(t) wiedergewonnen werden? (b) (6 Punkte) Sie haben nun ein reales Abtastsystem gemäß folgender Abb. gegeben. f s(t) s a,r (t) T T 3T 4T 5T Gegebener Abtastvorgang t (b) Geben Sie einen Ausdruck für das Signal s a,r (t) an. Hinweis: Überlegen Sie dabei, mit welcher Funktion das in Teilaufgabe (a) erhaltene Signal s a (t) gefaltet werden muß, damit die Signalwerte s(nt) jeweils die Zeitdauer T gehalten werden. (b) Geben Sie das dazugehörige Spektrum S a,r (f) in Abhängigkeit von dem Spektrum S(f) des Signals s(t) an. (b3) Skizzieren Sie den Betrag des Spektrums S a,r (f). Heben Sie dabei die Unterschiede gegenüber dem Spektrum des idealen Abtastsystems (siehe Teilaufgabe (a3)) hervor. Sommersemester 4

50 5 A PRÜFUNGEN Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (4 Punkte) Gegeben ist das quantisierte Basisbandsignal g(t) (siehe folgende Abb.). 4 Basisbandsignal g(t) --> Zeit t/t --> Basisbandsignal g(t) Bei dem Verfahren der digitalen Modulation wird dieses Signal einem sinusförmigen Träger s c (t) = A c sin(πf c t+ϕ c ) aufgeprägt. Dazu stehen verschiedene Modulationsverfahren zur Verfügung. (a) Eine einfache Methode ist die sog. Amplitudenumtastung (ASK Amplitude Shift Keying), bei der unterschiedliche Signalwerte des Basisbandsignals unterschiedlichen Amplituden der Trägerschwingung entsprechen. Stellen Sie das ASK-modulierte Signal grafisch dar. Gehen Sie davon aus, daß für Frequenz und Phase der Trägerschwingung gilt: f c = T (T Symboldauer), ϕ c =. (a) In folgender Abb. sind zwei Zeitverläufe digital modulierter Trägerschwingungen gegeben. Ordnen Sie den Sendesignalen und 3 das jeweils verwendete digitale Modulationsverfahren zu. Sendesignal s(t) --> - Sendesignal s(t) --> - (b) (3 Punkte) Zeit t/t --> Skript Einführung in die Nachrichtentechnik Zeit t/t --> Sendesignal Sendesignal 3

51 A.9 Prüfung SS 5 (b) Stellen Sie die Zustände des komplexen Basisbandsignals s TP (t) für die Modulationsarten QPSK (Quarternary Phase Shift Keying) 6-QAM (Quadrature Amplitude Modulation) in der komplexen Ebene (I/Q-Ebene, Phasenstern ) dar. (b) Wieviel Bit pro Symbol können bei der Modulationsart 6-QAM maximal übertragen werden? (c) (3 Punkte) Bei der Zweifrequenzumtastung (-FSK) wird durch das binäre Datensignal die Frequenz des Trägers zwischen zwei festen Werten f und f variiert. Zweckmäßigerweise wählt man die Frequenzen f und f orthogonal zueinander, so daß die Bedingung T cos(πf t)cos(πf t)dt = (A.6) erfüllt ist. Leiten Sie aus Gleichung (A.9) eine Bedingung für den Abstand f f der beiden Träger und den Wert der Frequenz f in Abhängigkeit von der Symboldauer T her. Hinweis: cos(α)cos(β) = [cos(α β)+cos(α+β)] Sommersemester 4

52 5 A PRÜFUNGEN A. Musterlösung zur Prüfung SS Aufgabe : Signaltheorie (a) s (t) : Nein, da s (t) : Ja. + s (t)dt =. s 3 (t) : Nein, da s 3 (t) nicht symmetrisch, d.h. s 3 (t)dt + s 3 (t)dt. ) PSabs (b) (b) P S = lg( dbm = P mw Sabs = P S dbmmw = mw = W (b) P E = P S L S = 3dBm (b3) Mit P R P E SNR E erhält man: P Rabs P E SNR E dbm mw =.3 mw.5mw (c) Nach Einsetzen in das Fourierintegral ergibt sich: F{s ( t)} = + s ( t)e jπft dt. Die Substitution t = t ( dt = dt ) liefert: F{s ( t)} = = = + [ + [ + = S (f) s (t )e jπf( t ) dt ] s(t )e jπf( t ) dt ] s(t )e jπft dt } {{ } S(f) Aufgabe : Analoge Modulation (a) Gründe für Modulation von Signalen: (3 Punkte) Verschiebung eines Signales in gewünschten Frequenzbereich/Kanal (z.b. UKW-Kanal, Fernseh-Kanal...) prinzipielle Realisierbarkeit einer Funkübertragung erfordert Antennen in der Größenordnung der Wellenlänge der Signale (z.b. f = MHz λ = c f = 3 8 m/s = 3m), 6 /s d.h. daß TP-Signale praktisch nicht direkt über Funk übertragbar sind oft wird Gleichstromfreiheit der Signale gefordert, wenn Übertrager gleichstromundurchlässig sind Unterdrückung von Störungen Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

53 A. Musterlösung zur Prüfung SS 53 Frequenzmultiplexing von Signalen zur Auslastung der Übertragungskanal-Bandbreite (b) (b) s(t) = A cos(ω t+ϕ(t)+ϕ ) = A cos(ω t+k t x(u)du+ϕ ) (b) Mit ω(t) = dϕ(t) = kx(t) = πf(t) ergibt sich der Frequenzhub für den maximalen dt Betrag von x(t) zu f = k x max π (b3) Da eine Modulation der Phase erfolgt, bleibt die Amplitude von s(t) konstant. (b4) Ein Beispiel für FM ist der UKW-Rundfunk. (c) (c) Mit s(t) = A cos(ω t+k t x(u)du) ergibt sich nach der Differentiation ds(t) dt t = A (ω +kx(t)) sin(ω }{{} t+k x(u)du) A(t) (c) Die Information des Quellensignals steht in A(t), dies ist äquivalent zu einer Amplituden-Modulation. (c3) Beispielsweise durch Hüllkurvendetektion läßt sich dieses Signal demodulieren. s(t) idealer BP Differentiator AM Demodulator TP x(t), demod. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) Skizze: y(t) T T 3T t qualitativ richtig quantitativ richtig (Achsenbeschriftung) (b) (b) LTI-System Skalierung / Verstärkung des Eingangssignals Verstärker Sommersemester 4

54 54 A PRÜFUNGEN (c) (b) kein LTI-System (zeitvariant) moduliert Eingangssignal Mischer (b3) kein LTI-System (zeitvariant) Eingangssignal wird mit Periode T abgetastet idealer Abtaster (. Schritt im AD- Wandler) x (t τ)x (τ)dτ = = = x (τ )x (t τ )dτ mit τ = t τ x (τ )x (t τ )dτ x (τ)x (t τ)dτ mit τ := τ Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (a) f g < T (a) s a (t) = s(t) (a3) Skizze n= δ(t nt) S a (f) /T n= f g f g Betragsspektrum S a (f) (a4) Analoges Interpolations-TP-Filter ( ) ( ) (b) (b) s a,r (t) = s(t) δ(t nt) rect t T/,PunktfürFaltung,Punktfürrichtige T Normierung ( (b) S a,r (f) = S(f) T n= /T f ( Punkte) δ ( f n T) ) T si(πft)e jπft, Punkt für richtige Anteile (S(f), Dirac-Kamm, si( )), Punkt für richtige Normierung ( Punkte) (b3) Skizze, Punkt für prinzipiell richtige Darstellung der Verzerrungen und Nullstellen bei n, Punkt für maßstäblich richtige Darstellung (Faktor /T) ( Punkte) T... si(πft) S a,r (f) T S a (f)... /T f g f g /T f Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

55 A. Musterlösung zur Prüfung SS 55 Betragsspektrum S a,r (f) Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (a) Darstellung des ASK-modulierten Sendesignals qualitativ richtig quantitativ richtig 4 3 Sendesignal s(t) --> Zeit t/t --> ASK-Sendesignal (a) Sendesignal : Frequenzumtastung (FSK - Frequency Shift Keying) Sendesignal 3: Phasenumtastung (PSK - Phase Shift Keying) (b) (b) (je Skizze Punkt) Q Q I I ( Punkte) QPSK 6-QAM Zustände des komplexen Basisbandsignals s TP (t) (b) 4 Bit pro Symbol (c) Aus [ T cos(π[f f ]t)dt } {{ } = T + ] cos(π[f +f ]t)dt = } {{ } = Sommersemester 4

56 56 A PRÜFUNGEN erhält man f f = k T mit k = ±,±,... (A.7) und f +f = l T mit l = ±,±,... und l k. (A.8) Durch Einsetzen von Glg. (A.) in (A.) ergibt sich schließlich f = n T mit n = l k Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

57 A. Prüfung WS / 57 A. Prüfung WS / Aufgabe : Signaltheorie (a) (3 Punkte) Entscheiden Sie für jede der Zeitfunktionen s (t), s (t) und s 3 (t), ob sie für ǫ n in den Diracimpuls δ(t) übergeht, d.h. ob gilt: lim ǫn s i(t) = δ(t). Negative Entscheidungen müssen begründet werden! s (t) s (t) s (t) 3 /ε n /ε n /(3 ε n ) t - εn εn - εn εn - εn t ε n t (b) (3 Punkte) Gegeben sei eine einfache Funkübertragungstrecke bestehend aus Sender, Übertragungskanal und Empfänger. Der Pegel P S des Sendesignals betrage 3dBm, die Kanaldämpfung L S 33dB. (b) Wie groß ist die absolute Sendeleistung in Watt? (b) Welcher Pegel (dbm) ergibt sich für das Empfangssignal? (b3) Wie groß darf die absolute Rauschleistung (in mw) am Empfänger maximal sein, wenn dort ein minimales Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) von db nicht unterschritten werden soll? Hinweis: Zehnerpotenz Dezimalzahl (ger.) (c) (4 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe des Fourierintegrals, daß für das Spektrum der Zeitfunktion s ( t) gilt: F{s ( t)} = S (f), wobei S(f) = F{s(t)} das Spektrum von s(t) bezeichnet. Das Zeichen bedeutet konjugiert-komplex. Aufgabe : Analoge Modulation (a) (3 Punkte) Modulation bedeutet bekanntlich das Aufprägen eines Quellensignales auf einen Träger. Dabei entsteht aus einem Tiefpaß-Signal ein Bandpaß-Signal. Nennen Sie mindestens 3 Gründe für die Modulation von Signalen. (b) (4 Punkte) Das Quellensignal x(t) soll der Frequenz des Trägers aufgeprägt werden, was einer Frequenz-Modulation entspricht. Sommersemester 4

58 58 A PRÜFUNGEN (b) Schreiben Sie die Gleichung des frequenzmodulierten Signals s(t) im Zeitbereich auf. Für den Phasenverlauf ϕ(t) soll dabei gelten: ϕ(t) = k t x(u)du. (b) Berechnen Sie den Frequenzhub f des FM-Signals in Abhängigkeit von x(t).(hinweis: ω(t) = dϕ(t) dt ) (b3) Welche Aussage kann man zur Amplitude der Einhüllenden des modulierten Signals treffen? (b4) Nennen Sie ein Beispiel für FM aus dem Rundfunkbereich. (c) (3 Punkte) Nach Differentiation eines FM-Signals s(t) läßt sich zur Demodulation ein einfacher Empfänger verwenden, der eigentlich für eine andere Modulationsart entwickelt wurde. (c) Führen Sie die Differentiation g(t) = ds(t) dt durch. (c) In welchem Parameter des Signals g(t) ist das informationstragende Signal jetzt zusätzlich enthalten? (c3) Skizzieren Sie einen einfachen FM-Empfänger, der die Differentiations-Stufe enthält. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) ( Punkte) Ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t) werde durch einen Impuls x(t) angeregt. x(t) h(t) T T t T t Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t) = x(t) h(t) (keine Berechnung). (b) (6 Punkte) Gegeben sei ein nachrichtentechnisches System mit folgender Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal y(t) = a x(t) mit (b) a = a = konst. > (b) a = a(t) = cos(ω t+ϕ ) (b3) a = a(t) = δ(t nt ) n= Entscheiden Sie für jedes der so entstehenden Systeme, ob es sich um ein LTI-System handelt. Benennen Sie jeweils die Funktion dieser Systeme / Baugruppen. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

59 A. Prüfung WS / 59 (c) ( Punkte) Weisen Sie nach, daß die Faltungsoperation x (t) x (t) kommutativ ist. D.h. es muß gelten Aufgabe 4: Abtasttheorem x (t τ)x (τ)dτ = x (τ)x (t τ)dτ (a) (4 Punkte) Sie haben ein Tiefpaßsignal s(t) mit dem Spektrum S(f) (siehe folgende Abb.) gegeben. Dieses TP-Signal wollen Sie mit Dirac-Impulsen der Rate /T ideal abtasten. S(f) f g f g Spektrum des TP-Signals (a) Wie groß darf die Grenzfrequenz f g des TP-Signals höchstens sein, um Aliasing zu vermeiden? (a) Geben Sie einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem durch Abtastung gewonnenen Signal s a (t) und dem Signal s(t) an. (a3) Skizzieren Sie das Spektrum S a (f) des Signals s a (t). (a4) Durch welche Baugruppe kann aus dem Signal s a (t) das Signal s(t) wiedergewonnen werden? (b) (6 Punkte) Sie haben nun ein reales Abtastsystem gemäß folgender Abb. gegeben. f s(t) s a,r (t) T T 3T 4T 5T Gegebener Abtastvorgang t (b) Geben Sie einen Ausdruck für das Signal s a,r (t) an. Hinweis: Überlegen Sie dabei, mit welcher Funktion das in Teilaufgabe (a) erhaltene Signal s a (t) gefaltet werden muß, damit die Signalwerte s(nt) jeweils die Zeitdauer T gehalten werden. (b) Geben Sie das dazugehörige Spektrum S a,r (f) in Abhängigkeit von dem Spektrum S(f) des Signals s(t) an. (b3) Skizzieren Sie den Betrag des Spektrums S a,r (f). Heben Sie dabei die Unterschiede gegenüber dem Spektrum des idealen Abtastsystems (siehe Teilaufgabe (a3)) hervor. Sommersemester 4

60 6 A PRÜFUNGEN Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (4 Punkte) Gegeben ist das quantisierte Basisbandsignal g(t) (siehe folgende Abb.). 4 Basisbandsignal g(t) --> Zeit t/t --> Basisbandsignal g(t) Bei dem Verfahren der digitalen Modulation wird dieses Signal einem sinusförmigen Träger s c (t) = A c sin(πf c t+ϕ c ) aufgeprägt. Dazu stehen verschiedene Modulationsverfahren zur Verfügung. (a) Eine einfache Methode ist die sog. Amplitudenumtastung (ASK Amplitude Shift Keying), bei der unterschiedliche Signalwerte des Basisbandsignals unterschiedlichen Amplituden der Trägerschwingung entsprechen. Stellen Sie das ASK-modulierte Signal grafisch dar. Gehen Sie davon aus, daß für Frequenz und Phase der Trägerschwingung gilt: f c = T (T Symboldauer), ϕ c =. (a) In folgender Abb. sind zwei Zeitverläufe digital modulierter Trägerschwingungen gegeben. Ordnen Sie den Sendesignalen und 3 das jeweils verwendete digitale Modulationsverfahren zu. Sendesignal s(t) --> - Sendesignal s(t) --> - (b) (3 Punkte) Zeit t/t --> Skript Einführung in die Nachrichtentechnik Zeit t/t --> Sendesignal Sendesignal 3

61 A. Prüfung WS / 6 (b) Stellen Sie die Zustände des komplexen Basisbandsignals s TP (t) für die Modulationsarten QPSK (Quarternary Phase Shift Keying) 6-QAM (Quadrature Amplitude Modulation) in der komplexen Ebene (I/Q-Ebene, Phasenstern ) dar. (b) Wieviel Bit pro Symbol können bei der Modulationsart 6-QAM maximal übertragen werden? (c) (3 Punkte) Bei der Zweifrequenzumtastung (-FSK) wird durch das binäre Datensignal die Frequenz des Trägers zwischen zwei festen Werten f und f variiert. Zweckmäßigerweise wählt man die Frequenzen f und f orthogonal zueinander, so daß die Bedingung T cos(πf t)cos(πf t)dt = (A.9) erfüllt ist. Leiten Sie aus Gleichung (A.9) eine Bedingung für den Abstand f f der beiden Träger und den Wert der Frequenz f in Abhängigkeit von der Symboldauer T her. Hinweis: cos(α)cos(β) = [cos(α β)+cos(α+β)] Sommersemester 4

62 6 A PRÜFUNGEN A. Musterlösung zur Prüfung WS / Aufgabe : Signaltheorie (a) s (t) : Nein, da s (t) : Ja. + s (t)dt =. s 3 (t) : Nein, da s 3 (t) nicht symmetrisch, d.h. s 3 (t)dt + s 3 (t)dt. ) PSabs (b) (b) P S = lg( dbm = P mw Sabs = P S dbmmw = mw = W (b) P E = P S L S = 3dBm (b3) Mit P R P E SNR E erhält man: P Rabs P E SNR E dbm mw =.3 mw.5mw (c) Nach Einsetzen in das Fourierintegral ergibt sich: F{s ( t)} = + s ( t)e jπft dt. Die Substitution t = t ( dt = dt ) liefert: F{s ( t)} = = = + [ + [ + = S (f) s (t )e jπf( t ) dt ] s(t )e jπf( t ) dt ] s(t )e jπft dt } {{ } S(f) Aufgabe : Analoge Modulation (a) Gründe für Modulation von Signalen: (3 Punkte) Verschiebung eines Signales in gewünschten Frequenzbereich/Kanal (z.b. UKW-Kanal, Fernseh-Kanal...) prinzipielle Realisierbarkeit einer Funkübertragung erfordert Antennen in der Größenordnung der Wellenlänge der Signale (z.b. f = MHz λ = c f = 3 8 m/s = 3m), 6 /s d.h. daß TP-Signale praktisch nicht direkt über Funk übertragbar sind oft wird Gleichstromfreiheit der Signale gefordert, wenn Übertrager gleichstromundurchlässig sind Unterdrückung von Störungen Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

63 A. Musterlösung zur Prüfung WS / 63 Frequenzmultiplexing von Signalen zur Auslastung der Übertragungskanal-Bandbreite (b) (b) s(t) = A cos(ω t+ϕ(t)+ϕ ) = A cos(ω t+k t x(u)du+ϕ ) (b) Mit ω(t) = dϕ(t) = kx(t) = πf(t) ergibt sich der Frequenzhub für den maximalen dt Betrag von x(t) zu f = k x max π (b3) Da eine Modulation der Phase erfolgt, bleibt die Amplitude von s(t) konstant. (b4) Ein Beispiel für FM ist der UKW-Rundfunk. (c) (c) Mit s(t) = A cos(ω t+k t x(u)du) ergibt sich nach der Differentiation ds(t) dt t = A (ω +kx(t)) sin(ω }{{} t+k x(u)du) A(t) (c) Die Information des Quellensignals steht in A(t), dies ist äquivalent zu einer Amplituden-Modulation. (c3) Beispielsweise durch Hüllkurvendetektion läßt sich dieses Signal demodulieren. s(t) idealer BP Differentiator AM Demodulator TP x(t), demod. Aufgabe 3: LTI-Systeme (a) Skizze: y(t) T T 3T t qualitativ richtig quantitativ richtig (Achsenbeschriftung) (b) (b) LTI-System Skalierung / Verstärkung des Eingangssignals Verstärker Sommersemester 4

64 64 A PRÜFUNGEN (c) (b) kein LTI-System (zeitvariant) moduliert Eingangssignal Mischer (b3) kein LTI-System (zeitvariant) Eingangssignal wird mit Periode T abgetastet idealer Abtaster (. Schritt im AD- Wandler) x (t τ)x (τ)dτ = = = x (τ )x (t τ )dτ mit τ = t τ x (τ )x (t τ )dτ x (τ)x (t τ)dτ mit τ := τ Aufgabe 4: Abtasttheorem (a) (a) f g < T (a) s a (t) = s(t) (a3) Skizze n= δ(t nt) S a (f) /T n= f g f g Betragsspektrum S a (f) (a4) Analoges Interpolations-TP-Filter ( ) ( ) (b) (b) s a,r (t) = s(t) δ(t nt) rect t T/,PunktfürFaltung,Punktfürrichtige T Normierung ( (b) S a,r (f) = S(f) T n= /T f ( Punkte) δ ( f n T) ) T si(πft)e jπft, Punkt für richtige Anteile (S(f), Dirac-Kamm, si( )), Punkt für richtige Normierung ( Punkte) (b3) Skizze, Punkt für prinzipiell richtige Darstellung der Verzerrungen und Nullstellen bei n, Punkt für maßstäblich richtige Darstellung (Faktor /T) ( Punkte) T... si(πft) S a,r (f) T S a (f)... /T f g f g /T f Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

65 A. Musterlösung zur Prüfung WS / 65 Betragsspektrum S a,r (f) Aufgabe 5: Digitale Modulation (a) (a) Darstellung des ASK-modulierten Sendesignals qualitativ richtig quantitativ richtig 4 3 Sendesignal s(t) --> Zeit t/t --> ASK-Sendesignal (a) Sendesignal : Frequenzumtastung (FSK - Frequency Shift Keying) Sendesignal 3: Phasenumtastung (PSK - Phase Shift Keying) (b) (b) (je Skizze Punkt) Q Q I I ( Punkte) QPSK 6-QAM Zustände des komplexen Basisbandsignals s TP (t) (b) 4 Bit pro Symbol (c) Aus [ T cos(π[f f ]t)dt } {{ } = T + ] cos(π[f +f ]t)dt = } {{ } = Sommersemester 4

66 66 A PRÜFUNGEN erhält man f f = k T mit k = ±,±,... (A.) und f +f = l T mit l = ±,±,... und l k. (A.) Durch Einsetzen von Glg. (A.) in (A.) ergibt sich schließlich f = n T mit n = l k Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

67 A.3 Nachprüfung WS / 67 A.3 Nachprüfung WS / Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (4 Punkte) Entscheiden und begründen Sie für jedes der (durch Real- und Imaginärteil) gegebenen Spektren S i (f) = F {s i (t)}, ob die zugehörige Zeitfunktion s i (t) rein reell ist. S (f) S (f) S (f) 3 Re{ S (f) } Re{ S (f)} Re{ S 3(f) } - f f - f f f - f f f f Im{ S (f) } Im{ S (f)} Im{ S 3(f) } (b) (5 Punkte) Eine Mobilstation (Handy) sendet ein Signal zur Basisstation. Die Sendeleistung P S der Mobilstation betrage.5 Watt, der Pegel L E des von der Basisstation empfangenen Signals 3dBm. (b) Berechnen Sie den Sendepegel L S in dbm. (b) Wie groß ist die Leistung P E des empfangenen Signals in mw? (b3) Welche Funkkanaldämpfung L D (in db!!) ergibt sich? (b4) Wie groß ist der Signal-Rausch-Abstand (SN R) in db an der Basisstation, wenn der Rauschpegel L R dort -dbm beträgt? Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b) x y (ger.) lg(x) (gerundet) y (c) (6 Punkte) Gegeben sei ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t). Es werde durch den Eingangsimpuls x(t) angeregt. Das Ausgangssignal sei mit y(t) bezeichnet. h(t) T x(t) - T T t T t Hinweis: Die nachfolgenden Teilaufgaben können gelöst werden, ohne den kompletten Verlauf von y(t) explizit zu berechnen. Sommersemester 4

68 68 A PRÜFUNGEN (c) Entscheiden und begründen Sie, ob das gegebene LTI-System kausal ist. (c) Formulieren Sie den mathematischen Zusammenhang (Gleichung) zur Berechnung von y(t) aus x(t) und h(t) im Zeitbereich und benennen Sie diese Operation. (c3) Wie lang ist der Ausgangsimpuls? (c4) In welchem Zeitraum wird das Ausgangssignal y(t) maximal? (c5) Wie groß ist die maximale Amplitude von y(t)? (c6) Welcher prinzipielle funktionale Zusammenhang(konstant, linear, quadratisch, kubisch,...) besteht zwischen den Werten des Ausgangssignals y(t) und der Zeit t im Zeitraum T < t <? Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (3 Punkte) Ein analoges Tiefpaßsignal s(t) mit der Grenzfrequenz f g am Eingang eines A/D-Wandlers soll digital weiterverarbeitet werden. (a) Welche zwei grundlegenden Signaleigenschaften kennzeichnen ein Digitalsignal? (a) Geben Sie die Bedingung für die Abtastrate f a an, damit kein Aliasing auftritt. Wie heißt diese Bedingung? (b) (4 Punkte) Das Betragsspektrum eines Audiosignals s(t) ist in folgender Abbildung dargestellt. Es wird mit einer idealen Dirac-Kammfolge der Rate f a = /T a = khz abgetastet. S(f) f/khz Betragsspektrum S(f) von s(t) zu Aufgabe (b) (b) Wie lautet der mathematische Zusammenhang zwischen dem abgetasteten Signal s a (t) und ursprünglichen Signal s(t)? (b) Wie lautet der mathematische Zusammenhang zwischen den Spektren S a (f) und S(f)? (b3) Skizzieren Sie das Betragsspekrum des abgetasteten Signals im Bereich von 5 khz f 5 khz (mit Achsenbeschriftung) (c) (3Punkte)AusdemabgetastetenSignals a (t)solldasursprünglichesignals(t)rekonstruiert werden, um es per Lautsprecher anzuhören. (c) Von welcher Filterart muß ein dem D/A-Wandler folgendes Filter sein und in welchem Bereich darf die Grenzfrequenz f g,out des Filters liegen, damit ein unverfälschtes Signal zu hören ist? Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

69 A.3 Nachprüfung WS / 69 (c) DasFilteramAusgangdesD/A-WandlershabeeineGrenzfrequenzvonf g,out = khz. Am Eingang des A/D-Wandlers liege nun zusätzlich zum Audiosignal s(t) ein Sinuston s sin (t) mit einer Frequenz von f sin = 6 khz an. Bei welcher Frequenz ist jetzt der Sinuston am Lautsprecher zu hören? Begründen Sie! Hinweis: Es wurde hier auf ein Tiefpaß am Eingang des A/D-Wandlers verzichtet. Aufgabe 3: Analoge Modulation Das Signal s(t) liegt am Eingang eines Amplituden-Modulators an. Am Ausgang entsteht das Bandpaßsignal s BP (t) = (A +s(t))cosπf c t mit A R. (a) (3 Punkte) (a) Geben Sie S BP (f) in Abhängigkeit von S(f) als Gleichung an. (a) Gegeben sei das in der folgenden Abbildung dargestellte Betragsspektrum S(f) = F {s(t)}. Skizzieren Sie das Betragsspektrum S BP (f) für f c = 4f g. Beschriften Sie Frequenzen und Amplituden! S(f) S f g (b) (8 Punkte) Gegeben sei nun das Signal s(t) = sin(πtf s ) mit (f s = /T s ) am Eingang des Modulators. (b) Skizzieren Sie das Quellensignal s(t) für eine Periode im Intervall t < T s. Am Ausgang des Modulators entsteht das dargestellte Bandpaßsignal s BP (t) = (A +s(t))cosπf c t für t T s. f g 3 sbp(t) t/t s (b) Wie groß ist die Trägerfrequenz f c des BP-Signals s BP (t) in Abhängigkeit von f s in der Abbildung gewählt? (b3) Wie groß ist der Gleichanteil A des BP-Signals s BP (t) in der Abbildung gewählt? Sommersemester 4

70 7 A PRÜFUNGEN (b4) Zeichnen Sie die Einhüllende A +s(t) des BP-Signals s BP (t) in die Abbildung ein. (b5) Zeichnen Sie das Blockschaltbild eines Hüllkurvendemodulators. Benennen Sie die Baugruppen. Beschreiben Sie kurz (in Stichworten) die Aufgabe der einzelnen Filter. (b6) Eignet sich der Hüllkurvendemodulator zur Demodulation des oben dargestellten Bandpaßsignals? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (5 Punkte) (a) Nennen Sie 3 verschiedene digitale Modulationsarten mit denen Bit/Symbol übertragen werden können und erläutern Sie in welchem Parameter des Bandpaßsignals die Information steckt. (a) Geben Sie zu dieser Modulationsarten das Phasendiagramm des Sendesignals an. (b) (7 Punkte) Betrachten Sie die Bitfolge {,,,,,,,,,} und den Fall der QPSK-Modulation mit der in der Skizze angegebenen Symbolzuordnung der Datendibits d {k} auf die Sendesymbole b{k} in der I-Q-Ebene. Q (,) + (,) + (,) I d {k} b{k} = I{k}+jQ{k} (,) (b) Geben sie die Wertefolgen I{k}, Q{k} an, die auf den I- und Q-Zweigen übertragen werden, indem Sie die gegebene Bitfolge in Dibits einteilen und die in in der Abbildung definierte Symbolzuordnung verwenden. (b) Zur Impulsformung werden Rechteckimpulse der Länge T s (T s Symboldauer) verwendet (harte Umtastung). Zeichnen Sie die Zeitverläufe der Signale, die zur Modulation der Inphase- und der Quadraturphasekomponenten bei QPSK benutzt werden (I{k} s I (t), Q{k} s Q (t))? (b3) NehmenSiean,dieTrägerfrequenzseigegebendurchf c = /T s.stellensiedenzeitverlauf des unmodulierten Trägersignals s c (t) und des QPSK-modulierten Signals s BP (t) für die ersten drei Sendesymbole dar. (c) ( Punkte) Es soll nun BPSK-Modulation betrachtet werden. Für diese Modulationsform läßt sich die Bitfehlerrate in Abhängigkeit von der Energie eines empfangenen Symbols (Bits) s und der Varianz σ eines weißen gaußschen Rauschprozesses durch die Formel ( BER = erfc s angeben. Benutzen Sie die in der Tabelle angegebenen Werte für die σ ) komplementäre Fehlerfunktion und nehmen Sie an, die (dimensionslose) Symbolamplitude betrage s = 4. und der Wert der Varianz sei σ =.. x erfc(x) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

