6 Einführung in die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen

Transkript

1 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 6 Einführung in di Thori gwöhnlichr Diffrntilglichungn 6 Grundlgn Diffrntilglichungn wrdn in viln Anwndungn ls mthmtisch Modll hsiklischr und ndrr Sstm bnötigt Ein gwöhnlich Diffrntilglichung (ODE) nthält in odr mhrr Ablitungn inr unbknntn Funktion, di in dr Thori dr gwöhnlichn Diffrntilglichungn mit () odr (t) bzichnt wird Unsr Zil ist s, dis Funktionn us inr ggbnn Glichung zu bstimmn Solch in Glichung knn di Funktion, Ablitungn von, ggbn Funktionn und Konstntn nthltn Hir sind inig Bisil: (6) sin( ) (6) (63) + 3 d d (64) + d d Ds Wort gwöhnlich untrschid dis Glichungn von rtilln Diffrntilglichungn (PDE), di wir sätr noch bhndln wrdn Di unbknnt Funktion in inr rtilln Diffrntilglichung hängt von zwi odr mhrrn Vribln b Di infchstn gwöhnlichn Diffrntilglichung könnn glöst wrdn, indm wir uns n mthmtisch Grundlgn rinnrn Wnn wir bisilswis inn Stin flln lssn, dnn ist sin Bschlunigung d (65), (t ist di Zit) dt glich dr Bschlunigung dr Erdnzihung g (in Konstnt) Somit ist in gut Nährung für ds Modl ds frin Flls (66) g, d dr Luftwidrstnd in dism Fll kinn großn Einfluss ht Durch Intgrtion rhltn wir di Momntngschwindigkit d dt (67) ( t ) ( t) g t+ v0

2 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ wobi v 0 di Anfngsgschwindigkit ist (zb, v 0 0) Durch witrs Intgrirn rhltn wir dn zurückglgtn Wg, (68) ( t ) g t + v0 t+ 0 wobi 0 dr brits zurückglgt Wg zum Strt-Zitunkt t 0 ist (zb 0 0) Abb 6 Fllndr Stin Dfinition 6: (i) Di Ordnung inr Diffrntilglichung, ist di Ordnung dr höchstn Ablitung, di in dr Glichung vorkommt (ii) Dr Grd inr Diffrntilglichung ist dr Grd dr höchstn Ablitung, di in dr Glichung vorkommt Bisil 6: d (i) + cos sin ht di Ordnung und dn Grd d d d (ii) + 0 ht di Ordnung und dn Grd d d 3 d d (iii) + ht di Ordnung und dn Grd d d Di llgmin Form inr gwöhnlichn Diffrntilglichung ist n d d (68) F,,,, 0 n d d, wobi F in Funktion mit n + Vribln ist Ein solch Diffrntilglichung hißt linr, flls F in linr Funktion dr Vribln n d d,,, ist n d d Somit ist di llgmin Form inr linrn Diffrntilglichung n-tr Ordnung n d n d n d d (69) ( ) ( ) + + ( ) + ( ) g( ) d d n + n n 0, wobi n ( ) nicht idntisch Null ist

3 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Bisil 6: Di Glichung 3 d 3 d + d d + d d 3 ist wgn ds Trms d nicht linr d Ein Glichung dr Form (68) hißt imlizit gwöhnlich Diffrntilglichung n-tr Ordnung Flls di Glichung (68) di szill Form (60) ( n) d d n d d f,,,, d d n n n bsitzt, dnn hißt (60) lizit gwöhnlich Diffrntilglichung n-tr Ordnung Ein Lösung inr ggbnn Diffrntilglichung (68) uf inm offn Intrvll (;b) ist in Funktion f(), di di Ablitungn f ( ),, ( ) n n n n d d f d d ht und (68) für ll (;b) rfüllt Mnchml knn in Lösung inr Diffrntilglichung ls in Funktion uftrtn, wlch imlizit in dr Form (6) H(,) 0 ggbn ist Ein solch Lösung wird imlizit Lösungn gnnnt (im Ggnstz zu inr lizitn Lösung f()) Bisil 63: (i) Di Glichung ist in lizit ODE Ordnung Ein lizit Lösung für (- ; ) ist + ( ) (ii) Di Glichung ( 5 ) ( ) + + ln 0 ist in imlizit ODE 5 Ordnung Ein Lösung für (- ; ) ist zb durch () ggbn

4 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ (iii) Di Glichung + 0 ist in lizit ODE Ordnung Di imlizit Funktion H(, ) + c 0 c 0, ist in llgmin Lösung (iv) Di Glichung (6) cos, ist in lizit ODE Ordnung und knn durch Intgrtion uf bidn Sitn glöst wrdn Folglich ist ( ) sin c +, c blibig, in llgmin lizit Lösung Für jds c rhltn wir in Sinuskurv und dis sind ll möglichn Lösungn Abb 6 Einig Lösungn von cos Ds ltzt Bisil ist tisch für ODE`s Ordnung Es zigt, dss ll Lösungn, durch in Forml mit inr Konstntn c drgstllt wrdn könnn Ein Funktion, di in Konstnt c vrwndt hißt llgmin Lösung inr ODE Ordnung Flls wir in bstimmts c wähln (zb, c 4 odr c π, tc), rhltn wir in szill Lösung disr Glichung Dswgn ist () sin + in szill Lösung dr ODE (6) Bmrkung 6: Ein Diffrntilglichung knn mnchml in zusätzlich Lösung hbn, di nicht durch di llgmin Lösung brchnt wrdn knn Solch in Lösung hißt singulär Lösung, ist br für di Ingniurwissnschftn nicht von großm Intrss Bisil: Di ODE ( ) + 0 ht di llgmin Lösung ( ) c c Di ist in singulär Lösung, di nicht us dr llgminn Lösung 4 gnrirt wrdn knn Prbl ( )

5 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 6 Gwöhnlich ODE rstr Ordnung Gwöhnlich ODE rstr Ordnung könnn imlizit ls d (6) F,, 0 d odr lizit ls d d (6) f (, ) gschribn wrdn Bisil 6 (Rdioktivr Zrfll): Si (t) dr Wrt inr rdioktivn Substnz zur Zit t Di Ändrungsrt ist d/dt Mit dm hsiklischm Gstz ds rdioktivn Zrflls rhltn wir di gwöhnlich ODE rstr Ordnung d (63), dt wobi λ > 0 di Zrfllskonstnt ist, drn numrischr Wrt für untrschidlich rdioktiv Substnzn bknnt ist D dr Wrt dr Substnz ositiv ist und mit dr Zit monoton fällt, ist d/dt ngtiv Di Glichung (63) zigt, dss di Ablitung inr Lösung roortionl zu sin muss Aus dr Vorlsung Mthmtik I wissn wir, dss di Eonntilfunktion dis Eignschft ht Dhr ist t c t (64) ( ) in llgmin Lösung von (63), wobi c in blibig Konstnt ist D dr hsiklisch Prozss indutig ist, müssn wir in szill Lösung ds Problms (63) findn Nun hängt dr Wrt inr Substnz zur Zit t von dn Anfngswrtn zur Zit t 0 b Si (0) 0, dnn rhltn wir: (65) ( 0) c 0 c 0 Somit ist ( t t ) 0 in szill Lösung zum Anfngswrt 0 Bisil 6 zigt, dss wir in indutig szill Lösung inr ODE rstr Ordnung durch in Anfngsbdingung findn könnn

