Lösen von linearen Gleichungssystemen
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- Adolf Stieber
- vor 7 Jahren
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1 Inhalt Anendungen von HPC-Stemen Löen großer linearer Gleihungteme Simulation neuronaler Nete Löen von linearen Gleihungtemen viele tehnihe oder ienhaftlihe Problemtellungen erden durh partielle Differentialgleihungen modelliert, bei deren Diretiierung i.a. lineare Gleihungteme enttehen gegeben: Matri A R n n, Vetor b R n geuht: Vetor R n, der Ab löt Vorauetung für Löbareit von Ab: Eiten von A mit A A I b. deta 0 Löungverfahren: diret: Berehnung der bi auf Rundungfehler eaten Löung,.B. durh Gauß-Elimination 2 iterativ: Berehnung einer Näherunglöung, indem von 0 augehend ueive beere Näherungen für berehnet erden,.b. durh Jaobi- oder Gauß-Seidel-Verfahren 2
2 Gauß-Elimination Gegeben: lineare Gleihungtem Ab Phae : Pivotuhe und Tranformation von A in obere Dreiematri Vorärtelimination für alle Zeilen,...,n: a Betimme Zeile r mit a r ma <i<n a i b It r, vertauhe r-te und -te Zeile von A Für alle i +,...,n: Berehne l i a i / a d Für alle i +,...,n und +,...,n: Berehne a i a i l i a e Für alle i +,...,n: Berehne b i b i l i b Phae 2: Berehnung von Rüärteineten für alle Zeilen n,n,...,: n f Berehne b a a + 3 Parallele Gauß-Elimination Wahl einer Partitionierung: Aufteilung in Zeilenblöen au n/p benahbarten Zeilen von A führt u einer hlehten Latverteilung beer: lihe Aufteilung der Zeilen, d.h. Zeilen i, i+p, i+2p,... von A erden auf Proeor i abgebildet Paralleliierung der Shritte Meage Paing: a Betimmung von r durh Multiredution b bei loaler Vertauhung: Zeigertauh; bei globaler Vertauhung Autauh der Zeilen r und mittel end und rev Broadat der Pivoteile d loale Berehnung der Eliminiationfatoren l i e loale Neuberehnung aller a i und b i f equentielle Rüärteineten in n Phaen: in Phae n, n,..., ird berehnet und per Broadat von alle Proeoren verteilt 4 2
3 3 5 eitere numerihe HPC-Anendungen baieren tpihereie auf regulären oder irregulären Gittern und der Löung von Stemen geoppelter Differentialgleihungen durh Diretiierung: Strömungimulationen Crah-Simulationen Klimaimulationen Simulation von Galaien Kritalluhtimulation Simulation von Meeretrömungen Langeitetterprognoe Erdbebenvorherage i.a. beteht der Wunh nah immer detaillierteren Löungen mittel verfeinerter Gitter 6 Simulation neuronaler Nete Eine Vielahl neuronaler Netmodelle ird in Anendungen ur Klaifiation, Approimation oder Optimierung eingeett. Beipiel: Radiale Baifuntionen-Neter RBF i i i i n h m i i i u t e e h u ² 2ó / ² η η η Lern- Algorithmu:
4 Parallele Simulation neuronaler Nete eine parallele Implementierung it.b. innvoll ur Behleunigung de reheninteniven Training: häufig ehr große Training- und Tetdatenmengen Vielahl von Lernepohen optimale Netarhitetur und Lernalgorithmu a priori unbeannt ritihe Parameterahl.B. Lernrate η, Anahl h verteter Neuronen Abhängigeit von Initialiierung in Ehteitanendungen beim Einat eine bereit trainierten, ompleen neuronalen Nete um die ehr umfangreihen Berehnungen bei der Simulation größerer biologienaher neuronaler Nete auf einem niedrigen Abtrationniveau in aeptabler Zeit durhführen u önnen 7 Mögliheiten der Paralleliierung Neuronale Nete eien inhärente maive Parallelität in mehreren Ebenen auf:. Snapen-Parallelität: parallele Operationen auf i und 2. Neuronen-Parallelität: parallele Berehnung aller und 3. Shiht-Parallelität: pipeline-artige Berehnung von und 4. Muter-Parallelität: parallele Berehnung von W µ und C µ für verhiedene Muter u µ,t µ 5. Eperiment-Parallelität: parallele Neteropien mit verhiedenen Parametern 8 4
5 Falltudie: RBF-Neter auf SunFire 6800 Mögliheiten der Partitionierung eine RBF-Neter: 9 RBF-Neter auf SunFire 6800 Fort. Implementierung de RBF-Training für Partitionierung A, B und C in MPI und OpenMP eperimentell ermittelter Speedup für drei Netergrößen mit MPI: mit OpenMP: OpenMP: andere Partitionierung innvoll; geringere Effiien! 0 5
6 RBF-Neter auf SunFire 6800 Fort. Meung der Auführungeiten für einige Snhroniationund Kommuniation-Operationen großer Unterhied ihen OpenMP und MPI bei Redution: bei OpenMP udem nur Redution von Salaren möglih! OpenMP-Implementierung gemäß B it am güntigten! Aubli Leitungbedarf einiger Anendungen ird in den nähten Jahren eiter teigen, neue Anendungen.B. Data Mining, Bioinformati erden hinuommen bei den Arhiteturen für HPC gibt e Trend u Verendung von Standardomponenten für Rehennoten und Neter Clutern au über alierbare Netere geoppelte SMP bei den Programmierumgebungen für HPC erden MPI und OpenMP eiterhin die eingeetten Standard dartellen, auh enn an einigen Orten an High Performane Java gearbeitet ird Grid Computing / Metaomputing : Kopplung mehrerer an verhiedenen Orten intallierten HPC-Steme u einem virtuellem Höhtleitungtem ehr hohe Leitungen möglih, enn eine grobörnige Parallelität vorliegt 2 6
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