71 A.3 Nachprüfung WS / 7 Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit, wenn (c) das Signal phasensynchron empfangen wird? (c) im Empfänger ein Phasenfehler von 9 vorliegt? Sommersemester 4

72 7 A PRÜFUNGEN A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS / Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) S (f) : Ja, s (t) ist rein reell, da Re{S (f)} achsensymmetrisch, d.h. eine gerade Funktion der Frequenz ist und Im{S (f)} punktsymmetrisch, d.h. eine ungerade Funktion der Frequenz ist. S (f) : Nein, s (t) ist nicht rein reell, da Im{S (f)} nicht punktsymmetrisch, d.h. keine ungerade Funktion der Frequenz ist. S 3 (f) : Nein, s 3 (t) ist nicht rein reell, da Im{S 3 (f)} nicht punktsymmetrisch, d.h. keine ungerade Funktion der Frequenz ist bzw. Re{S 3 (f)} nicht achsensymmetrisch, d.h. keine gerade Funktion der Frequenz ist. (b) (b) ( ) PS L S = lg dbm = lg mw = [lg(5) + lg()]dbm 7dBm ( ) 5mW dbm mw (b) P E = L E dbm mw =.3 mw mw (b3) L D = L S L E 7dBm 3dBm 4dB (b4) SNR = L E L R 3 dbm ( dbm) 3 db (c) (c) Das System ist nicht kausal, da h(t) für t <. (c) y(t) = h(t) x(t), Faltung (Gleichung und Bezeichnung gefordert) (c3) 3T (Summe der Dauer der Impulsantwort und der Dauer des Eingangsimpulses) (c4) T t 3 T (grafisch lösbar) (c5) Für T t 3 T gilt: y(t) = h(τ)x(t τ)dτ = T T h(τ) d τ Dreiecksflächeninhalt = (c6) quadratisch Für T < t < gilt: y(t) = h(τ)x(t τ)dτ = t h(τ)dτ T = Integral über lineare Funktion liefert quadratische Funktion. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

73 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS / 73 Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) zeitdiskret und wertdiskret (beide Eigenschaften müssen genannt werden) (a) f a f g oder f a > f g Abtasttheorem oder Nyquist-Rate oder Shannon-Rate oder Sampling-Theorem (b) (b) (min. eine der beiden Beziehungen muß genannt werden) s a (t) = s(t) T a δ(t nt a ) (b) (min. eine der Beziehungen muß genannt werden) S a (f) = S(f) δ(f nf a ) = s(t)t a X Ta (t) n= = S(f) X (f) Ta = S(f nf a ) n= (b3) Skizze qualitativ richtig (Spektrenvervielfachung) Skizze quantitativ richtig (Spektren an richtiger Stelle, Achsenbeschriftung) S a (f) f/khz Betragsspektrum von s a (t) (c) (c) analoges Tiefpaßfilter (Rekonstuktions- oder Interpolationsfilter) mit einer Grenzfrequenz zwischen 8 khz f g,out khz (c) Der Ton ist bei 4 khz zu hören. Durch das Abtasten entstehen Spektrallinien bei nf a ±f sin, n Z. Im Durchlaßbereich destiefpasses f < f TP liegennurdiespektrallinienf a f sin = 4 khzund fa+f sin = 4 khz. S a (f) f/khz Aliasingeffekt Sommersemester 4

74 74 A PRÜFUNGEN (Erklärung oder Skizze) Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) S BP (f) = ( A δ(f)+s(f) ) ( ) (δ(f +f c)+δ(f f c )) oder = A ( δ(f +fc )+δ(f f c ) ) + ( S(f +fc )+S(f f c ) ) (a) Skizze (Betragsspektrum S BP (t) ) qualitativ richtig quantitativ richtig S BP (f) A S 5f g 4f g 3f g 3f g 4f g 5f g (b) (b) Skizze qualitativ und quantitativ richtig 3 s(t) t/t s (b) f c = f s (b3) Z.B. für t = ergibt sich s BP () = A +s() A = s BP () s() = = (b4) Einhüllende ist korrekt in die Abbildung auf dem Aufgabenblatt einzuzeichnen. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

75 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung WS / 75 3 s(t) t/t s (b5) Blockschaltbild (richtige Baugruppen und richtige Anordnung der Baugruppen) (Eingangsbandpaßfilter ist optional) s BP (t) BP TP HP s(t) BP-Filter Gleichrichter TP-Filter HP-Filter Bandpaß: Nachbarkanalunterdrückung, Bandbegrenzung Tiefpaß: Rekonstruktion der Hüllkurve Hochpaß: Unterdrückung des Gleichanteils (b6) Da hier keine Übermodulation auftritt (µ < ), reicht ein einfacher Hüllkurvendemodulator für die Demodulation aus. (Mit Hilfe eines Synchrondemodulators kann ebenfalls demoduliert werden.) Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Folgende Modulationsarten sind z.b. möglich: 4-ASK (Amplitude trägt Information), 4-FSK (Frequenz trägt Information), 4-PSK bzw. QPSK (Phase trägt Information). (komplexe Einhüllende wird auch akzeptiert) (a) mögliche Phasendiagramme für QPSK bzw. 4-ASK Q Q Q I I I QPSK, ϕ = π/4 QPSK, ϕ = 4-ASK Sommersemester 4

76 76 A PRÜFUNGEN (b) (b) Die Aufteilung in Dibits ergibt d {k} = {(,),(,),(,),(,),(,)}. Nach der Zuordnung zu den Symbolen b{k} = I{k} + jq{k} lauten die Sequenzen der I- und Q-Komponenten: I{k} = {,,,,} sowie Q{k} = {,,,,}. (b) Zeitverlauf der I- und Q-Komponenten: I{k} s I (t) = k I{k} rect(t/t s k /) (oder auch s I (t) = k I{k} rect(t/t s k)), Q{k} s Q (t) Skizze für I-Komponente (Rechteckimpulsformung muß erkennbar sein) Skizze für Q-Komponente (Rechteckimpulsformung muß erkennbar sein) S I S Q t/t S t/t S (b3) Zeitverlauf der modulierten QPSK-Trägerschwingung: Beziehung zwischen Trägersignal und Symboldauer korrekt ( Perioden/Symbol) moduliertes Signal und Phasenübergänge qualitativ richtig moduliertes Signal und Phasenübergänge quantitativ richtig s BP (t), s C (t) Träger moduliertes Signal - 3 t/t S (c) (c) Für synchronen Empfang wird das Argument der Fehlerfunktion x =. und somit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit BER = (c) Bei einer Phasendrehung um 9 wird die Symbolenergie zu Null. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit /, da die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß der Detektor ein Symbol(Empfangsvektor) einer Null oder Eins zuordnet gerade gleich groß ist. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

77 A.5 Nachprüfung SS 77 A.5 Nachprüfung SS Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme Hinweis: Teilaufgabe (b) und (c) können unabhängig von (a) gelöst werden. (a) (5 Punkte) Ein Mittelwellensender (MW-Sender) in Braunschweig strahlt eine Sendung des Deutschlandfunks mit einer Sendeleistung von P T = kw aus. (a) Äquivalent läßt sich die Sendeleistung P T auch als Pegel L PT angeben. Wie groß ist der Sendepegel L PT in dbm? Sie empfangen diese Sendung mit ihrem MW-Radio in Dresden. Die Funkkanaldämpfung L A soll zu ( ) d L A = 3lg 3 db km angenommen werden, wobei d den Abstand zwischen Sender und Empfänger bezeichnet (Distanz Braunschweig Dresden: 5 km). (a) Welche Funkkanaldämpfung L A (zwischen Braunschweig und Dresden) ergibt sich? (a3) Berechnen Sie den Empfangspegel L PR in dbm für ihr MW-Radio in Dresden. Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b) x y (ger.) lg(x) (gerundet) y (b) (5 Punkte) Gegeben sei folgender Rechteckimpuls s(t) für t < T s(t) = für t = T sonst (b) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von s(t) (Achsen beschriften). (b) Geben Sie die Fouriertransformierte S(f) = F {s(t)} an. (b3) Skizzieren Sie den Betrag S(f) der Fouriertransformierten (Betragsspektrum). Achten Sie auf die Achsenbeschriftung. (b4) Könnte das Signal s(t) die Impulsantwort eines kausalen Systems sein? Begründen Sie Ihre Aussage. (c) (5 Punkte) Gegeben sei ein (nachrichtentechnisches) System mit folgender Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal y(t) = T T x(t+τ)dτ mit T > Entscheiden und begründen Sie, ob dieses System die Eigenschaften Sommersemester 4

78 78 A PRÜFUNGEN (c) Linearität, (c) Kausalität besitzt. (c3) Benennen Sie die Funktion (oder Namen) dieses Systems. Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (7 Punkte) Gegeben sei ein ideales Abtastsystem für Tiefpaßsignale mit der Abtastfrequenz f s = T s (s. Skizze). Das Eingangssignal s(t) besitze das unten dargestellte Betragsspektrum S(f). s(t) h(t) s s (t) S(f) A T s n= δ(t nt s ) f gs f gs f (a) Benennen Sie Art und Funktion des Filters h(t). (a) Formulieren Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen dem abgetasteten Signal s s (t) und dem Signal s(t) im Zeitbereich. (a3) Geben Sie das Spektrum S s (f) des abgetasteten Signals in Abhängigkeit von S(f), dem Spektrum des Originalsignals, an. (a4) Wählen Sie eine Abtastfrequenz f s und zeichnen Sie S s (f) für das gegebene Betragsspektrum ( S(f) und die spezielle Filterübertragungsfunktion f H(f) = F {h(t)} = rect f gs ). Achten Sie hierbei auf die Achsenbeschriftung!!! (a5) Wie sind allgemein die Grenzfrequenz f gs des Eingangssignals, die Grenzfrequenz f gh des (idealen) Filters h(t) und die Abtastfrequenz f s in Abhängigkeit von einander zu wählen, damit das Signal s(t) verzerrungsfrei aus s s (t) rekonstruiert werden kann? (b) (3 Punkte) An dem Abtastsystem liegt nun ein Signalgemisch s (t) aus dem Tiefpaßnutzsignal s SOI (t) und dem Bandpaßstörsignal s INT (t) mit dem unten dargestellten Betragsspektruman.DasFilterh(t)istsoeingestellt,daßalleSpektralanteilefürf < 3kHzunverändert durchgelassen werden. Der maximale Wert der Abtastfrequenz ist aus praktischen Gründen auf 3 khz begrenzt. S (f) S INT (f) S INT (f) S SOI (f) f khz Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

79 A.5 Nachprüfung SS 79 (b) Welche obere und untere Grenze ergibt sich für die Abtastfrequenz f s für den Fall, daß das Nutzsignal s SOI (t) verzerrungsfrei aus s s (t) rekonstruiert werden soll? (b) Geben Sie Art und Grenzfrequenz des benötigten (idealen) Rekonstruktionsfilters an. Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (5 Punkte) Bei der Amplitudenmodulation wird ein Quellensignal s(t) additiv der Amplitude A des Trägersignals s c (t) = A cos(πf c t) aufgeprägt. (a) Geben Sie eine Gleichung an, die diesen Zusammenhang beschreibt. (a) Muß das Spektrum des Quellensignals s(t) bandbegrenzt sein? Wenn ja, geben Sie die obere Grenzfrequenz an. Wenn nein, warum nicht. (a3) Ist das Spektrum des modulierten Signal s AM (t) ein Tief-, Band- oder Hochpaßsignal? (a4) Geben Sie eine konkrete Anwendung an, in der Amplitudenmodulation eingesetzt wird. (b) (3 Punkte) (b) Geben Sie die Definition des Modulationsindex µ in Abhängigkeit von s(t) an. (b) Was bedeutet ein Modulationsindex von µ für die Demodulation? (b3) Bestimmen Sie den Modulationsindex aus der folgenden Abbildung. Dabei sei das modulierende Signal ein mittelwertfreies periodisches Signal in T. s AM (t) T /4T /T 3/4T T /4T /T 3/4T T t (c) (3 Punkte) Gegeben sei ein nicht kohärenter AM-Überlagerungsempfänger (Hüllkurvendemodulator) gemäß folgender Abbildung. Dabei soll das Eingangssignal s i (t) mit Hilfe des Oszillatorsignals s m (t) = cos(πf m t) auf eine konstante Zwischenfrequenz f IF gemischt und anschließend mit Hilfe von einem Bandpaßfilter (BP), Gleichrichter, Tiefpaß- (TP) und Hochpaßfilter (HP) demoduliert werden. Hüllkurvendemodulator s i (t) f IF s o (t) BP TP HP + Nachbarkanäle (+ Rauschen) s m (t) (c) Wie groß ist die Oszillatorfrequenz f m in Abhängigkeit von der Trägerfrequenz f c und der Zwischenfrequenz f IF für f m < f IF < f c zu wählen? Sommersemester 4

80 8 A PRÜFUNGEN (c) Durch dieses Mischprinzip wird noch ein weiteres Signal bei der Spiegelfrequenz f mf empfangen und auf dieselbe Zwischenfrequenz gemischt. Wie groß ist f mf in Abhängigkeit von f c und f m für f m < f IF < f c? (c3) Wie kann der Empfang der störenden Spiegelfrequenzen vermieden werden? Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (6 Punkte) Die Bitfolge d{k} = {} soll durch zweiwertige (binäre) digitale Modulationsverfahren übertragen werden. Das Trägersignal ist sinusförmig s c (t) = Acos(πf c +ϕ). (a) Nennen Sie drei mögliche zweiwertige digitale Modulationsverfahren. Die Folge wird durch rechteckige Impulse mit der Dauer T geformt. Die Bitrate beträgt T. (a) Skizzieren Sie jeweils für diese drei Verfahren die qualitativen Zeitverläufe des modulierten Trägersignals (Sendesignals, Bandpaßsignals). (b) (5 Punkte) Es soll jetzt die Übertragung mit QPSK Modulation betrachtet werden. (b) Zeichnen Sie das Phasendiagramm der QPSK-Modulation (b) Durch einen Synchronisationsfehler ergibt sich jetzt eine dem Empfänger unbekannte Phasendrehung von +45 und +9. Zeichnen sie die beiden Phasendiagramme am Empfänger. (b3) Ist noch eine korrekte Detektion möglich? Begründen Sie Ihre Entscheidung für beide Fälle! Hinweis: Achten Sie auch hier auf die Achsenbeschriftung! (c) (3 Punkte) Es soll nun BPSK-Modulation betrachtet werden. Die Symbole {d,d }, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgesendet werden, haben am Eingang des Detektors die Signalenergie s. Die Empfangssymbole sind mit weißem gaußschen Rauschen der Varianz σ überlagert. σ ) (c) Zeichnen Sie (qualitativ) die bedingten Amplitudendichteverteilungen f(r E d ) und f(r E d ) der Abtastwerte am Eingang des Detektors. ( (c) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann durch die Formel BER = erfc s berech- net werden. Bestimmen Sie diese für die Symbolamplitude s = 6 mv und für die Varianz σ = 9 (mv) Hinweis: Die komplementäre Fehlerfunktion ist im Diagramm gegeben. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

81 A.5 Nachprüfung SS 8 y=erfc(x) x Komplementäre Fehlerfunktion Sommersemester 4

82 8 A PRÜFUNGEN A.6 Musterlösung zur Nachprüfung SS Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) P T = kw = 5 W = 8 mw ( ) PT L PT = lg dbm mw ( ) 8 mw = lg dbm mw = lg( 8 ) dbm = (lg( 8 )+lg()) dbm = (8+lg()) dbm = 83 dbm (a) ( L A = 3lg 3 ) 5 km db km = 3lg(75) db = 3lg(7.5 3 ) db = 3(lg(7.5)+lg( 3 )) db = 3(.9+3) db = (7+9) db = 7 db (a3) Die Dämpfung D ergibt sich aus dem Verhältnis von Sende- und Empfangsleistung: D = P T P R L A = L PT L PR L PR = L PT L A = 83 dbm 7 db = 34 dbm (b) (b) qualitativ und quantitativ (Achsenbeschriftung) richtig s(t) T (b) Folgende Korrespondenz der Fouriertransformation(FT) ist bekannt: rect(t) si(πf) (mit t, f als dimensionslose Größen) Weiterhin wird aus obiger Skizze ersichtlich, daß s(t) = rect(t/t) gilt. Unter Ausnutzung des Ähnlichkeitssatzes der FT läßt sich damit die Fouriertransformierte angebern zu F {s(t)} = S(f) = T si(πft) T t Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

83 A.6 Musterlösung zur Nachprüfung SS 83 Alternativ kann die Fouriertransformierte auch explizit berechnet werden. S(f) = s(t)e jπft dt = T/ T/ e jπft dt = e jπft/ e jπft/ = sin(πft) jπf πf = T si(πft) (b3) qualitativ und quantitativ (Achsenbeschriftung) richtig S(f) T T (b4) Nein, s(t) kann nicht die Impulsantwort eines kausalen Systems sein. Begründung: t< s(t) (c) (c) Ja, das System ist linear. Denn aus T T T f y (t) = T y (t) = T T T x (t+τ)dτ x (t+τ)dτ folgt (Überlagerungssatz) y (t)+y (t) = T ay (t) = T T T x (t+τ)+x (t+τ)dτ ax (t+τ)dτ (c) Ja, das System ist kausal. Die Systemreaktion y(t) ist für jeden beliebigen Zeitpunkt t ausschließlich von jeweils zeitlich zurückliegenden Eingangswerten bestimmt. y(t ) = T = T T t t T x(t +τ)dτ x(τ)dτ (c3) gleitende Mittelwertbildung oder Kurzzeitintegrator oder Tiefpaßfilter Sommersemester 4

84 84 A PRÜFUNGEN Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) Anti-Aliasing-Tiefpaß bzw. Tiefpaß/Bandbegrenzung (a) s s (t) = [s(t) h(t)] T s n= δ(t nt s) (a3) S s (f) = [S(f)H(f)] n= δ(f n T s ) (a4) Skizze (s. Bild): - qualitativ: Spektrum besteht aus unverzerrten Kopien des Originalspektrums - qualitativ: periodische Vervielfachung des Originalspektrums - quantitativ richtig mit kompletter Achsenbeschriftung (Mindestanforderungen s. Bild) S s (f) A f s f s f gs f gs f s f s f (a5) f gs f gh < fs (b) (b) f smin = 8 khz f smax = 9 khz (b) idealer Tiefpaß mit einer Grenzfrequenz von 3 khz Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) s AM (t) = (A +s(t)) cos(πf c t) (a) Ja, sonst Verzerrungen durch die Überlagerung der beiden Images f g < f c (a3) Bandpaßsignal (a4) z.b. Mittelwellenrundfunk (b) (b) µ = max s(t) A (b) µ : Information nur in Amplitude Hüllkurvendemodulation möglich (b3) aus Abbildung abgelesen: max s(t) = und A =,5 µ = 3 (c) (c) f m = f c f ZF (c) f sp = f c f m Zur Veranschaulichung: Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

85 A.6 Musterlösung zur Nachprüfung SS 85 f m< ZF f ZF< fc f m f sp f ZF f c f ZF>fc f m>zf f c f ZF f sp f m (c3) Bandpaßfilter vor Mischer, um Spiegelfrequenzen zu unterdrücken. Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) drei Verfahren (je Verfahren Punkt) aus BPSK, OOK, -ASK, -FSK (maximal 3 Punkte) (a) Skizzen qualitativ richtig (je Skizze Punkt) (maximal 3 Punkte) s BP (t) t/t 4 s BP (t) für BPSK s BP (t) t/t 4 s BP (t) für OOK s BP (t) t/t 4 s BP (t) für FSK (b) (b) Skizze qualitativ und quantitativ richtig (Punkte an richtiger Lage, I,Q-Achsen) (b) Skizzen qualitativ richtig (je Skizze Punkt) (maximal Punkte) Sommersemester 4

86 86 A PRÜFUNGEN (b3) Es ist in beiden Fällen keine korrekte Entscheidung möglich, da die Symbolzuordnung mißverständlich wird. Bei 45 liegen die Empfangssignale genau auf der Entscheidungsschwelle, bei 9 werden die Empfangssymbole falschen Sendesymbolen zugeordnet. (je richtige Entscheidung und Begründung Punkt) ( Punkte) Q Q Q - - I - - I - - I Phasendiagramm QPSK (links), Phasenverschiebung 45 (mitte), 9 (rechts) f(r E ) f(r E d ) f(r E d ) s (c) (c) s r E Amplitudendichteverteilung BPSK mit AWGN Skizze: Maxima der Verteilungsdichte bei Punkten mit gleichem Betrag Skizze: Gaußsche Verteilungen (c) BER =.5 erfc( ) =.8,Bereich wirdalsrichtiggewertet(Punkt) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

87 A.7 Prüfung WS / 87 A.7 Prüfung WS / Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme Hinweis: Teilaufgaben (b) und (c) können unabhängig von (a) gelöst werden. (a) (5 Punkte) Die mittlere Sendeleistung P T eines kleinen Fernsteuersenders zur Steuerung Ihres Garagentores ist als Pegel mit L PT = dbm angegeben. (a) Wie groß ist die mittlere Sendeleistung P T in mw? Sie befinden sich ca. d = 4 m von Ihrer Garage entfernt, als Sie den Sender betätigen. Die Funkkanaldämpfung L D soll zu ( ) d L D = 5dB+4lg db 4 m angenommen werden, wobei d den Abstand zwischen Sender und Empfänger bezeichnet (siehe Abb.). P T P R Sender d + Empfänger (a) Welche Funkkanaldämpfung L D (zwischen Fernsteuersender und Garage) ergibt sich? (a3) Berechnen Sie den Empfangspegel L PR in dbm für den Empfänger an der Garage. Am Empfänger überlagern sich das Nutzempfangssignal und ein Rauschsignal additiv. Die Rauschleistung beträgt P N = 6 mw. (a4) Wie groß ist der Signal-Rausch-Abstand SN R in db am Empfänger? Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b) P N x y (ger.) lg(x) (gerundet) y (b) (4 Punkte) Gegeben sei ein (nachrichtentechnisches) System mit folgender Relation zwischen Eingangs- und Ausgangssignal y(t) = x(t τ) mit τ = konstant < Entscheiden und begründen Sie, ob dieses System die Eigenschaften (b) Linearität, (b) Zeitinvarianz besitzt. Sommersemester 4

88 88 A PRÜFUNGEN (c) (6 Punkte) Die Übertragungsfunktion H(f) eines LTI-Systems H soll ermittelt werden. Ihnen stehen ein Funktionsgenerator und ein Spektrum-Analysator zur Verfügung (siehe Abb.) x(t) X(f) H y(t) Y(f) Generator LTI-System Spektrum-Analysator Wenn Sie das LTI-System H mit einem Dirac-Impuls x(t) = δ(t) anregen, erhalten Sie eine bestimmte Systemreaktion y(t) = ỹ(t). (c) Welchen besonderen Namen trägt dieses Ausgangssignal ỹ(t)? (c) Welcher spezieller Zusammenhang besteht in diesem Fall zwischen der Übertragungsfunktion H(f) und diesem Ausgangssignal ỹ(t)? r(t) Da Sie einen Dirac-Impuls δ(t) nicht ( erzeugen können, verwenden Sie t einen Rechteckimpuls r(t) = rect der Dauer T zur Anregung des LTI-Systems H. T ) (c3) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte R(f) = F {r(t)}. Mit Hilfe des Spektrum-Analysators ermitteln Sie folgendes Ausgangsspektrum T T t Y(f) = F {y(t)} = T si (πft )e jπft (c4) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(f). Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (5 Punkte) Ein analoges Tiefpaßsignal s TP (t) mit dem Spektrum S TP (f) ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Dieses TP-Signal soll mit einer idealen Dirac-Kammfolge der Rate f A = /T abgetastet werden. S TP(f) f g f g f (a) Wie groß darf die Grenzfrequenz f g des TP-Signals höchstens sein, um Aliasing zu vermeiden? (a) Geben Sie einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem durch Abtastung gewonnenen Signal s A (t) und dem ursprünglichen Signal s TP (t) an. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

89 A.7 Prüfung WS / 89 (a3) Wie lautet der mathematische Zusammenhang zwischen den Spektren S A (f) und S TP (f)? (a4) Skizzieren Sie das Spektrum S A (f) des abgetasteten Signals s A (t) im Bereich von f A f f A mit der Bedingung, daß kein Aliasing auftritt. (a5) Durch welche Baugruppe kann aus dem Signal s A (t) das Signal s TP (t) wiedergewonnen werden? (b) (3 Punkte) Das komplexe Signal s(t) mit dem Spektrum S(f) (siehe Abbildung) soll mit der Abtastfrequenz f A ideal abgetastet werden, wobei f A < f c gelten soll. Dieser Vorgang wird als Unterabtastung bezeichnet. S(f) f g f c f c f (b) Zeichnen Sie in das dargestellte Diagramm das entstehende Spektrum für den Fall f A = 3 f c im Intervall von f c f f c ein. Vervollständigen Sie dabei die Achsenbeschriftung! (b) Wie ist die Frequenz f A in Abhängigkeit von f g zu wählen, damit kein Aliasing auftritt? (c) ( Punkte) Ein Pfeifton der Frequenz f P = khz wird mit einer Frequenz von f A = 5 khz abgetastet. Das abgetastete Signal wird mit einem Tiefpaß der Grenzfrequenz f g = 5 khz gefiltert und über einen Lautsprecher wiedergegeben. (c) Welche Frequenz f H ist zu hören? Begründen Sie! Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (3 Punkte) Bei der Amplitudenmodulation wird das Quellensignal s(t) additiv der Amplitude A des Trägers s c (t) = A cos(πf c t) aufgeprägt. Die obere Grenzfrequenz des Quellensignals betrage f g. (a) Schreiben Sie die Gleichung des (modulierten) Bandpaßsignals s BP (t) im Zeitbereich auf! (a) Geben Sie das Spektrum des Bandpaßsignals S BP (f) als Funktion von S(f) und A an! (a3) A sei. Welchen Wert s max darf die Amplitude s(t) des Quellensignals nicht überschreiten, damit im Empfänger ein Hüllkurvendemodulator genutzt werden kann? (b) (8 Punkte) Bei der Einseitenbandmodulation ohne Träger wird das Quellensignal durch reelle Mischung in den Bandpaßbereich transformiert und anschließend mit einem Hochpaß gefiltert (siehe Abbildung). Das Betragsspektrum des Quellensignals s(t) ist in folgender Abbildung dargestellt. Sommersemester 4

90 9 A PRÜFUNGEN s(t) HP f > f c s BPE (t) cos(πf ct) S(f) f g f u f u f g f (b) Zeichnen Sie das Betragsspektrum S BPE (f) für f c = 3f g (Achsenbeschriftung!)! Das einseitenbandmodulierte Signal soll nun wieder demoduliert werden (siehe Abbildung). s BPE (t) Abwärtsmischer s (t) s (t) cos(πf d t) (b) Wie groß muß f d gewählt werden, damit das Spektrum des Quellensignals rekonstruiert werden kann? (b3) Zeichnen Sie das Betragsspektrum S (f) für die gewählte Frequenz f d! Beschriften Sie die Achsen! (b4) Bezeichnen Sie die leerstehende Baugruppe und beschreiben Sie kurz deren Aufgabe! (b5) Welchen Vorteil hat der Einsatz der Einseitenbandmodulation? Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (5 Punkte) Gegeben sind die folgenden drei Phasendiagramme. Q Q Q I I I Phasenstern Phasenstern Phasenstern 3 (a) Benennen Sie zu jedem Phasendiagramm die zugehörige digitale Modulationsart. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

91 A.7 Prüfung WS / 9 (a) Bestimmen Sie für Phasenstern und Phasenstern 3, wieviel Bit pro Symbol übertragen werden. (b) (7 Punkte) Die Datenfolge d(k) = {,,,} wird mittels BPSK mit einer Bitrate von T s übertragen. Die Zuordnung der Sendesymbole b(k) = I(k) + j Q(k) zu den Datenbits d(k) ist durch den abgebildeten Phasenstern gegeben. Q d(k) = d(k) = -A A I s BP (t) = Re { Ae jπf ct+φ(t) } = Acos ( πf c t+φ(t) ) (b) Bestimmen Sie die Phasenzustände φ(kt s ) = arg{b(k)} zu den Taktzeitpunkten k =,,,3. (b) Zeichnen Sie den kompletten Verlauf des Phasensignals φ(t) für den Fall harter Phasenumtastung (Rechteckimpulsformung) und markieren Sie die (in Aufgabe (b) bestimmten) Phasenzustände φ(kt s ). (b3) Zeichnen Sie das zugehörige Sendesignal s BP (t) für die Trägerfrequenz f c = T s. Hinweis: Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung!!! (c) ( Punkte) Wird ein BPSK-Signal (mit gleichwahrscheinlichen Sendesymbolen) über einen AWGN-Kanal übertragen, so läßt sich die Bitfehlerrate BER im Empfänger mit folgender Formel berechnen. BER = erfc ( s σ ) = erfc ( SNR ) Hierbei entspricht s der Leistung des abgetasteten Datensignals am Detektoreingang, σ ist die Rauschvarianz und SN R der zugehörige Signal-Rausch-Abstand. (c) Bestimmen Sie die Bitfehlerrate für den Fall s = σ. (c) Wie klein darf der Signal-Rausch-Abstand am Detektoreingang minimal werden, damit eine Bitfehlerrate von.5 nicht überschritten wird? Hinweis: Die komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) ist im Diagramm gegeben. Sommersemester 4

92 9 A PRÜFUNGEN y = erfc(x) x komplementäre Fehlerfunktion Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