6 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Dfinition 6: Ein Diffrntilglichung zusmmn mit inr Anfngsbdingung hißt Anfngswrtroblm (AWP)Für lizit ODE rstr Ordnung hbn si di Form f,, 0, (64) ( ) ( ) 0 wobi 0 und 0 ggbn Wrt sind Untr Vrwndung von t ls unbhängig Vribl könnn wir (64) schribn ls f t,, t 0 (67) ( ) ( ) 0 Dfinition 6: Ein AWP ( o ) 0 ist lokl lösbr, wnn in ε > 0 istirt, so dss () in Lösung dr Diffrntilglichung uf dm Intrvll ( 0 - ε; 0 + ε) ist Solch in Funktion hißt lokl Lösung Ein Anfngswrtroblm (AWP) ist wohl dfinirt, wnn () in (lokl) Lösung istirt (Eistnz) () s nur in Lösung gibt (Eindutigkit) (3) di Lösung sttig vom Anfngswrt bhängt; ds hißt klin Ändrungn ds Anfngswrts führn zu klinn Ändrungn dr Lösung Im Folgndn btrchtn wir ds Problm in llgmin Lösung inr ggbnn Diffrntilglichung zu findn Dbi btrchtn wir nur inig szill Tn solchr Glichungn 6 Srirbr Diffrntilglichungn Angnommn di Funktion H(,) in dr lizitn ODE rstr Ordnung (6) H(, ) knn gschribn wrdn ls (6) (, ) Also: ( ) ( ) f H, g( ) 0 g (63) ( ) ( ) f g

7 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Ein Glichung vom T (63) hißt srirbr Untr Vrwndung von (63) könnn vil ODE rstr Ordnung durch lgbrisch Umformung uf di Form (64) g ( ) f ( ) rduzirt wrdn Um (63) zu lösn, intgrirn wir bid Sitn von (64) bzgl und rhltn (65) ( ( ) ) ( ) d f ( ) g d Stzn wir vorus, dss f und g sttig Funktionn sind, so istirn bid Intgrl in (65) Angnommn G ist in Stmmfunktion von g und F in Stmmfunktion von f Dnn rhltn wir (66) ( ( ) ) + c F( ) + c G( ( ) ) F( ) c G + d bknntlich mit dr Kttnrgl ( G ( ( ) )) G ( ( ) ) ( ) g( ( ) ) ( ) Flls G umkhrbr und (67) ( ) G ( F( ) + c) G di Umkhrfunktion ist, dnn folgt mit (66) : ist in lizit llgmin Lösung von (63) Andrnflls rhltn wir di imlizit llgmin Lösung (68) ( ) F( ) c 0 G (68) Anlitung zum Lösn von ( ) ( ) f : g Find di Stmmfunktionn F und G von f und g Flls G umkhrbr ist, dnn ist ( ) G ( F( ) c) + in lizit llgmin Lösung Andrnflls ist G ( ) F( ) c 0 in imlizit llgmin Lösung

8 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Bisil 6: (i) Wir lösn di Glichung (69) + Lösung: + In dism Fll ist f() und g( ) F ( ) und ( ) rctn Stmmfunktionn von f und g Also ist ( ) tn( F( ) + c) tn( c) + in lizit llgmin Lösung von (69) (ii) Wir lösn di Glichung G sind (60) d d Lösung: 3 f ( ) und g ( ) Dhr sind F ( ) und G ( ) di zughörign 3 Stmmfunktionn Imlizit llgmin Lösung von (60): 3 c 0 3 (iii) Wir lösn ds Anfngswrtroblm 4 (6) + 5 0, (0) Lösung: f Stmmfunktionn Somit ist 4 5 ( ) 5 und g ( ) Dhr sind F( ) und G( ) di zughörign 5 + c 5 c und, 5 c 5 (6) ( ), c 0 ist in lizit Lösung von (6) Mit dr Anfngsbdingung (0) rhltn wir:

9 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ ( 0) c 5 0 c c, in Lösung ds Anfngswrtroblms + Also ist ( ), 5 Bisil 6 (Nwtonschs Abkühlungsgstz): Ein Kufrkugl wird uf in Tmrtur von 00 C ufghizt Zur Zit t 0 wird dis in 30 C wrms Wssr gtucht Nch 3 Minutn ist di Tmrtur dr Kugl uf 70 C rduzirt wordn Wir möchtn di Zit brchnn, di di Kugl bnötigt, um uf 3 C bzukühln Lösung: dt Di zitlich Ändrungsrt dr Tmrtur T dr Kugl ist roortionl zur Diffrnz zwischn T und dr Tmrtur T 0 ds umgbnn Mdiums (Nwtonschs dt Gstz dr Kühlung) In Kufr flißt di Wärm so schnll, dss wir nnhmn könnn, dss di Tmrtur in jdm Punkt dr Kugl glich ist Wir rhltn somit di folgnd Diffrntilglichung rstr Ordnung dt dt (NLC) ( t ) k( T ( t ) ) di ls ( T T ) T 0 ( t ) ( T ) k f T, g gschribn wrdn knn, wobi f(t) k und g( T ) 0 Also ist di Glichung ( T ) (NLC) srirbr und mit Anlitung 68 rhltn wir di imlizit llgmin Lösung ( T T0 ) kt c 0, T T0 ln > T D G( T ) ln( T T 0 ) und G ( T ) + T0 durch di wir uch in dr Form schribn könnn kt + c c kt ( t) + T0 T0 T +, kt ( t) c + T, c > 0 T 0 T 0, ist di lizit llgmin Lösung ggbn

10 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Nun kommn wir uf unsr Kufrkugl zurück Hir ist T 0 30 C und di ggbnn Anfngsbdingungn T(0) 00 C führt zu T ( 0) c Dhr ist 0 c 70 und somit rhltn wir di szill Lösung ds AWP ( t) 70 kt + 30 T D T(3) 70 C folgt k ln 0865 Di ngtiv Konstnt k führt 3 70 dt dzu, dss ngtiv ist Ds ist klr, d di Tmrtur T bnimmt Mit dt T t ( t) t ln t 78 rhltn wir di Antwort uf unsr Frg Di Kufrkugl ht nch c 3 Minutn in Tmrtur von 3 C Bstimmt gwöhnlich ODE rstr Ordnung, di nicht srirbr sind, könnn durch ssnd Substitutionn in srirbr ODE trnsformirt wrdn Dis gilt zum Bisil für Glichungn dr Form, und (63) h( + b + c), b 0 (64) h, wobi h in ggbn Funktion von + b + c bzw ist Ein ODE ds Ts h( + b + c) (65) u ( ) + b( ) + c glöst wrdn Diffrntition von (65) führt zu (66) u ( ) + b ( ) knn durch di Substitution Mit (63) und (65) rhltn wir ( ) h( u( ) ) (67) u ( ) + b h( u( ) ) und dhr Glichung (67) ist in srirbr Glichung dr Form u + b h( u) stzn dzu Wir

11 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ f() und g( u) + b h Nun könnn wir di Anlitung (68) zum Lösn von (67) vrwndn Wnn di gfundn Lösung lizit ist, dnn stzn wir u u() in (65) in und lösn dis Glichung nch uf, um di lizit llgmin Lösung (68) ( ) dr Glichung (63) zu rhltn ( ) u c, b 0, b Ist dggn u in imlizirt Lösung von (67), dnn rstzt mn u() durch + b +, um in imlizirt Lösung dr Glichung (63) zu rhltn ( ) c ( u) : (69) Anlitung zum Lösn von h( + b + c) f Substituir u ( ) + b( ) + c, um in srirbr Glichung u zu rhltn Dbi sind f und g ssnd Funktionn mit + b h( u) g( u) f ( ) g u Find di llgmin Lösung u u() dr srirbrn Glichung untr Vrwndung dr Anlitung (68) Durch Rücksubstitution folgt ( ) flls u in lizit Lösung ist ( ) u c, b 0, b ( ) ( ) Andrnflls rstzt in dr imlizitn Lösung u() durch + b + c Bisil 63: Wir lösn di Glichung Lösung: Di Glichung ist vom T h( + b + c) mit h(u) u Wir substituirn u( ) ( ), um di srirbr Glichung u u zu rhltn Wir vrwndn Anlitung (68) mit f() - und g( u) Dmit rhltn wir: u (60) F( ) und G( u) ln u