93 A.8 Musterlösung zur Prüfung WS / 93 A.8 Musterlösung zur Prüfung WS / Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) Für einen Pegel von L PT = dbm ergibt sich die absolute Leistung P T zu ( ) PT L PT = lg dbm mw P T = L P T dbm mw (a) Für die Funkkanaldämpfung L D ergibt sich ( ) d L D = 5 db+4lg db 4m ( ) 4 m = 5 db+4lg db 4 m (a3) Der Empfangspegel L PR ergibt sich zu = mw = 5 db+4lg()db = 5 db+4 db = 65 db L PR = L PT L D = dbm 65 db = 55 dbm (a4) Die Rauschleistung P N = 6 mw läßt sich äquivalent als Pegel darstellen L PN = lg(p N / mw) dbm = 6 dbm Damit ergibt sich der Signal-Rausch-Abstand SN R am Empfängereingang zu SNR = L PR L PN = 55 dbm ( 6 dbm) = 5 db (b) (b) Nein, das System ist nicht linear. Begründung: Es gilt nicht der Überlagerungssatz, denn die Betragsbildung ist eine nichtlineare Operation (z.b. x (t τ) = y (t ) =, x (t τ) = y (t ) =, x s (t τ) = x (t τ)+x (t τ) y s (t ) = y (t )+y (t ) = 3). (b) Ja, das System ist zeitinvariant. Begründung: Das Übertragungsverhalten (Ursachen-Wirkungs-Verhalten) ist unabhängig von der Zeit, d.h. die gleiche Wirkung folgt einer bestimmten Ursache unabhängig von Zeitpunkt der Ursache. t,t R y(t+t ) = x(t+t τ) Sommersemester 4

94 94 A PRÜFUNGEN (c) (c) Impulsantwort h(t) (des LTI-Systems H) (c) Die Übertragungsfunktion H(f) ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort h(t) = ỹ(t). H(f) = F {h(t)} = F {ỹ(t)} (c3) Folgende Korrespondenz der Fouriertransformation (FT) ist bekannt:(mit t, f als dimensionslose Größen) rect(t) si(πf) Unter Ausnutzung des Ähnlichkeitssatzes der FT ergibt sich damit letztlich R(f) = F {rect(t/t )} = T si(πft ) Alternativ kann die Fouriertransformierte auch explizit berechnet werden. R(f) = r(t)e jπft dt = = e jπft / e jπft / jπf T / T / e jπft dt = e jπft e jπft jπf = sin(πft ) = T si(πft ) πf (c4) Für die Übertragungsfunktion H(f) ergibt sich Y(f) = X(f) H(f) H(f) = Y(f) X(f) = T si (πft ) e jπft T si(πft ) = si(πft ) e jπft Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) f g < oder f T g T (a) (mindestens eine der beiden Beziehungen muß genannt werden) s A (t) = s TP (t) T δ(t nt) (a3) (mindestens eine der Beziehungen muß genannt werden) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik = s TP (t)t X T (t) S A (f) = S TP (f) n= δ(f n T )

95 A.8 Musterlösung zur Prüfung WS / 95 = S TP (f) X (f) T = S TP (f n T ) n= (a4) Skizze qualitativ richtig (Spektrenvervielfachung, kein Aliasing) S A(f) T T Spektrum von S A (f) f A = T f T (a5) analoges Tiefpaßfilter (Interpolations- oder Rekonstruktionsfilter) (b) (b) Für f A = 3 f c ergibt sich folgendes Spektrum: S(f) f c 3 f c 3 f c 3 f c = f A 3 f c f c f periodische Wiederholung des Spektrums des Bandpaßsignals um die Vielfachen der Abtastfrequenz f A (qualitativ richtig) Skizze quantitativ richtig (Achsenbeschriftung) (b) f A f g (c) (c) Der Ton ist bei f H = 3 khz zu hören. S(f) f g f H = 3 f H = 3 f g = 5 f P = f A = 5 f/khz Durch das Abtasten entstehen Spektrallinien um n f A ± f P. Der Tiefpaß sperrt alle Frequenzen mit f > f g, so daß nur die Spektrallinien ±(f A f P ) = ±3 khz zum Lautsprecher gelangen. Skizze oder Begründung Sommersemester 4

96 96 A PRÜFUNGEN Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) s BP (t) = (A +s(t))cos(πf c t) (a) S BP (f) = A (δ(f f c )+δ(f +f c ))+ (S(f f c)+s(f +f c )) oder S BP (t) = (A δ(f)+s(f)) (δ(f +f c)+δ(f f c )) (a3) s max < oder s max = (b) (b) Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig S BPE (f) 3f g 3f g f (b) f d = f c (= 3f g ) (b3) Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig S (f) 4 f 6f g f g f u f u f g 6f g (b4) Tiefpaß (oder Bandpaß) richtig bezeichnet extrahieren des niederfrequenten Signalanteils (Basisbandsignal) oder entfernen des hochfrequenten Images (b5) Punkt für eine Antwort: benötigte Bandbreite wird reduziert verbesserte Leistungsbilanz Verzicht auf Trägersynchronisation Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Phasenstern : (8-)QAM Phasenstern : (8-)PSK Phasenstern 3: OOK bzw. (-)ASK Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

97 A.8 Musterlösung zur Prüfung WS / 97 (a) Phasenstern : 3 Bit pro Symbol Phasenstern 3: Bit pro Symbol { π für k =,,3 (b) (b) Phasenzustände φ(kt s ) = für k = (b) Verlauf des BPSK-Phasensignals φ(t) (Zeitverschobene Varianten φ (t) = φ(t+τ) mit τ < T s sind ebenfalls richtig.) π BPSK-Phasensignal φ( t ) t / Ts qualitativ richtig quantitativ richtig mit gekennzeichneten Phasenzuständen φ(kt s ) (b3) Skizze des BPSK-Sendesignals A BPSK Sendesignal s (t) BP A t / Ts moduliertes Signal (Phasenübergänge) qualitativ richtig Anzahl der Trägerschwingungen pro Symbol korrekt ( Schwingung pro Symbol) Sommersemester 4

98 98 A PRÜFUNGEN Phasenlage des Trägers korrekt (Kosinusschwingung) moduliertes Signal (einschließlich Amplitude) quantitativ richtig (setzt entsprechende Achsenbeschriftung voraus) (c) (c) BER =.5 erfc().8 (Bereich.7 <= BER <=.95 wird als richtig gewertet) (c) SNR min = [erfc ( BER) ].5 (Bereich.3 <= BER <=.7 wird als richtig gewertet) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

99 A.9 Nachprüfung SS 99 A.9 Nachprüfung SS Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (6 Punkte) Der Dresdner Fernsehturm strahlt einen Fernsehkanal im UHF-Bereich mit einer Sendeleistung von P T = 3 kw aus. (a) Die Sendeleistung läßt sich äquivalent auch als Pegel L PT angeben. Wie groß ist der Sendepegel L PT in dbm? Sie empfangen den Fernsehkanal im km entfernten Elbepark. Die Funkkanaldämpfung L A soll zu ( ) d L A = db+3lg db km angenommen werden, wobei d den Abstand zwischen Sender und Empfänger bezeichnet. (a) Welche Funkkanaldämpfung L A (zwischen Dresdner Fernsehturm und Elbepark) ergibt sich? (a3) Berechnen Sie den Empfangspegel L PR in dbm für ihr Fernsehgerät im Elbepark. Um ihr Fernsehprogramm in einer ausreichend guten Qualität empfangen zu können, ist ein Signal-Rausch-Abstand SN R von mindestens 5 db notwendig. (a4) Wie groß darf der Rauschpegel L PN in dbm am Empfänger höchstens sein? Geben Sie auch die Rauschleistung P N in mw an. Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b) x y (ger.) lg(x) (gerundet) y (b) (6 Punkte) Gegeben sei ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t). Es werde durch den Eingangsimpuls x(t) angeregt. Das Ausgangssignal sei mit y(t) bezeichnet. h(t) T x(t) T t T T T t Hinweis: Die nachfolgenden Teilaufgaben können gelöst werden, ohne den kompletten Verlauf von y(t) explizit zu berechnen. Sommersemester 4

100 A PRÜFUNGEN (b) Entscheiden und begründen Sie, ob das gegebene LTI-System kausal ist. (b) Formulieren Sie den allgemeinen mathematischen Zusammenhang (Gleichung) zur Berechnung von y(t) aus x(t) und h(t) im Zeitbereich und benennen Sie diese Operation. (b3) Wie lang ist der Ausgangsimpuls? (b4) Wann wird das Ausgangssignal y(t) minimal? (b5) Wie groß ist der minimale Wert von y(t)? (b6) Welcher prinzipielle funktionale Zusammenhang(konstant, linear, quadratisch, kubisch,...) besteht zwischen den Werten des Ausgangssignals y(t) und der Zeit t im Zeitraum T < t <? (c) (3 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe des Fourierintegrals, daß für das Spektrum der Zeitfunktion s(at) mit der Konstanten (a > ) gilt: F{s(at)} = a S(f a ), wobei S(f) = F{s(t)} das Spektrum von s(t) bezeichnet. Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung ( Punkte) Sie besitzen einen kleinen Fernsteuersender, welcher ein sinusförmiges Signal mit einer Frequenz von entweder f = 9 MHz oder f = MHz aussendet. Sie wollen einen geeigneten Empfänger bauen. Den Entscheider (ob f oder f gesendet wurde) möchten Sie natürlich digital realisieren. Dazu müssen Sie das Empfangssignal mittels eines Analog-Digital-Wandlers (ADC) digitalisieren. Sie verwenden folgenden Empfänger: TP-Filter ADC Entscheider f g Grenzfrequenz f s Abtastrate (a) Wie groß müssen Sie die Abtastrate f s mindestens wählen, um das das Empfangssignal mit einem idealen Tiefpaß-Filter fehlerfrei rekonstruieren zu können? Sie entscheiden sich für eine Abtastrate des AD-Wandlers von f s = 3 MHz. (a) Skizzieren Sie das Betragsspektrum S s (f) am Ausgang des AD-Wandlers im Intervall [ 3 MHz, 3 MHz]. (Achsen beschriften) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

101 A.9 Nachprüfung SS Sie erwarten Störungen im Empfangssignal im Frequenzbereich oberhalb 4 MHz. Sie sollen sicherstellen, daß das Empfangssignal im Intervall [; ] MHz fehlerfrei rekonstruierbar ist. (b) Welche Aufgabe hat das analoge Tiefpaß-Filter (TP-Filter) vor dem AD-Wandler? (b) Wie groß muß die Grenzfrequenz f g des TP-Filters mindestens gewählt werden? (b3) Wie groß darf die Grenzfrequenz f g maximal gewählt? Begründen Sie. Ihnen ist die notwendige Abtastrate f s zu hoch und verwenden daher das Prinzip der Unterabtastung. Sie verwenden jetzt folgenden Empfänger: BP-Filter ADC Entscheider f s Abtastrate (c) Sie wählen jetzt f s = MHz. Skizzieren Sie das Betragsspektrum S sub (f) am Ausgang des AD-Wandlers im Intervall [ 6 MHz, 6 MHz]. (Achsen beschriften) (c) Am Entscheidereingang liegt ein Signal mit der Frequenz f x = MHz an. Welche der beiden Frequenzen f = 9 MHz, f = MHz wurde gesendet? Aufgabe 3: Analoge Modulation Die einfachste Möglichkeit zur Übertragung eines Informationssignals s(t) mittels der analogen Modulation ist das direkte (multiplikative) Aufprägen der Information auf die Amplitude des Trägersignals s c (t) = A c cos(πf c t). Dies führt auf das modulierte Bandpaßsignal s BP (t) = s(t)cos(πf c t).fürdieweitereaufgabesollfürdasinformationssignals(t) = cos (πf s t) gelten, wobei f c f s. (a) (4 Punkte) (a) Bestimmen Sie das Spektrum S(f) des Signals s(t). (a) Bestimmen Sie das Spektrum S BP (f) des Bandpaßsignals s BP (t) in Abhängigkeit von S(f). (a3) Zeichen Sie das Spektrum des Bandpaßsignals S BP (f). Hinweis: cos (x) = +cos(x) (b) (4 Punkte) Eine Methode zur Demodulation des gegebenen Signals s BP (t) ist die Quadratur- Demodulation. Sommersemester 4

102 A PRÜFUNGEN (b) Jedes reelles Bandpaßsignal läßt sich durch das zugehörige äquivalente Tiefpaßsignal darstellen. Geben Sie eine allgemeine Beziehung zwischen einem reellen Bandpaßsignal und dem korrespondierenden Tiefpaßsignal an. (b) Bestimmen Sie Inphase- und Quadraturphase des speziellen Bandpaßsignal s BP (t) aus der ersten Teilaufgabe. (b3) Zeichnen Sie die Blockdiagramme für die Quadratur-Modulation und die Quadratur- Demodulation (I/Q Auf- und Abwärtsmischung). Bezeichnen Sie alle Blöcke und die zugehörigen Ein- bzw. Ausgangssignale. (c) (3 Punkte) Eine Andere Möglichkeit das Informationssignal aus dem Bandpaßsignal s BP (t) zu detektieren, ist das Benutzen des inkoherenten Demodulation, mittels eines Hüllkurvendetektors. (c) Zeichnen Sie das Blockdiagramm des Hüllkurvendemodulators. Bezeichnen Sie alle Blöcke und das zugehörigen Ein- bzw. Ausgangssignal des Hüllkurvendemodulators (c) Entscheiden Sie, ob bei dem oben angegebenen Eingangssignal s BP (t), ein Hüllkurvendemodulator, zur kompleten demodulation des Signals s(t), verwendet werden kann. Begründen Sie ihre Entscheidung! (c3) Wie hängt in diesem Fall die Qualität des empfangenen Signals von der Phasenlage im Sender ab? Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (6 Punkte) Folgende Bitfolge soll durch ein digitales Modulationsverfahren übertragen werden: d{k} = {,,,}. Die folgende Abbildung stellt 3 mögliche Zeitverläufe s (t), s (t), s 3 (t) des modulierten Sendesignals dar. Modulationsverfahren Modulationsverfahren Modulationsverfahren s (t) s (t) s 3 (t) t/t Bit t/t Bit t/t Bit (a) Geben Sie das jeweils verwendete Modulationsverfahren an! (a) Zeichnen Sie die Phasendiagramme für Modulationsverfahren und 3! (a3) Nennen Sie Modulationsverfahren für das sich kein Phasendiagramm(I/Q-Diagramm) angeben läßt! (b) (8 Punkte) Bei der Zweifrequenzumtastung (-FSK) wird das binäre Datensignal den Frequenzen f und f eines Trägersignals zugeordnet: { s (t) = cos(πf t) für d{k} = tǫ(kt Bit,(k +)T Bit ) s(t) = s (t) = cos(πf t) für d{k} = tǫ(kt Bit,(k +)T Bit ) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

103 A.9 Nachprüfung SS 3 Die Bitdauer T Bit betrage ms. (b) Geben Sie ein mögliches Frequenzpaar (f,f ) an, so daß keine Phasensprünge im Sendesignal s(t) auftreten! Die Signale s (t) und s (t) sind im Intervall [,T Bit ] orthogonal zueinander, wenn folgende Beziehung gilt: TBit s (t)s (t)dt = (b) f sei khz. Bestimmen Sie die minimale Frequenz f (f > f ), so daß die Orthogonalitätsbedingung eingehalten wird! Hinweis: cos(a)cos(b) = [cos(a b)+cos(a+b)] Zur Demodulation wird ein Korrelationsempfänger verwendet (r(t) bezeichnet dabei das Empfangssignal): r(t) (k+)t Bit kt Bit r(t)s (t)dt r (k) ˆd{k}ǫ{,} (k+)t Bit kt Bit r(t)s (t)dt r (k) (b3) f sei weiterhin khz, f sei khz. Bestimmen Sie die Signale r (k = ) und r (k = ) (siehe Blockdiagramm), wenn d{k = } = gesendet wurde und der Übertragungskanal als ideal und rauschfrei angenommen wird! Hinweis: cos (a) = (+cos(a)) (b4) Welche Funktion hat die leerstehende Baugruppe? Sommersemester 4

104 4 A PRÜFUNGEN A. Musterlösung zur Nachprüfung SS Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) Für eine absolute Leistung von P T =3 kw ergibt sich ein Pegel von L PT ( ) PT L PT = lg dbm mw ( ) 3 7 mw = lg dbm mw = lg(3 7 ) dbm = (lg( 7 )+lg(3)) dbm = (7+lg(3)) dbm = 75 dbm (a) Für die Funkkanaldämpfung L A ergibt sich ( ) km L A = db+3lg db km (a3) Der Empfangspegel L PR ergibt sich zu = db+3lg() db = db+3 () db = (+3) db = 3 db L PR = L PT L A = 75 dbm 3 db = 55 dbm (a4) Der Signal-Rausch-Abstand SN R am Empfängereingang berechnet sich SNR L PR L PN L PN L PR SNR 55 dbm 5 db 8 dbm Die Rauschleistung P N in W ist damit (b) (b) System ist kausal, da h(t) = für alle t <. P N = L P N dbm = 8 mw (b) y(t) = h(t) x(t), Faltung (Gleichung und Bezeichnung gefordert) (b3) 5T (Summe der Dauer der Impulsantwort und der Dauer des Eingangsimpulses) (b4) Minimum bei t = (grafisch lösbar) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

105 A. Musterlösung zur Nachprüfung SS 5 (b5) y min = y(t = ) = x(τ)h(t τ)dτ = T T x(τ)dτ = (Dreiecksfläche) (b6) quadratisch Für T < t < gilt: y(t) = x(τ)h(t τ)dτ = t x(τ)dτ T T = Integral über lineare Funktion liefert quadratische Funktion. (c) F{s(at)} = s(at)e jπft dt Die Substitution t = at ( dt = adt ) liefert: F{s(at)} = = a s(t )e jπf a t a dt s(t )e jπf a t dt = a S(f ) a Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) f s f f s MHz (a) Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig S s (f) 3 3 f/mhz (b) (b) Anti-Aliasing-Filter zur Vermeidung von Aliasing-Fehlern (b) f g > MHz (b3) f g < f s MHz = MHz Störungen im Frequenzbereich oberhalb MHz verursachen Aliasing-Fehler im Frequenzbereich des Nutzsignals bis MHz. Sommersemester 4

106 6 A PRÜFUNGEN (c) (c) Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig S sub (f) f/mhz (c) Es wurde ein Signal mit der Frequenz f = MHz gesendet. f +f s = f x MHz+ MHz = MHz Problem 3: Analoge Modulation (a) (a) S(f) = F { cos (πf s t) } { } +cos(π(fs )t) = F = δ(f)+ 4 δ(f +f s)+ 4 δ(f f s) (a) S BP (f) = F {s BP (t)} = F {s(t)cos(πf c t)} = F {s(t)} F {cos(πf c t)} = S(f) ( δ(f f c)+ δ(f +f c)) = S(f f c)+ S(f +f c) (a3) S BP ( f ) fc fs f c fc + fs fc fs fc f + f c s f Abbildung A.3: Spektrum des amplitudenmodulierten Signals s BP (t) Abbildung qualitativ richtig Korekt Axen Beschriftung Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

107 A. Musterlösung zur Nachprüfung SS 7 (b) (b) s BP (t) = Re{s(t)e jπfct }. Das Signal s(t) = s I (t)+js Q (t) ist das äquivalente TP-Signal von s BP (t), wobei s I (t) und s Q (t) die Inphasen- und die Quadraturen Komponente darstellen. ( Point) (b) Hier: s BP (t) = s(t)cos(πf c t). Da s(t) eine reelle Funktion ist, erhält man s BP (t) = s(t)cos(πf c t) = Re(s(t)e jπfct ). Daraus folgt s I (t) = s(t) und s Q (t) = (b3) Abb.A.4 zeigt das Blockdiagramm der I/Q-Modulation bzw. Demodulation. Blockdiagramm qualitativ richtig Alle Signale und Blöcke richtig bezeichnet s I ( t) cos( π fct) s cos( π fct BP ( t) ) S sin( π fct) Channel sin( π fct) f <f c s I ( t) sq ( t) f <f c s Q ( t) I/Q Aufwärtsmischung I/Q Abwärtsmischung Abbildung A.4: Blockbild des I/Q Modulators und Demodulators (c) (c) Das Blockbild für einen Hüllkurvendemodulator ist in Abb.A.5 dargestellt. s BP ( t) BPF TPF HPF s BP ( t) s BP ( t) s( t) + A s( t) f c Gleichrichter f <f c f > Abbildung A.5: Blockbild des Hüllkurvendemodulators (c) Nein, es ist nicht möglich. Der Einsatz eines HP-Filters ist in diesem Fall falsch, da er den Gleichanteil des Signals entfernt. (c3) Die Qualität des detektierten Signals hängt nicht von der Phase des Oszillators am Sender ab. Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Modulationsverfahren : FSK Modulationsverfahren : PSK Modulationsverfahren 3: OOK (ASK) Sommersemester 4

108 8 A PRÜFUNGEN (a) qualitativ richtig Q Mod. Q Mod. 3 (je Punkt) I I (a3) FSK (b) (b) generell: f, = n T Bit, nǫn z.b.: (khz,khz) (b) TBit = = = TBit = 4π TBit s (t)s (t)dt cos(πf t)cos(πf t)dt cos(πt(f f ))+cos(πt(f +f ))dt ( sin(πt Bit (f f ))+ f f f +f sin(πt Bit (f +f )) ) Die einfachste Lösung erhält man, indem beide Summanden Null gesetzt werden.das führt auf folgendes Gleichungssystem: T Bit (f f ) = n, nǫn;n T Bit (f +f ) = m, mǫn;n m Die erste Gleichung führt für n = auf die gesuchte minimale Frequenz f : f min = T Bit +f =.5 khz Durch Einsetzen der Lösung in die zweite Bedingung kann man nachweisen, daß diese für m = 5 erfüllt ist. (b3) k = liefert: r (k) = r (k) = TBit TBit cos(πf t)cos(πf t)dt cos(πf t)cos(πf t)dt beide Ansätze richtig Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

109 A. Musterlösung zur Nachprüfung SS 9 r (k) = TBit + cos(4πf t)dt = T Bit r (k) = wegen der Orthogonalität von s (t) und s (t) (b4) Die Baugruppe entscheidet, welches Symbol gesendet wurde (Entscheider, Detektor oder auch ). Sommersemester 4

110 A PRÜFUNGEN A. Prüfung WS /3 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme Ein UMTS-Netz soll in Dresden errichtet werden. (a) (6 Punkte) Eine Basisstation am Fritz-Förster-Platz strahlt ein Signal mit einer Leistung P T ab. Die Funkkanaldämpfung beträgt ( ) d L A = 3dB+4lg db, km wobei d den Abstand zwischen Basistation und Funktelefon bezeichnet. Der Sendeleistungspegel beträgt L PT = 3dBm, die Rauschleistung am Empfänger beträgt P N = 3 W. (a) Geben Sie die Beziehung (Formel) zwischen dem Sendeleistungspegel L PT (in dbm) und der Sendeleistung P T an. (a) Wie groß ist der Empfangspegel L PR im km entfernten Stadtzentrum? (a3) Welcher Signal-Rausch-Abstand SNR (in db) ergibt sich im Empfänger für einen Empfangspegel von L PR = dbm? (a4) Wie groß darf die Entfernung d zwischen Sender und Empfänger höchstens sein, damit der Signal-Rausch-Abstand SNR nicht kleiner als - db wird? Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b);.5 = 3.6 x y lg(x) (gerundet) y (b) (7 Punkte) Der Kanal zwischen Basisstation und Funktelefon soll nun durch ein System mit folgender Impulsantwort beschrieben werden: h(t) = δ(t)+δ(t t ) (t = konst. > ). (b) Ist dieses System quellenfrei? Begründen Sie Ihre Aussage. ( (b) Das Eingangssignal sei x(t) = A rect x(t) t t ). Zeichnen Sie das Ausgangssignal y(t). A t t (b3) Welchen Namen hat die Fouriertransformierte H(f) = F {h(t)}? (b4) Bestimmen Sie H(f). Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

111 A. Prüfung WS /3 (b5) Geben Sie den maximalen und den minimalen Wert von H(f) an. (c) ( Punkte) Ein System wird durch die Impulsantwort h(t) = si(πt) beschrieben. Das Eingangssignal sei x(t) = b si(bπt) (b > ). Bestimmen Sie das Ausgangssignal y(t). Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (4 Punkte) Gegeben sei das Spektrum S(f) eines Signals s(t): S(f) MHz f MHz Das Signal wird nun mit der Frequenz f s = 5 MHz abgetastet. (a) Zeichnen Sie das Spektrum S s (f) des Signals nach der Abtastung im Bereich 4 MHz f 4 MHz! Hinweis: Achten Sie auf die Achsenbeschriftung! (a) Wie heißt der Effekt, der die Signalverzerrungen im abgetasteten Signal beschreibt? (a3) Mit welcher Frequenz f s,min muß das Signal mindestens abgetastet werden, damit es sich fehlerfei rekonstruieren läßt? (b) (3 Punkte) Nun sollen auch noch die Amplitudenwerte des Signals diskretisiert werden. Dazu soll ein bit AD-Wandler mit linearer Quantisierungskennlinie eingesetzt werden. Das quantisierte Ausgangssignal kann folgende Werte annehmen: {± s (,3,5,...,q )} (mid-rise Quantisierer). DerWertebereichdeszuquantisierendenSignalsseigegebendurch,4V s(t),4v. (b) Wieviele Quantisierungsstufen q besitzt der AD-Wandler? (b) Wie groß ist eine Quantisierungsstufe s? (b3) Der relative Quantisierungsfehler e bezeichnet das Verhältnis des absolutes Quantisierungsfehlers zum Eingangswert des Quantisierers. In welcher Quantisierungsstufe tritt der maximale relative Quantisierungsfehler auf? Sommersemester 4

112 A PRÜFUNGEN (c) (3 Punkte) Im Folgenden soll nun gezeigt werden, daß die Signalenergie E k einer Periode T des Signals x(t) = x sin(πft) und die Signalenergie E s des abgetasteten Signals x s (n) = x(n/f s ) gleich sind (PARSEVALsche Gleichung). Dabei bezeichnen f s die Abtastfrequenz und N die Anzahl der Abtastwerte pro Periode (N > ). (c) Berechnen Sie E k = T x (t)dt! (c) Berechnen Sie E s = N f s n= x s(n) und zeigen Sie damit die Gültigkeit der PARSE- VALschen Gleichung! Hinweise: Aufgabe 3: Analoge Modulation sin t = ( cos(t)) N n= cos(4π n N ) = (a) (3 Punkte) Unter Modulation wird das Aufprägen eines Quellensignales s(t) auf ein Trägersignal verstanden. Für das modulierte Bandpaßsignal der Zweiseitenband- Amplitudenmodulation gilt s BP (t) = (A +s(t))cos(πf c t). (a) Nennen Sie zwei Gründe, warum Modulationsverfahren in der Nachrichtentechnik eine wesentliche Rolle spielen! (a) Bestimmen Sie das Spektrum S BP (f) des Bandpaßsignals s BP (t)! (a3) Geben Sie das zu s BP (t) äquivalente Tiefpaßsignal s TP (t) an! (b) (8 Punkte) Die folgende Abbildung zeigt eine Senderstruktur für Einseitenband- Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger. Weiterhin sind die Fouriertransformierten des Eingangssignals, S(f), und des Ausgangssignals, G(f), gegeben. G(f) S(f) -f g f g f -f c -f c + f g f c - f g f c f Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

113 A. Prüfung WS /3 3 (b) Nennen Sie einen Vorteil dieser Modulationsart im Vergleich zur Zweiseitenband- Amplitudenmodulation! (b) Zeichnen Sie die Spektren der an den Stellen bis 3 im Sender auftretenden Signale! (b3) Geben Sie eine Empfängerstruktur (einschließlich benötigter Kenngrößen) an, die aus g(t) wieder s(t) gewinnt! Aufgabe 4: Digitale Modulation Eine Bitfolge {b k },k N, b k {,}, soll über einen Kanal mit additivem weißen Rauschen (sog. AWGN-Kanal) übertragen werden. Dazu muß eine digitale Modulation der {b k } erfolgen, um das Sendesignal s(t) zu erhalten. Das Empfangssignal sei r(t), das Rauschen werde durch n(t) beschrieben. (a) (4 Punkte) (a) Ist das Modulationsprodukt s(t) ein zeitdiskretes oder zeitkontinuerliches Signal? (a) Es sollen Bits pro Symbol übertragen werden. Geben Sie dafür eine Modulationsart an und zeichnen Sie das entsprechende Phasendiagramm. (a3) Zeichnen Sie das Blockschaltbild des AWGN Kanalmodells. Als Modulationsverfahren wird nun Binary Phase Shift Keying (BPSK) Modulation eingesetzt, wobei die Sendesymbole durch s k = b k gegeben sind. Im Empfänger ergibt sich vor dem Entscheider r k = s k +n k, wobei{n k }einkomplexesweißesgaußschesrauschenist.imdetektorwirddannre{r k }miteiner Entscheidungsschwelle R verglichen. Für Re{r k } < R wird eine detektiert, für Re{r k } R eine. Für die Varianz des Rauschens gilt: var[re{n k }] = σ n. (b) (6 Punkte) (b) Zeichnen Sie das Phasendiagramm für das Empfangssignal r k, wenn σ n =. (b) BerechnenSiediedurchschnittlicheNutzsignalenergieE S ameingangdesentscheiders. (b3) Zeichnen Sie in ein Diagramm qualitativ die Wahrscheinlichkeitsdichten für die Amplituden am Eingang des Entscheiders, p(re{r k } b k ), wenn b k = bzw. b k = gesendet wurden und σ n. Wenn die Bitwerte gleichwahrscheinlich sind, d.h. P(b k = ) = P(b k = ) =.5, wählt man für die Entscheidungsschwelle R =, um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P e zu minimieren. Konkret gilt dann ( ) P e = erfc d, wobei d die Distanz zwischen der Entscheidungsschwelle und den unverrauschten Symbolen vor dem Entscheider darstellt. Die komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) ist durch folgende Abbildung gegeben. σ n Sommersemester 4

114 4 A PRÜFUNGEN y = erfc(x) (b4) Berechnen Sie P e für σ n = x Komplementäre Fehlerfunktion, y = erfc(x). (b5) Wie muss die Schwelle R geändert werden, damit bei ungleichen Sendesymbolwahrscheinlichkeiten, P(b k = ) < P(b k = ), die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P e minimiert wird? Begründen Sie Ihre Antwort. (c) ( Punkte) Im Unterschied zu (b) sei jetzt die Synchronisation zwischen Sender und Empfänger unvollkommen, so dass die Phasendifferenz zwischen den Trägersignalen im Sender und im Empfänger φ = 6 beträgt. (c) Zeichnen Sie das Phasendiagramm am Empfänger für diesen Fall, wenn σ n =. (c) Wie ändert sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit? Begründen Sie Ihre Antwort. (d) ( Punkte) Nun soll noch on-off keying (OOK) betrachtet werden, dessen Phasendiagram in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Sender und Empfänger sind wieder ideal synchronisiert. Die Bits seien gleichwahrscheinlich und σ n =.5. (d) Wie wählt man die Entscheidungsschwelle, so dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit minimal wird. (d) Berechnen Sie die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Q (b k = ) (b k = ) I OOK Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

115 A. Musterlösung zur Prüfung WS /3 5 A. Musterlösung zur Prüfung WS /3 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) L PT = lg ( P T mw) dbm (a) L PR = L PT L A = 3dBm 3dB 4lg()dB L PR = dbm (a3) SNR = L PR L PN ( ) SNR = dbm lg 3 W db 3 W SNR = db (a4) SNR = L PR L PN db 3dBm 3dB 4lg ( d km) ( dbm) db d 3.6km (ebenfalls richtig: d 3km) (b) (b) Das System ist quellenfrei, denn aus x(t) = folgt y(t) =. ( ) (b) y(t) = A rect t t y(t) A t t Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig (Achsenbezeichnungen) (b3) Übertragungsfunktion. (b4) H(f) = +e jπft. (b5) max( H(f) ) = min( H(f) ) = (c) y(t) = x(t) h(t) Y(f) = X(f) H(f) Y(f) = rect ( f b) rect(f) Y(f) = rect(f) (da b > ) y(t) = si(πt) Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig Sommersemester 4

116 6 A PRÜFUNGEN S s (f) f 4MHz f s f s f s f s 4MHz (a) Aliasing oder Überlappungen im Spektrum (a3) f s,min = MHz (b) (b) q = = 4 (b) s = umax u min q =,48V 3 mv (b3) Der größte relative Quantisierungsfehler ergibt sich im mittleren Quantisierungsintervall (um V). Der maximale absolute Fehler beträgt s/ = mv. Damit ergibt sich: e max = mv (c) (c) (c) E k = T x sin (ωt)dt = x T E s = N f s n= x ( n f s ) = x N sin (πf n ) f s f s n= = x N ( cos( π n )) f s Tf s n= = x N (N cos(4π n ), N = Tf s Abtastpunkte pro Periode f s Tf s n= = x N (N cos(4π n N f s N ) mit cos(4π n N ) = n= = x N = x T f s n= Wie man leicht sieht, gilt: E k = E s. Problem 3: Analoge Modulation (a) (a) Durch geeignete Modulation (zwei nennen) werden Quellsignale an das Übertragungsmedium angepaßt, Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

117 A. Musterlösung zur Prüfung WS /3 7 (a) können mehrere unabhängige Quellsignale über das gleiche Medium übertragen werden, können in der Praxis vernünftige Antennengrößen zur Abstrahlung von Wellen eingesetzt werden, ist ein Abtausch zwischen Bandbreite, Energieaufwand, Übertragungszeit sowie Komplexität von Sender und Empfänger möglich. S BP (f) = F {s BP (t)} = F {(A +s(t))cos(πf c t)} = A (δ(f f c)+δ(f +f c ))+ (S(f f c)+s(f +f c )) (a3) Das Bandpaßsignal s BP (t) kann mit dem äquivalenten Tiefpaßsignal s TP (t) = s I (t)+ js Q (t) dargestellt werden als s BP (t) = Re { s TP (t)e jπfct} = s I (t)cos(πf c t) s Q (t)sin(πf c t). Aus Vergleich mit s BP (t) = (A+s(t))cos(πf c t) folgt dann s TP (t) = s I (t) = A+s(t), s Q (t) =. (b) (b) Vorteile der Einseitenband- gegenüber der Zweiseitenband-AM (einen nennen) Im Bandpaßbereich wird nur die halbe Bandbreite benötigt. Durch die Unterdrückung des Trägers im Spektrum ist das Verfahren leistungseffizienter. (b) Spektren laut folgenden Abbildungen. qualitativ richtig alle quantitativ richtig (je Punkt) S (f) S (f) -f g f g f -f g f g f S 3 (f) -f c - f g -f c -f c + f g f c - f g f c f c +f g f Sommersemester 4

118 8 A PRÜFUNGEN (b3) Empfänger laut folgender Abbildung. qualitativ: Mischer und Tiefpaß-Filter quantitativ: Misch- und Grenzfrequenz (je Punkt) Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) s(t) ist ein zeitkontinuerliches Signal (a) beispielsweise QPSK, 4-ASK und 4-FSK (für 4-FSK existiert kein Phasendiagram) Bild qualitativ richtig ( Punkte) Q Q I I Phasendiagramm QPSK Phasendiagramm 4-ASK (a3) Bild mit Beschriftung n(t) s(t) r(t) AWGN-Kanalmodell (b) (b) Bild mit Beschriftung Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

119 A. Musterlösung zur Prüfung WS /3 9 Q (b k = ) (b k = ) I Phasendiagramm BPSK (b) Die durchschnittliche Energie pro Signal bei gleichwahrscheinlichen Symbolen ergibt sich zu E S = ( s k bk = + s k bk = )/ = ( + )/ = (b3) qualitativ, Beschriftung (je Punkt) p p(r{r k } ) p(r{r k } ) - R{r k } (b4) Für erfc().57 erhält man P e.79. Richtig gewertet werden Werte.75 P e.9. (b5) Die Schwelle verschiebt sich zum Konstellationspunkt für b k = (R wird negativ). Dann wird häufiger für entschieden, da a priori bekannt ist, daß dieses Symbol öfter auftritt. (c) (c) Bild mit Beschriftung Sommersemester 4

120 A PRÜFUNGEN Q (b k =) - 6 I (b k =) BPSK Phasendiagram (gedreht) (c) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhöht sich. Durch die Drehung wird die Nutzsignalenergie (In-Phasenkomponent) verkleinert. Die Rauschleistung verändert sich dagegen nicht. (d) (d) Zur Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit wählt man / als die Entscheidungsschwelle. (d) P e = erfc( /4 / ).4. Richtig gewertet werden Werte.3 P e.5. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

121 A.3 Nachprüfung SS 3 A.3 Nachprüfung SS 3 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (7 Punkte) Ein Funksensor in einem Bürogebäude sendet mit L TX = dbm an eine d = m entfernte Basisstation. Der Pfadverlust V innerhalb von Gebäuden kann mit folgender Formel beschrieben werden: ( ) n d V =. m Darin bezeichnet n den Pfadverlustindex, welcher als 4 angenommen werden soll. Die thermische Rauschleistung N läßt sich mit folgender Formel berechnen: N = κtb, wobei κ 3 W die Boltzmannkonstante, T die Temperatur und B die Bandbreite des HzK Signals bezeichnen. Die Bandbreite soll khz betragen und die Betriebstemperatur bei 3 K liegen. (a) Geben Sie die Formel für den Rauschleistungspegel L N in dbm an. (a) Berechnen Sie thermische Rauschleistung N und den Rauschleistungspegel L N. (a3) Berechnen Sie das Signal-Rauschverhältnis SN R in db am Empfänger. (a4) Der Rauschleistungspegel L N soll nun -3 dbm betragen. Ausserdem treten im Kanal zusätzliche Verluste L add von 6 db auf. Wie groß darf der Verlustindex n max höchstens sein, damit am Empfänger das SNR nicht kleiner als db wird? Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b); x y lg(x) (gerundet) y (b) (8 Punkte) Gegeben sei ein Signal x (t), welches eine Periode einer Sinusschwingung darstellt. x (t) T t T (b) Ist ein System mit der Impulsantwort x (t) kausal? Begründen Sie. Sommersemester 4

122 A PRÜFUNGEN (b) Nun wird x (t) mit δ(t T ) gefaltet. Skizzieren sie das entstehende Signal x s (t) = x (t) δ(t T ). (b3) Drücken Sie x (t) mit Hilfe von Sinus- und Rechteckfunktionen aus. (b4) Berechnen Sie daraus die Fouriertransformierte X (f) = F{x (t)}. (b5) BeiwelcherphysischenFrequenzf k liegtdasmaximumdesbetragspektrumsvonx (t)? Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung Das nicht bandbegrenzte Leistungsdichtespektrum P(f) eines typischen Handy-Klingeltones ist in Abb. (a) dargestellt. Ein Teenager möchte dieses Musiksignal in seinem Funktelefon abspeichern; Abb. (b) zeigt das entprechende Blockdiagramm. Damit er möglichst viele Klingeltöne speichern kann, wählt er eine Quantisierung mit N b = 3 bits mit der Kennlinie aus Abb. (c). P(f) P -4 4 f[khz] (a) Leistungsdichtespektrum s(t) s s (t) Abtastung f c = khz f s =44kHz s e (t) s d (t) fc = khz Quantisierung Speicher D/A (b) Blockschaltbild des Systems () 7 U () 5 U () 3 U () U -U MAX V OUT U 3 U 5 U 7 U () U MAX =8 U () () () (c) Quantisierer V IN Zugewiesene Bits (a) (4 Punkte) (a) Skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum P s (f) des abgetasteten Signals s s (t) im Intervall f [ 44kHz, 44kHz]. (a) Bestimmen Sie das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) nach der Quantisierung (in db). Die Amplitude des Eingangssignals ist gleichverteilt im Intervall [ U max,u max ]. (a3) Wieviel Speicher M wird benötigt (Bits), um Sekunden eines Stereo-Klingeltones zu speichern? (a4) Ist es möglich, das originale Eingangssignal wiederherzustellen? Begründen Sie. Vom Quantisierungsrauschen soll hier abgesehen werden. Hinweis: Aufgaben (b) und (c) sind unabhängig voneinander zu lösen. (b) (3 Punkte) Der Teenager möchte jetzt den benötigten Speicherumfang weiter reduzieren. Dazu löscht er jeden zweiten Abtastwert aus dem Speicher; der ursprüngliche zeitliche Abstand zwischen den verbleibenden Werten wird jedoch beibehalten. (b) Zeichnen Sie das Spektrum des Signals s d (t) im Intervall f [ 44kHz,44kHz]. (b) Ist das beschriebene Löschen sinnvoll? Begründen Sie. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

123 A.3 Nachprüfung SS 3 3 (c) ( Punkte) Aus Versehen negiert er nun alle Bits im Musikspeicher. (siehe Abb. (c)) (c) BestimmenSiedasneueAusgangssignalŝ e (t)alsfunktiondesurspünglichenausgangssignals s e (t). (s e (t) ist das Ausgangssignal, wenn die Bits nicht negiert werden.) (c) Zeichnen Sie das Leistungsdichtespektrum Pŝ(f) des Signals ŝ e (t). Hinweis: Die Negation von x wird bezeichnet als x. Es gilt: = und =. (d) Nun sollen Sie den Rekonstruktionsfilter entwerfen. Leider steht Ihnen dafür kein Tiefpassfilter zur Verfügung, sondern lediglich ein Hochpassfilter mit der Grenzfrequenz f c sowie analoge Addierer und Subtrahierer. Zeichnen Sie ein mögliches Blockschaltbild des Rekonstruktionsfilters unter Verwendung einiger dieser Komponenten. Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) ( Punkte) Unter Modulation wird das Aufprägen eines Quellensignales s(t) auf ein Trägersignal s c (t) = Acos(πft + φ) verstanden. Welche prinzipiellen Varianten der analogen Modulation gibt es? Nennen Sie jeweils den Parameter von s c (t), der dabei verändert wird. (b) (6 Punkte) Es wird nun ein Zweiseitenband-Amplitudenmodulator betrachtet, der aus dem Informationssignal s(t) das Bandpaßsignal s BP (t) = ( + s(t))cos(πf c t) erzeugt. Hierbei gilt s(t). (b) Zum Aufwärtsmischen soll ein nichtlineares Bauelement mit Kennlinie y(x) = x + x verwendet werden. Berechnen Sie das Ausgangssignal y = y(t), wenn am Eingang die Summe aus Quell- und Trägersignal anliegt, d.h. x = x(t) = s(t)+cos(πf ct). (Hinweis: cos x = (+cosx).) In den weiteren Teilaufgaben sei s(t) = cos(πf t), f f c. (b) Zeichnen Sie zunächst das Spektrum S BP (f) = F{s BP (t)}. (b3) Skizzieren Sie das Spektrum Y(f) = F{y(t)}. Beschränken Sie sich bei der Achsenbeschriftung auf die Frequenzachse. (b4) Mit einem Bandpaß kann aus y(t) das gewünschte Bandpaßsignal s BP (t) gewonnen werden. Welchen Durchlaßbereich muß das Filter dazu aufweisen? (c) (3 Punkte) Ein im Mittelwellenbereich auf Trägerfrequenz f c =.5 MHz übertragenes Signal s (t) soll empfangen werden. Das in der Abbildung vorgeschlagene System soll das Empfangssignal r(t) zunächst auf eine konstante Zwischenfrequenz f IF =.5 MHz mischen und dann mit einem Demodulator das Basisbandsignal s(t) gewinnen. Die Oszillatorfrequenz ist f LO =.75 MHz. Das Empfangssignal r(t) enthält neben s (t) noch das Störsignal s (t) gleicher Bandbreite aufträgerfrequenzf c, =.MHz.DiezugehörigenSpektrensindinderAbbildunggegeben. Sommersemester 4

124 4 A PRÜFUNGEN r(t) z(t) Demodulator s(t) (linear, kohärent) cosπf LO t R(f) S (f) S (f) f c,. f c.5 f c f c, f.5. f/mhz (c) Skizzieren Sie das Spektrum Z(f) des Signals z(t) am Ausgang des Mischers. Beschränken Sie sich bei der Achsenbeschriftung auf die Frequenzachse. (c) Der Demodulator kann das Signal s (t) nicht korrekt zurückgewinnen. Wie kann der Empfänger unter Verwendung der gegebenen Struktur verändert werden, damit s (t) korrekt demoduliert werden kann? Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (7 Punkte) Das in der Abbildung gegebene Übertragungssystem verwendet digitale Modulation. Dabei ist m (t) ein Informationssignal, das sich aus der Bitfolge b (k) wie folgt ergibt: mit m (t) = b (k), kt b < t (k +)T b, b i {,}. T b ist die Bitdauer und k N ist eine positive natürliche Zahl. Das gesendete Signal s (t) wird über einen Kanal übertragen, der durch additives weisses Gaussches Rauschen gestört wird. Der Entscheider am Empfänger nutzt eine Entscheidungsschwelle D. Im Folgenden soll angenommen werden dass f c T b = l, l N. AC cos( π fct ) m t ( ) s ( t) n( t) cos ( π f t+ θ ) Sender Kanal Empfänger c sˆ ( t) T b ( ) dt kt b r( ktb ) m ˆ = "" or "" Entscheider Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

125 A.3 Nachprüfung SS 3 5 (a) Skizzieren Sie das Signal m (t) für eine gesendete Bitfolge {}. (a) Skizzieren Sie das Signal s (t) für die Bitfolge von Aufgabe (a). (a3) Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm der im System verwendeten digitalen Modulation. (a4) Welche digitale Modulationsart liegt vor? (b) (7 Punkte) Die Datenrate des in Aufgabe (a) verwendeten Modulationsverfahren kann verdoppelt werden, indem zwei Bitfolgen jeweils mit Sinus- und Kosinus-Trägern moduliert werden. Das Blockschaltbild eines solchen Übertragunssystems ist in der Abbildung gezeigt. AC m ( t) cos ( π f t) c s ( t) s( t) cos ( π f t+ θ ) c sˆ ( t) T b ( ) dt kt b r( kt b ) Entscheider m ˆ = "" or "" kt b m ( t) A C s ( t) ( π f t) sin c T b n( t ) ( ) dt ( π f t θ ) sin c + r( kt b ) Entscheider m ˆ = "" or "" Sender Kanal Empfänger Dabei sind m (t) und m (t) Informationssignale, die sich wie bei dem vorherigen System aus verschiedenen Bitfolgen b (k) und b (k) wie folgt ergeben: mit m i (t) = b i (k), kt b < t (k +)T b, i {,} b i {,}. T b ist die Bitdauer und k N ist eine positive natürliche Zahl. Die Bedingung f c T b = l bedeutet, dass jeder mathematische Ausdruck, der durch f c dividiert wird, vernachlässigt werden kann. (b) Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm der im System verwendeten digitalen Modulation. (b) Welche digitale Modulationsart liegt vor? (b3) Geben Sie einen mathematischen Ausdruck für das Signal ŝ (t) am Eingang des Integrators im oberen Zweig als Funktion der Informationssignale m (t) und m (t) an. (b4) Bestimmen Sie r (kt b ) als Funktion von m (kt b ) und m (kt b ) für θ = and n(t) =. Wie sollte die Entscheidungsschwelle D gewählt werden, damit die Störfestigkeit gegenüber Rauschen maximiert wird? Sommersemester 4

126 6 A PRÜFUNGEN (b5) Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm für einen Phasenoffset von θ = 45 im Empfänger. Hinweise cosasinb = [sin(a+b) sin(a b)] cosacosb = [cos(a+b)+cos(a b)] cos(ax)dx = a sin(ax) sin(ax)dx = a cos(ax) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

127 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung SS 3 7 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung SS 3 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) L N = lg N (a) mw dbm N = κtb = 3 W Hz 3K HzK = 3 7 W = 3 4 mw (Ergebnis und Einheit richtig Punkt) ( ) 3 4 mw L N = lg mw = (lg(3)+lg ( 4) )dbm = (5 4) dbm = 35dBm (Ergebnis und Einheit richtig Punkt) (a3) SNR = L TX L V L N = L TX nlg(d/m) L N = dbm 4 db ( 35dBm) = 5dB (a4) ( ) d L V = nlg L TX L N SNR L add m n L TX L N SNR L add n 7 Sommersemester 4

128 8 A PRÜFUNGEN (b) Im Folgenden gilt: f = T (b) Nein, es ist nicht kausal, denn x (t) > für t < (b) (Skizze qualitativ richtig Punkt) x s (t) T t ( (b3) x (t) = sin(πf t)rect ) t T (b4) F{rect(t)} = sinc(f) F{rect( t T )} = T sinc(ft ) = S(f) F{s(t)sin(πf t)} = j (S(f +f ) S(f f )) X (f) = jt )T ) sinc((f f )T )] (b5) um f k = ±f, da hier die Hauptkeulen der sinc s liegen ( Punkte) Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) Diagramm qualitativ richtig P s (f) P f[khz] (a) SNR = N b lgdb 3.3dB = 8dB (a3) Gegeben: d = s,f s = 44kHz, N b = 3, Stereosignal mit zwei Kanälen. Dies führt auf M = d f s N b =.64 6 bit. (a4) Nein, es ist nicht möglich das Eingangssignal wiederherzustellen. Der Anti-Aliasing- Filter entfernt die hochfrequenten Anteile vor der Abtastung. (b) (b) Diagramm qualitativ richtig Axen richtig bezeichnet Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

129 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung SS 3 9 P s (f) P (b) Ja, das beschriebene Löschen ist sinnvoll. Die Abtastrate wird dadurch auf f s = khz reduziert. Es tritt kein Aliasing zwischen den Spektralkomponenten auf. f[khz] (c) (c) ŝ e (t) = s e (t). (c) Diagramm qualitativ richtig Ps ˆ( f ) P f[khz] (d) Blockschaltbild qualitativ richtig, mit Beschreibungen bzw. Bezeichnungen s(t) + Σ - f c = khz Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) Amplitudenmodulation: A A(t) Frequenzmodulation: f f(t) Phasenmodulation: φ φ(t) Namen Zuordnung der Parameter (b) (b) Es ergibt sich y(t) = s(t)+ 4 s (t)+cos(πf c t)+s(t)cos(πf c t)+cos (πf c t) = + s(t)+ 4 s (t)+[+s(t)]cos(πf c t)+ cos(πf ct). Sommersemester 4

130 3 A PRÜFUNGEN (b) Spektrum laut Abbildung qualitativ richtig quantitativ richtig Y(f) 4 4 f c f f c f c +f f (b3) Spektrum laut Abbildung qualitativ richtig (Anzahl/Lage der Spektrallinien) quantitativ richtig (Frequenzenbeschriftung) Y(f) f f f cfc f c f c f +f f (b4) Durchlaßbereich minimal f c f f f c +f, maximal f < f < f c (c) (c) Spektrum laut Abbildung qualitativ richtig quantitativ richtig Z(f) f IF f c f c, f f/mhz Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

131 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung SS 3 3 (c) Die Spektren der Signale s (t) und s (t) überlagern sich nach der Mischung auf dem Zwischenfrequenzband (f c, ist die Spiegelfrequenz zu f c bezüglich f IF ). Damit kann s (t) aus z(t) nicht korrekt demoduliert werden. EineMöglichkeitzumEmpfangvons (t)ist,dasspiegelfrequenzbandvordermischung durch ein sogenanntes Spiegelfrequenzfilter zu unterdrücken. Ist der Frequenzbereich bekannt, für den Signalleistung in r(t) zu erwarten ist, kann durch geeignete Wahl von f IF oder f LO ausgeschlossen werden, daß Störanteile aus dem Spiegelfrequenzbereich mit ins Zwischenfrequenzband gemischt werden. Dies wird z.b. im Hörrundfunk angewendet. Für den Mittelwellenbereich gilt f c,min =.5MHz f c.5mhz = f c,max, und f IF wird allgemein bestimmt nach f IF > f c,max f c,min. Die Oszillatorfrequenz ergibt sich aus f LO = f c +f IF. Hierbei wurden für die Wahl von f IF und f LO die praktischen Kriterien f LO > f IF und f LO > f c vorausgesetzt. Nennung von Spiegelfrequenzfilter (bzw. dessen Funktion) oder Veränderung der Zwischenfrequenz/Oszillatorfrequenz Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Diagramm qualitativ richtig Achsen richtig bezeichnet.5.5 m ( t) t T b (a) Diagramm qualitativ richtig Achsen richtig bezeichnet (a3) Diagramm qualitativ richtig Achsen richtig bezeichnet (a4) BPSK ( Punkte) Sommersemester 4

132 3 A PRÜFUNGEN A c s ( t) A c t T b Q I Q I (b) (b) Diagramm qualitativ richtig (b) QPSK (b3) Das Signal am Eingang des Integrators im oberen Zweig ist ŝ (t) = [s(t)+n(t)]cos(πf c t+θ) ŝ (t) = [A c m (t)cos(πf c t) A c m (t)sin(πf c t)+n(t)]cos(πf c t+θ) (b4) r (kt b ) = Das ergibt Tb ( Ac m (kt b ) [+cos(4πf c t)] A ) cm (kt b ) [sin(4πf c t)] dt = A ct b m (kt b )+ Tb cos(4πf c t)dt A cm (kt b ) Tb sin(4πf c t)dt = A ct b m (kt b ) ( Punkte) r (kt b ) = Skript Einführung in die Nachrichtentechnik { AcT b if m (kt b ) = AcT b if m (kt b ) =

133 A.4 Musterlösung zur Nachprüfung SS 3 33 Die Entscheidungschwelle ergibt sich als Mittelwert der beiden Werte: D =. (b5) Diagramm qualitativ richtig Q I Sommersemester 4

134 34 A PRÜFUNGEN A.5 Prüfung WS 3/4 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (6 Punkte) Gegeben ist ein LTI-System mit der unten abgebildeten Impulsantwort. (a) Ist dieses System kausal? Begründen Sie. (a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H(f) des Systems. (a3) Wie kann man dieses System allgemein charakterisieren? Ist es ein Hochpaß-, Tiefpaßoder Bandpaßfilter? ( ) t Das Signal q(t) sei als q(t) = rect T 4 T definiert. (a4) Zeichnen Sie das Signal q(t). (a5) Zeichnen Sie die Antwort y(t) des Systems auf das Eingangssignal q(t). h(t) -T/ T/ t - Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

135 A.5 Prüfung WS 3/4 35 Ein Signal wird zu dem links abgebildeten Empfänger gesendet. Der Empfänger enthält ein ideales reelles Bandpaßfilter mit der Mittenfrequenz f c = f c und der Bandbreite B = MHz. Additives weisses Gaußsches Rauschen mit einem einseitigen Leistungsdichtespektrum gemäß der mittleren Abbildung beeinträchtigt das Signal am Eingang des Empfängers. L[dBm/MHz] Eingang Rauschen Ausgang. 3 S ( )[W/MHz] N f L = Kanal MHz f c =f c f c -B/ < f <f c +B/ f f c f Empfängerstruktur Rauschen Leistungsdichtespektrum MHz MHz Signal Leistungsdichtespektrum (b) (7 Punkte) (b) Geben Sie die Rauschleistungsdichte S N (f) in dbm/mhz an. (b) Beträgt die Rauschleistung L N am Ausgang des Empfängers 3 dbm, dbm oder 3 dbm? Geben Sie Ihren Rechenweg mit an! (b3) Berechnen Sie das Signal-Rauschverhältnis SN R am Ausgang des Empfängers in db. Die Nutzsignalleistung sei L S = dbm. (b4) Berechnen Sie das Signal-Rauschverhältnis SNR wie in (b3) unter der Annahme, dass der Kanal das Nutzsignal um 3 db dämpft. (b5) Das einseitige Leistungsdichtespektrum des Sendesignals ist oben rechts dargestellt. Berechnen sie die Nutzsignalleistung L S am Ausgang des Empfängers in dbm. Frequenzmultiplex wird benutzt, um mehrere Signale zur gleichen Zeit über den Funkkanal zu übertragen. Die nächste Abbildung zeigt ein Beispiel dafür. Es wird ein weiteres Signal zusätzlich zu dem bereits definierten übertragen. Die Signale werden im Frequenzbereich möglichst dicht nebeneinander gelegt, um das Spektrum effizient zu nutzen. Wenn der Abstand der Signale allerdings zu gering wird, können unerwünschte Interferenzen auftreten. (c) ( Punkte) Berechnen Sie den minimal möglichen Abstand der Mittenfrequenzen f c und f c der beiden Signale (siehe Abbildung) für ein Signal-Interferenzverhältnis (SIR) von mindestens db am Empfängerausgang! Vernachlässigen Sie dabei sowohl das additive Rauschen als auch die Kanaldämpfung. Sommersemester 4

136 36 A PRÜFUNGEN L[dBm/MHz] Kanal Kanal MHz MHz f c f c f MHz MHz MHz MHz Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung Ein analoges Signal s(t) mit Grenzfrequenz f G = khz soll digitalisiert werden. (a) ( Punkte) (a) Ein AD-Wandler tastet das Signal s(t) mit f A = 3kHz ab. Kann s(t) aus den Abtastwerten verzerrungsfrei zurück gewonnen werden? Begründen Sie. (a) Ein anderer AD-Wandler tastet zunächst s(t) mit f S = khz ideal ab und gewinnt dann mit einem idealen Bit Quantisierer das digitale Signal d(t). Lässt sich aus d(t) verzerrungsfrei s(t) rekonstruieren? Begründen Sie. (b) (6 Punkte) Wir betrachten nun nur die Abtastung des Signales s(t) mit dem Spektrum S(f) laut folgender Abbildung. Die Abtastfrequenz ist f S = khz. S(f) - f/khz (b) Ideale Abtastung von s(t) führt auf das Signal x(t). Zeichnen Sie dessen Spektrum X(f). (b) Nun tasten wir s(t) mit einem Sample-and-Hold-Glied ab. Dessen Ausgangssignal y(t) bei Abtastung zu den Zeiten k t ( t = /f S ) ist in folgender Abbildung gezeigt. Man kann y(t) als Ergebnis der Faltung des idealen Abtastsignals x(t) mit einer Funktion h(t) betrachten. Geben Sie h(t) an. y(t) s(t) y(t) t t t Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

137 A.5 Prüfung WS 3/4 37 (b3) Zeichnen Sie das Betragsspektrum Y(f) für 5kHz < f < 5kHz. (c) ( Punkte) Angenommen, das Originalspektrum S(f) sieht jetzt so wie in folgender Abbildung aus. Das zugehörige Signal s(t) wird ideal abgetastet. Können Sie einen reellen Rekonstruktions-Tiefpass verwenden, um aus den Abtastwerten wieder s(t) zu gewinnen? S(f) - f/khz Aufgabe 3: Analoge Modulation Ein -Ton Signal s(t) = cos(πf s t) wird auf einen Träger s c (t) = A cos(πf c t) moduliert. Dabei gilt f c >> f s. In der unten stehenden Abbildung sind Sendesignale dargestellt, wobei die gestrichelte Linie die Einhüllende darstellt Sendesignal s (t) Sendesignal s (t) (a) (7 Punkte) (a) Welche Modulationsarten wurden für Sendesignal und Sendesignal angewandt? (a) Schreiben Sie die Gleichung s (t) für das Sendesignal auf. Geben Sie dabei auch die Zahlenwerte für A, f c und f s an. (a3) Wie groß wurde für Sendesignal der Modulationsindex m gewählt? (b) (4 Punkte) (b) Zeichnen Sie das Spektrum S (f) für Sendesignal. Bezeichnen Sie die Achsen. Hinweis: cos(x)cos(y) = (cos(x+y)+cos(x y)) (b) s(t) soll nun mittels Einseitenbandmodulation ohne Träger übertragen werden. Skizzieren sie das Spektrum S ESB (f) des entstehenden Bandpasssignals. Sommersemester 4