12 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ u Für u > ht di Funktion G( u) ln( u ) di Umkhrfunktion G ( u) + Also ist in dism Fll di llgmin lizit Lösung dr srirbrn Glichung durch F ( ) (6) ( ) u + c + c + ggbn D c in Konstnt ist, könnn wir (6) uch schribn ls (6) u( ) c +, c > 0 u Flls u <, dnn ist G( u) ln( u) und G ( u) + Hir rhltn wir ls llgmin lizit Lösung F ( ) (63) ( ) di durch Umformung uch ls u + c + (64) u( ) c +, c < 0 c +, gschribn wrdn knn Somit ist di llgmin lizit Lösung unsrs Problms c + ( ) c Für c 0 rhltn wir di Funktion ( ), di bnflls in Lösung dr btrchttn Glichung ist, und c Ein gwöhnlich Diffrntilglichung ds Ts Substitution (65) ( ) ( ) u ( ) u( ) h knn durch di glöst wrdn Diffrntition von (65) führt zu (66) ( ) u( ) + u ( ) D ( ) h( u( ) ), rhltn wir mit (64) (67) u ( ) ( u( ) ) u( ) h

13 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Glichung (67) ist in srirbr Glichung dr Form wir f ( ) und g( u) h ( u) u ( u) h u u Stzn könnn wir widrum Anlitung (68) nwndn, um (67) zu lösn Flls u in lizit Lösung disr Glichung ist, stzn wir di Lösung u u() in (65) in, um di Lösung ds Ausgngsroblms (68) ( ) u( ) zu rhltn Flls u in imlizit Lösung ist, rstzn wir u() durch ( ) (69) Anlitung zum Lösn von h : f Substituir ( ) u( ), um in srirbr Glichung dr Form u zu g f ( ) h( u) u rhltn Dbi sind f und g ssnd Funktionn, so dss g u Find di llgmin Lösung u u() dr srirbrn Glichung untr Vrwndung dr Anlitung (68) Durch Rücksubstitution folgt flls u in lizit Lösung ( ) u( ), ( ) ( ) ( u) Andrnflls rstzt in dr imlizitn Lösung u() durch Bisil 64: Wir lösn di ODE Lösung: Es gilt: (630) 3 ( ) + ( ) + ( ) h,

14 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ h u wobi ( ) 3 u + Mit Anlitung (69) rhltn wir: u+ u f ( ) und g( u) u+ u h ( u) u u Mit infchn lgbrischn Ortionn folgt: (63) g( u) Dhr ist u( + u) u ( + u)( u) ( u) u (63) G( u) u ln u und ( ) ln Somit gilt: F (633) u ln u ln c 0 ist di llgmin imlizit Lösung dr srirbrn Glichung ( ) ( u) f u g D ( ) ( ) u folgt us (633): (634) + ln + ln + c 0 Abb 6 Einig Lösungn dr ODE Widrum rhltn wir durch infch lgbrisch Umformungn us (634) di llgmin imlizit Lösung: (635) + ln + c 0 Um ds Anfngswrtroblm () zu lösn stzn wir ( ) + ln ( ) + c 0 worus folgt, dss + c 0 c Abb 6 Lösung ds AWP () Somit ist di szill imlizit Lösung, di ds AWP () löst, ggbn durch + ln 0

15 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 6 Ekt Diffrntilglichung Wir rinnrn uns (s Dfinition 364), dss für in sttig rtill diffrnzirbr u u, ds totl Diffrntil ggbn ist durch Funktion ( ) u u (6) du d+ d u [ d,d] Aus (6) folgt, dss für konstnt Funktionn u (, ) c constnt du 0 Worus wir sofort schlißn könnn: gltn muss: u u (6) d+ d 0 Durch lgbrisch Umformungn rhltn wir us (6) folgnd ODE: (63) u d d u Bisil 6: 3 Si u(, ) + c, dnn rhltn wir: 3 ( + ) d+ 3 d 0 u u du d+ d 3 Also ist u(, ) + c di imlizit llgmin Lösung dr ODE rstr Ordnung Dfinition 6: Wir btrchtn in gwöhnlich Diffrntilglichung dr Form (63) M (, ) d N(, ) d 0 di äquivlnt zur Glichung +, (64) (, ) (, ) d M ist d N

16 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Ein solch ODE hißt totl odr kt, flls ds Vktorfld v (, ) ( M(, ),N (, )) konsrvtiv ist Ds hißt, flls in Potntilfunktion u istirt, so dss (65) v (, ) u(, ) ( M(, ),N (, )) odr, in dr Schribwis ds totln Diffrntils, flls (66) du Md+ Nd Bmrkung 6: Mit Thorm 56 ist in ODE dr Form (63) kt, flls dr Wrtbrich D von M und N infch zusmmnhängnd ist, di Funktionn M und N sttig rtill diffrnzirbr sind und di Bdingung (67) rfüllt ist M N Di Id in kt ODE zu lösn di folgnd Angnommn di Glichung (68) M N (, ) (, ) ist kt, dnn istirt in Funktion u u(, ) u (69) M und u (60) N, so dss Dis Funktion u knn durch di im vorhrghndn Kitl rläutrtn Mthodn (s Bisil 364) gfundn wrdn Im Folgndn zign wir noch inml inn sstmtischn Wg, um di Funktion u zu findn: Aus (69) rhltn wir durch Intgrtion bzgl (6) u (, ) M(, ) d + K( )

17 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ In disr Intgrtion ist in Konstnt und dshlb ist K() di zu ghörnd Intgrtionskonstnt Um K() zu bstimmn, litn wir (6) nun hinsichtlich d K b und vrglichn dis Ablitung mit (60), um zu rhltn Durch Int- d d K grtion von nch rhltn wir K Jtzt vrwndn wir (60) und d intgrirn dis Funktion bzgl Dmit folgt: (6) u (, ) N(, ) d + L( ) Um L() zu bstimmn litn wir (6) hinsichtlich b und vrwndn (69) d L um zu rhltn Also rhltn wir durch Intgrtion L d Bcht: Dis Mthod lifrt di llgmin Lösung inr ktn Diffrntilglichung in imlizitr Form u (, ) c, br nicht in lizitr Form f() Mnchml ist s möglich, in lizit Funktion durch Lösn dr Glichung u (, ) c hinsichtlich zu findn N : (63) Anlitung zum Lösn von (, ) + M(, ) 0 für ll (,) D, D ist in- M fch zusmmnhängnd N Schritt: Auf Ekthit tstn: (, ) (, ) Schritt: Find di Potntilfunktion u u(, ) mit u (, ) ( M(, ),N (, )) 3 Schritt: Imlizit Lösung (, ) c u Flls möglich, lösn dr Glichung hinsichtlich, um in lizit Lösung zu findn Bisil 6: (i) Wir lösn ds Anfngswrtroblm +, (0) (64) ( + ) 0 Lösung: N, + und D Stz M (, ), ( ) Schritt: M N D ist infch zusmmnhängnd und (, ) (, )

18 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Schritt: Wir brchnn di Potntilfunktion: u u u (, ) + K( ), (, ) + K ( ) + K( ) (, ) + + L( ) L( ) 0 Also ( ) 3 Schritt: u, + Allgmin imlizit Lösung u(, ) + c D ( 0,) u ist di szill imlizit Lösung für ds Anfngswrtroblm durch (65) u(, ) + ggbn, D (65) in qudrtisch Glichung ist, rhltn wir ls di lizit Lösung 4 ( ) ( + 4 ), 4 Di zwit Lösung ( ) ( + 4 ) (0) ist ungültig wgn dr Anfngsbdingung (ii) Wir lösn ds Anfngswrtroblm (66) ( sin cos+ sin) d+ ( sin cos) d 0, (0) 3 Lösung: Hir ist widr D Als Funktionn M und N rhltn wir disml: und M N (, ) sin cos+ sin (, ) sin cos Schritt: D ist infch zusmmnhängnd und s gilt: M N (, ) sin cos+ sin (, )

19 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Also ist di ggbn Glichung kt Dhr istirt in Funktion u(,), so dss u (67) (, ) sin cos+ sin und u (68) (, ) sin cos Schritt: Durch Intgrtion von (67) bzgl folgt u(,) sin cos+ k() Diffrnzirn wir dis Funktion bzgl so rhltn wir mit (68): sin cos+ K () sin cos ; dh, K ( ) 0 und dshlb ( ) c K Nun intgrirn wir (68) bzgl und rhltn u(,) sin cos+ L() Diffrntition disr Funktion bzgl und Vrwndn von (67)lifrt: ( ) sin cos+ sin sin cos+ sin+ L ; dh, L ( ) 0 und somit ( ) c L 3 Schritt: Di llgmin imlizit Lösung dr ggbnn Glichung ist u(, ) sin cos+ c + c c, ws nch Zusmmnfssn dr Konstntn ls sin cos c gschribn wrdn knn Durch Vrwndung dr Anfngsbdingung (0) 3 rhltn wir: 3 sin 0 3 cos c Abb 6 Lösung ds AWP (0) 3

20 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Dhr ist cos sin 9 di szill imlizit Lösung ds AWP Ein lizit Lösung ds AWP ist durch ( ), [ 59853;59853] 4 ( ) sc( ) sin ( ) + sin ( ) + 36 cos( ) ggbn (Übrrüfn Si ds!) Dbi ist dr Skns di Khrwrtfunktion ds Kosinus; lso sc( ) cos ( ) (iii) Brchn Si ds bschribn Lösungsvrfhrn b, flls di Glichung nicht kt ist Wir btrchtn dzu di Glichung (69) d d 0 M N Hir ist M (, ) und N(, ) und dhr (, ), br (, ) Also ist di Glichung (69) nicht kt und dshlb funktionirt unsr Mthod, wi wir nun zign wrdn, nicht Durch Intgrtion bzgl rhltn wir: Also: (, ) d+ K( ) K( ) u(, ) M + u (, ) + K ( ) K ( ) Ds ist br nicht möglich, d K() nur von bhängn knn

21 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 63 Intgrirnd Fktorn Wir btrchtn in nicht-kt Glichung dr Form (63) M (, ) d N(, ) d 0 +, Di Id in dism Abschnitt ist, in ssnd Funktion F(,) 0 zu findn, so dss di nu Glichung (63) F (, ) M(, ) d+ F(, ) N(, ) d 0 kt ist Ein solch Glichung knn dnn durch di in Abschnitt 6 vorgstllt Mthod glöst wrdn knn Bcht: Di Glichung (63) und (63) hbn dislb Lösung, d F(,) 0 Dfinition 63: Di Diffrntilglichung (, ) d+ N(, ) d 0 M si nicht kt Ein Funktion F(,) 0 hißt intgrirndr Fktor (IF) dr Diffrntilglichung (633), flls di nu Glichung (, ) M(, ) d+ F(, ) N(, ) d 0 F in kt Diffrntilglichung ist Bmrkung 63: Di Anzhl dr intgrirndn Fktorn inr Glichung knn unndlich sin Im Folgndn btrchtn wir inig infch Bisil Bisil 63: Di Diffrntilglichung (634) d d 0 ist nicht kt (s Bisil 6(iii)),ht br inn intgrirndn Fktor, nämlich F (, ) Mit disn intgrirndn Fktorn rhltn wir di nu Glichung

22 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ (635) d d 0, di ls (636) + 0 gschribn wrdn knn Es ist infch zu zign, dss (634) in kt Diffrntilglichung ist und dss u (, ) di zughörig Potntilfunktion ist mit du(, ) d+ d d d 0 Folglich ist u (, ) c in imlizit llgmin Lösung dr Glichung (635) und bnso von Glichung (634) Di lizit llgmin Lösung ist durch () -c ggbn Ds sind Grdn durch dn Ursrung Andr intgrirnd Fktorn dr Glichung (634) sind d d d, d d dln d d drctn + +, und + und d All dis Lösungn sind bnflls Grdn durch dn Ursrung Andr intgrirnd Fktorn ändrn di llgmin Lösung inr Glichung nicht Bisil 63: Di Diffrntilglichung (637) sin( ) d+ cos( ) d 0 3 ht inn intgrirndn Fktor von F ( ) Multiliktion mit dism intgrirndn Fktorn rgibt di nu Glichung 3 4 (638) sin( ) d cos( ) d 0 +

23 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Dis Glichung ist kt und di Potntilfunktion ist 4 (, ) sin( ) u Also ist di llgmin imlizit Lösung von (637) ggbn durch 4 sin ( ) c Dr intgrirnd Fktor knn im infchrn Fll durch Btrchtn dr Glichung odr nch inign Vrsuchn gfundn wrdn Im Folgndn sind zwi Rgln nggbn, um dn intgrirndn Fktor von Glichungn szillr Form zu lösn Rgl (639): Flls di Glichung (63) M(, )d+ N(,) d 0 nicht kt ist und N M N P ist, wobi P in Funktion von ist, nur dnn ht (63) inn intgrirndn Fktor ( P( ) ) F() d Rgl (630): Flls di Glichung (63) M(, )d+ N(,) d 0 nicht kt ist und M N M Q ist, wobi Q in Funktion von ist, nur dnn ht (63) inn intgrirndn Fktor ( Q( ) ) F() d Bisil 63: (i) Wir lösn di Diffrntilglichung ( - + ) d+ d 0 Lösung: In dism Fll N (, ) M N (, ) (, ) ( 4 ) P( )

24 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Somit ist F() d ( ln) in intgrirndr Fktor Durch Multilizirn dr ggbnn Glichung mit, rhltn wir 3 ( - ) d+ d 0 + Dis Glichung ist kt (übrrüfn) und di llgmin imlizit Lösung ist c (ii) Wir btrchtn di Glichung Lösung: Hir ist N Dshlb ist (, ) M sin ( ) d+ cos( ) d 0 N (, ) (, ) 3 ( ) ( 4 cos( ) cos( ) P( ) cos 3 F() d in intgrirndr Fktor 3 ( 3 ln) (iii) Wir lösn ds Anfngswrtroblm ( ) d 0 d+, (05) -5 Mit Rgl (630) rhltn wir: M (, ) N M (, ) (, ) ( 6 ) Q( ) Also ist F() d ( ln )

25 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ in intgrirndr Fktor Multilizirn dr ggbnn Glichung mit, führt zur ktn Diffrntilglichung 3 ( ) d 0 3 d+, mit dr llgmin imlizit Lösung c Dmit rhltn wir ls imlizit szill Lösung unsrs AWP

26 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 64 Linr Diffrntilglichungn rstr Ordnung Ein ODE rstr Ordnung hißt linr, wnn si in dr Form d d (64) + P( ) Q( ), ( ; b) gschribn wrdn knn, wobi P() und Q() ggbnn Funktionn von sind Flls di Funktion Q uf dr rchtn Sit dr Glichung idntisch Null ist, dnn hißt di Glichung (64) homogn, ndrnflls wird si inhomogn gnnnt Für di homogn Glichung d d (64) + P( ) 0, ( ; b) ist s shr licht in llgmin Lösung zu findn Durch Srtion dr Vribln folgt di Glichung (643) P( ) Folglich ist ln P( ) d + c und somit ist di : llgmin Lösung dr homogn Glichung + P( ) 0 (644) ( ) P( ) d c In Glichung (644) könnn wir uch c 0 stzn, um di trivil Lösung () 0 zu rhltn Um di inhomogn Glichung zu lösn, vrwndn wir inn intgrirndn Fktor, dr nur von bhängt Wir schribn Glichung (64) in dr Form (645) ( P ( ) Q( ) ) d+ d 0 Ds ist di bknnt Form )d+ N(,) d 0 N(, ) D M(,, wobi M(, ) P( ) Q( ) und N (, ) M N (, ) (, ) P( ), ht Glichung (645) mit Rgl (639) inn intgrirndn Fktor; nämlich