138 38 A PRÜFUNGEN Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (4 Punkte) (a) Wieviele Bits können durch ein 4-FSK Symbol übertragen werden? (a) Ein digitales Kommunikationssystem soll mittels 8-PSK Modulation eine Bitrate von 36 Bit pro Sekunde realisieren. Wie hoch muss die Symbolrate sein? Nun soll eine Bitfolge {b k },k N, b k {,}, die aus einem Sprachsignal erzeugt wurde, über einen Kanal mit additivem Rauschen übertragen werden. Es soll eine digitale Modulation der {b k } erfolgen, um das Sendesignal s(t) zu erhalten. Das Empfangssignal sei r(t), das Rauschen werde durch n(t) beschrieben. Als Modulationsverfahren wird Binary Phase Shift Keying (BPSK) eingesetzt. Die Sendesymbole sind durch s k = b k gegeben. (a3) Zeichnen Sie das Blockschaltbild des Kanalmodells. (a4) Zeichnen Sie das Phasendiagramm der Modulation. Tragen Sie auch die Zuordnung {b k } {s k } mit ein. Im Empfänger ergibt sich vor dem Entscheider r k = s k +n k, wobei {n k } ein komplexes weißes Gaußsches Rauschen ist. (b) (7 Punkte) (b) Wie kann man s k aus r k so zurückgewinnen, dass möglichst wenige Symbolfehler entstehen? Zeichnen Sie ein Blockdiagramm des Verfahrens. Es soll angenommen werden, dass die Sendesymbole mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für zweiwertige (binäre) Modulationsverfahren kann mit der Formel P S = Q ( d min 4σ n ) berechnet werden. Dabei ist d min der Abstand der Symbole im Phasendiagramm der Konstellation und σ n ist die Varianz des Rauschens. Beide Größen können hier als dimensionslos angenommen werden. Q(x) ist die Q-Funktion, die in der folgenden Abbildung gegeben ist. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

139 A.5 Prüfung WS 3/4 39 Q(x) x (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Symbolfehlers (und damit Bitfehlers) für das BPSK-Verfahren und σ n =. Nun soll ein binäres, orthogonales Modulationsverfahren an Stelle von BPSK verwendet werden. Das Phasendiagramm ist in der folgenden Abbildung gegeben. Q x x I (b3) Geben Sie die mittlere Signalleistung für dieses Verfahren an. (b4) Zeichnen Sie das gegebene Phasendiagramm ab und zeichen Sie den Verlauf der Entscheidungsschwelle mit ein, für den sich eine möglichst geringe Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt. (b5) Berechnen Sie nun die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für dieses Modulationsverfahren und σ n =.5. (c) (3 Punkte) Nun soll QPSK-Modulation betrachtet werden. Es werden also zwei Bit pro Symbol übertragen. (c) Zeichnen Sie ein gültiges Phasendiagramm für diese Modulationsart. Wählen Sie die Symbolenergie E S dabei so, dass die Bitenergie E B den selben Wert wie beim vorher betrachteten BPSK-Verfahren hat. Sommersemester 4

140 4 A PRÜFUNGEN (c) Die weitaus meisten Symbolfehler bei QPSK führen dazu, dass an Stelle des gesendeten Symbols ein unmittelbar benachbartes Symbol entschieden wird.tragen Sie in das Phasendiagramm von (c) eine günstige Zuordnung der Bitpaare {},{},{} und {} ein, so dass sich eine möglichst geringe Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

141 A.6 Musterlösung zur Prüfung WS 3/4 4 A.6 Musterlösung zur Prüfung WS 3/4 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) No. h(t) for t < (a) h(t) = rect( ) T H(f) = F{rect( )} = T si(πft) T (a3) Tiefpassfilter (a4) q(t) T/ t (a5) Diagram qualitativ richtig Diagram quantitativ richtig ( Punkt) ( Punkte) y(t) -T/ T/ T t -T/ S (b) (b) L SN dbm/mhz = log N (f)w/mhz mw = log. 3 W/MHz mw = dbm/mhz (b) P N L N dbm = log mw = log S N (f)w/mhz BMHz mw = dbm+3db = 3dBm (b3) SNR = L S L N = dbm 3dBm = 7dB ( Punkte) Sommersemester 4

142 4 A PRÜFUNGEN (b4) SNR = L S L N 3dB= 7dB 3dB = 4dB = dbm+3db = 3dBm( Punk- P (b5) L S dbm = log S = log mw te) P S (f)w/mhz BMHz mw (c) SIR min = L S I max I max = L S SIR = 3dBm db = 3dBm L[dB/Hz] Kanal Kanal f c f c f x MHz I max = dbm+log (xmhz) xmhz = (f c f c ) min = 8MHz ( Punkte) Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) Wegen f A < f G ist das Abtasttheorem verletzt und es kommt zu Aliasing. Damit kann das Originalsignal s(t) nicht verzerrungsfrei aus den Abtastwerten rekonstruiert werden. (a) Die Quantisierung ist stets verlustbehaftet; s(t) kann nicht verzerrungsfrei aus d(t) rekonstruiert werden. (b) (b) Spektrum X(f) ist periodische Fortsetzung des Originalspektrums S(f). Zeichnung qualitativ und quantitativ richtig (je Punkt) X(f) - - f/khz (b) Die Abtastwerte können durch Faltung mit einem Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

143 A.6 Musterlösung zur Prüfung WS 3/4 43 (kausalen) Rechteckimpuls der Länge t über ein Abtastintervall gehalten werden, also h(t) = rect(t/ t /). (b3) Y(f) ergibtsichausmultiplikationvon X(f) und H(f) = si(πf/f s ), f S = / t. Zeichnung qualitativ und quantitativ richtig (je Punkt) Y(f) - - f/khz (c) Nein. Das Spektrum ist ungerade, also ist das zugehörige Signal komplex. Dieses kann nicht mit einem reellen Filter verarbeitet werden. Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) s (t) Winkelmodulation (Frequenzmodulation, Phasenmodulation) s (t) Amplitudenmodulation (a) (b) (b) s (t) = (A +s(t))cos(πf c t) = (A +cos(πf s t))cos(πf c t) mit f s = f c = 5 A +max( s(t) ) = A + = 3 A = (a3) m = max( s(t) ) A = smax A = s (t) =(A +cos(πf s t))cos(πf c t) =A cos(πf c t)+ (cos(π(f s +f c )t)+cos(π(f s f c )t)) F {cos(πf x t)} = (δ(f f x)+δ(f +f x )) Skizze qualitativ richtig x-achse richtig beschriftet y-achse richtig beschriftet Sommersemester 4

144 44 A PRÜFUNGEN A S (f) 4 f c f c f c f s f c +f s (b) Skizze qualitativ richtig (Dirac s können auch bei ±(f c f s ) liegen) S ESB (f) (f c +f s ) f c +f s Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Bit. (a) Symbole pro Sekunde, da eine Bitfolge der Länge 3 einem 8-PSK Symbol zugeordnet werden kann. (a3) Blockschaltbild mit Eingang für Sendesignal s(t), Addition von n(t) und dem Ausgang r(t). s(t) + r(t) n(t) (a4) Phasendiagramm BPSK: s k {,}, wobei b k = s k = und b k = s k =. Q b= x s=- b= x s= I (b) (b) R {r k } Komparator mit Schwelle Korrektes Mapping s k b k Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

145 A.6 Musterlösung zur Prüfung WS 3/4 45 ja Re{ } >? nein (b) Q().6 (richtig gewertet von.4 bis.8) (b3) Signalleistung: P = =. (b4) siehe Abbildung: Q x x I (b5) Q().6 (richtig gewertet von.4 bis.8) (c) (c) Symbolamplitude, Winkel zwischen benachbarten Symbolen: π/ (absolute Phasenlage egal). Q x x x I x (c) Bitpaare benachbarter Symbole unterscheiden sich in nur einem Bit. ( Punkte) Sommersemester 4

146 46 A PRÜFUNGEN Q x x x I x Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

147 A.7 Nachprüfung SS 4 47 A.7 Nachprüfung SS 4 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (7 Punkte) Gegeben ist eine Funkübertragungsstrecke bestehend aus Sender, Kanal und Empfänger. Die Funkkanaldämpfung wird beschrieben durch ( ) d L A = 3dB+4log db, m wobei d den Abstand zwischen Sender und Empfänger angibt. Sender L TX L RX Rauschen L A Empfänger (a) Geben Sie den Zusammenhang (Formel) zwischen Sendeleistung P TX und Sendeleistungspegel L TX (in dbm) an. Geben Sie L TX für P TX = 8mW an. (a) Die Funkkanaldämpfung beträgt L A = db. Wie weit entfernt sind Sender und Empfänger? Welcher Empfangspegel L RX (in dbm) stellt sich ein, wenn der Sendepegel dbm beträgt? (a3) Das Signal-zu-Rausch-Verhältnis(SNR) am Empfänger soll mindestens db betragen. Wie hoch (in mw) darf die Rauschleistung P N bei einem Empfangspegel von -9 dbm höchstens sein? (a4) Nun beträgt die Rauschleistung 5 mw. Am Empfänger treten noch Störsignale auf, die als zusätzliches Rauschen (P S ) wirken und das SNR um 3 db verringern. Wie hoch (in mw) ist diese zusätzliche Störleistung P S? L RX Störsignale Rauschen Empfänger Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b); x y lg(x) (gerundet) y Sommersemester 4

148 48 A PRÜFUNGEN (b) (6 Punkte) (b) Wie lautet der allgemeine Zusammenhang zwischen der Impulsantwort h(t) und der Übertragungsfunktion H(f) eines LTI-Systems? (b) Gegeben sei nun ein LTI-System mit der Impulsantwort h(t) = { für t < e at für t wobei a reell und a > ist. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion H(f) und den Betrag H(f). Skizzieren sie den Betrag H(f). (b3) Berechnen Sie mit Hilfe des Fourierintegrals das Spektrum der Zeitfunktion s(at), a R, bezüglich der Funktion S(f), wobei S(f) = F{s(t)} das Spektrum von s(t) bezeichnet. (c) ( Punkte) Ein System wird durch die Impulsantwort beschrieben. Das Eingangssignal sei Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t). h(t) = si(πf c t) x(t) = cos(πf c t). Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (6 Punkte) Das Signal s(t) = A sin(πf t)+a sin(πf t) soll mit der Frequenz f s abgetastet werden, wobei A =, f = khz und A =, f = 3kHz. (a) Wie groß muss f s mindestens gewählt werden, damit kein Aliasing entsteht? (a) Es wird nun die Abtastrate f s = khz gewählt. Zeichnen Sie das Betragsspektrum S s (f) des abgetasteten Signals s s (t) im Bereich [ 5kHz,5kHz]. Beschriften Sie die Frequenzachse. (a3) Geben Sie eine mathematische Beschreibung (Formel) des Spektrums S s (f) an. (a4) Sie haben das Signal mit f s = 5 khz abgetastet und wollen es nun zurückgewinnen (siehe Abbildung). Leider steht Ihnen nur ein Bandpassfilter mit.5 f g 5.5 khz zur Verfügung. Welche Frequenzen f r enthält das rekonstruierte Signal r(t)? f s = 5kHz s(t) s a (t) BP.5 fg khz 5.5 r(t) (b) ( Punkte) Das Signal x(t) = 3 sin(πf t) soll mit einem linearen mid-rise Wandler (siehe Abbildung) quantisiert werden. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

149 A.7 Nachprüfung SS s x q s s x 3 s (b) Wie groß muss der Aussteuerbereich des AD-Umsetzers mindestens gewählt werden, damit alle Werte von x(t) erfasst werden können? (b) Wieviele Stufen q muss der Wandler mindestens besitzen, damit der maximale absolute Quantisierungsfehler e max nicht größer als. wird? (c) ( Punkte) Gegeben sei das abgetastete Signal x[n] = { ( ) m, n = m,, n = m+, wobei n, m Z. Geben Sie je ein mögliches zeitkontinuierliches Signal x(t) und die verwendete Abtastperiode T s an, wobei (c) x[n] aliasfrei ist (c) x[n] durch ein Tiefpassfilter nicht ohne Verfälschungen rekonstruiert werden kann. Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (4 Punkte) (a) Welche Parameter eines Trägersignals s c (t) = Acos(πf c t+φ) können moduliert werden? (a) Nennen Sie jeweils einen Vorteil und einen Nachteil der analogen Amplitudenmodulation! (a3) Geben Sie für das Verfahren der Amplitudenmodulation die Definition des Modulationsindexes an und erläutern Sie alle vorkommenden Größen! (b) (7 Punkte) (b) Das Signal x(t) = A cos(πf t) A cos(πf t) soll mittels Amplitudenmodulation übertragen werden. Der Träger ist durch s c (t) = cos(πf c t) gegeben. Der Gleichanteil, der x(t) überlagert wird, sei A. Geben Sie das entstehende Bandpasssignal s(t) an! Sommersemester 4

150 5 A PRÜFUNGEN (b) Zeichnen Sie das Betragsspektrum des Bandpasssignals s(t)! (b3) Berechnen Sie den maximal möglichen Betrag der Amplitude von x(t)! (b4) Nun seien A = A =, f = f = khz und f c = MHz. Für den Modulationsindex µ soll µ gelten. Geben Sie µ so an, dass der Wirkungsgrad η des AM-Bandpasssignals s(t) maximal wird, und berechnen Sie diesen Wirkungsgrad! Hinweis: Der Wirkungsgrad η ist definiert als das Verhältnis von Nutzsignalleistung und Gesamtleistung des Bandpasssignals. Aufgabe 4: Digitale Modulation Betrachten Sie das in der Abbildung gegebene Übertragungssystem. Das Informationssignal m(t) hat im Intervall kt b t < (k+)t b den konstanten Wert b(k) für k N, wobei b(k) {,} die Informationsbits sind, und T b die Bitperiode ist. Das gesendete Signal wird über einen AWGN Kanal übertragen. Nehmen Sie im Folgenden an: f c T b = l, l N. Entscheider Kanal Kurzzeitintegrator über Bitperiode (a) ( Punkte) (a) Skizzieren Sie das Informationssignal m(t) für eine gesendete Bitfolge. (a) Skizzieren Sie das gesendete Signal s(t). (a3) Geben Sie einen mathematischen Ausdruck für das Signal ŝ(t) in Abhängigkeit von m(t) an. (a4) Berechnen Sie r(kt b ) für den Fall n(t) =. Hinweis: cosacosb = [ ] cos(a+b)+cos(a b) (a5) Zeichnen Sie das Konstellationsdiagramm am Eingang des Entscheiders für den Fall n(t) =. (b) (4 Punkte) Im Folgenden betrachten Sie n(t) als weißes Gaussches Rauschen und gleichwahrscheinliche Sendesymbole. Für diesen Fall lässt sich die Bitfehlerrate BER in Abhängigkeit vom Signal-Rausch-Abstand SN R mit folgender Gleichung berechnen: Skript Einführung in die Nachrichtentechnik BER = erfc ( SNR ),

151 A.7 Nachprüfung SS 4 5 wobei erfc(x) die komplementäre Fehlerfunktion ist, die in der folgenden Abbildung gegeben ist. (b) Definieren Sie die Entscheidungsschwelle des Entscheiders so, dass die die Bitfehlerrate minimiert wird. (b) Berechnen Sie die Bitfehlerrate für den Fall A c = 8 σ T b, wobei σ die Rauschvarianz ist. (b3) Wie klein darf der Signal-Rausch-Abstand SN R am Detektoreingang minimal werden, damit eine Bitfehlerrate von 5 7 nicht überschritten wird? Geben Sie diesen Wert näherungsweise auch in db an! Sommersemester 4

152 5 A PRÜFUNGEN A.8 Musterlösung zur Nachprüfung SS 4 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme (a) (a) L TX = log (P TX /mw)dbm L TX = 9dBm (a) db = 3dB+4log (d/m)db d = m L RX = L TX L A = 9dBm (a3) SNR = L RX log (P N /mw) db P N ( 9dBm db)/db = mw. (a4) Empfängerrauschen P N und Störleistung P S ergeben Gesamtrauschpegel L G, der das SNR bei unveränderter Nutzsignalleistung um 3 db verringert. Also ist der Gesamtrauschpegel L G um 3 db höher als der Empfängerrauschpegel. L G = log ( PN +P S mw ) dbm = log ( PN mw ) dbm+3db (b) (b) (b) P N +P S = P N P S = P N = 5 mw H(f) = H(f) = = h(t)e jπft dt e at e jπft dt e (a+jπf)t dt [ = ] e (a+jπf)t (a+jπf) = a+jπf H(f) = a +(πf) (Diagramm qualitativ richtig Punkt) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

153 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung SS 4 53 Betrag der Übertragungsfunktion.8 H(f) f (b3) F{s(at)} = s(at)e jπft dt Die Substitution u = at ( du = adt ) liefert: F{s(at)} = = a sgn(a) sgn(a) sgn(a) sgn(a) = a S(f a ) s(u)e jπf a u a du s(u)e jπf a u du (richtiger Rechenweg und Ergebnis Punkt) (c) y(t) = x(t) h(t) Y(f) = X(f) H(f) ( ) Y(f) = (δ(f f c)+δ(f +f c )) rect f f c f c = Y(f) = y(t) = Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) f s > f max = 6kHz (a) Diagramm qualitativ richtig Frequenzachse richtig beschriftet Sommersemester 4

154 54 A PRÜFUNGEN S s (f) f s -3-3 f/khz f s (a3) S s (f) = j ( A (δ(f nf s +khz) δ(f nf s khz)) n= ) +A (δ(f nf s +3kHz) δ(f nf s 3kHz)) (a4) f r = {3kHz, 4kHz} ( Punkte) R(f) S a (f) R(f) Bandpassfilter f s -3-3 f s f/khz (b) (b) Aussteuerbereich U = U max U min = x max x min = 6 (b) Mit s = Quantisierungsstufe s = U q e s e max q U e max = 6. = 3 (c) (c) x(t) = cos(πft) mit T s = 4f Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

155 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung SS (c) x(t) = cos(πft) mit T s = 3 4f andere Signalformen (z.b. Rechteck-Signal) oder Vielfache der Abtastfrequenzen sind möglich. - Abgetasteter Cosinus mit Aliasing - Abgetastetes Rechteck mit Aliasing Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) Amplitude A, Frequenz f c und Phase φ können moduliert werden. (a) Vorteile: einfache Sender- und Emfängerstrukturen; für µ ist die Information des Quellensignals ausschließlich in der Einhüllenden des Modulationsproduktes enthalten. Nachteile: schlechter Wirkungsgrad; Pegel am Demodulatorausgang ist vom Emfangspegel abhängig; Sendeverstärker muss in einem großen Aussteuerbereich linear sein. Verfahren ist sehr rauschempfindlich. = smax A, wobei s max der maximale Betrag des Quellsi- (a3) Modulationsindex µ = max( s(t) ) A gnales ist und A die Amplitude des Trägers darstellt (bzw. der Gleichanteil, der zu s(t) addiert wird). (b) (b) s BP (t) = A ( + A cos(πf t) A cos(πf t) A )cos(πf c t) Sommersemester 4

156 56 A PRÜFUNGEN (b) siehe Bild S ( ) BP f A f c f f + f c f f f + f f f f + f f c f c c A 4 A 4 c fc f f c fc + f c Skizze qualitativ richtig Skizze quantitativ richtig (b3) s max = A +A (b4) Der maximale Wirkungsgrad wird für µ = erreicht. Daher ist A = s max =. Daraus folgt s BP (t) = cos(πf c t) cos(πf t)cos(πf c t) cos(4πf t)cos(πf c t). Aus den Spektrallinien im Bild läßt sich nun das Leistungsverhältnis direkt ablesen. DieNutzsignalleistungbeträgtP SB = 8 ( 4 ) = /,dieträgerleistungp C = ( ) = (Rechenweg kann auch anders sein). Daraus folgt η = / = /3. +/ Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Diagramm qualitativ richtig. Achsen richtig bezeichnet. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

157 A.8 Musterlösung zur Nachprüfung SS (a) Diagramm qualitativ richtig. Achsen richtig bezeichnet (a3) ŝ(t) = A c m(t)cos (πf c t)+n(t)cos(πf c t) (a4) r(t) = ktb (k )T b ŝ(t)dt = ktb (k )T b m(t)a c ( + ) cos(4πf ct) dt ( Punkte) r(t) = A c ktb (k )T b m(t)dt+ ktb r(kt b ) = A c m( (k )T b ) (k )T b m(t)cos(4πf c t)dt ktb (k )T b dt Sommersemester 4

158 58 A PRÜFUNGEN (a5) Diagramm qualitativ richtig. Eintragen von Konstellationspunkten. r(kt b ) = A cm((k )T b )T b Q I (b) (b) Die optimale Entscheidungsschwelle liegt bei. (b) SNR = A c T b 4σ = 64 σ T b T b 4σ = 3 BER = erfc(4) (b3) SNR min = [erfc ( BER)] = [erfc ( 6 )] [3.5] 4.5 In db: lg(4.5) [lg(4)+lg(6)] = [.6+.8] = 4dB Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

159 A.9 Prüfung WS 4/5 59 A.9 Prüfung WS 4/5 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme Hinweis: Aufgabe a) und b) können unabhängig voneinander gelöst werden. (a) (8 Punkte) Gegeben ist die im Diagramm gezeigte Übertragungsfunktion h(t). h(t) - T 4T 5T 6T t (a) Ist das von h(t) dargestellte System kausal? Begründen Sie Ihre Antwort. (a) Geben Sie einen mathematischen Ausdruck an, durch den man das Ausgangssignal y(t) berechnen kann, wenn das von h(t) dargestellte System mit einem Eingangssignal x(t) angeregt wird. (a3) Zeichnen Sie das Ausgangssignal y(t) für das im Diagramm gezeigte Eingangssignal x(t). Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! x(t) T t (a4) Geben Sie an, für welche Zeitpunkte t das Ausgangssignal y(t) den Wert Null annimmt. Betrachten Sie das Intervall < t < 8T. (a5) Berechnen Sie die Fouriertransformation H(f) der Übertragungsfunktion h(t). (b) (5 Punkte) Die Sendeleistung eines Senders ist als Pegel angegeben und beträgt L PS = dbm. (b) Geben Sie die Sendeleistung P S in mw an. Sommersemester 4

160 6 A PRÜFUNGEN (b) Ein Empfänger befindet sich 8 m entfernt vom Sender. Die Funkkanaldämpfung ist gegeben durch ( ) d L D = 5dB+4log db. 4m Berechnen Sie die Funkkanaldämpfung L D. (b3) Berechnen Sie den Empfangspegel L PE in dbm. (b4) Geben Sie den Signal-Rausch-Abstand SNR in db an, wenn die Leistung des additiven Rauschen P N % der Leistung des Empfangssignals P E beträgt. (c) Ein System sei durch folgende Beziehung zwischen dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) charakterisiert: Ist das System linear? Begründen Sie! y(t) = x(t)+. Hinweise: log(a b) = log(a)+log(b) ; log(a/b) = log(a) log(b) x log(x) Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (5 Punkte) Gegeben ist das folgende System, das aus einem Tiefpaßfilter mit rechteckförmigem Frequenzgang und einem idealen Abtastglied besteht. Die Abtastfrequenz ist f A = khz. f G f f A = khz TP s(t) s A (k) (a) Welche Grenzfrequenzen f dürfen die tiefpaßgefilterten Analogsignale s(t) haben, so daß sie aus den Abtastwerten Aliasing-frei rekonstruiert werden können? Im weiteren haben der Eingangstiefpaßfilter eine Grenzfrequenz f G = 4kHz und s(t) das folgende Spektrum S(f). S(f) f f G = 4kHz Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

161 A.9 Prüfung WS 4/5 6 (a) Zeichnen Sie das Spektrum S A (f) des Abtastsignals s A (k) im Bereich 5kHz f 5 khz. (a3) Zur Rekonstruktion von s(t) aus den Abtastwerten wird ein weiteres Filter eingesetzt. Geben Sie den erforderlichen Filtertyp (Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß, Allpaß) und den Wertebereich für die obere Grenzfrequenz f R dieses Rekonstruktionsfilters an. (b) (3 Punkte) Ein abgetastetes Signal wird durch einen Quantisierer mit linearer Kennlinie und Aussteuerbereich U... U, U = 5, V, wertediskretisiert. Dabei soll der absolute Quantisierungsfehler höchstens e max = mv sein. Berechnen Sie die benötigte Auflösung b des Quantisierers in Bits. (c) ( Punkte) Welcher der Parameter Abtastfrequenz f A, Grenzfrequenz des Eingangstiefpasses f G, obere Grenzfrequenz f R des Rekonstruktionsfilters, Auflösung b des Quantisierers kann verändert werden, um das Quantisierungsrauschen zu verringern? Wie muß dieser Parameter verändert werden, um das Quantisierungsrauschen um 6 db zu senken? Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (3 Punkte) (a) Nennen Sie jeweils einen Vorteil und einen Nachteil der analogen Winkelmodulation! (a) Wie lautet die Definition des Wirkungsgrades für analoge Amplitudenmodulation? Erläutern Sie alle vorkommenden Größen. Nun sollen die beiden Signale s (t) = cos(πf t) und s (t) = cos(πf t) mittels Amplitudenmodulation übertragen werden, wobei f = f = khz. Das Bandpasssignal hat die Form mit f c = khz. (b) (4 Punkte) s BP (t) = [A+s (t)+s (t)]cos(πf c t) (b) Zeichnen Sie das Betragsspektrum S BP (f)! (b) Wie groß muss A mindestens gewählt werden, damit der Modulationsindex µ ist? Begründen Sie Ihre Antwort! (c) (4 Punkte) Das Signal s BP (t) sei nun störungsfrei zum Empfänger gelangt. Es wird zur Zwischenfrequenz f ZF heruntergemischt, wobei f ZF < f c. Der Mischer im Empfänger arbeitet dazu mit der Frequenz f M. Die folgende Abbildung zeigt ein Blockschaltbild dieses Teils des Empfängers. s ( s ( ) BP t ) M t Bandpassfilter cos( π f t) M Sommersemester 4

162 6 A PRÜFUNGEN (c) Wie lautet der allgemeine Zusammenhang zwischen f c, f M und f ZF? Berechnen Sie alle möglichen Werte für f M, für die f ZF = 5 khz! (c) Nun sei f M =,96 MHz. Welche Bandbreite B darf ein Bandpassfilter nach dem Mischer aufweisen, das die zu s (t) gehörenden Signalanteile unterdrückt, die zu s (t) gehörenden Anteile gleichzeitig aber durchläßt? Geben Sie alle zulässigen Werte an! Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (6 Punkte) Gegeben sei der zeitliche Verlauf eines digital modulierten Signales x(t). Dargestellt sind alle möglichen Symbole, T sym bezeichne die Symboldauer: 3 x(t) t/t sym (a) Welches Modulationsverfahren wurde angewandt? (a) Welche Wertigkeit w besitzt dieses Modulationsverfahren, d.h. wieviele Zustände kann das Quellensignal annehmen? (a3) Zeichnen Sie qualitativ das Phasendiagramm. (a4) Welche Zeit t t wird benötigt, um 8 bit zu übertragen, wenn T sym = 3ms? (a5) Angenommen, alle Symbole treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Welche mittlere Leistung P m hat das übertragene Signal, wenn ein Symbol die Leistung A i/ aufweist, wobei A i die Amplituden der Symbole gemäß der Abbildung darstellen? (bitte wenden) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

163 A.9 Prüfung WS 4/5 63 (b) (5 Punkte) Mittels -Frequenzumtastung (-FSK) soll die Bitfolge d{k} = {,,, } übertragen werden. Dabei wird das binäre Datensignal den Frequenzen f und f, f > f, eines Trägersignals zugeordnet: s(t) = { s (t) = cos(πf t) für d{k} = tǫ(kt Bit,(k +)T Bit ) s (t) = cos(πf t) für d{k} = tǫ(kt Bit,(k +)T Bit ) s (t)unds (t)sollenorthogonalzueinandersein,d.h.fürdiehiervorliegendenreellensignale gilt (k+)t Bit kt Bit s (t)s (t)dt =,k N. Die Bitdauer sei T Bit = ms. s(t) wird dann wie in der Abbildung vorgegeben übertragen und mittels Korrelationsempfänger demoduliert: (k+)t Bit kt Bit r(t)s (t)dt r (k) s(t) r(t) r s (k) R ˆd{k}ǫ{,} n(t) (k+)t Bit kt Bit r(t)s (t)dt r (k) (b) ZeichnenSiedasSendesignals(t),sodasskeinePhasensprüngebei(T Bit,T Bit,3T Bit,...) auftreten. (b) f sei.5 khz, f sei khz, d.h. s (t) und s (t) sind zueinander orthogonal. Bestimmen Sie die Signale r (k = ) und r (k = ) (siehe Blockdiagramm), wenn n(t) =. (b3) Auf welchen Wert muß die Schwelle R im Entscheider gesetzt werden, damit sich eine möglichst geringe Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt, wenn das Auftreten der Symbole gleichwahrscheinlich ist? (c) (3 Punkte) Durch falsche zeitliche Synchronisation um T Bit / wird im Korrelator nun von (k +/)T Bit bis (k +3/)T Bit integriert. Hinweis (c) Welcher Wert r (k = ) ergibt sich nun bei gegebener Bitfolge d{k}, wenn n(t) =? (c) Wie wirkt sich falsche zeitliche Synchronisation auf die Bitfehlerrate aus, wenn n(t)? Begründen Sie. cosacosb = [cos(a+b)+cos(a b)] Sommersemester 4