27 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ (645) ( ) P( ) d F Durch Multilizirn dr inhomognn Glichung (64) mit F und mit Hilf dr Produktrgl rhltn wir: (646) P ( ) d ( + P( ) ) d d P ( ) d P ( ) d ( ) Q Intgrtion bzgl lifrt: (647) P d Q( ) d+ c ( ) d P ( ) Also (648) ( ) P ( ) d P ( ) d ( ) d+ c Q Si H() di Stmmfunktion von P(), ds hißt H ( ) P( ) d Dnn ist di : Allgmin Lösung dr inhomogn Glichung + P( ) Q( ) ( d+ c) H ( ) H ( ) (649) ( ) Q( ) wobi ( ) P( ) H d Dis stllt di llgmin Lösung inr linrn Glichung rstr Ordnung in Form ins Intgrls dr Di Whl dr Intgrtionskonstnt in P ( ) d silt kin Roll Flls di Intgrl in (649) nicht lmntr lösbr sind, dnn müssn numrisch Mthodn für Intgrl ngwndt wrdn Bcht: Flls in (649) Q() 0, rhltn wir (644), Bisil 64: Wir lösn di linrn ODE Lösung: Hir ist P() - und Q ( ) Also ist H( ) d und mit (649) rhltn wir ls llgmin Lösung

28 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ ( ) ( d+ c) c + Gwiss nicht-linr Diffrntilglichungn könnn uf linr Glichungn rduzirt wrdn Ein disr Glichungn ist di Brnoulli Glichung d +, wobi α in rll Zhl ist d (640) P( ) Q( ), ( ; b) Flls α 0 odr α, ist di Glichung (640) linr Andrnflls ist si nichtlinr In dism Fll stzn wir (64) u( ) ( ( ) ) Durch Diffrntition von (64) rhltn wir ( ) (64) u ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) Q( ) P( ) ( ) D u( ) ( ( ) ), folgt di Glichung (643) u ( ) ( )( Q( ) P( ) u( ) ) di ls linr Glichung (644) u ( ) + ( ) P( ) u( ) ( ) Q( ) gschribn wrdn knn Durch Lösn disr Glichung für di bhängig Vribl u rhltn wir mit (64) di Lösung dr Brnoulli-Glichung; di d lutt: (645) ( ) ( u( ) ) Bisil 64 (Brnoulli Glichung, Vrhulst Glichung, Logistichs Poultionsmodll): Wir lösn in szill Brnoulli Glichung, di ls Vrhulst Glichung bknnt ist: (646), wobi und b ositiv Konstntn sind b Lösung: In dism Fll ist α, so dss u( ) ( ) (647) u ( ) + u( ) b Somit ist di zugordnt inhomogn linr Glichung und wir rhltn di llgmin Lösung b c + (648) u( ) ( b d+ c)

29 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Durch Rücksubstitution ist di llgmin Lösung von (646) ggbn durch: (649) ( ) u + ( ) c b Mit (646) folgt sofort, dss () 0 uch in Lösung ist Glichung (649) hißt Gstz ds logistischs Poultionswchstums, wobi di Zit ist

30 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 63 Linr ODE zwitr Ordnung Im Folgndn btrchtn wir Diffrntilglichungn zwitr Ordnung Ein gwöhnlich Diffrntilglichung zwitr Ordnung hißt linr flls si in dr Form (63) + P( ) + Q( ) R( ), ( ; b) gschribn wrdn knn, wobi P(), Q() und R() ggbnn Funktionn von sind Andrnflls wird si nicht-linr gnnnt Bmrkung 63: (i) Flls dr rst Trm in inr ODE zwitr Ordnung von dr Form F ( ) ist, müssn wir bid Sitn dr Glichung durch F() tiln, um di Stndrdform (63) zu rhltn (ii) Flls R( ) 0, ( ; b), wird (63) zu (63) + P( ) + Q( ) 0, ( ; b) (63) hißt homogn Glichung im Ggnstz zur inhomognn Glichung(63) Di Funktionn P und Q in (63) und (63) hißn Koffizintn dr Glichung Bisil 63: + 4 sin Ordnung (i) ( ), ( ; b) (ii) ( sin( ) ) + + 0, ( ; b), ist in inhomogn linr Glichung zwitr, ist in homogn linr Glichung zwitr Ordnung, di nicht di Stndrdform (63) ht Thorm 63: Angnommn und sind Lösungn dr homognn linrn Glichung (63), dnn ist c +, c wobi c und c blibig rll Konstntn sind, bnflls in Lösung dr Glichung (63) Bwis: Si und Lösungn von (63), dnn gilt:

31 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ c ( c + c ) + P( )( c + c ) + Q( )( c + c ) c + c + P ( ) c + P( ) c + Q( ) c + Q( ) ( + P( ) + Q( ) ) + c ( + P( ) + Q( ) ) c c 0 + c 0 0 Folglich ist in Lösung von (63) Wir rinnrn uns: Di llgmin Lösung inr ODE rstr Ordnung nthilt nur in Konstnt c Um di szill Lösung mit inm bstimmtn Wrt für c zu rhltn, bnötigtn wir für ds Anfngswrtroblm nur in Bdingung; nämlich ( 0 ) 0 Für in homogn ODE zwitr Ordnung ht in llgmin Lösung di Form (633) c + c, ws in Linrkombintion dr zwi so gnnntn fundmntln Bsislösungn und ist Ein Anfngswrtroblm (AWP) bstht nun us inr Glichung zwitr Ordnung und zwi Anfngsbdingungn 0, (634) ( ) 0 ( 0 ) Di rst Bdingung schribt dn Funktionswrt dr Lösung im Punkt 0 (;b) und di zwit drn Ablitung (Stigung dr Kurv) im slbn Punkt vor Mit (634) rhltn wir di szill Lösung mit bstimmtn Wrtn c und c Dfinition 63: Zwi Lösungn und inr homognn linrn ODE zwitr Ordnung mit sttign Koffizintn vom T (63) hißn Bsisfunktionn odr Bsislösungn, flls di Wronski-Dtrminnt W(, ) (Wronski, Polnischr Mthmtikr, ), dfinirt durch unglich Null ist W (, ) dt, Bmrkung 63: (i) Zwi Bsislösungn und inr homognn Glichung (63) wrdn uch linr unbhängig gnnnt Ds bdutt, dss di Glichung c + c 0

32 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ nur di trivil Lösung c 0 ht c (ii) Flls W ( ( 0 ), ( 0 )) 0 für 0 ( ; b) dhr kin Bsislösungn, dnn sind und linr bhängig und (iii) Frnr knn gzigt wrdn: Flls W ( ( 0 ), ( 0 )) 0 für 0 ( ; b) W 0 ; dh W ( ( ), ( ) ) 0, ( ; b) Wnn lso in ( ; b) ( ( ), ( )) 0 W 0 0, dnn ist 0 istirt mit, dnn sind und linr unbhängig uf (;b) und somit Bsislösungn 63 Homogn linr Glichungn mit konstntn Koffizintn In dism Abschnitt zign wir, wi homogn Glichungn mit konstntn Koffizintn und b dr Form (63) + + b 0 glöst wrdn könnn Dis Glichungn hbn intrssnt Anwndungn, szill im Zusmmnhng mit mchnischn und lktrischn Schwingungn Di Id Glichungn vom T (63) zu lösn ist, di Funktionn, (63) ( ) wobi in blibig Konstnt ist, ls Lösung uszurobirn Als rst und zwit Ablitung von (63) rhltn wir: (633) ( ) und ( ) Stzn wir (63) und (633) in Glichung (63) in, so folgt: (634) ( + b) 0 + Di Funktion in (63) ist in Lösung dr Glichung (63), flls dr qudrtischn Glichung in Lösung (635) + + b 0 ist Di Glichung (635) hißt chrktristisch Glichung dr homognn Glichung (63) Ihr Wurzln sind (636) ( + 4 b ) und ( 4 b )