164 64 A PRÜFUNGEN A.3 Musterlösung zur Prüfung WS 4/5 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (a) Es handelt sich um ein kausales System, da h(t) = für t <. (a) y(t) = = h(t τ)x(τ)dτ x(t τ)h(τ)dτ (a3) Diagramm qualitativ richtig. Diagramm quantitativ richtig. 8T Y(t) T T 4T 5T 6T 8T t -4T (a4) Innerhalb des Intervalls 4T < t 6T kann folgendes Integral aufgestellt werden: 4T t y(t) = dτ +4 dτ t T 4T = 8T +6t. Daraus ergibt sich 8T +6t = und somit t = 4 3 T. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

165 A.3 Musterlösung zur Prüfung WS 4/5 65 (a5) Die Übertragungsfunktion h(t) kann als die Summe von zwei Funktionen ausgedrückt werden. h(t) = h (t)+h (t) ( ) t T = rect 4T ( ) t 5T +rect. T Unter Anwendung von Verschiebungssatz und Ähnlichkeitssatz erhält man die folgenden Fouriertransformationen: ( Punkt) und H (f) = 4Tsinc(4Tf)e jπft Daraus ergibt sich H (f) = 4Tsinc(Tf)e jπf5t. H(f) = 4T ( sinc(tf)e jπf5t sinc(4tf)e jπft). (b) (b) = P S. Daraus ergibt sich P mw S = mw. (b) L D = 5dB+4log()dB. = 5+4log( )db = 5+4log()+4log()dB = 5+4(3/)+4dB = 77dB (b3) L PE = dbm 77dB = 57dBm. (b4) P N = P E /. Daraus ergibt sich ( = log L PN P E mw ) dbm ( Punkte) ( PE SNR = log mw = log()db = db. ) ( dbm log P E mw ) dbm (c) Das System ist nicht linear, denn für x(t) = x (t) + x (t) folgt y(t) = x (t) + x (t) + x (t)+x (t)+ = y (t)+y (t). Ergebnis Begründung Sommersemester 4

166 66 A PRÜFUNGEN S A (f) f/khz f G f A f G f A +f G f f A Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) Aliasingfreiheit Nyquist-Kriterium: f f A / = 5kHz. (a) Zeichnung wie folgt qualitativ richtig (S(f) periodisch fortgesetzt) quantitativ richtig (f-achse symbolisch oder mit Zahlenwerten beschriftet) (a3) Rückgewinnung von s(t) durch Rekonstruktions-Tiefpaß. Für die benötigte Grenzfrequenz f R gilt f G = 4kHz f R 6kHz = f A f G. (b) Mit der Breite des Aussteuerbereichs U, dem maximalen absoluten Quantisierungsfehler e max, der Stufenbreite u, der Stufenzahl q und der Auflösung in Bit b ergibt sich e max = u/ u = e max = 4mV u = U/q q = U/ u = 4mV/4mV = 56 q = b b = log q = 8 Es genügt die Angabe eines nachvollziehbaren Rechenweges mit dem richtigen Endergebnis. (c) Eine Minderung des Quantisierungsrauschens um 6 db läßt sich durch Erhöhung der Quantisiererauflösung b um Bit oder durch Vervierfachung der Abtastfrequenz f A erzielen. Parameter (b oder f A ) zugehörige Veränderung Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) Vorteile: konstante Einhüllende des Modulationproduktes, nicht so störempfindlich wie analoge Amplitudenmodulation. Nachteile: hoher Bandbreitenbedarf. insgesamt (a) Der Wirkungsgrad η AM = P SB P AM, wobei P AM die gesamte AM-Sendeleistung darstellt und P SB die Leistung der Seitenbänder (informationstragender Teil) ist. Formel Erläuterung Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

167 A.3 Musterlösung zur Prüfung WS 4/5 67 (b) (b) Zeichnung qualitativ richtig Zeichnung quantitativ richtig S ( ) BP f A f c f f + f c 4 fc f fc + f f f f + f f f f + f f c f c c c f c c (b) Die maximale Amplitude des modulierenden Signals ist A max =. Es muss A A max gewählt werden, damit µ. Somit muss A mindestens den Wert haben. Begründung oder Berechnung Ergebnis (c) (c) Es gilt allgemein: f c f M = f ZF. Für f ZF = 5 khz gibt es also die Möglichkeiten f M = {95, 5} khz. Ergebnis Herleitung (c) khz < B < 4kHz, weil die beiden Spektrallinien S (f) einen Abstand von khz haben, und die Spektrallinien S (f) einen Abstand von 4 khz haben. Siehe auch Skizze. Ergebnis Herleitung B max SM ( f ) B min fm f fm + f fm f f M fm + f f Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Amplitudenumtastung (ASK) (a) w = 4, da 4 verschiedene Amplitudenstufen Sommersemester 4

168 68 A PRÜFUNGEN (a3) qualitativ richtig: Q I (a4) 8 bit entsprechen 4 Symbolen t t = 4 T sym = s (a5) p i : Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Symbols i, P i : Leistung des Symbols i A i : Amplitude des Symbols i P m = 4 p i P i i= = 4 A i = 8 ( ) = 7/4 (b) (b) qualitativ richtig (sin wird auch richtig gewertet).5 s(t) t [ms] (b) k = liefert: r (k = ) = r (k = ) = TBit TBit cos(πf t)cos(πf t)dt cos(πf t)cos(πf t)dt beide Ansätze richtig Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

169 A.3 Musterlösung zur Prüfung WS 4/5 69 (b3) R = r (k = ) = mit TBit TBit ( + ) cos(4πf t) dt cos(4πf t) = /(4πf )sin(4π.5khzms) = r (k) = T Bit r (k = ) = wegen der Orthogonalität von s (t) und s (t) (c) (c) r (k = ) = = = 3/TBit T Bit / TBit + T Bit / TBit = T Bit 4 T Bit / 3/TBit s(t)cos(πf t)dt cos(πf t)cos(πf t)dt+ 3/TBit T Bit cos(πf t)cos(πf t)dt ( + ) cos(4πf t) dt Auswertung siehe b) T Bit [cos(πt(f f ))+cos(πt(f +f ))] ergibt (c) r () beträgt jetzt nur noch die Hälfte verglichen mit dem Fall idealer Synchronisation (b)). Daraus folgt dass der Wert vor dem Entscheider bei falscher Synchronisation geringer wird. Somit schrumpft der Abstand zur Entscheidungsschwelle. Liegt zusätzlich ein additiver Störterm n(t) (z.b. Rauschen) vor, steigt die Wahrscheinlichkeit des Überschreitens des Schwellwertes und damit einer Fehlentscheidung. Somit steigt die Bitfehlerrate. Sommersemester 4

170 7 A PRÜFUNGEN A.3 Prüfung SS 5 Aufgabe : Signaltheorie und LTI-Systeme (a) (7 Punkte) Die Pegelverhältnisse einer Übertragungsstrecke sind in der Abbildung unten gegeben.dabeiistdiefunkkanaldämpfungl D = 5dB+log( d )db,wobeidieentfernung 8m zwischen Sende- und Empfangsantenne d Meter beträgt. Die beiden Verstärkungsfaktoren sind g = db und g = 7 db, die Verstärker werden als rauschfrei angenommen. Der Pegel des additiven Rauschens ist 5 dbm. LT = dbm LR, LS Sender + Demodulator L D g db L = 5 dbm N = g = 7 db Empfänger (a) Der Sendeleistungspegel sei L T = dbm. Wie groß ist die Sendeleistung P T (mw)? (a) Die Sendeantenne ist 8 Meter von der Empfangsantenne entfernt. Welche Funkkanaldämpfung L D ergibt sich? (a3) Berechnen Sie den Pegel der Rauschleistung (L R ) und den Pegel der Nutzsignalleistung (L S ) am Eingang des Demodulators. (a4) Geben Sie die Definition des Signal-Rausch-Abstandes (SNR) an. (a5) Wie groß ist der SNR in db am Eingang des Demodulators? (a6) Verstärker zwei (g = 7 db) wird durch einen neuen Verstärker (g = 8 db) ersetzt. Wie groß ist nun der SNR am Eingang des Demodulators? Hinweise: lg(a b) = lg(a)+lg(b); lg( a b ) = lg(a) lg(b); x y lg(x) (gerundet) y Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

171 A.3 Prüfung SS 5 7 Für die nachfolgenden Aufgaben ist ein (nachrichtentechnisches) System durch seine Impulsantwort h(t) laut Bild gegeben. h(t) T/ T/ t (b) (6 Punkte) (b) Zeichnen Sie die Übertragungsfunktion H(f) = F {h(t)} des Systems. (b) Ist dieses System quellenfrei? Begründen Sie! (b3) Das System wird mit folgendem Eingangssignal x(t) gespeist. Zeichnen Sie das sich ergebende Ausgangssignal y(t) = h(t) x(t). x(t) T T t (b4) Das System ist nicht kausal. Zeigen Sie anhand eines Ausdrucks für die veränderte Impulsantwort h K (t), wie das System kausal gemacht werden kann. (c) ( Punkte) Welches Ausgangssignal y (t) erhält man, wenn am Eingang des Systems das Signal x (t) = cos(πt/t) anliegt? Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (4 Punkte) Ein Signal s(t), das abgetastet werden soll, habe das in der folgenden Abbildung gegebene, reellwertige Spektrum S(f). S( f ) 4 4 f / khz Sommersemester 4

172 7 A PRÜFUNGEN (a) Geben Sie den zulässigen Bereich für die Abtastfrequenz f S an. Das Signal s(t) soll fehlerfrei aus den Abtastwerten rekonstruiert werden können. (a) Zeichnen Sie das Spektrum S a (f) des Signals s a (t), das bei Abtastung von s(t) mit der Abtastfrequenz f S = 6 khz entsteht. Der Abtaster kann als ideal angenommen werden. (a3) s(t) wir nun mit f S = khz abgetastet, das entstehende Signal wird wieder mit s a (t) bezeichnet. Nun werden die Werte von s a (t) noch diskretisiert. Dazu wird ein linearer Quantisierermit einerauflösungvon 6Bit verwendet,undesentstehtdassignal s q (t). Kann s(t) aus s q (t) fehlerfrei rekonstruiert werden? Begründen Sie Ihre Antwort! (b) (6 Punkte) Gegeben ist ein mid-tread Quantisierer mit linearer Charakteristik und einem Eingang mit dem Aussteuerbereich U = U max U min. Zusätzlich soll U max = U min gelten. Die niedrigste Quantisierungsstufe q hat den Wert U min + s/, und die höchste Stufe q max hat den Wert U max s/. (b) Ist die Anzahl q der Quantisierungsstufen eine gerade oder ungerade Zahl? Begründen Sie Ihre Antwort! (b) Berechnen Sie die Höhendifferenz s zweier benachbarter Quantisierungsstufen. Der Quantisierer habe eine Auflösung von b = 3 Bit, und für den Aussteuerbereich gilt U = 4, V. (b3) Geben Sie den maximalen absoluten Quantisierungsfehler an. (b4) Berechnen Sie den maximalen relativen Quantisierungsfehler. Hinweis: Für den relativen Fehler gilt der Zusammenhang e rel = s s q s, (A.) wobei s der Eingangswert des Quantisierers ist und s q der zugehörige Ausgangswert. Aufgabe 3: Analoge Modulation In einem Übertragungssystem sei das Empfangssignal s(t) = (A+x(t))cos(πf c t), wobei A eine Konstante ist, f c = MHz die Trägerfrequenz darstellt und x(t) das zu übertragende Signal mit dem Spektrum laut folgendem Bild ist. X(f) -4-4 f[khz] (a) (3 Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

173 A.3 Prüfung SS 5 73 (a) Berechnen Sie das Spektrum S(f) des Signals s(t) als Funktion von X(f), dem Spektrum von x(t). (a) Zeichnen Sie das Spektrum S(f) von s(t). Achten Sie auf korrekte Achsenbeschriftung! Das Signal s(t) wird mittels eines Überlagerungsempfängers demoduliert. Hierbei wird das Empfangssignal von der Trägerfrequenz f c auf die Zwischenfrequenz f ZF durch Multiplikation mit dem Oszillatorsignal cosπf M t umgesetzt, wobei f M = 7 khz und f ZF < f c. (b) (6 Punkte) (b) Geben Sie einen Zusammenhang zwischen f c, f ZF und f M an, wenn f M < f c gelten soll. Berechnen Sie f ZF. (b) Was versteht man unter dem Begriff Spiegelfrequenz und welche Rolle spielt Sie beim Empfängerentwurf? Berechnen Sie die Spiegelfrequenz f ZF in unserem Fall. (b3) Zeichnen Sie das Spektrum S ZF (f) des Empfangssignals nach dem Mischen mit dem Signal cos(πf M t). (b4) Zusätzlich zu s(t) ist nun am Eingang des Empfängers ein Interferenzsignal i(t) vorhanden. Das Spektrum von i(t) ist um f I = 4 khz zentriert und hat eine Bandbreite khz, wie auf dem folgenden Bild dargestellt. I(f) f[khz] (c) ( Punkte) SkizzierenSienundasSpektrumS ZF (f)desheruntergemischtenempfangssignalsunter Berücksichtigung von i(t). (c) Das informationstragende Signal x(t) kann nach der Mischung im Punkt (b) mit einem nichtkohärenten Empfänger demoduliert werden. Zeichnen Sie einen Empfänger, der dazu dienen kann. (c) Wie groß muss A (oben definiert) sein, damit der Empfänger wie gewünscht funktioniert? Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (4 Punkte) Die folgenden Bilder zeigen vier digital modulierte Signale. Die Symboldauer beträgt bei allen ms, und alle jeweils möglichen Symbole sind dargestellt. Sommersemester 4

174 74 A PRÜFUNGEN 3 x (t) x (t) 3 4 t (ms) t (ms) x 3 (t) x 4 (t) 3 4 t (ms) 3 4 t (ms) (a) Welche digitalen Modulationsverfahren wurden jeweils verwendet? (a) Geben Sie für die Signale x (t) and x 3 (t) die Datenrate in Bit pro Sekunde (bps) an! (a3) Zeichnen Sie die Konstellationsdiagramme (Phasendiagramme) der Verfahren, die bei den Signalen x (t) und x (t) verwendet wurden. (b) (6 Punkte) Das folgende Blockdiagramm zeigt ein digitales Datenübertragungssystem: Acos(πf c t) n(t) cos(πf c t+θ) m(t) Sender/Transmitter s(t) s (t) kt b Kanal/ Channel T b ( ) dt r(kt b ) Empfänger/Receiver Das Signal m(t) wird aus der Bitfolge b(k) nach folgender Vorschrift erzeugt: m(t) = k= ( t ktb b(k) rect ), T b wobei f c T b = l, l N und b(k) {,}. Die Werte und werden von b(k) mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen, und n(t) sei ein additives Gaußsches Rauschen. (b) Welches Modulationsverfahren wurde benutzt? Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

175 A.3 Prüfung SS 5 75 (b) Berechnen Sie den Wert r(k(t b + )) des Signals am Ausgang des Integrators! Dabei seien θ =, n(t) = und b(k) =. (b3) Geben Sie den optimalen Schwellwert des Entscheiders an, wenn die Zahl der Bitfehler möglichst klein gehalten werden soll! (b4) Welche beiden Werte kann die Entscheidungsvariable r(k(t b + )) annehmen, wenn θ = π/ und n(t) =? Welche Auswirkung hat dies auf die Datenübertragung? (c) (4 Punkte) Betrachtet wird nun eine BPSK-Übertragung. Beide Symbole werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit gesendet und liegen an den Stellen s und s = s im Konstellationsdiagramm. Das Empfangssignal wird durch additives Gaußsches Rauschen mit der Varianz σ gestört. Die Bitfehlerrate dieses Systems kann durch folgenden Ausdruck berechnet werden: BER = ( ) 4 erfc s D + ( σ 4 erfc s D ), σ wobei D eine Entscheidungsschwelle des Empfängers bezeichnet. Die komplementäre Fehlerfunktion erfc( ) ist in der Abbildung auf dieser Seite dargestellt. (c) BerechnenSiedieBitfehlerrate(BER)fürdenFalls = s = mvundσ = (mv). Für die Entscheidungsschwelle gilt D = mv. (c) Wiederholen Sie die Berechnung für den Fall D = mv! Welche Bitfehlerrate ergibt sich nun? Complementry Error Function y=erfc(x) x Sommersemester 4

176 76 A PRÜFUNGEN A.3 Musterlösung zur Prüfung SS 5 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme (a) (a) Für L T = dbm ergibt sich die absolute Sendeleistung P T zu P T L T = log( mw ) dbm P T = mw (a) Für die Funkkanaldämpfung L D ergibt sich zu L D = 5 db+log( 8 m 8 m ) db = 7 db (a3) Der Pegel der Rauschleistung ergibt sich zu L R = L N +g = 5 dbm+7 db = dbm Der Pegel der Nutzsignalleistung ergibt sich zu L S = L T L D +g +g = dbm 7 db+ db+7 db = 4 dbm (a4) Der Signal-Rausch-Abstand (SNR) bezieht die Nutzsignalleistung auf die Rauschleistung, d.h. SNR = Nutzsignalleistung oder Rauschleistung SNR = log( Nutzsignalleistung Rauschleistung ) db (a5) Der SNR am Eingang des Demodulators berechnet sich zu SNR = L S L R = 4 dbm dbm = db (a6) Der SNR am Eingang des Demodulator ist db. (wie in (a5)) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

177 A.3 Musterlösung zur Prüfung SS 5 77 (b) (b) Übertragungsfunktion laut Bild qualitativ richtig (Spaltfunktion) quantitativ richtig (Achsenbeschriftungen) T H(f) /T /T f (b) Das System ist quellenfrei, da aus x(t) auch y(t) folgt. (b3) Ausgangssignal laut Bild qualitativ richtig (Verlauf) quantitativ richtig (Achsenbeschriftungen) T y(t) t T/ T/ 3T/ 5T/ T (b4) Das System wird kausal durch eine Zeitverschiebung der Impulsantwort um (mindestens) T/ nach rechts (Argument t ersetzt durch t T/). Zwei mögliche Impulsantworten sind h K (t) = rect(t/t /) und h K (t) = h(t T/). (c) y (t) =. Man sieht das wie folgt: Zeitbereich: h(t) sorgt für eine (Kurzzeit-)Integration des Signals x (t) über eine Periodendauer T. Integrale über eine Periodendauer sinusförmiger Signale ergeben Null. Frequenzbereich: Spektrum des Kosinus liefert Spektrallinien bei f = ±/T; diese liegen auf den ersten Nullstellen von H(f). ( Punkte) Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) (a) f s 8kHz auf Grund der Nyquistbedingung. (a) Diagramm qualitativ richtig Diagramm quantitativ richtig S ( ) a f f / khz Sommersemester 4

178 78 A PRÜFUNGEN (a3) Nein, da die Quantisierungsfehler nicht wieder entfernt werden können. (b) (b) Eine ungerade Zahl, weil eine Stufe mit Wert existiert und U min = U max. ( Punkte) (b) Für b = 3 folgt q = 7 (max. ungerade Anzahl Q.-stufen). Daher gibt es sechs Intervalle der Höhe s, und s =,6 V. ( Punkt auf Ergebnis) (b3) e abs,max = s =,3V (b4) Im Bereich s < s < s gilt: e rel = e rel,max = s sq s = Aufgabe 3: Analoge Modulation ( Punkte) (a) (a) S(f) = A (δ(f f c)+δ(f +f c ))+ (X(f f c)+x(f +f c )) (a) Spektrum laut Abbildung qualitativ richtig quantitativ richtig S(f) A/ / A/ f[khz] (b) (b) f ZF = f c f M. In unserem Fall f ZF = 3 khz. (b) Die Spiegelfrequenz ist die Mittenfrequenz f SF (f SF f c ) eines Signals, das sich nach dem Heruntermischen mit der Frequenz f m auf der Zwischenfrequenz f ZF mit dem gewünschten Signal überlagert. hier: f SF = f c f ZF = 4 khz (b3) Spektrum laut Abbildung (ohne Interferenz!) qualitativ richtig quantitativ richtig (c) Spektrum qualitativ richtig laut obiger Abbildung (d) (d) Empfänger laut Abbildung (d) A > max{ x(t) + i(t) }. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

179 A.3 Musterlösung zur Prüfung SS 5 79 S(f) A/ / Interferenz f[khz] 99 3 s( t ) + i(t) fg TPF 34 khz fg TPF 4 khz HPF x( t) cos( π f t) M khz < f g < khz Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) x (t): OOK; x (t): ASK; x 3 (t): FSK; x 4 (t): BPSK. Wenigstens drei richtige nötig für Punkt. (a) Datenrate fürx (t) : = bps Datenrate fürx 3 (t) : = bps (a3) Diagramme qualitativ richtig ( Punkte) x x 3 (b) (b) OOK (b) ( Punkte) r (kt b ) = (k+)tb kt b m t (t)acos (πf c t)dt Sommersemester 4

180 8 A PRÜFUNGEN = Tb Tb.Acos (πf c t)dt = A (+cos (π(f c )t)dt = AT b / (b3) Optimaler Schwellwert: AT b /4 (b4) ( Punkte) r (kt b ) = (k+)tb kt b = b(k).a = Ab(k). = m t (t)acos(πf c t)sin(πf c t)dt Tb sin(π(f c )t)dt Die Entscheidungsvariable hat in beiden Fällen den Wert Null, so dass am Empfänger nicht mehr zwischen b(k) = und b(k) = unterschieden werden kann. (c) (c) (c) BER = /4erfc( s D σ )+/4erfc( s D σ ) = /4erfc( )+/4erfc( ) = /4erf c(.) + /4erf c(.4) = /4(.5+.5) =.75 Werte zwischen.85 and.65 werden als richtig gewertet. BER = /4erfc( s D σ )+/4erfc( s D σ ) = /4erfc( + )+/4erfc( + ) = /4erf c(.5) + /4erf c(.5) = /4(.8+.6) =.7 Werte zwischen.6 and.8 werden als richtig gewertet. ( Punkte) ( Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

181 A.33 Prüfung WS 5/6 8 A.33 Prüfung WS 5/6 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme Hinweis: Die Teilaufgaben a),b) und c) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. (a) (5 Punkte) Die Abbildung zeigt das Blockdiagramm einer Funkübertragungsstrecke. Die Entfernung d zwischen Sende- und Empfangsantenne beträgt m. Der Pfadverlust L S (in db) berechnet sich aus Ls = log (d/[m]). + + Sendeverstärker Verstärker Verstärker (a) Geben Sie den Empfangsleistungspegel L pr in dbm an. (a) Berechnen Sie das Signal-Rauschverhältnis (SNR) am Eingang von Verstärker. (a3) Berechnen Sie das SNR am Eingang von Verstärker. (a4) Wie groß ist die Verstärkung (in db) des zweiten Verstärkers, wenn der Signalleistungspegel L p, = dbm ist? (b) (5 Punkte) Gegeben sind die folgenden zeitkontinuierlichen Systeme: System : y (t) = x(t+) System : y (t) = x(t) System 3: y 3 (t) = x( t). (b) Welche dieser Systeme sind linear? (b) Welche dieser Systeme sind kausal? (b3) Welche dieser Systeme sind zeitinvariant? Sommersemester 4

182 8 A PRÜFUNGEN (c) (5 Punkte) Die linke Abbildung zeigt die Impulsantwort h(t) eines LTI-Systems. (c) Ist das System kausal? (c) Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t) des Systems, wenn am Eingang x(t)(siehe rechte Abbildung) eingespeist wird. (c3) Skizzieren Sie qualitativ y(t). Hinweise (Aufgaben und 4): log(a b) = log(a)+log(b) ; log(a/b) = log(a) log(b) x log (x) Aufgabe : Analog-Digital Umsetzung (a) (4 Punkte) (a) Ein reelles, analoges Signal x(t), t R mit unterer Grenzfrequenz f u = Hz und oberer Grenzfrequenz f o wurde mit der Frequenz f s abgetastet, um ein zeitdiskretes Signal x[k], k Z zu erhalten. x(t) kann aus der Folge x[k] fehlerfrei rekonstruiert werden. Wie groß wurde f s mindestens gewählt? (a) Welcher Effekt tritt auf, wenn f s = f o gewählt wird? (a3) Ein weiteres reelles, analoges Signal y(t) mit unterer Grenzfrequenz f u = 6Hz und oberer Grenzfrequenz f o = 7Hz soll abgetastet werden. Aus technischen Gründen kann die Abtastfrequenz f s nur im Bereich Hz f s 6Hz liegen. Ist die Gewinnung eines zeitdiskreten Signals y[k] möglich, so dass y(t) daraus fehlerfrei rekonstruiert werden kann? Begründen Sie Ihre Antwort. Nun soll die Folge x[k] quantisiert werden. Dazu wird ein linearer mid-rise Quantisierer mit 8 Stufen eingesetzt.dereingangdesquantisiererswirdimbereich 4 s x in 4 sausgesteuert,wobei s die Stufenhöhe des Quantisierers bezeichnet. (b) (3 Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

183 A.33 Prüfung WS 5/6 83 (b) Zeichnen Sie die Kennlinie x out (x in ) des Quantisierers. Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung. (b) Wie groß ist der maximale absolute Quantisierungsfehler? (c) (3 Punkte) Um das Signal abzuspeichern, wird jede der 8 Quantisierungsstufen nun mit 3 Bit gekennzeichnet. Von der untersten zur obersten Stufe werden folgende Bitwörter vergeben: {,,,,,,, }. Ferner ist bekannt, dass beim Abspeichern der Bitfolge für das Signal x[k] genau ein Bitfehler aufgetreten ist. Aus der fehlerhaften Bitfolge wird das Signal ˆx[k] als Approximation der Folge x[k] erzeugt. Durch den Bitfehler unterscheidet sich ˆx[k] von x[k] an der Stelle k f, das heißt ˆx[k f ] x[k f ]. (c) Geben Sie den minimal möglichen absoluten Fehler von ˆx[k f ] bezüglich x[k f ] an. (c) Berechnen Sie den maximal möglichen absoluten Fehler von ˆx[k f ] bezüglich x[k f ]. Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (4 Punkte) (a) Welche prinzipiellen Arten der analogen Modulation gibt es? Nennen Sie jeweils den Parameter des Sendesignals, der dabei verändert wird. (a) Geben Sie für jede Modulationsart einen Vorteil und einen Nachteil an. Das Quellsignal sei nun ein Einton-Signal s(t) = cos(πf s t) und wird dem Trägersignal wie folgt aufprägt: s c (t) = (A+s(t)) cos(πf c t), wobei f c = 5f s und A =. (b) (7 Punkte) (b) Geben Sie die Beziehung für - den Modulationsindex und - den Wirkungsgrad dieser Modulationsart an und berechnen Sie diese Größen für die angegebenen Werte. Im Empfänger wird nun folgende Anordnung zur Demodulation des Signals eingesetzt. Dabei gilt RC < f s und RC f c. 3 (b) Geben Sie den Namen der Anordnung an. (b3) Skizzieren Sie das Signal s c (t) und die Signale an den Stellen bis 3. Sommersemester 4

184 84 A PRÜFUNGEN Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (6 Punkte) (a) Erläutern Sie in einem Satz, wozu digitale Modulation durchgeführt wird. Gegeben sei der im folgenden Diagramm dargestellte zeitliche Verlauf zweier digital modulierter Signale x (t) und x (t). In beiden Beispielen sind jeweils alle möglichen Symbole dargestellt x (t) x (t) t in ms t in ms (a) Welches digitale Modulationsverfahren wurde jeweils verwendet? (a3) Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm (Phasendiagramm) des Modulationsverfahrens, dass bei x (t) verwendet wurde. (a4) WelcheDatenrate(inbps)kannmitdemdurchx (t)dargestelltenverfahrenübertragen werden? (a5) Welches digitale Modulationsverfahren kann man verwenden, wenn 4 Bit pro Symbol übertragen werden sollen? Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm dieses Verfahrens. (b) (8 Punkte) Die folgende Abbildung zeigt einen Sender, der BPSK als Modulationsverfahren verwendet. Jedes Datenbit b(k) {, } wird in einen zeitdiskreten Signalwert s(k) = b(k) und dann in ein zeitkontinuierliches Informationssignal m(t) = s(k) für kt s < t (k+)t s umgesetzt. Hierbei ist T s die Symboldauer, und k N eine positive natürliche Zahl. Sender Acos(πf c t) n(t) b(k) + s(k) m(t) x(t) y(t) - Kanal Mapper Pulsformer Aufwärtsmischer (b) Skizzieren Sie einen geeigneten Empfänger für das dargestellte Sendeverfahren und benennen Sie die verwendeten Komponenten! Bezeichnen Sie dabei die Phasenverschiebung zwischen den Oszillatoren von Sender und Empfänger mit Φ. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

185 A.33 Prüfung WS 5/6 85 Wir gehen nun davon aus, dass zwischen den Oszillatoren von Sender und Empfänger keine Phasenverschiebung besteht (Φ = ) und eine Bitfolge übertragen wird, bei der die Bitwerte gleichwahrscheinlich sind, d.h. P(b(k) = ) = P(b(k) = ) =.5. Am Eingang des Entscheiders liegt das Signal r(k) = s(k)+n(k) an, wobei n(k) komplexes Gauss sches Rauschen mit der Varianz var{re{n(k)}} = var{im{n(k)}} = σ ist. (b) Zeichnen Sie das Konstellationsdiagramm des Eingangssignals r(k) am Entscheider für σ = mit einer geeigneten Entscheidungsschwelle, um die Wahrscheinlichkeit einer falschen Entscheidung zu minimieren, sowie die zugeordneten Bitwerte b(k). Für die Bitfehlerrate eines solchen Übertragungssystems gelten folgende Gleichungen, wobei die komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) durch nachfolgende Abbildung gegeben ist und die Logarithmentabelle von Aufgabe verwendet werden kann. BER = ( ) SNR erfc, SNR = E{Re{s(k)} }, SNR[dB] = log σ (SNR) Komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) x (b3) Geben Sie die Gleichung zur Berechnung des SNR aus der Bitfehlerrate an? (b4) Es soll nun im Durchschnitt nicht mehr als Bitfehler pro 5 übertragene Bits auftreten. Wie groß muß dazu das SNR (in db) am Eingang des Entscheiders sein? (b5) Zeichnen Sie das veränderte Konstellationsdiagramm, das auftritt, wenn die Oszillatoren von Sender und Empfänger eine Phasenverschiebung von Φ = 6 haben. (b6) Um wieviel db verringert sich durch diese Phasenverschiebung das SNR am Eingang des Entscheiders (Rauschvarianz σ, Signalleistung E{ s(k) } und Entscheidungsschwelle bleiben gleich)? Hinweis: cos(6 ) =.5. Sommersemester 4