33 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Dmit gilt: ( ), ( ) und ( ) c + c sind Lösungn dr Glichung (63) Mit (636) shn wir sofort, dss di Lösung inr homognn linrn Glichung vom Vorzichn dr Diskriminnt D 4 b bhängn Folgnd dri Fäll sind möglich: Fll I: Es gibt zwi rll Wurzln, flls D 4 b > 0 Fll II: Es gibt in rll Wurzl, flls D 4 b 0 Fll III: Es gibt koml konjugirt Wurzln, flls D 4 b < 0 Fll I: D 4 b > 0 (Zwi untrschidlich rll Wurzln und ) Di Lösung ( ) und ( ) W sind linr unbhängig, d ( ( ), ( ) ) dt ( ) ( ) Somit ist di zughörig llgmin Lösung ggbn durch c +, c (637) ( ) wobi ( 4 b ) + und ( 4 b ) Bisil 63: (i) Wir lösn di Glichung Lösung: Chrktristisch Glichung mit Lösungn: + 8 0, 4 Fundmntl Bsislösungn dr Glichung: 4 ( ), ( )

34 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Allgmin Lösung dr Glichung: 4 ( ) c + c, c, c (ii) Wir lösn ds AWP ( 0) 4, ( 0) 5 + 0, Lösung: Chrktristisch Glichung mit Lösungn: + 0, Fundmntl Bsislösungn dr Glichung: ( ), ( ) Allgmin Lösung dr Glichung: Szill Lösung: ( ) c + c Folglich istc, 3, c, c ( 0) c + c 4 ( 0) c c 5 c und ( ) + 3 di Lösung ds AWP Fll II: D 4 b 0 (Dolt rll Wurzl ) Wi rhltn zunächst nur in Lösung; nämlich: (638) ( ) Um in zwit Lösung zu findn, di wir für in Bsis bruchn, stzn wir (639) ( ) c( ) ( ) c( ) und vrsuchn in Funktion c() zu findn, so dss Lösung dr Glichung (63) wird Dis Mthod hißt Vrition dr Konstntn Mit dr Produkt- und Kttnrgl rhltn wir ls Ablitungn von (639):

35 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ (630) ( ) c ( ) c( ) (63) ( ) ( ) c c ( ) + c( ) 4 Stzn wir (638), (630) und (63) in Glichung (63) in, so folgt: c 4 ( ) c ( ) c( ) c ( ) c( ) bc( ) 0 Division durch rgibt: c 4 ( ) c ( ) + c( ) + c ( ) c( ) + bc( ) 0 4 c ( ) c ( ) + c( ) + c ( ) c( ) + bc( ) 0 4 c ( ) c( ) + bc( ) 0 4 c ( ) ( 4 b) c( ) 0 c ( ) 0, d ( 4 b) 0 4 Folglich rhltn wir für c() in shr infch Diffrntilglichung zwitr Ordnung Durch zwimligs Intgrirn folgt c c + c (63) ( ) Um in zwit unbhängig Bsislösung zu rhltn, könnn wir ( ) Fundmntl Bsislösungn: (633) ( ), ( ) c nhmn Di Wronski-Dtrminnt ist in dism Fll W ( ( ), ( ) ) 0 Folglich ist di zughörig llgmin Lösung ggbn durch

36 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ (634) ( ) ( c + c ) Bisil 63: Wir lösn di Glichung Lösung: Chrktristisch Glichung mit Lösungn: Fundmntl Bsislösungn dr Glichung: 4 4 ( ), ( ) Allgmin Lösung dr Glichung: 4 4 ( ) c c +, c, c Fll III: D 4 b < 0 (koml Wurzln und ) Di chrktristisch Glichung ht di koml konjugirtn Wurzln (635) + j und j, wobi 4 b Di Bsisfunktionn sind nun + j (636) ( ), ( ) j mit komlr Wronski-Dtrminnt Mit dr Eulr schn Forml ( ( ), ( ) ) j 0 W ± (637) jz cos z± j sin z könnn wir di koml Bsis in in rll Bsis umwndln Dzu schribn wir di llgmin Lösung wi folgt:

37 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ ( ) c + j + c j c j + c j (638) j j ( c + c ) [ c ( cos( ) + j sin( ) ) + c ( cos( ) j sin( ) )] Wir stzn A ( c ), A ( c + ) c [ j( c c ) sin( ) + ( c + c ) cos( ) ] c und rhltn mit (638): (639) ( ) [ ja sin( ) + A cos( ) ] D dr rll Til und dr imginär Til inr komln Lösung, bnflls Lösungn dr Diffrntilglichung sind, rgbn sich folgnd Lösungn: (630) ( ) sin( ) und ( ) cos( ) Di Wronski-Dtrminnt disr Lösungn ist ( ( ), ( ) ) 0 W Di Lösungn in (630) sind lso linr unbhängig und somit rll Bsislösungn dr Diffrntilglichung (63) Allgmin Lösung: + (63) ( ) c sin( ) + c cos( ) ( c sin( ) c cos( ) ) Bisil 633: (i) Wir lösn di Glichung Lösung: Chrktristisch Glichung mit Lösungn: ( 3) j, 3 j, Fundmntl Bsis dr Glichung: ( ) sin( 3 ), ( ) cos( 3 )

38 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Allgmin Lösung dr Glichung: (ii) Wir lösn ds AWP ( ) ( c sin( 3 ) + c cos( 3 ) ) ( 0), ( 0) , Lösung: Chrktristisch Glichung mit Lösung: ( ) j, j, Fundmntl Bsislösungn dr Glichung: ( ) sin( ), ( ) cos( ) Allgmin Lösung dr Glichung: Szill Lösung: ( ) ( c sin( ) + c cos( ) ) ( 0) c ( 0) c 5 Folglich c 3, c und ( ) ( 3 sin( ) + cos( ) ) ist di Lösung ds AWPs Dis vrvollständig di Diskussion llr dri Fäll Wir fssn di Ergbniss in dr folgndn Tbll zusmmn: (63) Allgmin Lösung dr homognn linrn Glichung zwitr Ordnung mit konstntm Koffizintn + + b 0 Fll Wurzl Bsislösung Allgmin Lösung Untrschidlich rll I Wurzln, : ( ), ( 4 b ) +, ( ) ( ) c + c II ( 4 b ) Rll Dolwurzl ( ) ( ), ( ) ( c + c )

39 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ III Koml Wurzln, : + j, j, ( ) sin( ) ( ) c sin( ) ( ) cos( ) + c cos( ) wobi b 4 Tbll 63 Allgmin Lösungn dr Glichung (63) 63 Inhomogn linr Glichungn mit konstntn Koffizintn Wir btrchtn nun di inhomognn linrn Glichungn dr Form (63) + + b g( ), I ( ; b) mit konstntn Koffizintn, b und inr blibign Funktion g, di uf dm Intrvll I sttig ist Di zughörig homogn Glichung (63) + + b 0, I ( ; b) hißt komlmntär Glichung Thorm 63: Angnommn ist in szill Lösung dr inhomognn Glichung (63) und g ist di llgmin Lösung dr komlmntärn Glichung (63) Dnn ist + g di llgmin Lösung dr inhomognn Glichung (63) Bwis: (i) ( + ) + ( + ) + b( + ) ( ) + ( ) + b( ) + ( ) + ( ) + b( ) g g Also ist ( ) + 0 g( ) g g + g in Lösung von (63) (ii) Flls f() in ndr Lösung ist, dnn g g g

40 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ ( ) + ( ) + b( ) ( ) + ( ) + b( ) ( ) + ( ) + b( ) g ( ) g( ) 0 Folglich ist - in Lösung dr komlmntärn Glichung und dhr ist - g für in g, ws wir zu bwisn httn Mit Thorm 63 rhltn wir di folgnd Anlitung, um in inhomogn Diffrntilglichung mit konstntn Koffizintn zu lösn: (i) Find di llgmin Lösung Tbll 63) g dr komlmntärn Glichung (bnutz dzu (ii) Find in szill Lösung dr inhomognn Glichung (iii) Di llgmin Lösung ds inhomognn Problms ist dnn + g Bisil 63: Lös di Diffrntilglichung (633) Lösung: Durch gnus Hinschun findn wir hrus, dss ( ) 3 in szill Lösung dr Glichung (633) ist Di komlmntär Glichung 4 0 ht di llgmin Lösung ( ) c + c Also ht di Glichung (633) di llg- 3 min Lösung ( ) g c + + c Flls in szill Lösung dr inhomognn Glichung nicht durch gnus Hinschun gfundn wrdn knn, ist oft folgnd Tchnik, di Vrition dr Prmtr gnnnt wird, shr hilfrich (634) Vrition dr Prmtr: Flls c + c di llgmin Lösung dr komlmntärn Glichung (63) ist, dnn ist ( ) u( ) ( ) v( ) ( ) +,

41 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ in szill Lösung dr inhomognn Glichung (63), wobi u und v ds folgnd Glichungssstm rfülln: ( ) ( ) + v ( ) ( ) 0 u ( ) ( ) + v ( ) ( ) g( ) u Bisil 63: Wir lösn dr Diffrntilglichung (635) + cot Lösung: Di komlmntär Glichung ist + 0 mit dr zughörign chrktristischn Glichung + 0, di di Wurzln ± j ht Folglich ist di llgmin Lösung ds c sin c cos Ds Glichungssstm in (634) homognn Problms ( ) ( ) ( ) ist dhr durch ggbn g + ( ) + v cos( ) 0 u sin ( ) v sin( ) cot u cos Durch lgbrisch Ortionn rhltn wir: (636) cos u v sin ( ) ( ) und (637) ( ) ( ) ( ) cot sin u + v cos cos Mit (636) und (637) folgt: (638) ( ) ( ) ( ) cot ( ) cos( ) sin cos v + v cos sin Intgrtion disr Ausdrück rgibt (ohn di intgrirndn Konstntn): Folglich v ( ) cos( ) und u ( ) csc( ) sin( ) v ( ) sin( ), u ( ) ln csc cot + cos( ) Somit rhltn wir di szill Lösung:

42 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ ( ) sin( ) ln csc cot + sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) ( ) sin( ) ln csc cot Allgmin Lösung unsrs Problms: ( ) c sin( ) + c cos( ) + sin( ) ln csc cot Im Folgndn sind vir Rgln zum Lösn inr inhomognn ODE zwitr Ordnung mit konstntn Koffizintn dr Form (63) nggbn Mhr Informtionn übr diss Thm findt mn in Büchrn dr Höhrn Mthmtik odr ntürlich in szilln Büchrn zur Thori dr Diffrntilglichungn (639)Vrfhrn für szill Lösungn: (i) Flls + + b, und () β kin Wurzl dr chrktristischn Glichung + + b 0 ist, dnn gibt s A in szill Lösung dr Form ( ) (b) β in infch Wurzl dr chrktristischn Glichung + + b 0 ist, dnn A gibt s in szill Lösung dr Form ( ) (c) β in dolt Wurzl dr chrktristischn Glichung + + b 0 ist, dnn A gibt s in szill Lösung dr Form ( ) (ii) Flls + b b, und β kin Wurzl dr chrktristischn Glichung A+ B + ist, dnn gibt s in szill Lösung dr Form ( ) ( ) (iii) Flls ntwdr + + b sin( ) odr + + b cos( ) und di koml Zhl β+jα kin Lösung dr chrktristischn Glichung + + b 0 A cos + B sin ist, dnn gibt s in szill Lösung dr Form ( ) ( ) ( ) P n in Polnom n-tn Grds ist, dnn i-, flls b 0 ; ( ) Qn ( ), flls (iv) Flls + + b Pn ( ), und ( ) stirt in Lösung dr Form: ( ) Qn ( ) 0, b 0 ; ( ) Q ( ), flls 0, b 0 n Bisil 633: (i) Wir lösn di Glichung (630) Lösung: Di komlmntär Glichung ist mit dr zughörign chrktri- stischn Glichung , wlch di Wurzln, bsitzt

43 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ c + c Folglich ist di llgmin Lösung dr homognn Glichung ( ) Wir vrwndn (639)(iv), um in szill Lösung zu findn Wir stzn + +, (63) ( ) 0 d b 0 Als Ablitungn rhltn wir: (63) ( ) + und ( ) Stzn wir ds in (630) in, so rhltn wir durch Koffizintnvrglich ds linr Sstm: g (633) , ds di folgnd Lösung ht: (634),, 0 Folglich ist di llgmin Lösung ds inhomognn Problms (630): ( ) c + c (ii) Wir lösn di Glichung (635) Lösung: Di komlmntär Glichung ist mit dr zughörign chrktri- stischn Glichung 3 8 0, wlch di Wurzln 6, 3 ht Folglich 6 g c + c 3 ist di llgmin Lösung dr homognn Glichung ( ) Wir bnutzn (639)(ii), um in szill Lösung zu findn Dzu stzn wir A+ B, 4 (636) ( ) ( ) d 4 kin Wurzl dr chrktristischn Glichung ist Wir rhltn ls Ablitungn: 4 4 (637) ( ) ( ) und ( ) ( ) 4 A+ 4 B+ B 6 A+ 6 B+ 8 B Durch Einstzn von (636) und (637) in (635) rhltn wir di infch Glichung:

44 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 4 A+ 5 B ( + 4 B), 4 di für ll gltn muss Somit ist ( ) ( ) A+ B in Lösung, vorusgstzt 4 A+ 5 B 0 und + 4 B 0 Dhr ist in szill Lösung unsrs Problms ggbn durch ( ) Also ist di llgmin Lösung unsrs Problms ( ) c + c +

45 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ 633 Mchnisch Schwingungn In dism Abschnitt bnutzn wir Diffrntilglichungn, um Schwingungn zu nlsirn, di in inr Fdr uftrtn könnn Wir untrschidn zwischn frir und rzwungnr Schwingung Bi inr frin Schwingung hängt ds Sstm nicht von inr trnn Krft b Ein solch Schwingung knn gdämft odr ungdämft sin; bhängig dvon, ob dr Dämfungstrm c vorhndn ist odr nicht Wnn di Dämfung zu strk ist, rhltn wir in riodisch Schwingung (ds Sstm bwgt sich riodisch uf di Glichgwichtslg zu, uch Krichfll gnnnt) Hängt ds Sstm von inr trnn Krft F F(t) b, rhltn wir in rzwungn Schwingung m Abb 633 Di Diffrntilglichung inr mchnischn Schwingung ist in linr Diffrntilglichung zwitr Ordnung mit konstntn Koffizintn: (633) m ( t ) + c ( t) + k( t ) F( t), Abb 633 Erzwungn Schwingung wobi m di Mss, c di Dämfungskonstnt, k ds Fdrmodul odr di Fdrkonstnt und F F(t) in trn zitbhängig Krft ist Vrwndn wir di Nwton schn Schribwis, so wird di Ablitung hinsichtlich dr d Zit t ls gschribn Dshlb findt mn Glichung (633) oft in dr dt Form (633) m ( t) + c ( t) + k( t ) F( t) Szilfäll: (i) Fri ungdämft Schwingung (kin trn Krft und kin Dämfung): (6333) m ( t) + k( t ) 0 (ii) Fri gdämft Schwingung (kin trn Krft, br Dämfung): (6334) m ( t ) + c ( t ) + k( t) 0 (ii) Erzwungn Schwingung: (6335) m ( t ) + c ( t) + k( t ) F( t), zb m ( t ) + c ( t) + k( t ) F sin( t ) 0