186 86 A PRÜFUNGEN A.34 Musterlösung zur Prüfung WS 5/6 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme (a) (a) (a) ( Pt ) L pt = log = log 3 () = 3dB m Ls = Log (d) = Log () = 6dB L pr = L pt Ls = 3 6 = 3dBm L PN = log ( PN 3 ) = log (.) = 5dB m SIR = L pr L PN = db (a3) ( Punkt) L P = +L pr = db ( m +L PN P N = 3 +P N =.µwatt ( PN ) L PN = log 3 = log (./) = 3dB m SIR = L P L PN = db ) (a4) Punkt für korrekte L PN -Berechnung Punkt für korrekte SIR-Berechnung ( Punkté) L P = L P +g g = L P L P = = db Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

187 A.34 Musterlösung zur Prüfung WS 5/6 87 (b) (b) Ein System y(t) ist linear, wenn ( Punkte) (b) x +x y +y unnd ax ay i) und iii) sind linear Punkte, wenn für beide korrekt entschieden Ein System y(t) ist kausal, wenn sein Ausgang nur vom aktuellen un den zurückliegenden Eingangswerten abhängt. i) ist nicht kausal für beliebige Zeiten iii) ist nocht kausal für t Nur ii) ist Kausal (b3) Ein System y(t) ist zeitinvariant, wenn ( Points) x(t τ) y(t τ) i) und ii) sind zeitinvariantt Punkte wenn, für beide korrekt entschieden (c) (c) (c) Ja, das System ist kausal. Die Impulsantwort ist Null für t <. y(t) = x(t) h(t) = für t < und für t x(t τ)h(τ)dτ ( Punkte) für t < für t < y(t) = y(t) = t = t / τdτ y(t) = t τdτ = t t / Sommersemester 4

188 88 A PRÜFUNGEN (c3) Grafik sollte qualitativ korrekt sein ( Points).5 y(t).5 3 t Aufgabe : Analog-Digital Umsetzung (a) (a) f s > f o (a) Aliasing (a3) Ja. Mittels Unterabtastung mit beispielsweise f s = 5kHz kann das Signal ohne Aliasing abgetastet werden. ( Punkt Tatsache, Punkt Begründung) (b) (b) Siehe Abbildung ( Punkt qualitativ, Punkt quantitativ) 4 s 3 s s 7 s 5 s 3 s s s x out s s 3 s 4 s x in 3 s 5 s 7 s (b) e abs,max = s/ (c) (c) Im günstigsten Fall wird durch den Bitfehler eine benachbarte Stufe gewählt. Dann ist der minimale absolute Fehler Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

189 A.34 Musterlösung zur Prüfung WS 5/6 89 e abs,min [k f ] = s. ( Punkt Ergebnis) (c) Wenn ein Bitfehler vorliegt, kann statt der obersten Quantisierungsstufe die unterste gewählt werden. Daher ist der maximale absolute Fehler e abs,max [k f ] = 7 s ( )7 s = 7 s. ( Punkt Ergebnis, Punkt Rechnung) Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) Amplitudenmodulation: A A(t) Frequenzmodulation: f f(t) Phasenmodulation: ϕ ϕ(t) Namen und Zuordnung der Parameter (a) Amplitudenmodulation: + einfacher Empfänger geringer Wirkungsgrad (durch überlagerten Träger) Anfälligkeit gegen Störungen der Signalamplitude durch schwankende Pfadverluste oder durch andere elektromagnetische Störungen (Gewitter, Einschalten von elektr. Maschinen...) Frequenzmodulation: + robust gegen Störungen der Signalamplitude höhere Frequenzbandbreite komplexere Empfängerstrukturen Phasenmodulation: + robust gegen Störungen der Signalamplitude höhere Frequenzbandbreite komplexere Empfängerstrukturen je Modulationsverfahren ein richtig genannter Vorteil und ein Nachteil (b) (b) Modulationsindex µ: µ = max[s(t)] A = Sommersemester 4

190 9 A PRÜFUNGEN Wirkungsgrad η: η = P SB = P AM Dabei bezeichnet P AM = P c + P SB die Leistung des modulierten Signals s c (t), P c die Leistung des Trägers und P SB die Leistung der Seitenbänder. (b) Hüllkurvendemodulator (b3) Siehe Abbildung A.6 = 9 Signal s c (t) Signal an Stelle Signal an Stelle Signal an Stelle Abbildung A.6: Signal s c (t) und Signale an den Stelle - 3 des Hüllkurvendemodulators Je Grafik (Gewertet werden die durchgezogenen Kurven.) Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Digitale Modulation wird durchgeführt, um digitale Daten sinusförmigen Signalen derart aufzuprägen, dass eine Übertragung durch einen Bandpass möglich ist. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

191 A.34 Musterlösung zur Prüfung WS 5/6 9 (a) x (t): ASK, x (t): QPSK ( Punkte) i (a3) - -i (a4) (bitprosymbol) ms = bps. (a5) 6-QAM, 6-PSK oder 6-FSK, Diagramm entsprechend. (b) (b) Skizze, Begriffe ( Punkte) Abtaster cos(πf c t + θ) Empfänger y(t) T s ( ) dt kt s b(k) ^ Integrierer Abwärtsmischer Entscheider b(k) = b(k) = - (b) Entscheidungsgrenze ( (b3) SNR = [erfc BER)] (b4) Bitfehler auf 5 Bits entspricht BER = 3. Damit lässt sich aus der komplementären Fehlerfunktion ablesen: SNR = erfc ( 3 ) 8 (entspricht 9dB). 6 - (b5) Entscheidungsgrenze (b6) Durch die Phasendrehung ändert sich der Realteil der Nutzsignalleistung zu E{Re{s(k)} } = cos(φ) =.5. Sommersemester 4

192 9 A PRÜFUNGEN Somit verringert sich das SNR am Eingang des Entscheiders um 6dB. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

193 A.35 Prüfung SS 6 93 A.35 Prüfung SS 6 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme Hinweis: Die Teilaufgaben a),b) und c) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. Beachten Sie auch die Hinweise am Ende der Aufgabe. (a) (7 Punkte) Ein LTI-System lasse sich beschreiben durch: h(t) = N n=n (n+)δ(t nt),n < N (a) Wie nennt man h(t) und deren Fouriertransformierte H(f)? (a) Bestimmen Sie H(f)! (a3) Skizzieren Sie h(t) für N = 3 und N = 4! (a4) In das System wird ein beliebiges Signal s(t) eingespeist. Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t) in Abhängigkeit von s(t)! (a5) Es seien nun N = und N =. Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t) für s(t) = rect( t )! T T (Hinweis: Es ist hilfreich, sich zunächst s(t) zu skizzieren.) (b) (3 Punkte) Die Abbildung zeigt das Blockdiagramm einer Funkübertragungsstrecke. L A P =.pw N P = 9pW N Sender LT P T LR P R SNR v SNR Demodulation Die Dämpfung L A (in db) des Kanals auf das Sendesignal kann mit L A = db+log (d/km)db beschrieben werden. Dabei bezeichnet d die Entfernung zwischen Sende- und Empfangsantenne. (b) Wie hoch ist der Empfangspegel L R in dbm bei d = km und einer Sendeleistung von W? (b) Wie groß darf die Entfernung d maximal werden, wenn die Sendeleistung auf mw verringert wird und der Empfangspegel L R bei 9dBm liegen soll? (c) (5 Punkte) Die folgenden SNR-Betrachtungen beziehen sich ebenfalls auf die unter b) dargestellte Übertragungsstrecke. Sommersemester 4

194 94 A PRÜFUNGEN (c) Das SNR vor dem Verstärker sei SNR = db. Wie groß muss der Verstärker v (in db) sein, um vor der Demodulation ein SNR von mindestens db zu erhalten? (c) Das SNR vor dem Verstärker (SNR ) sei wiederum db. Wie groß ist das theoretisch maximal erreichbare SNR nach dem Verstärker (SNR ), wenn die Verstärkung v zwischen db und +db einstellbar wäre. Begründen Sie ihre Aussage log(a b) = log(a)+log(b) ; log(a/b) = log(a) log(b); log(a b ) = blog(a) x..5 5 log (x) Aufgabe : Analog-Digital Umsetzung (a) (5 Punkte) Gegeben sei das Spektrum S(f) eines reellwertigen, analogen Signals s(t). TP Dieses Signal wird nun mit der Frequenz f s = 6 khz abgetastet und anschließend mithilfe eines Tiefpasses rekonstruiert. (a) Zeichnen Sie das Spektrum S a (f) des Signals nach der Abtastung im Bereich 5 khz f 5 khz! Hinweis: Achten Sie auf die Achsenbeschriftung! Nun sei das Signal s(t) durch ein reellwertiges, analoges khz Cosinus-Signal gestört. (a) Warum kann das Signal s(t) nicht mehr fehlerfrei aus s a (t) rekonstruiert werden? (a3) Zeichnen Sie das Spektrum des Signals s(t) nach dem Tiefpass im Bereich 3 khz f 3 khz. (a4) Aus technischen Gründen kann die Abtastfrequenz im Bereich 4 khz f s khz variiert werden. Wie muß f s gewählt werden, sodass s(t) eine fehlerfreie Rekonstruktion von s(t) darstellt? (a5) Wie müsste die oben gezeigte Abtast-Anordnung ergänzt werden, um dennoch bei einer Abtastfrequenz f s = 6 khz das Signal s(t) fehlerfrei aus s a (t) gewinnen zu können? Es soll eine zeitdiskrete Folge x[k] mit 3 Bit quantisiert werden. Dazu wird ein linearer mid-rise Quantisierer eingesetzt. Der Eingang des Quantisierers wird im Bereich 4 s x in 4 s ausgesteuert, wobei s die Stufenhöhe des Quantisierers bezeichnet. (b) (5 Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

195 A.35 Prüfung SS 6 95 (b) Zeichnen Sie die Kennlinie x out in Abhängigkeit von x in des Quantisierers! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung. (b) Das SNR soll nun um 6 db erhöht werden. Folgende Parameter können hierfür verändert werden. - Anzahl der zur Quantisierung verwendeten Bits b - Abtastfrequenz f s - Grenzfrequenz des Rekonstruktionstiefpasses f r. Entscheiden Sie für jeden Parameter, ob er für die SNR-Erhöhung geeignet ist und wie er verändert werden müsste! Begründen Sie ihre Aussage! Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (5 Punkte) Ein Signal der Form x(t) = cos(πf t)+ cos(πf t) mit f = f, wird im Zweiseitenband-Amplitudenmodulationsverfahren (DSB-AM) s(t) = (A+x(t))cos(πf c t) mittelseinesträgersignalsderamplitudea=4undderträgerfrequenzf c = f übertragen. (a) Berechnen Sie die Modulationsindex µ für das oben genannte System. (a) Zeichnen Sie das Spektrum S(f) von s(t). Der Hüllkurvendemodulator (siehe Abbildung unten) ist die einfachste Schaltung zur Demodulation eines Zweiseitenband-Amplitudemodulierten Trägersignals s(t) x(t) Gleichrichter Tiefpaß Hochpaß (a3) In welchem Wertebereich darf sich der Modulationsindex µ bewegen, um eine korrekte Hüllkurvendemodulation zu ermöglichen? (a4) Welche Aufgabe hat der Hochpass in dem Hüllkurvendemodulator? Sommersemester 4

196 96 A PRÜFUNGEN Tiefpaß x(t) x(t) cos(πfgt) f < fg cos(πfct) s(t) x(t) Tiefpaß f < fg sin(πfgt) fc>> fg sin(πfct) X(f) S(f) -fg fg f -fc -fc+fg fc -fg fc f (b) (6 Punkte) Die folgende Abbildung zeigt eine Senderstruktur für Einseitenband- Amplitudenmodulation (SSB-AM) mit unterdrücktem Träger. Vorteile der Einseitenbandgegenüber der Zweiseitenband-AM sind, dass nur die halbe Bandbreite benötigt wird, und dass durch Unterdrückung des Trägers das Übertragungsverfahren leistungseffizienter ist. Weiterhin sind die Spektren des Eingangssignals, X(f), und des Ausgangssignals, S(f), gegeben. (b) Geben Sie eine Empfängerstruktur (einschließlich benötigter Kenngrößen) an, die aus s(t) wieder x(t) gewinnt. (b) Zeichnen Sie die Spektren X (f) und X (f) j der Signale x (t) und x (t). Hinweis: cos(πf c t) [δ(f f c)+δ(f +f c )] sin(πf c t) j [δ(f f c) δ(f +f c )] Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (6 Punkte) Gegeben sei der im folgenden Diagramm dargestellte zeitliche Verlauf zweier digital modulierter Signale x (t) und x (t). Es sind jeweils alle möglichen Sendesymbole dargestellt. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

197 A.35 Prüfung SS x (t) x (t) t in ms t in ms (a) Welches digitale Modulationsverfahren wurde jeweils verwendet? (a) Skizzieren Sie das Konstellationsdiagramm (Phasendiagramm) des Modulationsverfahrens 4-ASK (a3) Welche Datenrate (in bit/s) wird bei 4-ASK bei einer Symboldauer von.5ms erreicht? (a4) Welches Modulationsverfahren könnte verwendet werden, um bei der gleichen Symboldauer die doppelte Datenrate im Vergleich zu 4-ASK zu erreichen? (a5) Wir nehmen an, dass das übertragene Signal von additivem, weißen, Gausschen Rauschen überlagert wird und deshalb in manchen Fällen Symbole falsch detektiert werden. Zeichnen Sie in das Phasendiagram von 4-ASK eine Zuordnung von Datenbits ein, die die Bitfehlerrate minimiert. (b) (8 Punkte) Wir betrachten nun einen Sender, der 4-QAM als Modulationsverfahren verwendet. Jeweils zwei Datenbits b(k) {,},b(k + ) {,} werden gemäß folgender Abbildung in zeitdiskrete Symbole s I (k), s Q (k) und dann in zeitkontinuierliche Informationssignale m I (t), m Q (t) umgesetzt. b(k) Sender s I (k) T s T s cos(πf c t) m I (t) x I (t) -sin(πf c t) x(t) n(t) y(t) b(k+) s Q (k) T s T s m Q (t) x Q (t) Kanal Mapper Pulsformer Aufwärtsmischer (b) Skizzieren Sie einen geeigneten Empfänger für dieses Modulationsverfahren und benennen Sie die verwendeten Komponenten! Gehen Sie hier davon aus, dass zwischen den Oszillatoren von Sender und Empfänger keine Phasenverschiebung besteht. QAM-Systeme werden oft über ihre äquivalenten, komplexen Basisbandsignale s(k) = s I (k)+j s Q (k) beschreiben. Wir gehen hier davon aus, dass am Entscheider das Signal r(k) = s(k)+n(k) Sommersemester 4

198 98 A PRÜFUNGEN anliegt, wobei n(k) komplexes Gauss sches Rauschen darstellt mit der eindimensionalen Varianz σ. (b) Zeichnen Sie das Konstellationsdiagramm (Phasendiagramm) des Eingangssignals r(k) am Entscheider für σ = mit den zugeordneten Bitwerten b(k),b(k+). Fügen Sie geeignete Entscheidungsschwellen hinzu, um die Bitfehlerrate am Detektor zu minieren, wenn die gesendeten Bits gleichwahrscheinlich sind, d.h. l : P(b(l) = ) = P(b(l) = ) =. Für die Bitfehlerrate (BER) eines solchen 4-QAM-Übertragungssystems gilt folgende Gleichung,wobeiE s = E{ s(k) }diedurchschnittlichesignalleistungderübertragenensymbole s(k) darstellt, und die komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) durch nachfolgende Abbildung gegeben ist. BER = ( ) erfc Es 4σ Komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) x (b3) Berechnen Sie die durchschnittliche Signalleistung E s der Symbole s(k). (b4) Berechnen Sie die Bitfehlerrate (BER) des 4-QAM-Systems für σ =. (b5) Die Symbolfehlerrate eines 4-QAM-Systems entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass in einem Symbol eines der beiden Bits (oder beide) falsch detektiert wurden. Stellen Sie eine Gleichung auf, die aus der Bitfehlerrate die Symbolfehlerrate berechnet, und berechnen Sie die Symbolfehlerrate für den Fall BER =.. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

199 A.36 Musterlösung zur Prüfung SS 6 99 A.36 Musterlösung zur Prüfung SS 6 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme (a) (a) (a) h(t) Impulsantwort (impulse response) H(f) Übertragungsfunktion (transfer function) F{δ(t nt)} = e jπfnt H(f) = F{h(t)} = N n=n (n+)f{δ(t nt)} = N n=n (n+)e jπfnt (a3) Siehe Abbildung qualitativ korrekt: quantitativ korrekt: h(t) t/t (a4) y(t) = = = + N s(t τ) n=n (n+) N N n=n (n+)δ(τ nt)dτ + n=n (n+)s(t nt) Ausblendeigenschaft des Dirac Impulses nutzen s(t τ)δ(τ nt)dτ (a5) y(t) ergibt sich aus der Überlagerung zweier skalierter und zeitverschobener Rechtecke der Breite T und Höhe qualitativ korrekt: T quantitativ korrekt: Sommersemester 4

200 A PRÜFUNGEN y(t) 3 T T T -T T T t (b) (b) L R = L T L A L R = log ( P T mw )dbm db log ( d km )db L R = 3dBm db db = 9dBm (b) L R = 9dBm = log ( P T mw )dbm db log ( d km )db 9dBm = log ()dbm db log ( d km )db 9dBm = dbm db log ( d km )db log ( d )db = db km d = km = km Ansatz korrekt Ergebnis korrekt falls ein anderer Rechenweg gegangen wird, werden die Punkte entsprechend verteilt (c) (c) (3 Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik SNR = db = log( P R )db P N P R = P N v linear P R SNR = db = log ( )db v linear P N +P N v linear P R = v linear P N +P N P N = P R P N P N v linear = P N P N v linear = 9 W 9 3 W =

201 A.36 Musterlösung zur Prüfung SS 6 (c) v db = log (v linear )db = db Punkt für die korrekte Berechnung des Rauschens vor der Demodulation: P N = v linear P N +P N Punkt für korrekte Berechnung von P R = P N = pw Punkt für das Ergebnis v db = db werden P N bzw. P R nicht explizit angegeben, ist deren korrekte Berechnung aber ersichtlich, so werden die Punkte vergeben falls ein anderer (nachvollziehbarer) Rechenweg gegangen wird, werden die Punkte entsprechend verteilt ( Punkt) v linear P R P R SNR = log ( )db = log ( )db v linear P N +P N P N + P N v linear SNR ist maximal, wenn der Nenner minimal wird; der Nenner wird minimal, wenn die Verstärkung maximal wird v db = +db v linear = P N v linear SNR,max = log ( P R P N ) = SNR = db Punkt für Ergebnis, Punkt auf Berechnung oder Begründung Aufgabe : Analog-Digital Umsetzung (a) (a) Diagramm qualitativ und quantitativ richtig (a) Durch die Abtastung tritt Aliasing auf. (a3) Diagramm qualitativ und quantitativ richtig Sommersemester 4

202 A PRÜFUNGEN (a4) Die Abtastfrequenz muß im Bereich 7 khz f s 8 khz liegen. Frequenzwahl in diesem Bereich. (a5) Anti-Aliasing Tiefpass vor Abtaster mit der Grenzfrequenz khz < f g fs ( Punkt) (b) (b) Siehe Abbildung ( Punkt qualitativ, Punkt quantitativ) 4 s 3 s s 7 s 5 s 3 s s s x out s s 3 s 4 s x in 3 s 5 s 7 s (b) Für die Erhöhung des SNR um 6 db sind geeignet: - Bitanzahl b um erhöhen Siehe Faustformel zur SN R-Berechnung zwischen Nutzsignal und Quantisierungsrauschen. ( Punkt) - Abtastfrequenz f s vervierfachen Die Quantisierungsrauschleistung bleibt konstant und kann als normalverteilt im Bereich fs < f fs angenommen werden. Somit sinkt bei einer Vervierfachung von f s die Rauschleistungsdichte auf ein Viertel und somit die Inband- Quantisierungsrauschleistung auch auf ein Viertel. ( Punkt) - Grenzfrequenz des Rekonstruktionstiefpaß nicht geeignet, da die In-Band Rauschleistung nicht durch Filterung gesenkt wird. ( Punkt) Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) Maximaler Wert von x(t) : x(t) = cos(πf t)+ [ cos (πf t) ] [ = cos(πf t)+ ] 3 4 Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

203 A.36 Musterlösung zur Prüfung SS 6 3 wobei cos(πf t) max[ x(t) ] = 3 Modulationsindex µ: µ = max[ x(t) ] A = 3 8 (a) Spektrum laut folgender Abbildung. qualitativ richtig quantitativ richtig S(f) /4 /8 -f -f -f -9f -8f 8f 9f f f f f (a3) ( <)µ < (a4) Der Hochpaßfilter entfernt die Gleichspannungskomponente aus Trägersignal. (b) (b) Empfänger laut folgender Abbildung. qualitativ richtig: Mischer und Tiefpaßfilter quantitativ richtig (je Punkt) s(t) cos(π(fc-fg)t) Tiefpaß f < fg x(t) (b) Spektren laut folgenden Abbildungen. qualitativ richtig quantitativ richtig (je Punkt) Sommersemester 4

204 4 A PRÜFUNGEN X(f) X(f) / j -fc -fg -fc -fc +fg fc -fg fc fc +fg f -fg -fg fg fg f - Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) x (t): 8-ASK, x (t): -FSK ( Punkte) (a) Bei 4-ASK sind in entweder der I- oder Q-Dimension vier verschiedene Amplituden möglich, z.b. Q I (a3) 4-ASK erlaubt bit/symbol, d.h. R = = 4bit/s (a4) Richtig sind 6-QAM, 6-ASK, 6-PSK, 6-FSK etc. ( Antwort reicht) (a5) Nebeneinander liegende Symbol unterscheiden sich in nur einem Bit, z.b. Q I (b) (b) Skizze sollte grob so aussehen: x(t) n(t) Kanal y(t) cos(πf c t) -sin(πf c t) T s T s ( ) dt ( ) dt kt s kt s Empfänger b(l) ^ b(l+) ^ Integrierer Abwärtsmischer Abtaster Entscheider Komponenten vorhanden Reihenfolge und Bezeichnungen richtig Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

205 A.36 Musterlösung zur Prüfung SS 6 5 (b) Phasendiagramm: Q I Entscheidungsgrenzen Konstellation richtig: Entscheidungsgrenzen richtig: (b3) E s = ( ) +( ) = 4 (b4) BER = erfc().7 (richtig gewertet wird ) (b5) P s = ( P b ) P s = (.9) =.9 (richtig gewertet wird.8....) Sommersemester 4

206 6 A PRÜFUNGEN A.37 Nachprüfung WS 6/7 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme Hinweis: Die Teilaufgaben a),b) und c) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. Beachten Sie auch die Hinweise am Ende der Aufgabe auf der nächsten Seite (Rückseite). (a) (3 Punkte) Ein System sei durch die folgende Beziehung zwischen dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) beschrieben: (a) Ist das System linear? (a) Ist das System zeitinvariant? y(t) = [x(t)+x(t+)] +3 (a3) Das System ist nicht kausal. Machen Sie einen Vorschlag, wie man Kausalität herstellen könnte! (b) (4 Punkte) Die Abbildung zeigt das Blockdiagramm einer Funkübertragungsstrecke zwischen Mobiltelefon und Basisstation. L A P N = 3 W Mobiltelefon LT P T LR P R v Demodulation Die Dämpfung L A (in db) des Kanals auf das Sendesignal kann mit L A = db+αlog (d/km)db beschrieben werden. Dabei bezeichnet d die Entfernung zwischen Mobilteil und Basisstation, α wird Pfadverlustkoeffizient genannt und ist stark abhängig von der umgebenden Bebauung. (b) Das Mobilteil sendet typischerweise mit einer Leisung von W. Wie groß ist die empfangene Leistung in W in der 3km entfernten Basistation? (α = 4) (b) Welcher Signal-Rausch-Abstand (SNR) ergibt sich dann vor dem Verstärker? (b3) Ein SNR nach dem Verstärker von db sei gerade noch gestattet, um einen störungsfreien Empfang zu gewährleisten. Wie groß kann die Entfernung zwischen Mobilteil und Basisstation dann maximal werden? Beachten Sie, dass der Pfadverlustkoeffizient nun α = 3 betragen soll! (c) (8 Punkte) Gegeben ist die Impulsantwort eines einfachen Filters: h(t) = a δ(t)+a δ(t T) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

207 A.37 Nachprüfung WS 6/7 7 (c) Zeichnen Sie h(t) für a = und a =.5! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! (c) Berechnen Sie H(f) für a = a = und zeichnen Sie es anschließend im Bereich < f <! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! T T (c3) Nun seien nur die Frequenzen zwischen und von Interesse. Welches Verhalten T T weist dieses LTI-System in diesem Frequenzbereich auf?(hochpass, Tiefpass, Bandpass, Bandsperre) (c4) In das LTI-System wird ein Sinushalbbogensignal gegeben. sin( π t ) wenn < t < T x(t) = T sonst Zeichnen Sie x(t)! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! (c5) Skizzieren Sie das Ausgangssignal für a = und a =.5! Hinweise: cos x = (+cos(x)) ; log(a b) = log(a)+log(b) ; log(a/b) = log(a) log(b); log(a b ) = blog(a) x log (x) Aufgabe : Analog-Digital Umsetzung (a) (5 Punkte) Das reellwertige, analoge Signal s(t) mit dem Spektrum S(f) soll abgetastet und anschließend wieder rekonstruiert werden. S(f) - f g f g f (a) Skizzieren Sie die zur Abtastung und fehlerfreien Rekonstruktion benötigte Anordung und benennen Sie die einzelnen Baugruppen! (a) Wie gross ist die minimale Abtastfrequenz f s,min, bei welcher eine fehlerfreie Rekonstruktion des Signals s(t) gerade noch möglich ist? (a3) Welcher Effekt tritt auf, wenn die Abtastfrequenz f s < f s,min gewählt wird und somit eine fehlerfreie Rekonstruktion von s(t) nicht mehr möglich ist? (a4) Skizzieren Sie das Spektrum des Signals s(t), welches mit einer Abtastfrequenz f s < f s,min abgetastet wurde. Markieren Sie in dem Diagramm den in Aufgabe (a3) beschriebenen Effekt! Sommersemester 4

208 8 A PRÜFUNGEN x out 3 s s s s s s x in 3 s a) Kennlinie des 4-stufigen mid-rise Quantisierers b) Amplitudendichteverteilung von x in (k) (b) (5 Punkte) Das zeitdiskrete Signal x in [k] soll quantisiert werden. Hierfür wird ein linearer, 4-stufiger mid-rise Quantisierer mit der dargestellten Kennlinie eingesetzt. (b) Geben Sie das Signal-zu-Rausch Verhältnis (SNR) am Ausgang dieses Quantisierer an, wenn die Amplitude des Eingangssignals x in [k] gleichverteilt ist mit x max = s (Siehe Abbildung oben)! Hinweis: Formel reicht! (b) Nennen Sie einen Vorteil und einen Nachteil der linearen mid-rise Quantisierer! Nun sei x in [k] weiterhin gleichverteilt in [ x max,x max ] (Siehe Abbildung oben), jedoch sei jetzt x max s. (b3) Berechnen Sie die Leistung P out = E{x out[k]} des Signals x out [k] am Ausgang des Quantisierers, wobei E{.} den Erwartungswert bezeichnet! Hinweis: Zeichnen Sie hierfür zunächst die Amplitudendichteverteilung des Ausgangssignals x out [k]! Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (6 Punkte) Bei einem Sender, der auf Amplitudenmodulation basiert, liegt das Bandpass- Signal s BP (t) = (+µx(t)) cos(πf c t) am Antennenausgang vor, wobei x(t) das zu übertragende, reellwertige Informationssignal darstellt (mit der Eigenschaft t, µx(t) < ) und f c die Trägerfrequenz. Das Spektrum des Informationssignals x(t) ist im folgenden dargestellt: X(f) f g < f c -f g f g f Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

209 A.37 Nachprüfung WS 6/7 9 (a) Geben Sie das Spektrum S BP (f) des Bandpasssignals an und zeichnen Sie den Betrag dieses Spektrums! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftungen! (a) Skizzieren Sie nun das Blockdiagramm eines Hüllkurvendemodulators, der aus dem Signal s BP (t) wieder möglichst gut das Signal x(t) gewinnt! Beschriften Sie hierbei die Komponenten, und benennen Sie in kurzen Stichworten ihre Funktion. (a3) In unserem Beispiel wird am Sender auf das Informationssignal vor dem Aufwärtsmischen ein Gleichanteil aufaddiert. Weshalb ist dies notwendig bzw. welche Vorteile entstehen dadurch, wenn: ein Hüllkurvendemodulator, ein Synchrondemodulator eingesetzt wird? (b) (5 Punkte) Wir nehmen nun an, das Signal s BP (t) von Aufgabe (a) wird verlustfrei übertragen, und als Empfänger wird der im folgenden dargestellte Synchrondemodulator eingesetzt. Wie Sie der Zeichung entnehmen können, wird das empfangene Signal jedoch mit g(t) = cos(πf c t + φ) heruntergemischt, d.h. die Oszillatoren an Sender und Empfänger haben einen Phasenunterschied von φ. s BP (t) x(t) Idealer Bandpaß (Nachbarkanalunterdrückung) g(t)=cos( f c t+ ) Idealer Tiefpaß f f g Idealer Hochpaß f > (b) Berechnen Sie das Signal ˆx(t) am Ausgang des Synchrondemodulators (hilfreich ist dabei vermutlich der Ausdruck cos(a)cos(b) = /(cos(a b) + cos(a + b)))! (b) Ein Maß für die Übertragungsqualität ist das Signal-Rausch-Leistungsverhältnis (SNR) nach der Übertragung und Demodulation. Nehmen wir an, das Signal x(t) hat eine durchschnittlicheleistungvone s = E{ x(t) },eserfolgteineverlustloseübertragung, und am Ausgang des Synchrondemodulators liegt ein additives weißes Rauschen mit Leistung E n vor. Berechnen Sie das SNR am Ausgang des Demodulators als Funktion von φ! (b3) Nehmen wir nun an, der Synchrondemodulator mischt das empfangene Signal mit g(t) = cos(π(f c + f)t) herunter, d.h. Sender und Empfänger verwenden leicht voneinander abweichende Trägerfrequenzen. Welche Auswirkungen hat dies auf das Signal ˆx(t)? (Stichworte ausreichend; bitte mindestens zwei Auswirkungen benennen) Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (5 Punkte) Ein digitales Übertragungssystem arbeite mit einer Symboldauer T S = ms. Dabei sei die Datenrate Bits/s. (a) Wie viele Bits werden durch ein Symbol repräsentiert? Sommersemester 4

210 A PRÜFUNGEN (a) Wie viele Symbole muss somit das Symbolalphabet enthalten? Nennen Sie ein Modulationsverfahren, das diese Bedingung erfüllt. (a3) Nun soll bei gleicher Symboldauer die doppelte Datenrate übertragen werden. Wie viele Bits müssen nun durch ein Symbol repräsentiert werden? Nennen Sie ein Modulationsverfahren, das diese Bedingung erfüllt. (b) (7 Punkte) (b) Skizzieren Sie ein Konstellationsdiagramm (auch: Phasendiagramm) für das Modulationsverfahren 8-PSK. (b) Tragen Sie in das Diagramm aus Aufgabe (b) eine mögliche Zuordnung der Bits zu den Symbolen der Konstellation ein. Wir betrachten nun das Modulationsverfahren 4-PSK. Um einen bestimmten Empfänger verwenden zu können, sollen die reelle und die imaginäre Achse des Konstellationsdiagramms als Entscheidungsgrenzen für die beiden Bits eines Symbols dienen. Die reelle Achse soll die Entscheidungsgrenze für das erste Bit sein, die imaginäre Achse für das zweite Bit. Die Symbole sollen den Betrag haben. (b3) Zeichnen Sie ein Konstellationsdiagramm, das diese Forderungen erfüllt. Geben Sie dazu auch die Zuordnung der Bitpaare zu den Symbolen an. Wird die Übertragung der Symbole durch additives Gausssches Rauschen der Leistung σ gestört, so gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b (Bit Error Rate, BER) eines solchen QPSK-Übertragungssystems die Gleichung P b = ( ) erfc, σ wobei der Verlauf der komplementären Gaussschen Fehlerfunktion erfc(x) in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

211 A.37 Nachprüfung WS 6/7 erfc(x) x (b3) Wie groß ist P b für σ = /8? (b4) Wie groß ist σ für P b = /4? Geben Sie den Rechenweg mit an. (c) ( Punkte) Gegeben seien die drei folgenden Konstellationsdiagramme für zweiwertige digitale Modulation: ) Q ) Q Q 3) - I I I (c) Welche Konstellation ist geeignet, wenn additives Gausssches Rauschen als Störung auftritt und die Bitfehlerrate möglichst gering sein soll? Entscheiden Sie sich für genau eine Konstellation und begründen Sie Ihre Auswahl gegebenenfalls mit Berücksichtigung weiterer Kriterien. Sommersemester 4

212 A PRÜFUNGEN A.38 Musterlösung zur Nachprüfung WS 6/7 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme (a) (a) (a) (a3) nicht linear (Quadrieren) zeitinvariant Funktion müsste beispielsweise um in zeitlich positive Richtung verschoben werden: y(t) = [x(t )+x(t)] +3 (b) (b) P T L T = log dbm = 3dBm mw L R = L T L A = 3dBm db 4log 3dB L R = 3dBm db db = 9dBm P R = 9 mw = W (b) ( Punkte) P N L N = log dbm = dbm mw SNR = L R L N = 9dBm ( dbm) SNR = db (b3) Das SNR wird durch den Verstärker nicht beeinflusst: SNR vor = SNR nach ( Punkte) SNR = L R L N = db L R = L N = dbm L R = dbm = L T L A = 3dBm db 3log d km db 3dBm = 3log d km db d = km Punkt wenn SNR vor = SNR nach ersichtlich Punkt für korrekte Entfernung d (c) (c) ( Punkte) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

213 A.38 Musterlösung zur Nachprüfung WS 6/7 3 h(t).5 - t/t (c) qualitativ und quantitativ richtig: Punkt zunächst müssen H(f) und H(f) bestimmt werden: H(f) = +e jπft H(f) = (+cos(πft)) +sin (πft) H(f) = +cos(πft)+cos (πft)+sin (πft) H(f) = +cos(πft) H(f) = 4( (+cos(πft))) H(f) = cos(πft) (3 Punkte) H(f) - T - T T T f Punkt auf H(f) Punkt: Skizze qualitativ richtig Punkt: Skizze quantitativ richtig (c3) (c4) Tiefpass Sommersemester 4

214 4 A PRÜFUNGEN x(t) / - t/t (c5) ( Punkte) Das Ausgangssignal ergibt sich aus der Überlagerung zweier Sinushalbbögen, wobei der. um T verschoben und auf die Hälfte gestaucht ist. y(t) / t/t Teilsignale richtig: Punkt Gesamtsignal richtig: Punkt Aufgabe : Analog-Digital Umsetzung (a) (a) Anordnung (mit oder ohne Anti-Aliasing Filter) richtig Namen der Baugruppen richtig TP Rekonstruktionstiefpass Anti- Aliasing Filter Abtaster TP (a) f s,min > f g (a3) Aliasing (a4) Diagramm qualitativ richtig und spektrale Überlappung infolge Aliasing korrekt skizziert ( Punkt) Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

215 A.38 Musterlösung zur Nachprüfung WS 6/7 5 Aliasing Aliasing S a (f) f s - f s - f g f g f s f s f (b) (b) Anzahl der zur Quantisierung verwendeten Bits b = SNR 6dBb = db (b) Vorteil: symmetrische Kennlinie Nachteil: Keine Quantisierungsstufe bei x out [k] = Grundrauschen am Ausgang des Quantisierer trotz x in [k] = (b3) Amplitudendichteverteilung von x out [k] siehe Abbildung P out = ( s ) ( ) + s = s 4 Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) S BP (f) = δ(f f c)+ δ(f +f c)+ µ X(f f c)+ µ X(f +f c).5.5µ S BP (f) -f c -f g -f c Gleichung richtig Skizze einschliesslich Beschriftung richtig -f c +f g f c -f g f c f c +f g f (a) Hüllkurvendemodulator sollte so aussehen: Bandpaß (Nachbarkanalunterdrückung) Gleichrichter (Rekonstruktion der Hüllkurve) Tiefpaß (Entfernung des Trägersignals) Hochpaß (Entfernung des Gleichstromanteils ) Konstellation richtig (Bandpass optional): Beschriftung und Erläuterung der Komponenten richtig: Sommersemester 4

216 6 A PRÜFUNGEN (a3) Der Gleichanteil dient bei Hüllkurvendemodulatoren dazu, Nulldurchgänge im Basisbandsignal und somit Phasensprünge im Bandpasssignal zu verhindern Der Gleichanteil kann bei Synchrondemodulatoren dazu dienen, dass der Empfänger auf diese Weise das Trägersignal des Senders ermitteln kann (b) (b) Das Signal am Ausgang des Demodulators lässt sich berechnen als ˆx(t) = (+µx(t)) cos(πf c t) cos(πf c t+φ) < f fg = (+µx(t)) (cos(4πf ct+φ)+cosφ) < f fg = (+µx(t)) cosφ < f = µ cosφ x(t) Ansatz richtig: Ergebnis richtig: (b) SNR = E{ ˆx } E n = µ cos φ E s 4 E n (b3) Jeweils einen Punkt für maximal zwei der folgenden Antworten: (max. Punkte) Das Spektrum des Informationssignals ist in ˆx(t) gegenüber x(t) verschoben Die Gleichstromkomponente im Basisbandsignal kann nicht richtig unterdrückt werden Hohe Frequenzkomponenten des Informationssignals werden beim Filtern f f g zerstört Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) Bits/Symbol (a) = 4 Symbole Beispiel: 4-PSK (a3) 4 Bits/Symbol Beispiel: 6-FSK (b) (b) Skizze könnte so aussehen: Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

217 A.38 Musterlösung zur Nachprüfung WS 6/7 7 Q I Qualitativ richtig (b) Irgendeine Zuordnung aller möglichen binären Tripel ist richtig. (b3) Zeichnung könnte so aussehen: Q - - I Qualitativ richtig Quantitativ richtig Bitmapping richtig (b4) P b,3 3, richtig gewertet wird 3 P b 3 3 (b5) Für P b = /4 gilt: ( ) = erfc σ σ 4 σ σ Rechnung und Ergebnis: (c) Zwei mögliche Antworten: Die Konstellation ) ist am besten geeignet, weil sie die Distanz besitzt und diese bei geringerer mittlerer Signalleistung als Konstellation 3) erreicht. Sommersemester 4

218 8 A PRÜFUNGEN Die Konstellation 3 ist am besten geeignet, weil sie die Distanz besitzt und einfachere Sender- und Empfängerstrukturen als Konstellation ermöglicht. Ergebnis: Begründung: Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

219 A.39 Prüfung SS 7 9 A.39 Prüfung SS 7 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme Hinweis: Die Teilaufgaben a),b) und c) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. Beachten Sie auch die Hinweise am Ende der Aufgabe auf der nächsten Seite (Rückseite). (a) ( Punkte) Ein System sei durch folgende Beziehung zwischen dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) beschrieben: y(t) = x(t+). Geben Sie an, welche der folgenden Eigenschaften das System besitzt! linear kausal zeitinvariant (b) (6 Punkte) In der Abbildung ist die Impulsantwort h(t) eines LTI-Systems gegeben. h(t) - - t (b) Ist das System kausal? (b) Drücken Sie h(t) durch die Dreiecksfunktion triang(t) aus! (b3) Bestimmen Sie Übertragungsfunktion H(f) des LTI-Systems! (b4) Das System wird dem Signal x(t) = δ(t)+δ(t 3) erregt. Skizzieren Sie das Ausgangssignal des LTI-Systems! Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! Hinweise: triang(t) = { x für < x < für sonst F{triang(t)} = si (πf) (c) (7 Punkte) Das an einem Funkempfänger ankommende Signal mit einem Pegel von L R = 6dBm muss vor der Demodulation verstärkt werden. Dazu stehen Verstärker zur Verfügung, die in einer Verstärkerkette zusammengeschaltet werden. Bei jeder Verstärkung wird dem Signal durch den Verstärker selbst Rauschen aufaddiert. Das sich ergebende Blockschaltbild ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Sommersemester 4

220 A PRÜFUNGEN PN, LNA = 9 * W 7 PN, PA = W LR v LNA = 6dBm LP = db = 3dB vlna v PA vpa P P Demodulation Low Noise Amplifier Power Amplifier Die Verstärker unterscheiden sich in ihrer Verstärkung und dem Rauschen, das sie verursachen. Einer ist ein rauscharmer Verstärker (Low Noise Amplifier, LNA) mit geringer Rauschleistung P N,LNA = 9 W und niedriger Verstärkung v LNA = db. Der andere ist ein Leistungsverstärker (Power Amplifier, PA) mit starker Rauschleistung P N,PA = 7 W und hoher Verstärkung v PA = 3dB. (c) Wie groß ist das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) vor dem Power Amplifier? (c) Das Empfangssignal soll vor der Demodulation eine Leistung von mindestens P P =.mw haben. Ist das mit den gegebenen Verstärkern möglich? Wenn nein, auf welchen Wert muss v PA (in db) eingestellt werden? (c3) Wie groß ist das SNR vor der Demodulation für eine Verstärkung des Power Amplifiers von v PA = 3dB? (c4) Das SNR vor der Demodulation soll maximal werden. Dazu könnte die Reihenfolge der Verstärker in der Verstärkerkette vertauscht werden. Welche Reihenfolge ist die günstigere? Begründen Sie! Betrachten Sie dazu das SNR vor der Demodulation für den Fall, dass sich der Power Amplifier vor dem Low Noise Amplifier in der Verstärkerkette befindet! Hinweise: log(a b) = log(a)+log(b) ; log(a/b) = log(a) log(b); log(a b ) = blog(a) x log (x) Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) ( Punkte) Digitale Signale können aus analogen Signalen durch Analog-Digital-Umsetzung gewonnen werden. Geben Sie an, wodurch sich digitale Signale von analogen Signalen unterscheiden. (b) (4 Punkte) Das analoge Signal s(t) habe das in Abbildung A.7 dargestellte Frequenzspektrum S(f). Bei einer Analog-Digital-Umsetzung wird s(t) mit der Frequenz f A = 5kHz ideal abgetastet. Das nach der Abtastung resultierende Signal wird mit s A (t) bezeichnet. Hinweis: Ein Anti-Aliasing-Filter wird nicht verwendet! (b3) Zeichnen Sie das Frequenzspektrum S A (f) des Signals s A (t) im Bereich 6kHz f 6 khz! Achten Sie auf eine vollständige Achsenbeschriftung! Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

221 A.39 Prüfung SS 7 Abbildung A.7: Frequenzspektrum S(f) Abbildung A.8: Frequenzspektrum N(f) (b4) Kann das analoge Signal s(t) aus dem Signal s A (t) wieder fehlerfrei rekonstruiert werden? Begründen Sie Ihre Antwort! Beziehen Sie sich dabei auf die gegebene Abtastfrequenz f A! (b5) Nun wird dem analogen Signal s(t) vor der Abtastung zusätzlich ein Störsignal n(t) überlagert. Das Frequenzspektrum N(f) des Störsignals n(t) ist in Abbildung A.8 dargestellt. Welche minimale Abtastfrequenz f A,min ist zulässig, wenn sich nach der Abtastung lediglich das Signal s(t) mit Hilfe eines Tiefpass-Filters wieder fehlerfrei rekonstruieren lassen soll? (c) (4 Punkte) Der Quantisierer eines Analog-Digital-Umsetzers habe die in Abbildung A.9 dargestellte Quantisierungskennlinie. Mit x(t) wird das Eingangsignal und mit x q (t) das Ausgangssignal des Quantisierers bezeichnet. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Quantisierungsstufen lautet x. " %$ #! ' %$ #.&% $.%$ ' )( - %$ # &% $! *, %$ + Abbildung A.9: Quantisierungskennlinie Sommersemester 4

222 A PRÜFUNGEN (c) Handelt es sich um einen mid-rise oder mid-tread Quantisierer? Begründen Sie Ihre Antwort! (c) Zeichnen Sie den Betrag des Quantisierungsfehlers e(t) als Funktion des Eingangssignals x(t) im Bereich x x(t) x! Achten Sie auf eine vollständige Achsenbeschriftung! (c3) Das Eingangssignal des Quantisierers sei x(t) = 3 cos(πft). Zudem sei x =.5. Bestimmen Sie für diesen Fall den Signal-Rausch-Abstand SNR am Ausgang des Quantisierers! Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (7 Punkte) Bei einem Sender, der auf Amplitudenmodulation basiert, liegt das Bandpass- Signal s BP (t) = (+µx(t)) cos(πf c t) am Antennenausgang vor, wobei x(t) das eigentliche zu übertragende, reellwertige Informationssignal darstellt und f c die Trägerfrequenz. Das Spektrum X(f) des Informationssignals x(t) ist im folgenden dargestellt: X(f) f g << f c -f g f g f (a) Berechnen Sie das Spektrum S BP (f) des Bandpass-Signals, und zeichnen Sie dieses Spektrum! Achten Sie dabei auf vollständige Achsenbeschriftungen! (a) Nehmen wir an, das zu übertragende Informationssignal sei x(t) = sin(πf i t). Wie groß darf dann der Wert µ maximal sein, wenn am Empfänger ein Hüllkurvendemodulator eingesetzt werden soll? Begründen Sie kurz, warum in diesem Fall die Wahl von µ wichtig ist. (a3) Ein Nachteil dieser Art der Amplitudenmodulation ist, dass nur ein Teil der Sendeleistung der eigentlichen Informationsübertragung dient. Berechnen Sie - unter der Annahme eines Informationssignals x(t) = sin(πf i t) und µ =.5 - welchen Anteil das eigentliche, skalierte Informationssignal µx(t) an der Gesamtsendeleistung des Signals s BP (t) hat! (b) (4 Punkte) Wir nehmen nun an, das Signal s BP (t) von Aufgabe (a) wird verlustfrei übertragen, und am Empfänger wird der im folgenden dargestellte Demodulator eingesetzt. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

223 A.39 Prüfung SS 7 3 xˆ I ( t) s ( ) BP t cos ( π f t + ϕ ) c Idealer Tiefpaß f / f g Idealer Hochpaß f > Phasenschätzung ˆϕ ϕ ˆϕ Idealer Bandpaß (Nachbarkanalunterdrückung) xˆ ( t) Q ( π f t ϕ ) sin + c Idealer Tiefpaß f / f g Idealer Hochpaß f > (b) Berechnen Sie die Signale ˆx I (t) und ˆx Q (t) am Ausgang des Demodulators in Abhängigkeit von ϕ (Hinweis: cos(a)cos(b) = /(cos(a b) + cos(a + b)) und cos(a)sin(b) = /( sin(a b)+sin(a+b)))! (b) Nehmen wir nun an, ϕ könne aber am Empfänger durch ˆϕ ϕ geschätzt werden. Erweitern Sie den Demodulator so, dass aus den Signalen ˆx I (t), ˆx Q (t) und ˆϕ wieder möglichst genau das Informationssignal x(t) gewonnen werden kann (Hinweis: ϕ : cos ϕ + sin ϕ = )! Achten Sie hierbei auf eine vollständige Beschriftung aller verwendeter Komponenten bzw. Signale! Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (6 Punkte) Die beiden folgenden Diagramme zeigen den zeitlichen Verlauf von zwei digital modulierten Bandpass-Signalen s BP, (t),s BP, (t). Dabei enthalten die dargestellten Zeitverläufe mindestens einmal jedes der möglichen Symbole des Modulationsverfahrens. 4.5 s BP, (t) s BP, (t) t/t t/t Abbildung A.: s BP, (t) Abbildung A.: s BP, (t) (a) Welches Modulationsverfahren wurde jeweils verwendet? Geben Sie den Namen und die Wertigkeit des Modulationsverfahrens an! (a) Zeichnen Sie das I/Q-Diagramm des Modulationsverfahrens von s BP, (t)! Sommersemester 4

224 4 A PRÜFUNGEN (a3) Zeichnen Sie die prinzipielle Form der Impulsantwort des Impulsformers, welcher zur Modulation von s BP, (t) verwendet wurde! (a4) Welche Datenrate R (in bits/s) kann mit dem Modulationsverfahren von s BP, (t) bei einer Symboldauer T = ms erreicht werden? (a5) Es soll nun die Datenrate verdoppelt werden (R 3 = R ), ohne das Modulationsverfahren zu verändern. Deshalb soll die Symboldauer T angepasst werden. Wie muss T verändert werden, um die Datenrate zu verdoppeln? (b) (6 Punkte) In Abbildung A. und A.3 ist das Blockschaltbild eines QPSK-Modulators mit dem dazugehörigen Symbolmapping gegeben. Dabei sei die Impulsantwort φ(t) = rect ( t T ). Es soll die Datenfolge d[k] = [,,, ] übertragen werden. Symbolmapper d[k] a[k] = I[k]+jQ[k] j j Abbildung A.3: Symbolmapper Abbildung A.: QPSK-Modulator (b) Zeichnen Sie die Signale I(t) und Q(t) in dem Zeitbereich t < 4T! Hinweis: Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! (b) Zeichen Sie den zeitlichen Verlauf des resultierenden modulierten Bandpass-Signals s BP (t) innerhalb von t < 4T für die angegebene Datenfolge, wobei sich die Trägerfrequenz aus f c T = ergibt! Hinweis: Achten Sie auf vollständige Achsenbeschriftung! (b3) Zeichnen Sie das I/Q-Diagramm (bzw. Konstellationsdiagramm) dieses Modulationsverfahrens und zeichnen Sie die zugehörigen Entscheidungsgrenzen mit ein! (c) ( Punkte) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER) einer solchen QPSK-Übertragung errechnet sich aus der folgenden Gleichung: BER = ( erfc E ) s 4σ wobei E s die mittlere Symbolenergie E s = E [ S[k] ] bezeichnet und σ die Varianz des Kanalrauschens angibt. In der Abbildung unten ist die komplementäre Fehlerfunktion erfc(x) dargestellt. (c) Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einer mittleren Symbolenergie E s = und einer Rauschvarianz σ = 6! Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

225 A.39 Prüfung SS 7 5 (c) Wie würde sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (BER) bei der QPSK-Modulation ändern, wenn zwischen dem Sendeoszillator und dem Empfangsoszillator ein unbekannter Phasenoffset besteht? Begründen Sie! erfc(x) x Sommersemester 4

226 6 A PRÜFUNGEN A.4 Musterlösung zur Prüfung SS 7 Aufgabe : Signaltheorie und LTI Systeme (a) Das System ist: nicht linear (Betragsbildung ist nichtlineare Operation) nicht kausal (z.b. zur Berechnung von y() ist x() notwendig) zeitinvariant (zeitliche Verschiebung von x(t) um τ resultiert in einer zeitlichen Verschiebung von y(t) um ebenfalls τ) Eigenschaften richtig: 3 Eigenschaften richtig: ( Punkte) (b) (b) nicht kausal da h(t) im negativen Zeitbereich Werte ungleich aufweist (b) Überlagerung dreier verschobener Teildreiecke oder großes Dreieck minus ein kleines Dreieck h(t) = triang(t)+triang(t )+triang(t+) = triang(t/) triang(t) (b3) Ausnutzung der Linearität der Fouriertransformation und des Verschiebungssatzes: H(f) = si (πf)+si (πf)e jπf +si (πf)e jπf = si (πf)(+cos(πf)) oder H(f) = 4si (πf) si (πf) Die beiden Lösungen sind äquivalent, wie folgende Rechnung zeigt: 4si (πf) si (πf) = 4 sin (πf) 4π f sin (πf) π f = (sin(πf)cos(πf)) sin (πf) π f = sin (πf) (πf) (4cos (πf) ) = sin (πf) (πf) (4 (+cos(πf)) ) = sin (πf) (πf) (+cos(πf) ) = si (πf)(+cos(πf)) H(f) ist Fouriertransformierte von h(t) Ergebnis korrekt (b4) verschobene Trapeze überlagern sich zu Gesamtsignal y(t) Teiltrapeze qualitativ und quantitativ richtig: Gesamtsignal qualitativ und quantitativ richtig: t Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

227 A.4 Musterlösung zur Prüfung SS 7 7 (c) (c) L N,LNA = lg( 9 W 3 W )dbm = (lg(9)+lg( 7 ))dbm L N,LNA = ( )dBm = 6.4dBm SNR = L P +v LNA L N,LNA = 6dBm+dB ( 6.4dBm) SNR =.4dB (c) ( Punkte) (c3) (c4) L P = lg( 4 3)dBm = L R +v LNA +v PA v PA = L P L R v LNA = dbm ( 6dBm) db = 4dB Die gegebenen Verstärker reichen nicht aus. Der Power Amplifier muss auf 4dB Verstärkung erhöht werden. Pegel des Empfangssignals vor der Demodulation: L p = L R +v LNA +v PA = 6dBm+dB+3dB = dbm Pegel des ersten Rauschsignals n LNA (t) vor der Demodulation: L n, = lg ( PN,LNA mw ( Punkte) ) +v PA = ( )dBm+3dB = 3.4dBm Leistung des ersten Rauschsignals vor der Demodulation: P n, = Ln,/ mw = 9 7 W Leistung der Summe der beiden Rauschsignale n LNA (t) und n PA (t) vor der Demodulation: P n,ges = P n, +P n,pa = 6 W SNR vor der Demodulation: SNR = L p lg ( Pn,ges mw ) = db v LNA v PA P R SNR = lg( )db v LNA P N,PA +P LNA 5 W SNR = lg( 6 W +9 W )db ( Punkte) ImVergleichzuSNR ausc3)wirdhierimnennernochderterm9 hinzuaddiert. DamitsinktdasSNRunterdiedBausc3).DiegünstigereLösungistdaherzuerstden Low Noise Amplifier und dann den Power Amplifier in der Verstärkerkette zu nutzen. Aufgabe : Analog-Digital-Umsetzung (a) Analoge Signale: zeit- und wertkontinuierlich Digitale Signale: zeit- und wertdiskret (b) (b) Spektrum S A (f) laut Abbildung Diagramm qualitativ richtig - Verlauf Diagramm quantitativ richtig - Achsenbeschriftungen Sommersemester 4

228 8 A PRÜFUNGEN <@; <== <=; <?= <?; <>= <>; <6= <6; <5= <5; <= ; = 5; 5= 6; 6= >; >=?;?= =; : (b) Ja, s(t) kann aus s A (t) wieder fehlerfrei rekonstruiert werden. Begründung: Die Abtastfrequenz f A = 5kHz ist größer als die doppelte obere Grenzfrequenz f g,s = khz von s(t), d.h. f A > f g,s. Aliasing tritt daher nicht auf. (b3) Die Frequenzzspektren S(f) und N(f) sind überlappungsfrei. Auch nach der Abtastung dürfen sich die Frequenzspektren S A (f) und N A (f) nicht gegenseitig überlappen. Aliasing innerhalb von N A (f) ist unkritisch (vgl. Abbildung). ABCDEFGBCDE I... H... OSN OPP OPN ORP ORN OQP OQN OIP OIN OHP OHN OP N P HN HP IN IP QN QP RN RP PN PP SN D J KLM Sind f g,s und f g,n die oberen Grenzfrequenzen von s(t) bzw. n(t), dann folgt: f A f g,s +f g,n = khz+khz Die kleinste zulässige Abtastfrequenz ergibt sich damit zu f A,min = 3kHz. (c) (c) Es handelt sich um einen mid-rise Quantisierer. Begründung: x q (t) { ± x (,3,...)}, d.h. die Quantisierungskennlinie weist keine Quantisierungsstufe x q (t) = auf. (c) e(t) = x q (t) x(t) als Funktion von x(t) laut Abbildung Diagramm qualitativ richtig - Verlauf Diagramm quantitativ richtig - Achsenbeschriftungen TUVWXT ] \[ ^ _ Z \[ _\[ \[ Z \[ YVWX (c3) Mit x = 3 wird der Quantisierer für x(t) = 3 cos(πft) über 4 Quantisierugsstufen voll ausgesteuert. Das entspricht einer Auflösung von b = Bit. Bei einem sinusförmigen Eingangssignal gilt für den Signal-Rausch-Abstand am Ausgang des Quantisierers: SNR = (.76+6.b/Bit)dB Damit ergibt sich: SNR = 3.8dB. Skript Einführung in die Nachrichtentechnik

229 A.4 Musterlösung zur Prüfung SS 7 9 Aufgabe 3: Analoge Modulation (a) (a) S BP (f) = δ(f f c)+ δ(f +f c)+ µ X(f f c)+ µ X(f +f c).5.5µ S BP (f) -f c -f g -f c Gleichung richtig Grafik qualitativ richtig Grafik quantitativ richtig -f c +f g f c -f g f c f c +f g (a) t : +µx(t) µ max x(t) µ Einer von folgenden Stichpunkten genannt: f Informationssignal darf ausschliesslich in der Einhüllenden von s BP (t) enthalten sein Phasensprünge in s BP (t) müssen vermieden werden. (a3) Leistung des Informationssignals im Bandpass-Bereich s i,bp (t) = µx(t)cos(πf c t): P i,bp = µ P x =.5 = 6 Gesamtleistung des Bandpass-Signals s BP (t): P s,bp = µ P x + = 9 6 Leistungsverhältnis: P i,bp P s,bp = 9 Ansatz richtig Ergebnis richtig (b) (b) Die Signale am Ausgang des Demodulators lassen sich berechnen als ˆx I (t) = (+µx(t)) cos(πf c t) cos(πf c t+ϕ) < f fg = (+µx(t)) (cos(4πf ct+φ)+cosϕ) < f fg = (+µx(t)) cosϕ < f = µ cosϕ x(t) ˆx Q (t) = (+µx(t)) cos(πf c t) (-sin(πf c t+ϕ)) < f fg = (+µx(t)) ( sin(4πf ct+ϕ) sin( ϕ)) < f fg = (+µx(t)) sinϕ < f = µ sinϕ x(t) Ansatz richtig: Ergebnisse richtig: (b) Folgende Lösung ist moeglich: Sommersemester 4

230 3 A PRÜFUNGEN xˆ I ( t) cos ( ϕ ) µ xˆ( t) xˆ ( t) Q sin ( ϕ ) µ Prinzip richtig: Beschriftungen richtig: Aufgabe 4: Digitale Modulation (a) (a) links: 8-ASK rechts: 4-FSK (a) I/Q-Diagramm Q[k] I[k] qualitativ und quantitativ richtig (a3) Impulsantwort des Impulsformers φ(t) = rect ( t ) T (a4) 8-ASK: Wertigkeit M = 8 ld(m) = 3 Bits/Symbol R = ld(m) [ [ Bits ] Symbol ] Symbol T s = 5Bits/s (a5) Die Symboldauer muss halbiert werden. Siehe Aufgabe a4)! (b) (b) Diagramme von I(t) und Q(t): Skript Einführung in die Nachrichtentechnik