46 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Fri ungdämft Schwingung: Es ist üblich, di Glichung dr frin ungdämftn Schwingung in dr Form (6336) ( t) + ( t) 0 zu schribn, wobi k Di zughörig chrktristisch Glichung ist nun m + 0 mit dn konjugirt komln Lösungn wir ls Bsislösungn j und j ht Somit rhltn ( t ) sin( t ) und ( t) cos( t ) Allgmin Lösung inr solchn Glichung: (6337) ( t ) c sin( t ) c cos( t ) + Bisil 633: Ein Eisnkugl mit inr Gwichtskrft von W 98 N dhnt in Fdr 0 cm übr ihr Ruhlg Ds Gwicht wird dnn witr 5 cm hruntrgzogn und mit inr nch obn grichttn Anfngsgschwindigkit von 6 m/sc friggbn Gsucht ist in Funktion, di di Läng dr Fdr zu inr blibign Zit t bschribt Lösung: Lut dm Hook schn Gstz ist di Fdrkonstnt k ggbn durch k 98/0 980 [N/m] ggbn Di Mss bträgt m W/g 98/980 0 [kg] (mit inr Nährung für di Grvittionskonstnt g) Dhr gilt odr äquivlnt ( t ) ( t) 0 0 Abb 6333 Lösung dr Glichung (6338) (6338) ( t) + 98 ( t) 0 Also 98 und di llgmin Lösung dr Glichung (6338) ist (6339) ( t ) c sin( 98 t ) c cos( 98 t ) + Für t 0 ist (0) 05 und somit ( 0) csin( 0) + ccos( 0) c 05

47 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ D d dt d dt und ( 0) 6 ( t ) 98 c cos( 98 t ) 98 c sin( 98 t ), rhltn wir d 6 ( 0) 98 ccos( 0) 98 csin( 0) 98 c dt c 6 98 Fdrläng zur Zit t: 6 ( t ) 05 cos( 98 t ) sin( 98 t ) 98 Bmrkung 633: Mit dn Additionsthormn rhltn wir: (i) Acos + Bsin A + B cos( ), tn B A (ii) Acos + Bsin A + B sin( + ), tn A B Dhr knn di llgmin Lösung dr Glichung (6336) gschribn wrdn ls (6330) ( t ) C cos( t ), wobi c C c + c, tn, c odr ls (633) ( t ) C sin( t+ ), wobi c C c + c, tn c

48 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Fri gdämft Schwingung: Di Diffrntilglichung inr frin gdämftn Schwingung lutt (633) m ( t ) + c ( t ) + k( t) 0 odr mit c und m k m (6333) ( t) + ( t ) + ( t ) 0 Di Wurzln dr chrktristischn Glichung sind (6334) + und Di folgndn dri Möglichkitn könnn uftrtn: Fll I > 0 strk gdämft Schwingung: Mit Tbll 63 ist di llgmin Lösung t c + c t t t (6334) ( ) (i) (ii) In dism Fll gilt: c 4 mk > 0 c > 4 mk 4 m Di Dämfungskonstnt c ist groß im Vrglich zur Fdrkonstntn k; dh, di Dämfungskrft dominirt di Rückstllkrft dr Fdr und ds Gwicht khrt schnll (smtotisch) in di Glichgwichtsosition zurück Dis Sitution ligt vor, wnn ds Dämfungsmdium in hoh Viskosität ht, wi s zb bi schwrm Öl odr Ftt dr Fll ist Di Art und Wis in dr sich Null nnährt, hängt von dr Konstnt c und c b und somit von dn Anfngsbdingungn Flls bid Abb 6334 Strk gdämft Schwingung Konstntn ositiv sind, ht dr Grh im Allgminn di Form wi in Abb 6334(i) Bi untrschidlichn Vorzichn, ht dr Grh ds in Abb 6334(ii) gzigt Ausshn

49 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Fll II 0 kritisch gdämft (riodischr Grnzfll): In dism Fll ht di chrktristisch Glichung di dolt Wurzl und mit Tbll 63 rhltn wir di llgmin Lösung t (6335) ( t ) ( c + c t ) Dr tisch Grh inr Lösung ist in Abb 6335 skizzirt und ist dm Grhn in Abb 6334(i) ähnlich Jd Abnhm dr Dämfungskrft führt jtzt zu inr oszillirndn Bwgung, di in Fll III diskutirt wird Fll III < 0 schwch gdämft: Di Wurzl dr chrktristischn Glichung sind hir ggbn durch + j und j Di llgmin Lösung ist dmnch t ( t ) ( csin( t ) + ccos( t ) ) Abb 6335 Kritisch gdämft In dism Fll ist di Dämfungskonstnt c normlrwis klinr, ls di Fdrkonstnt k Di Fdr wird oszillirnd in ihrn Glichgwichtszustnd zurückgführt (sih Abb 6336) Dis Art dr Bwgung knn in inm Stoßdämfr in inm Automobil uftrtn Bisil 633: Ein Eisnkugl mit inr Gwichtskrft von W 98 N dhnt in Fdr m übr ihr ntürlich Läng Ds Gwicht wird mit inr Anfngsgschwindigkit von m/sc us dr Ruhosition nch untn gzogn Di Dämfungskonstnt ist c 9 [kg/sc] Gsucht ist widr di Funktion, di di Läng dr Fdr zu inr blibign Zit t bschribt Abb 6336 Schwch gdämft Lösung: Mit dm Hook sch Gstz ist di Fdrkonstnt k 98 Di Gwichtsmss ist c 9 k 98 m 98/980 0 Mit 09 und 98 rhltn wir di m 0 m 0 Glichung:

50 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ (6336) ( t ) + 09 ( t) + 98 ( t ) 0 Di Wurzl dr chrktristischn Glichung sind j und j Also ist di Bwgung schwch gdämft und di llgmin Lösung dr Diffrntilglichung ist (6337) ( t ) 0 45 t ( c sin( t ) + c cos( t )) Mit t 0 rhltn wir: Frnr: ( 0) ( csin( 0) + ccos( 0) ) c 0 d dt ( 0) c c Di gsucht Funktion ist somit: 0 45 t ( t ) sin( t ) Abb 6337 Lösung ds AWP Erzwungn Schwingung: Auf in ungdämfts schwingungsfähigs mchnischs Sstm wirk in trn riodisch Krft F ( t) F sin( t ) 0 (α si di Krisfrqunz ds Errgrs) Dnn rhltn wir mit (6335) di Schwingungsglichung: (6338) m ( t ) + k( t) F sin( t ) odr mit k m 0 (6339) ( t) + ( t ) sin( t ) 0 F m Ein szill Lösung dr Glichung (6339) ist (wi mn nchrchnn knn): ( t ) F sin( t ) m 0 ( ) Dhr rhltn wir ls llgmin Lösung dr Glichung (6339): F0 ( t ) csin( t ) + ccos( t ) + sin( t ) m ( )

51 Mthmtik für Ingniur II (IAM) Vrsion 0/ Dbi hbn wir di llgmin Lösung (6337) dr homognn Glichung bnutzt Um di Problm für dn gdämftn Fll zu lösn könnn wir di in Abschnitt 63 diskutirtn Mthodn nwndn Witr Bisil zu gwöhnlichn Diffrntilglichungn findt mn zb in: Lothr Pul, Mthmtik für Ingniur und Nturwissnschftlr, Bnd Abr uch in viln ndrn Büchrn, di zu dism Thm rschinn sind Ein Blick ins Intrnt lohnt sich bnflls Abb 6338 Erzwungn Schwingung